Td corrigé Exercice 1 : loi des grands nombres pdf

Exercice 1 : loi des grands nombres

Soient des v.a. i.i.d. d'espérance m et de variance. On pose et . 1) Calculer les espérances de et . 2) Etudier la convergence en probabilité de ces deux suites.




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TD3 : Convergence de variables aléatoires


Exercice 1 : Estimateurs empiriques
Soient  EMBED Equation.DSMT4  des v.a. i.i.d. d’espérance m et de variance EMBED Equation.DSMT4 . On pose  EMBED Equation.DSMT4 et  EMBED Equation.DSMT4 .
Calculer les espérances de  EMBED Equation.DSMT4 et  EMBED Equation.DSMT4 .
Etudier la convergence en probabilité de ces deux suites.
Montrer que  EMBED Equation.DSMT4  converge en loi et donner sa limite.


Exercice 2 : Théorème central limite
On effectue n tirages avec remise dans une urne contenant deux boules blanches et quatre boules bleues. A chaque tirage i=1,…n, on associe la v.a. Xi valant 1 si la boule tirée est blanche, 0 sinon.
Etudier la convergence en probabilité de la suite  EMBED Equation.DSMT4 .
En utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, déterminer le nombre de tirages nécessaires  EMBED Equation.DSMT4  pour que  EMBED Equation.DSMT4 
En utilisant le théorème central limite, déterminer une autre valeur  EMBED Equation.DSMT4  répondant à la question précédente et comparer.

Exercice 3 : Variable de Poisson de grand paramètre

On dispose d un échantillon  EMBED Equation.DSMT4 i.i.d. issu d une loi de poisson de paramètre ¸. Soit
 EMBED Equation.DSMT4 
.
Etudier la convergence en moyenne et presque sûre de la suite EMBED Equation.DSMT4 .
Montrer que  EMBED Equation.DSMT4  converge en loi et préciser sa limite.
Exprimer  EMBED Equation.DSMT4  pour  EMBED Equation.DSMT4 .
En déduire que  EMBED Equation.DSMT4 
Rq : Si X et Y sont deux variables aléatoires de loi de Poisson de paramètres a et b, X+Y suit une loi de Poisson de paramètre a+b.
Exercice 4 : Convergence de la suite des minimums

Soit  EMBED Equation.DSMT4  une suite de variables aléatoires i.i.d. de loi  EMBED Equation.DSMT4 . On définit la v.a.  EMBED Equation.DSMT4 .
Donner la loi de  EMBED Equation.DSMT4 .
Montrer que  EMBED Equation.DSMT4  converge en probabilité vers  EMBED Equation.DSMT4 .
Montrer que  EMBED Equation.DSMT4  converge en loi vers une v.a. Z dont on donnera la loi.

Exercice 5 : Convergence en loi d’une variable hypergéométrique
Soit  EMBED Equation.DSMT4  une suite de variables aléatoires de loi Hð(N,n,p). Montrer que lorsque N tend vers l infini,  EMBED Equation.DSMT4  converge en loi vers une variable de loi Binomiale Bð(n,p).


Exercice 6 : Convergence en loi et convergence en probabilités
On tire un nombre au hasard entre 0 et 1. On définit sur l’espace probabilisé  EMBED Equation.DSMT4  les variables aléatoires  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
Calculer les lois et les fonctions de répartitions de ces variables.
Montrer que  EMBED Equation.DSMT4  converge en loi vers  EMBED Equation.DSMT4 lorsque n tend vers l’infini.
Calculer la probabilité  EMBED Equation.DSMT4 . En prenant un exemple précis de  EMBED Equation.DSMT4 , montrer que  EMBED Equation.DSMT4  ne converge pas en probabi*-78:PQXYpqrs ¡¸¹º»ÄÅÆÝÞßàâãäûüýþ   4 üøüñüñêñüâüÓÉâüâüº°âü¬¤¬•‹¤¬üâü|râü¬¤¬j9
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Exercice 7 : Variations sur la loi normale

Soient  EMBED Equation.DSMT4  i.i.d. issus d’une loi de densité
 EMBED Equation.DSMT4 
Calculer  EMBED Equation.DSMT4 .
Etudier la convergence presque sûre de  EMBED Equation.DSMT4 .
Etudier la convergence en probabilité de  EMBED Equation.DSMT4 .
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