MATHEMATIQUES FINANCIERES
Lecture sur table statistique : 17.85 %. - Ou par interpolation linéaire : t = 17,5 %,
F(17,5) .... Il reste 860 titres deux ans après. Gestion financière MSG 1 TD 3206.
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MATHEMATIQUES FINANCIERES
Définitions :
Emprunt remboursable in fine :
La totalité du capital emprunté sera remboursé à léchéance. Chaque année lemprunteur rembourse une proportion constante du capital correspondant à 1/n, où n est la durée de vie totale de lemprunt.
Emprunt remboursable par annuité constante :
Lemprunteur peut souhaiter rembourser son emprunt par annuités constantes, c'est-à-dire allouer une somme constante aux intérêts et aux amortissements.
Emprunt remboursable par coupons 0 :
La valeur quil devra payée à léchéance nest autre que la valeur future de la somme empruntée capitalisée au taux du prêt.
Exercice 4:
Données :
- emprunt : 14,5 millions deuros
- 10 annuités de remboursement
- taux dintérêt : 6%
- les amortissements de lemprunt sont en progression arithmétique croissante de raison k
Relation pour calculer k en fonction de m1, le premier amortissement:
AnnéesRemboursement1
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3
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10m1
m1 + k
m1 +2k
.
m1 + 9k
Hors : V0 = ( des remboursements
Doù : 14,5 = n [m1+m10/2] = [n (2m1+9k)] /2
donc k = 100 000
Première ligne du tableau damortissement :
AnnéeCapital dûIntérêtsAmortissementAnnuité114.50.8711.87
Calcul de la nouvelle annuité :
Données :
la société obtient un nouvel échéancier sur 10 ans pour le solde de la dette,
solde qui sera remboursé par annuités constantes à un taux de 5%
On a: (mi= 5/2 (m1 + m5) = 2,5 (2+0,4) = 6 millions deuros
Calcul du solde : 14,5 - 6= 8,5 millions deuro.
Nouvelle annuité : A = (8,5*5%) / [1- (1,05)-10] = 1,100789 millions deuro.
Exercice 5 :
Le TEG (Taux Effectif Global) dun prêt est un taux annuel, proportionnel au taux de période, à terme échu et exprimé en % monétaire. Dans tous les cas, sont ajoutés aux intérêts les frais, commissions
Le taux période est calculé actuarielle ment En revanche, pour convertir le taux période en taux annuel, on utilise la méthode proportionnelle.
Données :
i = 10%
V=100000 ¬
n =6
a = (V . i )/ [1- (1+i)n ] = 100000 x 0,1 / [1-(1 + 0,1) 6]
a = 22960,74 ¬
Calcul du taux de revient qui égalise : - la somme encaissée
- la valeur du flux
100000 5000 = 22960 + 22960 / [1+TEG]1 + & + 22960 / [1+TEG]5
95000 = 22960 + 22960 x [1 ( 1+TEG )5] / TEG = 3,1374497
Lecture sur table statistique : 17.85 %
Ou par interpolation linéaire :
t = 17,5 %, F(17,5)
t = 18 %, F(18)
17,5 + (18-17,5) [ (3,13 F(17,5) ) / ( F(18) F(17,5) )]
TEG = 17,85 %
On est passé de 10 à 17,85 % car il y a les frais de dossier et intérêts précomptés.
Il faut toujours prendre en compte le TEG pour se rendre compte du coût réel de largent. On se rend compte que le taux est assez élevé.
Exercice 6: Emprunt obligataire remboursable par annuités constantes.
Données :
- valeur nominale : C=200 euros
- valeur démission : E=190 euro
- frais démission par titre : F=1 euro
- durée de lemprunt : n=20ans
- taux dintérêt : i=0.05
Taux effectif pour lemprunteur :
E-F = C.[( i/(1-(1+i)-n)].[1-(1+()-n/( ]
190-1 = 200.[0,05/(1-(1,05)-n)].[1-(1+()-20/(]
11,78 = 1- (1+()-20/(
Par extrapolation linéaire, on obtient :
( = 5,9% ( f(() = 11,95
( = 6% ( f(() = 11,47
( = 0,055 + (0,06-0,055). [(11,78 - 11,95) / (11,47 - 11,95) = 0,057 = 5,7%
Le taux effectif pour lemprunteur est de 5,7%
Taux effectif de rendement de linvestissement réalisé par un obligataire remboursé au pair au second tirage :
190 = [ 200 * 0,05/(1+t) ] + [ 200 * 0,05 + 200/(1+t)2 ]
On pose X = 1/(1+t) doù 210X² + 10X 190 = 0
X = ( -10 ( 99.62 )/ (2 * 210) X1=0,928 donc 1/(1+t) = 0,928
Donc t = 7,8%
Exercice 7: Emprunt remboursable au pair par annuités constantes
Données :
Taux dintérêt nominal : 8,5%
Calcul du cours dachat en pourcentage et en euros
A = (Vo * i) / (1-(1+i)-n ) = (1000*0,085)/ (1- (1,085)-10 ) = 152,40 euros
Actualisation: V = 152,40 * [ 1 - (1+p)-n/p ]=152,40*1 - (1,105)-10/0,105
V = 916,65 euros
En pourcentage: 916,65/1000 = 91,67%
Nombre de titres que lon possède après 2 ans
On cherche u1 :
1000 = u1. [(1+i)n-1/i] = u1.[(1,085)10-1] 0,085
u1 = 67,4 donc 67 titres amortis la première année
u2 = u1 (1+i) = 67,4(1,085) = 73,13 donc 73 titres
1000 - (73+67) = 860 titres
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Anissa CHEKROUN Fabien MATHIEU Patrick BERTHON
Gestion financière MSG 1 TD 3206
