Fénelon Sainte-Marie - Free
... mouvements atmosphériques au niveau d'une cellule de convection en
précisant le sens des courants et leurs moteurs. La force de Coriolis en exo
maison ...
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Fénelon Sainte-Marie. Physique. PCSI. 06/07. Calculatrice autorisée. Durée : 4 heures.
Concours Blanc 1. Devoir surveillé N°6.
Les candidat(e)s veilleront à exposer leurs raisonnements avec clarté et précision, rédiger avec soin dans un français correct, et reporter les numéros des paragraphes et sous paragraphes dans la marge pour chaque question. Il sera tenu compte de cela lors de la correction. Il est demandé de justifier clairement les relations utilisées et les réponses. Toute réponse non justifiée ne sera pas prise en considération.
Tous les résultats littéraux ou numériques devront être encadrés. Toutes les grandeurs physiques seront exprimées en fonction des paramètres du problème (ou des paramètres spécifiés) et simplifiées à l'extrême.
Exercice I. Circuit oscillant.
Le circuit représenté sur la figure, est maintenu, l'interrupteur K étant fermé, dans cette configuration durant un temps suffisamment long pour qu'on puisse considérer qu'il est en régime permanent. L'interrupteur K est alors ouvert (l'instant d'ouverture est alors considéré comme l'instant initial, t = 0).
INCLUDEPICTURE "Circuit%20oscillant.bmp" \* MERGEFORMAT
1. En justifiant vos réponses, complétez le tableau suivant ( à reproduire sur votre copie), qui décrit comment se fait la transition à t = 0 pour différentes grandeurs mises en jeu dans le circuit. EMBED Equation.3 - signifie que t tend vers zéro par valeurs négatives et EMBED Equation.3 + par valeurs positives.
Grandeur EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 +i(t)v(t)x(t)
2. Ecrivez pour toute valeur de t postérieure à l'ouverture de K l'équation différentielle en i(t), puis donnez l'équation différentielle en v(t).
On notera que la résistance R1 en série avec le condensateur C est précisément égale à la résistance de la bobine d'inductance L, R2. Cette condition restera valable jusqu'à la fin du problème « Circuit oscillant ».
3.1. Si R1 avait une valeur nulle, déterminez complètement la solution de l'équation différentielle en v(t). On fera intervenir la pulsation wðo que vous exprimez en fonction de L et de C.
3.2. On a R1 ( 0. Montrez en écrivant l'équation caractéristique qu'il est une valeur particulière de R1, à L et C données, conférant à cette équation une racine double.
3.3. Soit Rc, cette valeur de R1 : réorganisez l'écriture de l'équation différentielle afin d'exprimer les coefficients des dérivées de v(t) en fonction exclusivement de wðo et du rapport EMBED Equation.DSMT4 .
4. On se propose d'écrire l'équation différentielle du circuit en prenant une variable réduite définie par EMBED Equation.DSMT4 .Les dérivées mises en jeu dans l'équation différentielle devront dorénavant être des dérivées successives de v par rapport à EMBED Equation.DSMT4 . Déterminez ainsi la nouvelle équation différentielle régissant les évolutions de v(t).
5. On définit la valeur numérique suivante : m = 1. Avec la valeur numérique proposée, écrivez l'équation différentielle en v. Déterminer la forme de la solution EMBED Equation.DSMT4 puis celle de v(t). Déterminer entièrement v(t) en utilisant les valeurs initiales à EMBED Equation.3 + prélevées dans les résultats de la question 1. compte tenu de la valeur de m.
Exercice 2. Etude dun filtre.
On considère le montage suivant pour lequel les amplificateurs opérationnels sont supposés idéaux et en fonctionnement linéaire.
Déterminer la fonction de transfert de ce dispositif que l'on mettra sous la forme suivante : EMBED Equation.DSMT4 avec x = wð/wðo. Déterminer les expressions de Ho, Q et wðo en fonction de R, C et að. Quelle est la relation entre Ho et Q ?
Tracer avec soin le diagramme de Bode en amplitude en fonction de X = log x pour deux valeurs de Q (Q = 1, Q = 10). On prendra comme échelle : 2 carreaux pour X = 1 et pour 20dB.
Déterminer en fonction de R et C, l expression de la bande passante.
Les réglages effectués sont : facteur de qualité Q =10, C = 100 nF ; R = 10 kWð On se propose de déterminer la réponse de ce circuit à un signal carré d'amplitude E = 0,1 V, de fréquence f = 500 Hz.
La tension carrée e(t), fonction périodique peut être décomposée en série de Fourier: e(t) = ao + a1sin (t + b1cos (t + a2sin 2(t + b2cos 2(t + . . . + ansin n(t + bncos n(t + . . . On donne : EMBED Equation.3 pour EMBED Equation.DSMT4 Quelle est la valeur de ao? Que valent les coefficients bn ?
