I ) INTRODUCTION :
Pour des systèmes multivariables, la structure de chaque transfert est
personnalisable (retard, pôles, zéros); Le concept n'est pas limité aux modèles
dynamiques ... est l'objet d'un regain d'intérêt depuis ces dernières années avec
le développement de nouveaux algorithmes et une meilleure compréhension du
sujet.
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longueurs, masses, inerties, capacités, résistances, frottements
). Mais, il est souvent impossible dobtenir une connaissance à priori complète et précise de tous les paramètres du modèle.
Pour affiner et compléter cette connaissance, il est alors nécessaire de procéder à une identification du système : à partir des réactions de celui-ci à des sollicitations données et connues. On peut, si le système est observable, identifier les paramètres encore inconnus [BOURLES Oct. 01].
LIdentification, bien que représentant un des grands chapitres de lautomatique, ne peut plus être considérée comme seulement une partie intégrante de cette discipline, à lusage essentiel des stratégies de commande ou de diagnostic. Son emploi en sciences de lingénieur, parfois avec une terminologie différente, montre quelle constitue une discipline à part entière des sciences expérimentales, intimement associée à la modélisation.
L`Identification, ou la recherche de modèles à partir de données expérimentales, est une préoccupation majeure dans la plupart des disciplines scientifiques. Elle désigne a la fois une démarche scientifique et un ensemble de techniques visant à déterminer des modèles mathématiques capables de reproduire aussi fidèlement que possible le comportement dun système physique, chimique, biologique, économique
Dans la vie courante, la plupart des systèmes peuvent être appréhendés en utilisant des modèles mentaux, sans avoir besoin de procéder à une formalisation mathématique. Par exemple, la conduite dune automobile, nécessite de savoir, que tourner le volant vers la droite, permet de faire tourner le véhicule vers la droite. Lensemble des informations, de force, damplitude de mouvement
étant en quelque sorte stockées dans le cerveau via le muscle. Lapprentissage de la conduite consiste en une identification par le conducteur de lensemble du système (véhicule, route, environnement, conducteur
). Au départ, les trajectoires sont peu sûres, et au fur et à mesure que la base dexpérience du conducteur grandit, les erreurs dapproximation du système faites par le conducteur se réduisent, jusquà obtention de la connaissance du système à un ordre de plus en plus élevé de la part du conducteur. Pour cela, le conducteur, à laide de ses organes sensoriels (il, bras, oreille
), réalise en permanence des mesures de létat du système en fonction des sollicitations quil impose à son véhicule.
Lidentification des systèmes commandés à laide de calculateurs nécessite, en revanche de décrire leurs propriétés au moins à laide de valeurs mesurées (tables de valeurs) ou de représentations graphiques, afin de déterminer leur réponse à un échelon, ou en fréquence (identification non paramétrique). Pour des systèmes complexes, il est nécessaire dutiliser des modèles mathématiques (identification paramétrique). Lutilisation de modèles mathématiques est inhérent à tous les domaines des techniques de lingénieur et de la physique. Elle aide à la conception des systèmes et est un instrument de simulation et de prédiction qui est très largement utilisé dans tous les domaines, y compris dans des activités non techniques comme lécologie, léconomie, la sociologie ou la biologie.
Un modèle doit être construit a partir de données observées (le modèle mental de la conduite dun véhicule est développé à laide de lexpérience de la conduite). Un système réel est un objet constitué déléments de complexité variable, à limage même dun modèle mathématique. Selon LJUNG, il existe un impénétrable mais transparent écran entre la description mathématique de notre monde et le monde réel. On peut regarder à travers cette fenêtre et comparer certains aspects du système physique avec sa description mathématique, mais il est impossible détablir une relation exacte entre les deux. La question de la susceptibilité de la nature à sa description mathématique présente de vrais et profonds aspects philosophiques. Nous devons avoir cependant une vue pragmatique des modèles. Il est préférable de choisir un modèle en considérant davantage son utilité que sa « vérité ».
En automatique, on distingue deux approches pour lidentification des systèmes :
Approche en boucle ouverte
Approche en boucle fermée
A partir des résultats généraux de lidentification des systèmes, lobjectif de ce document, est de présenter la problématique des systèmes fonctionnant en boucle fermée, puis les techniques spécifiques.
I.2 ) Présentation létude :
Afin de nous munir des éléments essentiels à la compréhension de cette étude, nous nous attacherons dans un premier temps à décrire les méthodes générales de lidentification. Nous présenterons ensuite les caractéristiques des approches en boucle ouverte et en boucle fermée afin de préciser les éléments qui induisent le choix de lune par rapport à lautre autre.
Les éléments théoriques et pratiques de lidentification en boucle fermée, ainsi que les résultats de ces techniques seront abordés dans la troisième partie de cette étude. Nous complèterons cette présentation par une étude pratique réalisée avec le logiciel MATLAB-SIMULINK.
Afin de mettre en évidence les avantages de lidentification en boucle fermée, nous présenterons enfin, quelques exemples dapplications.
I.3 ) Conclusion préliminaire :
Cette étude est une nouvelle fois loccasion daffirmer la transversalité de lautomatique et de montrer son large champ dapplication.
Lidentification constitue un outil puissant de lautomatique. Lapproche en boucle fermée, faisant lobjet de nombreux travaux récents, promet de répondre à un nombre toujours plus croissant didentifications des systèmes.
II ) ETUDE DETAILLEE :
II.1 ) Les méthodes générales didentification :
Identifier un processus (système), cest chercher un modèle (dynamique) mathématique, appartenant à une classe de modèles connue, et qui, soumis à des signaux tests (en entrée), donne une réponse (dynamique et statique en sortie), la plus proche possible du système réel [VILLAIN 1996].
La notion de modèle mathématique dun système, dun processus ou dun phénomène, est un concept fondamental. Il existe une multitude de types de modèles, chacun étant destiné à une application particulière.
Nous pouvons les décliner en deux grandes catégories :
Les modèles de connaissance (basés sur les lois de la physique, de la chimie
), donnent une description complète des systèmes et sont utilisés pour la simulation et la conception des procédés. Ce sont souvent des modèles complexes.
Les modèles dynamiques de commande, qui donnent la relation entre les variations des entrées dun système et les variation de la sortie, sont utilisés en automatique.
Les modèles dynamiques sont de deux sortes :
Modèles non paramétriques (réponse fréquentielle, réponse à un échelon)
Modèles paramétriques (fonction de transfert, équations différentielles)
Lidentification est une approche expérimentale pour la détermination du modèle dynamique dun système.
Cette approche peut être décomposée en quatre étapes :
Figure 1 : procédure didentification dun modèle de système
II.1.1 ) Modèles non paramétriques :
A ) Analyse fréquentielle :
Les essais expérimentaux harmoniques sont rarement employés, car ils sont longs et fastidieux. Des essais réalisés avec une pulsation comprise entre 0.1*Éc et 10*Éc, avec une grande constate de temps pour le processus, peuvent durer des heures, dautant plus quil est parfois nécessaire de recommencer deux à trois fois lexpérimentation pour chaque pulsation (on doit attendre le temps détablissement pour chaque mesure). Les outils classiques de lautomatique sont utilisés pour lanalyse de la réponse en fréquence du système à identifier : Bode, Nyquist, Black...
Figure 2 : représentation fréquentielle dans le plan de Bode
B ) Réponse impulsionnelle :
Un système linéaire invariant est entièrement caractérisé par sa réponse à un Dirac, dont la transformée de Fourier est constante sur tout le spectre. La transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle du système est sa fonction de transfert. Un Dirac « réel », peut être approché, du point de vue de ses effets, par une impulsion brève, de durée finie et dénergie limitée. La réponse du système, est en conséquence faible et bruitée, donc difficilement exploitable. Ainsi, pour atteindre la réponse impulsionnelle h(t) par voie indirecte, il est possible dappliquer les techniques de corrélation. Le processus est alors excité par une Séquence Binaire Pseudo Aléatoire (S.B.P.A.). Notons que lutilisation dun générateur de S.B.P.A. pour lessai ou la simulation dun système, est aussi connue sous le nom de techniques de Monte-Carlo (très largement utilisées par les physiciens lors de simulations). Ajoutons, que les signaux aléatoires sont caractérisés par leurs propriétés statistiques (alors que les signaux dexcitation utilisés précédemment étaient de nature déterministe).
Autocorrélation : INCORPORER Equation.3
i.e., si on compare dans l intervalle défini, un signal x(t) avec lui-même décalé de Ä, on conçoit que cela permette de voir en quoi le signal à un instant donne est lié à ce qui s est passé un instant Ä avant.
