Td corrigé Contrôle d'Attitude - volume 2 - Free pdf

Contrôle d'Attitude - volume 2 - Free

18 oct. 2001 ... Le vecteur champ magnétique terrestre calculé dans la base satellite en ..... 50 à 100 ms), pour corriger un moment cinétique ou annuler une nutation. ...... du vol orbital, puisqu'il se révélera comme dissipateur d'énergie. ..... et des avantages d' avoir une régulation thermique plus simple( pas de face froide ...




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UNIVERSITÉ DE LA MÉDITERRANÉE - AIX-MARSEILLE II

 EMBED Word.Picture.8 


DESS AIR & ESPACE

Système de Contrôle d’Attitude et d’Orbite
Volume II – Contrôle d’attitude


Robert GUIZIOU

Mis à jour le 18 octobre 2001

 EMBED Word.Picture.8 
Technopôle de Château-Gombert
60, rue Joliot Curie - 13453 MARSEILLE CEDEX 13 – Tél : 04.91.11.38.02 - Fax : 04.91.11.38.38

Sommaire
 TOC \o "1-3" 1 Contrôle d’attitude d’un satellite par magnétocoupleurs  PAGEREF _Toc526576847 \h 7
1.1 Le magnétocoupleur  PAGEREF _Toc526576848 \h 7
1.1.1 Notations et conventions  PAGEREF _Toc526576849 \h 7
1.1.2 Couple dû au magnétocoupleur  PAGEREF _Toc526576850 \h 7
1.1.3 Equations du SCAO  PAGEREF _Toc526576851 \h 8
1.1.4 Exemple de spécifications imposées à une mission d'imagerie  PAGEREF _Toc526576852 \h 9
1.2 Champ magnétique terrestre  PAGEREF _Toc526576853 \h 10
1.2.1 Généralités  PAGEREF _Toc526576854 \h 10
1.2.2 Modèle simplifié du champ magnétique terrestre  PAGEREF _Toc526576855 \h 11
1.2.3 Rappels sur les polynômes et fonctions de Legendre  PAGEREF _Toc526576856 \h 13
2 Contrôle d’attitude d’un satellite par tuyères  PAGEREF _Toc526576857 \h 15
2.1 Généralités  PAGEREF _Toc526576858 \h 15
2.2 Principe de la commande à seuil  PAGEREF _Toc526576859 \h 15
2.2.1 Détection et mesure  PAGEREF _Toc526576860 \h 15
2.2.2 Commande  PAGEREF _Toc526576861 \h 16
2.2.3 Le cas réel  PAGEREF _Toc526576862 \h 16
2.3 A propos de la poussée  PAGEREF _Toc526576863 \h 17
2.3.1 Propulseurs à gaz froid  PAGEREF _Toc526576864 \h 17
2.3.2 Poussée et commande  PAGEREF _Toc526576865 \h 18
2.4 Domaines d’application  PAGEREF _Toc526576866 \h 19
2.4.1 Moteurs à gaz froid  PAGEREF _Toc526576867 \h 19
2.4.2 Moteurs mono-ergol (Hydrazine)  PAGEREF _Toc526576868 \h 20
2.4.3 Moteurs bi-ergols  PAGEREF _Toc526576869 \h 20
2.4.4 Moteurs à poudre  PAGEREF _Toc526576870 \h 20
2.4.5 Moteurs ioniques  PAGEREF _Toc526576871 \h 20
2.5 Tuyères sur corps tournant  PAGEREF _Toc526576872 \h 20
2.6 Exemple d’application  PAGEREF _Toc526576873 \h 22
3 Contrôle d’attitude par moment embarqué  PAGEREF _Toc526576874 \h 23
3.1 Généralités  PAGEREF _Toc526576875 \h 23
3.1.1 Définition et principe  PAGEREF _Toc526576876 \h 23
3.1.2 Roues et volants  PAGEREF _Toc526576877 \h 23
3.1.3 CMG (Control Moment Gyro)  PAGEREF _Toc526576878 \h 23
3.1.4 Effet de réaction  PAGEREF _Toc526576879 \h 23
3.1.5 Domaine d’application  PAGEREF _Toc526576880 \h 24
3.2 Pointage Terre  PAGEREF _Toc526576881 \h 24
3.2.1 Repère orbital local  PAGEREF _Toc526576882 \h 24
3.2.2 Repérage Roulis-Lacet en contrôle long terme  PAGEREF _Toc526576883 \h 25
3.3 Equations générales  PAGEREF _Toc526576884 \h 26
3.4 Equations du cas 0 DOF  PAGEREF _Toc526576885 \h 26
3.4.1 Définition SCAO n DOF (N = 1, 2, 3)  PAGEREF _Toc526576886 \h 27
3.4.2 Equations du contrôle 0 DOF  PAGEREF _Toc526576887 \h 27
3.5 Méthode de contrôle  PAGEREF _Toc526576888 \h 30
3.5.1 Equations du contrôle long terme  PAGEREF _Toc526576889 \h 30
3.5.2 Effets des couples perturbateurs  PAGEREF _Toc526576890 \h 30
3.5.3 Un exemple de contrôle  PAGEREF _Toc526576891 \h 31
3.5.4 Réalisation du contrôle actif  PAGEREF _Toc526576892 \h 32
3.5.5 Limites de la méthode  PAGEREF _Toc526576893 \h 34
4 Contrôle d’attide par CMG  PAGEREF _Toc526576894 \h 35
4.1 Problème – Principe de fonctionnement  PAGEREF _Toc526576895 \h 35
4.1.1 Schéma  PAGEREF _Toc526576896 \h 35
4.1.2 Rôle du couple gyroscopique  PAGEREF _Toc526576897 \h 36
4.1.3 Phénomène de saturation  PAGEREF _Toc526576898 \h 37
4.2 Solution  PAGEREF _Toc526576899 \h 37
4.2.1 Précession gð  PAGEREF _Toc526576900 \h 37
4.2.2 Moment cinétique gyroscopique  PAGEREF _Toc526576901 \h 37
