livret 52 bis
Le cours se limite aux concepts importants en relation avec le sujet. ......
Personnel de cabine. No. Nom. Prénom. 1072. Feller. Nathalie. 1014. Pinto ......
exemple le sexe (masculin/féminin), le résultat d'un examen (Admin/Ajourné/
Ecarté) etc.
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F
ormation
O
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A
D
istance
LIVRET 52 BIS :
MATHEMATIQUES FINANCIERES II
LES ANNUITES
INTRODUCTION :
Exemple 1 : Une personne veut acquérir une maison pour 60000000 DH, pour cela, elle place annuellement au CIH une de 5000000 DH.
But : Constituer un capital
Versements : annuels et constants
Période : année
Exemple 2 : la personne a une dette de 6000000 DH. Pour rembourser cette dette, elle verse mensuellement une somme de 1500 DH.
But : Remboursement de dette
Versements : mensuels constants
Période : mois
Principe : On appelle annuités, des versements réguliers et constants effectués à des intervalles de temps constants. On distingue :
Les annuités de capitalisation ou annuités de placement, dont lobjectif est de constituer un capital
Les annuités de remboursement ou damortissement, dont lobjectif est de rembourser une dette
Les versements peuvent être effectués à la fin de période : cest le cas des annuités de remboursement où le 1er remboursement intervient à la fin de la première période (on parle dannuité de fin de période).
Comme elle peuvent être versés en début de période : cest le cas généralement, pour les annuités de placement, dès la signature du contrat, un premier versement est effectué.
I - Les annuités de fin de période
La valeur acquise des annuités de fin de période
1° - Exemple : Une personne verse annuellement 1000 DH à la BMCE pendant 5 ans.
Quelle est la somme retirée au moment du dernier versement (taux 10%)
Schéma linéaire
1 000 1 000 1 000 1 000 1000 annuités
0 1 2 3 4 5 périodes
Valeur acquise ?
Va = 100 (1,1)4 + 1000 (1,1)3 + 1000 (1,1)² + 1000 (,1) + 1000
Va = 1000 + 1000 (1,1) + 1000 (1,1)² + 1000 (1,1)3 + 1000 (1,1)4
Suite géométrique
raison (q = 1+ t ) = 1,10
1er terme (a) = 1000 DH
nbre de termes = 5 termes
Somme des termes dune suite géométrique
qn - 1
S = a
q - 1
(1,10)5 - 1
S = 1000
1,10 - 1
La valeur acquise après n période de versement sexprimera par la formule :
(1 + t)n - 1
Va = a
t
(1+ t)² - 1
t est le résultat de lintersection de la ligne de n et de la colonne de t qui figurent
dans la table financière n° 3 daprès la T.T n° 3 on a
Va = 1000 x 6,105100
Va = 6105,10
Application :
a - Recherche de lannuité
Quel doit être le montant de chacune des 20 annuités qui permettraient de constituer au moment du dernier versement un capital de 100000 DH au taux de 11%
Va = 100000 t = 11% n = 20 a = ?
(1 + t )n - 1
Va = a
t Va x t
ou a =
(1 + t)n - 1
daprès la T.F N° 3
(1,11)20 - 1
100000 = a x
0,11
100 000 = a x 64, 202832
a = 100 000
64,202832
a = 1557,563
daprès la T.F. N° 5
Il est possible dobtenir la valeur de
t
en lisant dans la T.F. n° = 5
(1+t)n - 1
t
la valeur de pour le temps est le taux
1-(1+t)-n
donnés et en retranchant (t) on obtient.
t t
- t =
1 - (1 + t)-n (1 + t)n - 1
a = 100 000 x ( 0,11 - 0,11)
1-(1,11)-20
a = 100 000 x (0,1 255756 - 0,11)
a = 100 000 x 0,0 155756 = 1557,56 dh
Recherche de n
Combien dannuités constantes de 10 000 dh faut - il verser en fin de période, pour obtenir par capitalisation au taux de 7 % un capital de 150 000 dh ?
Solution
V = 150 000 n ? t = 7 % a = 10 000
V = a (1 + t)n - 1 150 000 = 10 000 (1,07)n - 1
0,07
t
15 = (1,07) - 1
0,07
T.F. n° = 3 donne
(1,07)10 - 1 = 13,816448
0,07
(1,07)11 - 1 = 15,783593
0,07
Le nombre théorique dannuités est compris entre dix et onze, sous le forme posée, le problème ne comporte pas de solution, nétant obligatoirement entier.
Il faut envisager soit de verser 10 annuités supérieurs à 10 000 dh, soit de verser onze annuités inférieurs à 10 000 dh.
recherche du taux
Sachant que 10 annuités constantes de 10 000 dh chacune permettant de constituer un capital de 151929,29 dh. Calculer le taux dintérêt correspondant à ce placement.
V = a (1 + t) - 1
t
10
151929,29 = 10 000 (1+t) - 1
t
10
(1 + t) - 1 = 151929,29 = 15,192929
t 10 000
à laide de la T.F n° = 3 t = 9 %
Valeur actuelle des annuités de fin de période
1° Principe
Connaissant la valeur acquise des annuités de fin de période, déterminer leur valeur actuelle un an avant le 1er versement.
