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Partiel n°4 BTS GO 2ème année mathématiques 2010-2011

Un corrigé avec barème de correction est remis aux étudiants en sortie du devoir .... c) En courant alternatif sinusoïdal, on peut utiliser les nombres complexes : ..... sinusoïdales de fréquences multiples de 50 Hz (appelée « série de Fourier »).




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Partiel n°4 BTS GO 2ème année mathématiques 2010-2011

Exercice 1 BTS- GR A- Session 2010 : 11 points

Dans cet exercice , on se propose d’étudier dans la partie A une perturbation d’un signal continu et dans la partie B , la correction de cette perturbation par un filtre analogique .
Partie A
Dans cet exercice , on note  EMBED Equation.DSMT4 une constante réelle appartenant à l’intervalle  EMBED Equation.DSMT4 et on considère les
fonctions EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 , définies sur l’ensemble  EMBED Equation.DSMT4 des nombres réels , telles que :
 EMBED Equation.DSMT4 Pour tout nombre réel  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 La fonction  EMBED Equation.DSMT4 est périodique de période  EMBED Equation.DSMT4 et :
 EMBED Equation.DSMT4 
Pour tout nombre réel  EMBED Equation.DSMT4 , on pose :  EMBED Equation.DSMT4 
La fonction EMBED Equation.DSMT4 ainsi définie représente la perturbation du signal .

1. les courbes représentatives des fonctions EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 sont tracées sur le document réponse n°1.
( figure 1 et 2 ).
Sur la figure 3 du document réponse n°1, tracer la représentation graphique de la fonction EMBED Equation.DSMT4 .

2. On admet que la fonction  EMBED Equation.DSMT4  est périodique de période  EMBED Equation.DSMT4 .
Pour tout nombre réel  EMBED Equation.DSMT4 , on définit la série de Fourier  EMBED Equation.DSMT4 associée à la fonction  EMBED Equation.DSMT4  par
 EMBED Equation.DSMT4 
Déterminer  EMBED Equation.DSMT4 .
Soit  EMBED Equation.DSMT4 un entier supérieur ou égal à 1
Calculer  EMBED Equation.DSMT4 
En déduire que  EMBED Equation.DSMT4 
c) Montrer que, pour tout nombre EMBED Equation.DSMT4 entier supérieur ou égal à 1,
 EMBED Equation.DSMT4 .
3. Soit  EMBED Equation.DSMT4 un entier supérieur .On associe à  EMBED Equation.DSMT4  le nombre réel EMBED Equation.DSMT4 tel que :
 EMBED Equation.DSMT4  EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4  EMBED Equation.DSMT4  si  EMBED Equation.DSMT4 est un entier supérieur ou égal à 1
Montrer que, pour tout nombre EMBED Equation.DSMT4 entier supérieur ou égal à 1, on a  EMBED Equation.DSMT4 .
On suppose pour toute la suite de l’exercice , que  EMBED Equation.DSMT4 
4. Compléter le tableau 1 du document réponse n°2, avec des valeurs approchées à  EMBED Equation.DSMT4 près.
5. La valeur efficace  EMBED Equation.DSMT4 de la fonction  EMBED Equation.DSMT4 est telle que :  EMBED Equation.DSMT4 
a) Calculer  EMBED Equation.DSMT4 .
b) Calculer une valeur approchée à  EMBED Equation.DSMT4 près du nombre réel P défini par  EMBED Equation.DSMT4 
c) Calculer une valeur approchée à EMBED Equation.DSMT4 près du quotient  EMBED Equation.DSMT4 .
Partie B
On rappelle que EMBED Equation.DSMT4 est le nombre complexe de module 1 et dont un argument est  EMBED Equation.DSMT4 .
On considère la fonction de transfert EMBED Equation.DSMT4 définie, pour tout nombre complexe  EMBED Equation.DSMT4 différent de  EMBED Equation.DSMT4 ,par :
 EMBED Equation.DSMT4 .
On définit la fonction  EMBED Equation.DSMT4  , pour tout nombre réel positif  EMBED Equation.DSMT4  par :
 EMBED Equation.DSMT4 .
Le but de cette partie est de déterminer le spectre d’amplitude du signal, noté  EMBED Equation.DSMT4 , obtenu en filtrant la
perturbation  EMBED Equation.DSMT4  au moyen d’un filtre dont la fonction de transfert est EMBED Equation.DSMT4 .
1. Montrer que  EMBED Equation.DSMT4 . Rappel  EMBED Equation.DSMT4  ;  EMBED Equation.DSMT4 
2. Pour tout nombre entier naturel  EMBED Equation.DSMT4 , on définit le nombre réel positif  EMBED Equation.DSMT4  par :
 EMBED Equation.DSMT4 ,
où  EMBED Equation.DSMT4 est le nombre réel positif défini dans la question 3 de la partie A.
Compléter le tableau 2 du document réponse n°2, avec des valeurs approchées à  EMBED Equation.DSMT4 près.
Le spectre d’amplitude du signal filtré k est donné par la suite des nombres réels EMBED Equation.DSMT4 
3. La figure 4 sur le document réponse n°2 donne le spectre d’amplitude de la perturbation EMBED Equation.DSMT4 
C’et-à-dire une représentation graphique de la suite des nombres réels  EMBED Equation.DSMT4 
Sur la figure 5 du document réponse n°2, on a commencé de même à représenter la suite des nombres
 EMBED Equation.DSMT4 
Compléter cette représentation graphique à l’aide du tableau de valeurs n°2 du document réponse n°2.
4. Une valeur approchée à  EMBED Equation.DSMT4  près du carré de la valeur efficace du signal k est  EMBED Equation.DSMT4 
a) Calculer une valeur approchée à  EMBED Equation.DSMT4 près du nombre  EMBED Equation.DSMT4  défini par  EMBED Equation.DSMT4 .
b) Calculer une valeur approchée à  EMBED Equation.DSMT4  près du quotient :  EMBED Equation.DSMT4 .
On a étudié le spectre de Fourier d’une perturbation d’un signal . On ne peut pas négliger les raies
de hautes fréquences de ce spectre . Le filtrage dissipe une part importante de l’énergie de la
perturbation et les raies de hautes fréquences de la perturbation filtrée sont négligeables