4.2.3 Loi d évolution de gð  PAGEREF _Toc526576902 \h 38
4.2.4 Période de désaturation  PAGEREF _Toc526576903 \h 38
5 Contrôle d attitude 3-axes  PAGEREF _Toc526576904 \h 39
5.1 Domaines d application  PAGEREF _Toc526576905 \h 39
5.2 Concepts adoptés  PAGEREF _Toc526576906 \h 39
5.2.1 Mesure 3-axes  PAGEREF _Toc526576907 \h 39
5.2.2 Contrôle 3-axes  PAGEREF _Toc526576908 \h 39
5.3 Les roues de réaction  PAGEREF _Toc526576909 \h 40
5.3.1 Equations en pointage inertiel faibles vitesses  PAGEREF _Toc526576910 \h 40
5.3.2 Equations en pointage Terre faibles vitesses et petits angles  PAGEREF _Toc526576911 \h 40
5.4 Exemple de désaturation  PAGEREF _Toc526576912 \h 42
5.4.1 Définition de la désaturation  PAGEREF _Toc526576913 \h 42
5.4.2 Comment désaturer ?  PAGEREF _Toc526576914 \h 42
5.4.3 Exemple de SPOT  PAGEREF _Toc526576915 \h 43
6 Commande optimale sur un satellite contrôle par magéntocoupleurs  PAGEREF _Toc526576916 \h 45
6.1 Présentation générale  PAGEREF _Toc526576917 \h 45
6.2 Problème de la commande optimale  PAGEREF _Toc526576918 \h 46
6.2.1 Que signifie commande optimale ?  PAGEREF _Toc526576919 \h 46
6.2.2 Quel critère ?  PAGEREF _Toc526576920 \h 46
6.2.3 Comment quantifier les qualités précédentes ?  PAGEREF _Toc526576921 \h 46
6.3 Résolution du problème de la commande optimale exprimée dans le cas du satellite  PAGEREF _Toc526576922 \h 48
6.3.1 Formulation mathématique du problème  PAGEREF _Toc526576923 \h 48
6.3.2 Principe du minimum de PONTRYAGIN  PAGEREF _Toc526576924 \h 48
6.4 Procédure de simulation  PAGEREF _Toc526576925 \h 49
6.4.1 Calcul de P connaissant A, B, S, R, Q, M  PAGEREF _Toc526576926 \h 49
6.4.2 Remarques importantes  PAGEREF _Toc526576927 \h 50
7 Stabilisation d’un satellite par la dérivée du champ magnétique terrestre et magnétocoupleurs  PAGEREF _Toc526576928 \h 53
7.1 Commande par la dérivée du champ magnétique terrestre  PAGEREF _Toc526576929 \h 54
7.1.1 Principe de base  PAGEREF _Toc526576930 \h 54
7.1.2 La chaîne logique de contrôle  PAGEREF _Toc526576931 \h 55
7.2 Etude physique de la commande  PAGEREF _Toc526576932 \h 55
7.3 Etude mathématique permettant de mettre en évidence le rôle amortisseur de la commande  PAGEREF _Toc526576933 \h 56
7.3.1 Mise en évidence de l'effet amortisseur du couple de commande sur les trois axes  PAGEREF _Toc526576934 \h 57
7.3.2 Etude du couple C2  PAGEREF _Toc526576935 \h 58
7.3.3 Etude énergétique  PAGEREF _Toc526576936 \h 59
7.4 Etude mathématique d'une autre loi mettant en évidence le rôle amortisseur de la commande et prenant mieux en compte les inerties différentes du satellite  PAGEREF _Toc526576937 \h 60
7.4.1 Notations  PAGEREF _Toc526576938 \h 60
7.4.2 Prise en compte des inerties  PAGEREF _Toc526576939 \h 60
7.4.3 Remarque sur la constante de temps  PAGEREF _Toc526576940 \h 61
7.4.4 Remarque sur les simulations et le mouvement orbital  PAGEREF _Toc526576941 \h 61
8 Stabilisation d’un satellite-lanceur par SPIN  PAGEREF _Toc526576942 \h 63
8.1 Généralités  PAGEREF _Toc526576943 \h 63
8.1.1 Principe de mécanique  PAGEREF _Toc526576944 \h 63
8.1.2 Comportement gyroscopique  PAGEREF _Toc526576945 \h 63
8.1.3 Couple gyroscopique  PAGEREF _Toc526576946 \h 65
8.2 Cas d’un couple constant  PAGEREF _Toc526576947 \h 65
8.2.1 Problème  PAGEREF _Toc526576948 \h 65
8.2.2 Equations du mouvement  PAGEREF _Toc526576949 \h 66
8.2.3 Intégration et solution  PAGEREF _Toc526576950 \h 66
8.2.4 Interprétation du mouvement  PAGEREF _Toc526576951 \h 66
8.2.5 Exemple théorique de contrôle  PAGEREF _Toc526576952 \h 68
8.2.6 Exemple pratique de contrôle  PAGEREF _Toc526576953 \h 69
8.3 Déplacement du moment cinétique  PAGEREF _Toc526576954 \h 70
8.4 Stabilisation par spin  PAGEREF _Toc526576955 \h 71
8.4.1 Repérage de l'axe de spin et mesure de la nutation  PAGEREF _Toc526576956 \h 71
8.4.2 Déplacement de l'axe de spin  PAGEREF _Toc526576957 \h 73
8.5 Satellite dual spin  PAGEREF _Toc526576958 \h 74
8.6 Phase propulsée  PAGEREF _Toc526576959 \h 75
8.6.1 Problème  PAGEREF _Toc526576960 \h 75
8.6.2 Résultat : mouvement de rotation  PAGEREF _Toc526576961 \h 75
8.7 Conclusion  PAGEREF _Toc526576962 \h 76

