Bac maths S 1997 - POLYNESIE
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Bac S 1997 - POLYNÉSIE
Exercice commun : probabilités - obligatoire : complexes - spécialité : géométrie - Problème : étude d'une fonction f, d'une de ses primitives et d'une suite attachée à cette fonction (plus trois autres exercices).
Annales bac S non corrigées : HYPERLINK "http://debart.pagesperso-orange.fr/ts/terminale.html" http://debart.pagesperso-orange.fr/ts Document Word : http://www.debart.fr/doc/bac_1997/bac_s_polynesie_1997.doc
BACCALAURÉAT GENERAL Session 1997
Epreuve : MATHEMATIQUES
Série : S Durée : 4 heures Coef. : 7 ou 9
OBLIGATOIRE et SPECIALITE
L'utilisation dune calculatrice est autorisée
Le candidat doit traiter les DEUX exercices et le problème. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Le formulaire officiel de mathématiques, prévu par l'arrêté du 27 mars 1991, et deux feuilles de papier millimétré sont joints au sujet.
Dès que le sujet vous est remis assurez-vous qu'il est complet.
Ce sujet comporte 4 pages numérotées de 1 à 4 (plus trois autres exercices).
EXERCICE 1 (4 points) commun à tous les candidats
Les questions 1., 2. et 3. sont indépendantes.
Tous les résultats de calcul des probabilités seront donnés sous forme d'une fraction irréductible.
Une classe de terminale S d'un lycée compte 30 élèves dont 10 filles.
1. À chaque séance du cours de mathématiques le professeur interroge au hasard trois élèves.
Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants :
A : Exactement deux des trois élèves interrogés sont des garçons , (0,5 point)
B : Les trois élèves interrogés sont de même sexe , (0,5 point)
C : Il y a au plus une fille parmi les trois élèves interrogés . (0,5 point)
2. Parmi les 19 internes de la classe, on compte 4 filles.
On choisit au hasard dans cette classe deux délégués de sexes différents.
Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants :
D : Les deux délégués sont internes , (0,5 point)
E : Un seul des deux délégués est interne . (0,5 point)
3. À la fin de chaque séance, le professeur désigne au hasard un élève qui effacera le tableau. Un même élève peut être désigné plusieurs fois.
a) Déterminer la probabilité pn pour que le tableau soit effacé au moins une fois par une fille à l'issue de n séances. (0,75 point)
b) Déterminer le nombre minimal de séances pour que pn > 0,9999. (0,75 point)
EXERCICE 2 (6 points) pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Partie A
Soient, dans l'espace E, quatre points A, B, C et D distincts deux à deux.
1. Montrer que ABCD est un parallélogramme si, et seulement si, D est le barycentre du système {(A, 1), (B, -ð 1), (C, 1)}. (1 point)
2. On suppose que ABCD est un parallélogramme.
Déterminer l'ensemble (S) des points M de l'espace E tels que : .
(1 point)
3. On suppose maintenant que ABCD est un rectangle.
Déterminer l'ensemble (Sð) des points M de l'espace E tels que EMBED Unknown.
(1 point)
Partie B
On considère dans l'espace E deux parallélogrammes ABCD et A'B'C'D' ainsi que les milieux I, J, K et L de [AA'], [BB'], [CC'] et [DD'] respectivement.
1. Montrer que L est barycentre des points I, J et K affectés de coefficients que l'on précisera. En déduire que IJKL est un parallélogramme. (1 point)
2. Soient O, Q et P les centres respectifs des parallélogrammes IJKL, ABCD et A'B'C'D'.
Montrer que O est le milieu de [PQ]. (1 point)
EXERCICE 2 (6 points) candidats n'ayant que l'enseignement obligatoire
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (unité graphique : 1 cm).
Soient les nombres complexes EMBED Unknown et z0 = 6 + 6i d'image A0.
Pour tout n entier naturel non nul, on désigne par An le point d'affixe zn définie par EMBED Unknown.
Partie A
1. Exprimer z1 et a2 sous forme algébrique. (0,5 point)
Écrire z1 sous forme exponentielle et montrer que EMBED Unknown. (0,5 point)
2. Exprimer z3 puis z7 en fonction de z1 et a2 ; en déduire l'expression de z3 et z7 sous forme exponentielle. (1 point)
3. Placer les points A0, A1, A3 et A7 images respectives des complexes z0, z1, z3 et z7.
(1 point)
Partie B
Pour tout n entier naturel, on pose EMBED Unknown.
1. Montrer que, pour tout n de N, EMBED Unknown. (0,5 point)
2. En déduire que la suite EMBED Unknown est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. (1 point)
3. Déterminer la limite de la suite (rn) et interpréter géométriquement le résultat obtenu. (0,5 point)
4. Déterminer le plus petit entier naturel p tel que OAp < 10 -ð 3 et donner alors une mesure de l'angle orienté (1 point)
PROBLÈME (10 points) commun à tous les candidats
Le but du problème est l'étude d'une fonction f, d'une de ses primitives et d'une suite attachée à cette fonction. Le plan est muni d'un repère orthogonal avec
Partie A
Soit f la fonction définie sur R par f(x) = EMBED Unknown.
On note (C) sa courbe représentative.
1. Montrer que f est paire. Étudier ses variations sur [0 ; + " [ et déterminer sa limite en + ". Tracer sa courbe (C). (2 points)
2. Montrer que f établit une bijection de [0 ; + "[ sur ]0 ; 1].
On note y un réel quelconque de l'intervalle ]0 ; 1]. Exprimer en fonction de y le seul réel positif x vérifiant f(x) = y. (1 point)
Partie B
Soit F la fonction définie sur R par EMBED Unknown.
(On admettra que, pour tout réel x, EMBED Unknown.
1. Calculer F'(x). En déduire que F est la primitive de f sur R qui s'annule en 0.
(0,5 point)
2. a) Déterminer la limite de F en + ".
b) Montrer que F est impaire.
c) En déduire la limite de F en- ". (1,5 point)
3. Soit lð un réel strictement positif. On note A (lð) l'aire en cm2 de la partie du plan constituée des points M(x ; y) tels que lð
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Æç $a$tion y = -ð 2x + 1. (1,5 point)
3. On pose u(x) = 2ex -ð e4x.
Résoudre dans R l'inéquation u(x) > 0. (1,5 point)
4. On considère la partie de la courbe d'équation y = u(x) pour -ð 1
