3.2 THÉORIE de la flexion des plaques - TEL (thèses
Vous ne pouvez pas ne pas voir là par exemple, dans cette formule, masse ...... fil
disons d'une espèce de visage, à la fois aigu, caricatural et vieillot de ce ......
sanitaires, médicales, qui indiquent de profondes perturbations somatiques. ......
il y avait faute ou lapsus de l'acte qu'il ne pouvait corriger qu'en reprenant le tout.
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UNIVERSITE D'ORLEANS
THESE PRESENTEE A LUNIVERSITE DORLEANS
POUR OBTENIR LE GRADE DE
DOCTEUR DE LUNIVERSITE DORLEANS
Discipline : Mécanique
PAR
GIRAULT Grégory
Réponse d'une plaque couplée à un liquide et soumise à une pression mobile. Aspects théoriques et expérimentaux en détonique.
Soutenue le : 19 juillet 2006
MEMBRES DU JURY :- M. Jérôme RENARDProfesseur des Universités (directeur de thèse)- M. André LANGLETMaître de Conférence (co-directeur de thèse- M. Salah NailiProfesseur des Universités (examinateur et président du jury)- M. Bernard PESEUXProfesseur des Universités (rapporteur)- M. Mhamed SOULIProfesseur des Universités (rapporteur)
Remerciements
Je tiens à exprimer ma sincère reconnaissance à Monsieur B. Peseux et à Monsieur M. Souli, respectivement professeurs à lEcole Centrale de Nantes et à lUniversité de Lille, pour avoir accepté dêtre rapporteurs de ce travail.
Je tiens à remercier cordialement Monsieur S. Naili, professeur à lUniversité Paris XII, pour avoir accepté dexaminer mon travail.
Naturellement, je veux remercier chaleureusement mon directeur de thèse, Monsieur Jérôme Renard, pour mavoir accepté au sein de son laboratoire et pour mavoir fait confiance durant ces années de thèse.
Je tiens également à remercier André Langlet pour mavoir accompagné tout au long de cette thèse, même dans les moments les plus difficiles.
Je tiens à noter le plaisir que jai eu à travailler au sein du laboratoire. Que tous ses membres en soient remerciés.
Un remerciement tout particulier va aux membres non enseignants du laboratoire et du département Mesures Physiques de lIUT : Laure, Jean-Claude, Denis et Chantal.
Que dire à mes potes thésards et jeunes docteurs : Cédric, Xavier, Guillaume, Nicolas, Tahar, Arnaud, Fabrice et les autres
si ce nest merci pour mavoir supporter pendant ces années.
Pour finir, un grand merci à Jean-Marie, Lydie et Delphine.
Sommaire
Table des figures 1
Notation et symbole 5
TOC \o "1-4" \h \z \u HYPERLINK \l "_Toc145244420" 1. INTRODUCTION GÉNÉRALE PAGEREF _Toc145244420 \h 9
HYPERLINK \l "_Toc145244421" 2. LA DÉTONATION & LE CHARGEMENT DE PRESSION ASSOCIÉ PAGEREF _Toc145244421 \h 13
HYPERLINK \l "_Toc145244422" 2.1 Introduction PAGEREF _Toc145244422 \h 13
HYPERLINK \l "_Toc145244423" 2.2 Aspect ÉNERGÉTIQUE de la DÉTONATION PAGEREF _Toc145244423 \h 15
HYPERLINK \l "_Toc145244424" 2.2.1 Calcul de lénergie volumique PAGEREF _Toc145244424 \h 15
HYPERLINK \l "_Toc145244425" 2.2.2 Équivalence énergétique PAGEREF _Toc145244425 \h 15
HYPERLINK \l "_Toc145244426" 2.3 Loi de similitude de Hopkinson PAGEREF _Toc145244426 \h 16
HYPERLINK \l "_Toc145244427" 2.4 chargement de DÉTONATION sur une surface plane PAGEREF _Toc145244427 \h 17
HYPERLINK \l "_Toc145244428" 2.4.1 Présentation PAGEREF _Toc145244428 \h 17
HYPERLINK \l "_Toc145244429" 2.4.2 Modélisation de la pression réfléchie PAGEREF _Toc145244429 \h 18
HYPERLINK \l "_Toc145244430" 2.5 PROPRIÉTÉS de la pression RÉFLÉCHIE PAGEREF _Toc145244430 \h 21
HYPERLINK \l "_Toc145244431" 2.6 Conclusion PAGEREF _Toc145244431 \h 22
HYPERLINK \l "_Toc145244432" 3. ÉTUDE bibliographique PAGEREF _Toc145244432 \h 25
HYPERLINK \l "_Toc145244433" 3.1 Introduction PAGEREF _Toc145244433 \h 25
HYPERLINK \l "_Toc145244434" 3.2 THÉORIE de la flexion des plaques PAGEREF _Toc145244434 \h 25
HYPERLINK \l "_Toc145244435" 3.3 Rappel des Équations linÉarisÉes du mouvement d'un fluide parfait compressible PAGEREF _Toc145244435 \h 28
HYPERLINK \l "_Toc145244436" 3.4 vibrations des plaques couplÉes À un fluide incompressible PAGEREF _Toc145244436 \h 31
HYPERLINK \l "_Toc145244437" 3.5 RÉPONSE d'une poutre ou d'une plaque à une onde de choc PAGEREF _Toc145244437 \h 32
HYPERLINK \l "_Toc145244438" 3.6 RÉPONSE en flexion des plaques soumises À un chargement mobile PAGEREF _Toc145244438 \h 33
HYPERLINK \l "_Toc145244439" 3.7 CONCLUSION PAGEREF _Toc145244439 \h 39
HYPERLINK \l "_Toc145244440" 4. Mise en ÉQUATIONs DU PROBLÈME PAGEREF _Toc145244440 \h 41
HYPERLINK \l "_Toc145244441" 4.1 INTRODUCTION PAGEREF _Toc145244441 \h 41
HYPERLINK \l "_Toc145244442" 4.2 ÉQUATIONS DU MOUVEMENT POUR UNE PLAQUE DE MINDLIN REISSNER PAGEREF _Toc145244442 \h 42
HYPERLINK \l "_Toc145244443" 4.2.1 Définition de la plaque PAGEREF _Toc145244443 \h 42
HYPERLINK \l "_Toc145244444" 4.2.1.1 Caractéristiques géométriques PAGEREF _Toc145244444 \h 42
HYPERLINK \l "_Toc145244445" 4.2.1.2 Caractéristiques mécaniques PAGEREF _Toc145244445 \h 43
HYPERLINK \l "_Toc145244446" 4.2.2 Théorie de la flexion des plaques Hypothèses de Mindlin Reissner PAGEREF _Toc145244446 \h 43
HYPERLINK \l "_Toc145244447" 4.2.3 Champ de déplacements PAGEREF _Toc145244447 \h 44
HYPERLINK \l "_Toc145244448" 4.2.4 Champ de déformations PAGEREF _Toc145244448 \h 45
HYPERLINK \l "_Toc145244449" 4.2.5 État de contrainte PAGEREF _Toc145244449 \h 46
HYPERLINK \l "_Toc145244450" 4.2.6 Relations Efforts Contraintes PAGEREF _Toc145244450 \h 46
HYPERLINK \l "_Toc145244451" 4.2.7 Relations Efforts Déformations PAGEREF _Toc145244451 \h 47
HYPERLINK \l "_Toc145244452" 4.2.8 Équations du mouvement de la plaque en flexion PAGEREF _Toc145244452 \h 47
HYPERLINK \l "_Toc145244453" 4.2.8.1 Variation de lénergie cinétique PAGEREF _Toc145244453 \h 48
HYPERLINK \l "_Toc145244454" 4.2.8.2 Variation de lénergie de déformation PAGEREF _Toc145244454 \h 48
HYPERLINK \l "_Toc145244455" 4.2.8.3 Expression du travail des efforts extérieurs PAGEREF _Toc145244455 \h 50
HYPERLINK \l "_Toc145244456" 4.2.8.4 Application du principe de Hamilton et équations du mouvement PAGEREF _Toc145244456 \h 50
