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TP 4 ? Filtres RC et RL - Intranetetu...

1. Filtre analogique. Question 1 : Equation différentielle. Question 2 ... Ce TP est une application de la théorie du Traitement du Signal à un cas ... Nous allons chercher à caractériser s(t) en fonction de e(t) d'une façon analogique puis numérique. .... Remarque : Nous n'avons jamais discuté, en cours ou en TD de cette ...




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 MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Chapitre d'équation 1 Section 1 SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT  SEQ MTSec \r 1 \h \* MERGEFORMAT  SEQ MTChap \r 1 \h \* MERGEFORMAT Adil BENNIS
Jean-Marc DUFOUR
Viet Hung DOMai 2007
P2009
EE 345 – Traitement du signal
TP 4 – Filtres RC et RL

L’objectif de ce travail est d’étudier la chaîne de traitement associée à des montages électriques simples.



Sommaire

 TOC \h \z \t "Titre 3;2;Titre 4;3;titre 2 numeroté;1"  HYPERLINK \l "_Toc166512933" 1. Travail de préparation  PAGEREF _Toc166512933 \h 2
 HYPERLINK \l "_Toc166512934" 1. Filtre analogique  PAGEREF _Toc166512934 \h 2
 HYPERLINK \l "_Toc166512935" Question 1 : Equation différentielle.  PAGEREF _Toc166512935 \h 2
 HYPERLINK \l "_Toc166512936" Question 2 : Fonction de transfert  PAGEREF _Toc166512936 \h 2
 HYPERLINK \l "_Toc166512937" Question 3 & 4 : Diagramme de Bode et fonction du circuit  PAGEREF _Toc166512937 \h 3
 HYPERLINK \l "_Toc166512938" Question 5 : Réponse impulsionnelle  PAGEREF _Toc166512938 \h 3
 HYPERLINK \l "_Toc166512939" Question 6 : Représentation  PAGEREF _Toc166512939 \h 4
 HYPERLINK \l "_Toc166512940" 2. Filtre numérique  PAGEREF _Toc166512940 \h 4
 HYPERLINK \l "_Toc166512941" Question 1 : Expression de s([n+1]Te)  PAGEREF _Toc166512941 \h 5
 HYPERLINK \l "_Toc166512942" Question 2 : Algorithme de calcul  PAGEREF _Toc166512942 \h 5
 HYPERLINK \l "_Toc166512943" Question 3 : Représentation graphique  PAGEREF _Toc166512943 \h 5
 HYPERLINK \l "_Toc166512944" Question 4 : Fonction de Transfert en z  PAGEREF _Toc166512944 \h 6
 HYPERLINK \l "_Toc166512945" Question 5 : Interprétation Graphique  PAGEREF _Toc166512945 \h 6
 HYPERLINK \l "_Toc166512946" 2. Partie pratique  PAGEREF _Toc166512946 \h 6
 HYPERLINK \l "_Toc166512947" 1. Application sur Matlab  PAGEREF _Toc166512947 \h 6
 HYPERLINK \l "_Toc166512948" Question 1 : Signaux  PAGEREF _Toc166512948 \h 6
 HYPERLINK \l "_Toc166512949" Question 2 : Synthèse du filtre  PAGEREF _Toc166512949 \h 7
 HYPERLINK \l "_Toc166512950" Question 3 : Réponses des signaux  PAGEREF _Toc166512950 \h 7
 HYPERLINK \l "_Toc166512951" Question 4 : Spectre de la réponse impulsionnelle  PAGEREF _Toc166512951 \h 7
 HYPERLINK \l "_Toc166512952" Question 5 : Filtre RL  PAGEREF _Toc166512952 \h 10
 HYPERLINK \l "_Toc166512953" 2. Echantillonnage et représentation spectrale  PAGEREF _Toc166512953 \h 12



Introduction

Ce TP est une application de la théorie du Traitement du Signal à un cas concret. Nous étudierons deux montages simples de l’électronique analogique : un circuit RC et un circuit RL, qui forment chacun un filtre analogique.
Ces études se distingueront en deux parties : l’une théorique où l’analyse analogique du filtre sera faite et l’autre pratique où le filtre sera numériquement réalisé avec le logiciel Matlab.


