Td corrigé Sans utilisation des TICE pdf

Sans utilisation des TICE

Proposer un problème de recherche et son corrigé pouvant être présenté devant ... La fonction linéaire doit apparaître comme un cas particulier de la fonction .... Si on sait que l'image d'une droite par une translation est une droite, alors on ...




part of the document



Sans utilisation des TICE



TYPE D’ACTIVITÉ PÉDAGOGIQUE :

Introduction d'une notion.

THÈME :

Les fonctions affines

NIVEAU :

3ème.

CE DOSSIER COMPREND :

3 pages (1 page activité et 2 pages d'exercices)


TRAVAIL DEMANDÉ :

1. Proposer une séquence d’enseignement ayant pour objectif l’introduction de la notion de fonction affine en classe de 3ème.
2. Proposer une série d’exercices illustrant les différentes phases de la séquence.

3. Proposer un problème de recherche et son corrigé pouvant être présenté devant des élèves de 3ème.

SUR LA FICHE D’EXPOSÉ, ON INDIQUERA :

1. Le plan de la séquence proposée.
2. L’énoncé du problème de recherche et la rédaction de son corrigé.








Éléments du PO relatifs aux fonctions affines

La fonction linéaire doit apparaître comme un cas particulier de la fonction affine, cette dernière étant associée à la proportionnalité des accroissements.

Les notations fonctionnelles amènent à utiliser des lettres avec une nouvelle signification : successivement, au collège, les lettres ont ainsi été utilisées de façon « expressive » en référence à des grandeurs (comme dans la formule de l’aire du rectangle), pour désigner des valeurs inconnues (dans les équations), des valeurs indéterminées (dans les identités remarquables, par exemple) et enfin des variables (dans le langage des fonctions). Les difficultés à comprendre le statut différent des lettres, et du signe =, dans ces différents contextes justifient le fait que la notion d’équation de droite ne soit pas abordée au collège.



1. Proposer une séquence ayant pour objet l’introduction de la fonction affine

Pré-requis : La proportionnalité et les rudiments du calcul algébrique. La séquence consiste à commencer par effectuer la résolution de l’exercice suivant.

Un loueur de VTT propose plusieurs formules de location à ses clients.
1ère formule : le prix est proportionnel au temps et le prix de l’heure est 10 ¬ .
2ème formule : le prix est composé d une somme fixe de 10 ¬ et, après la première heure, d une somme proportionnelle au temps de 5 ¬ de l heure.
3ème formule : un forfait de 20 ¬ et 2 ¬ de l heure au-delà de la 2ème heure.
Trois amis, A, B et C veulent louer 3 VTT pour au moins deux heures et au plus 3 heures. Quels conseils leur donneriez vous pour dépenser le moins d’argent possible ?

Si x est le temps de location d’un VTT (exprimé en heure), on note p(x) (et on lit « p de x ») le coût de cette location.
1. Déterminer p(x) lorsqu’un VTT est loué suivant la 1ère formule ; on note alors ce coût EQ \L(p1)(x). Comment appelle-t-on ce type de fonction ? Représenter graphiquement la fonction EQ \L(p1) ; que peut-on dire de cette représentation graphique ? Quel est le coût pour 2 heures de location ? Comment lire ce coût directement à partir du graphique ?
2. Déterminer p(x) lorsqu’un VTT est loué suivant la 2ème formule ; on note alors ce coût  EQ \L(p2)(x). Ce type de fonction s’appelle une fonction affine.
a. Tracer les représentations graphiques des points de coordonnées (1, EQ \L(p2)(1)), (1,5, EQ \L(p2)(1,5)), (3,5 , EQ \L(p2)(3,5)). Que constatez-vous ? On admettra que la représentation graphique de ce type de fonction est une droite.
a. Tracer cette droite.
b. Utiliser cette représentation graphique pour déterminer le coût de la location au bout de 2 heures, au bout de 2 heures et demi, au bout de 3 heures.
c. Comparer les deux premières formules.
3. Déterminer p(x) lorsque le VTT est loué suivant la 3ème formule. On note alors EQ \L(p3)(x) le coût correspondant. Quel est le type de la fonction EQ \L(p3) ? Tracer sa représentation graphique et l’utiliser pour comparer cette formule aux deux formules précédentes.
4. Pour chacune des fonctions EQ \L(p2) et EQ \L(p3) remplir le tableau :
x11,523510p(x)y0-242,5179p(y)y-xp(y)-p(x)
Que remarquez-vous ?