Exercice 2 : 9 points nouvelle Calédonie - nov-2009
Partie A :
Une entreprise fabrique des pièces en grande série.
Une pièce est conforme si sa masse, en grammes, est comprise entre 7,495 et 7,505.
L’entreprise dispose d’une machine de contrôle des pièces fabriquées.
On prélève une pièce au hasard dans la production.
On note C l’évènement : « la pièce est conforme ».
On note A l’évènement : « la pièce est acceptée par la machine de contrôle ».
Une étude statistique a été conduite, au terme de laquelle on a pu estimer que :
 EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
1. a. À l’aide d’une phrase, donner la signification des évènements  EMBED Equation.DSMT4 et  EMBED Equation.DSMT4 .
Ces deux évènements correspondent aux cas où la machine de contrôle commet une erreur.
b. Calculer la probabilité que la machine de contrôle commette une erreur.

2. Calculer la probabilité qu’une pièce soit conforme, sachant qu’elle est refusée.

Partie B :
On appelle X la variable aléatoire qui prend pour valeur la masse d’une pièce en grammes.
On admet que X suit une loi normale de moyenne 7,5 et d’écart type EMBED Equation.DSMT4 où  EMBED Equation.DSMT4  désigne un nombre réel
strictement positif.

1. Après une période de production, la machine de fabrication a subi un dérèglement brutal.
L’écart type  EMBED Equation.DSMT4  vaut alors 0,015.
On rappelle qu’une pièce est conforme si sa masse, en grammes, est comprise entre 7,495 et 7,505.
Calculer la probabilité qu’une pièce soit conforme.

