PER Statistique au Collège - Educmath
Il s'agira de faire émerger les notions de statistique au programme, et les faire ....
l'enquête sur un sujet qui les concerne permet d'impliquer les élèves.
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PER Statistique au Collège
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D.Gerard et I.Laurençot-Sorgius
(IUFM Midi-Pyrénées)
HYPERLINK "mailto:daniele.gerard@toulouse.iufm.fr" daniele.gerard@toulouse.iufm.fr et HYPERLINK "mailto:isabelle.laurencot@toulouse.iufm.fr" isabelle.laurencot@toulouse.iufm.fr
Ce document présente une proposition dun ensemble de séquences sur les notions de Statistique allant de la classe de 6e à la classe de 3e, couvrant lensemble du programme français de collège en mathématiques en vigueur à la rentrée 2008.
Note : le texte présenté est en date du 18 mai 2009 . Il manque quelques éléments qui seront apportés dans une version ultérieure ; ils sont mentionnés par « en cours de réalisation ».
La table des matières
TOC \o "1-3" \h \z \u HYPERLINK \l "_Toc230254197" I. Introduction PAGEREF _Toc230254197 \h 3
HYPERLINK \l "_Toc230254198" II. Descriptif général PAGEREF _Toc230254198 \h 4
HYPERLINK \l "_Toc230254199" A. Descriptif général bref PAGEREF _Toc230254199 \h 4
HYPERLINK \l "_Toc230254200" B. Objectifs mathématiques et descriptif bref en fonction du niveau de classe PAGEREF _Toc230254200 \h 5
HYPERLINK \l "_Toc230254201" C. Place dans la progression annuelle PAGEREF _Toc230254201 \h 5
HYPERLINK \l "_Toc230254202" III. Les choix effectués PAGEREF _Toc230254202 \h 6
HYPERLINK \l "_Toc230254203" A. Explicitation des choix PAGEREF _Toc230254203 \h 6
HYPERLINK \l "_Toc230254204" B. Eléments de justification de ces choix PAGEREF _Toc230254204 \h 6
HYPERLINK \l "_Toc230254205" 1. Une enquête PAGEREF _Toc230254205 \h 6
HYPERLINK \l "_Toc230254206" 2. Les problèmes de comparaison PAGEREF _Toc230254206 \h 7
HYPERLINK \l "_Toc230254207" IV. Généralités sur les descriptifs PAGEREF _Toc230254207 \h 8
HYPERLINK \l "_Toc230254208" A. Quelques suggestions en 6e / 5e : PAGEREF _Toc230254208 \h 8
HYPERLINK \l "_Toc230254209" B. Quelques suggestions en 4e / 3e PAGEREF _Toc230254209 \h 8
HYPERLINK \l "_Toc230254211" V. Descriptif détaillé du parcours détude et de recherche pour les classes de 6e et 5e PAGEREF _Toc230254211 \h 9
HYPERLINK \l "_Toc230254212" A. Séance 1 Présentation et lancement du projet (environ 15 20 min) PAGEREF _Toc230254212 \h 9
HYPERLINK \l "_Toc230254213" B. Séance 2 Début de mise en forme du questionnaire (environ 30 min, voire plus) PAGEREF _Toc230254213 \h 10
HYPERLINK \l "_Toc230254214" 1. Première mise en commun PAGEREF _Toc230254214 \h 10
HYPERLINK \l "_Toc230254215" 2. Choix dun seul thème PAGEREF _Toc230254215 \h 10
HYPERLINK \l "_Toc230254216" 3. Mise au point des modalités pratiques PAGEREF _Toc230254216 \h 10
HYPERLINK \l "_Toc230254217" 4. Mise au point de la formulation des questions de lenquête PAGEREF _Toc230254217 \h 11
HYPERLINK \l "_Toc230254218" C. Séance 3 Mise en forme précise du questionnaire (environ 25-30 min) PAGEREF _Toc230254218 \h 12
