Droites et systemes - Maths-et-tiques
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SYSTEMES DEQUATIONS
I. Méthodes de résolution
Exercices conseillés Exercices conseillés En devoir
p204 n°33 à 35
p206 n°56p202 n°31 à 33
p202 n°36
p204 n°55p202 n°34, 37 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014
1) Méthode de substitution
Méthode : Résoudre un système déquations par la méthode de substitution
Vidéo HYPERLINK "https://youtu.be/24VsDZK6bN0" https://youtu.be/24VsDZK6bN0
Vidéo HYPERLINK "https://youtu.be/tzOCBkFZgUI" https://youtu.be/tzOCBkFZgUI
Dans une boulangerie, Fabien achète 3 pains au chocolat et 2 croissants ; il paie 5,60¬ .
Dans la même boulangerie, Bob achète 1 pain au chocolat et 3 croissants ; il paie 4,20¬ .
Calculer le prix d un pain au chocolat et dun croissant.
Choix des inconnues :
x le prix dun pain au chocolat
y le prix dun croissant.
Mise en équations :
EMBED Equation.DSMT4
Résolution du système déquations :
A noter : Ici, la méthode de substitution se prête bien à la résolution du système car une équation contient une inconnue facile à isoler : x dans la 2e équation
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 On isole x dans la 2e équation : on exprime x en fonction de y .
EMBED Equation.DSMT4 On substitue linconnue isolée x dans la 1ère équation.
EMBED Equation.DSMT4 On résout la 1ère équation pour trouver y.
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 Linconnue y étant trouvée, on la substitue dans la 2e équation.
EMBED Equation.DSMT4 On calcule la valeur de x.
On note : S = {(1,20 ; 1)}
Conclusion :
Le prix dun pain au chocolat est de 1,20 ¬ et le prix d un croissant est de 1 ¬ .
2) Méthode des combinaisons linéaires
Méthode : Résoudre un système d équations pas la méthode des combinaisons linéaires
Vidéo HYPERLINK "https://youtu.be/UPIz65G4f48" https://youtu.be/UPIz65G4f48
Vidéo HYPERLINK "https://youtu.be/V3yn_oEdgxc" https://youtu.be/V3yn_oEdgxc
Résoudre le système suivant : EMBED Equation.3
A noter : Ici, la méthode de substitution ne se prête pas à la résolution du système car en isolant une inconnue, on ramène les équations à des coefficients rationnels. Ce qui compliquerait considérablement les calculs.
On multiplie la première équation par 5 et la deuxième équation par 3 dans le but déliminer une inconnue par soustraction ou addition des deux équations.
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
On soustraie les deux premières équations. Ici, on élimine linconnue x.
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
On résout léquation obtenue pour trouver une inconnue.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
On substitue dans une des équations du système la valeur ainsi trouvée pour calculer la valeur de la 2e inconnue.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 On note : S = {(1 ; -1)}
Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir
Ex1, 2 (page 7)
p195 Tice3Ex3 (page 7)Ex1, 2 (page 7)
p204 n°56
p196 TP6Ex3 (page 7) ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014
II. Interprétation graphique
Vidéo HYPERLINK "https://youtu.be/-LV_5rkW0RY" https://youtu.be/-LV_5rkW0RY
1) Droites et systèmes
On considère le système : EMBED Equation.3
Le système (S) équivaut à EMBED Equation.3
On désigne par (d) et (d) les droites représentant les fonctions respectives :
EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 .
La solution du système est donc le couple (x ; y) coordonnées du point dintersection des deux droites (d) et (d).
Par lecture graphique, on trouve le couple (2 ; 4) comme solution du système.
Définition :
Soit a, b, a et b des nombres réels donnés.
Résoudre le système déquations EMBED Equation.3 c est trouver tous les couples
(x ; y) de nombres réels vérifiant simultanément les deux équations du système.
Soit (S) le système d équations : EMBED Equation.3 où a, b, a et b sont des nombres réels donnés avec b `" 0 et b `" 0.
Le système (S) équivaut à EMBED Equation.3
Soit : EMBED Equation.3
Si les coefficients directeurs des droites associées à ces deux équations sont différents alors elles possèdent un unique point dintersection, soit : EMBED Equation.3 .
Soit encore : EMBED Equation.3
Si M est le point dintersection des deux droites, le couple de ses coordonnées
(xM ; yM) est solution du système.
2) Exemple dun système nadmettant pas de solution
Vidéo HYPERLINK "https://youtu.be/IYzK0zVr-Lk" https://youtu.be/IYzK0zVr-Lk
Soit (S) le système : EMBED Equation.3
Résolution du système :
En isolant y dans la première équation, on a : EMBED Equation.3
En remplaçant y dans la deuxième équation, on a : EMBED Equation.3
Soit : EMBED Equation.3
Soit encore : EMBED Equation.3 . On a aboutit à une contradiction.
Les deux équations du système (S) ne peuvent pas être vérifiées simultanément par un couple de nombres réels (x ; y).
Le système (S) ne possède donc pas de solution.
Interprétation géométrique :
Le système (S) équivaut à EMBED Equation.3
Soit : EMBED Equation.3
Soit encore : EMBED Equation.3
Les droites déquations EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 possèdent des coefficients directeurs égaux, elles sont donc strictement parallèles.
Il nexiste pas de couple de nombres réels (x ; y) vérifiant simultanément les équations des deux droites.
3) Exemple dun système admettant une infinité de solutions
Vidéo HYPERLINK "https://youtu.be/IYzK0zVr-Lk" https://youtu.be/IYzK0zVr-Lk
Soit (S) le système : EMBED Equation.3
Résolution du système :
Le système (S) équivaut à : EMBED Equation.3
Soit : EMBED Equation.3
Soit encore : EMBED Equation.3
Tous les couples de coordonnées (x ; y) vérifiant léquation EMBED Equation.3 sont solutions du systèmes (S).
Pour x = 5 par exemple, y = -2x5 + 2. Le couple (5 ; -8) est solution.
Il existe une infinité de couples de nombres réels (x ; y) vérifiant léquation EMBED Equation.3 .
Le système (S) possède donc une infinité de solutions.
Interprétation géométrique :
Les droites associées à ces deux équations sont donc confondues.
Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir
-p204 n°36 à 38
p204 n°40*, 41*, 42*
-p205 n°47, 48,
50, 51
p205 n°44 à 46
-PB : p209 n°72 à 74
p210 n°80
p209 n°76*
p210 n°77*, 78*, 81*-p204 n°39
-p205 n°49
-PB : p209 n°75-p203 n°39 à 41
p207 n°74*, 75*, 76*
-p203 n°43, 44
p203 n°42
p204 n°57, 58
p207 n°78, 79
-PB : p209 n°89, 90
p210 n°92, 93*, 94*
p210 n°97*-p202 n°38
-p203 n°45
p210 n°91
ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014
TP conseillé TP conseillé
TP Algo 2 p197 : Résoudre un systèmep197 TP7 : Résoudre un système ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014
Exercice 1
Résoudre les systèmes :
a) EMBED Equation.3 b) EMBED Equation.3 c) EMBED Equation.3 d) EMBED Equation.3
Exercice 2
Résoudre les systèmes :
a) EMBED Equation.3 b) EMBED Equation.3 c) EMBED Equation.3 d) EMBED Equation.3
Exercice 3
Résoudre les systèmes :
a) EMBED Equation.3 b) EMBED Equation.3 c) EMBED Equation.3 d) EMBED Equation.3
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g(x) = 4x-4
2
4
O
J
I
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
M(xM ; yM)
O
J
I
y = 3x+1
y = 3x-3
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