La comète de Halley
20/02/2013.
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NOM : ................................................ Prénom : ................................................ Classe : TS
.. Exercice n°1 :
La comète de Halley ( points)
Découverte de la comète de Halley :(15 points)
"Comètes que lon craint à légal du tonnerre,
Cessez dépouvanter les peuples de la Terre,
Dans une ellipse immense achevez votre cours,
Remontez, descendez près de lastre des jours,
Lancez vos feux, volez, et revenant sans cesse,
Des mondes épuisés ranimez la vieillesse."
Voltaire (1694-1778)
Ecrits en 1738 par Voltaire à son amie la marquise du Châtelet, ce poème illustre dune façon remarquable une révolution capitale dans lhistoire de la compréhension des comètes par lhumanité. Jusque-là, ces astres au cours apparemment erratique, à lapparition imprévisible, à laspect spectaculaire et rapidement changeant, étaient considérés avec crainte et superstition comme des présages néfastes et annonciateurs de grandes catastrophes. Mais au XVIIème siècle, on comprenait enfin, grâce notamment aux travaux de Johannes Kepler, dIsaac Newton et dEdmund Halley que le mouvement apparemment étrange des comètes sur la voûte céleste obéit en fait aux mêmes lois que le mouvement des planètes. Dans le cas des comètes, lellipse est simplement beaucoup plus allongée (plus excentrique) que celles qui sont parcourues par les planètes.
Selon des annales chinoises, les premières observations de la comète de Halley datent de 240 av. J.C. En 1682, Edmund Halley (1656 - 1743), alors âgé de 26 ans, aidé par Isaac Newton, prédit le retour de cette comète pour 1759. La comète fut au rendez-vous, vérifiant ainsi les lois de Kepler.
Durant lété 1911, la Terre traversa la queue de poussière et de gaz de la comète provoquant une grande inquiétude populaire allant même jusquaux grandes prédictions de fin du monde apocalyptique propres à toute fin proche dun millénaire. On avait en effet détecté par spectroscopie la présence dans latmosphère de la comète dun gaz très toxique, le cyanogène CN, et des escrocs en profitèrent pour vendre des pilules « anticomète »
Etude du mouvement de la comète
Analyse du texte :
Daprès le poème de Voltaire, quelle est la trajectoire dune comète ?
Que signifie lalexandrin "Remontez, descendez près de lastre des jours" ?
Ces deux réponses sont-elles en accord avec la première loi de Kepler ? Justifier.
Analyse du mouvement :
Le document en annexe, représente la chronophotographie de la comète de Halley.
Sur le document en annexe, utiliser les données pour placer précisément la position du Soleil.
Justifier qualitativement que le mouvement de la comète autour du Soleil respecte la deuxième loi de Kepler.
Déterminer la valeur de la vitesse (en km.s-1) de la comète en 1988 ainsi que celle en 1990.
Construire en annexe, avec soin, le vecteur accélération eq \o(\s\up7(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 174\f Symbol \s5\h );a) en 1989. Que remarque-t-on ?
Parmi les trois relations ci-dessous, quelle est lexpression correcte du vecteur eq \o(\s\up7(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 174\f Symbol \s5\h );a) de la comète ? Justifier. Données : Dans le repère de Frenet centré sur la comète :
( eq \o(\s\up7(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 174\f Symbol \s5\h );a) = eq \s\do1(\f(v²;r)) eq \o(\s\up7(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 174\f Symbol \s5\h );u)n + eq \s\do1(\f(dv;dt)) eq \o(\s\up7(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 174\f Symbol \s5\h );u)t( eq \o(\s\up7(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 174\f Symbol \s5\h );a) = eq \s\do1(\f(dv;dt)) eq \o(\s\up7(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 174\f Symbol \s5\h );u)t( eq \o(\s\up7(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 174\f Symbol \s5\h );a) = eq \s\do1(\f(v²;r)) eq \o(\s\up7(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 174\f Symbol \s5\h );u)nLe vecteur unitaire eq \o(\s\up7(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 174\f Symbol \s5\h );u)n est normal à la trajectoire et centripète ;
Le vecteur unitaire eq \o(\s\up7(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 174\f Symbol \s5\h );u)t est tangent à la trajectoire et dans le sens du mouvement.