HYPERLINK \l "_Toc145244457" 4.3 ÉQUATIONS DU MOUVEMENT POUR UN FLUIDE PARFAIT COMPRESSIBLE PAGEREF _Toc145244457 \h 51
HYPERLINK \l "_Toc145244458" 4.3.1 Équations du mouvement du fluide parfait compressible PAGEREF _Toc145244458 \h 52
HYPERLINK \l "_Toc145244459" 4.3.1.1 Variation de lénergie cinétique PAGEREF _Toc145244459 \h 52
HYPERLINK \l "_Toc145244460" 4.3.1.2 Variation de lénergie de déformation PAGEREF _Toc145244460 \h 53
HYPERLINK \l "_Toc145244461" 4.3.1.3 Variation du travail des efforts extérieurs PAGEREF _Toc145244461 \h 53
HYPERLINK \l "_Toc145244462" 4.3.1.4 Application du principe de Hamilton et équations du mouvement PAGEREF _Toc145244462 \h 54
HYPERLINK \l "_Toc145244463" 4.3.2 Équation du mouvement en fonction du potentiel des vitesses acoustiques PAGEREF _Toc145244463 \h 54
HYPERLINK \l "_Toc145244464" 4.4 expression du couplage PAGEREF _Toc145244464 \h 54
HYPERLINK \l "_Toc145244465" 4.4.1 Condition cinématique PAGEREF _Toc145244465 \h 55
HYPERLINK \l "_Toc145244466" 4.4.2 Condition dynamique PAGEREF _Toc145244466 \h 55
HYPERLINK \l "_Toc145244467" 4.5 Équations de la dynamique du systÈme couplÉ PAGEREF _Toc145244467 \h 56
HYPERLINK \l "_Toc145244468" 4.5.1 Problème non linéaire de la bande couplée PAGEREF _Toc145244468 \h 56
HYPERLINK \l "_Toc145244469" 4.5.2 Problème linéaire de la bande couplée PAGEREF _Toc145244469 \h 57
HYPERLINK \l "_Toc145244470" 4.5.3 Problème non linéaire de la plaque axisymétrique PAGEREF _Toc145244470 \h 57
HYPERLINK \l "_Toc145244471" 4.5.4 Problème linéaire de la plaque axisymétrique PAGEREF _Toc145244471 \h 58
HYPERLINK \l "_Toc145244472" 4.6 loi de comportement pour un MATÉRIAU Élastoplastique PAGEREF _Toc145244472 \h 58
HYPERLINK \l "_Toc145244473" 4.6.1 Notions de plasticité PAGEREF _Toc145244473 \h 59
HYPERLINK \l "_Toc145244474" 4.6.2 Critère de plasticité PAGEREF _Toc145244474 \h 60
HYPERLINK \l "_Toc145244475" 4.6.3 Loi décrouissage PAGEREF _Toc145244475 \h 62
HYPERLINK \l "_Toc145244476" 4.6.4 Loi de comportement élastoplastique PAGEREF _Toc145244476 \h 63
HYPERLINK \l "_Toc145244477" 4.6.5 Conclusion PAGEREF _Toc145244477 \h 66
HYPERLINK \l "_Toc145244478" 4.7 CONCLUSION PAGEREF _Toc145244478 \h 66
HYPERLINK \l "_Toc145244479" 5. RÉSOLUTION ANALYTIQUE RECHERCHE DE SOLUTIONS STATIONNAIRES PAGEREF _Toc145244479 \h 67
HYPERLINK \l "_Toc145244480" 5.1 INTRODUCTION PAGEREF _Toc145244480 \h 67
HYPERLINK \l "_Toc145244481" 5.2 mise en Équations stationnaires PAGEREF _Toc145244481 \h 68
HYPERLINK \l "_Toc145244482" 5.2.1 Écriture non dimensionnelle des équations du mouvement PAGEREF _Toc145244482 \h 68
HYPERLINK \l "_Toc145244483" 5.2.2 Mise en équations stationnaires PAGEREF _Toc145244483 \h 70
HYPERLINK \l "_Toc145244484" 5.3 RÉSOLUTION POUR UN CHARGEMENT À VITESSE SUPERSONIQUE ( EMBED Equation.3 ) PAGEREF _Toc145244484 \h 71
HYPERLINK \l "_Toc145244485" 5.4 RÉSOLUTION POUR UN CHARGEMENT À VITESSE SUBSONIQUE ( EMBED Equation.3 ) PAGEREF _Toc145244485 \h 74
HYPERLINK \l "_Toc145244486" 5.4.1 Transformées de Fourier utilisées PAGEREF _Toc145244486 \h 75
HYPERLINK \l "_Toc145244487" 5.4.2 Mise en équation par transformées de Fourier PAGEREF _Toc145244487 \h 75
HYPERLINK \l "_Toc145244488" 5.4.3 Résolution du problème subsonique PAGEREF _Toc145244488 \h 75
HYPERLINK \l "_Toc145244489" 5.5 CALCUL DES CONTRAINTES mÉcaniques PAGEREF _Toc145244489 \h 78
HYPERLINK \l "_Toc145244490" 5.5.1 Contrainte de flexion PAGEREF _Toc145244490 \h 79
HYPERLINK \l "_Toc145244491" 5.5.2 Contrainte moyenne de cisaillement PAGEREF _Toc145244491 \h 80
HYPERLINK \l "_Toc145244492" 5.6 RÉSULTATS PAGEREF _Toc145244492 \h 80
HYPERLINK \l "_Toc145244493" 5.6.1 Problème « subsonique » PAGEREF _Toc145244493 \h 81
HYPERLINK \l "_Toc145244494" 5.6.2 Problème « supersonique » PAGEREF _Toc145244494 \h 83
HYPERLINK \l "_Toc145244495" 5.7 CONCLUSION PAGEREF _Toc145244495 \h 85
HYPERLINK \l "_Toc145244496" 6. RÉSOLUTION NUMÉRIQUE PAGEREF _Toc145244496 \h 89
HYPERLINK \l "_Toc145244497" 6.1 INTRODUCTION PAGEREF _Toc145244497 \h 89
HYPERLINK \l "_Toc145244498" 6.2 LA MÉTHODE DES DIFFÉRENCES FINIES (mdf) PAGEREF _Toc145244498 \h 90
HYPERLINK \l "_Toc145244499" 6.2.1 Approximation des opérateurs différentiels PAGEREF _Toc145244499 \h 90
HYPERLINK \l "_Toc145244500" 6.2.2 Schémas dintégration numérique PAGEREF _Toc145244500 \h 91
HYPERLINK \l "_Toc145244501" 6.3 GÉOMÉTRIE DU PROBLÈME ET CONDITIONS AUX LIMITES PAGEREF _Toc145244501 \h 92
HYPERLINK \l "_Toc145244502" 6.3.1 Géométrie et maillage du domaine spatial PAGEREF _Toc145244502 \h 92
HYPERLINK \l "_Toc145244503" 6.3.2 Conditions aux limites PAGEREF _Toc145244503 \h 93
HYPERLINK \l "_Toc145244504" 6.4 RAPPEL DES ÉQUATIONS DU MOUVEMENT EXPRESSION DU COUPLAGE PAGEREF _Toc145244504 \h 94
HYPERLINK \l "_Toc145244505" 6.4.1 Rappel des équations de la dynamique PAGEREF _Toc145244505 \h 94
HYPERLINK \l "_Toc145244506" 6.4.2 Influence de la plaque sur le fluide PAGEREF _Toc145244506 \h 95
HYPERLINK \l "_Toc145244507" 6.4.3 Expression du couplage PAGEREF _Toc145244507 \h 96
HYPERLINK \l "_Toc145244508" 6.4.4 Conclusion PAGEREF _Toc145244508 \h 97
HYPERLINK \l "_Toc145244509" 6.5 DISCRÉTISATION TEMPORELLE PAGEREF _Toc145244509 \h 97
HYPERLINK \l "_Toc145244510" 6.5.1 Cas du problème avec prise en compte de la non linéarité géométrique PAGEREF _Toc145244510 \h 98
HYPERLINK \l "_Toc145244511" 6.5.2 Cas du problème linéaire PAGEREF _Toc145244511 \h 99
HYPERLINK \l "_Toc145244512" 6.6 DISCRÉTISATION SPATIALE PAGEREF _Toc145244512 \h 100
HYPERLINK \l "_Toc145244513" 6.6.1 Rappel des opérateurs spatiaux Cas de la bande PAGEREF _Toc145244513 \h 100
HYPERLINK \l "_Toc145244514" 6.6.2 Rappel des opérateurs spatiaux Cas de la plaque PAGEREF _Toc145244514 \h 101
HYPERLINK \l "_Toc145244515" 6.6.3 Discrétisation des dérivées premières et secondes PAGEREF _Toc145244515 \h 101
HYPERLINK \l "_Toc145244516" 6.6.4 Approximations par Développements Limités des termes en 1/r PAGEREF _Toc145244516 \h 102
HYPERLINK \l "_Toc145244517" 6.6.5 Conditions aux limites PAGEREF _Toc145244517 \h 103