1 2 3 n périodes
0 a a a a a annuités
(V actuelle) V0 = Va (1 + t)-n
n
V0 = a (1 + t) - 1 (1 + t)-n
t
-n -n
V = a 1 - (1 + t) avec 1 - (1 + t) dans TFn°4
T T
2°) Application
recherche de a
-n
V0 = a 1 - (1 + t) a = V x t
t
1 - (1 + t)-n
T.F. n° = 5
Exemple : Un fond de commerce est acheté à 300 000 dh payable par 12 annuités constantes de fin dannée au taux de 10 %
Quel doit être le montant de chaque annuité ?
a = 300 000 x 0,10
1 - (1,10)-12
= 300 000 x 0,146763
a = 44028,9
recherche du taux
Une dette de 450 000 dh doit être remboursée par cinq versement annuel de 125 000 dh chacun. Le 1er versement ayant lieu dans un an. Calculer le taux dintérêts.
Vo = a 1 - (1 + t)-n
t
450 000 = 125 000 1 - (1 + t)-5
t
3,6 = 1 - (1 + t)-5
t
daprès la T.F. n° 4 on a
Interpolation linéaire
3,5 82562 < 3,6 < 3,6047762
12,25 < t < 12
t = 12,05
recherche du nombre dannuités (n)
Combien faut - il verser dannuités de 18500 dh pour obtenir un an avant le 1er versement la valeur de 98000 dh au taux de 10 %
980 000 = a 1 - (1 + t)-n
t
980 000 = 18500 1 - (1 ,10)-n
0,10
5, 2972973 = 1 - (1,10)-n
0,10
daprès la T.F. n° 4
4,868419 < 5,2972973 < 5,334926
7 < n < 8
on a 2 solutions :
Solution n°1 : le nombre dannuité est 7
versement complémentaire
980 000 - (18500 x 4,868419)
980 000 - 90065,75150 - 7934,2485
Solution n° 2 : changement de lannuité
n = 7
980 000 = a x 4,868419
a = 201297,3821
n = 8
980 000 = a x 5,334926
a = 18369,5144 dh
II Les annuités de début de période
A - Valeur acquise des annuités de début de période (Va')
1° exemple :
Soit une suite de 5 annuités de début de période de 10 000 dh chacune. Calculer sa valeur, une période après le dernier versement taux 12 % lan.
0 1 2 3 4 5 périodes
10000 10000 1 0000 10000 1 0000 va annuités
Va = 10000 (1 + t)5 + 10000 (1 + t)4 + 10000 (1 + t)3 + 10000 (1 + t)2 + 10000 (1 + t)1
Va = 10000 (1 + t)1 + 10000 (1 + t)2 + 10000 (1 + t)3 + 10000 (1 + t)4 + 10000 (1 + t)5
prog géométrique
1er terme = 10000 (1 + t)
n = 5
raison (1 + t)
n
S = a q - 1 = 10000 (1 + t) (1 + t )5 - 1
q - 1 t
la valeur acquise (Va )des annuités de début de période sexprimera par la formule.
n
Va' = a (1 + t) (1 + t) - 1
t
T.F n° 3
5
Va' = 10000 (1,12) (1,12) - 1 = 71151,89 dh
0,12
2° Application
Application n° 1 : Combien faut-il verser dannuités annuelles de 9531,69 dh chacune, pour constituer un an après le dernier versement, en capital de 157737,41 dh taux 12 % lan.
n
Va = a (1 + t) (1 + t) - 1 = 9531,69(1,12) (1,12)1 - 1 = 157737,41
t 0,12
(1,12)n - 1 = 14,77565607 daprès la T.F. n° 3
0,12
n = 9
Application n°2
15 versements annuel sont effectués le 1er janvier de chaque année, pendant 15 ans, au taux de 11 % lan. Le capital constitué, un an après le dernier versement est de 248234,67 dh. Calculer le montant de chaque versement.
Va = a (1 + t) (1 + t)n - 1
t
248234,67 = a (1,11) (1,11)15 - 1
0,11
daprès la T.F. n° 3 (1,11)15 - 1 = 34,405359
0,11
a = 7215 = 6500
1,11
Application n°3
Le versement de 10 annuités annuelles constantes de début de période de 10000 dh chacune, a permis de constituer , à la fin de la 10ème année, un capital de 170 000 dh. Quel est le taux de capitalisation utilisé ?
170 000 = 10 000 (1 + t) (1 + t)10 - 1
t
17 = (1 + t) (1 + t)10 - 1 = (1 + t)11 - (1 + t) = (1 + t)11 - 1 - t
t t t t
17 = (1+ t)11 - 1 - 1 17 + 1 = (1 + t)11 - 1 = 18
t t
la T.F. n° 3 donne 9,25 < t < 9,50
t = 9,46 soit 9,46 %
B - Valeur actuelle des annuités de début de période Vo'
1° Principe :
Connaissant la valeur acquise (Va) de n annuités de début de période, placées au taux t, calculer leur valeur V0 au moment du 1er versement.
Va' = a (1 + t) (1 + t)n - 1
t
Vo = Va (1 + t)-n = a (1 + t) (1 + t)-n - 1 x (1 + t)-n
t
Vo = Va (1 + t)-n = a (1 + t) 1 - (1 + t)-n
t
Vo = a (1 + t) 1 - (1 + t)-n
t
2° exemple :
Combien faut - il verser dannuités annuelles constantes de 5000 dh chacune, pour avoir une valeur de 20 186, 74 dh au moment du 1er versement, au taux de 12 % lan.