Quelle est la principale force qui sexerce sur la comète ? Calculer sa norme en 1989.Données : Constante universelle de gravitation : G = 6,67 ( 10-11 usi ; Masse du Soleil : MS = 2,0 ( 1030 kg
Représenter cette force en 1989 en précisant léchelle.
Justifier que la deuxième loi de Newton est bien respectée.
Vers la troisième loi de Kepler :
Pour la comète de Halley, calculer le rapport eq \s\do1(\f(T²;A3)).
Calculer ce même rapport pour la Terre.
Que remarque-t-on ? Quelle conclusion peut-on tirer de ces calculs ?
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..
Chronophotographie de la trajectoire de la comète de Halley
Exercice n°2 : Mouvement dans un champ de pesanteur.( 16 points)
Un motard de masse m = 280 kg avec sa moto sélance sans vitesse initiale depuis lorigine O du repère à la date t = 0 sur une portion rectiligne et horizontale. On repère la position du système {motard+moto} à laide de son centre de gravité G. Arrivé au point A à la date t = 6,0 s la vitesse du système est vA = 30 m(s-1. Puis il sengage sur un tremplin faisant un angle ( = 30° avec lhorizontale.
Le référentiel détude sera supposé galiléen. On prendra g = 10 N(kg-1.
1. Phase délan :
Quest-ce quun référentiel galiléen ?
Donner les caractéristiques du poids du système {motard+moto} et préciser lauteur de cette force.
Sur le trajet OA, le système est-il pseudo isolé ? Justifier clairement.
Déterminer laccélération moyenne du système sur ce trajet.
Sachant que sur le tremplin le système maintient sa vitesse constante à 30 m(s-1, est-il pseudo-isolé ?
Citer les forces qui sexercent sur le système entre A et B.
2. Phase de saut :
On considère à présent le point C comme la nouvelle origine du repère détude. Le motard quitte le tremplin en B à la date tB = 0, nouvelle origine du temps. Il est alors considéré en chute libre jusquà ce quil retouche le sol.
Comment se nomme la grandeur g ?
Donner les coordonnées du vecteur vitesse du système au point B, lorsquil quitte le tremplin.
Déterminer les coordonnées du vecteur accélération que subit le système lors du saut.
En déduire les équations horaires de la vitesse et de la position.
Choisir, sans le justifier, la courbe qui représente le mieux lallure de la fonction vy(t) :
Même question pour la fonction x(t) :
Déterminer lexpression littérale de laltitude maximale atteinte par le système pendant le saut.
Exercice 3 : Mouvement dans un champ électrique (15 points)
On considère un proton lancé à la vitesse v0 depuis lorigine O du repère dans un condensateur constitué de deux armatures planes de longueur D chargées de manière opposée et distante dune longueur 2d.
La charge électrique du proton est + e. Sa masse est m = 1,6(10-27 kg.
On donne g = 10 N(kg-1.
Quel est le système détude ?
Sachant que larmature A est chargée positivement, vers quelle armature se dirigera le proton lors de son mouvement dans le condensateur ? Justifier.
Représenter sur le schéma ci-dessus lallure de la trajectoire du proton sachant quil finit par ressortir du condensateur sans être capturé par une armature.
Une force peut être négligée si elle est au moins mille fois inférieure à une autre. Sachant que la force électrique EMBED Equation.3 que subit le proton dans le condensateur est de 3,2(10-15 N montrer que le poids du proton peut être négligé lors de létude du son mouvement.
Donner les coordonnées du vecteur champ électrique dans le condensateur.
En déduire celles de la force électrique que subit le proton.
Montrer que laccélération subit par le proton peut sécrire : EMBED Equation.3
Sachant que les équations horaires du mouvement du proton sont :
déterminer léquation de sa trajectoire.
Montrer que pour que le proton puisse ressortir du condensateur sans toucher la plaque il faut que :
EMBED Equation.3
Correction.
