Corrigé
TD n°2 : Espaces de Hilbert. Corrigé. Exercices 1,2,6 , 8 et 5 : bien maîtriser.
Exercices 3,4 et 7 : comprendre ... est linéaire à droite : cela découle de la
linéarité de l'intégrale, de l'opérateur de dérivation et de la somme de ... En
utilisant le théorème de Lebesgue de la convergence dominée (voir chapitre
intégration), on a :.
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Equation.3 pour n et m distincts, INCORPORER Equation.3 pour n et m distincts. La famille est don orthogonale ; de plus on a obtenu :
INCORPORER Equation.3 et bien sûr on a : INCORPORER Equation.3
Exercice 2 : Soit E lespace des fonctions de classe C1 de [0,1] dans R. Pour toutes fonctions f et g de E on pose : INCORPORER Equation.3 .
Montrer que INCORPORER Equation.3 définit un produit scalaire sur E.
Déterminer des polynômes INCORPORER Equation.3 de degré respectif 0,1,2 et 3, formant une famille orthonormée de E.
Cette famille est-elle orthonormée pour le produit scalaire usuel de INCORPORER Equation.3 ?
Corrigé :
C est le cas réel :
- fð est définie sur ExE : les fonctions C1 sur [0,1] sont de dérivées intégrables sur [0,1].
- fð est linéaire à droite : cela découle de la linéarité de l intégrale, de l opérateur de dérivation et de la somme de deux fonctions multipliées par des scalaires.
La symétrie est évidente
La positivité aussi : l intégrale d une fonction positive est positive.
fð est définie : INCORPORER Equation.3
INCORPORER Equation.3 ð(ðcar f est continue) INCORPORER Equation.3 sur [0, 1].
On pose Po=1 alors INCORPORER Equation.3 . Dans un premier temps, on cherche P1 sous la forme : INCORPORER Equation.3 tel que : INCORPORER Equation.3 ; soit : INCORPORER Equation.3 ; dans un deuxième temps on normalisera P1 en divisant par sa norme. On obtient : INCORPORER Equation.3 .
On cherche P2 sous la forme : INCORPORER Equation.3 tel que : INCORPORER Equation.3 ; soit : INCORPORER Equation.3 ; on obtient INCORPORER Equation.3 soit INCORPORER Equation.3 ; alors INCORPORER Equation.3
Finalement, on pose INCORPORER Equation.3 .
Etc
.
Exercice 3 : On munit lespace INCORPORER Equation.3 du produit scalaire usuel de INCORPORER Equation.3 .
En considérant la suite de fonctions définies par :
INCORPORER Equation.3
montrer que INCORPORER Equation.3 nest pas un espace de Hilbert.
Corrigé : Il sagit de prouver que INCORPORER Equation.3 nest pas complet pour la norme définie par le produit scalaire de INCORPORER Equation.3 : INCORPORER Equation.3 ; pour cela nous allons utiliser la suite proposée et démontrer quelle est bien de Cauchy pour la norme considérée mais quelle ne converge pas dans INCORPORER Equation.3 pour cette norme.
Soient n et p deux entiers positifs ; posons INCORPORER Equation.3
On découpe cette intégrale en 5, comme le suggère la définition de f_n et f_(n+p) ( voir le graphe de f_2 et f_5 :
On a : INCORPORER Equation.3 et en tenant compte des définitions on obtient :
INCORPORER Equation.3
Or : INCORPORER Equation.3 (à laide de changements de variables triviaux).
Doù : INCORPORER Equation.3 ; on a bien INCORPORER Equation.3
Donc la suite (f_n) est bien de cauchy.
Nous allons maintenant montrer quelle ne converge pas dans INCORPORER Equation.3 .
Raisonnons par labsurde et supposons quelle converge vers une fonction f de INCORPORER Equation.3 pour la norme de L2(-1,1) ; alors INCORPORER Equation.3 soit INCORPORER Equation.3 .
Or : INCORPORER Equation.3
En utilisant le théorème de Lebesgue de la convergence dominée (voir chapitre intégration), on a :
INCORPORER Equation.3 et INCORPORER Equation.3 , donc INCORPORER Equation.3 ; de même on a : INCORPORER Equation.3 ; pour I2, on obtient INCORPORER Equation.3 en remarquant que INCORPORER Equation.3 et INCORPORER Equation.3 et que INCORPORER Equation.3
Après tous ces calculs il vient que : INCORPORER Equation.3 ;
doù f(t)=-1 sur [-1,0 [ et f(t)=1 sur [0,1 [, mais alors f ne peut pas être continue sur [-1,1], ce qui est absurde.