L’activité d’introduction s’arrête là. Comme l’a proposé votre camarade, il convient dans la suite de la séquence, de fixer la terminologie et les notations en vigueur dans cette partie du programme (en classe de Troisième), de proposer des exercices d’application (je vous renvoie à ses propositions et à la réponse à la question 2 ci-dessous) et de faire une synthèse des principaux résultats :
Définition d’une fonction affine ;
Représentation graphique ;
Lien entre la représentation graphique d’une fonction linéaire et la représentation graphique d’une fonction affine (non linéaire) ;
Propriété (caractéristique) d’une fonction affine : entre deux valeurs données, les accroissements de la fonction et de la variable sont proportionnels.

D’autres activités peuvent être proposées pour :
montrer que la représentation graphique d’une fonction affine se déduit de celle d’une fonction linéaire par translation ;
montrer que toute fonction affine vérifie la propriété mise en évidence dans le tableau de la question 4.

La caractérisation des fonctions affines par cette propriété (q. 4) n’est pas un objectif de la classe de 3ème.


2. Proposer une série d’exercices illustrant les différentes phases de la séquence.

On peut utiliser les exos de l’annexe fournie.

33-39-40 pour illustrer la représentation graphique dans le sens fonction -> droite

49-50 pour illustrer le passage inverse.
36 pour illustrer la propriété de la q. 4.


3. Proposer un problème de recherche et son corrigé pouvant être présenté devant des élèves de 3ème.

Voici une proposition personnelle.

L’exercice 56, auquel on ajoute :

e. Des deux périmètres, celui du triangle  EMBED Equation.DSMT4  et celui du quadrilatère AMNB, quel est à votre avis le plus grand ?
Pensez-vous qu’il soit possible de déterminer la position du point M sur la demi-droite [OA) de façon que le périmètre du quadrilatère ABNM soit le triple du périmètre du triangle OAB ? Justifiez votre opinion.

Cette question conduit à la résolution d’une équation (sans solution) après modélisation correcte des données.

f. Si on choisit de placer le point M sur le segment [OA], en notant toujours OM = x, quelles sont les valeurs que peut prendre  EMBED Equation.DSMT4  ? Que valent alors les périmètres de OMN et de ABNM ? Est-il possible de placer les points  EMBED Equation.DSMT4 et  EMBED Equation.DSMT4 de façon que le périmètre du quadrilatère soit trois fois plus grand que le périmètre du triangle ?

ou bien (plus difficile) : peut-on placer le point M de façon que le périmètre du triangle OMN soit 5 fois plus petit que celui du quadrilatère ABNM ?



OM =  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Exprimer ON et MN en fonction de  EMBED Equation.DSMT4 
L’application du théorème de Thalès donne :
 EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
b. On appelle  EMBED Equation.DSMT4 le périmètre du triangle  EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 le périmètre du quadrilatère  EMBED Equation.DSMT4 . Déterminer  EMBED Equation.DSMT4 et  EMBED Equation.DSMT4 .
 EMBED Equation.DSMT4 ,
et
 EMBED Equation.DSMT4 .
c. La fonction  EMBED Equation.DSMT4 est-elle linéaire ? Est-elle affine ?
Elle est évidemment l’une (de la forme  EMBED Equation.DSMT4 ) et (donc) l’autre.
d. Reprendre la question c. avec  EMBED Equation.DSMT4 .
La fonction  EMBED Equation.DSMT4  est affine.
e.
On est amené à écrire :  EMBED Equation.DSMT4 , où  EMBED Equation.DSMT4 .
Puis,  EMBED Equation.DSMT4 . Mais,  EMBED Equation.DSMT4  et l’équation n’admet pas de solution.
f. Si on place le point  EMBED Equation.DSMT4 sur le segment  EMBED Equation.DSMT4 , le périmètre du quadrilatère s’écrit :
 EMBED Equation.DSMT4 .
L’équation à résoudre devient :  EMBED Equation.DSMT4 .

Commentaires :

L’intérêt du prolongement de l’exercice est de permettre :
une fonctionnalisation de la notion de fonction affine ;
un travail de modélisation algébrico-géométrique ;
une fonctionnalisation de la notion d’équation ;
un exemple de résolution d’équation dans laquelle l’intervalle de variation de la variable est contraint ( EMBED Equation.DSMT4 .
La dernière question attire aussi l’attention des élèves sur le fait que, dans les calculs de distances, les positions des points - sur une même droite - sont essentielles.