Travail de préparation

Le montage que l’on propose est un circuit RC :
 EMBED Visio.Drawing.11 
Nous allons chercher à caractériser s(t) en fonction de e(t) d’une façon analogique puis numérique.



Filtre analogique

Question 1 : Equation différentielle.
D’après la loi des mailles, on a :
 EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 
Or la relation dans un condensateur est :  EMBED Equation.DSMT4 
Donc :
 EMBED Equation.DSMT4 

L’équation différentielle du circuit est donc :
 EMBED Equation.DSMT4 


Question 2 : Fonction de transfert
Passons l’équation différentielle dans l’espace de Fourier :
 EMBED Equation.DSMT4 
Donc :
 EMBED Equation.DSMT4 

D’où la fonction de transfert :
 EMBED Equation.DSMT4 


Question 3 & 4 : Diagramme de Bode et fonction du circuit

On trace le diagramme de Bode de notre système à l’aide de Matlab :

On reconnaît bien un filtre passe-bas du premier ordre, comme on pouvait le reconnaître avec sa fonction de transfert. En effet, un filtre passe-bas à une équation du type :
 EMBED Equation.DSMT4 , où  EMBED Equation.DSMT4 est la fréquence de coupure du filtre, à partir de laquelle le signal est atténué.

Ici,  EMBED Equation.DSMT4 .


Question 5 : Réponse impulsionnelle

Déterminons la réponse impulsionnelle du système.
Pour cela, on calcule la transformée de Fourier de EMBED Equation.DSMT4 , où u(t) est un échelon.
 EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4  Qui est la fonction d’un filtre passe-bas.


La réponse impulsionnelle d’un filtre passe-bas est donc une exponentielle négative.



Question 6 : Représentation

On trace maintenant la réponse impulsionnelle calculée par Matlab :

On voit que cette réponse est une fonction du type  EMBED Equation.DSMT4 , ce qui correspond à nos calculs.




Filtre numérique


Dans cette partie, la variable temps est discrétisée et est représentée sous la forme  EMBED Equation.DSMT4 
Nous continuons notre étude dans le but de trouver un modèle de notre système.

Question 1 : Expression de s([n+1]Te)

L’équation  EMBED Equation.DSMT4  devient  EMBED Equation.DSMT4 

Or on sait que :
 EMBED Equation.DSMT4 

Donc l’équation se simplifie :
 EMBED Equation.DSMT4 

D’où  EMBED Equation.DSMT4 
Dans la suite, on appellera  EMBED Equation.DSMT4 et  EMBED Equation.DSMT4 .
Donc  EMBED Equation.DSMT4 


Question 2 : Algorithme de calcul

On peut écrire l’algorithme suivant, qui reprend l’équation aux récurrences énoncée ci-dessus, et qui sera implémenté plus tard sous Matlab :
function s=filtreRC(e)
%Conditions initiales
s(1)=0;
%Parametres
fc=1000;
RC=1/(2*pi*fc);
Te=1/44100;
n=length(e);
%Calcul
for i=1:n-1
s(i+1)=(-(Te/RC-1))*s(i) + e(i)*(Te/RC);
end
end


Question 3 : Représentation graphique

Ce calcul peut être représenté par un système automatique comme celui-ci :



Question 4 : Fonction de Transfert en z

On rappelle que :
 EMBED Equation.DSMT4 

Lorsque l’on passe en z :
 EMBED Equation.DSMT4 

Donc :
 EMBED Equation.DSMT4 

D’où la fonction de transfert en z,  EMBED Equation.DSMT4 

Pour respecter la convergence, et donc la stabilité du système, il faut que les pôles (les racines du dénominateur) soient compris dans le cercle unité. Il faut donc que l’on ait  EMBED Equation.DSMT4 .