HYPERLINK \l "_Toc230254219" 1. Formulation des questions PAGEREF _Toc230254219 \h 12
HYPERLINK \l "_Toc230254220" 2. Forme des réponses aux questions PAGEREF _Toc230254220 \h 12
HYPERLINK \l "_Toc230254221" 3. Anonymat PAGEREF _Toc230254221 \h 12
HYPERLINK \l "_Toc230254222" D. Séance 4 Présentations des résultats (une séance de cours, voire une séance et demie.) PAGEREF _Toc230254222 \h 13
HYPERLINK \l "_Toc230254223" 1. Choix dune forme du tableau PAGEREF _Toc230254223 \h 13
HYPERLINK \l "_Toc230254224" 2. Ces tableaux sont-ils exploitables, et comment ? PAGEREF _Toc230254224 \h 14
HYPERLINK \l "_Toc230254225" Remarques PAGEREF _Toc230254225 \h 15
HYPERLINK \l "_Toc230254226" E. Séance 5 Comparaison et, en 5e, mise en place de la notion de fréquence (une « heure » de cours) PAGEREF _Toc230254226 \h 15
HYPERLINK \l "_Toc230254227" 1. Observation des graphiques PAGEREF _Toc230254227 \h 15
HYPERLINK \l "_Toc230254228" 2. Comparaison de plusieurs populations PAGEREF _Toc230254228 \h 16
HYPERLINK \l "_Toc230254229" F. Séance 6 Traitement dune variable quantitative (une « heure » de cours) PAGEREF _Toc230254229 \h 18
HYPERLINK \l "_Toc230254230" 1. Regroupements PAGEREF _Toc230254230 \h 18
HYPERLINK \l "_Toc230254231" 2. Construction des graphiques PAGEREF _Toc230254231 \h 18
HYPERLINK \l "_Toc230254232" VI. Fiches synthétiques pour les classes de 6e et 5e PAGEREF _Toc230254232 \h 19
HYPERLINK \l "_Toc230254233" 1. Séance 1 - Présentation et lancement du projet PAGEREF _Toc230254233 \h 19
HYPERLINK \l "_Toc230254234" 2. Séance 2 - Début de mise en forme du questionnaire PAGEREF _Toc230254234 \h 19
HYPERLINK \l "_Toc230254235" 3. Séance 3 - Mise en forme précise du questionnaire PAGEREF _Toc230254235 \h 20
HYPERLINK \l "_Toc230254236" 4. Séance 4 - Présentations des résultats PAGEREF _Toc230254236 \h 20
HYPERLINK \l "_Toc230254237" 5. Séance 5 - Comparaison et, en 5e, mise en place de la notion de fréquence PAGEREF _Toc230254237 \h 21
HYPERLINK \l "_Toc230254238" 6. Séance 6 - Traitement dune variable quantitative PAGEREF _Toc230254238 \h 23
HYPERLINK \l "_Toc230254239" VII. Descriptif détaillé du parcours détude et de recherche pour les classes de 4e et 3e PAGEREF _Toc230254239 \h 24
HYPERLINK \l "_Toc230254240" A. Séance 1 Présentation et lancement du projet (environ 15 20 min) PAGEREF _Toc230254240 \h 24
HYPERLINK \l "_Toc230254241" B. Séance 2 Début de mise en forme du questionnaire (environ 25/30 min) PAGEREF _Toc230254241 \h 25
HYPERLINK \l "_Toc230254242" 1. Choix dun seul thème PAGEREF _Toc230254242 \h 25
HYPERLINK \l "_Toc230254243" 2. Mise au point des modalités pratiques PAGEREF _Toc230254243 \h 25
HYPERLINK \l "_Toc230254244" 3. Mise au point de la formulation des questions de lenquête PAGEREF _Toc230254244 \h 26
HYPERLINK \l "_Toc230254245" C. Séance 3 Mise en forme précise du questionnaire (environ 25-30 min) PAGEREF _Toc230254245 \h 26
HYPERLINK \l "_Toc230254246" 1. Formulation des questions PAGEREF _Toc230254246 \h 26
HYPERLINK \l "_Toc230254247" 2. Forme des réponses aux questions PAGEREF _Toc230254247 \h 26