Contrôle d’attitude d’un satellite par magnétocoupleurs
Ce chapitre est consacré au contrôle actif de l'attitude d'un satellite par magnétocoupleurs. Nous nous plaçons dans la configuration d'une stabilisation trois axes d'un satellite, sur orbite circulaire, par rapport au repère orbital. Les écarts angulaires sont donc petits.
Le magnétocoupleur
Notations et conventions
On appelle ou on rappelle :
IR, IT, IL, les inerties en roulis, tangage et lacet.
Fð, qð, yð, les angles de roulis, tangage et lacet supposés petits dans le contrôle d'attitude.
wð0 la pulsation orbitale constante pour une orbite circulaire de rayon r.
Le vecteur champ magnétique terrestre par ses composantes dans le repère orbital local XYZ, associé à la position courante du satellite, au rayon vecteur r et au temps t, cette donnée peut être soit analytique soit sous forme de modèle embarqué :
EMBED Equation.3
L'électronique de bord et les capteurs utilisés doivent élaborer des moments magnétiques du type suivant, en commandant les courants dans des bobines.
Un pseudo moment magnétique de commande est élaboré par le calculateur, par exemple en loi proportionnelle dérivée:
EMBED Equation.3
D'autres commandes peuvent naturellement être imaginées.
Couple dû au magnétocoupleur
Le satellite est équipé de magnétomètres(liés au satellite), mesurant in situ les composantes en axes satellite du champ magnétique terrestre. Des capteurs de positions angulaires (senseurs) et des gyromètres de mesure de vitesses angulaires associés à une électronique de bord, permettent d'élaborer les fonctions mx my mz, puis Mx My Mz, et donc les courants à injecter dans trois bobines suivant les 3 axes pour obtenir le moment magnétique de commande M.
Le moment général M du dipôle écrit sous forme vectorielle est :
EMBED Equation.3
Le vecteur champ magnétique terrestre calculé dans la base satellite en fonction des paramètres angulaires et des composantes de B dans le repère orbital, est dans le cas des petits angles de dépointage :
EMBED Equation.3
donnant le couple de commande ci-dessous :
EMBED Equation.3
ce couple de contrôle Mc agissant sur le satellite est donné par ses composantes dans les axes satellites. Mais en dernier ressort c'est m( mx my mz ) qui apparaît réellement comme la commande.