Intercorrelation : INCORPORER Equation.3
i.e., si on compare deux signaux x(t) et y(t), par exemple l excitation et la réponse d un système linéaire, on peut se demander, si de la connaissance de l histoire de x(t) et de y(t) pendant le même intervalle de temps T, on peut déduire une relation entre les deux signaux. Si le signal x(t) est tel que sa fonction de transfert est assimilable à une impulsion de Dirac, alors Æxy(Ä) = h(Ä).
Figure 3 : principe de lanalyse par corrélation
Notons que la transformée de Fourier dune corrélation temporelle, a pour résultat une corrélation fréquentielle (densité spectrale). La corrélation peut être utilisée, par exemple, pour des études vibratoires (en mécanique). Cette méthode est toutefois sensible aux perturbations.
Les diverses méthodes non paramétriques (analyse fréquentielle, réponse indicielle, impulsionnelle
) peuvent aider à choisir la structure du modèle. Néanmoins, les méthodes qui prennent en compte un modèle paramétrique du processus, sont préférées, car elles sont plus simples à mettre en uvre et à utiliser.
II.1.2 ) Modèles paramétriques :
Il existe deux principales classes de méthodes paramétriques :
Les méthodes paramétriques graphiques ou déterministes
Les méthodes paramétriques statistiques (études stochastiques)
A ) Les méthodes paramétriques graphiques (déterministes) :
Lobjectif est dobtenir des modèles paramétriques à partir de modèles non paramétriques, type « réponse en échelon » ou « réponse en fréquence ».
Identification dun système du premier ordre :
Citons trois principaux modèles :
Modèle apériodique de Strejc : G(s)=Ke-Ts/(1+Ts)n
Toutefois on préférera souvent un modèle plus simple, pour des durées dexpérimentation moins longues comme par exemple :
Modèle de Broida : G(s)= Ke-Ts/(1+Ts)
Modèle de Ziegler et Nichols : G(s)=(R/s)e-Ls avec INCORPORER Equation.3
Nous illustrons ces méthodes ci-dessous:
Figure 4 : réponse dun procédé continu
Cette méthode peut être étendue à lidentification des modèles échantillonnés :
Discrétisation : INCORPORER Equation.3
Figure 5 : réponse dun procédé discrétisé
Identification dun système du deuxième ordre :
Figure 6 : réponse indicielle dun système du deuxième ordre
A laide des éléments graphiques on peut ainsi déterminer la fonction de transfert G(p)
Notons que ces essais, utilisés pour la boucle ouverte, peuvent être appliqués pour la boucle fermée :
Figure 7 : système en boucle fermée
Les méthodes que nous venons de décrire sont simples, et ne nécessitent que peu de matériel, en revanche elles :
sont limitées dans le choix des modèles,
nécessitent des signaux tests damplitude importante (rarement tolérés par les installations industrielles),
sont sensibles aux perturbations (et il nest pas possible ici de modéliser les perturbations),
la procédure est longue, et il ny a pas de procédures explicites de validation des modèles,
En boucle ouverte, les procédures didentification que nous venons de décrire, sont assez imprécises,
La méthode proposée à partir du modèle de Strejc, ou de celui de Broida, permet de déduire lensemble des paramètres du modèle. En boucle fermée le mode opératoire utilisé consiste à placer le système à la juste instabilité (déphasage de INCORPORER Equation.3 et gain de boucle de 1 : ce sont des valeurs exactes. Si la B.F. comporte un intégrateur, il doit en être tenu compte).
B) Les méthodes paramétriques statistiques :
Il sagit de mettre en place des algorithmes destimation automatique des paramètres des modèles échantillonnés des procédés en utilisant un calculateur numérique. Le traitement des données entrées / sorties peut se faire à laide dalgorithmes non récursifs (Traitement en bloc des fichiers de données obtenues sur un horizon de temps) ou récursifs (Traitement pas à pas des données), opérant avec des signaux dexcitation extrêmement faibles. Le second type dalgorithme, présente lavantage dêtre « temps réel » et nécessite moins de ressources mémoire en terme de calculs .
Lidentification paramétrique statistique est généralement basée sur lerreur de prédiction, qui est lerreur entre la sortie du procédé y(t), et la sortie INCORPORER Equation.3 prédite par le modèle. Cette erreur de prédiction est utilisée par un Algorithme dAdaptation Paramétrique (A.A.P.), qui à chaque instant déchantillonnage, va modifier les paramètres du modèle afin den minimiser lerreur. Lentrée appliquée au système est généralement une Séquence Binaire Pseudo Aléatoire (S.B.P.A.). de très faible niveau, engendrée par le calculateur.
INCORPORER Equation.3
Figure 8 : Principe de lestimation des paramètres dun modèle
Cette approche moderne de lidentification :
élimine les défauts mentionnés précédemment et permet un suivi des paramètres en temps réel,
permet de modéliser (et supprimer si besoin) les perturbations et bruits capteurs, et permet un traitement aisé des signaux (analyse spectrale des signaux).
Les algorithmes non récursifs ont pour objectif la minimisation de lerreur entre la sortie du procédé et la sortie de prédiction au sens des moindres carrés. Nous décrivons dans ce qui suit, seulement les algorithmes récursifs.
Les algorithmes récursifs : lalgorithme du gradient
lA.A.P.(voir 2.1.2.B) est un des éléments clé de la mise en uvre de cette approche pour lidentification des modèles de procédés par des techniques récursives. Il pilote les paramètres du modèle ajustable de prédiction à partir des informations recueillies sur le système à chaque pas déchantillonnage :
Nouvelle valeur des paramètres = valeur (n-1) + correction
Objectifs de lalgorithme du gradient :minimiser un critère quadratique en terme de lerreur de prédiction.
Soit le modèle discrétisé :
INCORPORER Equation.3 (1)
où `est le vecteur des paramètres
et INCORPORER Equation.3 est le vecteur des mesures ou des observations.
La sortie « a posteriori » de prédiction sera donnée par :
INCORPORER Equation.3 (2)
On définit une erreur de prédiction « a priori » :
INCORPORER Equation.3 (3)
Une erreur de prédiction « a posteriori » :
INCORPORER Equation.3 (4)
On cherche un A.A.P. récursif et avec mémoire. La structure dun tel algorithme est :
INCORPORER Equation.3 (5)
Le terme de correction doit nous permettre de minimiser à chaque pas le critère :
INCORPORER Equation.3 (6)
La solution sobtient par la technique du gradient :
Si on présente les courbes isocritères (J = constante) dans le plan des paramètres a1, b1, on obtient des courbes fermées concentriques autour de la valeur minimale du critère correspondant au point a1, b1 (les paramètres du modèle du procédé). Les courbes isocritères séloignent de plus en plus du minimum au fur et à mesure que J augmente. Pour minimiser le critère, on se déplace dans la direction inverse du gradient de la courbe isocritère correspondante. Ceci va nous conduire sur une courbe correspondant à J = constante de valeur plus petite (voir figure 9)
Figure 9 : principe de la méthode du gradient
LA.A.P. correspondant, prendra la forme : INCORPORER Equation.3 (7)
où F=aI (a>0) est le gain dadaptation matriciel (I est une matrice diagonale unitaire) et INCORPORER Equation.3 est le gradient du critère de léquation (1) par rapport à INCORPORER Equation.3 .
Au final lA.A.P. devient :
INCORPORER Equation.3 (8)
Toutefois, en utilisant lalgorithme du gradient, on minimise à chaque pas INCORPORER Equation.3 , ou plus exactement, on se déplace dans la direction de décroissance la plus rapide du critère, avec un pas dépendant de F. Cette minimisation nentraîne pas forcement la minimisation de INCORPORER Equation.3 sur un horizon de t pas. Au voisinage de loptimum, si le gain nest pas assez faible, on peut avoir des oscillations. Dautre part, pour avoir une bonne vitesse de convergence au début, quand on est loin de loptimum, il serait souhaitable davoir un grand gain dadaptation. Lobjectif est de trouver un algorithme récursif de la forme de léquation (5) qui minimise le critère des moindres carrés. On parle de lalgorithme des moindres carrés récursifs :
INCORPORER Equation.3 (9)
Après calcul, on peut démontrer que :
INCORPORER Equation.3 (10)
INCORPORER Equation.3 avec INCORPORER Equation.3 (11)
Pour obtenir un algorithme récursif, on considère lestimation de INCORPORER Equation.3 :
INCORPORER Equation.3 (12)
avec INCORPORER Equation.3 (13)
Après développement, il résulte lA.A.P. : INCORPORER Equation.3 (14)
avec INCORPORER Equation.3 et INCORPORER Equation.3
Avec INCORPORER Equation.3 le vecteur des paramètres estimés et INCORPORER Equation.3 représente le terme de correction. F est le gain dadaptation , INCORPORER Equation.3 est le vecteur des observations (ou des mesures) et INCORPORER Equation.3 est lerreur de prédiction (erreur dadaptation), cest à dire la différence entre la sortie mesurée du procédé et la sortie prédite.