2. Calculer la valeur de  EMBED Equation.DSMT4  pour laquelle la probabilité qu’une pièce soit conforme est égale à 0,99.

3. Dans cette question, on suppose que EMBED Equation.DSMT4 vaut 0,002 et qu’à la suite d’un nouveau dérèglement, la variable
aléatoire X suit la loi normale de moyenne 7,502 et d’écart type 0,002.
Calculer la probabilité qu’une pièce, choisie au hasard, soit conforme.

Partie C :
Les pièces acceptées par la machine de contrôle sont emballées par lots de 100. On prélève au hasard
un lot.
La production est suffisamment importante pour que l’on assimile ce prélèvement à un tirage avec
remise de 100 pièces.
On considère la variable aléatoire Y qui, à tout prélèvement de 100 pièces, associe le nombre de pièces
non conformes.
On admet que la probabilité qu’une pièce soit non conforme, sachant qu’elle a été acceptée, est 0,0053.

1. a. Justifier que la variable aléatoire Y suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
b. Donner l’espérance mathématique de la variable aléatoire Y .

2. Calculer la probabilité qu’un lot ne contienne que des pièces conformes. On donnera une valeur
approchée du résultat à EMBED Equation.DSMT4 près.























Document réponse n°1 , à rendre avec la copie (exercice 1)


Figure 1 : courbe représentative de la fonction  EMBED Equation.DSMT4 





Figure 2 : courbe représentative de la fonction  EMBED Equation.DSMT4 





Figure 3 : courbe représentative de la fonction  EMBED Equation.DSMT4 










Document réponse n°2 , à rendre avec la copie ( exercice1 )

Tableau 1
 EMBED Equation.DSMT4 01234567 EMBED Equation.DSMT4 0,125000,127270,138630,083180,53050,02461 EMBED Equation.DSMT4 89101112131415 EMBED Equation.DSMT4 0,019140,031830,037810,031990,022740,01148Tableau 2

 EMBED Equation.DSMT4 01234567 EMBED Equation.DSMT4 0,143340,062000,039520,023900,012870,00516 EMBED Equation.DSMT4 89101112131415 EMBED Equation.DSMT4 0,000000,003150,004720,005110,003670,002420,00114

Figure 4






Figure 5






Exercice 1
Partie A :
1.  EMBED Equation.DSMT4 Pour tout nombre réel  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 La fonction  EMBED Equation.DSMT4 est périodique de période  EMBED Equation.DSMT4 et :
 EMBED Equation.DSMT4 
Donc pour tout nombre réel  EMBED Equation.DSMT4 , on pose :  EMBED Equation.DSMT4 
Courbe représentative de la fonction  EMBED Equation.DSMT4 

2. (a) On a
 EMBED Equation.DSMT4 
(b) On a, pour  EMBED Equation.DSMT4 : EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 
c) On a, pour  EMBED Equation.DSMT4 :
 EMBED Equation.DSMT4 
3. À l’aide de la question précédente, on a :  EMBED Equation.DSMT4 
et pour  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 .
4.
DOCUMENT réponse 2 Tableau 1
 EMBED Equation.DSMT4 01234567 EMBED Equation.DSMT4 0,125000,127270,159150,138630,112540,083180,53050,02461 EMBED Equation.DSMT4 89101112131415 EMBED Equation.DSMT4 00,019140,031830,037810,037510,031990,022740,011485.
a)  EMBED Equation.DSMT4 .
b)  EMBED Equation.DSMT4 
c)  EMBED Equation.DSMT4 .
Partie B
 EMBED Equation.DSMT4 .
On définit la fonction  EMBED Equation.DSMT4  , pour tout nombre réel positif  EMBED Equation.DSMT4  par :
 EMBED Equation.DSMT4 .
1. Montrer que  EMBED Equation.DSMT4 .
 EMBED Equation.DSMT4 , donc  EMBED Equation.DSMT4 
2. Pour tout nombre entier naturel  EMBED Equation.DSMT4 , on définit le nombre réel positif  EMBED Equation.DSMT4  par :
 EMBED Equation.DSMT4 ,
DOCUMENT réponse 2 Tableau 2
 EMBED Equation.DSMT4 01234567 EMBED Equation.DSMT4 0,125000,143340,095490,062000,039520,023900,012870,00516 EMBED Equation.DSMT4 89101112131415 EMBED Equation.DSMT4 0,000000,003150,004720,005110,004650,003670,002420,00114Voir figure
Voir figure
4. Une valeur approchée à  EMBED Equation.DSMT4  près du carré de la valeur efficace du signal k est  EMBED Equation.DSMT4 
a) Calculer une valeur approchée à  EMBED Equation.DSMT4 près du nombre  EMBED Equation.DSMT4  défini par
 EMBED Equation.DSMT4 .
b) Calculer une valeur approchée à  EMBED Equation.DSMT4  près du quotient :  EMBED Equation.DSMT4 .