Le moment total des perturbations extérieures autres que gravitationnelles est :
EMBED Equation.3
On consultera, pour évaluer les couples perturbateurs, les ouvrages. On s'intéressera tout particulièrement aux couples d'origine aérodynamiques et on s'apercevra probablement du rôle important joué par la position du centre de poussée par rapport au centre de masse.
Equations du SCAO
Les équations de comportement se présentent sous la forme générale ci-dessous :
EMBED Equation.3
où les quantités du second membre se calculent comme indiqué plus haut :
Indice c pour commande,
Indice p pour perturbations (gravitationnelles non comprises puisqu'elles sont utilisées par le gradient de gravité déjà inclus dans le premier membre).
Mise sous forme canonique : Si par exemple le vecteur d'état du système est noté X, la perturbation ou la commande(au second membre) est le vecteur d'entrée U =Up + Uc, Y le vecteur de sortie, on a alors par exemple la représentation d’état :
EMBED Equation.3
Si en sortie Y=X alors les matrices A, B, C, D s'expriment respectivement ainsi :

EMBED Equation.3
Les vecteurs d'état et de commande sont :
0EMBED Equation.3
Remarque capitale sur le rôle des magnétocoupleurs et leur inconvénient :
Les calculs mathématiques ont masqué le rôle important du champ magnétique terrestre B et sa contribution comme amortisseur des oscillations des angles de roulis lacet et tangage.
Le lecteur vérifiera lui-même que l'expression de Mcx est la suivante :
EMBED Equation.3
On constate que le premier terme négatif introduit dans l'équation de roulis en fð un rappel élastique et un amortissement. Ces effets sont favorables à la stabilisation du roulis. Malheureusement les autres termes de couplage avec le lacet et le tangage dans l'équation de roulis apparaissent comme perturbateurs et parfois déstabilisants. C'est donc un inconvénient non négligeable, qui conduit en pratique à une compensation par roue de réaction, dont le rôle pourrait se limiter à compenser ces termes parasites.
Naturellement le raisonnement est le même sur les autres axes.
Matrice de gain :
On parle en général d'une matrice de gain notée K dans la boucle de retour d'état.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Les coefficients kpx, ......, kdz dans les études réelles, sont à déterminer et naturellement à optimiser en tenant compte de leur réalité physique et tout en cherchant à minimiser la consommation en puissance.
Exemple de spécifications imposées à une mission d'imagerie
Généralement l'héliosynchronisme est imposé par une mission d'observation de la Terre. La technologie des caméras impose donc des spécifications précises en ce qui concerne :
La précision de pointage,
Les vitesses angulaires maximums admissibles pour une prise de vue correcte,
Caractéristiques techniques du système de prise de vues :
Z : Altitude sol de la prise de vue
að : Angle d'ouverture de prise de vue
n x n : Ensemble de n2 pixels de la matrice carrée CCD
tð : temps de prise de vue
k : 0 < k 90°.
Le temps de référence t = 0 est pris à l'un des passages du satellite au noeud N ascendant (passage de l'hémisphère sud à l'hémisphère nord)
On appelle j l'angle polaire du satellite compté à partir du nœud ascendant positivement autour de l'axe de tangage (axe également porteur du moment cinétique du satellite).
On appellera bð l'angle entre la vitesse (ou l'axe de roulis X) et la direction N du nord local, est mesuré positivement autour de la géocentrique Z (Sur la figure trace montante bð90°).
EMBED Equation.3
Remarque:
La simple observation du dessin montre que pour une telle orbite, lorsque la trace est montante (latitude croissante) -90°0, yð>0. Une action tuyère est exercée durant un temps dðt de l'ordre de 50 à 100 ms, avec des couples CX et CZ vérifiant un biais að. Seules les dérivées sont prises en compte dans un processus impulsionnel, analogue à une percussion.
 EMBED Equation.3 
A RETENIR : L'effet d'un coup de tuyère est de déplacer l'extrémité Q du moment cinétique total et d'augmenter le rayon de la nutation du moment cinétique H de la roue autour de HT.

Une étude poussée montrerait qu'un bon choix du biais, et du seuil, conduit à un cycle limite, comme suggéré ci-dessous.

Adaptation du contrôle long terme pour annuler la nutation :
Nous avons signalé qu'en déplaçant le moment cinétique total, on créait automatiquement une nutation plus importante, avec une période déjà rencontrée, qu'on a appelléeT2, associée à la pulsation court terme wð2.
La "ruse" du contrôle de la nutation, consiste à délivrer le coup de tuyère en 2 temps de durée dðt/2, espacés de T2/2, grâce à 2 "tops" facilement programmables. Ainsi, comme le montre la prochaine figure, le moment cinétique HT (extrémité Q) total et celui H (extrémité P) de la roue se retrouvent en coïncidence(aux erreurs de fonctionnement près).

Limites de la méthode
Le contrôle en quasi-continu, demande un nombre très élevé d'activations de tuyères, avec un risque très pénalisant de panne en "tuyère ouverte".
La précision atteinte par la détection sur seuils n'est pas excellente, de plus les erreurs d'alignement soit de la roue soit des senseurs, se répercutent naturellement sur l'attitude.
Contrôle d’attide par CMG
NB 1 : Le lecteur se reportera au cours sur le mouvement de POINSOT, pour revoir les définitions et conventions d'écriture utilisées dans cette page.
NB 2 : Cet exposé est présenté comme une application du moment cinétique, sous forme de problème, que le lecteur peut s'exercer à résoudre, s'il le souhaite
CMG signifie Command Moment Gyro.
Le système de contrôle par CMG repose comme celui des roues sur le principe d'échange de moment cinétique entre un système interne commandé et le satellite soumis à des perturbations.
L'étude permet un calcul explicite du phénomène de saturation des roues et propose un calcul réaliste de période de désaturation.
Problème – Principe de fonctionnement
Schéma

Le système est composé de 6 gyros identiques, uni-axes, de moment d'inertie axial I, animés d'une vitesse angulaire Wð. Ils sont répartis en 3 groupes de 2 gyroscopes. Par commodité, le dessin ne montre complètement, que le montage du couple des gyros S5 et S6 et uniquement dans la configuration canonique. Ce couple contrôle notamment le premier axe i.
Les 2 gyroscopes S5 et S6 sont montés en contre rotation, c'est à dire qu'ils tournent à la même vitesse angulaire Wð mais en sens contraire l'un de l'autre. S5 autour de U5 et S6 autour de U6.
Commande : Un moteur de commande fixé sur le corps du satellite, peut exercer un couple Cm d'axe i (respectivement j, k) sur une armature qui porte les deux gyros.
NB : Vous noterez qu'un engrenage impose à 2 gyroscopes d'un même groupe des précessions strictement opposées.
Rôle du couple gyroscopique
Conformément à la théorie du gyroscope, quand on impose un couple (modéré) d'axe non colinéaire à l'axe de la rotation gyroscopique, le gyroscope "réagit" en s'imposant une vitesse angulaire de précession telle que le couple gyroscopique créé annule celui imposé.  HYPERLINK "..\\SPIN\\STABSPIN.htm" \l "Couple_gyroscopique" Voir note particulière.
En appelant gð (respectivement að pour S1 et bð pour S4) l'angle de précession de S5 et Cm le couple de commande sur l'axe i, donnez l'axe de mesure de la rotation gð et la vitesse angulaire, en utilisant bien évidemment les deux couples gyroscopique.  HYPERLINK "" \l "solution1" Solution 1°
REMARQUE PRATIQUE :