HYPERLINK \l "_Toc145244518" 6.6.6 Cas du problème linéaire PAGEREF _Toc145244518 \h 103
HYPERLINK \l "_Toc145244519" 6.7 ÉVALUATION DES DÉFORMATIONS ÉLASTIQUES DE FLexION PAGEREF _Toc145244519 \h 104
HYPERLINK \l "_Toc145244520" 6.7.1 Problème de la bande PAGEREF _Toc145244520 \h 104
HYPERLINK \l "_Toc145244521" 6.7.2 Problème de la plaque PAGEREF _Toc145244521 \h 105
HYPERLINK \l "_Toc145244522" 6.7.3 Remarque PAGEREF _Toc145244522 \h 106
HYPERLINK \l "_Toc145244523" 6.8 Expression et Évaluation des dÉformations plastiques PAGEREF _Toc145244523 \h 106
HYPERLINK \l "_Toc145244524" 6.9 RÉSULTATS NUMÉRIQUES PRÉLIMINAIRES PAGEREF _Toc145244524 \h 107
HYPERLINK \l "_Toc145244525" 6.9.1 Stabilité numérique des codes de calcul PAGEREF _Toc145244525 \h 107
HYPERLINK \l "_Toc145244526" 6.9.2 Validation du code calcul PAGEREF _Toc145244526 \h 109
HYPERLINK \l "_Toc145244527" 6.10 RÉSULTATS NUMÉRIQUES RÉPONSE de LA bande PAGEREF _Toc145244527 \h 112
HYPERLINK \l "_Toc145244528" 6.10.1 Réponse linéaire à un chargement mobile uniforme PAGEREF _Toc145244528 \h 112
HYPERLINK \l "_Toc145244529" 6.10.2 Réponse non linéaire à un chargement mobile uniforme PAGEREF _Toc145244529 \h 117
HYPERLINK \l "_Toc145244530" 6.10.3 Conclusion PAGEREF _Toc145244530 \h 120
HYPERLINK \l "_Toc145244531" 6.11 RÉSULTATS NUMÉRIQUES RÉPONSE de la plaque circulaire PAGEREF _Toc145244531 \h 120
HYPERLINK \l "_Toc145244532" 6.11.1 Réponse linéaire à une sollicitation de détonation PAGEREF _Toc145244532 \h 121
HYPERLINK \l "_Toc145244533" 6.11.2 Réponse non linéaire à une sollicitation de détonation PAGEREF _Toc145244533 \h 124
HYPERLINK \l "_Toc145244534" 6.11.3 Conclusion PAGEREF _Toc145244534 \h 129
HYPERLINK \l "_Toc145244535" 6.12 CONCLUSION PAGEREF _Toc145244535 \h 129
HYPERLINK \l "_Toc145244536" 7. ÉTUDE EXPÉRIMENTALE COMPARAISON AVEC LES RÉSULTATS NUMÉRiques PAGEREF _Toc145244536 \h 131
HYPERLINK \l "_Toc145244537" 7.1 INTRODUCTION PAGEREF _Toc145244537 \h 131
HYPERLINK \l "_Toc145244538" 7.2 DISPOSITIF EXPÉRIMENTAL PAGEREF _Toc145244538 \h 132
HYPERLINK \l "_Toc145244539" 7.2.1 Banc dessai PAGEREF _Toc145244539 \h 132
HYPERLINK \l "_Toc145244540" 7.2.2 Création du chargement de détonation PAGEREF _Toc145244540 \h 133
HYPERLINK \l "_Toc145244541" 7.2.3 Instrumentation PAGEREF _Toc145244541 \h 134
HYPERLINK \l "_Toc145244542" 7.2.4 Remarque PAGEREF _Toc145244542 \h 136
HYPERLINK \l "_Toc145244543" 7.3 RÉSULTATS EXPÉRIMENTAUX PrÉliminaires PAGEREF _Toc145244543 \h 137
HYPERLINK \l "_Toc145244544" 7.3.1 Présentation des résultats PAGEREF _Toc145244544 \h 137
HYPERLINK \l "_Toc145244545" 7.3.2 Validation expérimentale de la reproductibilité des essais PAGEREF _Toc145244545 \h 137
HYPERLINK \l "_Toc145244546" 7.3.3 Validation expérimentale de laxisymétrie PAGEREF _Toc145244546 \h 139
HYPERLINK \l "_Toc145244547" 7.4 RÉSULTATS EXPÉRIMENTAUX RÉponse de LA plaque AU chargement de dÉtonation PAGEREF _Toc145244547 \h 144
HYPERLINK \l "_Toc145244548" 7.4.1 Réponse de la plaque à une détonation modérément énergétique PAGEREF _Toc145244548 \h 144
HYPERLINK \l "_Toc145244549" 7.4.2 Réponse de la plaque à une détonation très énergétique PAGEREF _Toc145244549 \h 148
HYPERLINK \l "_Toc145244550" 7.5 COMPARAISON ENTRE RÉSULTATS EXPÉRIMENTAUX ET NUMÉRIQUES PAGEREF _Toc145244550 \h 149
HYPERLINK \l "_Toc145244551" 7.5.1 Chargement de détonation PAGEREF _Toc145244551 \h 149
HYPERLINK \l "_Toc145244552" 7.5.2 Réponse linéaire de la plaque PAGEREF _Toc145244552 \h 151
HYPERLINK \l "_Toc145244553" 7.5.3 Réponse non linéaire de la plaque PAGEREF _Toc145244553 \h 151
HYPERLINK \l "_Toc145244554" 7.5.4 Explications sur les différences entre les résultats PAGEREF _Toc145244554 \h 152
HYPERLINK \l "_Toc145244555" 7.6 conclusion PAGEREF _Toc145244555 \h 152
HYPERLINK \l "_Toc145244556" 8. CONCLUSION & perspectives PAGEREF _Toc145244556 \h 153
HYPERLINK \l "_Toc145244557" 9. Annexes PAGEREF _Toc145244557 \h 157
HYPERLINK \l "_Toc145244558" 10. rÉfÉrences Bibliographiques PAGEREF _Toc145244558 \h 159
TABLE DES FIGURES
TOC \h \z \c "Fig." HYPERLINK \l "_Toc145244559" Fig. 2 1 : Illustration de la similitude de Hopkinson PAGEREF _Toc145244559 \h 17
HYPERLINK \l "_Toc145244560" Fig. 2 2 : Profil expérimental de la pression réfléchie en un point d une structure plane PAGEREF _Toc145244560 \h 18
HYPERLINK \l "_Toc145244561" Fig. 2 3 : Paramètres de la détonation face à un plan PAGEREF _Toc145244561 \h 19
HYPERLINK \l "_Toc145244562" Fig. 2 4 : Profil numérique de la pression réfléchie au point A PAGEREF _Toc145244562 \h 20
HYPERLINK \l "_Toc145244563" Fig. 2 5 : Représentation spatio-temporelle de la pression réfléchie sur un plan PAGEREF _Toc145244563 \h 22
HYPERLINK \l "_Toc145244564" Fig. 2 6 : Évolution numérique de la vitesse du front de pression sur un plan PAGEREF _Toc145244564 \h 23
HYPERLINK \l "_Toc145244565" Fig. 3 1 : Variables cinématiques utilisées pour l étude des poutres et des plaques en flexion Comparaison entre théorie classique et améliorée PAGEREF _Toc145244565 \h 27
HYPERLINK \l "_Toc145244566" Fig. 3 2 : Réponse stationnaire d une poutre de Timoshenko semi infinie sur une fondation élastique et soumise à une pression mobile (Squire (1996)) PAGEREF _Toc145244566 \h 35
HYPERLINK \l "_Toc145244567" Fig. 3 3 : Réponse stationnaire dune poutre unidimensionnelle dEuler Bernoulli couplée à un fluide parfait incompressible pour différentes vitesses de chargement mobile (Squire (1996)) [cmin désigne la vitesse des ondes de flexion] PAGEREF _Toc145244567 \h 37
HYPERLINK \l "_Toc145244568" Fig. 4 1 : Géométrie de la plaque PAGEREF _Toc145244568 \h 42
HYPERLINK \l "_Toc145244569" Fig. 4 2 : Variables cinématiques selon la théorie de Mindlin Reissner PAGEREF _Toc145244569 \h 44
HYPERLINK \l "_Toc145244570" Fig. 4 3 : Efforts et moments appliqués à un élément de plaque PAGEREF _Toc145244570 \h 46
HYPERLINK \l "_Toc145244571" Fig. 4 4 : Schéma de l interface fluide structure PAGEREF _Toc145244571 \h 55
