1. La représentation
... de commande: . Remarque : si A est inversible, c'est . Exercice 3 : pour
Discrétiser le processus suivant. , avec . On commencera par donner une
représentation d'état, sous forme de commande, d'où la réalisation associée. On
calculera ensuite par exemple en faisant , d'où et également (voir solution en
annexe du TD).
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simple»
INCORPORER Equation.3 ou INCORPORER Equation.3
On pose : INCORPORER Equation.3
On a : INCORPORER Equation.3
Soit, INCORPORER Equation.3
Second exemple : le second membre est « complexe »
INCORPORER Equation.3
soit INCORPORER Equation.3 avec
INCORPORER Equation.3 et INCORPORER Equation.3 , doù lon tire la représentation suivante (avec un vecteur détat INCORPORER Equation.3 différent) :
INCORPORER Equation.3 INCORPORER Equation.3
Exercice 1 : Etablir la forme de commande
du processus de fonction de transfert : INCORPORER Equation.3
2/ Forme découplée (ou modale):
Pour obtenir une matrice détat diagonale, on peut procéder en décomposant en éléments simples (si les pôles sont réels).
Exemple : INCORPORER Equation.3
INCORPORER Equation.3
En identifiant, il vient : INCORPORER Equation.3 et INCORPORER Equation.3 ou les équations aux différences : INCORPORER Equation.3
Représentation matricielle : INCORPORER Equation.3
Passage à la fonction de transfert en z
INCORPORER Equation.3 INCORPORER Equation.3 INCORPORER Equation.3
soit INCORPORER Equation.3 (avec I matrice identité) et INCORPORER Equation.3 , doù lon tire:
INCORPORER Equation.3 , matrice de transfert en z en général, et fonction de transfert en z si scalaire.
Régime statique : INCORPORER Equation.3 , matrice gain statique .
Exercice 2 : Retrouver la fonction de transfert du
processus de lexercice précédent :
« Discrétisation » dun processus continu :
On a vu cette opération avec la fonction de transfert en z. Soit un processus continu donné par la représentation détat
INCORPORER Equation.3 (Equ. Etat), INCORPORER Equation.3 (Equ. observation)
et commandé par un BOZ, cest à dire INCORPORER Equation.3 entre les instants INCORPORER Equation.3 et INCORPORER Equation.3 avec la condition initiale INCORPORER Equation.3 . On intègre cette équation pour INCORPORER Equation.3 .
En utilisant la solution générale de léquation détat, il vient :
INCORPORER Equation.3 ,
doù en INCORPORER Equation.3 : INCORPORER Equation.3 On aboutit donc à une représentation détat discrète, avec les matrices détat INCORPORER Equation.3 et de commande: INCORPORER Equation.3 .
Remarque : si A est inversible, cest INCORPORER Equation.3 .
Exercice 3 : pour Discrétiser le processus suivant
INCORPORER Equation.3 , avec INCORPORER Equation.3 .
On commencera par donner une représentation détat, sous forme de commande, doù la réalisation INCORPORER Equation.3 associée. On calculera ensuite INCORPORER Equation.3 par exemple en faisant INCORPORER Equation.3 , doù INCORPORER Equation.3 et également INCORPORER Equation.3 (voir solution en annexe du TD).
Analyse des équations détat
On considérera le processus discret suivant comme exemple :
INCORPORER Equation.3
Polynôme caractéristique :
INCORPORER Equation.3 ,
Pour lexemple, INCORPORER Equation.3 . Les INCORPORER Equation.3 sont donc liés aux valeurs propres du processus discret, solutions de INCORPORER Equation.3 .
Equation caractéristique :
INCORPORER Equation.3 Les solutions sont les n valeurs propres INCORPORER Equation.3 , pôles de la fonction de transfert (exemple 2 racines : INCORPORER Equation.3 et INCORPORER Equation.3 )
Stabilité EBSB : valeurs propres de module strictement inférieur à 1 (dans le cercle trigonométrique).
Représentation modale (découplée), dans le cas plus simple de INCORPORER Equation.3 valeurs propres réelles distinctes :
Pour lobtenir par changement de base dans lespace détat, il faut calculer une base de vecteurs propres :
Comme pour le cas continu, INCORPORER Equation.3 vecteur propre associé à la valeur propre INCORPORER Equation.3 sobtient à partir de la matrice adjointe : INCORPORER Equation.3 .