Question 5 : Interprétation Graphique

Pour interpréter graphiquement la fonction de transfert en z, il faut l’analyser en prenant z comme l’affixe d’un point complexe parcourant le cercle unité :  EMBED Equation.DSMT4 .

On écrit alors la fonction de transfert comme le quotient de deux polynômes :
 EMBED Equation.DSMT4 . Les racines de B sont appelées les zéros de H et les racines de A ses pôles.

La réponse en fréquence peut être obtenue quand le point M, d’affixe z, parcourt le cercle unité :

La phase de H(f) est l’angle indiqué ici en orange, entre les pôles et les zéros, de base M.
Son module est l’inverse de la distance PM.

La réponse en fréquence du filtre est donc :

Les fréquences faibles ne sont pas beaucoup amplifiées alors que les fréquences fortes le sont. C’est donc bien un filtre passe-bas.


Remarque : Nous n’avons jamais discuté, en cours ou en TD de cette méthode pour faire le lien entre espace des z et espace des fréquences.
NB : Les illustrations proviennent du cours d’Y. DUROC sur les liens entre Tz et TF.


Question 6 : Réponse impulsionnelle causale

Nous allons calculer la transformée en z inverse de H(z) pour trouver la réponse impulsionnelle causale du système :
 EMBED Equation.DSMT4 
Donc
 EMBED Equation.DSMT4 

Le domaine de convergence est les couples de valeurs telles que la somme des h(n) soit absolument convergente.

Il nous faut donc  EMBED Equation.DSMT4 absolument convergente.
Or la règle de d’Alembert nous affirme que cette somme converge si et seulement si  EMBED Equation.DSMT4 

Nous avons  EMBED Equation.DSMT4 .

Il faut donc choisir a et b tels que :
 EMBED Equation.DSMT4 


Question 7 : Vérification du résultat obtenu

Le cours, comme la littérature, indique qu’un autre moyen de calculer la réponse impulsionnelle causale est de calculer l’intégrale de la Tz avec la méthode des résidus. N’ayant jamais entendu parler outre mesure de cette méthode, nous ne nous risquerons pas à faire ce calcul ici.


Partie pratique

Application sur Matlab

Question 1 : Signaux

Nous générons trois signaux :
une impulsion parfaite
un échelon retardé
une sinusoïde de fréquence 1200Hz

Chacun de ces signaux est échantillonné à 44,1 kHz sur 500 échantillons.
Leur représentation se trouve à la question 3.
Question 2 : Synthèse du filtre

Le filtre est réalisé comme une fonction Matlab. Le script est exactement celui de la question 2 de la partie 1.2.
On veut une fréquence de coupure à 1kHz. Or on a vu que  EMBED Equation.DSMT4 .
On prendra donc :  EMBED Equation.DSMT4 
Question 3 : Réponses des signaux

Nous appliquons au filtre les trois signaux générés plus haut.
Voici leurs réponses  :

On voit bien que la réponse impulsionnelle est une exponentielle, ce qui concorde avec les résultats théoriques. De plus, il s’agit de la courbe de charge d’un condensateur, ce qui est effectivement le cas (puisque nous étudions la tension aux bornes d’un condensateur dans un circuit RC).

On voit également que les autres signaux sont atténués car leurs fréquences sont au dessus de la fréquence de coupure, 1000Hz.


Question 4 : Spectre de la réponse impulsionnelle

Regardons maintenant les résultats dans l’espace des fréquences.

Spectre en linéaire :
On voit nettement que les deux courbes sont similaires.

On voit en zoomant que le spectre du signal filtré est tout de même un peu atténué.