V0 = a (1 + t) 1 - (1 + t)-n
t
20 186,74 dh = 5000 (1,12) x 1 - (1,12)-n
0,12
20186,74 = 5600 1 - (1,12)-n
0,12
3,604775 = 1 - (1,12)-n
0,12
Daprès la table financière n° 4 on a n = 5 soit 5 versements.
3° Application
Calculer à la date du 01-01-93 la valeur actuelle dune suite dannuités constantes de 3000 dh chacune. La 1ere étant versée le 01 - 01 - 93, la dernière le 01-01-97 taux dactualisation 12 % lan.
V0 = 3000 (1,12) x 1 - (1,12)-5
0,12
V0 = 3000 x 4,037349346626
= 12112 DH
Exercices d'application
Exercice 1
Calculer, dans chacun des cas suivants, la valeure acquise par une suite de versement périodiques et constantes, immédiatement après le dernier versement:
18 annuités égales chacune à 12 500, taux annuel de capitalisation : 9,60%
12 semestrialités égales chacune à 4500 dh. Taux semestriel :4%
16 trimestrialités égales chacune à 2800 dh .
Exercice 2
Déterminer la valeur acquise par une suite de 10 annuités constantes de 3800 dh chacune au taux annuel de 10,40 %
au moment du dernier versement ;
2 ans après le dernier versement ;
3 ans et 6 mois après le dernier versement ;
1 an et 125 j après le dernier versement (année comptée pour 365 j)
Exercice 3 :
Déterminer, dans chacun des cas suivants, la valeur actuelle dune suite de versements constants une période avant le 1er versement :
- 8 annuités égales chacune à 6920 dh, taux annuel 9,25 %
- 14 semestrialités égales chacune à 3780 dh, taux annuel 6,50 %
- 12 trimestrialités égales chacune à 8100 dh ; taux semestriel 6 %
Corrigé :
Ex (1) : valeur acquise, au moment du dernier versement par :
- 18 annuités de 12500 dh taux annuel : 3,60
V18 = 12500 x (1,096)18 - 1 = 12500 x 43,82321611 = 547790,20 dh
0,096
- 12 semestrialités de 4500 dh taux semestriel 4 %
V12 = 4500 x (1,04)12 - 1 = 4500 x 15,0258 = 67616, 10 dh
0,04
- 16 trimestrialités de 2800 dh taux trimestriel 2,25 %
V16 = 2800 x (1,0225)16 - 1 = 2800 x 19,005398 = 53215,11 dh
0,0225
- 36 mensualités de 1200 dh taux annuel 12 %
taux mensuel équivalent (1,12)1/12 - 1 = 0,009488793
V36 = 1200 x (1,009488793)36 - 1 = 1200 x 42,67434277 = 51209,21 dh
0,009488793
Ex (2)
V10 = 3800 (1,104)10 - 1 = 3800 x 16,24633476 = 61736 dh
0,104
V13 (2 ans après le dernier versement : 61736 x (1,104)2 = 61736 x 1,218816 = 75244,82 dh
V13 1/2 (trois ans et 6 mois après le dernier versement) :
V10 x (1 + i)3,5 = 61736 x (1,104)3,5 = 61736 x 1,4138123 = 87283,11 dh
V11 + 125 (1 an et 125 j après le dernier versement) :
365
V10 x (1 + i)1 + 125 = 61736 x (1,104)1 + 125/365
365 = 61736 x (1,104) 490/365
= 61736 x 1,1420483
= 70505,49 dh
Ex (3) :
Valeur actuelle, une période avant le premier versement, de :
- 8 annuités de 6920 dh taux annuel 9,25 %
V0 = 6920 x 1 - (1,0925)-8 = 6920 x 5,4837616 = 37947,63 dh
0,0925
- 14 semestrialités égales de 3780 dh taux annuel 6,50 %
taux semestriel équivalent : (1,065)1/2 - 1 = 0,031988372
V0 = 3780 x 1 - (1,031988372)-14 = 3780 x 11,14448 = 42126,13
0,031988372
- 12 trimestrialités égales chacune à 8100 dh ; taux semestriel 6 %
taux trimestriel équivalent (1,06) - 1 = 0,029563
V0 = 8100 x 1 - (1,029563)-12 = 8100 x 9,980020431 = 80838,16 dh
0,029563
DEVOIR
Exercice 1 :
L'achat d'un immeuble d'un montant de 5000000 est réglé comme suit :
2000.000 comptant
3000.000 payable au moyen de 10 échéances annuelles constantes, la première intervenant un après l'achat.
Taux 8,5 %
Immédiatement après paiement de la troisième de ces annuités l'acquéreur demande à se libérer au moyen de quatre annuités constantes, la première intervenant dans un an
Taux d'intérêt restant 8,5 %
- Calculez le montant de chacune de ces annuités
Exercice 2 :
Une société contracte un emprunt de 2000.000 remboursables au moyen de 20 annuités constantes.
Taux d'intérêt 10%.
Lors du paiement de la 13ème annuités le prêteur consent une réduction de 10% sur le montant des intérêts compris dans cette 13ème annuité (réduction limitée aux seuls intérêts de cette seule 13ème annuité).
- Calculez le montant de la 13ème annuité après réduction.
Exercice 3 :
Un emprunt de 1000.000 est contracté le 15 novembre 92, il est remboursable au moyen de trimestrialités constants de chacune 8376,66 la première versée le 15 février 93.
Dans le tableau d'amortissement dressé à cette occasion l'amortissement afférent à la dernière triméstrialité s'élève à 8132,68
- Déterminez la date de paiement de dernière triméstrialité.