Exercice 4 : Soient INCORPORER Equation.3 et INCORPORER Equation.3 . On désigne par INCORPORER Equation.3 la boule centrée à lorigine et de rayon INCORPORER Equation.3 , relative à la norme 2 de INCORPORER Equation.3 . Pour tout vecteur INCORPORER Equation.3 de INCORPORER Equation.3 , on notera INCORPORER Equation.3 .
On pose :
INCORPORER Equation.3
Déterminer les valeurs INCORPORER Equation.3 pour que INCORPORER Equation.3 , INCORPORER Equation.3 , INCORPORER Equation.3 .
Calculer alors INCORPORER Equation.3 .
On rappelle le coordonnées polaires dans Rn ( voir chapitre intégration, changement de variables) :
INCORPORER Equation.3 alors INCORPORER Equation.3
et on a : INCORPORER Equation.3
en posant INCORPORER Equation.3 on a :
INCORPORER Equation.3 ; f est donc intégrable sur INCORPORER Equation.3 si et seulement si INCORPORER Equation.3 soit si INCORPORER Equation.3 .
En raisonnant de la même façon on montre que INCORPORER Equation.3 si et seulement si INCORPORER Equation.3 et INCORPORER Equation.3 si et seulement si INCORPORER Equation.3 .
Dans ce cas on a : INCORPORER Equation.3
Exercice 5 : Soit INCORPORER Equation.3 . On pose
INCORPORER Equation.3
et INCORPORER Equation.3
Les fonctions f et g appartiennent-elles à INCORPORER Equation.3 ?
Lidentité du parallélogramme est-elle vérifiée pour la norme INCORPORER Equation.3 ?
Quelle conclusion peut-on tirer ?
Corrigé : a) On a : INCORPORER Equation.3 et INCORPORER Equation.3
On a : INCORPORER Equation.3 et INCORPORER Equation.3
Dautre part on a : INCORPORER Equation.3 et INCORPORER Equation.3
Doù :
INCORPORER Equation.3 et
INCORPORER Equation.3
Lidentité du parallélogramme est vérifiée SSi :
INCORPORER Equation.3 soit SSI INCORPORER Equation.3 soit SSI p=2.
Comme dans tout espace préhilbertien lidentité du parallélogramme est vérifiée, seul lespace L2 en est un. Cest à dire que les normes p pour p différent de 2 ne sont pas issues dun produit scalaire.
Exercice 6 : On considère la fonction définie sur INCORPORER Equation.3 par INCORPORER Equation.3 .
Déterminer la série de Fourier trigonométrique de f , lorsquon la prolonge de façon INCORPORER Equation.3 -périodique.
On prolonge maintenant f à INCORPORER Equation.3 par parité. Déterminer la série de Fourier trigonométrique de f , lorsquon la prolonge de façon 2 INCORPORER Equation.3 -périodique.
Dans chacun des cas a) et b), représenter le spectre de f. Que remarque-t-on ?
La compression JPEG utilise la transformée en cosinus. ( On code le signal considéré par ses fréquences).
Pouvez- vous expliquez ce choix ? ( exploitez la réponse de la question c ).
Au a), les coefficients c_n sont en 1/n et au b) en 1/n^2.
Dans le deuxième, on a donc besoin de moins de coefficients pour avoir une assez bonne approximation du signal.
Préciser les différents types de convergence des séries obtenues en a) et b).
Exercice 7 : Dans INCORPORER Equation.3 on définit les polynômes de Legendre par :
Rectifier le coefficient INCORPORER Equation.3
Montrer que la famille INCORPORER Equation.3 est orthonormée.
Faire n intégrations par partie.
Calculer la projection orthogonale de la fonction INCORPORER Equation.3 sur le sous-espace engendré par INCORPORER Equation.3
La projection de f est : f*(x)=3x/5 ( Résoudre le système associé à f-f* orthogonal à P0, à P1 et àP2.
Exercice 8 : Calculer INCORPORER Equation.3
ax+b représente la projection orthogonale de x^2 sur vect.
comme précédemment on résout le système associé et on trouve : a=1 et b=-1/6.
Un espace métrique est complet si toute suite de Cauchy est convergente.
Une suite (f_n) est de Cauchy si INCORPORER Equation.3 INCORPORER Equation.3