HYPERLINK \l "_Toc145244572" Fig. 4 5 : Schéma d une courbe de comportement en traction PAGEREF _Toc145244572 \h 59
HYPERLINK \l "_Toc145244573" Fig. 4 6 : Schéma de l évolution du domaine élastique écrouissage PAGEREF _Toc145244573 \h 60
HYPERLINK \l "_Toc145244574" Fig. 4 7 : Représentation du critère de Von Mises dans l espace des contraintes principales PAGEREF _Toc145244574 \h 62
HYPERLINK \l "_Toc145244575" Fig. 4 8 : Représentation de l écrouissage isotrope (A) et cinématique (B) PAGEREF _Toc145244575 \h 63
HYPERLINK \l "_Toc145244576" Fig. 4 9 : Loi de normalité pour un écoulement plastique PAGEREF _Toc145244576 \h 64
HYPERLINK \l "_Toc145244577" Fig. 4 10 : Représentation de la fonction g(Ãeq,µeq) Loi de comportement (Galiev (1997)) PAGEREF _Toc145244577 \h 65
HYPERLINK \l "_Toc145244578" Fig. 5 1 : Schéma du système couplé PAGEREF _Toc145244578 \h 68
HYPERLINK \l "_Toc145244579" Fig. 5 2 : Évolution des racines ± ² et ³ de l équation caractéristique dans le cas subsonique PAGEREF _Toc145244579 \h 81
HYPERLINK \l "_Toc145244580" Fig. 5 3 : Évolution de la contrainte de flexion £ pour la vitesse subsonique V = 0.2 PAGEREF _Toc145244580 \h 82
HYPERLINK \l "_Toc145244581" Fig. 5 4 : Évolution de la contrainte de cisaillement pour la vitesse subsonique V = 0.2 PAGEREF _Toc145244581 \h 82
HYPERLINK \l "_Toc145244582" Fig. 5 5 : Évolution des racines » de l équation caractéristique dans le cas supersonique PAGEREF _Toc145244582 \h 84
HYPERLINK \l "_Toc145244583" Fig. 5 6 : Évolution de la contrainte de flexion £ pour les trois vitesses supersoniques V = 0.4, V = 0.8 et V = 1.2 PAGEREF _Toc145244583 \h 86
HYPERLINK \l "_Toc145244584" Fig. 5 7 : Évolution de la contrainte moyenne de cisaillement pour les trois vitesses supersoniques V = 0.4, V = 0.8 et V = 1.2 PAGEREF _Toc145244584 \h 87
HYPERLINK \l "_Toc145244585" Fig. 6 1 : Géométrie et maillage du domaine spatial PAGEREF _Toc145244585 \h 92
HYPERLINK \l "_Toc145244586" Fig. 6 2 : Répartition spatiale des déformations µxx pour différents pas de temps t PAGEREF _Toc145244586 \h 109
HYPERLINK \l "_Toc145244587" Fig. 6 3 : Schéma du problème de la bande soumise à une charge ponctuelle mobile PAGEREF _Toc145244587 \h 109
HYPERLINK \l "_Toc145244588" Fig. 6 4 : Evolution spatio-temporelle des déformations µxx calculées pour une charge ponctuelle p0 = 105 Pa se déplaçant à une vitesse de 1083 m/s PAGEREF _Toc145244588 \h 110
HYPERLINK \l "_Toc145244589" Fig. 6 5 : Comparaison de la solution stationnaire avec la solution numérique pour le calcul de µxx obtenues pour une charge ponctuelle p0 = 105 Pa se déplaçant à une vitesse de 1083 m/s PAGEREF _Toc145244589 \h 111
HYPERLINK \l "_Toc145244590" Fig. 6 6 : Schéma du problème de la bande soumise à un chargement de pression mobile et uniforme PAGEREF _Toc145244590 \h 112
HYPERLINK \l "_Toc145244591" Fig. 6 7 : Vitesses de chargement considérées par rapport aux vitesses caractéristiques du système couplé aluminium/eau PAGEREF _Toc145244591 \h 113
HYPERLINK \l "_Toc145244592" Fig. 6 8 : Évolution spatio-temporelle de µxx pour une vitesse de chargement de 1000 m/s PAGEREF _Toc145244592 \h 115
HYPERLINK \l "_Toc145244593" Fig. 6 9 : Évolution spatio-temporelle de µxx pour une vitesse de chargement de 2000 m/s PAGEREF _Toc145244593 \h 115
HYPERLINK \l "_Toc145244594" Fig. 6 10 : Évolution spatio-temporelle de µxx pour une vitesse de chargement de 4000 m/s PAGEREF _Toc145244594 \h 116
HYPERLINK \l "_Toc145244595" Fig. 6 11 : Évolution spatio-temporelle de µxx pour une vitesse de chargement de 6000 m/s PAGEREF _Toc145244595 \h 116
HYPERLINK \l "_Toc145244596" Fig. 6 12 : Évolutions spatio-temporelles de µxx et de "u/"x pour un chargement de 106 Pa se déplaçant à une vitesse de 1000 m/s PAGEREF _Toc145244596 \h 118
HYPERLINK \l "_Toc145244597" Fig. 6 13 : Évolutions spatio-temporelles des quantités (-h/2)("¨/"x) et (1/2)("w/"x)2 pour un chargement de 106 Pa se déplaçant à une vitesse de 1000 m/s PAGEREF _Toc145244597 \h 119
HYPERLINK \l "_Toc145244598" Fig. 6 14 : Schéma du problème de la plaque soumise à une pression de détonation PAGEREF _Toc145244598 \h 121
HYPERLINK \l "_Toc145244599" Fig. 6 15 : Évolutions spatio-temporelles de la pression de détonation et des déformations linéaires µrr pour une plaque d épaisseur h = 5 mm PAGEREF _Toc145244599 \h 122
HYPERLINK \l "_Toc145244600" Fig. 6 16 : Évolution spatio-temporelle des déformations linéaires µrr pour une plaque d épaisseur h = 0.5 mm PAGEREF _Toc145244600 \h 123
HYPERLINK \l "_Toc145244601" Fig. 6 17 : Évolutions spatio-temporelles de la pression de détonation et des déformations non linéaires µrr pour une plaque d épaisseur h = 1.5 mm PAGEREF _Toc145244601 \h 125
HYPERLINK \l "_Toc145244602" Fig. 6 18 : Distribution spatiale des déformations non linéaires µrr au voisinage du front de chargement et calculée à l instant t = 1808 µs PAGEREF _Toc145244602 \h 126
HYPERLINK \l "_Toc145244603" Fig. 6 19 : Distribution spatio-temporelle de la quantité "u/"r PAGEREF _Toc145244603 \h 127
HYPERLINK \l "_Toc145244604" Fig. 6 20 : Distribution spatio-temporelle de la quantité (-h/2)("¨/"r) PAGEREF _Toc145244604 \h 127
HYPERLINK \l "_Toc145244605" Fig. 6 21 : Distribution spatio-temporelle de la quantité (1/2)("w/"r)2 PAGEREF _Toc145244605 \h 128
HYPERLINK \l "_Toc145244606" Fig. 7 1 : Similitude pour la réponse dynamique d une structure soumise à une détonation PAGEREF _Toc145244606 \h 131
HYPERLINK \l "_Toc145244607" Fig. 7 2 : Schéma du dispositif expérimental PAGEREF _Toc145244607 \h 133
HYPERLINK \l "_Toc145244608" Fig. 7 3 : Disposition des jauges extensométriques sur la plaque PAGEREF _Toc145244608 \h 134
HYPERLINK \l "_Toc145244609" Fig. 7 4 : Caractérisation expérimentale des conditionneurs SEDEME (déphasage et atténuation) PAGEREF _Toc145244609 \h 135
HYPERLINK \l "_Toc145244610" Fig. 7 5 : Mise en évidence expérimentale de l influence du rayonnement électromagnétique sur les signaux de déformation PAGEREF _Toc145244610 \h 137
