TD - Math93
... hypertexte de la table des matières vers l'énoncé et le corrigé de l'exercice
considéré. ...... Avant l'examen de probabilités, le professeur distribue 10
problèmes dont il affirme qu'il ...... 139,5 + 105 + 659,175 + 476,85 + 596,7 + 428,
4 ..... Si la page a la même probabilité d'être dactylographiée par l'une ou l'autre,
quelle est ...
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TDMathématiquesDECFSecond degré CORRECTION
Exercice 1 : Equations et inéquations (Cadeau !)
Résoudre dans EQ \o\al(I;\d\fo2()R) les équations suivantes :
x² - 5x = 0 Sa = {0 ;5} car x²-5x=x(x-5)
x² + 4 = 2x
x²-2x+4=0
Calculons le discriminant : =(-2)²-4SYMBOL 180 \f "Symbol"\h1SYMBOL 180 \f "Symbol"\h4=-12
Le discriminant étant négatif, cette équation n admet pas de solutions.
Donc Sb= SYMBOL 198 \f "Symbol"\h eq \o\al()
(x-1)(x² - 3x + 2) = 0
x 1=0 ou x² 3x + 2=0
Résolvons chacune de ces équations :
x 1=0 donc x=1
x² 3x + 2=0
=(-3)²-4SYMBOL 180 \f "Symbol"\h1SYMBOL 180 \f "Symbol"\h2=1
Il y a donc deux racines :
x1= eq \s\do1(\f(3+ eq \r(1);2)) x2= eq \s\do1(\f(3- eq \r(1);2))
x1= eq \s\do1(\f(4;2)) x2= eq \s\do1(\f(2;2))
x1=2 x2=1
Ainsi Sc={1 ;2}
eq \s\do1(\f(x² - 1;x² - 6x + 8 )) = 0
Recherchons tout d abord les valeurs interdites : x² 6x + 8 = 0
=(-6)² 4SYMBOL 180 \f "Symbol"\h1SYMBOL 180 \f "Symbol"\h8=4
x1= eq \s\do1(\f(6+ eq \r(4);2)) x2= eq \s\do1(\f(6- eq \r(4);2))
x1=4 x2=2
Les valeurs interdites sont donc 2 et 4.
Résolvons léquation.
Pour quune fraction soit égale à 0 il faut que son numérateur soit égal à 0 .
Résolvons donc :
x² - 1=0
(x-1) SYMBOL 180 \f "Symbol"\h (x+1)=0
Donc x=1 ou x=-1.
Ces valeurs sont bien différentes des valeurs interdites, elles sont donc bien solutions de :
eq \s\do1(\f(x² - 1;x² - 6x + 8 )) = 0.
Donc Sd={-1 ;1}
Résoudre dans EQ \o\al(I;\d\fo2()R) les inéquations suivantes :
x² + 2 < 0
x²+2 est positif comme somme dun carré et dun nombre positif.
Il ne peut être négatif, donc Sa = SYMBOL 198 \f "Symbol"\h
eq \s\do1(\f(x² - 1;x² - 6x + 8 )) > 0
Recherchons tout dabord les valeurs interdites : x² - 6x + 8 = 0
=(-6)²-4SYMBOL 180 \f "Symbol"\h1SYMBOL 180 \f "Symbol"\h8=4
x1= eq \s\do1(\f(6+ eq \r(4);2)) x2= eq \s\do1(\f(6- eq \r(4);2))
x1=4 x2=2
Les valeurs interdites sont donc 2 et 4.
Résolvons l inéquation en dressant un tableau de signes :
Donc Sb = ]- SYMBOL 165 \f "Symbol"\h ;-1[ SYMBOL 200 \f "Symbol"\h ]1 ;2[ SYMBOL 200 \f "Symbol"\h ]4 ; + SYMBOL 165 \f "Symbol"\h[
x3 + 2x² < -x
x3 + 2x² + x < 0
x (x² + 2x + 1) < 0
x(x + 1)² < 0
Nous allons dresser un tableau de signes où vont figurer x et (x+1)²:
Donc Sc = ]- SYMBOL 165 \f "Symbol"\h ; -1[ SYMBOL 200 \f "Symbol"\h ]-1 ;0[
Discutez selon les valeurs du réel m du NOMBRE de solutions de léquation : x² - m.x + 2 = 0
Cette équation a ses coefficients qui dépendent de m, c est pourquoi nous la noterons E(m).