Les perturbations (aléatoires, agissent avec les bruits de mesure sur le procédé) introduisent des erreurs dans lidentification des paramètres des modèles du procédé quand on utilise lalgorithme des moindres carrés récursifs (ou non récursifs). Ce type derreurs destimation sappelle biais des paramètres. Il existe des méthodes appropriées didentification récursive assurant asymptotiquement une estimation non biaisée des paramètres en fonction du type de perturbation (généralement modélisé .par un modèle ARMA. Le procédé plus la perturbation sont modélisés par un modèle ARMAX). Des S.B.P.A. (voir II.1.1.B) sont en principe appliqués comme signaux dentrée car elles approchent le bruit blanc discret. Il ny a pas de structure unique « procédé + perturbation » pour décrire toutes les situations rencontrées en pratique. Il ny a pas non plus une méthode unique didentification pouvant être utilisée avec toutes les structures possibles, donnant dans toutes les situations une estimation non biaisée.
Quelques structures « procédé + perturbation » largement utilisees en identification :
ARX (Auto régressive à variable exogène*) : INCORPORER Equation.3
e(t) est un bruit blanc.
On peut utiliser la méthode des moindres carrés récursifs avec cette structure.
Erreur de sortie : INCORPORER Equation.3
w(t) est une perturbation non modélisée.
Méthodes utilisées avec cette structure : Moindres carrés récursifs, variable instrumentale, erreur de sortie.
ARMAX (Auto régressive à moyenne ajustée et variable exogène) : INCORPORER Equation.3
Méthodes utilisées avec cette structure : moindres carrés étendus, maximum de vraisemblance récursif, erreur de sortie avec modèle de prédiction étendue.
ARARX : INCORPORER Equation.3
Méthodes utilisés avec cette structure :
moindres carrés généralisés
*Exogène = au dehors, qui se forme à lextérieur.
II.2 ) Boucle ouverte ou boucle fermée, les deux approches de lidentification :
Lapproche en boucle ouverte : majoritairement utilisée, ses caractéristiques principales sont :
Utilisée lorsque le système est naturellement stable, et si les contraintes dexploitation et de sécurité le permettent
possibilité dappliquer des signaux de test en entrée dun modèle en observant la réponse en sortie, afin didentifier le plus directement possible les paramètres du procédé. Déterminer les paramètres du processus considéré en boucle ouverte est un des objectif premiers de lidentification
souvent préférée à lapproche en boucle fermée: la boucle de retour pose des problèmes dans lidentification
Pour des systèmes multivariables, la structure de chaque transfert est personnalisable (retard, pôles, zéros)
Le concept nest pas limité aux modèles dynamiques linéaires et sapplique de la même manière aux systèmes décrits par des équations différentielles non linéaires. Lidentification des paramètres électriques dun moteur asynchrone en est un exemple (Lr,Rr,Rs,Ls
).
Commun Commun
Zmu V1 Ls Lr Rs Rr
Zmu est limpedance magnetisante, V1= tension de la phase 1, s=stator, r= rotor, L=inductance, R=resistance
Figure 10 : identification des paramètres du schéma simplifié dun moteur asynchrone ramené au secondaire
Beaucoup des procédés peuvent fonctionner en boucle ouverte. Un exemple concret est celui de la diffusion vidéo numérique. Le codage de limage à transmettre, utilise des algorithmes de compression faisant appel aux techniques didentification. Il sagit en particulier de prédire et estimer les mouvements de limage afin de transmettre uniquement les informations nouvelles par rapport à limage précédente. Un autre exemple est celui de la téléphonie mobile où des algorithmes didentification en boucle ouverte sont aussi appliqués (codage, reconnaissance vocale, suppression de lécho
).
Lapproche en boucle fermée :
Cest une alternative souvent incontournable en milieu industriel . Elle y est utilisée depuis longtemps. Beaucoup de procédés ne peuvent en fait, fonctionner quen boucle fermée. Cest le cas pour :
des impératifs de production ou de sécurité, ou pour des raisons économiques.
si le processus est instable en boucle ouverte ou à un comportement intégrateur.
il peut arriver aussi pour certains systèmes, quune dérive importante du point de fonctionnement en boucle ouverte ait lieu. La capacité dun régulateur à linéariser le comportement du procédé autour dun point de fonctionnement en boucle fermée constitue un point fort.
Ce constat sapplique à de nombreux systèmes de production (fabrication du papier, du verre
), mais aussi à des systèmes tels que des robots manipulateurs ou les servomécanismes (exemple : positionnement de disques CD, DVD, CD-ROM
) et également aux domaines non techniques, tels que dans les systèmes biologiques ou économiques.
La conduite dun véhicule automobile dont nous avons parlé dans notre introduction, illustre aussi parfaitement ce constat.
Lapproche en boucle fermée, considérée comme difficile (mal faite, elle peut donner des résultats contraires) est lobjet dun regain dintérêt depuis ces dernières années avec le développement de nouveaux algorithmes et une meilleure compréhension du sujet. Ses avantages et caractéristiques sont :
motivée par des contraintes pratiques. Exemple : réaliser la maintenance dun contrôleur existant sans ouvrir la boucle ou re-réglage sur site. Avec le vieillissement, les paramètres et le modèle dun processus peuvent être modifiés,
permet dobtenir de meilleurs modèles pour la commande des systèmes (une identification en B.F. donne de meilleurs résultats pour un système fonctionnant normalement en B.F.),
validation de la commande dun système : comparaison entre performances souhaitées et réelles dans les domaines temporels et fréquentiels, calcul de pôles et tests statistiques,
elle est particulièrement favorable à la synthèse dun régulateur robuste,
permet davoir un biais plus faible, ainsi quun meilleur contrôle de la puissance dentrée (et de sortie) pendant lexpérience,
permet de réduire lordre du modèle, afin de re-concevoir la commande (modification du contrôleur) en conservant les performances souhaitées en boucle fermée,
identification en temps réel en boucle fermée et adaptation de la commande.
Une approche itérative, consistant à identifier le modèle en boucle fermée, puis à calculer un nouveau régulateur à partir du modèle identifié, et refaire une autre identification en boucle fermée et ainsi de suite
savère souvent particulièrement fructueuse (nous avons introduit les principes de cette approche en 2.1.2.B).
Nous illustrons un des avantages de lidentification en boucle fermée à laide des réponses indicielles ci-dessous:
Figure 12.a Figure 12.b
Légende :
Réponse réelle en boucle fermée Réponse simulée Echelon appliqué en entrée du système
Figure 2.2.a : réponse simulée en BF avec un modèle identifié en boucle ouverte. Le régulateur à été calcule à partir du modèle identifie en boucle ouverte.
Figure 2.2.b : réponse simulée avec un modèle identifie en boucle fermée. Le régulateur à été calculé sur le modèle identifié en boucle fermée.
II.3 ) Théorie et pratique de lidentification en boucle fermée :
Le problème fondamental avec les données en boucle fermée, est la corrélation entre le bruit non mesurable et lentrée. Pour cette raison, la plupart des méthodes utilisées en boucle ouverte ne marchent pas lorsquelles sont appliquées aux données de la boucle fermée. Nous avons décris en 2.1. des méthodes paramétriques graphiques pouvant être appliquées à la boucle fermée. Cependant, linconvénient majeure de ces méthodes classiques, est quelles sont sensibles aux bruits, de plus, les modèles utilisés manquent de précision.
Lidentification en boucle fermée doit permettre dobtenir un modèle de procédé décrivant le plus fidèlement possible le comportement du système réel avec un régulateur donné. Elle doit aussi permettre lamélioration des performances du système bouclé à travers lutilisation du système identifié en boucle fermée. Lobjectif de lopération est de trouver le meilleur modèle du procédé qui minimise lécart entre la sortie prédite et la sortie réelle du système (erreur de prédiction). [Ioan D.Landau 1998]
Nous présentons dans ce chapitre les techniques spécifiques de lidentification en boucle fermée.
II.3.1 ) Les approches de lidentification en boucle fermée :
Soit le système :
Figure 13 : les approches de lidentification en B.F.