DOCUMENT réponse n° 2 Tableau 1

 EMBED Equation.DSMT4 01234567 EMBED Equation.DSMT4 0,125000,127270,159150,138630,112540,083180,53050,02461 EMBED Equation.DSMT4 89101112131415 EMBED Equation.DSMT4 00,019140,031830,037810,037510,031990,022740,01148
DOCUMENT réponse n°2 Figure 4



DOCUMENT réponse 2 Tableau 2
 EMBED Equation.DSMT4 01234567 EMBED Equation.DSMT4 0,125000,143340,095490,062000,039520,023900,012870,00516 EMBED Equation.DSMT4 89101112131415 EMBED Equation.DSMT4 0,000000,003150,004720,005110,004650,003670,002420,00114
Figure 5



Exercice 2
On note C l’évènement : « la pièce est conforme ».
On note A l’évènement : « la pièce est acceptée par la machine de contrôle ».
Une étude statistique a été conduite, au terme de laquelle on a pu estimer que :
 EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
1.a.  EMBED Equation.DSMT4  = « la pièce est acceptée par la machine de contrôle et no conforme » .
 EMBED Equation.DSMT4  = « la pièce est non-conforme, est acceptée par la machine de contrôle ».
b. l’événement « la machine de contrôle commette une erreur » est  EMBED Equation.DSMT4 
Or  EMBED Equation.DSMT4  sont deux événements disjoints et forment une partition de l’univers
Donc d’après la formule des probabilités totales on a :
 EMBED Equation.DSMT4 
la probabilité que la machine de contrôle commette une erreur est  EMBED Equation.DSMT4 .
2. Calculer la probabilité qu’une pièce soit conforme, sachant qu’elle est refusée.
 EMBED MSDraw.1.01 
On pourra utiliser un arbre


 EMBED Equation.DSMT4  .  EMBED Equation.DSMT4 
B. 1. On rappelle qu’une pièce est conforme si sa masse,
en grammes, est comprise entre 7,495 et 7,505.
Calculer la probabilité qu’une pièce soit conforme
 EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 
2. Calculer la valeur de  EMBED Equation.DSMT4  pour laquelle la probabilité qu’une pièce soit conforme est égale à 0,99.
 EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 
3. Calculer la probabilité qu’une pièce, choisie au hasard, soit conforme.
 EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 .
Partie C :
1 a. Justifier que la variable aléatoire Y suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 100 pièces. l’épreuve de Bernoulli est « on
répète 100 fois de manière indépendante un tirage avec remise des pièces. La variable aléatoire Y qui,
à tout prélèvement de 100 pièces, associe le nombre de pièces non conformes.
On admet que la probabilité qu’une pièce soit non conforme, sachant qu’elle a été acceptée,
est 0,0053. Donc la variable aléatoire Y suit une loi binomiale de paramètres EMBED Equation.DSMT4 
avec  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
b. Donner l’espérance mathématique de la variable aléatoire Y .
 EMBED Equation.DSMT4 
2. Calculer la probabilité qu’un lot ne contienne que des pièces conformes
On a : EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 
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