Td corrigé ecricome 2004 option économique : corrigé rapide pdf

ecricome 2004 option économique : corrigé rapide

ecricome 2004 option économique : corrigé rapide ..... cours de n épreuves identiques et indépendantes, la probabilité du succès à chaque épreuve étant 0, 7.




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ecricome 2004 option économique : corrigé rapide

1. exercice
 EMBED Equation.3 
1.1.
1. Pour tout x ( R :
 EMBED Equation.3 
Donc f est paire.
2. Pour tout x, f(x) = (1 + x2)–1/2, donc
 EMBED Equation.3 
Donc f est strictement décroissante sur [0, +([.
3.  EMBED Equation.3 
4. D’après les résultats obtenus, on obtient le tableau de variations :
x–( 0 +( f ‘(x) + 0 –f(x)0 —! 1 ˜! 0Donc (x ( R, 0 ( f(x) ( 1.
Donc f est bornée sur R.
5. Une allure de cloche&
6. Sur [0, +([, f est continue strictement décroissante ; f(0) = 1 et lim+( f = 0 ; donc f réalise une bijection de [0, +([ sur ]0, 1].
7. Pour tout y ( ]0, 1] :
 EMBED Equation.3 
8. Il semble bien que la bijection réciproque f–1 soit la fonction de ]0, 1] dans [0, +([ définie par :
 EMBED Equation.3 
1.2.
1. Pour tout x ( R :
 EMBED Equation.3 
car si x ( 0 alors x + |x| = x + x = 2x ( 0, et si x ( 0, alors x + |x| = x + ( –x) = 0.
Donc
 EMBED Equation.3 
Et l’ensemble de définition de F est R.
2. F est dérivable sur R (car x ( x + ((x2 + 1) est dérivable et positive sur R, et ln est dérivable sur ]0, +([ ), et, pour tout x ( R :
 EMBED Equation.3 
Donc F est une primitive de f sur R.
3. Pour tout x ( R,
 EMBED Equation.3 
Cette dernière égalité est vraie, donc F est impaire. On pouvait aussi utiliser la technique de la « quantité conjuguée » :
 EMBED Equation.3 
4. La limite de x + ((x2 + 1) quand x tend vers +( est +(, et la limite de ln(y) quand y tend vers +( est +(, donc la limite de F en +( est +(.
F est impaire et lim+( F = +(, donc lim–( F = –(.
5. Avec lð > 0 :
 EMBED Equation.3 
1.3.
1.
 EMBED Equation.3 
2. Le bon choix est u = x2, u = 2x, v =x/((1+x2), v =((1 + x2) ; u et v sont de classe C1 sur [0, 1] :
 EMBED Equation.3 
3. Pour tout x ( [0, 1], tout n ( N, 0 ( xn+1 ( xn, donc
0 ( f(x) xn+1 ( f(x) xn (car f ( 0 sur [0, 1]), donc
0 ( In+1 ( In.
Ce qui prouve que la suite (In) est décroissante.
4. On a aussi démontré au 3°) que la suite (In) était minorée par 0, on en conclut que la suite (In) est convergente, sa limite ! étant ( 0.
5. Pour tout x ( [0, 1], pour tout n( N, 0 ( xn et ((1 +x2) ( 1, donc
 EMBED Equation.3 
On utilise alors la positivité et la croissance de l’intégrale :
 EMBED Equation.3 
6. Par encadrement : limn(+( un = 0.

