Td corrigé Exercice n°1 : du système à sa modélisation 9 pts pdf

Exercice n°1 : du système à sa modélisation 9 pts

2.5. D'après la loi de décroissance radioactive, on a n(t) = n0.e- .t. La modélisation donne n(t) = 450.e-0,012.t avec t en s. Par identification = 1,2 10?2 s-1.




part of the document



Polynésie 09/2008 Exercice n°1 : du système à sa modélisation (9 points)
Correction © http://labolycee.org
I. Modélisation des ondes sismiques.
1.1. Pour les ondes mécaniques P, la direction de la perturbation et la direction de la propagation est la même, il s’agit d’une onde longitudinale. Par contre pour les ondes S, la direction de la propagation est perpendiculaire à la direction de la perturbation, il s’agit d’une onde transversale.
1.2. Dans le texte, on nous dit que les ondes P sont plus rapides que les ondes S, la célérité peut être une grandeur à utiliser pour comparer la propagation des deux ondes.
2.1. La perturbation a parcouru la distance OM, en une durée (t = t1 – t0. Alors v =  EMBED Equation.DSMT4 .



1,00 m correspond à 4,0 cm sur le schéma
OM = ? m correspond à 10,0 cm sur le schéma
Ainsi OM = 10,0/ 4,0 = 2,5 m.
v =  EMBED Equation.DSMT4  = 13 m.s-1 (12,5 arrondi avec 2 chiffres significatifs = 13)
2.2. La célérité dépend du milieu de propagation, la tension de la corde va modifier ce milieu, donc la célérité de l’onde dépend de la tension de la corde mais pas de l’amplitude de la perturbation.
2.3. ( =  EMBED Equation.DSMT4 
( =  EMBED Equation.DSMT4  = 0,080 s (calcul effectué avec la valeur non arrondie de v)

2.4. Observons le point M : à l’instant t = 0,20 s, le front de la perturbation atteint ce point M. Il va descendre, puis remonter. Le point N a eu précédemment ce même mouvement, puisqu’il a subi la même perturbation.




3. T =  EMBED Equation.DSMT4 
T =  EMBED Equation.DSMT4  = 1,00(10–2 s
( =  EMBED Equation.DSMT4 
( =  EMBED Equation.DSMT4 = 0,125 m = 0,13 m

II. Modélisation de la décroissance radioactive.
2.1. Le radon 220 a un numéro atomique Z = 86, il possède donc 86 protons. Son nombre de nucléons est A = 220, il possède donc 220 – 86 = 134 neutrons.
2.2.  EMBED Equation.DSMT4  EMBED Equation.DSMT4 +  EMBED Equation.DSMT4 
2.3.

























2.4. On trace la tangente à la courbe à la date t = 0 s, elle coupe l’axe des abscisses pour t = (.
On lit ( = 1,0 min.
( =  EMBED Equation.DSMT4  ( =  EMBED Equation.DSMT4  = 1,7×10-2 s-1
2.5. D’après la loi de décroissance radioactive, on a n(t) = n0.e-(.t. La modélisation donne n(t) = 450.e-0,012.t avec t en s.
Par identification ( = 1,2(10–2 s-1.
2.6. n(t1/2) = n0/2 = n0.  EMBED Equation.DSMT4 
1/2 =  EMBED Equation.DSMT4 
ln(1/2) = ln( EMBED Equation.DSMT4 )
–ln2 = –(.t1/2
Soit ( =  EMBED Equation.DSMT4 .
Par mesure graphique on avait t1/2 = 0,8 min,
( =  EMBED Equation.DSMT4  = 1,4×10-2 s-1.
Bilan : méthode graphique de la tangente à l’origine : ( = 1,7(10–2 s-1,
modélisation par l’ordinateur : ( = 1,2(10–2 s-1,
méthode graphique avec t1/2 : ( = 1,4×10-2 s-1.
Les trois méthodes donnent des valeurs différentes, mais du même ordre de grandeur.
(L’ordinateur donne la valeur la plus proche de la réalité. La méthode graphique de la tangente à l’origine est la moins précise).

2.7. L’activité d’un échantillon est le nombre moyen de désintégrations qu’il produit par seconde. Elle s’exprime en becquerel (Bq).
III. Modélisation de la charge d’un condensateur.
3.1. L’armature A du condensateur est chargée positivement : i(t) =  EMBED Equation.DSMT4 
3.2. Par définition de la tension aux bornes d’un condensateur, on a : q(t) = C.u(t).
3.3. En appliquant la loi d’additivité des tensions dans le circuit ci-contre, on a E = uR + u
En appliquant la loi d’Ohm : E = R.i + u
E = R.  EMBED Equation.DSMT4  + u
Or q(t) = C.u(t), donc  EMBED Equation.DSMT4  =  EMBED Equation.DSMT4  = C.  EMBED Equation.DSMT4  car C = Cte.
Il vient alors : E = R.C.  EMBED Equation.DSMT4  + u
3.4. Une solution de cette équation est de la forme : u(t) = E.(1 – e-t/()
Par identification E = 5,0 V et 1/( = 1 / R.C = 100 s-1
3.5.