HYPERLINK \l "_Toc230254248" D. Séance 4 Regroupement des résultats (1 séance si possible en salle informatique) PAGEREF _Toc230254248 \h 27
HYPERLINK \l "_Toc230254249" E. Séance 5 - Comparaison et mise en place de la notion de moyenne en 4e, ou réactivation en 3e (une « heure » de cours en 4e, peut-être moins en 3e ) PAGEREF _Toc230254249 \h 28
HYPERLINK \l "_Toc230254250" 1. Mise en commun des graphiques PAGEREF _Toc230254250 \h 28
HYPERLINK \l "_Toc230254251" 2. Traitement de la variable qualitative retenue PAGEREF _Toc230254251 \h 28
HYPERLINK \l "_Toc230254252" 3. Traitement de la variable quantitative discrète retenue : PAGEREF _Toc230254252 \h 29
HYPERLINK \l "_Toc230254253" F. Séance 6 Approfondissement (une « heure » de cours) PAGEREF _Toc230254253 \h 30
HYPERLINK \l "_Toc230254254" G. Séance 7 Traitement dune variable quantitative continue, classes PAGEREF _Toc230254254 \h 31
HYPERLINK \l "_Toc230254255" VIII. Fiches synthétiques pour les classes de 4e et 3e PAGEREF _Toc230254255 \h 31
HYPERLINK \l "_Toc230254256" 1. Séance 1 - Présentation et lancement du projet PAGEREF _Toc230254256 \h 31
HYPERLINK \l "_Toc230254257" 2. Séance 2 - Début de mise en forme du questionnaire PAGEREF _Toc230254257 \h 31
HYPERLINK \l "_Toc230254258" 3. Séance 3 - Mise en forme précise du questionnaire PAGEREF _Toc230254258 \h 32
HYPERLINK \l "_Toc230254259" 4. Séance 4 - Présentations des résultats PAGEREF _Toc230254259 \h 32
HYPERLINK \l "_Toc230254260" 5. Séance 5 - Comparaison, mise en place de la notion de moyenne en 4e ou réactivation en 3e PAGEREF _Toc230254260 \h 33
HYPERLINK \l "_Toc230254261" 6. Séance 6 En 3e : Traitement dune variable quantitative Approfondissement PAGEREF _Toc230254261 \h 35
HYPERLINK \l "_Toc230254262" IX. Comptes-rendus dexpérimentation en classes de 6e et 5e ; exemple de questionnaire en 4e PAGEREF _Toc230254262 \h 37
HYPERLINK \l "_Toc230254263" A. Description de procédures et de réactions délèves PAGEREF _Toc230254263 \h 37
HYPERLINK \l "_Toc230254264" 1. Séance 1 Présentation et lancement du projet (environ 15 20 min) PAGEREF _Toc230254264 \h 37
HYPERLINK \l "_Toc230254265" 2. Séance 2 Début de mise en forme du questionnaire (environ 30 min, voire plus) PAGEREF _Toc230254265 \h 37
HYPERLINK \l "_Toc230254266" 3. Séance 3 Mise en forme précise du questionnaire (environ 25-30 min) PAGEREF _Toc230254266 \h 37
HYPERLINK \l "_Toc230254267" 4. Séance 4 Présentations des résultats (une séance de cours, voire une séance et demie.) PAGEREF _Toc230254267 \h 38
HYPERLINK \l "_Toc230254268" 5. Séance 5 Comparaison et, en 5e, mise en place de la notion de fréquence (une « heure » de cours) PAGEREF _Toc230254268 \h 40
HYPERLINK \l "_Toc230254269" 6. Séance 6 Traitement dune variable quantitative (une « heure » de cours) PAGEREF _Toc230254269 \h 40
HYPERLINK \l "_Toc230254270" B. Compte-rendu dexpérimentation en classe de 6e PAGEREF _Toc230254270 \h 41
HYPERLINK \l "_Toc230254271" 1. Séance 1 - Présentation et lancement du projet PAGEREF _Toc230254271 \h 41