CORRIGE :
EX 1:
Cette résiduelle après paiement de 3 annuités :
10 3
3000 000 x 1,085 - 1.085 = 2340302,7
10
1,085 -1
Montant de chacune des annuités nouvelles :
2340302,7 X 0,085 = 714466,3
-4
1-0,085
EX 2 :
Annuité constante : 2 000 000 x 0,10 = 234920
-20
1-1,10
Ier amrt : 234920 - (2 000 000 x 0,10) = 34920
Amrt contenu dans la 13 ème annuité :
12
34920 x1,10 = 109593,90
Intérêt contenu dans la 13 ème annuité :
234920 109 593,90 = 125 326,10
Montant de la 13 ème annuité, après réduction
234920 125326,10 x 10/100 = 222 387 ,39
EX 3:
Désignons par (i) le taux trimestriel cherché :
1+i = a =8376,66 = 1,03 dou i = 0,03
8132,68
Si n est le nombre de trimestrialités
8376,66 = 100 000 0,03
-n 0,03
1-1,03 -n 0,837666
1-1,03
La lecture de la table financière 5, colonne 3% , montre que n = 15
Date de paiement de la 15 éme et dernière trimestrialité ; 15 août 1996 .
LEMPRUNT INDIVIS
DEFINITION
Lemprunt indivis ou ordinaire se caractérise par le fait que lemprunteur (un particulier ou une entreprise) sadresse à un seul créancier.
Lemprunt indivis soppose donc à lemprunt obligatoire par lequel lemprunteur (une grande entreprise ou lEtat) recourt à une multitude de créanciers.
LES FORMULES DE REMBOURSEMENT
Les emprunts remboursables par amortissements constants
Selon cette formule, le montant de lemprunt indivis est divisé en parts égales (les amortissements) en fonction du nombre de période de remboursement. A la fin de chaque période, lemprunteur verse au prêteur une partie de la dette (amortissement) et un intérêt calculé au taux prévu sur le montant encore dû (non remboursé au prêteur).
La somme de ces 2 éléments (amortissement-intérêt) forme « lannuité de remboursement »
Exemple :
Une entreprise importatrice emprunte la somme de 1000 000 dh à la B.M.C.E. en vue de faire face aux surcoûts apparus sur les marchés dapprovisionnements.
Cet emprunt est remboursable en quatre fractions égales, payables à la fin de chacune de quatre années : taux de lemprunt 12 % lan.
Tableau damortissement de lemprunt
Périodescapital en début de période1Intérêt de la période
2Amortissement
3Annuité
4Capital en fin de période
5
1
2
3
4
1000 000
750 000
500 000
250 000
120 000
90 000
60 000
30 000
250 000
250 000
250 000
250 000
370 000
340 000
310 000
280 000
750 000
500 000
250 000
0
300 000
1000 000
1300 000
4 = 2 + 3 5 = 1 - 3
Généralisation
Soit :
a = annuité
D = amortissement
I = intérêt
k = rang
an =Dn + Dn x i
an = Dn (1 + i)
La somme des amortissements est égale au montant du capital emprunté
V0 = D1 + D2 + .....Dn
La somme des annuités est égale à la somme des amortissements augmentée de la somme des intérêts.
(a = (D + (I
ak+1 = ak - V0I (intérêt
r
Les annuités successives forment une progression arithmétique décroissante de raison - V0I
r
Vérification a3 = a2 - Amortissement x i
310 000 = 340 000 - 250 000 x 12 %
Les emprunts remboursables par annuités constantes
Selon cette formule de remboursement, ce sont les annuités (intérêts + amortissements) qui sont constantes.
Cest la formule la plus répondue au Maroc
1° Exemple :
Gardons lexemple précédent en supposant que les remboursements se font par annuités constantes.
Tableau damortissement de lemprunt
Périodescapital en début de période1Intérêt de la période
2Amortissement
3Annuité
4Capital en fin de période
5
1
2
3
4
1000 000
790 765,56
556 422,99
293 959,32
120 000
94 891,87
66 770,77
35 275,12
209 234,44
234 342,57
262 463,67
293 959,32
329 234,44
329 234,44
329 234,44
329 234,44
790 765,56
556 422,99
293 959,32
0,00
316 937,76
1000 000
1 316 937,76
4 lannuité est calculée à laide de la formule :
a = V0 i
1 - (1+i)-n
a = 1000 000 x 0,12 T.F n° = 5
(1,12)-4
a = 1000 000 x 0,3292 344
a = 329 234,44
3 les amortissements sont en progression géométrique de raison (1 + i)
V0 = D1 (1 + i)n - 1
i
1er terme D1 (1 + i)°
Dernier terme = D1 (1 + i)n
Pour construire le tableau damortissement on peut procéder de 2 manières différents :
on calcule dabord a (annuité constante). Pour la 1ère ligne, on commence par calculer lintérêt, par soustraction (a - I1)on obtient le 1er amortissement.
En multipliant à chaque fois par (1 + i) on obtient la colonne des amortissements.
Les emprunts remboursables en une seule fois
Selon cette formule, lemprunteur peut verser uniquement les intérêts à la fin de chaque période et payer la totalité et la somme empruntée à la fin de la dernière période. De même, il peut ne rien payer pendant toute la durée de lemprunt et verser la totalité des intérêts et le montant de la somme empruntée à la fin de la durée de lemprunt.