Nous allons dans un premier temps nous attacher à décrire les approches proposées par Soderstrom et Stoica (1989), reprises dans louvrage et les articles de Ljung (1999). Après introduction de ces méthodes, nous décrirons dans un second temps les algorithmes récents proposés par Ioan D.Landau.
Selon Soderstrom et Stoica (1989), les méthodes didentification en boucle fermée peuvent être classées en trois approches distinctes :
Approche directe :
Il sagit dappliquer la méthode derreur de prédiction. On utilise la sortie y(t) du processus et son entrée u(t), de la même manière que lorsquon opère en boucle ouverte, en ignorant le signal de retour ainsi que la référence r(t). Les avantages de cette approche que lon peut considérer comme naturelle pour létude en boucle fermée sont multiples :
Elle marche sans nécessité de se préoccuper de la complexité du régulateur, ni de connaître le retour
Aucun algorithme, ni logiciels spécifiques ne sont requis
si la structure du modèle contient le modèle réel en incluant les propriétés du bruit, on obtient de très bon résultats
les systèmes instables sont supportés sans problèmes tant que la boucle fermée et le prédicteur sont stables
Le seul inconvénient est donc la nécessite davoir un bon modèle du bruit pour une bonne estimation des paramètres (absence de biais). On choisira généralement dutiliser des modèles de type ARX ou ARMAX avec cette approche. Cette méthode donne de bons résultats, et doit donc être choisie en premier. De plus, dans la plupart des cas le biais reste faible, il suffit davoir un bon rapport signal à bruit.
Approche indirecte :
Il sagit didentifier le système en boucle fermée à partir de la référence dentrée externe r(t) et de la sortie y(t) et à partir de ces données de retrouver le système en boucle ouverte en utilisant la connaissance du régulateur. Lavantage de cette méthode est quil est possible dy appliquer les méthodes utilisées en boucle ouverte. Le problème principal de cette approche est que toute erreur dans la boucle de retour est répercutée sur le modèle INCORPORER Equation.3 . Dans cette approche, le modèle en boucle fermée GBF est estimé à partir des mesures de y(t) et de u(t). Il est alors possible de calculer INCORPORER Equation.3 , la fonction de transfert en boucle ouverte : INCORPORER Equation.3
Si on à un bonne connaissance de la boucle de retour, et si on connaît le régulateur, il est préférable dutiliser cette méthode ne nécessitant pas une parfaite connaissance du bruit.
Approche entrée-sortie commune :
Il sagit de considérer y(t) et u(t) comme les sorties dun système ayant comme entrée r(t) (référence) et le bruit, et de retrouver le modèle du système et du régulateur à partir de cette approche jointe. En fait, on considère y et u comme un système multivariables, séries temporelles de dimension (nu+ny), et on considère un modèle de structure approprié pour celle-ci. Avec cette approche, le processus en boucle ouverte, ainsi que le régulateur, peuvent être identifiés. La connaissance du régulateur nest pas ici requise, ce qui est un avantage par rapport à la méthode indirecte. Si on utilise la méthode de lerreur de prédiction, en supposant que le régulateur est linéaire, et que e et d sont des sources de bruit indépendantes, la sortie y et lentrée u peuvent être décrites comme suit :
INCORPORER Equation.3
avec H représentant le modèle du bruit.
Cette approche est aussi appelée, méthode à deux étapes, qui consiste à :
Identifier la fonction de sensibilité S0 en utilisant les mesures de u et de r
Construire le signal INCORPORER Equation.3 et identifier le système en boucle ouverte
Cette approche donne de bonnes estimations du système ramené à la B.O. à condition que le retour soit linéaire.
II.3.2) Les algorithmes récursifs pour lidentification en boucle fermée :
Ioan D.Landau complète les approches que nous venons de présenter par de nouveaux algorithmes récursifs didentification en boucle fermée, dutilisation relativement simple et présentant de nombreux avantages en pratique.
Figure 14 : schéma de principe de lidentification en boucle fermée
(Partie supérieure : système réel Partie inférieure : système simulé)
Cet algorithme permet de minimiser lerreur entre le système réel et le modèle identifié en utilisant les nouvelles données acquises en boucle fermée, afin de permettre une identification du procédé. A partir du schéma présenté ci-dessus, deux familles dalgorithmes récursifs pour lidentification peuvent être utilisées :
CLOE : Closed Loop Output Error recursive identification (Erreur de sortie en boucle fermée) . Cette approche permet de réécrire léquation de sortie du système en boucle fermée en fonction du retour de prédiction (i.e. INCORPORER Equation.3 et INCORPORER Equation.3 ) et de la valeur précédente de lerreur de prédiction en boucle fermée. Les paramètres du modèle estimé sont contrôlés par lA.A.P. (Algorithme dAdaptation Paramétrique) qui utilise lerreur de prédiction en boucle fermée ( INCORPORER Equation.3 ) pour ladaptation de lerreur.
FOL : Filtered Open Loop recursive identification algorithms (méthode de lidentification en boucle ouverte filtrée). Cest une alternative à la méthode CLOE. Cette approche est basée sur le fait que lobservation de lerreur de sortie en boucle fermée peut aussi être exprimée comme une erreur de prédiction entrée-sortie. Elle mène à une expression de lerreur de prédiction en boucle fermée semblable à une erreur de prédiction du type moindres carrés filtrés pour lidentification du modèle dun processus à partir de mesures entréesortie. Malheureusement, la distribution du biais est fortement affectée par le bruit avec pour effet néfaste daugmenter lexcitation à cause de la boucle de retour (lestimation des paramètres est biaisée même dans le cas où le modèle du processus correspond au modèle défini).
En accord avec les approches didentification mentionnées par Soderström et Stoica (1989), ces algorithmes peuvent être considérés comme une variante de lapproche directe, utilisant un type spécial de variable instrumentale* générée en temps réel dans le prédicteur ou par un filtrage approprié des données. Ils peuvent aussi être vus comme une modification de la méthode indirecte dans laquelle le modèle du processus et la boucle fermée sont identifiés simultanément.
Lobjectif de ces algorithmes est lestimation des paramètres du modèle défini par la fonction de transfert :
Où INCORPORER Equation.3
Et INCORPORER Equation.3
La sortie en boucle fermée est donnée par :
Y(t+1)=-A*y(t)+B*u(t-d)+Aw(t+1) = INCORPORER Equation.3
*La méthode de la variable instrumentale (T.Soderstrom, P.Stoice, 1983) est une méthode paramétrique statistique didentification. Elle fut très utilisée pour lidentification en boucle fermée avant que soient développées les méthodes derreur de prédiction. Elle permet dannuler asymptotiquement le biais sur les vecteurs de paramètres (le problème de lidentification en B.F. est que le retour u(t) est corrélé avec la perturbation). Par cette méthode on rend lutilisation de la méthode des moindres carrés consistante en rajoutant une matrice variable instrumentale x(t), indépendante de INCORPORER Equation.3 pour remplacer INCORPORER Equation.3 . Pour remplir les conditions didentifiabilité par la méthode des moindre carrés, il faut que INCORPORER Equation.3 soit inversible, ce qui ne peut pas être le cas. On utilise alors la variable instrumentale x(t) pour rendre INCORPORER Equation.3 inversible. Le choix de x(t) se fait par décalage des entrées sorties dans INCORPORER Equation.3 , filtrage des entrées-sorties, utilisation dun modèle auxiliaire.
A ) Algorithmes didentification CLOE (erreur de sortie en boucle fermée) :
Soit le système en boucle fermée décrit par :
y(t+1)=-a1y(t)+ b1u(t)= INCORPORER Equation.3 avec INCORPORER Equation.3 et INCORPORER Equation.3
et INCORPORER Equation.3
ru(t) : signal dexcitation appliqué à la sortie du régulateur (en fait, r=0 ou est constant, et on applique un signal dexcitation ru qui est typiquement un S.B.P.A. Ainsi, le bruit a une conséquence néfaste sur le retour, cependant, le spectre du signal dentrée est relevé dans le domaine de fréquence où la fonction de sensibilité de la sortie est haute. Cela permet dobtenir une meilleure identification du modèle dans la région critique pour la stabilité et la performance. Dans le cas de lexcitation sur la consigne :
INCORPORER Equation.3
Le prédicteur ajustable de la boucle fermée est décrit par :
INCORPORER Equation.3
INCORPORER Equation.3
INCORPORER Equation.3
Lerreur de prédiction de la boucle fermée :
INCORPORER Equation.3 à priori
INCORPORER Equation.3 à posteriori
Lalgorithme dadaptation paramétrique prend la forme :
INCORPORER Equation.3 (Voir paragraphe 2.1.2.B.)