HYPERLINK \l "_Toc145244611" Fig. 7 6 : Mise en évidence expérimentale de la reproductibilité des essais Mesure des pressions réfléchies PAGEREF _Toc145244611 \h 138
HYPERLINK \l "_Toc145244612" Fig. 7 7 : Mise en évidence expérimentale de la reproductibilité des essais Mesure des déformations. PAGEREF _Toc145244612 \h 138
HYPERLINK \l "_Toc145244613" Fig. 7 8 : Disposition des capteurs de pression sur la plaque. PAGEREF _Toc145244613 \h 140
HYPERLINK \l "_Toc145244614" Fig. 7 9 : Relevé des pressions Mise en évidence d un chargement axisymétrique. PAGEREF _Toc145244614 \h 141
HYPERLINK \l "_Toc145244615" Fig. 7 10 : Disposition des jauges sur la plaque pour mettre en évidence l axisymétrie de la réponse mécanique. PAGEREF _Toc145244615 \h 143
HYPERLINK \l "_Toc145244616" Fig. 7 11 : Mesure des déformations Mise en évidence d une réponse mécanique axisymétrique. PAGEREF _Toc145244616 \h 143
HYPERLINK \l "_Toc145244617" Fig. 7 12 : Réponse de la plaque à une détonation Signal de déformation eðrr caractéristique PAGEREF _Toc145244617 \h 144
HYPERLINK \l "_Toc145244618" Fig. 7 13 : Déformation eðrr de la plaque d épaisseur h = 0.5 mm pour une détonation de paramètres rb = 62.5 mm et dn = 283 mm PAGEREF _Toc145244618 \h 146
HYPERLINK \l "_Toc145244619" Fig. 7 14 : Déformation eðrr de la plaque d épaisseur h = 0.5 mm pour une détonation de paramètres rb = 50 mm et dn = 283 mm PAGEREF _Toc145244619 \h 147
HYPERLINK \l "_Toc145244620" Fig. 7 15 : Déformation eðrr de la plaque d épaisseur h = 5 mm pour une détonation de paramètres rb = 60 mm et dn = 220 mm (jauge A) PAGEREF _Toc145244620 \h 147
HYPERLINK \l "_Toc145244621" Fig. 7 16 : Déformation eðrr de la plaque d épaisseur h = 5 mm pour une détonation de paramètres rb = 60 mm et dn = 220 mm (jauge B) PAGEREF _Toc145244621 \h 148
HYPERLINK \l "_Toc145244622" Fig. 7 17 : Déformation eðrr pour une détonation de paramètres rb = 100 mm et dn = 220 mm PAGEREF _Toc145244622 \h 149
HYPERLINK \l "_Toc145244623" Fig. 7 18 : Évolution spatio-temporelle des déformations eðrr Correspondance avec les signaux temporels des jauges PAGEREF _Toc145244623 \h 150
Notations et symboles
A vecteur ou tenseur A
Ai composante du vecteur A (Aij composante du tenseur A)
Ev = 14.16 MJ énergie volumique du mélange propane-oxygène
dn distance normale séparant le centre d'explosion de la plaque impactée
ta temps d'arrivée (temps nécessaire à l'onde de choc pour atteindre la plaque)
p+ surpression à l'instant ta
rb rayon du confinement de la charge explosive
Vb volume de gaz contenu dans la sphère de rayon rb
h épaisseur de la plaque
S surface des sections droites
Á masse volumique de la plaque
Áf masse volumique du fluide
E module d'Young de la plaque
½ coefficient de Poisson
º coefficient correcteur de cisaillement [º = 0.86 (Reismann (1988))]
EMBED Equation.3 module de cisaillement de la plaque
EMBED Equation.3 inertie de rotation des sections droites de la plaque
EMBED Equation.3 rigidité de traction
EMBED Equation.3 rigidité de flexion
v vitesse dimensionnelle de propagation du front de chargement
EMBED Equation.3 vitesse de propagation des ondes longitudinales de plaque
EMBED Equation.3 vitesse de propagation corrigée des ondes de cisaillement
EMBED Equation.3 vitesse de propagation des ondes acoustiques dans le fluide (B: module de compressibilité)
t variable dimensionnelle de temps
(x,z) variables dimensionnelles de repérage dans un système de coordonnées cartésien
(r,z) variables dimensionnelles de repérage dans un système de coordonnées cylindrique
w déplacement dimensionnel hors plan de la plaque
u vecteur déplacement dans le plan de la plaque
ui composante du vecteur u (i = 1,2)
¨ vecteur rotation des sections droites de la plaque
¨i composante du vecteur ¨ (i = 1,2)
uf vecteur déplacement d'une particule fluide
Æ potentiel des vitesses acoustiques dans le fluide
pext pression extérieure (dimensionnelle) appliquée sur la face non couplée de la plaque
pint pression dimensionnelle exercée par le fluide sur la plaque
à tenseur des contraintes
Ãij composantes du tenseur des contraintes à (i,j = 1,2,3)
µ = µe+ µp tenseur des déformations (µe : tenseur des déformations élastiques ; µp : tenseur des déformations plastiques)
µij composantes du tenseur des déformations µ (i,j = 1,2,3)
Et = 1500 MPa module d Young tangent
I tenseur Identité
EMBED Equation.3 tenseur déviateur des contraintes
Ã0 = 110 MPa limite élastique initiale
Ãeq contrainte équivalente au sens de Von Mises
EMBED Equation.3 rayon de giration de la plaque
T = cp t / r0 variable non dimensionnelle de temps
(X,Z) = (x,z)/r0 variables non-dimensionnelles de repérage dans un système de coordonnées cartésien
(R,Z) = (r,z)/r0 variables non-dimensionnelles de repérage dans un système de coordonnées cylindrique
Y = X VT abscisse relative utilisée en analyse stationnaire
V = v/cp vitesse non-dimensionnelle de propagation du front de chargement
EMBED Equation.3 vitesse non dimensionnelle des ondes acoustiques dans le fluide
EMBED Equation.3 vitesse non dimensionnelle des ondes de cisaillement
EMBED Equation.3 masse volumique non dimensionnelle du fluide
W = w/r0 déplacement non-dimensionnel hors du plan de la plaque
EMBED Equation.3 potentiel non dimensionnel des vitesses acoustiques
EMBED Equation.3 pression extérieure non dimensionnelle
EMBED Equation.3 pression non dimensionnelle exercée par la fluide sur la plaque
EMBED Equation.3 contrainte de flexion non dimensionnelle
EMBED Equation.3 contrainte moyenne de cisaillement non dimensionnelle
INTRODUCTION GÉNÉRALE
Parmi les risques rencontrés dans les activités industrielles figurent ceux liés aux stockages et à lemploi de substances explosives. Lévaluation de ces risques, de leurs conséquences sur les populations et lenvironnement se heurte à la variété et à la complexité des situations réelles. De plus, les structures peuvent être en contact avec des liquides. Dans ce cas, la description des phénomènes nécessite une compréhension de linteraction fluide structure, c'est-à-dire du couplage entre la dynamique de la structure et celle du fluide.
