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est appelé objet logique ou variable binaire

Comportement combinatoire ou séquentiel d'un objet logique ... Définition : L'état de la variable de sortie S de l'opérateur logique OUI est égal à l'état de la ...




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bouton poussoir s2, on écrit :

H = s1 + s2

H = s1 + s2 Schéma électrique correspondant :
est l'équation logique de la variable de sortie H
en fonction des variables d'entrées s1 et s2
H = f(s1,s2)


Comportement combinatoire ou séquentiel d'un objet logique
Exemple 1: reprendre l'exemple ci-dessus
Description du fonctionnement : le voyant H ne s'allumera que si l'on appuie sur le bouton s1 ou sur le bouton s2.
Chronogramme :








L'état de H ne dépend que de l'état des variables d'entrée s1 et s2 ( H = f(s1,s2)
Dans cet exemple, le voyant H est un objet à comportement combinatoire : le même état de s1 ou de s2 entraîne toujours le même état de H.

Exemple 2 : Chronogramme :

L'état de H dépend de l'état de la variable d'entrée s1 et de l'état précédent du système.
Dans ce deuxième exemple, le voyant H est un objet à comportement séquentiel : le même état de s1 n' entraîne pas toujours le même état de H.

Résumé :

Traitement combinatoire : L'état de la sortie est directement et seulement fonction de l'état de la ou des entrées.


Traitement séquentiel :
L'état de la sortie est fonction :
de l'état des entrées (e1,e2,…)
et de l'état antérieur du système (X)

Les opérateurs logiques combinatoires

Les opérateurs logiques de base

L'opérateur OUI

Définition : L'état de la variable de sortie S de l'opérateur logique OUI est égal à l'état de la variable d'entrée.



L'opérateur NON

Définition : L'état de la variable de sortie S de l'opérateur logique NON est le complément logique de l'état de la variable d'entrée.


L'opérateur OU

Définition : L'état de la variable de sortie S de l'opérateur logique OU est à l'état logique 1 si et seulement si au moins une de ses variables d'entrée est à l'état logique 1.


L'opérateur ET

Définition : L'état de la variable de sortie S de l'opérateur logique ET est à l'état logique 1 si et seulement si toutes ses variables d'entrée est à l'état logique 1.


Le théorème de DE MORGAN

Le complément d'une somme est égal au produit de chaque terme complémenté

Le complément d'un produit est égal à la somme de chaque terme complémenté





Les opérateurs logiques dérivés

L'opérateur OU EXCLUSIF

L'opérateur INHIBITION

L'opérateur NON OU ( NOR)


L'opérateur NON ET ( NAND)



Les propriétés des opérateurs logiques de base

Ces propriétés sont démontrées en théorie des ensembles et en algèbre de Boole (George Boole (1815-1864) : mathématicien britannique, fut l'un des fondateurs de la logique mathématique moderne).

L' associativité

a . b . c = (a . b) . c = a . (b . c)
a + b + c = (a + b) + c = a + (b +c)

La commutativité

a . b = b . a
a +b = b + a

La distributivité

a + (b . c) = (a + b) . (a + c)
a . (b + c) = (a . b) + (a . c)

Propriétés particulières























Théorème de De Morgan

Le complément d'une somme est égal au produit de chaque terme complémenté

Le complément d'un produit est égal à la somme de chaque terme complémenté

Equation logique d'un circuit

Rechercher les équations logiques des circuits suivants :




H1 = a b + a b


H2 = ( a + b ) (c + d )


H3 = ( a + c ) b + c . d


KA = s0 ( s1 + ka )




KM = s1 + ( s0 . km )
Schéma logique d'un circuit

Etablissez les schémas relatifs aux équations suivantes :





H1 = a + b c




H2 = (a + b +c ). d



KA = s1 . s2 . ( s3 + ka )



KM = s0 . ( s1 . s2 + km )
Simplification des équations logiques
Simplifications algébriques

Exemple 1 : salle de cinéma

Les 3 haut-parleurs d’une salle de cinéma (a, b, c) sont branchés sur un amplificateur à deux sorties :
- une sortie d’impédance 4 ( (sortie S4)
- une sortie d’impédance 8 ( (sortie S8)

Un seul haut-parleur à la fois peut être relié à la sortie S8.
Deux haut-parleurs à la fois peuvent être reliés à la sortie S4.
Le fonctionnement simultané des trois haut-parleurs est interdit.

