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TD 2 : Fonction d'utilité, aversion pour le risque et dominance stochastique (2).
Exercice 6 : Un agent, dont ..... Intégrale de la fonction de répartition. A. 0. 0. 0. 0.
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TD 2 : Fonction dutilité, aversion pour le risque et dominance stochastique (2)
Exercice 6 :
Un agent, dont le comportement face au risque peut être représenté par une fonction dutilité logarithmique, possède un capital de 20 000 euros quil peut placer dans un actif A ou dans un actif B. A chaque actif correspond un type de risque différent :
( actif A : ( 50 % de chance de gagner 10 euros,
( 50 % de perdre 10 euros;
( actif B : ( 80 % de chance de gagner 1 000 euros,
( 20 % de perdre 10 000 euros;
On a : EMBED Equation.2 où EMBED Equation.2 est la richesse finale et EMBED Equation.2 laléa sur lactif i, pour i = [A, B].
La mesure de Arrow-Pratt de la prime de risque EMBED Equation.2 est telle que : EMBED Equation.2 où EMBED Equation.2 est la variance de la variable aléatoire EMBED Equation.2 .
On rappelle que la mesure EMBED Equation.2 de Markowitz est telle que : EMBED Equation.2
a) Calculez et comparez les primes de risque EMBED Equation.2 et EMBED Equation.2 de lagent pour lactif A.
b) Effectuez de même avec lactif B. Commentez.
Correction :
Actif A.
E(Z) = 0,5*(10) + 0,5*(-10)= 0.
ln(20 000 + 0- EMBED Equation.3 ) = 0,5* ln(20 000 - 10) + 0,5* ln(20 000 + 10)
doù EMBED Equation.3 = 0,0025 (Markowitz)
Maintenant on calcule lindicateur local à partir de la formule approximative :
EMBED Equation.3 = 0,5*(10- 0)2 + 0,5*(-10 - 0)2= 102.
AA(W+E(Z)) = 1/20 000.
EMBED Equation.3 = 0,5*102 * 1/20 000 = 0,0025 (Arrow-Pratt)
Actif B.
E(Z) = 0,8*(1000) + 0,2*(-10 000)= -1200.
ln(20 000 -1200- EMBED Equation.3 ) = 0,8* ln(20 000 + 1 000) + 0,2* ln(20 000 10 000)
doù EMBED Equation.3 = 695,96 (Markowitz)
Maintenant on calcule lindicateur local à partir de la formule approximative :
EMBED Equation.3 = 0,8*(1 000 + 1200)2 + 0,2*(-10 000 +1200)2= 25 120 000.
AA(W+E(Z)) = 1/20 000.
EMBED Equation.3 = 0,5*25 120 000* 1/18 800 = 668,0851 (Arrow-Pratt)
On voit que pour un petit risque (A) lindicateur local dArrow-Pratt est proche à lindicateur global. Pour un risque comparable avec la richesse les indicateurs divergent.
Exercice 8 :
Deux investisseurs, souhaitant placer 10 000 euros chacun, doivent choisir parmi six fonds dinvestissements dont les distributions des rendements passés sont indiquées dans le tableau page suivante.
a) Ordonnez les six fonds en fonction du critère « espérance-variance ».
b) Comparez le précédent ordre avec celui issu des critères de dominance stochastique.
c) Le premier investisseur est averse au risque. Quel sera son choix ?
d) Si vous naviez aucun renseignement sur laversion pour le risque du second investisseur, quel serait votre conseil de placement pour celui-ci ?
Probabilité que le rendement (en % annuel), soit égal à :Fonds- 2-101234567891011121314A-------0.40.20.20.2------B0.1-0.10.1-0.10.10.10.10.10.10.1-C------0.20.20.20.20.2------D-0.2--0.2---0.10.1-0.10.1---0.2E-------0.4-0.6-------F-0.2--0.2---0.10.1-0.10.1--0.10.1Correction :
Probabilité que le rendement (en % annuel), soit égal à :Fonds-2%-1%01%2%3%4%5%6%7%8%9%10%11%12%13%14%A00000000,40,20,20,2000000B0,100,10,100,10,10000,100,10,10,10,10C0000000,20,20,20,20,2000000D00,2000,20000,10,100,10,10000,2E00000000,400,60000000F00,2000,20000,10,100,10,1000,10,1
Fonction de répartitionA00000000,40,60,81111111B0,10,10,20,30,30,40,50,50,50,50,60,60,70,80,911C0000000,20,40,60,81111111D00,20,20,20,40,40,40,40,50,60,60,70,80,80,80,81E00000000,40,411111111F00,20,20,20,40,40,40,40,50,60,60,70,80,80,80,91Intégrale de la fonction de répartitionA00000000,411,82,83,84,85,86,87,88,8B0,10,20,40,711,41,92,42,93,444,65,36,1789C0000000,20,61,223456789D00,20,40,611,41,82,22,73,33,94,65,46,277,88,8E00000000,40,81,82,83,84,85,86,87,88,8F00,20,40,611,41,82,22,73,33,94,65,46,277,98,9
Calculs pour MV :
FondsE(Rent)Ecart- type *102Rang EspéranceRang VarianceA6,20%1,1661932B6,00%5,1807364C6,00%1,4282953D6,20%5,3254116E6,20%0,9798011F6,10%5,1865245
a, b)
ABCDEFCritèreA >>>MV ->---DS1 >>>DS2B*CJhj
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Covariance entre les rendements de deux portefeuilles :
Cov(A,B) = Cov(aX+(1-a)Y, (1-a)X+aY) =
a Cov(X, (1-a)X+aY) + (1-a) Cov(Y, (1-a)X + aY) = &
Exercice 15 :
Espérance de rendement :
E(R1) = £ pi.Ri
V(R1) = £ pi.[Ri-E(R)]²
De même pour le titre 2.
Exercice 16 :
Calculer les rendements espérés et les variance de X puis de Y (Y vient en déduction de X étant donné la corrélation entre les deux)
Poser alors V(P) = 0 où V(P) est la variance du portefeuille recherché.
V(P) = Var (a.X + (1-a)Y)
V(P) = Var (a.X + (1-a).(6+0.2X))
à développer
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