Calculons le discriminant de cette équation. Ce discriminant va dépendre de la valeur de m, c est pourquoi nous le notons (m) : On a (m) = m² - 8 = (m - eq \r(8))(m + eq \r(8)) .
Etudions le signe du discriminant (m) en dressant son tableau de signes :
Si m= eq \r(8) ou m=- eq \r(8) alors (m)=0, donc l équation E(m) a une solution.
Si m SYMBOL 206 \f "Symbol"\h ]- eq \r(8) ; eq \r(8)[ alors (m)0, donc léquation E(m) admet deux solutions distinctes.
Exercice 2 : Equation bicarrée
Résoudre dans EQ \o\al(I;\d\fo2()R) léquation suivante : - 4x4 + 13 x² - 3 = 0 (1)
Posons le changement de variable suivant : X=x².
Ainsi, nous obtenons léquation : -4X² + 13X - 3 = 0 (2)
= 13² - 4 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h (-4) SYMBOL 180 \f "Symbol"\h(-3) = 121
L équation (2) a donc deux solutions :
X1 = eq \s\do1(\f(-13 - eq \r(121);2SYMBOL 180 \f "Symbol"\h(-4) )) et X2 = eq \s\do1(\f(-13 + eq \r(121);2SYMBOL 180 \f "Symbol"\h(-4)))
X1 = eq \s\do1(\f(-13 -11;-8)) et X2= eq \s\do1(\f(-13+11;-8))
X1 = 3 et X2= eq \s\do1(\f(1;4))
Déduisons en maintenant la résolution de léquation (1) :
x²=3 ou x² = eq \s\do1(\f(1;4))
x= eq \r(3) ou x= - eq \r(3) ou x= eq \s\do1(\f(1;2 )) ou x= - eq \s\do1(\f(1;2))
Donc : S = { - eq \s\do1(\f(1;2)) ; eq \s\do1(\f(1;2)) ; eq \r(3) ; - eq \r(3)}
Exercice 3 : Intersection de deux courbes
On considère la fonction polynôme P définie sur EQ \o\al(I;\d\fo2()R) par P(x) = 4x3 + 4x² - 9x + 1
Etude des racines de P(x)
( =1 car de P(1) = 0
1 est une racine de P, donc P est factorisable par (x1) :
P(x) = (x-1).Q(x).
P étant un polynôme de degré 3 et (x-1) un polynôme de degré 1, Q est donc un polynôme de degré 2 donc de la forme : Q(x)=ax²+bx+c.
Ainsi : P(x) = (x1) . (ax²+bx+c)
Développons cette expression :
P(x)= ax3 + bx²+ cx ax² bxc
P(x)= ax3 + (b a)x²+ (c b)x c
Identifions ces coefficients avec ceux de P:
a = 4
b a = 4
c b = -9
- c = 1
Donc : a = 4 ; b = 8 ; c = -1.
P(x) = (x - 1). (4x² + 8x 1)
(x-1) . (4x² + 8x - 1) = 0
Un produit est nul si lun des facteurs est nul :
x-1 = 0 ou 4x² + 8x 1 = 0
La première équation a pour solution : x=1.
