TD EM2 : Potentiel électrostatique ? Dipôle ... - PCSI-PSI AUX ULIS
TD EM2 : Potentiel électrostatique ? Dipôle électrostatique. But du chapitre.
Etudier les relations entre le champ électrostatique, le potentiel électrostatique et
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TD EM2 : Potentiel électrostatique Dipôle électrostatique
But du chapitre
Etudier les relations entre le champ électrostatique, le potentiel électrostatique et lénergie potentielle électrostatique.
Etudier le modèle du condensateur plan et du dipôle électrostatique.
Plan prévisionnel du chapitre
TOC \o "1-2" \n \p " " \h \z \u HYPERLINK \l "_Toc323145805" I - Energie potentielle électrostatique
HYPERLINK \l "_Toc323145806" 1°) Travail dune force conservative, énergie potentielle
HYPERLINK \l "_Toc323145807" 2°) Energie potentielle dinteraction électrostatique entre deux charges ponctuelles
HYPERLINK \l "_Toc323145808" II - Définition et expression du potentiel électrostatique
HYPERLINK \l "_Toc323145809" 1°) Définition
HYPERLINK \l "_Toc323145810" 2°) Potentiel électrostatique créé par une charge ponctuelle
HYPERLINK \l "_Toc323145811" 3°) Potentiel électrostatique créé par un ensemble de charges ponctuelles
HYPERLINK \l "_Toc323145812" 4°) Potentiel électrostatique créé par une distribution de charges
HYPERLINK \l "_Toc323145813" III - Lien entre le potentiel électrostatique et le champ électrostatique
HYPERLINK \l "_Toc323145814" 1°) Relation globale : circulation du champ électrostatique
HYPERLINK \l "_Toc323145815" 2°) Relation locale : gradient du champ électrostatique
HYPERLINK \l "_Toc323145816" 3°) Topographie du potentiel électrostatique
HYPERLINK \l "_Toc323145817" IV Modélisation du condensateur plan
HYPERLINK \l "_Toc323145818" V Dipôle électrostatique
Savoirs et savoir-faire
Ce quil faut savoir :
Les relations entre le potentiel et le champ électrostatiques.
Les intégrales donnant le potentiel électrostatique créé par une distribution de charges.
L'énergie potentielle électrostatique.
Les notions de dipôle et de moment dipolaire.
Le moment des forces exercées sur un dipôle par un champ extérieur.
L'énergie potentielle d'un dipôle rigide dans un champ extérieur.
Ce quil faut savoir faire :
Calculer un potentiel électrostatique par intégration directe.
Calculer un potentiel électrostatique à partir du champ, et inversement.
Définir et calculer la capacité d'un condensateur.
Calculer le potentiel et le champ créés par un dipôle à grande distance.
Expliquer les effets d'un champ électrostatique sur un dipôle.
Expression de EMBED Equation.DSMT4 dans lesc différents systèmes de coordonnées
Erreurs à éviter/ conseils :
Ne pas tenter un calcul direct du potentiel pour une distribution de charges qui s'étend à l'infini, car l'intégrale ne converge pas.
Faire bien attention aux signes dans les relations entre champ et potentiel :
EMBED Equation.DSMT4 ; dV = - EMBED Equation.DSMT4 ; V(A) V(B) = EMBED Equation.DSMT4
Lors du calcul du champ à partir du potentiel ou inversement, attention à ne pas confondre dérivation et intégration !
Ne pas confondre le champ électrique créé par un dipôle et un champ extérieur créé par d'autres charges, susceptible d'agir sur le dipôle.
Applications du cours
Application 1 : Circulation dun champ électrique
On reprend la situation étudiée dans le chapitre EM1 dune sphère de rayon R uniformément chargée en volume. Le champ créé par cette sphère en un point M (r = OM) à lextérieur de la sphère est EMBED Equation.DSMT4 . Calculer la circulation de ce champ électrostatique le long dune ligne allant de linfini jusquà un point situé à la distance a > R du centre.
Application 2 : Calcul intégral direct dun potentiel électrique
Calculer le potentiel créé en P par un disque uniformément chargé. On note à la densité surfacique de charge.
Application 3 : Calcul d un potentiel à partir du champ
1°) On reprend la situation étudiée dans le chapitre EM1 d un fil rectiligne infini selon (Oz) qui porte une charge uniformément répartie avec une charge linéique ». On utilise les coordonnées cylindriques pour le point M où l on cherche le potentiel. On a EMBED Equation.DSMT4 . Déterminer le potentiel électrostatique créé en M par cette distribution de charge. On prendra V = 0 quand r = r0.
2°) On reprend la situation étudiée dans le chapitre EM1 dune sphère de rayon R uniformément chargée en volume. Le champ créé par cette sphère en un point M (OM = r) à lextérieur de la sphère est EMBED Equation.DSMT4 . Le champ créé par cette sphère en un point M à lintérieur de la sphère est EMBED Equation.DSMT4 . On utilise les coordonnées sphériques. Déterminer le potentiel électrostatique pour un point situé à lextérieur puis à lintérieur de la sphère. On prendra V = 0 à linfini.
Application 4 : Calcul du champ à partir du potentiel
On reprend létude du disque uniformément chargé commencée dans lapplication 2. On utilise les coordonnées cartésiennes. Le potentiel électrostatique a pour expression EMBED Equation.DSMT4 .
Déterminer les coordonnées du champ électrostatique créé en P par la distribution de charge.
Exercices
Exercice 1 : Champ et potentiel créé par un cylindre
Soit un cylindre daxe (Oz) et de base un disque de centre O et de rayon a uniformément chargé en volume avec une densité volumique de charge Á. On suppose que la distance r du point M par rapport à l axe (Oz) est faible devant la hauteur de manière à pouvoir considérer le cylindre comme infini.