Montrer que : EMBED Equation.3 pour n ( 0.
Quelle est lamplitude du fondamental (n = 1) ? ; des harmoniques 3 et 5 (n = 3, n = 5) ?
5. Caractériser le signal obtenu en sortie du filtre : nature, fréquence et amplitude.
Exercice 3. Expérience de Rutherford. Utilisation de l'invariant de Runge-Lenz.
L'expérience de Rutherford réalisée en 1911 révéla la structure lacunaire de la matière. Rutherford interposa, entre une source radioactive émettant des particules að (noyaux d'hélium) et un détecteur de particules, une mince feuille d'or de 0,5 µm d épaisseur; il constata que quelques particules seulement étaient déviées, alors que la plupart d'entre elles traversaient la feuille d'or dans l'espace vide, sans modification de leur trajectoire.
Une particule M de masse m est en mouvement dans un référentiel R EMBED Equation.DSMT4 galiléen. Ce mouvement est dû à un champ de force central newtonien de centre de force O: EMBED Equation.DSMT4 avec EMBED Equation.DSMT4 et K > 0.
On introduit le vecteur de Runge-Lenz EMBED Equation.DSMT4 pour retrouver certaines caractéristiques de la trajectoire :
EMBED Equation.DSMT4 avec EMBED Equation.DSMT4 est le moment cinétique de la particule calculé en O.
Montrer que la trajectoire de la particule est plane (pour la suite on la supposera contenue dans le plan xOy).
Montrer que le vecteur de Runge-Lenz est constant.
Montrer que le vecteur de Runge-Lenz est contenu dans le plan de la trajectoire.
Montrer que la quantité EMBED Equation.DSMT4 sexprime en fonction de l'énergie mécanique EMBED Equation.DSMT4 de la particule sous la forme : EMBED Equation.DSMT4
Effectuer le produit scalaire EMBED Equation.DSMT4 . En déduire l'équation polaire de la trajectoire en désignant par qð l'angle entre EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 : EMBED Equation.DSMT4 . Exprimer le paramètre p et l'excentricité e de la conique en fonction de m, K, Lo et EMBED Equation.DSMT4 .
Une particule incidente að, de masse m et de charge q = 2e, est émise à l'infini avec une vitesse initiale EMBED Equation.DSMT4 , et se dirige vers un noyau cible placé en O, fixe dans R et de charge Q = Ze. Sous l'effet de la force coulombienne répulsive, la particule a subit une déviation repérée par l'angle D. La distance entre le support de la vitesse initiale et la droite passant par O parallèle à vo est le paramètre d'impact b. En écrivant la conservation du vecteur de Runge Lenz, loin avant et après la zone d'interaction, établir l'expression de l'angle de diffusion EMBED Equation.DSMT4 : EMBED Equation.DSMT4
INCLUDEPICTURE "../../../../Documents%20and%20Settings/Hubert/Application%20Data/Microsoft/Word/DS6_06_07_CB_Rutherford%20(2).bmp" \* MERGEFORMAT
Exercice 4. Anneau coulissant sur un cercle en rotation.
Un guide circulaire de centre O et de rayon r est en rotation uniforme à la vitesse angulaire EMBED Equation.DSMT4 autour de son diamètre vertical ( EMBED Equation.DSMT4 ). Un anneau M de masse m et assimilé à un point matériel coulisse sans frottement sur la circonférence. Son mouvement est repéré par un seul degré de liberté cinématique: l'angle EMBED Equation.DSMT4 compté positivement dans le sens indiqué sur le schéma suivant :
Le référentiel d'étude est le référentiel C lié au cercle. Le repère EMBED Equation.DSMT4 attaché rigidement à C est en rotation d'angle EMBED Equation.DSMT4 autour de l'axe vertical (Oz) du référentiel terrestre R galiléen.
Dans le plan (Oxz), la base locale des coordonnées polaires ( EMBED Equation.DSMT4 ) accompagne l'anneau M dans son mouvement.
On notera EMBED Equation.DSMT4 l'action du cercle sur le point M.
A. Etude du mouvement de M sur le guide.
" Utilisation de la relation fondamentale de la dynamique.
1. Exprimer la force d'inertie d'entraînement EMBED Equation.DSMT4 en fonction de qð, m, r, wð ðet EMBED Equation.DSMT4 . Justifier.
2. Exprimer la force d'inertie de Coriolis EMBED Equation.DSMT4 , en fonction de qð, EMBED Equation.DSMT4
3. Ecrire la relation fondamentale de la dynamique dans le référentiel C et déduire de sa projection suivant EMBED Equation.DSMT4 l'équation différentielle vérifiée p.WYjk- = ä å %
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