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CORRIGÉ UE 3 - MANAGEMENT ET CONTRÔLE DE GESTION ... l'expérience et
de parts de marché dans un domaine nouveau (diversification intégrale) ; .....
Enfin, les données sont fournies sur un exercice, il faudrait vérifier leur
récurrence ...
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Université de Caen
Master I de PhysiqueTD 2013
TD n°2 Approximation de Born et sections efficaces
Potentiels de Yukawa et coulombien
A. Fonction d'onde diffusée :
Laplacien de EMBED Equation.3 :
Montrer, en utilisant un parallélépipède rectangle de dimensions dx, dy et dz, que EMBED Equation.3 , f étant un champ de scalaires, V le volume du parallélépipède, et S sa surface.
Soit une sphère de rayon r = (, et EMBED Equation.3 une fonction d'expression EMBED Equation.3 à l'extérieur de cette sphère. Soit f une fonction lentement variable entre 0 et (.
Montrer que EMBED Equation.3 (On rappelle que, EMBED Equation.3 si r ( 0).
En déduire que EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 étant la distribution de Dirac.
Fonctions de Green :
Soient u et v deux fonctions des variables x, y et z. Développer EMBED Equation.3 .
En utilisant le résultat de la question 1., calculer EMBED Equation.3 .
Nous cherchons des fonctions EMBED Equation.3 solutions de l'équation EMBED Equation.3 . Montrer que EMBED Equation.3 convient ( EMBED Equation.3 est appelée fonction de Green). Il est rappelé que EMBED Equation.3
Equation intégrale de la diffusion :
Dans la suite de l'exercice, nous n'utilisons que la fonction EMBED Equation.3 . Soit EMBED Equation.3 une solution de l'équation EMBED Equation.3 . Montrer que toute fonction EMBED Equation.3 qui vérifie EMBED Equation.3 est solution de l'équation EMBED Equation.3 .
En déduire une expression générale de la fonction d'onde diffusée EMBED Equation.3 en choisissant judicieusement EMBED Equation.3 .
Soit M un point (position r) très éloigné de points P (position r') de la zone de potentiel, dont les dimensions linéaires sont de l'ordre de L.
Montrer que EMBED Equation.3 , avec EMBED Equation.3 .
En déduire l'expression de l'amplitude de diffusion EMBED Equation.3 .
B. Approximation de Born Applications :
Approximation de Born :
La fonction d'onde diffusée s'écrit EMBED Equation.3 .
Ecrire de la même manière EMBED Equation.3 en fonction de EMBED Equation.3 et en déduire EMBED Equation.3 en fonction de EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 .
Le potentiel U étant une perturbation, on se limite au 1er ordre en U. Que devient la fonction d'onde diffusée, en fonction de EMBED Equation.3 ?
Amplitude de diffusion et section efficace :
Ecrire l'amplitude de diffusion en fonction de V, défini par EMBED Equation.3 , et de EMBED Equation.3 .
En déduire l'expression de la section efficace de diffusion.
Application à quelques potentiels :
Potentiel de Yukawa :
Le potentiel de Yukawa est défini par EMBED Equation.3 , ( et Vo étant des constantes positive. Réécrire l'expression de EMBED Equation.3 .
Quelle est l'expression de d3r en coordonnées sphériques ?
Montrer que EMBED Equation.3 (on admettra que EMBED Equation.3 )
Montrer que EMBED Equation.3
Potentiel coulombien :
Dans le cas d'un potentiel coulombien, quelles sont les valeurs de ( et Vo ?
Que deviennent les expressions de EMBED Equation.3 et de EMBED Equation.3 ?
Diffusion par une barrière de potentiel :
La barrière de potentiel est définie ainsi : si r > ro, V = 0 ; si r < ro, V = Vo. En s'inspirant de la question 1., calculer EMBED Equation.3 .
En déduire la section efficace de diffusion.
Déterminer la section efficace de diffusion dans le cas EMBED Equation.3 .
Solutions
A. Fonction d'onde diffusée :
I. Montrer que EMBED Equation.3 :
Montrer que EMBED Equation.3 :
Pour simplifier, nous allons prendre un parallélépipède rectangle de dimensions dx, dy et dz (Figure 1).