La proposition (légèrement modifiée) de votre camarade. Il s’agit de l’exercice n° 58 de la planche d’exercices proposés auquel on ajoute les questions suivantes.
c) Quelles valeurs peut prendre x ? Calculer  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  lorsque  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 
d) Représenter graphiquement, dans un repère orthogonal  EMBED Equation.DSMT4  tel que  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 , les fonctions  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
e) Donner graphiquement :
l’image de 3 pour  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
Le nombre  EMBED Equation.DSMT4  qui a pour image 20 pour  EMBED Equation.DSMT4 .
Le nombre  EMBED Equation.DSMT4  qui a pour image 36 pour  EMBED Equation.DSMT4 .
f) Peut-on déterminer  EMBED Equation.DSMT4  de façon que  EMBED Equation.DSMT4  ?



Questions possibles :

1. Soit  EMBED Equation.DSMT4  telle que :  EMBED Equation.DSMT4 . Pour une telle fonction, les accroissements de la fonction sont proportionnels aux accroissements de la variable.

Montrer que f est une fonction affine. Cette propriété est-elle caractéristique des fonctions affines ?

En particularisant  EMBED Equation.DSMT4 , il vient :  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 . Si on pose,  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 , on retrouve :  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  est donc une fonction affine sur  EMBED Equation.DSMT4 .

Réciproquement, si  EMBED Equation.DSMT4 est affine, alors  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 , où  EMBED Equation.DSMT4 . On a :
 EMBED Equation.DSMT4 .

La propriété est donc bien caractéristique.

2. De quel type d’équations différentielles, les fonctions affines sont-elles solutions ?

3. Soit d et d’ les droites d’équation (dans un repère  EMBED Equation.DSMT4 donné) respectives  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
Démontrer d est l’image de d’ par une transformation du plan que l’on précisera.

Soit  EMBED Equation.DSMT4  un point de d’ et  EMBED Equation.DSMT4  la translation de vecteur  EMBED Equation.DSMT4 . Alors,  EMBED Equation.DSMT4  est le point de coordonnées  EMBED Equation.DSMT4  et ce point appartient à la droite d. L’image de d’ par  EMBED Equation.DSMT4  est donc incluse dans la droite d.
Si on sait que l’image d’une droite par une translation est une droite, alors on peut conclure et on montrer que  EMBED Equation.DSMT4 (d) = d’.
Si on ne le sait pas, il faut (et ça suffira) montrer que tout point de d est bien l’image d’un point de d’. Pour cela, on considère un point de d quelconque  EMBED Equation.DSMT4 , on le « translate » par  EMBED Equation.DSMT4  pour obtenir  EMBED Equation.DSMT4  qui appartient à d’. Comme  EMBED Equation.DSMT4 , on en déduit que  EMBED Equation.DSMT4  est bien l’image par la translation  EMBED Equation.DSMT4  d’un point de d’.

4. Qu’appelle-t-on une transformation affine du plan ? Quel lien avec les applications affines ?

Il y a plusieurs façons de définir une transformation affine du plan (sous-entendu « affine réel »). On peut choisir de dire qu’il s’agit des applications du plan dans lui-même qui transforme toute droite en une droite (ou, si l’on préfère « qui conservent l’alignement »). Elles transforment donc la représentation graphique d’une fonction affine en la représentation graphique d’une autre fonction affine. Ou encore : les transformations affines du plan conservent la forme des représentations graphiques des fonctions affines.

Un autre lien est le suivant. Le plan étant rapporté à un repère  EMBED Equation.DSMT4 , les transformations affines sont celles qui ont pour expressions analytiques des expressions de la forme :
 EMBED Equation.DSMT4 .
Chaque coordonnée du point image est une fonction affine des coordonnées du point antécédent.