Matrice modale (changement de base): INCORPORER Equation.3 . On a INCORPORER Equation.3 et donc INCORPORER Equation.3 . La représentation détat dans la nouvelle base devient :
INCORPORER Equation.3 , avec
INCORPORER Equation.3 , est une matrice diagonale constituée des valeurs propres de A
INCORPORER Equation.3 ne doit pas avoir de ligne nulle pour que le système soit entièrement gouvernable (**)
INCORPORER Equation.3 ne doit pas avoir de colonne nulle pour que le système soit entièrement observable (**)
** cf. plus loin pour les définitions de la gouvernabilité (ou commandabilité) et de lobservabilité.
Exercice 4 : appliquer à lexemple
Théorème de Cayley Hamilton :
La matrice détat vérifie elle-même léquation caractéristique, soit INCORPORER Equation.3 ou encore INCORPORER Equation.3 est une combinaison linéaire des INCORPORER Equation.3 , INCORPORER Equation.3
Ce théorème permet de calculer les fonctions de INCORPORER Equation.3 telles que INCORPORER Equation.3 ou INCORPORER Equation.3 à laide des valeurs propres de A selon la technique dûe à Silvester . Pour INCORPORER Equation.3 , on sait que les n valeurs propres de A soient INCORPORER Equation.3 vérifient :
INCORPORER Equation.3
On peut alors calculer les INCORPORER Equation.3 à laide de ce système déquations, puis en tirer INCORPORER Equation.3 à laide des INCORPORER Equation.3 .
Exercice 5 : Appliquer la technique de Silvester
INCORPORER Equation.3 calcul de INCORPORER Equation.3 , INCORPORER Equation.3
ou INCORPORER Equation.3 , calcul de INCORPORER Equation.3
Solution de léquation détat discrète :
INCORPORER Equation.3 avec INCORPORER Equation.3 conditions initiales
La solution de léquation détat sobtient par récurrence :
INCORPORER Equation.3
soit : INCORPORER Equation.3 .
Le premier terme donne leffet de la condition initiale INCORPORER Equation.3 , le second celui de la commande ; le vecteur U regroupe toutes les valeurs de la commande. Dans le cas où INCORPORER Equation.3 , G devient la matrice de commandabilité ou de gouvernabilité:
INCORPORER Equation.3 et INCORPORER Equation.3
On justifie ainsi «facilement» pour les systèmes discrets le critère direct de commandabilité (valable aussi en continu):
Si G est de rang n, INCORPORER Equation.3 une suite INCORPORER Equation.3 de n commandes amenant le système de INCORPORER Equation.3 quelconque à INCORPORER Equation.3 quelconque en n périodes déchantillonnage. Par définition, le système est alors « entièrement commandable ».
Si de plus G est inversible (donc carrée), on trouve même :
INCORPORER Equation.3
Remarque : de manière similaire, il existe un critère direct d'observabilité :
Soit la matrice dobservabilité INCORPORER Equation.3
Si O est de rang n, il est possible de retrouver la valeur du vecteur détat INCORPORER Equation.3 à partir des n observations INCORPORER Equation.3 en n périodes déchantillonnage. Par définition, le système est alors « entièrement observable ».
Exercice 6 :
Déterminer la séquence de commandes INCORPORER Equation.3 qui permet damener le système exemple en INCORPORER Equation.3 de INCORPORER Equation.3 à INCORPORER Equation.3 .
Placement des valeurs propres par retour détat :
Les valeurs propres dun système fixent entièrement son comportement dynamique (ou les pôles de la fonction de transfert selon la représentation). La technique ci-après est applicable au retour détat des systèmes continus, en appliquant la relation de passage INCORPORER Equation.3 .
On fait INCORPORER Equation.3 (retour détat)
Il en résulte INCORPORER Equation.3 une nouvelle matrice détat,
et INCORPORER Equation.3 un nouveau polynôme caractéristique.
Question : comment choisir les INCORPORER Equation.3 de façon à fixer les valeurs propres de INCORPORER Equation.3 ? Réponse : selon le cas, on pourra écrire le polynôme désiré et rechercher les composantes satisfaisantes de la matrice de gains K, ou utiliser une méthode telle que celle dAckermann .
Exercice 7 : INCORPORER Equation.3
est lEaD dun processus discret à mettre sous la forme de commande. Quelles sont les valeurs propres ? Le processus est-il entièrement commandable ? En utilisant la relation INCORPORER Equation.3 déterminer les valeurs propres INCORPORER Equation.3 et INCORPORER Equation.3 qui assurent un amortis-sement réduit INCORPORER Equation.3 et une pulsation propre INCORPORER Equation.3 (prendre INCORPORER Equation.3 ). Calculer le retour détat qui impose ces valeurs pro-pres au système bouclé.