Lobjet de ce travail de thèse est létude de la réponse en flexion des plaques couplées à un liquide sur une de leurs faces et parcourues par une onde de pression sur lautre face. Cette situation se rencontre lorsque des structures couplées sont exposées aux chargements rapides générés par les détonations, lesquelles correspondent au mode dexplosion le plus violent.
Le deuxième chapitre présente le chargement issu dune détonation aérienne. En détonique, ce chargement est appelé « pression réfléchie ». Il sagit dun champ de pression mobile caractérisé par un front (discontinuité de pression) qui se déplace à une vitesse élevée, pouvant atteindre plusieurs milliers de mètres par seconde. De telles vitesses procurent à la sollicitation de détonation un caractère hautement dynamique. Lévolution spatio-temporelle des pressions réfléchies sur les structures planes est connue et peut être intégrée dans un code de calcul.
Le troisième chapitre présente une étude bibliographique concernant les domaines de linteraction fluide structure, de la dynamique rapide et de la réponse des plaques à des chargements mobiles. Tout dabord, les hypothèses cinématiques nécessaires pour étudier les mouvements de flexion dune plaque sont introduites. Ensuite, dans le contexte de dynamique rapide, les équations linéarisées du mouvement dun fluide parfait compressible sont exposées. Puis, au travers détudes antérieures sur les plaques couplées, on montre les effets induits par le fluide sur les mouvements de la plaque. Ensuite, on présente les travaux menés sur la réponse des plaques soumises à des ondes de choc créées par des détonations. Enfin, le chargement de détonation devant être considéré comme mobile, des travaux réalisés sur la réponse des plaques à ce type de chargement sont exposés.
Le quatrième chapitre présente la modélisation du problème. Les sollicitations extérieures envisagées se déplaçant à des vitesses élevées, des vibrations à hautes fréquences vont être créées sur la structure. Les hypothèses doivent permettre la description de phénomènes vibratoires caractérisés par de faibles longueurs dondes. Par conséquent, la plaque est étudiée selon la théorie de Mindlin-Reissner qui prend en compte linertie de rotation et les déformations à leffort tranchant. Les équations du mouvement de la plaque prennent en compte les effets non linéaires géométriques initiés par les grandes rotations de la plaque soumise à des chargements dintensités élevées. Le modèle tient aussi compte des éventuelles non linéarités matérielles en introduisant, pour le matériau constitutif de la plaque, une loi de comportement élasto-plastique.
Si on ne considère que les grandes rotations de la plaque, les déplacements du fluide, à linterface, restent petits. Ainsi, il est légitime dappliquer, tout au long de létude, lhypothèse des petites perturbations dans le fluide. Ces hypothèses conduisent aux équations de lacoustique linéaire dans le liquide.
Les équations de la dynamique sont obtenues à partir du principe de Hamilton et sont exprimées en termes dopérateurs. Ces équations sont valables quel que soit le repère détude et on les développe pour deux problèmes distincts : i) le problème de la plaque unidimensionnelle (bande) couplée pour lequel les équations sont exprimées en coordonnées cartésiennes et ii) le problème de la plaque circulaire axisymétrique où les équations sont exprimées dans un repère de coordonnées cylindriques.
Dans le cinquième chapitre, on montre que des solutions analytiques existent si lon résout le problème linéaire de la bande couplée soumise à un chargement constant et se déplaçant à une vitesse constante (chargement mobile uniforme). Les solutions stationnaires du système sont étudiées dans un repère mobile attaché au front de chargement et représentent des ondes qui se propagent dans le système couplé à la même vitesse que le chargement.
Dans le sixième chapitre, une méthode de résolution numérique est présentée. Elle est basée sur lutilisation des différences finies où les opérateurs différentiels en temps et en espace sont approchés par des approximations discrétisées du second ordre. Lintégration temporelle des équations du mouvement seffectue selon un schéma explicite dordre deux.
Lalgorithme « intègre » un critère de plasticité de Von Mises. Une loi bilinéaire est utilisée pour modéliser le comportement élasto-plastique du matériau.
Dans un premier temps, la réponse de la bande à un chargement mobile stationnaire est présentée. Dans le cas linéaire, une comparaison avec la solution analytique permet de valider la méthode de résolution. Dans un second temps, les résultats relatifs à la réponse de la plaque circulaire axisymétrique soumise au chargement de détonation sont exposés.
Le septième chapitre est consacré à létude expérimentale. Nous utilisons un montage permettant de contrôler des explosions dans latmosphère et de mesurer les ondes mécaniques naissant sur des plaques reposant sur de leau. Au terme de ces expériences, il nous est apparu que : i) le modèle numérique permet dinterpréter avec justesse les signaux mesurés ; ii) le modèle prévoit correctement les amplitudes et les fréquences observées et iii) le domaine de validité du domaine linéaire peut être précisé grâce à la prise en compte des effets non linéaires susceptibles dapparaître aux tous premiers instants de la réponse.
LA DÉTONATION & LE CHARGEMENT DE PRESSION ASSOCIÉ
Introduction
Une explosion se définit comme la libération rapide dune énergie contenue dans un volume limité et capable de produire une onde de souffle. Suivant les conditions initiales (température, pression, composition du réactif explosif, énergie damorçage) et la configuration géométrique (milieu ouvert ou fermé, présence ou non dobstacles) deux régimes dexplosion peuvent survenir : la déflagration ou la détonation.
La déflagration produit une onde de souffle qui se propage à une vitesse sonique et génère une surpression faible de quelques bars. La détonation, au contraire, produit une onde de choc supersonique et la surpression engendrée peut atteindre plusieurs dizaine de bars. Il sagit du mode dexplosion le plus violent.
La probabilité dapparition dune détonation est plus faible que celle dune déflagration (Lannoy (1984)) mais la détonation est le phénomène le plus contraignant pour les structures en terme de surpression : il sagit du phénomène pris en compte dans la majorité des études sur les risques dexplosion en milieu industriel (Delaroche (1983)).
Les matériaux énergétiques, susceptibles de détoner, se présentent soit sous forme solide (ex : le trinitrotoluène ou TNT) soit sous forme gazeuse (ex : mélange gazeux carburant comburant comme le mélange hydrogène oxygène). Pour comparer les détonations entre elles, une équivalence a été établie entre les effets de surpression. Lidée est quil est possible, à partir de la détonation du TNT, dobtenir les mêmes effets de surpression que ceux obtenus lors dune explosion accidentelle. Cette équivalence consiste à déterminer la masse de TNT qui, en détonant, engendrerait le même champ de surpression que celui généré lors de laccident.
Les explosions sont des phénomènes qui dépassent souvent léchelle du laboratoire. Lapplication des lois de similitudes (géométriques et énergétiques) permet de réaliser les études à échelle réduite. Ces lois existent en détonique et ont permis de réaliser de nombreuses études en laboratoire.
Un objectif fondamental dans la maîtrise des risques liés aux explosions en milieu industriel est de pouvoir déterminer la surpression appliquée aux installations. Mais les géométries souvent complexes ainsi que la propagation et la réflexion de londe de choc sur les structures font quil est impossible de déterminer analytiquement le champ de pression agissant sur les structures.