HYPERLINK \l "_Toc230254272" 2. Séance 2 Début de mise en forme du questionnaire PAGEREF _Toc230254272 \h 41
HYPERLINK \l "_Toc230254273" 3. Séance 3 Mise en forme précise du questionnaire PAGEREF _Toc230254273 \h 42
HYPERLINK \l "_Toc230254274" 4. Séance 4 Présentation des résultats : PAGEREF _Toc230254274 \h 42
HYPERLINK \l "_Toc230254275" 5. Séance intermédiaire 4-5 : PAGEREF _Toc230254275 \h 43
HYPERLINK \l "_Toc230254276" 6. Séance 5 : Comparaison ( 1 heure de cours) PAGEREF _Toc230254276 \h 44
HYPERLINK \l "_Toc230254277" 7. Séance 6 Traitement d'une variable quantitative PAGEREF _Toc230254277 \h 44
HYPERLINK \l "_Toc230254278" C. Retranscription de la séance 3 dans une classe de 6e PAGEREF _Toc230254278 \h 44
HYPERLINK \l "_Toc230254279" D. Exemple de questionnaire en 4e PAGEREF _Toc230254279 \h 45
HYPERLINK \l "_Toc230254280" X. Compléments mathématiques PAGEREF _Toc230254280 \h 47
HYPERLINK \l "_Toc230254281" A. Annexe A Projet international « Recensement à lEcole » PAGEREF _Toc230254281 \h 47
HYPERLINK \l "_Toc230254282" B. Annexe B Quelques éléments du vocabulaire de la statistique PAGEREF _Toc230254282 \h 48
HYPERLINK \l "_Toc230254283" C. Annexe C Construction dun questionnaire PAGEREF _Toc230254283 \h 50
HYPERLINK \l "_Toc230254284" 1. Les différentes étapes de la construction du questionnaire PAGEREF _Toc230254284 \h 50
HYPERLINK \l "_Toc230254285" 2. Les types de questions PAGEREF _Toc230254285 \h 50
HYPERLINK \l "_Toc230254286" 3. La formulation des questions PAGEREF _Toc230254286 \h 52
HYPERLINK \l "_Toc230254287" 4. Larchitecture du questionnaire PAGEREF _Toc230254287 \h 54
HYPERLINK \l "_Toc230254288" 5. Le codage PAGEREF _Toc230254288 \h 55
Introduction
Lobjectif de ce Parcours dEtude et de Recherche (PER) est dentrer dans la Statistique au moyen dune enquête motivée par des questions proches des élèves, quils peuvent soulever eux-mêmes ou sapproprier rapidement.
Il sagira de faire émerger les notions de statistique au programme, et les faire apparaître comme outils (naturels et/ou indispensables) de résolution des problèmes posés.
Il nous a semblé que des questions de comparaison pouvaient motiver une étude statistique. Il y a plusieurs types de comparaison possible :
un même caractère sur deux populations différentes,
deux caractères sur une même population,
un individu donné par rapport à la population dont il est un élément.
Notre choix sest porté sur le premier type de comparaison, ce qui donne par exemple une question génératrice détude du type : « Est-ce quune classe de 28 élèves dont 17 font du sport est plus sportive quune classe de 23 élèves dont 14 font du sport ? »
Le thème de lenquête pourra être choisi parmi les thèmes dun projet canadien basé sur un questionnaire, intitulé « Recensement à lécole »
(cf. HYPERLINK \l "_Annexe_A-_Projet"Annexe A- Projet international « Recensement à lEcole »). Nous nous appuyons sur la partie pédagogique de ce projet, intitulée « En Route pour lEcole », qui développe des activités statistiques à partir de deux questions du questionnaire complet.