INCORPORER Equation.3 avec INCORPORER Equation.3 et INCORPORER Equation.3
INCORPORER Equation.3
où INCORPORER Equation.3 est lerreur de prédiction à priori et INCORPORER Equation.3 est lerreur de prédiction à posteriori.
Pour que INCORPORER Equation.3 dans un environnement déterministe, cest à dire que la convergence de cet algorithme est soumise à la condition suffisante, que pour toute condition initiale :
INCORPORER Equation.3 est une fonction de transfert strictement positive avec INCORPORER Equation.3
où P(q-1)=A(q-1)S(q-1)+B(q-1)R(q-1) correspond aux pôles de la boucle fermée.
B) Algorithmes F-CLOE, AF-CLOE, X-CLOE et G-CLOE :
F-CLOE : Erreur de sortie en boucle fermée filtrée
AF-CLOE : Erreur de sortie en boucle fermée avec filtrage adaptatif
X-CLOE : Erreur de sortie en boucle fermée avec prédicteur étendu
G-CLOE : Méthode généralisée derreur de sortie en boucle fermée
Ces formulations utilisent le même prédicteur ajustable que lalgorithme CLOE.
AF-CLOE et F-CLOE permettent de relâcher la condition suffisante précédemment citée pour CLOE en filtrant le vecteur INCORPORER Equation.3 par INCORPORER Equation.3 où INCORPORER Equation.3 est une estimation de P, ou par INCORPORER Equation.3 , où INCORPORER Equation.3
est une estimation au temps t des pôles de la boucle fermée ( INCORPORER Equation.3 ).
Lalgorithme X-CLOE permet de prendre en compte le cas dune perturbation w(t+1) = (C/A)e(t+1) avec e(t+1) un bruit blanc de valeur moyenne nulle (C=1+q-1C*(q-1)).
Lalgorithme G-CLOE permet de prendre en compte le cas dune perturbation en bande étroite w(t+1)=(C/DA)e(t+1) avec e(t+1) est un bruit blanc.
Dans un article récent de Landau et Karimi, il est proposé la modification de ces algorithmes afin de réaliser lestimation des paramètres dun contrôleur dordre réduit utilisé pour lidentification en boucle fermée. Il sagit dalgorithmes appelés CLIM (Close input matching algorithms) qui permet de réduire lerreur entre les fonctions de sensibilité des entrées et CLOM (Close output matching algorithms) qui donne la préférence à la minimisation de lerreur entre les fonctions de sensibilité des sorties.
C) Distribution du biais :
Lexpression asymptotique pour la distribution du biais des fonctions de transfert estimées dans le domaine fréquentiel joue un rôle important dans lanalyse des différentes méthodes didentification (particulièrement lorsque le système réel ne correspond pas au modèle défini). Dans le cas de la méthode CLOE, la formule commune pour le vecteur des paramètres estimés est :
INCORPORER Equation.3
INCORPORER Equation.3 avec INCORPORER Equation.3
avec INCORPORER Equation.3 le modèle réel, INCORPORER Equation.3 modèle estimé, Syp(jÉ) fonction de sensibilité réelle, INCORPORER Equation.3 (jÉ) fonction de transfert entre la référence r et l entrée INCORPORER Equation.3 du modèle estimé, INCORPORER Equation.3 densité spectrale du signal de référence, INCORPORER Equation.3 (jÉ) la fonction de sensibilité estimée de la sortie basée sur INCORPORER Equation.3 (jÉ) (i.e. la fonction de sensibilité du prédicteur de boucle fermée), INCORPORER Equation.3 la densité spectrale du signal externe d excitation ajoutée à la sortie du contrôleur, et INCORPORER Equation.3 la densité spectrale du bruit. Cette formule montre clairement que le bruit naffecte pas lestimation des paramètres, et que la distribution en fréquence du biais nest pas seulement affectée par la fonction de sensibilité en fonction du spectre, mais est de plus affectée par la fonction de sensibilité estimée. En dautres termes, en utilisant ce type dalgorithme, la précision de lestimation est sensiblement améliorée dans la région de fréquence critique.
II.3.3 ) Aspects pratiques de lidentification :
Une bonne identification nécessite lutilisation dun signal dexcitation (commande) du procédé, riche en fréquences. Ce signal sera superposé à la valeur statique de la commande, correspondant au point de fonctionnement autour duquel on souhaite faire lidentification du procédé. En général, on utilise une S.B.P.A. (car, riche en fréquence, voir II.1.2.B) de faible amplitude. Pour pouvoir identifier le gain statique, il faut au moins une des impulsions de la S.B.P.A. plus grande que le temps de montée du système à identifier. Lamplitude de la S.B.P.A. ne doit pas dépasser quelques % du signal de commande statique. Lacquisition se fait le plus souvent à laide dun calculateur muni dune carte dacquisition entrées-sorties (comportant des convertisseurs numériques / analogiques et analogiques / numériques). Pour lidentification en boucle fermée, deux possibilités peuvent être considérées :
Excitation du procédé superposée au régulateur (la SBPA est additionnée à la sortie du régulateur) et on procède à lacquisition de lentrée réelle du procédé et de la sortie. Le transfert entre y0 et y1 sera identifié.
Excitation sur la consigne (SBPA additionnée à la consigne, définissant le point de fonctionnement) et on procède à lacquisition de lentrée et de la sortie du procédé (transfert y0,y1).
Figure 15 :Acquisition des données pour lidentification en boucle fermée (2 possibilités)
La conversion des signaux continus ayant un spectre supérieur à la moitié de la fréquence déchantillonnage (f.ech), introduit une distorsion du signal dans la bande utile de 0 à 0,5 f.ech. Il convient donc dutiliser pour la mesure, un filtre analogique anti-repliement (filtre passe bas : élimine f>0,5 f.ech). On complète ce filtrage analogique par un filtrage numérique réalisé par le calculateur. Très souvent, lacquisition est réalisée en sur échantillonnage (i.e. f acquisition = n*f.ech). On choisis une fréquence de la S.B.P.A. multiple de la fréquence dacquisition pour que f.ech reste multiple de f SBPA (F SBPA = (1/p)f.acquisition).
Les modèles utilisés pour lacquisition étant dynamiques (variations de la sortie en fonction des variations de lentrée autour du point de fonctionnement), il faut alors éliminer les composantes continues dans les données entrées-sorties.
Lors dune identification, la structure « procédé + bruit » à identifier peut prendre différentes formes (voir fin de la section II.1.2.B).Lobjet sera de spécifier na, nb, nc les degrés des polynômes A(q-1), B(q-1), C(q-1) pour lancer les méthodes destimation des paramètres (na degré du dénominateur, nb degrés du numérateur, nc est lié au modèle de la perturbation).
Utilisation de modèles flous : Dans son ouvrage de 1999, Ljung indique que parfois il peut y avoir des informations quil est difficile dincorporer dans un modèle paramétrique standard, en particulier lorsquon cherche à identifier des modèles non linéaires. Ainsi, il indique que lutilisation de la logique floue pour lidentification permet dans ces cas là didentifier les paramètres quil netait pas possible de prendre en compte avec lutilisation dun modèle paramétrique classique.
Utilisation des réseaux de neurones : Des réseaux de neurones (dont on peut noter quils utilisent des algorithmes itératifs dapprentissage de même nature que les algorithmes que nous avons présenté) sont dans quelques cas utilisés pour lidentification de systèmes en boucle fermée, (systèmes non linéaires, commande adaptative, reconnaissance vocale
)
Validation des modèles identifiés en boucle fermée: Lobjectif de la validation est de trouver quel est le modèle du procédé qui, avec le régulateur utilisé, permet dobtenir la meilleure prédiction du système en boucle fermée. Trois procédures de validation peuvent être définies :
Tests statistiques de validation sur lerreur de sortie de la boucle fermée (test dintercorrélation entre INCORPORER Equation.3 et INCORPORER Equation.3 )
Proximité des pôles calculés de la boucle fermée et des pôles identifiés du système réel en boucle fermée.