Utilisation de Matlab pour la représen-tation détat des systèmes discrets
Définition (exemple de lexercice 3)
A=[0,1 ;0,-10] ;
B=[0,200] ;
C=[1 0] ;
D=0 ;
syscont=ss(A,B,C,D,InputName,u)
% syscont est un objet doté de propriétés comme la propriété : InputName.
>> get(syscont)
A=
B=
C=
D=
StateName=
Ts=
Td=
InputName=
OutputName=
Lire une propriété :
>> etat = get(syscont,a)
Ecrire :
>> set(syscont,Td,1.0)
Passage à la fonction de transfert
hdep=tf(syscont) ou inversement ss(hdep)
Discrétisation
Ts=0.02 % 20 ms, 50 Hz
sysdis=c2d(syscont,Ts)
donne la solution de lexercice 3
INCORPORER Equation.3 , INCORPORER Equation.3 , INCORPORER Equation.3 , INCORPORER Equation.3 .
Sampling time : 0.02
Discrete time system.
On retrouvera
>> ad=get(sysdis,a), >> bd=get(sysdis,b), >> cd=...
Valeurs propres, pôles
>> eig(sysdis), ou pzmap(sysdis), ou encore >> damp(sysdis)
Réponses caractéristiques (tests)
>> step(sysdis/(1+sysdis)) % si fonction de transfert
>> bode(sysdis,hdep) % compare les réponses harmoniques de sysdis et hdep
Observabilité, Commandabilité
>> G=ctrb(ad,bd)
>> rank(G)
>> det(G)
>> O=obsv(ad,cd)
>> det(O)
Stabilité du système bouclé
>> rlocus(sysdis)%étudie le système bouclé à retour unitaire k*sysdis/(1+k*sysdis)
>> zgrid
>> axis([0 1 0 1])
>> k=rlocfind(sysdis)
Placement de pôles par retour détat
>> p= [0.5 0.3] % vecteur des pôles
>>K = acker(ad,bd,p)
K=[4.8271 0.2311]
>> set (sysdis,a,ad-bd*K)
>> damp(sysdis) ( 0.5 et 0.3
>> step(sysdis) ...
Exemple 3 : Discrétisation avec la représentation détat
INCORPORER Equation.3
Avec le vecteur détat INCORPORER Equation.3 , on obtient la forme de commande suivante pour le processus continu :
INCORPORER Equation.3 , équ. détat
INCORPORER Equation.3 équation dobservation
Solution INCORPORER Equation.3 entre INCORPORER Equation.3 et INCORPORER Equation.3 utilisant la transformée de Laplace
INCORPORER Equation.3 , soit INCORPORER Equation.3
On note INCORPORER Equation.3 la transformée inverse INCORPORER Equation.3 (cf **):
INCORPORER Equation.3
= effet de INCORPORER Equation.3 + effet de la commande INCORPORER Equation.3 entre 0 et t
Doù, par identification
INCORPORER Equation.3 et INCORPORER Equation.3
** vérifier que lexponentielle de matrice INCORPORER Equation.3 est la solution de léquation détat homogène : INCORPORER Equation.3 . Comme on a également INCORPORER Equation.3 , on déduit par identification que INCORPORER Equation.3 .
Application à la discrétisation entre 0 et T : INCORPORER Equation.3 reste constant (blocage), létat initial INCORPORER Equation.3 devient
INCORPORER Equation.3 (état)
INCORPORER Equation.3 (observation)
Généralisation : entre INCORPORER Equation.3 et INCORPORER Equation.3 , létat initial est INCORPORER Equation.3 et on a INCORPORER Equation.3 , la représentation détat discrétisée est:
INCORPORER Equation.3 avec INCORPORER Equation.3 et
INCORPORER Equation.3 et INCORPORER Equation.3 (en INCORPORER Equation.3 )
Application au cas particulier :
Ici INCORPORER Equation.3 et INCORPORER Equation.3 .
Egalement, INCORPORER Equation.3 . On en tire :
INCORPORER Equation.3 et INCORPORER Equation.3
Application numérique :
avec INCORPORER Equation.3 , on trouve INCORPORER Equation.3 , soit le résultat
INCORPORER Equation.3 , INCORPORER Equation.3
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