Pour t = (, u(() = E.(1 – e–(/( )= E.(1 – e–1)
u(() = 5,0 ( 0,63 = 3,2 V
( correspond au point d’ordonnée 3,2 V
( = 10 ms.
Valeur théorique : ( = R.C
( = 1,0(103 ( 10(10–6
( = 1,0(10–2 s = 10 ms
Les deux valeurs sont cohérentes.


IV. Modélisation d’une chute avec frottement.
4.1. Dans le référentiel du laboratoire, supposé galiléen, la bille est soumise à son poids  EMBED Equation.DSMT4 , à la poussée d’Archimède  EMBED Equation.DSMT4  et aux forces de frottement  EMBED Equation.DSMT4 .

Remarque : les forces sont représentées sans souci d’échelle et décalées afin de mieux les distinguer.


4.2. Appliquons la deuxième loi de Newton au système :  EMBED Equation.DSMT4  +  EMBED Equation.DSMT4  +  EMBED Equation.DSMT4  = m. EMBED Equation.DSMT4 
Soit  EMBED Equation.DSMT4  le vecteur unitaire sur l’axe( Oz),
P.  EMBED Equation.DSMT4  – F.  EMBED Equation.DSMT4  – f.  EMBED Equation.DSMT4  = m.a EMBED Equation.DSMT4 
Par projection sur (Oz) :
m.g – (.V.g – k.v = m. EMBED Equation.DSMT4 
g –  EMBED Equation.DSMT4  –  EMBED Equation.DSMT4 .v =  EMBED Equation.DSMT4 
g.(1 –  EMBED Equation.DSMT4 ) –  EMBED Equation.DSMT4 .v =  EMBED Equation.DSMT4 
Avec a = g.(1 –  EMBED Equation.DSMT4 ) et b =  EMBED Equation.DSMT4 , on a effectivement l’équation différentielle de la forme a – b.v =  EMBED Equation.DSMT4 .
Vérifions les valeurs numériques de a et b :
a = 9,81 ( (1 –  EMBED Equation.DSMT4 ) = 8,17 m.s-2 = 8,2 m.s-2 convertir V en m3
b =  EMBED Equation.DSMT4  =  EMBED Equation.DSMT4 
b =  EMBED Equation.DSMT4  = 8,67 s-1 = 8,7 s-1 convertir R en m
4.3. On détermine la vitesse limite à l’aide du graphique.
















Lorsque la vitesse limite est atteinte, la vitesse est constante donc  EMBED Equation.DSMT4  = 0.
D’après l’équation différentielle, on a a – b.vlim = 0. Donc vlim =  EMBED Equation.DSMT4 .
vlim =  EMBED Equation.DSMT4  = 0,94 m.s-1. Les deux valeurs obtenues pour la vitesse limite sont égales.
V. Modélisation et longitude.
5.1. v =  EMBED Equation.DSMT4 
v =  EMBED Equation.DSMT4 
v = 3,89(103 m.s-1 = 3,89 km.s-1
Le satellite parcourt son orbite de périmètre 2((RT+h) en une durée égale à sa période T.
v =  EMBED Equation.DSMT4 , donc T =  EMBED Equation.DSMT4 
T =  EMBED Equation.DSMT4  = 4,26(104 s
5.2. Le récepteur GPS est situé au niveau du sol, les ondes parcourent la distance h, à la célérité c : c =  EMBED Equation.DSMT4 , donc t =  EMBED Equation.DSMT4 
t =  EMBED Equation.DSMT4  = 6,7(10–2 s
5.3. Pour parcourir une distance d’un centimètre, les ondes mettent une durée (t.
c =  EMBED Equation.DSMT4 , soit (t =  EMBED Equation.DSMT4 .
(t =  EMBED Equation.DSMT4  = 3(10–11 s, cette valeur est supérieure à la « précision » des horloges qui est de 10–12 s. La précision est suffisante.

5.4. E = h. (
E = 6,63.10-34 ( 9192631770
E = 6,09(10–24 J.
x

M

1,00 m

N

O

B

u

E

i

R

C



uR

 EMBED Equation.DSMT4 

t (en s)

O

0,080

t1/2

t1/2 correspond à la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux initialement présents dans l’échantillon se sont désintégrés. Le nombre de noyaux présents est proportionnel au nombre de désintégrations. Initialement il y a 450 désintégrations, t1/2 va correspondre à 225 désintégrations, soit t1/2 = 0,8 min.

 EMBED Equation.DSMT4 

 EMBED Equation.DSMT4 

 EMBED Equation.DSMT4 

z

O

nb(0)/2

(

+

–

(

vlim

5 div ( 1 m.s-1 ( 5,3 cm
vlim ( 5,0 cm

soit vlim = 5,0/5,3 = 0,94 m.s-1

5,0 cm

5,3 cm


 :