La plaque est un élément structural sensible à la détonation puisquelle offre une surface dapplication importante. Par conséquent, cest sur ce type de structures que londe de choc va exercer les efforts dynamiques les plus importants.
La pression engendrée par une détonation en champ libre est dite pression incidente. Lorsquun obstacle se trouve face à la détonation, la pression est modifiée par sa présence. Un capteur dont la face sensible est placée dans le plan tangent à lobstacle mesure la pression réfléchie.
Cest au problème de plaque impactée par une onde de choc que Brossard et al. (1988) ont apporté des éléments de compréhension. A partir dun grands nombres dessais, ces auteurs ont proposé des expressions analytiques du champ de pression réfléchie, calculé sur une surface plane et issu de la détonation aérienne dun mélange gazeux propane oxygène.
Dans le cas de la détonation, les mouvements de la plaque ninfluencent pas londe de choc. Alors, la connaissance de la pression réfléchie permet dintégrer le chargement de détonation comme une donnée dans un code de calcul et de déterminer la réponse de la structure soumise à ce type de sollicitation.
Le premier paragraphe présente laspect énergétique des détonations. Le second paragraphe introduit la similitude de Hopkinson qui est la loi déchelle principale en détonique. Le troisième paragraphe est consacré à la formulation analytique du champ de pression généré par le passage de londe de choc sur une surface plane. Le quatrième paragraphe présente les propriétés fondamentales de ce champ de pression, appelé « champ de pression réfléchie ».
Aspect ÉNERGÉTIQUE de la DÉTONATION
Calcul de l énergie volumique
Les détonations sont obtenues à partir de la réaction de combustion du mélange propane oxygène en proportions stoechiométriques :
EMBED Equation.3 ( STYLEREF 1 \s 2 SEQ ( \* ARABIC \s 1 1)
L énergie volumique de combustion Ev correspond à l énergie libérée lors de la réaction et se calcule selon l expression suivante :
EMBED Equation.3 ( STYLEREF 1 \s 2 SEQ ( \* ARABIC \s 1 2)
Dans cette formule, H correspond à la variation totale denthalpie, n est le nombre de moles, R = 8.314 est la constante des gaz parfaits, P0 = 101325 Pa correspond à la pression atmosphérique et T est la température en Kelvin.
A partir des enthalpies EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 , on calcule la variation totale :
EMBED Equation.3 ( STYLEREF 1 \s 2 SEQ ( \* ARABIC \s 1 3)
Pour la combustion du propane avec l oxygène, n = 6 (une mole de propane et cinq d oxygène) on obtient, pour une température ambiante égale à 293 K, l énergie volumique suivante :
EMBED Equation.3 ( STYLEREF 1 \s 2 SEQ ( \* ARABIC \s 1 4)
Dans les expériences effectuées au laboratoire, le mélange explosif est contenu dans une enveloppe sphérique de type « bulle de savon » ou ballon en élastomère.
Si Vb désigne le volume du confinement alors lénergie de combustion, libérée lors de la détonation, est égale à :
EMBED Equation.3 ( STYLEREF 1 \s 2 SEQ ( \* ARABIC \s 1 5)
Équivalence énergétique
Selon Lannoy (1984), pour obtenir les mêmes effets de surpression, la détonation d un mélange gazeux doit être cinq fois plus énergétique que la détonation du TNT :
EMBED Equation.3 ( STYLEREF 1 \s 2 SEQ ( \* ARABIC \s 1 6)
La question se pose de connaître la quantité de gaz qu il faudrait pour obtenir la même énergie libérée lors de la détonation d un kilogramme de TNT sachant que l énergie massique du TNT vaut Em(TNT) = 4690 kJ/kg (Kinney (1985)).
A partir des énergies massique Em et volumique Ev, de la masse m de TNT et du volume V de gaz, on établit la relation d équivalence suivante :
EMBED Equation.3 ( STYLEREF 1 \s 2 SEQ ( \* ARABIC \s 1 7)
soit :
EMBED Equation.3 ( STYLEREF 1 \s 2 SEQ ( \* ARABIC \s 1 8)
Pour la combustion complète propane oxygène, dans les conditions normales de pression et de température, il faudrait un volume de gaz égal à 1.656 m3 pour obtenir l énergie libérée lors de la détonation de 1 kg de TNT. Inversement, il faudrait une masse de TNT égale à 604 mg pour avoir les surpressions obtenues lors de la détonation dun litre de mélange propane oxygène.
Ce simple calcul permet dévaluer les ordres de grandeurs concernant les quantités dexplosifs utilisées dans les expériences à échelle réduite et illustre la dangerosité des explosifs solides par rapport aux explosifs gazeux.
Bien que cette méthode soit universellement utilisée, on doit noter que les résultats de masses équivalentes de TNT ne sont, en général, quapproximatives (Laurent (2003)).
Loi de similitude de Hopkinson
A partir du théorème Pi de Buckingham et dune analyse dimensionnelle des grandeurs caractéristiques des ondes de choc, Hopkinson (1915) a développé la notion de similitude en fonction dun unique paramètre, appelé « distance réduite », défini par :
EMBED Equation.3 ( STYLEREF 1 \s 2 SEQ ( \* ARABIC \s 1 9)
La distance réduite » est définie comme le rapport entre la distance séparant le centre d explosion et un point d observation quelconque et la racine cubique de l énergie libérée E0. Les détonations pour lesquelles la valeur de » est identique sont des détonations qui respectent la similitude.
En d autres termes (Baker et al. (1991)), la similitude de Hopkinson établit qu un observateur, situé à une distance d d une charge explosive de rayon rb, mesurera la même pression de détonation P qu un observateur situé à une distance Kd d une charge de rayon Krb mais avec des temps d application et des impulsions I multipliés par le facteur d échelle K (Fig. 2 1).
Fig. STYLEREF 1 \s 2 SEQ Fig. \* ARABIC \s 1 1 : Illustration de la similitude de Hopkinson
La loi de similitude de Hopkinson a été vérifiée expérimentalement par de nombreux auteurs pour des charges explosives variées. Baker et al. (1991) citent notamment les travaux de Kingery (1952) qui montrent une concordance très satisfaisante entre les résultats obtenus lors dun test avec une charge de cent tonnes de TNT et ceux estimés en laboratoire avec des charges variant de 0.5 à 4.5 kilogrammes.
chargement de DÉTONATION sur une surface plane
Présentation
Dans cette étude, on sintéresse aux détonations aériennes de mélanges gazeux. Ces détonations donnent naissance à des ondes de choc caractérisées par une distribution spatio-temporelle.
Initialement, il y amorçage de la réaction de combustion par apport rapide dénergie dorigine électrique. La combustion saccompagne dune propagation de flamme dans le mélange réactif. Cette flamme constitue le front de londe de détonation et se déplace à la vitesse constante de Chapman Jouguet (Sochet (1993)), notée DCJ. Cette vitesse, pour le mélange propane oxygène, est égale à 2360 m/s. Au contact du milieu ambiant (ici de lair), londe de détonation lance dans latmosphère une onde de choc sphérique. Londe de choc est assimilable à une discontinuité de pression qui se propage radialement à travers lair, avec une symétrie sphérique.
Modélisation de la pression réfléchie
Grâce aux études expérimentales et théoriques antérieures menées au LEES, lhistoire de la pression réfléchie sur un plan, pour une détonation donnée, est bien connue (Brossard et al. (1988)).
Le signal de pression (Fig. 2 2), enregistré en un point A d une structure plane, est caractéristique.
Fig. STYLEREF 1 \s 2 SEQ Fig. \* ARABIC \s 1 2 : Profil expérimental de la pression réfléchie en un point d une structure plane
Après un certain délai, appelé « temps darrivé » et noté ta, au passage de londe au point A, la pression sélève brutalement à son maximum avec, dans nos expériences, un temps de montée inférieur à 3 µs. Ensuite, la pression saffaiblit et diminue jusquà la pression ambiante. Une phase de dépression apparaît pendant laquelle la pression diminue jusquà son minimum. La pression remonte alors jusquà la pression ambiante. On estime que la durée de la phase de dépression est sensiblement égale à trois fois la durée de phase de surpression.