Exercice n°1 :La comète de Halley : (15 points)
Analyse du texte :
1.1. Trajectoire elliptique.(1 pt)
1.2. La comète sapproche puis séloigne du Soleil. (1 pt)
1.3. La 1ère loi de Kepler est vérifiée car la comète possède une trajectoire elliptique dont le Soleil lastre attracteur (au foyer de lellipse). (1 pt)
Analyse du mouvement :
2.1. Le Soleil est proche de la date 1986 à 0,6 ua soit 0,6×150.106 = 90.106 km soit 0,45 cm de distance. (1 pt)
2.2. Daprès la deuxième loi de Kepler, la comète doit être plus rapide au périhélie quà laphélie ; or, cest bien le cas ici car la distance parcourue en 1986 est plus importante qu à l aphélie (en 2024). (1 pt)
2.3. La vitesse en 1988 se calcule par : v = eq \s\do1(\f(d(1989 1987);t(2 ans))) avec d(1989 1987) = 4,5 cmsoit v = EMBED Equation.3 H" 14 km/s. (1 pt)
v1990 = eq \s\do1(\f(d(19911989);t(2 ans))) avec d(19911989) = 2,9 cm ; v1990 = 9,0 km/s(1 pt)
2.4. On remarque que le vecteur accélération est dirigé vers le Soleil et vaut EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 de norme 6.10-5 m.s-2. (1 pt)
2.5. On observe que le vecteur EMBED Equation.3 possède une composante selon EMBED Equation.3 car EMBED Equation.3 `" 0 (contrairement au mouvement circulaire) et une composante selon EMBED Equation.3 car v `" 0 (la comète n est pas immobile par rapport au Soleil) : la relation ( est donc correcte. (1 pt)
2.6.Il s agit de la force gravitationnelle exercée par le Soleil sur la comète EMBED Equation.3 dont la direction est la droite Soleil-Comète, le sens est vers le soleil et la norme F = G× eq \s\do1(\f(m ( MS;d²)) avec d = 7,45 cm = 7,45×200.106 km = 7,45×200.109 m. Doù F = 6,67.10-11 ( EMBED Equation.3 H" 6.109 N. (1 pt)
2.7. Le vecteur force mesure 6 cm avec l échelle 1 cm ! 1019 N. (1 pt)
2.8. La deuxième loi de Newton est bien vérifiée car les vecteurs EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 ont la même direction et le même sens ; De plus, m×a(1989) = 1014×6.10-5 = 6.109 kg.m.s-2 , valeur proche de F = 6.109 N (aux erreurs de mesure près). (1 pt)
3.Vers la troisième loi de Kepler :
. Pour la comète de Halley : EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 H" 1,0 an².ua-3 ou : EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 H" 3,0.10-19 usi(1 pt)
3.2. Pour la Terre : EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = 1 an².ua-3 ; En usi : EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 H" 3.10-19 usi (1 pt)
On remarque que ce rapport est le même pour les deux astres ; donc, daprès la 3ème loi de Kepler, la comète et la Terre possèdent le même astre attracteur (ils sont tous les deux en orbite autour du Soleil). (1 pt)
Exercice 2 : Mouvement dans un champ de pesanteur (16 pts)
Phase 1 :
Cest un référentiel dans lequel le principe de linertie est vérifié. (1 pt)
Les caractéristiques du poids du motard sont : (1 pt)
direction : verticale
sens : vers le bas
intensité : P = mg = 280 ( 10 = 2,8 ( 103 N
point dapplication : centre de gravité du système {motard+moto}
le trajet OA le système accélère. Ainsi, daprès la deuxième loi de Newton, les forces qui sexercent sur lui ne se compensent pas : il nest pas pseudo-isolé. (1 pt)
Calcul de laccélération moyenne du système sur la portion OA :
EMBED Equation.3 (1 pt)
Le mouvement sur le tremplin est donc rectiligne et uniforme (vitesse constante), donc daprès la première loi de Newton, le système est soumis à des forces qui se compensent : il est pseudo-isolé. (1 pt)
Sur le tremplin, les forces qui sexercent sur le système {motard+moto} sont : (1 pt)
son poids
la réaction normale du support
la force de propulsion de la moto
les forces de frottement
Phase 2 :
La grandeur g se nomme « champ de pesanteur » ou « accélération du champ de pesanteur ». (1 pt)
Le vecteur vitesse du système en B est : EMBED Equation.3 (1 pt)
Daprès la deuxième loi de Newton :
EMBED Equation.3 (1 pt)
( EMBED Equation.3 car la masse du système est constante.