Ce système présente linconvénient dobliger lemprunteur à verser une somme très importante à la fin des n périodes. Généralement, lemprunteur est amené à effectuer le placement à la fin de chaque période, dans une banque ou une société de capitalisation, dannuités constantes (ou variables) à un taux t presque toujours différent du taux demprunt i
1° Exemple :
Soit un emprunt de 1000 000 dh, remboursable en une seule fois au bout de 5 ans taux 12 %
Hypothèse 1 : lemprunteur paie les intérêts au taux de 12 % à la fin de chaque année.
1 2 3 4 5 périodes
0 a 1 = Voi a2= Voi a3= Voi a4= Voi a5=Vo+ Vo x i
120000 120 000 120000 120 000 100000 +120000
Hypothèse 2 :
même modalités de paiement que dans lhypothèse 1, mais lemprunteur prend la précaution de déposer, à la fin de chaque année, en banque, une somme S telle que, compte tenu dune capitalisation au taux de 12 %, il puisse rembourser le capital emprunté. Déterminer S
Remboursement
1 2 3 4 5 Période
0 a1= Voi a2=Voi a3=Voi a4=Voi Voi+Voi
(100 000 x 0,12) 120 000 120 000 120 000 100 000+120 000
120.000 1 120 000
Placements
1 2 3 4 5
0 S S S S S
VO = S (1 + i)n - 1
i
1000 000 = S (1,12)5 - 1
0,12
1000 000 = S X 6,352847
S = 157409,73 dh
La capitalisation des sommes S constantes doit procurer la somme empruntée.
Hypothèse 3
même question si le taux de rémunération des dépôts est de 13,75 %, cest -à-dire supérieur au taux dintérêt à payer.
Placements
V0 = S (1 + i)n - 1
i
1000 000 = S (1,1375)5 - 1 S = 152 035,34 dh
0,1375
Hypothèse 4 :
Lemprunteur ne paie la totalité des intérêts quen fin de contrat et neffectue quun seul versement à la fin de la 5ème année.
Il place néanmoins, à la fin de chaque année, une somme S au taux de 12 %. Déterminer S permettant de faire face à ce remboursement unique.
Remboursements
0 1 2 3 4 5
n
a1=0 a2=0 a3=0 a4=0 a5=Vo(1+i) 5
a5=100 000 x (1,12)
a5=1762341,68dh
Placements
V0 ( 1 + i )n = S (1 + i)n - 1
i
S = V0 (1 + i)n i_______
(1 + i) - 1
S = 1762341,68 0,12
(1,12)5 - 1
S = 277409,73 dh
Hypothèse 5 :
même question que dans lhypothèse 4, si le taux de placement est de 13,75 %
Vo (1 + i) = S (1 + i)n - 1
i
1762341,68 = S (1,1375)5 - 1
0,1375
S = 267938,22 dh
Application 1 :
Dresser le tableau damortissement dun emprunt ordinaire de 420 000 dh souscrit le 20-06-97 et remboursable par 6 amortissements annuels constants. Le taux dintérêt est de 11 % le premier remboursement aura eu lieu le 19/06/98 .
Solution :
D1 = D2 = D3 = .......................D6 = 420 000 = 70 000
6
Périodescapital en début de périodeIntérêt de la périodeAmortissementAnnuitéCapital en fin de période19-06-98
19-06-99
19-06-2000
19-06-2001
19-06-2002
19-06-2003420 000
350 000
280 000
210 000
140 000
70 00046 200
38 500
30 800
23 100
15 400
7 70070 000
70 000
70 000
70 000
70 000
70 000116 200
108 500
100 800
93 100
85 400
77 700350 000
280 000
210 000
140 000
70 000
0
161 700
420 000
581 700
Application 2 :
Le fonctionnaire a emprunté 120 000 DH au CIH, remboursables en 120 mensualités au taux annuel de 15 %. Cet emprunt a été souscrit le 28/09/97 avec effet au 01-10-97. Le premier remboursement commencera fin octobre 97.
1° calculer le montant de la mensualité constante
2° Décomposer la 1ère mensualité en intérêt et en amortissement.
3° Après 60 mois de remboursement, le fonctionnaire, qui espère bénéficier dun rappel, souhaiterait rembourser la somme restant dûe en un seul versement, le contrat lui permettant de le faire. Quelle somme totale devra-t-il verser après avoir payé le 60° mensualité.
4° Ayant constaté que la somme restant due est encore importante, le fonctionnaire continue à acquitter ses mensualités pendant une année. Déterminer combien il lui restera à payer après cette année supplémentaire de remboursement en présentant le tableau damortissement concernant ces 12 mensualités. Que constatez-vous ?