5. Soit  EMBED Equation.DSMT4  une fonction affine sur  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  une fonction continue de  EMBED Equation.DSMT4 dans  EMBED Equation.DSMT4  qui coïncide avec  EMBED Equation.DSMT4 en trois points. Les fonctions  EMBED Equation.DSMT4  et EMBED Equation.DSMT4 sont-elles égales ? Et si elles coïncident en  EMBED Equation.DSMT4  points ? Pouvez-vous proposer un sous-ensemble de points de  EMBED Equation.DSMT4 tel que la coïncidence de *\hù8×hi3Ò5>*CJ\aJhù8×hi3Ò5CJ\aJ0*h5¥h5¥>*h5¥5>*\ hM?œh/5Î hM?œh5¥h/5Îh)DÝjh/5ÎU&h/5Îh/5Î6CJOJQJ]^JaJ) *h™Qúh)DÝ6CJOJQJ]^JaJ,h)DÝh)DÝ56CJOJQJ\]^JaJ&h)DÝh)DÝ6CJOJQJ]^JaJ"w€ˆŠ‹ŒÆÇ=@abjklmÃÄÌÍÎÏlmÇÈÉÑÒÓÔ TU]^_`lmuvwx‡ˆ‘’“°µüøüøüôüôìôäôÜ×äôäôÜ×äÓôüôÏÇÏ¿ºÇÏÓ²Óª¥²Ó²Óª¥²Ó²Óª¥²Ó›Óôӗh–K9hÍ@•hÍ@•6] hÍ@•H*hÍ@•hÍ@•H*jhÍ@•U h‰TÏH*h‰TÏh‰TÏH*jh‰TÏUh‰TÏhÍ@• h‘ÆH*h‘Æh‘ÆH*jh‘ÆUh‘Æh‘ÆH*h‘ÆhU,^h£›8m
µÞòBDFJLNPS÷ï÷ïïçßÓÓÓÓÓÓÓ $$Ifa$gdä2$a$gdä2$a$gd–K9$a$gdÍ@•$a$gd‰TÏ019:;STYZ( $$Ifa$gdä2×kd¯&$$If–FÖ֞”ÿ·Ú þ"FjŽ###$$$$$
tàÖ0ÿÿÿÿÿÿö6öÖÿÿÿÿÿÿÿÖÿÿÿÿÿÿÿÖÿÿÿÿÿÿÿÖÿÿÿÿÿÿÿ4Ö4Ö
laöZ[\]^_óóóóó $$Ifa$gdä2_`bd( $$Ifa$gdä2×kd1'$$If–FÖ֞”ÿ·Ú þ"FjŽ###$$$$$
tàÖ0ÿÿÿÿÿÿö6öÖÿÿÿÿÿÿÿÖÿÿÿÿÿÿÿÖÿÿÿÿÿÿÿÖÿÿÿÿÿÿÿ4Ö4Ö
laödgimpróóóóó $$Ifa$gdä2rsxy( $$Ifa$gdä2×kd³'$$If–FÖ֞”ÿ·Ú þ"FjŽ###$$$$$
tàÖ0ÿÿÿÿÿÿö6öÖÿÿÿÿÿÿÿÖÿÿÿÿÿÿÿÖÿÿÿÿÿÿÿÖÿÿÿÿÿÿÿ4Ö4Ö
laöyz{|}~óóóóó $$Ifa$gdä2~ƒ„( $$Ifa$gdä2×kd5($$If–FÖ֞”ÿ·Ú þ"FjŽ###$$$$$
tàÖ0ÿÿÿÿÿÿö6öÖÿÿÿÿÿÿÿÖÿÿÿÿÿÿÿÖÿÿÿÿÿÿÿÖÿÿÿÿÿÿÿ4Ö4Ö
laö„…†‡ˆ‰óóóóó $$Ifa$gdä2‰Š”•( $$Ifa$gdä2×kd·($$If–FÖ֞”ÿ·Ú þ"FjŽ###$$$$$
tàÖ0ÿÿÿÿÿÿö6öÖÿÿÿÿÿÿÿÖÿÿÿÿÿÿÿÖÿÿÿÿÿÿÿÖÿÿÿÿÿÿÿ4Ö4Ö
