BAC maths S 2000 - Antilles Guyane
Annales bac mathématiques S non corrigées. ... BACCALAUREAT GENERAL
Session 2000. Épreuve : MATHEMATIQUES. Série : S Durée : 4 heures Coef. : 7
ou 9 ... Ce sujet comporte 6 pages numérotées de 1 à 6. EXERCICE 1 (5 points)
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Bac S 2000 - ANTILLES GUYANE
Probabilité, rotation, complexe, fonction logarithme.
Annales bac S non corrigées : HYPERLINK "http://debart.pagesperso-orange.fr/ts/terminale.html" http://debart.pagesperso-orange.fr/ts Document Word : http://www.debart.fr/doc/bac_2000/bac_s_antille_guyane_2000.doc
BACCALAUREAT GENERAL Session 2000
Épreuve : MATHEMATIQUES
Série : S Durée : 4 heures Coef. : 7 ou 9
OBLIGATOIRE et SPECIALITE
L'utilisation dune calculatrice est autorisée.
Le candidat doit traiter les DEUX exercices et le problème. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Le formulaire officiel de mathématiques, prévu par l'arrêté du 27 mars 1991, et deux feuilles de papier millimétré sont joints au sujet.
Dès que le sujet vous est remis, assurez-vous qu'il est complet.
Ce sujet comporte 6 pages numérotées de 1 à 6.
EXERCICE 1 (5 points) commun à tous les candidats
Un groupe de vingt-deux personnes décide daller au cinéma deux samedis de suite pour voir deux films A et B.
Le premier samedi, huit personnes vont voir le film A, et les autres vont voir le film B.
Le deuxième samedi, quatre personnes décident de revoir le film A, deux vont revoir le film B, et les autres vont voir le film quelles nont pas vu la semaine précédente.
Après la deuxième séance, on interroge au hasard une personne de ce groupe.
On considère les événements suivants :
A1 : « La personne interrogée a vu le film A le premier samedi » ;
A2 : « La personne interrogée a vu le film A le deuxième samedi » ;
B1 : « La personne interrogée a vu le film B le premier samedi » ;
B2 : « La personne interrogée a vu le film B le deuxième samedi ».
1. a) Calculer les probabilités suivantes :
p(A1) et p(A2). (0,5 point)
b) Calculer les probabilités de chacun des événements suivants :
EMBED Unknown. (1 point)
c) Reproduire et compléter larbre pondéré suivant, en remplaçant chaque point dinterrogation par la probabilité correspondante. (Aucune justification nest demandée pour cette question). (1 point)
d) Retrouver à partir de larbre pondéré que EMBED Unknown. (0,5 point)
2. Le prix du billet pour le film A est de 30 F, et de 20 F pour le film B. On appelle X la variable aléatoire égale au coût total, pour la personne interrogée, des deux séances de cinéma.
a) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X. (0,5 point)
b) Déterminer lespérance mathématique de la variable aléatoire X. (0,5 point)
EXERCICE 2 (5 points) pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Les points A0 = O ; A1 ;
; A20 sont les sommets dun polygone régulier de centre A, à 21 côtés, de sens direct.
Les points B0 = O ; B1 ;
; B14 sont les sommets dun polygone régulier de centre B, à 15 côtés, de sens direct.
Soit rA la rotation de centre A et dangle EMBED Unknownet rB la rotation de centre B et dangle EMBED Unknown.
On définit la suite (Mn) de points par :
M0 est lun des points A0, A1, A2 ,
; A20 ;
pour tout entier naturel n, Mn+1 = rA(Mn).
On définit la suite (Pn) de points par :
P0 est lun des points B0, B1, B2 ,
; B14 ;
pour tout entier naturel n, Pn+1 = rB(Pn).
Le but de lexercice est de déterminer, pour deux cas particuliers, lensemble S des entiers naturels n vérifiant :
Mn = Pn = O.
1. Dans cette question, M0 = P0 = O.
a) Indiquer la position du point M2000, et celle du point P2000. (1 point)
b) Déterminer le plus petit entier naturel n non nul tel que :
Mn = Pn = O. (1 point)
En déduire lensemble S. (0,5 point)
2. Dans cette question, M0 = A19 et P0 = B10.
On considère léquation (E) : 7x 5y = 1 avec x(Z et y(Z.