Il est clair que par effet de réaction les gyros imposent au cadre qui les porte un couple qui se retrouve donc exercé sur le satellite. C'est donc lui qui assure le contrôle d'attitude.
On pourra considérer que le satellite est parfaitement contrôlé et donc de rotation quasi nulle. On pose H = IWð.
Quel est le moment cinétique supplémentaire qu'apportent S5 + S6 lors d'une précession commandée ?
 HYPERLINK "" \l "solution2" Solution2°
Phénomène de saturation
Comme pour les systèmes à roues, lorsque le couple perturbateur présente une composante constante en axes satellite, un paramètre important de fonctionnement diverge, vitesse angulaire ou direction.
On prendra donc un couple perturbateur de la forme :
 EMBED Equation.3 
A partir du théorème du moment cinétique appliqué à l'ensemble satellite + gyros, donner la loi d'évolution de gð. On supposera les angles að,ð ðbð,ð ðgð nuls au départ, on notera wðo la pulsation orbitale.  HYPERLINK "" \l "solution3" Solution 3°
Calculer le nombre n de périodes avant d'atteindre une valeur de saturation gðmax fixée par la technologie.
AN : gyroscope= 7.2 kg, I = 0.0177 m²-kg, orbite : wðo = 0.00107 rd/s, gðmax = 70°.  HYPERLINK "" \l "solution4" Solution 4°
Solution
Précession gð
Nous utilisons les résultats de l'approximation gyroscopique appliqués à S5+S6, les couples gyroscopiques se doublent donc en s'ajoutant.
 EMBED Equation.3 
Moment cinétique gyroscopique
Le moment cinétique se calcule par ses composantes dans des axes liés à chaque gyroscope et donne pour chacun :
 EMBED Equation.3 
Le moment résultant pour le groupe des 2 gyros est porté par l'axe i.
 EMBED Equation.3 
Remarque : Surprenant résultat qui montre que pour un couple de 2 gyros, le moment cinétique garde une direction fixe par rapport au satellite. La modulation se fait donc sur le module et donc par l'intermédiaire de l'angle gð.
Le moment total s'écrit donc :
 EMBED Equation.3 
Loi d évolution de gð
EMBED Equation.3
La rotation satellite est quasi nulle et donc il vient, en se limitant au premier axe :
 EMBED Equation.3 
Le calcul montre que l'angle gð va croître jusqu'à atteindre la valeur +90° ou -90°. On rappelle qu'en gyroscopie, la théorie est faite pour des vitesses angulaires petites et que pour gð approchant de 90° ce n'est pas le cas. D'ailleurs pour les spécialistes cette position d'alignement de l'axe gyro avec celui d'une armature est une position interdite.
Ainsi gð augmente en module. Ce phénomène s'appelle saturation des gyroscopes et nécessite au bout d'une certaine période une désaturation.
La désaturation consiste à appliquer sur un temps court, avec en général des actuateurs à tuyères, un couple conséquent sur le satellite et à laisser le système de contrôle agir jusqu'à ce que les roues ou les gyroscopes retrouvent leur configuration d'origine.
Période de désaturation
 EMBED Equation.3 
AN : n=392 orbites et Temps = 26 jours
Contrôle d’attitude 3-axes
NB : Le lecteur se reportera au cours sur le mouvement de Poinsot, pour revoir les définitions et conventions d'écriture éventuellement utilisées dans cette page.
Nous profitons du sujet pour exposer le principe des roues de réaction.
Domaines d’application
Ce type de SCAO n'utilise pas le principe de raideur gyroscopique qui ne pourrait convenir, notamment dans les cas suivants :
Satellites devant manœuvrer aux grands angles, soit en phase d'acquisition soit devant opérer pour les besoins de la mission, des basculements importants ;
Présence de couples perturbateurs externes importants ;
Présence de couples perturbateurs internes notables (enregistreurs, gradient de gravité,...) ;
En cas de moments d'inertie élevés, entraînant un gradient de gravité important ou des manœuvres à couples élevés ;
Missions demandant de très grandes précisions de pointage (télescopes, imagerie spatiale,...).
Concepts adoptés
Le contrôle d'attitude impose alors une détection sur tous les axes et donc une mesure 3-axes par gyros et/ou senseurs externes, généralement les 2 c'est à dire optico-inertielle, pour des raisons déjà exposées et que nous rappelons :
Mesure 3-axes
Les gyros ont une estimation court terme à faible bruit et grande bande passante. Le long terme voit cependant les performances se dégrader par le phénomène classique et inévitable des dérives.
Les senseurs externes fournissent constamment une mesure fiable, mais bruitée et à bande passante étroite.
La mesure optico-inertielle dite hybridation gyros-senseurs permet de rassembler toutes les qualités des deux systèmes tout en éliminant leurs défauts (Voir observateur de mesure).
Donc mesure peu bruitée, à grande bande passante, fiable à long terme.
Contrôle 3-axes
Le contrôle peut alors utiliser soit :
Des actionneurs internes 3-axes : roues de réaction, CMG.
Des actionneurs externes tuyères, magnétocoupleurs,...
Les roues de réaction
Le principe est toujours le même et consiste à utiliser des corps tournants pouvant échanger "du moment cinétique" avec le corps principal à stabiliser, le satellite. Les roues contrairement aux volants n'ont au départ pas de spin et fonctionnent donc autour de zéro.
Si les couples par leur action continues arrivent à saturer les roues (vitesse angulaire qui croît en moyenne), une désaturation est alors nécessaire qui utilise d'autres actionneurs.
Equations en pointage inertiel faibles vitesses
Les notations sont les mêmes que pour la stabilisation par moment, le lecteur s'y rendra et adaptera les équations pour obtenir :
 EMBED Word.Picture.8 
Imaginons par exemple que la perturbation Cx contient une petite composante constante en axes satellite, alors le moment cinétique de la roue va croître en moyenne :
EMBED Equation.3
C'est la saturation qui oblige à utiliser pendant un temps assez bref, les tuyères en continu pour désenrouler la roue qui réagit pour "contrer" le couple tuyère. C'est la désaturation.
Equations en pointage Terre faibles vitesses et petits angles
Le lecteur ira consulter la notion de pointage terre. La dynamique est régie par les équations :
EMBED Equation.3
Il apparaît le couple perturbateur, les couples de commande des roues et des termes de couplage de type gyroscopique entre les moments roues et le mouvement orbital.
Comment se comportent les roues ?
La stabilisation étant supposée réalisée, p, q, r sont donc petits et de moyenne nulle. Les équations peuvent donc s'écrire plus simplement :
EMBED Equation.3
En mouvement libre l'intégration donne sans difficulté le résultat et une trajectoire circulaire du point (HZ, HX) :

En présence de couples constants en axes satellite, il est clair que le système donnant l'évolution des moments, possède une solution constante qui ne fait que décaler le centre du cercle solution du mouvement libre.

