Modèle mathématique. - Math93
Exercice 1 - Corrigé. 1 - La balance comptable : .... 163 872. 4457111. Etat, TVA
collectée de novembre. 297 450 ... Exercice 2 - Corrigé. 1 - La balance des ...
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TD n°5 : Projets dinvestissement, VANG, TRIG - Correction
Exercice 1 : TRIG
Un projet dinvestissement est caractérisé par les données suivantes :
Capital investi : 380 HT
Cash-flows annuels en progression de 20 %
Durée de vie : 5ans
Valeur résiduelle nulle
Indice de profitabilité à 6% : 1,130812.
Déterminez la série des cash-flows.
Le taux dactualisation étant variable, résolvez léquation : Ip = 1 et interprétez le résultat obtenu.
Sachant que les cash-flows sont réinvestis au taux de 14%, calculez le taux de rentabilité interne global.
Solution :
1°) Donc on a le diagramme des flux
EMBED Excel.Sheet.8
Indice de profitabilité
IP = eq \s\do1(\f(1;380)) ( eq \b\bc\[(C((1,06) 1 + 1,2(C((1,06) 2 + 1,2²C((1,06) 3 + 1,23(C((1,06) 4 + 1,24(C((1,06) 5 )
IP = eq \s\do1(\f(1;380)) ( C ( 1,06 1 ( eq \s\do1(\f(1 eq \b(1,2(1,06 1)5;1 1,2(1,06 1 ))
Car on reconnaît la somme des termes dune suite géométrique eq \b\lc\{( \s(ª% de raison eq \b(1,2(1,06 1 ); ª% de 1er terme : C(1,06 1 ))
Donc : IP = eq \s\do1(\f(1;380)) ( C ( 1,06 1 ( eq \s\do1(\f(1 eq \b(1,2(1,06 1)5;1 1,2(1,06 1 )) = 1,130812
Soit C = 1,130812 ( 380 ( eq \s\do1(\f(1 1,2(1,06 1 ;1 eq \b(1,2(1,06 1)5)) ( 1,06
eq \x(C = 70)
2°) Léquation IP = 1 permet de trouver le taux de rentabilité interne (TRI).
Il faut résoudre léquation : eq \s\do1(\f(1;380)) eq \b\bc\[(70((1+t) 1 + eq \b(70(1,2)((1+t) 2 +
..+ eq \b(70(1,24 )( (1+t) 5 )= 1
Soit 70((1+t) 1 + 84((1+t) 2 +
..+ 145,152( (1+t) 5 = 380
On trouve eq \x(t = 10,14 %)
3°) Calculons la valeur acquise par les cash-flows.
Vacquise = 70(1,144 + 84(1,143 + 100,8(1,142 + 120,96(1,141 + 145,152 = 656,723
Donc le TRIG vérifie : 380 = 656,723((1 + TRIG) - 5
Soit 1 + TRIG = eq \b( eq \s\do1(\f(656,723;380)))1/5
Donc eq \x(TRIG = 11,56%)
Exercice 2 : Etude de contradiction
On considère deux investissements. I1 : Investissement de 100 (date 0) et flux de 90, 20 et 20 aux dates 1, 2 et 3.
I2 : Investissement de 100 (date 0) et flux de 10, 20 et 130 aux dates 1, 2 et 3.
1°) Calculez les TRI et les VAN à 8%.
2°) Déterminez le taux dindifférence qui est le taux pour lequel la VAN de I1 est égale à celle de I2.
3°) Comment comparer ces projets ?
Correction.
1°) eq \x(VAN1 = 16,36 et TRI1 SYMBOL 187 \f "Symbol"\h 20%) eq \x(VAN2 = 29,61 et TRI2 SYMBOL 187 \f "Symbol"\h 19%)
2°) Cela revient après calculs à résoudre léquation 80(1 + t) 1 110(1 + t) 3 = 0 soit 80 110(1+t) 2 = 0
on trouve eq \x(t SYMBOL 187 \f "Symbol"\h 17,26% )
3°) Il y a discordance dans les critères, on doit donc utiliser un critère global ou choisir un des critères calculés (VAN ou TRI). On peut donc calculer le TRIG par exemple
Exercice 3 : Comparaison de projets
Un projet dinvestissement nécessite un capital de 800, une durée de vie de 4 ans.
1°) Sachant que lindice de profitabilité est de 1,18, en déduire la VAN.
2°) Sachant que les cash-flows sont constants et égaux à 297,80, en déduire le taux auquel ont été évalués lIP et la VAN.
3°) Un deuxième projet a les caractéristiques suivantes :
Capital investi : 1 000 ; durée de vie 4 ans ; Cash-flows : 600, 400, 300, 70 ; valeur résiduelle nulle.
Est-il préférable au premier ?
4°) Que représente le taux pour lequel lIP vaut 1 ?
5°) Quel est le taux pour lequel les indices de profitabilités sont égaux (à évaluer par essais successifs) ?.
6°) Lentreprise est en mesure de réinvestir les cash-flows au taux de 17%. Xalculer la VANG et le TRIG de chaque projet (coût du capital : 10%). Quel est le meilleur projet ?
Correction.
1°) eq \x(VAN = 144 )par résolution de léquation : 1,18 = eq \s\do1(\f(VAN;I )) + 1
2°) t vérifie léquation : 144 = 297,80( eq \s\do1(\f(1 (1 + t) 4;t )) - 800 soit par essais successifs eq \x(t SYMBOL 187 \f "Symbol"\h 10%)
3°) Pour le deuxième investissement on trouve eq \b\lc\{( \s(IP2 = 1,15 ;TRI2 SYMBOL 187 \f "Symbol"\h 19%)) alors quon avait pour le premier eq \b\lc\{( \s(IP1 = 1,18 ;TRI1 SYMBOL 187 \f "Symbol"\h 18%)).
On est donc dans un cas dincertitude.
4°) Le taux pour lequel lIP vaut 1 représente le TRI puisque eq \x(IP = eq \s\do1(\f(1;I )) eq \i\su(p = 1 ;n ; Cp(1 + t) p) ) donc si lIP vaut 1 on a t que vérifie : eq \x(I = eq \i\su(p = 1 ;n ; Cp(1 + t) p) )
5°) Le taux doit vérifier : eq \s\do1(\f(1;800)) eq \b\bc\[(297,8(1+t)-1 +
+ 297,8(1+t)-4) = eq \s\do1(\f(1;1000)) eq \b\bc\[(600(1+t)-1 + .. + 70(1+t)-4)
ou : 182,2(1+t)-1 + 22,2(1+t)-2 57,8(1+t)-3 241,8(1+t)-4 = 0 soit par essais successifs eq \x(t SYMBOL 187 \f "Symbol"\h 15,25%)
6°) eq \b\lc\{( \s(VANG1 = 245,59 ; TRIG1 SYMBOL 187 \f "Symbol"\h 17,5% )) et !-:;DEHLM #
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