2. exercice
2.1
1. On utilise la méthode du pivot pour prouver que P est inversible et trouver :
 EMBED Equation.3 
2. a. Donner un résultat intermédiaire (soit PA, à multiplier à droite par P–1, soit AP–1, à multiplier à gauche par P) :
 EMBED Equation.3 
b.
 EMBED Equation.3 
3. De T = PAP–1 on tire, avec n ( 3 :
A = P–1T P, An = (P–1T P) … (P–1T P) (n facteurs), An = P–1TnP = 0.
4. a. On ne garde dans le développement que les termes de degré ( 2 :
 EMBED Equation.3 
b. On déduit du a : E(t) E(–t) = E(t – t) = E(0) = I. Donc E(t) est inversible et
E(t)–1 = E(–t) = I – tA + (t2/2)A2
c. On montre : (n ( N, [E(t)]n = E(nt) par récurrence : la propriété est vraie pour n = 0, n = 1, et si on la suppose vraie pour n fixé dans N, alors
[E(t)]n+1 = [E(t)]n E(t) = E(nt) E(t) = E(nt + t) = E( (n + 1)t ).
la propriété est vraie pour n + 1. La conclusion en résulte, et on a donc
[E(t)]n = E(nt) = I + nt A + (nt)2/2 A2.
2.2.
1. Commençons par déterminer les valeurs propres de B, c'est-à-dire les valeurs de lð telles que la matrice B  lðI ne soit pas inversible. En effectuant les opérations élémentaires
L1 ( L2 ; L2 ( lðL1 + 2L2
on obtient la réduite de Gauss :
 EMBED Equation.3 
Les valeurs propres de B sont donc 1, 2 (ce dont on pouvait se douter, vu la matrice D…).
B possède 2 valeurs propres distinctes, donc B est diagonalisable.
2. Déterminons un vecteur propre associé à chacune des valeurs propres :
Pour la valeur propre 1, le système est :
2x + 2y = 0 ; 0 = 0
Donc (1, –1) vecteur propre pour la valeur propre 1.
Pour la valeur propre 2 :
2x + y = 0 ; 0 = 0
Donc (1, –2) vecteur propre pour la valeur propre 2.
D’après la théorie du changement de base, la matrice
 EMBED Equation.3 
est inversible et telle que Q–1BQ = D.
3. Dans le droit fil des questions, on peut bien sûr écrire :
B = QDQ–1
Bn = (QDQ–1) … (QDQ–1) (n facteurs)
Bn = QDnQ–1,
se livrer au calcul de Q–1 par la méthode du pivot, puis terminer les calculs, avec Dn = diag(1, 2n).
On peut se dire aussi qu’un brave petit RPR fera aussi bien l’affaire… Effectivement, l’affaire est rondement menée… Faites le, c’est très instructif !
4. 5. Les règles du calcul matriciel nous permettent d’écrire :
 EMBED Equation.3 
6. a. Le point important est de savoir que, pour tout x ( R,
 EMBED Equation.3 
et on peut alors écrire, par exemple :
 EMBED Equation.3 
Idem pour les autres coefficients, ce qui donne le résultat.
b. E(t) = et E1 + e2t E2 avec
 EMBED Equation.3 
c. E12 = E1 ; E22 = E2 ; E1 E2 = 0 ; E2 E1 = 0.
d. E(t) E(t’) = (et E1 + e2t E2) (et’ E1 + e2t’ E2)
= et+t’E12 +et+2t’E1E2 + e2t+t’E2E1 + e2(t+t’)E22
= et+t’ E1 + e2(t+t’) E2 = E(t + t’)
e. Idem que 2.1.4.b !

3. exercice
1.a. On utilise la formule des probabilités totales avec le système complet d’événements (A, B) :
P(E) = P(E/A)P(A) + P(E/B)P(B) = 0,1 ( 0,7 + 0,05 ( 0,3 = 0,085.
b. Il s’agit de calculer P(A/E) :
 EMBED Equation.3 
2. a. Pour tout k ( 1, (L1 = k) = A1A2 … Ak–1Bk ( B1B2 … Bk–1Bk. Ces deux événements sont incompatibles, donc
P(L1 = k) = P(A1A2 … AkBk+1) + P(B1B2 … BkBk+1)
Les choix des serveurs sont supposés indépendants les uns des autres, donc
P(L1 = k) = (0,3)k(0,7) + (0,7)k(0,3).
b.
 EMBED Equation.3 
c. sous réserve de convergence (absolue) :
 EMBED Equation.3 
On a affaire à une combinaison linéaire de séries convergente (séries géométriques dérivées, de raison appartenant à ]–1, 1[), donc L1 admet une espérance, et
 EMBED Equation.3 
d. Pour tous les couples (i, j) de N*2 :
(L1 = i ( L2 = j) = A1 …. Ai Bi+1 …. Bi+j Ai+j+1 ( B1 …. Bi Ai+1 …. Ai+j Bi+j+1 .
Par incompatibilité, puis indépendance, on en déduit :
P(L1 = i ( L2 = j) = (0,7)i (0, 3)j (0,7) + (0,3)i (0,7)j (0,3) = (0,7)i+1 (0, 3)j + (0,3)i+1 (0,7)j
e. En utilisant la formule des probabilités totales, avec les système complet d’événements (L1 = i)i(N*, on obtient, pour tout j ( 1 :
 EMBED Equation.3 
3. a. Nn est le nombre de succès (appeler le serveur A) au cours de n épreuves identiques et indépendantes, la probabilité du succès à chaque épreuve étant 0,7. Donc Nn suit la loi binomiale de paramètres n et 0,7.
On a E(Nn) = 0,7 n ; V(Nn) = 0,3 ( 0,7 ( n = 0,21 n.
b. T1 est le temps d’attente du premier succès l’ors d’épreuves identiques et indépendantes, donc T1 suit la loi géométrique de paramètre 0,7.
E(T1) = 1/0,7 = 10/7 ; V(T1) = (1 – 0,7)/(0,7)2 = 30/49.
c. (T2 = k) est l’intersection des deux événements (Nk–1 = 1) (le serveur A est appelé exactement 1 fois au cours des k – 1 premiers jours), et Ak (le serveur A est appelé le cène jour). Ces deux événements sont indépendants, donc
P(T2 = k) = Ck-11 (0,7)1 (0,3)k-2 ( 0,7 = (k – 1)(0,7)2 (0,3)k–2.
4.a. fZ(t) = 0 si t ( 0 ; fZ(t) = e–t si t > 0.
FZ(t) = 0 si t ( 0 ; FZ(t) = 1 – e–t si t ( 0.
b. E(Z) = 1/1 = 1 seconde.
c. W = 1 + 0,1 Z.
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