Correction par biais roues
Pour les couples constants en axes satellites, bien identifiés, la correction de ces couples est réalisée par une vitesse angulaire prédéfinie de chaque roue, roues qui ne travaillent plus autour de zéro, mais autour de vitesses petites vérifiant :
EMBED Equation.3
Naturellement les roues et leur vitesse sont prédimensionnées pour que le point choisi soit dans le domaine d'utilisation des roues.
Cas des couples sinusoïdaux en axes satellites
C'est le cas de couples inertiels constants qui vont fournir des composantes sinusoïdales en axes satellites. Il s'établit donc une résonance, parfaitement démontrée par les mathématiques, pour ce genre de système admettant wð0 pour pulsation propre.
Le résultat est une divergence du moment cinétique des roues, ce qui entraîne nécessairement des périodes de désaturation, soit par tuyères soit par bobines magnétiques.
Exemple de désaturation
Définition de la désaturation
Une roue ou un volant cinétique ou un gyroscope d'un CMG, sont caractérisés par :
un axe
une inertie
une vitesse angulaireOu encore un vecteur moment cinétique HL'effet des couples perturbateurs est de modifier les vitesses angulaires, jusqu'à atteindre une valeur interdite. Il faut alors ramener la vitesse angulaire à sa valeur initiale de fonctionnement de début de stabilisation. C'est cette opération qui porte le nom de désaturation.
Comment désaturer ?
Comme le contrôle ne supporte pas de rester longtemps inactif, la désaturation doit être rapide. On exerce donc des couples volontaires de niveau élevé, choisis de telle façon que sous le contrôle des roues, celles-ci se "désenroulent" pour contrer cet effet volontaire perturbateur.
Des tuyères peuvent être utilisées, présentant l'inconvénient d'une consommation d'ergols qui peut nuire à la durée de vie du satellite.
Pour SPOT, c'est avec des bobines magnétiques que l'opération est réalisée.
Exemple de SPOT
Nous savons que SPOT, satellite héliosynchrone, est quasiment en orbite polaire et "voit" le champ magnétique terrestre presque uniquement sur les axes X et Z.

En simplifié, le champ terrestre apparaît comme suit :
EMBED Equation.3
Le satellite est équipé de bobines commandées dites magnétocoupleurs. La commande permet de faire varier le moment magnétique M = [MX, MY, MZ]
L'interaction avec le champ magnétique terrestre génère un couple Gðmagn qui peut être utilisé en commande ou en désaturation.
EMBED Equation.3
NB : Les couples Gð1 et Gð3 visiblement ne peuvent fonctionner ensemble et seront utilisés de manière alternée, au passage du pôle pour Gð1 (désaturation roue lacet) et au passage de l équateur pour Gð3 (désaturation roue roulis).
Une bobine d'axe roulis, de moment MX, désature donc au passage de l équateur la roue de tangage.
Conclusion :
La technique ne demande en réalité que 2 bobines :
Sur l'axe de tangage, de moment MY, pour désaturer alternativement les roues lacet et roulis ;
Sur l'axe de roulis, de moment MX, pour désaturer la roue tangage.
Commande optimale sur un satellite contrôle par magéntocoupleurs
Cette étude présente des considérations générales relatives à la commande optimale.
Présentation générale
Envisageons par exemple le cas d'un micro-satellite, stabilisé par gradient de gravité et des magnétocoupleurs, interagissant avec le champ magnétique terrestre B(t) existant à l'endroit où se trouve le satellite à l'instant t.
La commande consiste à créer dans le satellite un moment magnétique m :
 EMBED Equation.3 
par une électronique appropriée, pilotée par des capteurs et une informatique de traitement des mesures et de génération de la commande (problème de bruits, filtrage de Kalman pour le calcul de l'estimation des mesures des angles et des vitesses angulaires, commande par matrice de contre-réaction). Des courants sont alors générés et envoyés dans des bobines.
Le satellite est alors piloté par un couple de commande Mc défini par la matrice Mc = Sm (Attention : conformément aux notations classiques de la représentation d'état des systèmes m désigne l'entrée U du système satellite+magnétocoupleurs).
La matrice S est fonction du temps par l'intermédiaire du champ magnétique terrestre, mais également des angles de roulis, lacet, tangage, car ce sont les composantes de B dans le référentiel satellite qui sont utilisées.
 EMBED Equation.3 
A la fin de ce chapitre, on verra comment on peut avec une excellente approximation, résoudre le problème de la commande optimale malgré la présence des angles.
Voici donc la forme des équations générales adaptées au cas particulier des magnétocoupleurs, sous forme d'équation d'état.
 EMBED Equation.3 
correspondant au diagramme fonctionnel suivant :

B désigne ici la matrice d'entrée du satellite et non le champ magnétique terrestre.
On supposera que Y = X soit C = I et D* = 0. Dans le cas du satellite A et B sont des matrices invariantes, à la différence de B*=BS qui dépend de la matrice variante S(t).
Problème de la commande optimale
Que signifie commande optimale ?
On souhaite piloter (grâce à la commande U) le système de manière à ce qu'il satisfasse de la meilleure façon possible des spécifications portant sur le vecteur d'état et la consommation énergétique, au sens d'un certain critère à formuler de manière explicite.
Quel critère ?
Par exemple, pour notre micro-satellite suite à une perturbation ou sous l'effet de perturbations toujours présentes, on désire un retour à la position pointage Terre le plus rapide possible, avec le plus de précision possible, une consommation minimale d'énergie et une stabilisation durable.
Il nous faudra donc exprimer cette idée et naturellement accepter peut-être de privilégier la précision au détriment de la consommation d'énergie ou le contraire suivant les spécifications de la mission et le coût maximum des équipements.
En un sens il nous faudra pondérer les qualités souhaitées.
Comment quantifier les qualités précédentes ?
Les théoriciens de l'automatique mathématique ont montré que si l'on exprime le critère sous la forme de la minimisation d'une expression quadratique du vecteur d'état X et de la commande U, le problème peut se traduire mathématiquement et admet une solution analytique.
Dans le cas des systèmes linéaires (ou linéarisés autour d'un point de fonctionnement comme pour le satellite petits angles), la solution s'exprime en faisant apparaître que la commande optimale dépend linéairement du vecteur d'état [U*(t)=-K(t)X(t)]
Comment traduire la convergence vers un état final souhaité ?
Donnons-nous une position finale idéale sous la forme d'un vecteur connu, l(t1), où t1 est l'instant final. Dans le cas du satellite qui nous intéresse le vecteur d'état X représente les angles de dépointage et les vitesses angulaires. La valeur finale souhaitée est alors nulle à l'instant t1.
On introduit alors une matrice M de pondération symétrique réelle, semi-définie positive et on pose la fonctionnelle à minimiser :
 EMBED Equation.3 
Suivant la grandeur des coefficients de M, on pourra donc demander plus de précision sur tel ou tel angle ou vitesse angulaire, en augmentant le facteur de pondération.
En clair et intuitivement, un grand coefficient ne peut supporter d'être multiplié par une quantité importante, d'autant plus que dans un critère quadratique c'est le carré de la quantité qui intervient.
Par exemple, ci-après, les coefficients M11 et M22 sont prépondérants désignant le critère comme devant apporter de la précision sur l'angle de roulis et la vitesse de roulis, au détriment des autres angles ou vitesses angulaires.
 EMBED Equation.3 
Comment traduire que le vecteur d'état du système soit aussi proche que possible d'une solution prédéterminée lð(t) ?
Cette qualité du système peut être appréhendée par la somme des écarts entre le vecteur d'état et la solution idéale tout au long du temps, avec de toute évidence une approche asymptotique quand le temps augmente indéfiniment, pour assurer la convergence de l'intégrale.
 EMBED Equation.3 
La matrice de pondération Q symétrique réelle, définie positive peut, par la grandeur relative de ses coefficients, favoriser la précision d'un paramètre particulier au détriment des autres.
Comment traduire la consommation d'énergie ?
Il y a de fortes chances pour que le vecteur de commande U soit directement lié à la consommation globale. Minimiser l'énergie de la commande permettra de minimiser l'énergie globale.
Tout au long de l'évolution du système, il nous faut donc sommer l'énergie consommée ce qui se fait par l'intermédiaire de la quantité :
 EMBED Equation.3 
avec les mêmes remarques que précédemment sur la matrice R définie positive et la pondération de R.
Formulation générale du critère :
 EMBED Equation.3 
La commande est dite optimale si l'évolution du système a lieu en minimisant J. Le choix des matrices M, Q, R est une affaire d'expérience et de sens physique.
Résolution du problème de la commande optimale exprimée dans le cas du satellite
Formulation mathématique du problème
On veut stabiliser le satellite par un retour d’état  EMBED Equation.3 , la matrice K des 18 gains s'écrit :
 EMBED Equation.3 
Par exemple le moment magnétique de la bobine placée sur l'axe x vaut durant la commande :
 EMBED Equation.3 
Les coefficients à 2 indices désignent les couplages. Telle est la commande la plus générale.
Cette matrice K est fonction du temps si les matrices A et B* sont variantes. On mesure alors la complexité du problème.
Le schéma - bloc du système est le suivant :