Solution :
Puisque le taux dintérêt est annuel et le remboursement est mensuel, il est nécessaire de calculer le taux équivalent au taux annuel de 15 %
im = (1,15)1/12 - 1 im = 12 ( 1,15 - 1 im = 0,011714916
Calcul de mensualité constante (m)
m = V0 im
1 - (1+i )-n
m = 120 000 0,011714916
1 - (1,011714916)-120
m = 1867,38 dh
Décomposition de la 1ère mensualité
I1 = 120 000 x 0,011714916 = 1405,79 dh
D1 = m1 - I1
= 1867,38 - 1405,79 = 461,59 dh
ou bien à partir de la formule générale des amortissements
D1 = V0 im
(1 + im )n - 1
= 120 000 0,011714316
(1,011714916)120 - 1
D1 = 461,59 dh
Calcul du montant de lemprunt restant dû après le paiement de la 60° mensualité (V60 )
Cette somme est égale à la valeur actuelle des mensualités restantes. Soit
V60 = m 1 - (1 + i )-60
im
V60 = 1867,38 1 - (1,011714916)-60
0,011714916
V60 = 80150,99 dh
Vérification à partir du 1er amortissement :
V60 = V0 - capital remboursé à la fin de la 60° = mensualité
V60 = V0 - D1 x (1 + i m )60 - 1
im
V60 = 120 000 - (461,59 x (1,011714916)60 - 1(
0,011714916
= 120 000 - 39849,39 = 80150,99
Périodescapital en début de périodeIntérêt de la périodeAmortissementAnnuitéCapital en fin de périodeFin oc 2002
Fin nov. 2002
Fin D 2002
Fin Jan. 2003
F.Fév. 2003
M.2003
F.Av. 2003
F.Mai. 2003
F.Juin. 2003
F.Juillet. 2003
F.Août. 2003
F.Sep. 2003
80150,99
79222,57
78283,28
77332,98
76371,55
75398,86
74414,77
73419,15
72411,87
71392,79
70361,77
69318,67
938,96
928,09
917,08
905,95
894,69
883,29
871,76
860,10
848,30
836,36
824,28
812,06928,42
939,29
950,3
961,43
972,69
984,09
995,62
1007,28
1019,08
1031,02
1043,10
1055,321867,38
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"79222,57
78283,28
77332,98
76371,55
75398,86
74414,77
73419,15
72411,87
71392,79
70361,77
69318,67
68263,35
Le tableau a été construit en appliquant le taux mensuel à la somme restant dûe au début de chaque période, lamortissement de chaque période a été calculé par différence entre la mensualité et lintérêt, le restant dû final par différence entre le restant dû initial et lamortissement.
On constate que le fonctionnaire aura surtout à payer des intérêts pendant les 5 premières années (60/12 = 5 ans) puisque le remboursement principal moyen annuel sera de :
120 000 - 80151 = 7969,8 dh
5
Soit approximativement 8000 dh alors que , pendant le sixième année, il aura remboursé
80150,99 - 68263,35 = 11887,64 dh
Remarquons que, la toute 1ère année nont été remboursés que
461,59 x (1,011714916)12 - 1 = 5910 dh du principal
0,011714916
Application n° 3
Une entreprise emprunte à une banque le 01-04-1997 la somme de 750 000 dh à rembourser en une seule fois dans 4 ans au taux de 10 %. Le contrat demprunt stipule : « lemprunteur aura lobligation de payer les seuls intérêts à termes échus dont le 1er est au 01-04-98. Pour préparer le remboursement, cette Entreprise a décidé de placer une somme constante le 01-04 de chaque année de 1998 à 2001 au taux de 10,70 %
1-Calculer le montant de placement annuel.
Solution :
S = V0 i = 750 000 0,107
(1 + i)n - 1 (1,107)n - 1
S = 159948,10 dh
Exercices d'application
EXERCICES ET CORRIGES
Exercice 1 :
A quel taux dintérêt est consenti chacun des prêts suivants ?
Prêt de 39 000 DH remboursable par 6 annuités constantes (de fin dannée) de 8 949,44 DH
Prêt de 26 500 DH remboursable par 8 semestrialités constantes de 3 839 DH
Prêt de 48 150 DH remboursable par 10 trimestrialités constantes de 5 530 DH
Prêt de 2 775 DH remboursable par 14 mensualités constantes de 216,20 DH
Exercice 2 :
Afin de moderniser une partie de ses magasins, lentreprise SOCAB décidé de procéder à un investissement de 1,5 million de dh.
Le financement de ce projet sera réalisé de la manière suivante :
autofinancement à raison dun tiers ;
le reste par emprunt auprès dun établissement financier qui propose les deux formules suivantes :
Emprunt formule A :
- annuités constantes ;
- taux annuel : 15 %
- capital restant dû après le versement de la cinquième annuité : 667 923,82 DH
- la première annuité vient à échéance un an après le versement des fonds.
Calculer la durée de remboursement de lemprunt
Présenter la cinquième ligne du tableau damortissement de lemprunt.
II Emprunt formule B :
- semestrialités constantes ;
- taux annuel : 15 %
- différence entre le dernier et le premier amortissement semestriel : 65 554,93 DH ;
- la première semestrialité vient à échéance un semestre après le versement des fonds
Calculer le montant de la semestrialité
Déterminer la durée de remboursement de lemprunt.
Exercice 3 :
Une personne emprunte une certaine somme quelles sengage à rembourser par soixante mensualités, calculées au taux mensuel de 0,80 %
Sachant quimmédiatement après le paiement de la quarante-huitième mensualité, le capital restant dû sélève à 9 117,98 DH déterminer le montant de la mensualité assurant le service de lemprunt, puis le montant de lemprunt.
CORRIGES :
Exercice 1 :
Calcul du taux dintérêt
a) prêt de 39000 DH ; 6 annuités de 8949,44 DH ; taux annuel : x par dirhams
1- (1+ x)-6 1 - (1 +x)-6 39000
39000 = 8949,44 x = = 4,3578145
x x 8949,44
On ne peut calculer x que par approximations successives (et éventuellement une interpolation par parties proportionnelles).
