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Agrégation Interne 2002

Corrigé. Exo n°1 : Concours FESIC 1994 (Amplificateur logarithmique & antilogarithmique). A. Principe : 1. ... On a reconnu un redressement simple alternance.




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ORPORER Equation.3 . Le montage de la figure 2 réalise l’opération mathématique : « prendre l’exponentielle ».

B. Applications :
1. Théorème de Millmann sur l’entrée - :  INCORPORER Equation.3 , ce qui donne :
 INCORPORER Equation.3 . Si  INCORPORER Equation.3  : il reste  INCORPORER Equation.3 , & on a un montage sommateur inverseur.

2. On doit réaliser  INCORPORER Equation.3 . Il faut donc réaliser les opérations suivantes :
 INCORPORER Equation.3 , de même  INCORPORER Equation.3 , ces deux tensions étant appliquées à l’entrée d’un sommateur inverseur qui donne :  INCORPORER Equation.3 , tension appliquée à l’ampli exponentiel (ou anti - log) qui délivre la tension :  INCORPORER Equation.3 , d’où le schéma.

 INCORPORER PBrush 
Avec  INCORPORER Equation.3 , on obtient :  INCORPORER Equation.3 . Ce montage réalise l’opération « produit ».

3. On a :  INCORPORER Equation.3 , & (ampli inverseur) :  INCORPORER Equation.3 , & ce montage réalise l’opération mathématique : « prendre la racine carrée ». L’expression obtenue n’a de sens que si  INCORPORER Equation.3 . Si  INCORPORER Equation.3 , il faut remplacer l’ampli inverseur par un ampli non inverseur de gain k > 0 ; alors  INCORPORER Equation.3 .

C. Mesure d’une tension efficace :
1. Pour une tension continue égale à  INCORPORER Equation.3 , la puissance dissipée par effet Joule dans une résistance électrique R vaut :  INCORPORER Equation.3 . La puissance active étant la moyenne temporelle de la puissance instantanée, on a, avec la loi d’Ohm :  INCORPORER Equation.3 , d’où on déduit :
 INCORPORER Equation.3 .

2. On a reconnu un redressement simple alternance. On calcule :
 INCORPORER Equation.3 , d’où on déduit qu’alors  INCORPORER Equation.3  contre  INCORPORER Equation.3  pour un signal purement sinusoïdal.

3. En sortie ouverte,  INCORPORER Equation.3  & on peut appliquer le diviseur de tension. On a donc :
 INCORPORER Equation.3 . On reconnaît un filtre passe-bas du premier ordre. Avec  INCORPORER Equation.3 , on aurait :  INCORPORER Equation.3 . Cas particuliers :
Si  INCORPORER Equation.3  alors  INCORPORER Equation.3 , donc  INCORPORER Equation.3 , sans intérêt ;
Si  INCORPORER Equation.3  alors  INCORPORER Equation.3 . Comme  INCORPORER Equation.3 , le montage a un comportement intégrateur. Donc :  INCORPORER Equation.3 .

4. Le premier élément est un multiplieur, & réalise l’opération  INCORPORER Equation.3 . Si la condition  INCORPORER Equation.3  est réalisée, on a un montage intégrateur donc :  INCORPORER Equation.3 . L’AO est monté en suiveur, donc  INCORPORER Equation.3 , soit :  INCORPORER Equation.3 . Pour que la tension de sortie  INCORPORER Equation.3  soit proportionnelle à la valeur efficace du signal d’entrée, il faut donc extraire la racine, & donc l’élément à compléter correspond au montage de la figure 5. On a ainsi réalisé un montage permettant d’obtenir (à une constante multiplicative près, donc un étalonnage) la valeur efficace d’une tension périodique, quelle que soit sa forme. On a donc réalisé un voltmètre TRMS.

Exo n°2 : Electronique non linéaire.
I. Comparateur :
Comparateur simple :
 INCORPORER PBrush 
Commutation si  INCORPORER Equation.DSMT4 , donc pour  INCORPORER Equation.DSMT4  d’abord, puis pour  INCORPORER Equation.DSMT4 .
B. Comparateur à hystérésis :
DDT sur l’entrée + :  INCORPORER Equation.DSMT4 , sur l’entrée - :
 INCORPORER Equation.DSMT4 . Au départ,  INCORPORER Equation.DSMT4 ,  INCORPORER Equation.DSMT4 ,  INCORPORER Equation.DSMT4  donc  INCORPORER Equation.DSMT4 . ( va s’annuler pour  INCORPORER Equation.DSMT4 , alors VS bascule à - Vsat, ( reste négatif quand Ve augmente jusqu'à + 15 V. Ensuite, Ve diminue,  INCORPORER Equation.DSMT4  s’annule pour  INCORPORER Equation.DSMT4 . Alors VS bascule à + Vsat, ( reste positif &  INCORPORER Equation.DSMT4 , d’où la caractéristique de transfert. Ce montage distinguant l’aller & le retour a la fonction mémoire & s’appelle comparateur à hystérésis.