Comment déterminer la MATRICE DE GAIN K réalisant la commande optimale c'est à dire minimisant la fonctionnelle J ? La réponse est donnée en  REF _Ref514040642 \r \h  \* MERGEFORMAT 6.3.2.
Principe du minimum de PONTRYAGIN
Limitons le théorème au cas particulier qui nous occupe et dans lequel, il est souhaité un retour vers 0 du vecteur d'état. Ainsi lð(t1) = 0.
On rappelle aussi que B* = B(t) S(t), que le vecteur de sortie et d'observation est Y = X, la matrice D est donc ici nulle et C = I matrice identité d'ordre 6.
Indiquons tout de même que sur le plan théorique nous avons les équations traduisant le principe du minimum de H :
 EMBED Equation.3 
On retrouve la forme classique des équations écrites avec un hamiltonien et des variables conjuguées.
Théorème :
La recherche de la commande optimale  EMBED Equation.3 , donc de la matrice de gain K, d'un système à équation d'état (dite équation de contrainte)
 EMBED Equation.3  et variable de sortie Y telle que  EMBED Equation.3 , minimisant le critère quadratique J :
 EMBED Equation.3 
est équivalente à la recherche du minimum (dit Principe du minimum de Pontryagin) qui consiste à traduire le minimum de la fonction H
 EMBED Equation.3 
appelée HAMILTONIEN associé au problème.
µ s'appelle le multiplicateur indéterminé de Lagrange associé à la contrainte  EMBED Equation.3 .
Il n'est pas question de démontrer ici ce théorème, ni même le résultat fondamental qui suit. Ce résultat est directement utilisable dans tous les cas où les matrices A et B ne dépendent que du temps.
Résultat pratique, capital et utilisable :
La matrice de gain K solution de la commande optimale est donnée par :
 EMBED Equation.3 
où P vérifie une équation dite de Ricatti :
 EMBED Equation.3 
complètement définie par la condition au temps final t1 :
 EMBED Equation.3 
Procédure de simulation
Calcul de P connaissant A, B, S, R, Q, M
Le résultat ci-dessus appelle la remarque suivante : la condition au temps t1 joue le rôle d'une condition initiale, il faut donc intégrer l'équation à "rebours".
Ce qui signifie qu'en pratique, on posera une nouvelle variable tð = t1-t appelée temps restant et qu'on intégrera l'équation :
 EMBED Equation.3 
On achèvera par  EMBED Equation.3 
Remarques importantes
Le Cdt Godard, qui a posé et résolu le problème théorique, a eu des idées et réflexions décisives en remarquant que :
Kalman a démontré mathématiquement que, lorsque le temps d'observation t1 était grand, et les matrices A et B invariantes, la matrice de Ricatti P était constante sur la majeure partie de la durée du processus. L'influence réelle de l'erreur terminale représentée par la matrice M n'apparaît donc qu'à la fin du processus. En outre la théorie de la commande optimale linéaire quadratique suppose que les matrices A et B* = BS ne dépendent pas d'autres variables que le temps. Ce qui n'est pas le cas ici puisque S dépend aussi des angles du satellite, nécessaires au calcul de la projection du champ magnétique du repère orbital vers le repère satellite.
Puisque le SCAO ne fonctionne qu'aux petits angles (fonctionnement nominal en régulation autour de X=0), l'hypothèse simplificatrice qui consiste à dire que le champ magnétique est le même en axes orbitaux et en axes satellites, permet de s'affranchir de la contrainte de dépendance par rapport aux angles. S devient alors déterministe du temps (comme le champ magnétique vu du repère orbital). Le calcul préalable de P(t) donc de K(t) devient alors possible avec comme valeur de S :
 EMBED Equation.3 
Le champ magnétique terrestre est une fonction vectorielle périodique du temps dans le repère orbital, de période égale à la période orbitale T du satellite. En supposant t1 grand pour s'affranchir de l'influence de M, on obtiendra non pas une solution constante pour P mais une solution périodique de période T. En prenant ainsi t1 = 3T par exemple, si la résolution de l'équation de Ricatti montre que P(t) est bien périodique sur les 2 premières périodes, on pourra utiliser les 2 résultats pratiques fondamentaux suivants :
La matrice K est périodique de période T. Il suffit donc de mémoriser cette matrice dans une mémoire et y chercher les valeurs adéquates des gains en fonction de la position du satellite sur l'orbite et non du temps.
La commande ne dépend plus du temps t1 qui peut être repoussé à l'infini (en fait durée de vie du satellite). Cette commande donc s'applique en permanence et elle est d'autant plus efficace que les angles sont petits.
Il faut être conscient que cette commande optimale est approximative si les angles satellite ne sont pas négligeables, ce qui peut être le cas dans les conditions initiales après la mise en orbite en phase d'acquisition.
On réalisera alors la simulation du SCAO du satellite avec la matrice K calculée en  REF _Ref525454624 \r \h  \* MERGEFORMAT 6.1. Naturellement, il faut prendre dans cette simulation, la matrice S(t, fð, yð, qð) exacte donnée en  REF _Ref525454655 \r \h  \* MERGEFORMAT 6.1.
On recommencera autant de fois que nécessaire, avec des pondérations différentes des matrices M, Q, R, jusqu'à obtenir des résultats satisfaisants au regard des spécifications imposées à la mission.
Nous pouvons affirmer, pour les avoir testés, que les résultats sur K(t) sont très sensibles à des variations du simple au double des coefficients de pondération dans M, Q, R.
Il est conseillé dans ce problème de prendre R=I et de jouer surtout sur la grandeur relative des coefficients de Q par rapport à ceux de R. La matrice M que nous avons toujours prise égale à Q ne joue pas vraiment un grand rôle quand le temps final t1 est grand.
On fera une mise au point définitive du SCAO en simplifiant éventuellement la commande, après avoir constaté que des gains trop petits ne jouent aucun rôle. Les simulations valideront alors ces hypothèses simplificatrices.
En fin d'étude on choisira les magnétocoupleurs qui satisfont physiquement aux spécifications de la mission, et qui supportent les gains calculés précédemment (choix du moment magnétique maximum).
Remarque finale : il serait intéressant de tester et éventuellement valider une commande optimale sur un micro-satellite en orbite elliptique où le problème du pointage stabilisé Terre est particulièrement difficile lors du passage au périgée.
Stabilisation d’un satellite par la dérivée du champ magnétique terrestre et magnétocoupleurs
Cadre de l'étude :
Un micro-satellite, en orbite héliosynchrone, doit être stabilisé pointage terre, avec un SCAO aussi simple que possible à mettre en œuvre, entraînant une gestion de bord très allégée en calculs et traitement d'informations capteurs.
Origine de l'idée :
A l'occasion d'une visite chez MMS (Matra Marconi Space), M. DAMILANO spécialiste dans les études de SCAO appliquée à des micro-satellites, nous indique fort aimablement que les Américains utilisent couramment et avec succès, une commande basée sur la dérivée du champ magnétique terrestre.
L'idée de base est que vue du satellite, une partie importante de la vitesse du satellite résulte de sa rotation instantanée, la détection de la dérivée permettra donc de générer une commande afin de dissiper l'énergie de rotation du satellite, le stabilisant par une capture naturelle réalisée par le gradient de gravité.
Equipements nécessaires :
Capteurs : magnétomètres donnant à bord du satellite, dans les axes satellites G x, y, z les composantes Bx, By, Bz du champ magnétique terrestre B à la position courante du satellite.
Se renseigner sur les caractéristiques: masse, coût, encombrement, disposition à bord, bruit, biais...
Un ensemble de trois magnétocoupleurs dont les axes sont parallèles aux axes satellite.
Recueillir les informations techniques nécessaires à leur mise en œuvre et à la modélisation de leur comportement.
Capteurs ou senseurs d'attitude à définir, restituant l'orientation du satellite autour de son centre d'inertie.
Une électronique de calcul et de traitement du champ magnétique B puis de commande des magnétocoupleurs.
Problème de la commande, linéarité, saturation des magnétocoupleurs...
L'ensemble devrait après étude se révéler simple à mettre en œuvre.
Conditions de mise en œuvre :
Un tel système pourra agir dès les premières secondes du vol orbital, puisqu'il se révélera comme dissipateur d'énergie. Un mât de gravité est-il nécessaire? Quand le déployer s'il est présent et pourquoi?
Il faudra alors envisager que la capture et l'amortissement puissent conduire à une stabilisation avec un pointage de la caméra à l'envers.
On envisagera alors :
De détecter cette position, comment ?
De remédier à cette situation, c'est à dire opérer un retournement. Peut-on utiliser le mât de gravité ? Comment ? Problème de la commande...
D'étudier les conséquences néfastes éventuelles de cet usage.
D'estimer la durée maximale de l'opération de stabilisation y compris et surtout dans le cas d'une position à l'envers au départ.
De vérifier si cette contrainte de temps est compatible ou non avec les spécifications de la mission et notamment du phasage et de la dérive de l'heure locale.
Commande par la dérivée du champ magnétique terrestre
Principe de base
Créer à bord du satellite un moment magnétique, vous trouverez la modélisation du champ magnétique terrestre dans le chapitre  REF _Ref524773934 \r \h 1.HYPERLINK "../MAGNETOC/magneto2.htm"../MAGNETOC/magneto2.htm
EMBED Equation.3
dérivée à prendre dans les axes satellite, pour la simple et bonne raison que les magnétomètres attachés au satellite fournissent les composantes dans les axes satellite. On envisagera alors peut être le calcul de la dérivée de manière analogique (à voir).