Validation temporelle (comparaison des réponses temporelles du système réel et du prédicteur de la boucle fermée)
II.4 ) Simulation :
Système instable en boucle ouverte : lidentification doit être réalisée en boucle fermée
Pour ce faire, nous utilisons un bloc ARX connectée sur y la sortie du processus et r, la référence dentrée du système. Soit le modèle déquation : G(s)=K/(s-0.5)) avec K=5 (voir figure 35 en annexe A). . On applique en entrée un signal carré de 0.5 hertz. On échantillonne à 0.1 hertz. La fonction ARX emploie la méthode paramétrique des moindres carrés pour lidentification. Dans la réponse de la figure 16, on vérifie que lidentification dun système instable en B.O. nest pas réalisable. Lerreur de prédiction dans lestimation des paramètres tend rapidement vers linfini. Les paramètres choisis pour lestimation du modèle dans lARX sont : na=1, nb=1 et nk=0 (Numérateur et dénominateur dordre 1, on applique pas de perturbation).
Lidentification en boucle ouverte, puis en boucle fermée de ce processus à donnée les réponses suivantes :
Figure 16 : Identification en B.O. avec loutil ARX Figure 17 : Identification en B.F. avec ARX
(loutil ARX utilise la méthode des moindres carrés)
Ce constat est aussi applicable lorsquon est proche de linstabilité, exemple : G=2/(s+0.1) (on simule pendant 40 secondes, voir figures 33 et 34 de lannexe A).
Influence dun bruit blanc :
si amplitude bruit < 10 % du signal dentrée, lidentification nest pas affectée.
si bruit >.10% signal dentrée : le biais devient significatif. Il devient utile de définir le modèle du bruit.
Si le système est stable en B.O., lemploi de la méthode directe donne des résultats comparables à lidentification en B.F. réalisée avec la méthode indirecte. Si le système est instable en B.O., le résultat de lidentification en B.F. par la méthode directe est fortement biaisé. Lidentification est alors impossible.
En pratique, on constate quen appliquant une vraie SBPA sans précautions, lestimation peut être fortement biaisée. En effet, il faut au moins quune des impulsions de la SBPA soit plus grande que le temps de montée du système à identifier.
Nous utilisons maintenant loutil « ident » de Matlab, et nous programmons des actions dans un fichier « essaiprogr.m » (voir annexe A) afin de simuler différentes méthodes didentification, en les appliquant à un système discret décrit dans Simulink. On récupère dans Matlab les mesures de r, u et y.
On choisis notre processus en boucle ouverte G=0.8/(z-1,5). On ferme la boucle, (voir fig. 37 en annexe A)
Identification en boucle fermée. par la méthode directe : on mesure u et y
Dans notre exemple, le système est naturellement instable en B.O., la réponse prédite est croissante jusqu à saturation (de façon similaire à la réponse en B.O. Voir figure 18). Matlab par un message de Warning, indique que le système est instable. Lerreur destimation augmente très vite. Dans cette configuration on à obtenu une erreur plus faible avec un modèle OE (output error,.), soit 0.788 contre 38,22 pour ARX110 (110=ordres des polynômes A, B et C) et 20,0954 pour un modèle en représentation détat utilisant la méthode de lerreur de prédiction.
On constate aussi que Lutilisation des techniques non paramétriques ne permet pas didentifier le système.
Si le processus est stable en B.O., lidentification par cette méthode est satisfaisante.
Fig. 18 : réponse à un échelon par méthode directe
(Méthode de lanalyse par corrélation en vert , ARX110 en rouge, OE110 en clair, PEM en violet)
Méthode indirecte
On obtient de très bon résultats, ici la modèle en représentation détat en utilisant la méthode de lerreur de prédiction est le meilleur avec une erreur nulle (3,8 e-16), puis OE (0,27) et arx110 (0,36).
Figure 19 : identification par la méthode indirecte Figure 20 : Réponse à un échelon
Réponse à un signal carré identification en B.F par la méthode indirecte
En vert foncée on à la réponse réelle, en rouge, méthode ARX, méthode OE en vert clair, méthode de lerreur de prédiction en violet. On remarque clairement dans figure 7, que la méthode par corrélation ne marche pas.
En figure 36 de lannexe A, on réalise la comparaison des réponses dans le plan fréquentiel, obtenues pour un système stable en B.O. et en B.F. par la méthode fréquentielle, puis par une méthode paramétrique utilisant un ARX. On constate, que la méthode fréquentielle, ne permet pas une bonne identification en B.F. (résultats biaisés)
Simulation de lutilisation dun algorithme dadaptation paramétrique avec Simulink, :
Nous avons présenté en II.3.2.A un algorithme dadaptation paramétrique pour lidentification en boucle fermée :
INCORPORER Equation.3
Avec Simulink, nous avons reproduit cet algorithme partiellement, en identifiant le paramètre (b), correspondant au gain statique du processus en boucle ouverte.
En effet, à partir de lalgorithme présenté, on écrit : INCORPORER Equation.3
Si on lécrit pour un système discret, cela donne : INCORPORER Equation.3
Nous réalisons dans Simulink la simulation à partir dun système continu, auquel nous adaptons notre algorithme. On déduit alors des formules précédentes : INCORPORER Equation.3
ainsi INCORPORER Equation.3.
Si on veut adapter le paramètre de gain K, on doit observer y la sortie du processus réel. Léquation devient : INCORPORER Equation.3
Le système simulé identifie très bien dans toutes les configurations (il faut les mêmes paramètres au dénominateur pour le système réel et le modèle). Le paramètre du numérateur (b), exprimant le gain est parfaitement identifié dans ces conditions. La convergence dans le temps vers la bonne valeur du paramètre estimé est fonction du gain dadaptation F : plus F est grand et plus on converge vite.
En figure 22, on présente les réponses des systèmes réels (en vert) et estimés (en bleu), pour un gain K=5 avec F=100. La figure 23, présente pour les mêmes conditions lévolution dans le temps de lerreur de prédiction, et figure 24, lévolution en fonction du temps du paramètre estimé (on a un dépassement avec F=100). Nous présentons en figures 25, 26 et 27 les réponses avec un gain K=10 et F=20 (convergeance plus lente).
Figure 22 : réponses réelles et identifiées Figure 23 : erreur de prédiction Figure 24 : estimation de K
Figure 25 : réponses réelles et identifiées Figure 26 : erreur de prédiction Figure 27 : estimation de K
Il serait certainement possible dadapter aussi le paramètre correspondant au retard (donc le dénominateur a), en observant u, lentrée du processus réel, et en appliquant le même algorithme (voir II.3.2.A).
Il devrait par exemple être possible daccéder à ce paramètre avec Simulink en cherchant à identifier un intégrateur, qui bouclé donne un système du 1er ordre.
II.5) Les applications de lidentification en boucle fermée :
Avec les multiples travaux réalisés ces dernières années , le nombre dapplications de lidentification en boucle fermée est sans cesse croissant, et concerne une grande variété de domaines, quils soient techniques ou non. Nous présentons dans ce dernier chapitre une liste « non exhaustive » dexemples dapplications.
ii.5.1 ) Les systèmes de suspension active :
Cet exemple est présenté dans les références [18] et [19] de la bibliographie.
On souhaite réduire lordre du contrôleur dune suspension active. Lobjectif du système est de réduire une accélération résiduelle dans la suspension, en agissant sur un piston commandé par le contrôleur (via un étage amplificateur) :
Une identification en boucle fermée en utilisant une méthode F-CLOE a donné de meilleurs résultats pour la validation de la boucle fermée que le modèle identifié en boucle ouverte (on utilise en entrée une SBPA). En effet, remarquons que ce système est normalement conçu pour fonctionner en boucle fermée. Ceci, I.D.Landau le souligne dans ses articles : pour un système fonctionnant normalement en boucle fermée, une identification en boucle fermée donne de meilleurs résultats.
Une application voisine de celle-ci, est lutilisation des techniques didentification dans le TGV pendulaire : afin daméliorer le confort des passagers lors des virages à grande vitesse, on met en place une commande anticipative pour le système pendulaire de suspension (identification : modèle simplifié, estimation paramètres)
II.5.2 ) Identification du mécanisme de control du système cardiovasculaire en Boucle fermée :
Figure 30: identification du système cardiovasculaire
Il sagit de créer un modèle en boucle fermée du système cardiovasculaire dun individu, sans altérer le mécanisme physiologique de contrôle. On cherche en fonction de la posture adoptée par un individu et de son activité, à déterminer les mécanismes physiologiques en relation avec la fréquence cardiaque, la pression artérielle ou la capacité pulmonaire. Un article décrivant cette étude « System identification of closed loop cardiovascular control mecanisms : Pharmacologie automatic blockade and posture effects » est paru en 1996 dans « the American physiological society ». Dans le même domaine, a été réalisée au laboratoire de Grenoble, la modélisation de leffet dun médicament hypotenseur sur la pression artérielle dun patient. Le modèle de type « boite noire » (sensé représenter fidèlement le modèle du processus), à été élaboré à partir dune vingtaine denregistrements dune durée de 24 heures de la pression artérielle de patients hypertendus, traités avec le médicament pris en dose journalière. Un algorithme de commande permettant de réguler la tension artérielle par délivrance dune dose variable de médicament à intervalle régulier à en conséquence été développé..