Résolvons la seconde : = 8² - 4SYMBOL 180 \f "Symbol"\h4SYMBOL 180 \f "Symbol"\h(-1) = 80
Il y a dons deux racines :
x1= eq \s\do1(\f(-8- eq \r(80);2SYMBOL 180 \f "Symbol"\h4)) et x2= eq \s\do1(\f(-8 + eq \r(80);2SYMBOL 180 \f "Symbol"\h4))
x1= eq \s\do1(\f(-2 eq \r(5);2 )) et x2= eq \s\do1(\f(-2 eq \r(5);2 ))
Léquation P(x) = 0 a donc pour solutions S = {1 ; eq \s\do1(\f(-2 + eq \r(5);2 )); eq \s\do1(\f(-2 - eq \r(5);2 )) EMBED Equation.3 }
Puis dresser le tableau de signe de P(x). x2 = eq \s\do1(\f(-2 + eq \r(5);2 )) SYMBOL 187 \f "Symbol"\h 0,118 et x1 = eq \s\do1(\f(-2 - eq \r(5);2 )) SYMBOL 187 \f "Symbol"\h -2.118
x- SYMBOL 165 \f "Symbol"\h x1 x2 1 + SYMBOL 165 \f "Symbol"\hx1
+4x² + 8x 1
+
++P(x)
+
+
Interprétation graphique Les solutions de P(x)=0 sont les abscisses des points dintersection de CP avec laxe (Ox) et le signe de P(x) sobtient en regardant sur le graphique les abscisses des points de CP qui sont au dessus de laxe (Ox) pour P(x)> 0 ou au dessous de (Ox) pour P(x) *B*\phÿ%hÌ*æhÌ*æ0J56>*B*\phÿ hÌ*æhóNhÌ*æh 6º6 hk46hÌ*æh 6º5hÌ*æhï15 hÌ*æh 6ºhÌ*æh 6º5CJaJ"óóç-ó¹kd$$IfFÖÖFÿnÚ#Ú&F Ö
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gdÌ*æ note que x est un facteur commun à tous les termes, après factorisation on a donc : x(4x² + 3x 6) = 0 .
Un produit est nul si l un des facteurs est nul, donc :
x=0 ou 4x² + 3x 6 = 0.
Résolvons la deuxième équation : = 3²-4SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 4SYMBOL 180 \f "Symbol"\h(-6) = 105.
Cette deuxième équation a donc deux solutions distinctes : x1= eq \s\do1(\f(-3- eq \r(105);8 )) et x2 = eq \s\do1(\f(-3- eq \r(105);8)).
Ainsi, léquation P(x) = f(x) a trois solutions :
S = {0 ; eq \s\do1(\f(-3 + eq \r(105);8 )); eq \s\do1(\f(-3 - eq \r(105);8 ))} .
On donne ensuite une approximation des ordonnées : f( eq \s\do1(\f(-3 + eq \r(105);8 ))) SYMBOL 187 \f "Symbol"\h -0.897 ; f( eq \s\do1(\f(-3 - eq \r(105);8 )) ) SYMBOL 187 \f "Symbol"\h 8.709 et f(0)=1.
Exercice 4 : Equations symétrique de degré 4 .
(E) désigne léquation : x4 - 4x3 + 2x² - 4x + 1 = 0.
On vérifie facilement que 0 nest pas solution de (E).
Démontrer que si a est solution de (E) alors eq \s\do1(\f(1;a )) est solution de (E).
Supposons que a est un réel solution de (E), quen est-il de eq \s\do1(\f(1;a ))?
(1/a)4 4SYMBOL 180 \f "Symbol"\h(1/a)3 +2SYMBOL 180 \f "Symbol"\h(1/a)24SYMBOL 180 \f "Symbol"\h(1/a)+1= eq \s\do1(\f(1;a4 )) 4. eq \s\do1(\f(1;a3)) + 2. eq \s\do1(\f(1;a2)) 4. eq \s\do1(\f(1;a)) +1
= eq \s\do1(\f(1-4a+2a²-4a3+a4;a4))
Or, nous savons que a est solution de (E), donc : a4 4a3 + 2a² - 4a + 1 = 0. Ainsi, le numérateur de la fraction précédente est égal à 0, donc nous avons bien :
(1/a)4 4SYMBOL 180 \f "Symbol"\h(1/a)3 +2SYMBOL 180 \f "Symbol"\h(1/a)24SYMBOL 180 \f "Symbol"\h(1/a)+1=0.
Donc eq \s\do1(\f(1;a )) est bien une solution de (E) .