Une électronique adéquate et des magnétocoupleurs interagissant avec le champ magnétique terrestre vont donc permettre de créer sur le satellite un couple actif valant.
EMBED Equation.3
La chaîne logique de contrôle

Telle pourrait être une présentation du diagramme fonctionnel !
Etude physique de la commande
Que représente physiquement la dérivée du champ B vu du satellite? Mécaniquement c'est la vitesse de l'extrémité du vecteur B vu par un observateur lié au corps du satellite. Or la variation d'un vecteur a deux origines, la variation de longueur et le changement d'orientation :
Le changement de longueur provient nécessairement du mouvement orbital par la variabilité de la latitude en particulier.
Le changement d'orientation a pour origine la rotation du satellite et le mouvement orbital. De plus dans la rotation absolue du satellite il intervient la rotation du repère GXYZ (dit orbital) valant wðo autour de l'axe de tangage Y.
Toutes ces remarques pour constater que si on oublie le mouvement orbital, la seule variation de B provient de la rotation Wð du satellite par rapport au repère GXYZ, précisément la rotation qu'il faut annuler. Vu du satellite B tourne à la vitesse -Wð.
Faisons une figure qui montre la géométrie du contrôle.

Le lecteur montrera que seule la composante de la rotation transverse au champ magnétique (du moins son opposé) crée une vitesse sur B, et conclura que le couple généré sur le satellite s'oppose à cette composante transversale.
EMBED Equation.3
L'effet amortisseur de cette composante devient alors très clair.
Le lecteur curieux pourra également, par une méthode analogue montrer que la rotation orbitale de GXYZ (toutes choses restant égales par ailleurs) crée sur le satellite en orbite polaire (pour simplifier) un couple :
EMBED Equation.3
qui a pour conséquence de mettre en retard le satellite par rapport à la géocentrique ( retard sur le tangage) ce couple apparaît ainsi perturbateur.
Etude mathématique permettant de mettre en évidence le rôle amortisseur de la commande
Cette étude demande du soin car les divers repères jouent des rôles subtils.
R0 désignera le repère orbital (G, X, Y, Z) attaché au mouvement du centre d'inertie (Trajectoire ou orbite) du satellite mais indépendant du mouvement autour du centre d'inertie (Attitude);
S ou R désignera le repère (G, x, y, z) lié au satellite.
EMBED Equation.3est le vecteur rotation instantanée de R par rapport à R0. Il est clair qu'un des buts du contrôle est de maintenir ce vecteur à 0, avec des angles de roulis Fð, lacet Yð, tangage qð,ð nuls.Rappelons que pour de petits angles de décalage de R par rapport à R0, le vecteur rotation sur (x, y, z) ou (X, Y, Z) et B valent :
EMBED Equation.3
Mise en évidence de l'effet amortisseur du couple de commande sur les trois axes
Rappelons la formule de dérivation d'un vecteur dans deux repères :
EMBED Equation.3
ce calcul explicité avec la formule du double produit vectoriel donne :
 EMBED Equation.3 
Ce mode de calcul du couple fait apparaître deux termes de natures très différentes, le premier C1 qui dépend linéairement du vecteur Wð à contrôler par l'intermédiaire de la matrice A(t), qui elle ne dépend que du temps ( puisque sur l'orbite circulaire le champ ne dépend que de l'angle de rotation jð(t)=wðot ) et le deuxième terme ne dépendant que du temps. On pressent que ce second terme périodique par rapport au temps et vraisemblablement à une période double de la période orbitale puisse laisser une influence permanente.
L'idéal serait que la matrice A(t) possède des valeurs propres en général négatives sauf peut être en certains points de l'orbite où elles pourraient s'annuler exceptionnellement. Voyons cela de plus près.
Le lecteur exécutera les calculs qui montrent que dans la base du satellite on a : C1 = A(t) Wð avec :
 EMBED Equation.3 
Cette matrice symétrique possède des valeurs propres réelles.
Montons grâce à une analogie mécanique utilisant la matrice d'inertie, que ces valeurs propres ne sont jamais positives :
Considérons dans le repère satellite (G, x, y, z) le point M de masse k, de cordonnées (Bx, By, Bz) autant dire que GM = B. Alors A(t) n'est autre que l'opposé de la matrice d'inertie de M par rapport au repère (G, x, y, z). Cette remarque apporte toutes les conclusions souhaitées à savoir ;
Puisqu'une matrice d'inertie a des valeurs propres non négatives, A(t) a des valeurs propres non positives.
De toute évidence, mécaniquement, la direction de B est un axe principal et le plan normal à B est principal d'inertie. On en déduit que A(t) a une valeur propre nulle, ce qui est évident pour la direction de B, puisque aucun couple parallèle à B ne peut être créé. Naturellement les deux autres valeurs propres sont égales, et comme la trace de la matrice vaut - 2 B², on en déduit que les valeurs propres négatives sont égales à - B², résultat prévisible.
Autre point de vue plus mathématique et à la limite plus rapide :
Au vu des considérations précédentes nous pouvons calculer directement les valeurs propres de la matrice A(t)/k
 EMBED Equation.3 
le polynôme caractéristique que le lecteur calculera s'écrit :
 EMBED Equation.3 
ce qui confirme totalement le résultat précédent, d'une valeur propre nulle (non contrôle autour de l'axe du champ) et d'une racine double montrant un contrôle parfaitement symétrique de la composante de la rotation normale au champ.
Le gain de ce contrôle est - kB², démontrant de manière évidente que le couple est amortisseur de deux composantes de la rotation, mais comme le champ est variable il en résulte qu'à tour de rôle les composantes sont périodiquement amorties.
 EMBED Equation.3 
Etude du couple C2
Ce couple ne dépend que du temps et varie de manière périodique.
 EMBED Equation.3 
Comme une orbite héliosynchrone circulaire est proche d'une orbite polaire, nous pouvons essayer de voir ce que vaut ce couple pour une orbite polaire, le calcul est en effet plus simple.
Le lecteur vérifiera sur ce cas simplifié que dans les axes de R0 (G, X, Y, Z) :
 EMBED Equation.3 
et par le produit vectoriel :
 EMBED Equation.3 
Le couple est donc constant et sur l'axe de tangage du satellite, pour une orbite polaire et pour les hypothèses faites (champ dipolaire d'axe nord-sud).
Conséquences : il apparaît comme un couple perturbateur jouant le même rôle que le couple aérodynamique sur l'axe de tangage. Son effet sera donc un dépointage statique par rapport à la géocentrique. Il faudra donc en tenir compte pour la prise de vue.
Ordre de grandeur : Un calcul sur une orbite de rayon 6800 km donne un couple
 EMBED Equation.3 
Pour k=107, la valeur est de l'ordre de grandeur du couple aérodynamique. Nous ne savons pas aujourd'hui quels seront les gains k pratiqués.
En simulation, il pourrait être intéressant de vérifier sensiblement ce résultat en supprimant la perturbation aérodynamique.
Remarque finale : il ne faudra pas oublier de simuler le problème de la saturation éventuelle des magnétocoupleurs et également de prendre en compte la valeur réelle du champ B lors du calcul du couple C.
Commentaires sur la commande :
Après cette première étude théorique il apparaît que la variabilité de l'orientation du champ magnétique permet de contrôler tous les axes.
Aux passages équateur le champ est parallèle au roulis et le contrôle se fait sur les axes tangage et lacet.
Aux passages pôles le champ est radial entraînant l'impossibilité du contrôle lacet mais un contrôle actif sur le tangage et le roulis.
Il faudra donc s'attendre à une excellente efficacité sur le tangage partout contrôlé, et une moindre efficacité sur le lacet et le roulis, de plus, comme le gradient de gravité n'est pas efficace sur le lacet, il ne faudra pas s'étonner d'un contrôle "mou" sur le lacet.
Peut être faudrait-il "durcir' le contrôle lacet ? Mais comment, ce pourrait être un sujet de réflexion et d'étude.
NB : On rappelle cependant que les contraintes de vitesse angulaire sur le lacet sont moins strictes que sur les autres axes.
Etude énergétique
Oublions le mouvement orbital du satellite et ne prenons en compte que la vitesse de B créée par le mouvement autour du centre d'inertie.

Dans ces conditions, on a un moment magnétique :
EMBED Equation.3
Un couple C et la puissance P du couple qui valent :
EMBED Equation.3
La puissance est négative traduisant fort heureusement une perte d'énergie et la formule montre que cette perte est d'autant plus grande que la rotation transversale au champ magnétique est grande.
Il apparaît donc évidemment que la composante de la rotation portée par le champ ne peut être réduite, c'est en cela que la variabilité du champ le long de l'orbite est intéressante.
EMBED Equation.3
Etude mathématique d'une autre loi mettant en évidence le rôle amortisseur de la commande et prenant mieux en compte les inerties différentes du satellite
Les simulations montrent vite que l'amortissement suivant les axes ne se fait pas à la même vitesse. Disons mieux les constantes de temps des amortissements dépendent des moments d'inertie du satellite.
Notations
EMBED Equation.3Le vecteur champ magnétique terrestreEMBED Equation.3Son vecteur unitaireILa matrice d'inertie du satellite en axes satellites principaux évidemmentEMBED Equation.3L'opérateur matriciel associé au produit vectoriel ci-contreEMBED Equation.3Prise en compte des inerties
Le principe de base consiste toujours à utiliser la dérivée du champ magnétique terrestre, mais en adoptant un gain K matriciel prenant en compte les inerties satellite.
Le moment magnétique est alors choisi de telle manière que
EMBED Equation.3
avec K matrice de gain qui se calcule par :
EMBED Equation.3
Le couple C agissant sur le satellite se calcule classiquement :
EMBED Equation.3
Le lecteur familiarisé avec les calculs d'algèbre linéaire montrera que si on oublie le mouvement orbital pour ne s'intéresser qu'au mouvement autour du centre d'inertie on obtient alors un couple et une puissance :
EMBED Equation.3
Le lecteur curieux pourra montrer que sur l'espace orthogonal à B, la relation s'explicite sous la forme
EMBED Equation.3
Il est donc clair que les inerties sont prises en compte dans le gain sur chaque axe. On montrera aussi que la puissance dissipée (sous l'hypothèse du seul mouvement du centre d'inertie) est
EMBED Equation.3
Remarque sur la constante de temps
Un retour sur les équations du mouvement montre que si l'on ne considère que le mouvement autour du centre d'inertie on a :
 EMBED Equation.3 
mettant bien en évidence la constante de temps tð. Dans ces conditions l'amortisse ment sur les trois axes sera identique, ce qui en général résout le problème du lacet dans une stabilisation par gradient de gravité.
Remarque sur les simulations et le mouvement orbital
En marge des études précédentes, i23JKLMNPbc®ÀÞßà÷øùúûü
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