Spectre en décibels :

On voit là une nette différence. En effet, le spectre du signal d’entrée est constant car il ne comporte pas de fréquences : il s’agit d’une brusque variation seule.
Le spectre du signal filtré par contre, est la caractéristique du filtre. On constate alors qu’il s’agit effectivement d’un filtre passe-bas.

Sa fréquence de coupure est 1kHz=10 EMBED Equation.DSMT4  Hz. C’est pour cela que la courbe descend à partir du point noté 3 en échelle logarithmique des fréquences.

La remontée à environ 20kHz est due à l’échantillonnage. On a vu dans les TP précédents qu’un signal échantillonné est très différent du signal parfait théorique, qui n’existe pas, que nous devrions avoir. Ici, cela se traduit par cette incongruité au niveau du spectre. Elle signifie que les fréquences au delà de 20kHz ne seront pas atténuées. En vérité, on ne doit pas avoir un signal comportant ces fréquences puisqu’alors le théorème de Shannon ne serait pas vérifié.

Le spectre sur le domaine étudié est donc exactement celui auquel nous nous attendions.
Nous avons synthétisé un filtre passe-bas de fréquence de coupure 1kHz.


Question 5 : Filtre RL

Suivant le même raisonnement, nous synthétisons un filtre Rl. Voici son algorithme :
function s=filtreRL(e)
%Conditions initiales
s(1)=0;
%Paramètres
L=0.001;
f0=5000;
R=2*pi*L*f0;
Te=1/44100;
n=length(e);
%Calcul
for i=1:n-1
s(i+1)=e(i+1)-e(i)-(Te*R - L)*s(i)/L;
end
end

Nous sommes partis d’un circuit RL :
 EMBED Visio.Drawing.11 
L’équation différentielle est :
 EMBED Equation.DSMT4 

Donc, lorsque l’on échantillonne les signaux :
 EMBED Equation.DSMT4 
D’où l’équation aux récurrences :
 EMBED Equation.DSMT4 

C’est cette équation que nous implémentons dans l’algorithme.

La fonction de transfert qui en découle est :
 EMBED Equation.DSMT4 avec  EMBED Equation.DSMT4 , qui est la fonction d’un filtre passe haut.


Voici les réponses des signaux :

On a bien, comme attendu, une réponse impulsionnelle en exponentielle descendante et des signaux atténués. On remarque que le sinus est très atténué car sa fréquence est inférieure à la fréquence de coupure (1200Hz < 5kHz).

Regardons maintenant le spectre :
On a le spectre d’un filtre passe-haut, où la fréquence de coupure est à 5kHz (log(5000)=3,7).



Echantillonnage et représentation spectrale

Considérons un signal audio dont le spectre s’étend sur l’intervalle EMBED Equation.DSMT4 .
On le représentera comme suit :
 EMBED Visio.Drawing.11 

Question 1 : Quelle doit être la fréquence d’échantillonnage pour obtenir un espacement de 6kHz entre deux motifs consécutifs du spectre du signal échantillonné à cette fréquence.

On sait que lorsque l’on échantillonne un signal, en respectant bien sur le théorème de Shannon, son spectre est répété indéfiniment tous les  EMBED Equation.DSMT4 .
Ainsi, le spectre théorique du signal échantillonné ressemble à ceci :
 EMBED Visio.Drawing.11 

L’intervalle entre deux motifs consécutifs du spectre est donc EMBED Equation.DSMT4 .
On veut EMBED Equation.DSMT4 . Donc on doit choisir  EMBED Equation.DSMT4 

26kHz est la fréquence d’échantillonnage pour obtenir un espacement de 6kHz entre deux motifs consécutifs du spectre.


Question 2 : Avec cette fréquence d’échantillonnage, dans le cas d’un calcul de Transformée de Fourier Discrète, quel est le nombre d’échantillons N nécessaires pour obtenir un pas fréquentiel de 100Hz ?