( EMBED Equation.3
( EMBED Equation.3
( EMBED Equation.3 (1 pt)
En intégrant le vecteur précédent on arrive à :
EMBED Equation.3
Or à lorigine du temps, EMBED Equation.3 donc :
EMBED Equation.3
Doù : EMBED Equation.3
Et donc : EMBED Equation.3 (1 pt)
En intégrant à nouveau on arrive au vecteur position du système :
EMBED Equation.3
Or, à lorigine du temps le système est confondu avec le point B (O; h) donc :
EMBED Equation.3 (1 pt)
Les équations horaires de la vitesse sont :
EMBED Equation.3
Les équations horaires du mouvement sont :
EMBED Equation.3
La fonction vy(t) est représentée par la courbe 3. (1 pt)
La fonction x(t) est représentée par la courbe 1. (1 pt)
Lorsque le système arrive au sommet S de sa trajectoire, on a vy = 0. Donc :
EMBED Equation.3
( EMBED Equation.3 (1 pt)
Ainsi, laltitude du point S est :
EMBED Equation.3
( EMBED Equation.3 (1 pt)
Exercice 2 : Mouvement dans un champ électrique (15 pts)
Le système étudié est le {proton} (1 pt)
Comme les charges de même signe se repoussent et les charges de signe contraire sattirent, le proton sera attiré par larmature B tout en étant repoussé par la A. Il se dirigera donc vers larmature B. (1 pt)
Allure de la trajectoire du proton : (1 pt)
Le poids du proton est de : P = mg = 1,6(10-27 ( 10 = 1,6(10-26 N. (1 pt)
Ainsi le rapport entre le poids et la force électrique est :
EMBED Equation.3 (1 pt)
La force électrique est environ 200 milliards de fois plus intense que le poids. Ce dernier peut donc être négligé lors de létude du mouvement du proton dans ce condensateur. (1 pt)
Le vecteur champ électrique : EMBED Equation.3 (1 pt)
On sait que : EMBED Equation.3 . (1 pt)
Donc, avec la charge du proton : EMBED Equation.3 .
Doù : EMBED Equation.3
( EMBED Equation.3 (1 pt)
Daprès la deuxième loi de Newton :
EMBED Equation.3 (1 pt)
( EMBED Equation.3 car la masse du proton est constante.
Donc : EMBED Equation.3 (1 pt)
( EMBED Equation.3
Doù EMBED Equation.3
Léquation de la trajectoire est :
EMBED Equation.3 (1 pt)
( EMBED Equation.3
( EMBED Equation.3 (1 pt)
Soit K le point de sortie du proton. Pour que le proton ressorte du condensateur sans toucher larmature B, il faut que lorsquil atteint labscisse xK8>sy«¶×äåæ A B o p Î Ï ø ú
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Donc, en utilisant léquation de la trajectoire, cela donne :
EMBED Equation.3
( EMBED Equation.3
( EMBED Equation.3
( EMBED Equation.3
( EMBED Equation.3 C.Q.F.D. (2 pts)
doc.1 La comète de Halley, photographiée le 8 mars 1986 sur l'Ile de Pâques.
Echelles : Intervalle de temps : Ä = 1 an (soit H" 365,25 jours)
Distance : 1 cm ! 200 millions de km
Caractéristiques de la comète :
Masse : H" 1014 kg
Diamètre du noyau : H" 10 km
Période de révolution : T = 76 ans
Périhélie : 0,6 u.a.
Aphélie : 35 u.a.
Excentricité : e = c / A = 0,967
Inclinaison sur lécliptique : 162,2° (mouvement rétrograde)
Remarques :
Une unité astronomique (u.a.) correspond à la distance Terre-Soleil, soit 150 millions de km environ.
Le périhélie est le point de lorbite le plus proche du Soleil (par opposition à laphélie).
2024
1988
1987
1986
c
A
F
F
C
C : centre de lellipse
F et F : foyers de lellipse
A : demi grand axe
EMBED Equation.3
(
O
A
B
y
x
h
C
(
Courbe 1
t
Courbe 2
t
Courbe 3
t
Courbe 4
t
Courbe 1
t
Courbe 2
t
Courbe 3
t
Courbe 4
t
d
EMBED Equation.3
Armature A
Armature B
O
y
x
D
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Armature A
Armature B
O
y
x
EMBED Equation.3
Armature A
Armature B
O
y
EMBED Equation.3
y = - d
x = D
K
yK
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