Figure 1
Calculons EMBED Equation.3 sur la surface fermée :
sur les deux surfaces hachurées, EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Le calcul s'effectue de la même manière sur les quatre autres faces. Il faut sommer toutes les contributions.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Soit une sphère de rayon r = (, et g une fonction d'expression EMBED Equation.3 à l'extérieur de cette sphère. Soit f une fonction lentement variable entre 0 et (.
Montrer que EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 si r ( 0
EMBED Equation.3 puisque entre ( et l'infini, EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Figure 2
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
En déduire que EMBED Equation.3 :
L'égalité précédemment démontrée peut s'écrire aussi EMBED Equation.3
or EMBED Equation.3 donc EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
II. Fonction de Green :
Soient u et v deux fonctions des variables x, y et z. Développer EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Les expressions de EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 se déduisent de la précédente par permutation circulaire :
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Finalement,
EMBED Equation.3
En utilisant le résultat de la question 1, calculer EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3
Cela fait quatre termes à calculer :
( 1er terme :
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
( 2nd terme :
EMBED Equation.3
( 3ème terme :
EMBED Equation.3
( 4ème terme :
EMBED Equation.3
Finalement,
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Nous cherchons des fonctions EMBED Equation.3 solutions de l'équation EMBED Equation.3 . Montrer que EMBED Equation.3 convient ( EMBED Equation.3 est appelée fonction de Green) :
EMBED Equation.3
Conclusion :
EMBED Equation.3 avec EMBED Equation.3
III. Équation intégrale de la diffusion :
1. Solution de l'équation EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 n'agit que sur la variable r :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
2. Expression générale de la fonction d'onde diffusée :
Pour la diffusion EMBED Equation.3
posons k = ki :
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
3.1. Montrer que EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
3.2. Expression de l'amplitude de diffusion :
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 si l'on pose
EMBED Equation.3
B. Approximation de Born applications :
Approximation de Born :
EMBED Equation.3 en fonction de EMBED Equation.3 et en déduire EMBED Equation.3 en fonction de EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3
donc
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
U perturbation Fonction d'onde diffusée, en fonction de EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Amplitude de diffusion et section efficace :
EMBED Equation.3
or EMBED Equation.3
donc
EMBED Equation.3
La section efficace est donnée simplement par le module au carré de l'amplitude de diffusion :
EMBED Equation.3
Application à quelques potentiels :
Potentiel de Yukawa :
Amplitude de diffusion :
EMBED Equation.3
donc
EMBED Equation.3
Elément de volume :
En coordonnées sphériques,
EMBED Equation.3
Amplitude de diffusion :
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Calculons l'intégrale I entre parenthèses :
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
donc
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Section efficace :
EMBED Equation.3
Comme l'indique la figure ci-contre, (k se calcule aisément, sachant que les normes de ki et kf sont égales, puisque l'on a affaire à une diffusion élastique :
EMBED Equation.3
donc
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Potentiel coulombien :
Le potentiel coulombien est caractérisé par EMBED Equation.3 et ( = 0. La section efficace de diffusion devient :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 d'où EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
La section efficace tend vers l'infini lorsque l'angle tend vers 0. Cela signifie qu'un potentiel purement coulombien n'est pas réaliste.
Regardons l'ordre de grandeur de la section efficace. Pour cela, prenons l'exemple de la collision He + He à une énergie de projectile de 1 keV dans le centre de masse :
EMBED Equation.3 = 2
EMBED Equation.3 ( 8.54 10-55
EMBED Equation.3 ( 8.54 EMBED Equation.3 10-55 (
EMBED Equation.3
L'allure de la courbe est donnée dans la Figure 2 :
EMBED Origin50.Graph
Figure 2
Barrière de potentiel :
si r > ro, V = 0 ; si r < ro, V = Vo.
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Calculons EMBED Equation.3 en utilisant l'intégration par parties :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
A la limite où EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3
L'amplitude de diffusion ne dépend pas du transfert de moment.
EMBED Equation.3
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fonction de Green
Amplitude de diffusion