Pour modéliser lhistoire de la pression réfléchie sur une structure, il est nécessaire de définir les positions pour lesquelles la pression est calculée. Soit dn la distance normale séparant le centre dexplosion de la structure. Le point A est repéré par sa distance réduite » et l angle d incidence ± (Fig. 2 3).
Fig. STYLEREF 1 \s 2 SEQ Fig. \* ARABIC \s 1 3 : Paramètres de la détonation face à un plan
L histoire de la pression réfléchie au point A est modélisée par une fonction sinusoïdale très amortie dont l expression, proposée par Delaroche (1983), est :
EMBED Equation.3 ( STYLEREF 1 \s 2 SEQ ( \* ARABIC \s 1 10)
Dans cette formule, p+ représente la surpression maximale, k est le facteur d amortissement, t+ et t- sont les durées des phases de surpression et de dépression. La modélisation nécessite aussi la connaissance du temps darrivée ta de londe au point A. Ce paramètre représente le temps nécessaire à londe pour parcourir la distance d.
On observe (Fig. 24) que la fonction, définie entre les instants ta et ta + t+ + t-, est bornée par les extremums p+ et p- (valeur minimale de la pression au cours du temps). Au-delà de l instant ta + t+ + t-, les oscillations de la fonction p, d amplitudes très faibles, sont négligées.
Fig. STYLEREF 1 \s 2 SEQ Fig. \* ARABIC \s 1 4 : Profil numérique de la pression réfléchie au point A
A partir d essais expérimentaux, Brossard et al. (1995) ont proposé des fonctions polynomiales faisant intervenir l angle d incidence ± pour calculer la valeur des six paramètres p+, k, t+, t- et ta.
L expression de la surpression p+ est :
EMBED Equation.3 ( STYLEREF 1 \s 2 SEQ ( \* ARABIC \s 1 11)
Avec :
EMBED Equation.3 ( STYLEREF 1 \s 2 SEQ ( \* ARABIC \s 1 12)
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Le coefficient d amortissement k est défini par :
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L expression du temps d arrivée ta est :
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Enfin, les durées t+ et t- sont définies par :
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EMBED Equation.3 ( STYLEREF 1 \s 2 SEQ ( \* ARABIC \s 1 21)
Pour un mélange gazeux donné, de caractéristiques énergétiques connues, la connaissance des paramètres rb et dn permet de connaître sans ambiguïté l histoire de la pression en un point quelconque repéré, sur le plan, par ses paramètres géométriques » et ± (Fig. 2 3).
PROPRIÉTÉS de la pression RÉFLÉCHIE
Le chargement, généré lors dune détonation, est un champ de pression mobile qui se propage sur la structure et qui possède une symétrie autour dun axe.
A laide des formules analytiques précédentes, on représente lévolution de la pression en fonction du temps pour différents points de la plaque (Fig. 25).
On voit que la propagation de londe de choc sur la plaque saccompagne dune élévation brutale de la pression (discontinuité de pression) qui se déplace sur la structure. On observe aussi une diminution de lintensité du front de chargement en fonction du temps et de lespace.
Il est aussi possible de calculer la vitesse du front de pression sur la structure (Fig. 26). Au premier point dimpact (r = 0), la vitesse est « théoriquement » infinie. Elle décroît très rapidement pour se stabiliser à la vitesse du son dans lair.
Les chargements de détonation sont des phénomènes dynamiques dont lévolution spatio-temporelle ne peut être comparée ni à lévolution dune impulsion ni à celle dune pression mobile appliquée uniformément.
Conclusion
Les éléments de détonique essentiels à la présente étude ont été présentés. Les nombreuses expériences antérieures menées au LEES ont permis de proposer une modélisation de la pression réfléchie. Ces résultats peuvent être introduits dans un code de calcul numérique afin dévaluer la réponse dynamique dune structure plane soumise à une détonation aérienne.
Fig. STYLEREF 1 \s 2 SEQ Fig. \* ARABIC \s 1 5 : Représentation spatio-temporelle de la pression réfléchie sur un plan
Fig. STYLEREF 1 \s 2 SEQ Fig. \* ARABIC \s 1 6 : Évolution numérique de la vitesse du front de pression sur un plan
ÉTUDE bibliographique
Introduction
La présente étude se place dans les domaines de linteraction fluide structure, de la dynamique rapide et de la propagation des ondes. Afin de positionner notre étude, il est nécessaire détudier les travaux menés sur la dynamique des plaques couplées à un liquide. De même, il est nécessaire détudier les travaux effectués sur la réponse des plaques soumises à des ondes de choc. Enfin, la spécificité de notre étude impose de faire une synthèse des travaux portant sur la réponse des plaques ou des poutres soumises à des chargements mobiles. En effet, nous avons vu que le chargement de l'explosion est une pression réfléchie qui se déplace à vitesse décroissante (d'abord supersonique puis subsonique).
THÉORIE de la flexion des plaques
La théorie de la flexion des plaques la plus simple est la théorie de Kirchhoff-Love (1994), appelée aussi théorie classique de la flexion (Classical Plate Theory, en anglais). Elle est basée sur le champ de déplacements suivant:
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EMBED Equation.3 ( STYLEREF 1 \s 3 SEQ ( \* ARABIC \s 1 3)
dans lequel (u, v, w) sont les composantes du déplacement, dans un repère de coordonnées cartésiennes, d'un point appartenant au feuillet moyen (ie. plan de la plaque de coordonnée z = 0). Le champ de déplacement, composé des équations (31) (32) et (33), repose sur les hypothèses classiques selon lesquelles une section droite, normale au feuillet moyen avant déformation, reste droite et normale après déformation (Fig. 31a). Sous ces hypothèses, les déformations à l'effort tranchant et les contraintes normales au feuillet moyen sont négligées : l'état de déformation est généré uniquement par la flexion et les extensions du feuillet moyen (tensions de membrane).
Les bases d'une théorie prenant en compte les déformations au cisaillement ont été posées par Reissner (1945). Puis la théorie complète a été publiée par Mindlin (1951). Cette théorie est connue sous le nom de théorie améliorée (en anglais, Improved Plate Theory - IPT). Elle est basée sur le champ de déplacements suivant :
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
où les termes ¨y et ¨x désignent les rotations des sections droites autour des axes y et x, respectivement. Selon cette théorie, une section droite, normale au feuillet moyen avant déformation, reste droite mais n'est plus normale au feuillet moyen après déformation (Fig. 31b). De plus, il est possible de prendre en compte, en plus des déformations à l'effort tranchant, l'inertie de rotation des sections droites.
Un modèle de plaque plus complexe peut être développé en utilisant comme composantes du champ de déplacement des fonctions de la variable z d'ordre deux (Reddy (1984)). Ce modèle introduit des nouvelles inconnues dont l'interprétation physique n'est pas évidente. De plus, l'apport de ce type de ce modèle sur les résultats n'est pas justifié en regard de la complexité introduite dans les calculs (Reddy (1984)).
Dans tout le reste de l'étude, on se référera à la théorie classique (Classical Plate Theory) ou à la théorie améliorée (IPT) de la flexion en parlant, respectivement, de plaque de Kirchhoff ou de plaque de Mindlin Reissner. Cette distinction entre théorie classique et théorie améliorée existe aussi pour l'étude des poutres. On parle alors de poutre d'Euler-Bernoulli (CPT) et de poutre de Kirchhoff (IPT).
A partir de la comparaison des vitesses de propagation des ondes de flexion dans une plaque infinie, Mindlin (1951) montre que la vitesse des ondes, prévue par la théorie améliorée, est identique à celle calculée à partir de la théorie de lélasticité. La concordance des résultats entre théorie classique et théorie de lélasticité nest satisfaisante que dans le cas où les longueurs dondes » sont supérieures à six fois l épaisseur de la plaque h.
Ces remarques conduisent aux distinctions d utilisation suivantes :
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