Montrer que léquation (E) est équivalente à léquation (E): x² - 4x + 2 eq \s\do1(\f(4;x)) + eq \s\do1(\f(1;x²)) = 0.
Nous savons que 0 nest pas une solution de (E), ainsi tout réel x solution de (E) est différent de 0.
Donc (E) équivaut à : eq \s\do1(\f(x4 - 4x3 + 2x² - 4x + 1;x² ))= 0.
Après simplification, on obtient : x² - 4x + 2 eq \s\do1(\f(4;x)) + eq \s\do1(\f(1;x²)) = 0.
Donc (E) équivaut à (E).
Calculer eq \b(x + eq \s\do1(\f(1;x)) )²
eq \b(x + eq \s\do1(\f(1;x)) )² = x²+2.x. eq \s\do1(\f(1;x)) + eq \s\do1(\f(1;x² )) = x² +2 + eq \s\do1(\f(1;x² ))
Puis montrer quen posant X = eq \b(x + eq \s\do1(\f(1;x)) ) léquation (E) se ramène à une équation du second degré.
(E): x² - 4x + 2 eq \s\do1(\f(4;x)) + eq \s\do1(\f(1;x²)) = 0
(E): x² + 2+ eq \s\do1(\f(1;x²)) 4x eq \s\do1(\f(4;x)) = 0
(E): eq \b(x + eq \s\do1(\f(1;x)) )² 4.(x + eq \s\do1(\f(1;x )))= 0
M. Duffaud.
TD Equations second degré - Correction Page PAGE 2 sur NUMPAGES 6
x
x² -1
x² -6x + 8
eq \s\do1(\f(x² - 1;x² - 6x + 8 ))
-SYMBOL 165 \f "Symbol"\h -1 1 2 4 +SYMBOL 165 \f "Symbol"\h
0
0
0
0
+
+
-
+
+
+
+
+
-
+
+
+
+
-
-
0
0
x
x
(x+1)²
x (x+1)²
-SYMBOL 165 \f "Symbol"\h -1 0 +SYMBOL 165 \f "Symbol"\h
0
0
+
+
+
+
+
0
0
- SYMBOL 165 \f "Symbol"\h - eq \r(8) eq \r(8) +SYMBOL 165 \f "Symbol"\h
m
m²-8
0
0
+
+
0
0
0
0
0
0
x
f
-SYMBOL 165 \f "Symbol"\h 3/2 +ssss s!s&s's)s*s=s>sIsJsOsPsQsssss©sªs¯s°s²s³sËsÌsØsÙsìsísøsùsþsÿsttt t-t.t7t8t:tçÓçÓçÓçÓçÓçÓçÓçÓȸȸȸȸȸȸȸȸȸȸȸȸȰ{"hÌ*æhÌ*æ0J56B*\phÿ hÌ*æ0J56>*B*\phÿ%hÌ*æhÌ*æ0J56>*B*\phÿhÌ*æB* ph jhèvhÌ*æB* UphhèvhÌ*æB* ph&hèvhÌ*æB* ehphrÊÿ/jhèvhÌ*æB* UehphrÊÿ-:t;t^t_tbtzt{t|ttttÉtÌtßtàtñtôtütýtuuu$u'u(u)ufugu{uïÝʾ´©´©´¾Â¾¡¾Â¾¾ÂzmYI hë¾hÌ*æ6B* \]ph'jhë¾hÌ*æ6B* U\]phh½P3hÌ*æB* \ph h\ZìhÌ*æ hÌ*æ5h/}°hÌ*æ6\] jh/}°hÌ*æ6U\]hû:?hÌ*æ5h/}°hÌ*æ6H*]h/}°hÌ*æ6]hÌ*æhì9ËhÌ*æ5%hÌ*æhÌ*æ0J56>*B*\phÿ"hÌ*æhÌ*æ0J6>*B*\phÿ hÌ*æhÌ*æ0J6B*\phÿ {u|u~uuuuu¡u¢u§u¨u«u¬uÄuÅuÊuËuÍuÎuæuçuïuðuvvvv v
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