a) Déterminer une solution particulière (a ; b) de (E). (0,5 point)
b) Déterminer lensemble des solutions de (E). (1 point)
c) En déduire lensemble S des entiers naturels n vérifiant Mn = Pn = O (1 point)
EXERCICE 2 (5 points) candidats n'ayant que l'enseignement obligatoire
1. Pour tout nombre complexe z, on pose P(z) = z3 3z2 + 3z + 7.
a) Calculer P(-1). (0,5 point)
b) Déterminer les réels a et b tels que pour tout nombre complexe z, on ait : P(z) = (z +1) (z2 + az + b). (0,75 point)
c) Résoudre, dans C, léquation P(z) = 0. (0,5 point)
2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; EMBED Equation.2 , EMBED Equation.2 ) (unité graphique : 2 cm)
On désigne par A, B, C et G les points du plan daffixes respectives
zA = -1,
EMBED Unknown
EMBED Unknownet
zG = 3.
a) Réaliser une figure et placer les points A, B, C et G. (0,25 point)
b) Calculer les distances AB, BC et AC. En déduire la nature du triangle ABC.
(0,5 point)
c) Calculer un argument du nombre complexe EMBED Unknown.
En déduire la nature du triangle GAC. (0,5 point)
3. Soit (D) lensemble des points M du plan tels que :
EMBED Unknown (1)
a) Montrer que G est le barycentre du système de points pondérés
{(A, 1) ; (B, 2) ; (C, 2)}. (0,5 point)
b) Montrer que la relation (1) est équivalente à la relation
EMBED Unknown (2). (0,5 point)
c) Vérifier que le point A appartient à lensemble (D). (0,25 point)
d) Montrer que la relation (2) est équivalente à la relation EMBED Unknown. (0,5 point)
e) En déduire lensemble (D) et le tracer. (0,5 point)
PROBLEME (11 points) commun à tous les candidats
Soit f la fonction définie sur lintervalle ]0, + "[ par :
f(x) = x ln(x2) 2x.
On désigne par (C) sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal (O ; EMBED Equation.2 , EMBED Equation.2 ) ; unité graphique : 1 cm.
Partie A -Étude de f
1. Montrer que, pour x>0, f(x) = 2x ln x 2x
puis que
EMBED Unknown. (1 point)
2. a) étudier la limite de f en + ". (1 point)
b) Montrer que f est dérivable en tout x>0;
calculer f (x) pour x>0. (1 point)
c) étudier le sens de variation de f sur ]0, + "[. (0,5 point)
d) Donner le tableau de variation de f sur ]0, + "[. (0,5 point)
3. Déterminer, par le calcul, l abscisse du point d intersection de la courbe (C) avec l axe des abscisses. (0,5 point)
4. Montrer que l équation f(x) = 2 admet sur l intervalle [1 ; 5] une unique solution et en donner la valeur décimale arrondie à 10-2. (1 point)
Partie B - Calcul daires
1. Soit F la fonction définie sur lintervalle [0 ; +([ par :
EMBED Unknown
a) On admet que EMBED Unknownmontrer que F est dérivable en 0 et préciser F(0).
(1 point)
b) Montrer que, pour tout x appartenant à ]0, + "[, F (x) = f(x). (0,5 point)
2. On considère, pour chaque entier n positif ou nul, la droite (Dn) d équation y = nx.
On trouvera ci-dessous un tracé de la courbe (C) et des droites (D0), (D1), (D2).
a) Déterminer les coordonnées du point In, d abscisse
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On appelle Pn le point de laxe des abscisses de même abscisse que In.
Placer les points I0, I1, I2, P0, P1, P2, sur la figure donnée en annexe. (0,5 point)
b) Déterminer la position relative de (C) et de (Dn) pour les abscisses appartenant à ]0, + "[. (0,5 point)
3. Pour tout n(1, on considère le domaine An situé dans le quart de plan défini par x(0 et y(0, délimité par (C), (Dn-1) et (Dn).
On note an son aire, exprimée en unités d aire.
a) Faire apparaître les domaines A1 et A2 sur la figure. (0,5 point)
b) Calculer laire tn du triangle OPnIn, en unités daire. (0,5 point)
c) Calculer laire un, en unités daire, du domaine situé dans le quart de plan défini par x(0 et y(0, délimité par (C), laxe des abscisses, et les parallèles à laxe des ordonnées passant par P0 et Pn. (0,5 point)
d) Vérifier que laire vn, en unités daire, du domaine situé dans le quart de plan défini par x(0 et y(0, délimité par (C), laxe des abscisses et (Dn), est EMBED Unknown. (0,5 point)
e) Calculer alors an. (CLLàLáLãL N"N&OO P
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4. Montrer que la suite (an) est une suite géométrique.
En préciser la raison et le premier terme. (0,5 point)
bac S 2000Antilles - GuyanePage PAGE 3/6Terminale S 2000-2001Lycée René Descartes - Bouaké
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