laö•–—˜™šóóóóó $$Ifa$gdä2š›œ±( $a$gdä2×kd9)$$If–FÖ֞”ÿ·Ú þ"FjŽ###$$$$$
tàÖ0ÿÿÿÿÿÿö6öÖÿÿÿÿÿÿÿÖÿÿÿÿÿÿÿÖÿÿÿÿÿÿÿÖÿÿÿÿÿÿÿ4Ö4Ö
laö±²³@c~œÎI³´%&'{|«¬÷÷÷ìììì÷÷ááÙÙÙÙ²ÙÙÙÙ&$d%d&d'dNÆÿOÆÿPÆÿQÆÿgdM?œ$a$gd4à $
& Fa$gd4à $
& Fa$gd˜'Z$a$gdä2*UVW¼½àáb c Ò Ó g"h"ÿ"#÷÷÷÷÷Ð÷÷÷÷÷ÈÀ÷÷÷¸°°°$a$gdƒ}$a$gdË$a$gduxF$a$gd ,Ë&$d%d&d'dNÆÿOÆÿPÆÿQÆÿgdM?œ$a$gd4à%·º»¼½ßàá./FGHI¥³ÒÓèêô  C F H a c ™ © ¯ » Ñ Ó Ö ÷ ø ! !!!#!&!'!üôüíüéüéåüåáÙáʽÙá¹å¯å¯¹å¯á对á夜¤Ž¤†å‚x‚x‚x‚xhMÁhƒ}6]hƒ}häDÔCJaJhäDÔhäDÔ6CJ]aJh ,ËCJaJhäDÔhäDÔCJaJhMÁhäDÔ6]h ,Ëj»)huxFhuxFEHúÿUj&Ä·G
huxFCJUVaJjhuxFUhuxFhäDÔh¤p¬ hù8×hM?œhswšhM?œH*hM?œ/'!,!S!T!k!l!m!n!t!{!!”!—!ž!¢!¤!Ê!Ë!â!ã!ä!å!è!é!""""f"g"h"„"›"œ"Ã"Æ"ø"ü"ÿ"#####üøðøáÔðøüøüÊüÊüøðø»®ðøðøŸ’ðøŽüŠüÊüÊüÊü†{†q†hMÁhMÁ6]jŸ4hMÁhMÁUhMÁh 6häDÔjè1hËhËEHúÿUjÆ·G
hËCJUVaJj6/hËhËEHüÿUjÆ·G
hËCJUVaJhMÁhƒ}6]j,hËhËEHúÿUj Æ·G
hËCJUVaJjhËUhËhƒ}+###%#e#‘#Í#Ç$ä$è$%U%¬%ê%&!&v&â&i'†'Ã'Ä'Ó'÷ïçççßçßÚßÒÒÊÊÊÂÂÂÂÂÂÂ$a$gduxF$a$gd ,Ë$a$gdA#ýgdA#ý$a$gdA#ý$a$gdMÁ$a$gdMÁ$a$gdƒ}# # #!#"###1#3#7#9#I#J#a#b#c#d#e#Ž#‘#’#©#ª#«#¬#°#±#È#É#÷óä×÷óÍóÍó÷ó¾±÷󩡔©…s”¡f¡Wjÿ¼·G
hA#ýCJUVaJjhA#ýB*Uphÿ"j¥@hMÁhMÁB*EHêÿUphÿj]¼·G
hMÁCJUVaJjhMÁB*UphÿhA#ýB*phÿhMÁB*phÿjî=hMÁhMÁEHúÿUjù»·G
hMÁCJUVaJhMÁhMÁ6]jå:hMÁhMÁEHöÿUj
¼·G
hMÁCJUVaJhMÁjhMÁUÉ#Ê#Ë#Ì#Í#Û#Ü#ó#ô#õ#ö#$$'$($)$*$,$-$D$E$F$G$d$e$|$}$~$$Œ$$¤$îáÙÑÍÅͶ©ÅÍÅ͚ÅÍÅÍ~qÅÍÅÍbUÅÍÅÍjyPhA#ýh ,ËEHúÿUj£À·G
h ,ËCJUVaJjkMhA#ýhA#ýEHöÿUjr½·G
hA#ýCJUVaJj¢JhA#ýhA#ýEHúÿUjj½·G
hA#ýCJUVaJj•GhA#ýhA#ýEHöÿUjP½·G
hA#ýCJUVaJjhA#ýUhA#ýhMÁB*phÿhA#ýB*phÿjhA#ýB*Uphÿ"j(DhA#ýhA#ýB*EHêÿUphÿ¤$¥$¦$§$ª$«$Â$Ã$Ä$Å$Ç$È$ß$à$á$â$è$é$%%%%%%%,%-%.%/%ðãÛ×Û×È»Û×®¦—…®¦®¦vd®¦×Û×UHÛj…ahA#ýhA#ýEHöÿUj
¿·G
hA#ýCJUVaJ"jI]hA#ýhA#ýB*EHêÿUphÿj
 :