Lidentification en boucle fermée, trouve de multiples applications dans lidentification de systèmes physiologiques et est donc un outil efficace dans lanalyse des problèmes physiologiques
II.5.3 ) La commande adaptative :
Une des applications répandue dans lindustrie, est la commande adaptative. Le développement de la micro-informatique et lutilisation des techniques didentification permettent dimplanter des fonctions dauto-adaptation (autoréglage) dans les régulateurs. Les réglages devant être réalisés en « temps réel », une commande adaptative utilise les techniques didentification récursive.
Le système Eurotherm PC3000 dont nous présentons le schéma fonctionnel ci-dessous, est un contrôleur disposant dun bloc spécifique pour la régulation auto-adaptative :
Figure 31 : schéma fonctionnel dun système de régulation auto-adaptative
II.5.4 ) Prédiction en ligne de ladhérence pneu/route :
Voir référence [23]. Lidentification du frottement pneu/route est lobjet de recherches intensives. Cest une information de plus en plus utilisée dans les systèmes dassistance à la conduite des véhicules. Elle est en particulier utilisée pour lestimation des distances de sécurité dans les systèmes anti-collision, les systèmes de contrôle de vitesse et dans certains cas pour les systèmes ABS et danti-dérapage. Pour des raisons évidentes de sécurité, lidentification de ce modèle de frottement est réalisé en boucle fermée en utilisant différentes mesures :
la différence de vitesse entre les roues, et en particulier entre les roues motrices et non motrices
des capteurs optiques pour estimer par réflexion létat de la route (lubrifiants, eau
)
éventuellement des capteurs dans les pneus (solution coûteuse)
Certaines méthodes consistent aussi à utiliser seulement les données provenant du système ABS du véhicule pour modéliser le frottement pneu/route. Certaines études menées sur ce sujet utilisent des réseaux de neurones en association avec les capteurs pour lidentification.
II.5..5 ) Autres applications :
La robotique : les robots sont des systèmes non réguliers. Leur modélisation est très complexe, car elle dépend de lenvironnement et des actions de celui-ci. Létude du contact robot - sol sur un robot marcheur, en est un bon exemple. Sajoutent à cela les problèmes liés à la stratégie de commande dun système complexe, surtout lorsquil sagit de prendre en considération diverses contraintes (vitesse, consommation en énergie
)
Identification dun moteur diesel : Afin de réaliser le contrôle de la vitesse dun moteur tournant au ralenti (Scotan et Heath 1996 et 1998), une identification en boucle fermée est nécessaire, car en boucle ouverte, le système est instable au ralenti. Un autre exemple dutilisation des techniques didentification dans la motorisation automobile est le moteur diesel à injection directe haute pression type « Common rail ». Lamélioration voulue des performances, avec de moindres vibrations, une consommation réduite et moins de pollution, rend complexe son fonctionnement et nécessite des méthodes avancées dautomatisme (à laide de capteurs et calculateurs). Cet exemple à été traité au laboratoire dautomatique de Grenoble.
Apprentissage de la planche à voile (Windsurfer) : En 1991, Anderson et Kosut ont décrit le schéma itératif souvent utilisé dans lapprentissage du « windsurf ». En effet, lapprentissage du windsurf se fait par une approche en boucle fermée. On commence dabord par une analyse du système en bande limitée (i.e. en y allant doucement), en analysant toutes les conséquences des mouvements du corps et des diverses perturbations(vent, vagues
), en définissant ainsi expérimentalement un modèle mental. Il est ensuite possible daccroître la bande danalyse (on va plus vite) et de réajuster le modèle, et ainsi de suite.
Identification dun avion : Voir référence [24] et [11] de la bibliographie. Un avion est un système instable en boucle ouverte. Cest aussi un système multivariable comportant de nombreuses entrées (position des gouvernes de profondeur ou bord de fuite des ailes, position des volets de bord dattaque des ailes, position des empennages canard), et une de ses sorties est langle de tangage (assiette). De plus, ce système peut être soumis à de fortes perturbations (variations locales de pression, vent, fortes instabilités lors du franchissement du mur du son
), ce qui nécessite de réaliser une étude stochastique lors de lidentification (on utilise un modèle ARMAX, toutefois un modèle ARX donne de bons résultats pour des perturbations nulles). Dans la référence [24] traitant de lidentification en boucle fermée dun avion de combat pour la NASA, le HARV F/A 18 qui a la capacité de manuvrer avec des angles dattaque très importants (où les phénomènes aérodynamiques non linéaires prédominent), il est réalisé une identification en boucle fermée en utilisant des techniques de probabilité maximale dans le domaine fréquentiel. Les essais en vol sont menés en appliquant différents angles dattaque (5,20,30,45 et 60 degrés). Les données sont comparées aux modèles conçus en simulation. Le modèle identifié était au final une structure du 4 ème ordre (ordre réduit). Les auteurs ont cherché à estimer un modèle en boucle fermée, linéaire et dordre réduit, afin de pouvoir optimiser et faciliter la commande du système. En contre partie, il a fallu porter une attention particulière sur les petites perturbations et les non linéarités, car elles peuvent entraîner des erreurs importantes dans le système linéaire.
III ) CONCLUSION :
Avec lappui des techniques générales de lidentification, nous avons présenté lapproche en boucle fermée. Celle-ci simpose dans les cas où le système est instable en boucle ouverte, présente une dérive importante du point de fonctionnement, ou lorsquon ne peut pas ouvrir la boucle (sécurité, production)
Les algorithmes didentification en boucle fermée présentés par I.D. Landau, sils sont bien utilisés, donnent de très bons résultats, et offrent parmi de nombreux avantages :
la possibilité dobtenir un meilleur modèle du procédé pour la commande
dêtre une méthode facile dutilisation pour le (re-)réglage du contrôleur
dêtre une bonne méthode pour la réduction de lordre du contrôleur tout en préservant ses propriétés en boucle fermée (avec les algorithmes CLIM et CLOM, issus de la famille CLOE)
Lextension des algorithmes présentés aux cas multivariables et leur évaluation est un sujet de recherche à venir. En ce qui concerne les modèles de systèmes non linéaires en boucle fermée, des algorithmes commencent à être proposés, mais il reste beaucoup à faire dans ce domaine. Enfin, nous lavons démontré, lidentification en boucle fermée (et en particulier les méthodes récursives) a de plus en plus dapplications dans de nombreux domaines, comme dans les systèmes de technologie récente (automobile, téléphonie, aviation
). Il existe aussi des logiciels dédiés à ces méthodes didentification.
Cette étude est une opportunité qui ma permis de mintéresser de très près à cette branche de lautomatique qui me semble tout à fait essentielle. Il est vrai, quau premier abord, létude de cette discipline est complexe, étant basée sur lutilisation de théories et outils mathématiques consistants. Néanmoins, les algorithmes proposés pour lidentification en boucle fermée sont simples et efficaces. Cette approche pour lidentification, me semble tout à fait intéressante tant elle trouve dapplications dans la pratique et ouvre la voie à de nombreuses questions, tant sur le plan technique que philosophique.