Lors d’un calcul de Transformée de Fourier Discrète, on calcule le spectre du signal sur N échantillons temporels et on obtient N échantillons fréquentiels sur l’intervalle EMBED Equation.DSMT4 .
On veut que l’espacement de deux points consécutifs, qui sont tous régulièrement espacés, soit de 100Hz.

On veut donc que EMBED Equation.DSMT4 . D’où  EMBED Equation.DSMT4 

Il faut 260 points pour obtenir un incrément fréquentiel de 100Hz à 26kHz.


Question 3 : La valeur de N est-elle compatible avec l’usage de l’algorithme rapide FFT ?

La valeur de N trouvée n’est pas compatible avec l’algorithme de Transformée de Fourier Rapide tel que nous le connaissons. En effet, cet algorithme suit le principe récursif de « Diviser pour régner » et divise le problème de taille  EMBED Equation.DSMT4  en deux sous-problèmes de taille EMBED Equation.DSMT4 .

Il faut donc que N soit une puissance de 2.

Il existe des versions de l’algorithme de la FFT, tel que celle contenue dans MATLAB, qui calcule le spectre du signal quelque soit le nombre d’échantillons. Elles suppriment probablement autant d’échantillons qu’il faut pour obtenir une puissance de 2. Mais celle que nous connaissons ne le fait pas.


Question 4 : Le cahier des charges étant le suivant : espacement entre deux motifs consécutifs : 6 kHz à 10% ; incrément fréquentiel maximum 100Hz, quel nombre d’échantillons préconiseriez vous et pourquoi ? Quelle est alors la fréquence d’échantillonnage ?

Nous voulons un espacement entre deux motifs consécutifs de 6kHz à 10%.
Cela correspond à une fréquence d’échantillonnage de 26kHz à 10%.
On doit avoir  EMBED Equation.DSMT4 

On veut un incrément fréquentiel maximum de 100Hz. On peut alors prendre 256 échantillons, qui sont une valeur correspondant au calcul de la FFT et la fréquence d’échantillonnage serait donc 25,6kHz.

Mais rien ne nous oblige à se contenter de ce cas car nous n’avons pas d’incrément fréquentiel minimum. On pourrait très bien décider d’échantillonner beaucoup plus, et donc d’avoir un signal numérique beaucoup plus fidèle de la réalité.

Prenons par exemple  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 . Nous avons alors un pas fréquentiel de 6,83Hz.

Remarque : Le sujet précise « temps de calcul minimum » sans pour autant préciser de valeur. C’est cette condition qui nous empêche de pouvoir choisir n’importe quel N, car l’on veut que le calcul de la FFT soit fait dans un temps raisonnable.
L’algorithme de la FFT ayant une complexité en  EMBED Equation.DSMT4 , on pourrait calculer le nombre d’échantillons maximum pour un temps minimum donné et cela réduirait nos valeurs possibles pour N.


Question 5 : Quelle précaution généralement prise en compte avant d’effectuer un échantillonnage n’a pas été abordée dans cette partie ?

Outre le théorème de Shannon qui n’a pas été explicitement abordé dans cet exercice, sauf à la première question, la précaution dont il est question est un filtre anti-repliement, qui est un filtre analogique passe–bas de fréquence de coupure  EMBED Equation.DSMT4 , qui élimine les fréquences parasites dues aux erreurs d’acquisition du signal original.

Ce filtre permet d’éviter la dégradation du spectre et donc du signal échantillonné.



Conclusion

Ce TP nous a permis d’appliquer concrètement les connaissances et le savoir-faire acquis en Traitement du Signal (que ce soit en cours, TD, TP) dans un exemple parlant, puisque l’électronique simple fait partie du cursus de notre cycle préparatoire. Nous avons donc pu nous rendre compte de l’utilité du TDS et des risques que comporte l’échantillonnage.









Jean-Marc DUFOUR EE345 – TP4 Mai 2007
Adil BENNIS
Viet Hung DO P2009



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