0,09 4,4859185
0,01 x 4,3578145 0,128104
0,10 4,3552606 0,1306579
0,128104
x = 0,09 + 0,01 x 0,01306579 = 0,09948 soit 9,98 %
Taux annuel dintérêt : 9,98 %
1 - (1,0998)-6
Vérification : 8949,44 x = 39 000
0,0998
prêt de 26500 DH ; 8 semestrialités de 3839 DH ; taux semestriel : x par dirhams
1- (1 + x)-8 1 - (1 + )-8 26500
26500 = 3839 x = = 6,902839
x x 3839
0,03 7,019692
0,005 x 6,902839 0,116853
0,035 6,873955 0,145737
0,116853
x = 0,03 + 0,005 x = 0,034 soit 3,4 %
0,145737
1 - ( 1,034 )-8
Vérification : 3839 x = 26500
0,034
Taux semestriel : 3,4 %
Taux annuel proportionnel : 6,8 %
Taux annuel équivalent : (1,034)2 - 1 = 0,069156 soit 6,91 %
prêt de 48150 DH ; 10 trimestrialités de 5530 DH ; taux trimestriel : x par dirhams
1 - (1 + x )-10 1 - ( 1 + x )-10 48150
48150 = 5530 x = = 8,7070
x x 5530
0,025 8,752063
0,005 x 8,707052 0,045011
0,03 8,530202 0,221861
0,045011
x = 0,025 + (0,005 x ) = 0,026 soit 2,60 %
0,221861
1 - (1,026)-10
Vérification : 5530 x = 48150
0,026
Taux trimestriel : 2,60 %
Taux annuel proportionnel : 10,40 %
Taux annuel équivalent : (1,026)4 - 1 = 0,108126 soit 10,81
prêt de 2775 DH ; 14 mensualités de 216,20 DH taux mensuel : x par dirhams.
-14 -14
1 - ( 1 + x ) 1 - (1 + x) 2775
2775 = 216,20 x = = 12,835337
x x 216,20
0,01 13,003702
0,005 x 12,835337 0,168365
0,015 12,543381 0,460321
0,168365
x = 0,01 + (0,005 x ) = 0,0118 soit 1,18 %
0,460321
1 - (1,0118)-14
Vérification : 216,20 x = 2774,97 arrondis à 2775 DH
0,0118
Taux mensuel : 1,18 %
Taux annuel proportionnel : 0,0118 x 12 = 0,1416 soit 14,16 %
Taux annuel équivalent : (1,0118)12 - 1 = 0,15116 soit 15,11 %
Corrigé exercice : II
Entreprise SOCAB
Autofinancement : 500000 DH
Capital emprunté : 1000000 DH
I - Emprunt formule A
a - Capital restant du après le versement de la cinquième annuité : 667923,82 DH
- Capital remboursé après le versement de la cinquième annuité :
1000000 - 667923,82 = 332076,18 DH
Les annuités étant constantes, les amortissements forment une progression géométrique de raison (1,15) et de premier terme D1 .
Capital remboursé au bout de 5 ans = D1 + D2 + D3 + D4 + D5 (somme des cinq premiers amortissements).
(1,15)5 - 1
D1 x = 332076,18
0,15
332076,18
D1 = = 49252,06
674238125
Le capital emprunté (1000000) est la somme de n amortissements. Doù :
(1 + i )n - 1
V0 = D1 x
i
(1,15)n - 1
1000000 = 49252,06 x
0,15
(1,15) - 1 1000000
= = 20,30371928 soit n = 10
0,15 49252,06
Durée de remboursement de lemprunt : 10
2. La cinquième ligne du tableau damortissement comprend le cinquième amortissement
D5 = D1 x (1 + i)4 = 49252,06 x (1,15)4
= 49252,06 x 1,74900625 = 86142,16 DH
Capital restant dû au début de la cinquième année :
667923,82 + 86142,16 = 754065,98 DH
Intérêts : 754065,98 x 0,15 = 113109,90 DH
AnnéeCapital restant dûIntérêt AmortissementAnnuité
5754065,98113109,9086142,16199252,06
1 - (1 + i)-n
Vérification : V0 = a x
i
1 - (1,15)-10
199252,06 x = 199252,06 x 5,018768626 = 999999,99 soit 1000000 DH
0,15
II - Emprunt formule B
Taux semestriel équivalent au taux annuel 15 %
(1 + s)² = 1,15 doù s = (1,15)1/2 - 1 = 0,072380529
Soit S1 la première semestrialité
Le premier amortissement D1 est égal à :
D1 = S1 - l1 = S1 - 1000000 x 1,072380529 = S1 - 72380,529
La dernière semestrialité est égale à :
Sn = Dn + Dn s = Dn x (1,072380529)
Sn
doù D1 =
1,072380529
La différence entre le dernier amortissement (Dn) et le premier amortissement (D1) est égale à :
Sn
Dn - D1 = - (S1 - 72380,529) = 65.554,93
1,072380529
Les semestrialités étant constantes (Sn = S1 = S )
S x [1 - (1,072380529)-1 ]= 72380,529 - 65554,93 = 6825,599
6825,599
S = = 101127,19
1 - 0,932504809
Montant de la semestrialité : 101127,19 DH
1 - ( + s)-n 1 - (1,072380529)-n 1000000
2. V0 = S x soit = = 9,888537395 doù n = 18
s 0,072380529 101127,19
Durée de remboursement de lemprunt : 18 semestres, soit 9 ans.
Vérification :
Premier amortissement : 101127,19 - 72380,529 = 28746,66 DH
Dernier amortissement : 28746,66 x (1,072380529)17 = 94301,59 DH
La différence est bien de 65554,93 DH.