Compléter la table de vérité, en déduire les équations de S4 et S8 et les simplifier.

abcS4S80000000101010010111010001101101101011100
Exemple 2 : serrure de coffre

Quatre responsables ( A, B, C et D) d'une société peuvent avoir accès a un coffre. Ils possèdent chacun une clé différente (a, b, c et d).

Mode de fonctionnement de l'ouverture du coffre:

le responsable A ne peut ouvrir le coffre qu'en présence du responsable B ou du responsable C.
les responsables B, C et D ne peuvent ouvrir le coffre qu'en présence d'au moins deux des autres responsables.

Rechercher l'équation logique de la serrure ( sortie S) en fonction des clés (entrées a, b, c et d) et la simplifier.

S =/abcd + a/bc/d + a/bcd + ab/c/d + ab/cd + abc/d + abcd
a/bc ab/c abc
S = /abcd + a/bc + ab/c + abc /abcd + ac + ab/c c(a + /abd) + ab/c c(a + bd) + ab/c ac + bcd + ab/c a(c + b/c) + bcd
simplifications des équations logiques par la méthode de KARNAUGH

Principe : voir la fiche référence "simplification des équations logiques"
Exercices :
Simplifier les équations logiques suivantes :
algébriquement
avec un tableau de Karnaugh


S = /a.b.c + a.b.c
Simplification algébrique : S = ( /a + a) bc

Simplification avec tableau de karnaught : ab



c



S = /a./b +/a./b.c + /a.b.c
Simplification algébrique : S = /a /b + /a c (b + /b) S = /a /b + /a c

Simplification avec tableau de karnaught : ab



c



S = /a.b./c + /a.b + a.b.c + a.b./c + a./b.c
Simplification algébrique :
S = b (/a /c + /a + ac + a /c) + a /b c
= b (/a /c + /a + a ) + a /b c
= b ( /a /c + /a + a ) + a /b c
= b ( /a (1+/c) + a ) + a /b c
= b ( /a + a ) + a /b c
= b + /bac
S = b + ac



Simplification avec tableau de karnaught : ab




 c
S = /a./b./c./d + /a./b.c./d + a./b./c./d + a./b.c./d

Simplification algébrique :
S = /b /d ( /a /c + /a c + a /c + ac)
S = /b /d ( /a ( /c + c) + a ( /c + c))
S = /b /d ( /a + a )
S = /b /d

Simplification avec tableau de karnaught : ab





cd








S = /c. /d + a. /b.c + a.b.c + /a .b.c + /a. /b.c

Simplification algébrique :
S = /c /d + c( a /b + ab + /a b + /a /b )
S = /c /d + c (b ( /a + a) + /b (a + /a))
S = /c /d + c (b + /b)
S = /c /d + c
S = c + /d

Simplification avec tableau de karnaught : ab





cd






 NOMFICHIER commande des systèmes.doc  DATE \@ "jj/MM/aa" 07/07/99 Page  PAGE 4 sur  NBPAGES 1

AII1ère STI GMLycée Jean Perrin - REZERéférence B.O. :
3.2, 4.1 et 4.2COMMANDE DES SYSTEMES
Traitement combinatoire
Traitement séquentiel
COURS

 NOMFICHIER commande des systèmes.doc  DATE \@ "jj/MM/aa" 07/07/99 Page  PAGE 1 sur  NBPAGES 1






 temps


e1
e2 S=f(e1,e2,e3)
e3

e1
e2 S=f(e1,e2,e3,X)
e3
X

x

X : bobine d'un relais
x : contact de ce relais



a . a = a

H = a . a



H = a . 1

a . 1 = a



H = a . 0

a . 0 = 0



H = a . a

a . a = 0

a + a = a

H = a + a



a + 1 = 1

H = a + 1





a + a = 1

H = a + a

a + 0 = a

H = a + 0




a + b = a . b





a . b = a + b




a+ a b = a + b

H = a + a b

















abcdS00000000100010000110010000101001100011111000010010101011011111001110111110111111


S4 = /a.b.c + a. /b.c + a.b. /c


S8 = /a. /b.c + /a.b. /c + a. /b. /c

S = a(c + b) + bcd

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00 01 11 10

001111
010000
111111
101111


00 01 11 10

001001
010000
110000
10
100
1


00 01 11 10
00110 10111


00 01 11 10
01000 11100


00 01 11 10
00
000 10110


a . b =



a + b =




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