PGCD PPCM - Bagneux
Ex 1 : Aux dernières vacances il y avait entre 100 et 200 enfants au stage de
Mittelwihr ! ... quand il les répartissait par cars de 36 enfants, il restait ? un enfant
! ... On veut recouvrir une surface rectangulaire de 4,75 m sur 3,61 m avec des ...
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n n des cubes ? En déduire le plus petit nombre, et le plus grand nombre possibles de cubes transportés. Ex 3 :
Le Titanic fait des aller-retour (sauf quand il coule) Paris New-York en 15 jours. Le Clemenceau-Steevy (un boulet !) les effectue lui en 21 jours. Et le Radeau de la Méduse en 35 jours.
Ils partent tous les trois ensemble, et font des allers-retours en permanence. Au bout de combien de jours se retrouveront-ils ensemble à nouveau ?
Ex 4 : Deux voitures partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours dun même circuit. La voiture A fait le tour du circuit en 36 minutes et la voiture B en 30 minutes. 1) Y-a-t-il des moments où les voitures se retrouvent ensemble sur la ligne de départ ? 2) Si oui préciser le nombre de déplacement de chaque voiture entre deux rencontres.
Ex 5 : On veut recouvrir une surface rectangulaire de 4,75 m sur 3,61 m avec des dalles carrées dont le côté mesure un nombre entier de centimètres. Quelle est la taille maximale de ces dalles ? Combien de dalles seront-elles nécessaires ?
Exercice 3 : 1) Le sol de la salle à manger est un rectangle de longueur 4,54 m et de largeur 3,75m. On veut carreler cette pièce avec des carreaux carrés de 33 cm de côté. Calculer le nombre de carreaux non découpés qui auront été posés.
2) Le sol de la cuisine est un rectangle de longueur 4,55 m et de largeur 3,85 m. On veut carreler cette pièce avec un nombre entier de dalles carrées, sans aucune découpe. Quel est alors le plus grand côté possible des dalles carrées à utiliser pour carreler cette cuisine?
3) On dispose de dalles rectangulaires de longueur 24 cm et de largeur 15 cm. Quelle serait la longueur du côté de la plus petite pièce carrée qui pourrait être carrelée avec un nombre entier de dalles de ce type, sans aucune découpe?
Ex 6 : On veut recouvrir une surface rectangulaire de 4,75 m sur 3,61 m avec des dalles carrées dont le côté mesure un nombre entier de centimètres. Quelle est la taille maximale de ces dalles ? Combien de dalles seront-elles nécessaires ?
Ex 1 :
Si n est le nombre denfants. n 1 est un multiple de 6, de 3, de 10 et de 36 compris entre 99 et 199 6 = 3 x 2 3 = 3 10 = 2 x 5 36 = 2 2 x 3 2
le PPCM de ces quatre nombres donc 2 2 x 3 2 x 5 = 180
entre 99 et 199 il ny a quun seul multiple de 180 : 180
n = 181
Ex 2 :
n divise 180, 150 et 90, cest donc un diviseur commun de ces trois nombres
180 = 2² x 3 ² x 5 150 = 2 x 3 x 5² 90 = 2 x 3 ² x 5
le pgcd de ces trois nombres est 2 x 3 x 5 = 30
et ce pgcd possède (1+1)(1+1)(1+1) = 8 diviseurs (voir cours) les valeurs possibles pour n en cm sont donc : 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, et 30.
le volume total de la caisse est 180 x 150 x 90 = 2 430 000
elle contient donc 2 430 000 / n 3 cubes ! donc de 2 430 000 (n = 1) à 90 ( n = 30 ) boîtes !
Ex 3 :
Le Titanic revient tous les 15 jours, le nombre n cherché est donc un multiple de 15. Ce nombre est aussi multiple de 21 et de 35. Cest donc le PPCM de 15, 21, et 35. 15 = 3 x 5 21 = 3 x 7 35 = 5 x 7
n = 3 x 5 x 7 = 105
Ex 4 : 1) elles se retrouvent tous les multiples communs à 36 = 2² x 3² et 30 = 2 x 3 x 5
ppcm (36,30)= 180 elles sont ensemble toutes les 3 heures 2) 180 : 36 = 5 tours pour la plus lente
180 : 30 = 6 tours pour la plus rapide
Ex5 :
1) 454 = 33 x 13 + 25 375 = 33 x 11 + 12 13 carreaux en longueur, 11 en large soit 13 x 11 = 143 carreaux en tout (non découpés)
2) x (côté du carré) doit diviser 385 = 5 x 7 x 11 et 455 = 5 x 7 x 13 x = pgcd (385,455) = 5 x 7 = 35 cm
3) x (côté du carré) doit être multiple de 24 = 23 x 3 et 15 = 3 x 5 x = ppcm (24,15) = 23 x 3 x 5 = 120 cm
Ex6 : X doit diviser 475 = 5² x 19 et 361 = 19² x = pgcd (475,361) = 19 cm
il y aura 5² = 25 dalles en longueur sur 19 en largeur soit en tout 25 x 19 = 475 dalles