II. Generateur de signaux carres :
1. DDT sur l’entrée + :  INCORPORER Equation.DSMT4 , en posant  INCORPORER Equation.DSMT4 . Supposons le condensateur chargé, son armature positive étant reliée à l’entrée - de l’AO. Alors  INCORPORER Equation.DSMT4  & s’il se décharge,  INCORPORER Equation.DSMT4  dirigé vers la sortie de l’AO, donc  INCORPORER Equation.DSMT4 , donc :  INCORPORER Equation.DSMT4 . On pose  INCORPORER Equation.DSMT4 , donc  INCORPORER Equation.DSMT4 .
2. Alors :  INCORPORER Equation.DSMT4 . Par intégration, & compte tenu de la condition initiale, on peut écrire :
 INCORPORER Equation.DSMT4 . La commutation a lieu quand  INCORPORER Equation.DSMT4 , soit  INCORPORER Equation.DSMT4 , valeur atteinte à l’instant t1 tel que :  INCORPORER Equation.DSMT4 .
Pour  INCORPORER Equation.DSMT4  (t2 correspondant à la seconde commutation),  INCORPORER Equation.DSMT4  & l’équation différentielle devient :  INCORPORER Equation.DSMT4 .Par intégration :  INCORPORER Equation.DSMT4 . Pour  INCORPORER Equation.DSMT4  (la tension aux bornes du condensateur étant continue) :  INCORPORER Equation.DSMT4 , d’où on déduit que :
 INCORPORER Equation.DSMT4 . Pour  INCORPORER Equation.DSMT4 , ce qui conduit à :
 INCORPORER Equation.DSMT4 . Pour  INCORPORER Equation.DSMT4  (t3 correspondant à la troisième commutation),  INCORPORER Equation.DSMT4  & l’équation différentielle devient :  INCORPORER Equation.DSMT4 . Par intégration :
 INCORPORER Equation.DSMT4 . Pour  INCORPORER Equation.DSMT4  (la tension aux bornes du condensateur étant continue) :  INCORPORER Equation.DSMT4 , d’où :  INCORPORER Equation.DSMT4 . Le basculement a lieu à l’instant t3 tel que :  INCORPORER Equation.DSMT4 .
3. D’où les courbes, en posant  INCORPORER Equation.DSMT4  :
 INCORPORER PBrush 

4. Le premier arc (entre 0 & t1) traduit un vrai régime transitoire, & n’appartient pas à la série périodique. Il en résulte que la période du phénomène (appelé oscillations de relaxation, basculement permanent entre deux états d’équilibre stables) vaut  INCORPORER Equation.DSMT4 , soit :  INCORPORER Equation.DSMT4 .

III. Generateur de signaux TrIangulaires :

1. Le premier AO est un comparateur à hystérésis (donc  INCORPORER Equation.DSMT4 ), le second un ampli inverseur de gain - 1 (donc  INCORPORER Equation.DSMT4 ), le troisième un intégrateur (donc  INCORPORER Equation.DSMT4 ).
2. Il en résulte que :  INCORPORER Equation.DSMT4 .
3. Il faut donner une condition initiale, par exemple le condensateur est déchargé à l’instant t = 0 (donc  INCORPORER Equation.DSMT4 ), &  INCORPORER Equation.DSMT4 . Alors, par intégration :  INCORPORER Equation.DSMT4 . On a alors :  INCORPORER Equation.DSMT4 , & donc la commutation a lieu pour  INCORPORER Equation.DSMT4 . Sur la phase suivante :  INCORPORER Equation.DSMT4 , donc  INCORPORER Equation.DSMT4 . Cette tension (aux bornes d’un condensateur) est continue, d’où :
 INCORPORER Equation.DSMT4 , donc  INCORPORER Equation.DSMT4 . La seconde commutation a lieu pour
 INCORPORER Equation.DSMT4  à l’instant t2, avec  INCORPORER Equation.DSMT4 . D’où l’allure des courbes :
 INCORPORER PBrush 

4. Le premier arc (pour  INCORPORER Equation.DSMT4 ) n’appartient toujours pas à la série, mais comme on a des lois linéaires, les durées des phases sont nécessairement égales. D’où :  INCORPORER Equation.DSMT4 .

IV. Generateur de rampe :
 INCORPORER PBrush 

1. Par rapport au montage précédent : on remplace la résistance R entre les deux derniers AO par la résistance équivalente à l’ensemble (Diode + R’) en parallèle sur R, avec la condition R’ > 1. Soit enfin :  INCORPORER Equation.3 .
Si  INCORPORER Equation.3 .
Si  INCORPORER Equation.3 . Il existe donc un extremum entre les deux.
Si g extremum, X2 extremum : X = 0 redonne les deux asymptotes, donc il reste X2 infini soit :
 INCORPORER Equation.3 , alors  INCORPORER Equation.3 .

7. On a :  INCORPORER Equation.3 , ce qui s’écrit aussi
 INCORPORER Equation.3 , ce qui conduit à l'équation du second degré :  INCORPORER Equation.3 , où l'on a posé  INCORPORER Equation.3 . L'équation est formellement analogue à celle de la question 3, il suffit donc de remplacer Q par Q’. On obtient :
 INCORPORER Equation.3 , puis :  INCORPORER Equation.3 .

AN :  INCORPORER Equation.3   INCORPORER Equation.3 . Comme µo >> 1, Q’ >> Q &  INCORPORER Equation.3 . Le
circuit obtenu est un filtre passe-bande très sélectif . D'où l'allure de la courbe (pas à l'échelle !).










































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Agrégation Interne 2002 Corrigé Exercices d’électronique



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