Exercice 3 :
V48 = ax X 1 - (1+ m)-12 valeur actuelle des douze mensualités non échues
m
a = 9117,98 x 0,008 = 799,92
1-(1,008)-12
V0 = a x 1 - (1 + m)-n = 799,92 x 1 - (1,008)-60 = 37 999,57 arrondis à 38 000 DH
m 0.008
DEVOIR
Exercice 1:
Un emprunt de 100000dh a été contracté. Durée de lamortissement 16 ans, taux : 9% .
Les 15 premières annuités sont égales chacune à 12000 dh, la 16 éme annuité est de montant différent, (lemprunt nest donc pas remboursable par annuité constante.
TAF :
Calculez le montant de la 16 éme annuité
Présentez les deux premières et la dernière ligne du tableau damortissement.
Calculez par deux procédés différents le montant de la dette encore vivante après paiement de la 11 éme annuité.
Exercice 2:
Un emprunt dun montant de 600000 est remboursable au moyen de 2 versements annuels à échéance respectives de 1 et 2 ans et dont les montants sont dans lordre : 300000 et 393453,75.
Présentez le tableau damortissement de cet emprunt.
Exercice 3 :
Un emprunt indivis dun montant initial de 800000 amortissable au moyen de 12 annuité constantes, taux dintérêt 9%.
Calculez par quatre procédés la dette résiduelle après paiement de 7 échéances.
Présentez la 8 éme ligne du tableau damortissement de cet emprunt.
Exercice 4:
Un emprunt est remboursable au moyen de 5 annuité, comprenant chacune intérêt et amortissement, dont les montants et les échéances sont les suivantes :
Montants : a1 = 4200 échéance : 1 an après le prêt
a2 = 4200 échéance : 2 an après le prêt
a3= 4500 échéance : 3 an après le prêt
a4= 5000 échéance : 4 an après le prêt
a5 = 5500 échéance : 5 an après le prêt
Lamortissement contenu dans la dernière annuité sélève à 5000.
T.A.F :Calculez le montant initial de lemprunt.
CORRIGE :
EX 1 :
Désignons par a16 la 16 ème annuité.
Appliquons la règle 2 . Egalité entre le montant de la dette et valeur actuelle des annuités.
-15 -16
100000 = 12000 1-1,09 + a16 1.09
0,09
100000 = (12000 x 8,060688) +0,25187 a16
On en tire a16 = 12989,81
EchéanceDetteIntérêtAmortissementAnnuité1100000900030001200029700087303270120001611917,261072,5511917,2612989,81
Le dernier amortissement (et la dernière dette) ont été calculés en effectuant le quotient :
12989,81/1,09
Premier procédé :Règle fondamentale n°3
D11 = 100000 x 1,0911 - 12000 x 1,0911 1
0.09
= (100000 x 2,580426) + (12000 x 17,560298)
= 47319,09
Second procédé : Règle fondamentale n° 4
D11 = 12000 x 1-1,09-4 + (12989,81 x 1,09-5)
0,09
D11 = (12000 x 3,23972) + (12989,81 x 0,649931)
= 47319,09
EX 2 :
Désignons par i le taux demprunt.
Nous pourrons écrire : (règle fondamentale n°1)
* 600 000 (1+i)2 = 300 000 (1+i)+393453,75
Posant (1+i) = x.. On obtient alors, après simplification et transformation :
* 2x2 x 1,3115125 = 0
équation du second degré dont on ne retient que la racine positive :
. * x = 1,0975 = 1 + i soit = 0,0975.
Tableau damortissement
EchéanceDetteIntérêtAmortissementAnnuité1600 00054500241500300 000235850034953,75358000393453,75
EX 3 :
Annuité constante : 800 000 x 0,09 = 111720,80
1 1,09-12
Ier amortissement : 111720,80,-,(800000 x 0,09 ) = 39720,8
1) Les procédés
I er procédé : D7 : Dette initiale moins dette amortie après 7 échéances :
= 800 000 39720,80 x 1,097 1
0,09
= 434551,37
Deuxième procédé : (règle fondamentale 3) :
D7 = 800 000 x 1,097 111720,80 x 1,097 1
0,07
= 1462431,20 1027879,90
= 434551,30
Troisième procédé :
D7 = 111720 ,80 x 1 1,09-8 = 434551,30
0,09
Quatrième procédé :
D7 = 800000 x 1,09 12 1,097 = 434553,98
1,0912
2) tableau d'amortissement
EchéanceDetteIntérêtAmortissementAnnuité8434551,339109,6272611,18111720,8
Le 8 ème amortissement a été calculé par différence entre lannuité constante et le 8 ème
intérêt. On aurait pu aussi multiplier par le 1er amortissement déjà calculé par 1,09.7
EX 4 :
Nous savons que la dernière annuité et le dernier amortissement sont, en matière demprunt, liés par la relations :
an = mn (1 + i )
On peut donc écrire 1 + i = 5500 = 1,10 soit 0,10 ou 10%
5000
Montant initial de lemprunt ( application de la règle fondamentale n° 2 ) :
( 4200 x 1,10-1 ) + ( 4200 x 1,10-2 ) + (4500 x 1,10-3 )+ (5000 x 1,10-4 ) + ( 55000 x 1,10-5 )
= 17500
FOAD mathématiques financières II
FOAD
MATHEMATIQUES FINANCIERES II
LIVRET 52 BISPage PAGE 27