Bibliographie :
Ouvrages :
[1] System identification Theory for the user Lennart LJUNG Prentice Hall 1987
[2] System identification Second edition Theory for the user Lennart LJUNG Prentice Hall 1999
[3] System identification Torsten SODERSTROM Petre STOICA Prentice Hall 1989
[4] Identification des systèmes Ioan D. LAUDAU Collection pédagogique dautomatique HERMES 1998
[5] Automatique 2 Systèmes asservis linéaires Michel VILLAIN Ellipses 1996
[6]Cours dautomatique Tome 3 Commande par calculateur, identification Maurice RIVOIRE Jean-louis FERRIER Eyrolles 1997
[7] Cours dautomatique Tome 1Traitement du signal, systèmes M. RIVOIRE J.L. FERRIER Eyrolles 1995
[8] Identification de modèles paramétriques à partir de données expérimentales- Eric WALTER- Luc PRONZATO Masson 1994
[9] Régulation tome 4 C.SERMONDADE A.TOUSSAINT Nathan 1998
[10] Traitement numérique du signal Maurice BELLANGER Dunod 1998
Supports de cours :
[11] P.CHANTRE Automatisme industriel C5 Identification des systèmes
[12] Introduction aux systèmes et mathématiques pour lautomatique Cours B2 dautomatisme industriel Henri BOURLES Octobre 2001
Articles :
[13] Closed loop indentification revisited Urban FORSELL Lennart LJUNG Automatica 1999
[14] A projection method for closed loop identification Urban FORSELL Lennart LJUNG IEEE Transactions and automatic control - 1997
[15] An alternative motivation for the indirect approach to closed loop identification Lennart LJUNG et Urban FORSELL IEEE Transactions and automatic control 1997
[16] Model validation and error modeling Lennart LJUNG Astrom symposium control, Lund, Sweden 1999
[17] Recursive algorithms for identification in closed loop A unified approach and evaluation Ioan Dore LANDAU et Alireza KARIMI Automatica 1997
[18] Identification in closed loop ; a powerfull design tool (Better design models, simpler controllers) Ioan Dore LANDAU Control Engineering Practice 2000
[19] Direct controller order reduction by identification in closed loop Ioan Dore LANDAU Alireza KARIMI Aurelian CONTANTINESCU Automatica 2001
[20] For model based control design, closed loop identification gives better performances Hakan HJALMARSSON, Michel GIVERS Franky DE BRUYNE Atuomatica 1996
[21] Identification and control - Closed loop issues Paul M.J. VAN DEN HOF et Ruud J.P. SCHRAMA Automatica 1995
[22] Biais of indirect non parametric tranfer function estimates for plants in closed loop W.P.HEATH-Automatica 2001
[23] Slip based tire road friction estimation Frederik GUSTAFSSON Automatica 1997
[24] Closed loop system identification experience for fligh control law and flying qualities. Evaluation of fligh performances fighter aircraft P.MURPHY NASA Longley Research center. Paper 16 for the « system identification fpr integrated aircraft development and fligh testing » Symposium Madrid Spain May 1998
[25] On some key issues in the windsurfer approach to adaptative robust control W.S.LEE- B.D.O. ANDERSON- I.M.Y.MARELS- R.L.KOSUT- Atuomatica 1995
Internet :
Laboratoire dautomatique de Grenoble : LIENHYPERTEXTE http://www-lag.ensieg.inpg.fr http://www-lag.ensieg.inpg.fr
Department of Electrical Engineering Linkping University Sweden : LIENHYPERTEXTE http://www.control.isy.liu.se http://www.control.isy.liu.se
Groupe thematique identification : LIENHYPERTEXTE http://www.esip.univ-poitiers.fr http://www.esip.univ-poitiers.fr
Massachusetts Institute Of Technology (M.I.T.), Cambridge : LIENHYPERTEXTE http://web.mit.edu http://web.mit.edu
ANNEXES
Annexe A : Figures, schémas et programme Matlab-Simulink
Annexe B : liste de notations
ANNEXE A :
Figure 33 : Système en B.O. proche de linstabilité Figure 34 : Système en B.F. G=2/(s+0.1), f.ech=0,1Hz
Figure 35 : système continu instable Figure 36 : comparaison de réponse en fréquence
Figure 37 : simulation du système discret
En page suivante, nous présentons le programme utilisé pour réalisé certaines simulations
Programme développé et utilisé pour certaines simulations :
Z=[y u];
NN=[1 1 0];
%essai avec ARX, identification des moindres carrés
tharx=arx(Z,NN);
pause, present(tharx), pause
yarx=idsim(u,tharx);
%figure 1
figure,plot([yarx y]), pause
xlabel('système estime');
%verification stochastique de l'identification
%figure 2
figure,resid(Z,tharx);pause
%comparaison predicteur et sortie du systeme
%figure 3
yh2=predict(Z,tharx,1);
figure,plot([y(1:100) yh2(1:100)]),grid,pause
%tracé en frequence du systeme estimé
g=th2ff(tharx);
%figure 4
figure,bodeplot(g),pause
%correlation
phi=spa(Z);
%figure 5
figure,bodeplot(phi)
Identification des systèmes en boucle fermée
Oral probatoire Janvier 2002 Page PAGE 20 Stéphane Colonges
Processus de réponse impulsionnelle h(t)
Générateur
Corrélateur
h(Ä)
xe(t)
x(t)
y(t)
y(t)=h(t)*x(t)
avec x(t) tel que Æxy(Ä) = ´(Ä)
Æxy(Ä)= h(Ä)* Æxx(Ä)
Procédé
Entrée
Sortie
Ä T
T1
u
t
100%
63%
y
t
Ä = retard
INCORPORER Equation.3
Entrée
Modèle discrétisé
Sortie
u
t
y
t
D1 D2
S(t)
K
T t1 t2
t
INCORPORER Equation.3
INCORPORER Equation.3
Ts ( = pseudo période )
C(s)
u
G(s)
-
+
Ur
Um
INCORPORER Equation.3
et INCORPORER Equation.3
A.A.P.
Modèle échantillonné ajustable
CAN
Procédé
CNA + BOZ
u(t)
y(t)
INCORPORER Equation.3
INCORPORER Equation.3
Paramètres du modèle
sens de ladaptation
gradient
courbe (surface) isocritère
a1
b1
y(t)
e(t)
++
u(t)
1/CA
Approche directe
u(t)
e(t)
y(t)
++
w(t)
++
INCORPORER Equation.3
u(t)
u(t)
e(t)
++
y(t)
r
et
G0(q)
INCORPORER Equation.3
-Fy(q)
u, y
u, y
t
t
1/A
q-dB/A
q-dB/A
q-dB/A
C/A
q-dB/A
y(t)
Approche indirecte
entrée externe r(t) u(t)
y(t)
+
-
v(t)
On en déduit les équations de ce système :
y(t)=G0(q)u(t)+v(t)
y(t)=G0(q)u(t)+H0(q)e(t)
avec e(t) bruit blanc de variance INCORPORER Equation.3
alors y(t) = G0(q)S0(q)r(t)+S0(q)v(t)
et u(t) = S0(q)r(t)-Fy(q)S0(q)v(t)
INCORPORER Equation.3
INCORPORER Equation.3
INCORPORER Equation.3
-
+
INCORPORER Equation.3
R
1/S
y
w
u
-
+
r
INCORPORER Equation.3
A.A.P.
R
T
Modèle
1/S
Procédé
+
-
Prédicteur ajustable
INCORPORER Word.Picture.8
Calculateur
(PC, Mac, Linux
)
Carte E/S
Régulateur
Système physique
Consigne
+
+
SBPA (possibilité 2)
SBPA (possibilité 1)
y0
y1
y(t)
u(t)
Sortie
Accélération primaire (perturbation)
q-d1C/D
q-dB/A
R/S
Cône élastomère
Piston
Accélération résiduelle
Accélération primaire (perturbation)
Contrôleur
Pré-actionneur
Machine (masse)
Contrôleur Processus
-
u(t)
y(t)
Sortie
Mesure
Perturbations
-
+
-
Consigne +
Estimation récursive des moindres carrés
Modèle
Figure 28: schéma du système Figure 29 : schéma fonctionnel
Accélération résiduelle
Procédé
Contrôleur
Console dinformation / contrôleur
Conducteur
Voiture
Filtrage - calculs
Mesures
Figure 32 : schéma de circulation des informations
INCORPORER Equation.3
INCORPORER Word.Picture.8
INCORPORER Word.Picture.8
En violet, est présentée la réponse prédite par la méthode de lerreur de prédiction. En vert, est présentée la réponse prédite à léchelon par la méthode de corrélation. On constate quavec cette dernière méthode, en B.F. lidentification est totalement impossible.
Figure 21 : Algorithme dadaptation paramétrique du gain réalisé avec Simulink
Acquisition des entrées sorties sous un protocole dexpérimentation
Estimation (choix) de la structure du modèle (complexité)
Estimation des paramètres du modèle
Validation du modèle identifié
INCORPORER Word.Picture.8
Oui
Calcul
Régulateur
Non
e
H
INCORPORER MSPhotoEd.3
BRAS
Dérive du point de fonctionnement dans lasservissement de position du bras en boucle ouverte
Figure 11 : dérive du point de fonctionnement dun bras robot
En vert foncé, méthode fréquentielle, et bleu, méthode paramétrique.
INCORPORER Word.Picture.8
SYSTEME
Entrée
(médicament)
+
-
+
+
Sortie
(fréquence cardiaque, pression artérielle, capacité pulmonaire
Perturbations : postures, efforts, environnement, stress, nourriture
Nous présentons le schéma Simulink correspondant ci-dessous :
Boite noire
(modèle à identifier)
Entrees
Sorties
Perturbations