1°) Déterminer le champ électrostatique créé en M si M est à lextérieur du cylindre (r>a) et si M est lintérieur du cylindre. Tracer la courbe qui représente lévolution de E(r) en fonction de r.
2°) Déterminer le potentiel électrostatique créé en M si M est à lextérieur du cylindre (r>a) et si M est lintérieur du cylindre. Tracer la courbe qui représente lévolution de V en fonction de r. On prendra V = 0 quand r = r0 (on ne peut pas prendre V = 0 à linfini car il y a des charges à linfini).
Exercice 2 : Potentiel de Yukawa
On considère une distribution de charges à symétrie sphérique autour d'un point O, qui crée à une
distance r de O un potentiel de la forme V(r) =
EMBED Equation.DSMT4
1. Calculer le champ électrique créé par cette distribution.
2. Calculer la charge contenue dans une sphère de centre O et de rayon r.
3. En déduire la charge volumique Á(r) en tout point de l'espace (sauf en O).
Exercice 3 : Potentiel créé par une sphère chargée en surface
On cherche, par un calcul direct, le potentiel créé dans tout l'espace par une sphère de centre O et de rayon R uniformément chargée en surface avec une charge surfacique Ã.
1. Calculer le potentiel créé par cette distribution en O.
2. On considère maintenant un point M quelconque. Expliquer pourquoi on peut faire le calcul en prenant M sur l'axe (Oz) sans en restreindre la généralité. On notera ZM la position de M sur cet axe.
3. Pour faire le calcul on repère la position d'un point P à la surface de la sphère avec ses coordonnées sphériques (R,¸,Æ). Donner l'expression du potentiel et calculer l'intégrale, sachant qu'un élément de surface infinitésimal de cette sphère s'écrit en coordonnées sphériques EMBED Equation.DSMT4 . Il faudra distinguer deux cas (zM < R et zM > R), ce qui apparaîtra dans le calcul via une valeur absolue.
Exercice 4 : Ligne bifilaire
Une ligne bifilaire est constituée de deux conducteurs rectilignes cylindriques de rayon a parallèles entre eux et séparés par une distance h telle que h >> a. On se place dans l'approxi mation d'une ligne infinie.
Dans un premier temps, on considère un seul conducteur, centré sur l'axe (Oz), et on note » la charge par unité de longueur.
Sachant que la charge se répartit uniformément sur la surface du conducteur, donner l'expression de cette charge surfacique à en fonction de » et a.
Déterminer le champ électrique créé à l'extérieur du conducteur (r > a).
En déduire le potentiel créé à l'extérieur du conducteur.
On considère maintenant les deux conducteurs, l'un portant la charge linéique -». et l'autre la charge linéique +».
Donner l'expression du potentiel créé par cette ligne bifilaire en un point situé à l'extérieur des conducteurs.
Déterminer la différence de potentiel entre les deux conducteurs en fonction de »., µ0 et a.
En considérant une longueur l de ligne bifilaire, en déduire la capacité par unité de longueur associée à cette ligne.
Exercice 5 : Moment dipolaire
On considère un ensemble de N charges ponctuelles q, situées aux points P, telles que EMBED Equation.DSMT4 . On définit par EMBED Equation.DSMT4 le moment dipolaire de cette distribution.
1. Montrer que le moment dipolaire est indépendant du choix de l'origine O.
2. En déduire l'expression du moment dipolaire d'un doublet formé de deux charges ponctuelles - q et + q placées respectivement aux points S1 et S2.
3. Dans la molécule de fluorure d'hydrogène HF, la distance entre les noyaux des deux atomes vaut d = 0,92.10-10 m. On considère d'abord que le caractère ionique de la liaison est total, avec transfert d'un électron de l'hydrogène vers le fluor. Calculer le moment dipolaire de cette molécule (la charge élémentaire valant e = l,6.10-19 C) et préciser son sens.
4. Les tables chimiques donnent pour cette molécule un moment dipolaire p = l,83 D (avec l D = 3,336.10-30 C.m). Déterminer quelle fraction de la charge d'un électron s'est déplacée de l'hydrogène vers le fluor. Le modèle de liaison ionique est-il justifié ?
Activité 1 : Etude dun condensateur plan
1°) Champ et potentiel créés par un plan uniformément chargé
Soit un plan P infini portant une charge électrique uniformément répartie sur toute sa surface (densité surfacique de charge uniforme Ã).
a) Le plan P peut-il être réellement infini ? Sinon, à quelle condition sur OM peut-on considérer que le plan P est infini ?
b) Exprimer le champ électrostatique EMBED Equation.DSMT4 (M) créé en M par le plan infini P en fonction de µ0, Ã et EMBED Equation.DSMT4 . En déduire l expression du champ électrostatique EMBED Equation.DSMT4 (M ) créé en M par le plan infini P en fonction de µ0, Ã et EMBED Equation.DSMT4 . Tracer la courbe représentant lévolution de Ex la coordonnée sur laxe (Ox) du champ électrostatique EMBED Equation.DSMT4 en fonction de x.
c) Rappeler la relation liant le potentiel électrique V et le champ électrique EMBED Equation.DSMT4 . En déduire lexpression V en fonction de µ0, Ã quand x > 0 et quand x *B*Uphÿ'júh["7h7IÝ>*B*Uphÿh7IÝh7IÝCJaJh["7h7IÝ0Jjh["7h7IÝ0JU'j}h["7h7IÝ>*B*Uphÿ-| } ~ Ç È É Ê Ë ç è é ê , - . / 0 L M N O ¸ ¹ º » ö ÷ ø ù ú
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