Quel que soit le thème choisi, cette enquête comportera au moins deux questions qui permettront dintroduire les deux types de caractères ou variables statistiques, qualitatives ou catégorielles, et quantitatives ou réelles.
Suivant le niveau où ce PER sera proposé dans les classes de collège français, les différentes notions de statistique des programmes scolaires seront dégagées et parcourues ; ces notions seront motivées par un questionnement développé avec les élèves, incluant un problème de comparaison, par exemple entre deux ou plusieurs classes françaises, ou entre une classe française et les résultats canadiens.
Remarque de mise en forme : en italique en fin de chaque séance se trouvent les éléments à institutionnaliser et le travail à faire par les élèves hors la classe pour la séance suivante. En gras, se trouvent les éléments essentiels du descriptif.
Descriptif général
Descriptif général bref
Pour chacun des niveaux de classe, le projet se déroule en trois phases :
Elaboration dun questionnaire qui cherche à répondre à une problématique élaborée avec les élèves. Le questionnaire sera construit de manière à obtenir au moins deux variables qualitatives (ou catégorielles) et au moins deux variables quantitatives (ou réelles), dont au moins une discrète et une continue. A partir de spécificités locales (projet détablissement, événements particuliers, culture ou habitudes locales, travail interdisciplinaire, etc), mettre en place avec les élèves une véritable problématique, comportant un ou des problèmes de comparaison, à laquelle on va répondre après dépouillement de lenquête et son analyse ;
Organisation de lenquête avec les élèves en vue de lexploitation visée ;
Organisation des données recueillies et exploitation statistique répondant, en particulier, à différents problèmes de comparaison. Cest lors de cette phase que le travail mathématique, à proprement parler, sera effectué.
Dans ce document, il est proposé de répartir ces trois phases sur plusieurs séances ; plus précisément :
en classes de 6e et 5e : sur six séances, dont certaines ne nécessitent pas une heure complète de cours
en classes de 4e et 3e : sur six séances, dont certaines ne nécessitent pas une heure complète de cours
Objectifs mathématiques et descriptif bref en fonction du niveau de classe
6e - Lobjectif est de travailler les deux points de vue du programme : « Organiser des données en choisissant un mode de représentation adapté » et aussi « Lire et interpréter des informations à partir dune représentation graphique ».
Ici lenjeu majeur du travail est de réussir à dégager de linformation de toutes les données brutes obtenues lors du dépouillement (ce dépouillement pouvant être mené en classe par les élèves ou pas). Ceci permettra de dégager lintérêt dorganiser les données en tableaux ou de les présenter sous forme de graphiques.
Dans lactivité de comparaison, les élèves devront proposer des procédures (non expertes) pour comparer deux fractions ; on pourra ainsi motiver lécriture des fractions sous forme décimale puis sous forme de pourcentages.
5e Lobjectif est dintroduire les notions d « effectifs », de « classes », de « fréquences » du programme, tout en continuant le travail sur les représentations graphiques. Là encore, une première information sera dégagée à partir des données brutes en organisant les données en tableaux et en les présentant sous forme graphique.
A partir dune réflexion conjointe sur la lisibilité des résultats suivant le nombre des modalités dune variable dune part, et sur lexploitation du questionnaire pour répondre à la problématique étudiée dautre part, on pourra aborder le problème du regroupement de différentes modalités dune variable qualitative et introduire la notion de « classe » dune variable quantitative.
De plus, un travail sur la comparaison des résultats de deux populations différentes motivera lintroduction de la notion de fréquence.
4e Lobjectif est de montrer lintérêt de la notion de « moyenne », et de lintroduire, et dévoquer les notions d« effectifs cumulés », « fréquences cumulées » (mais sans que ces notions deviennent exigibles des élèves). Pour cela, on pourra reprendre lobjectif de comparaison, et le compléter en suscitant des sous-questions (par exemple, combien délèves mettent moins dune demi-heure pour venir au collège) et préparer ainsi le travail sur la médiane et les quartiles abordés en 3e.
3e Outre toutes les notions mentionnées ci-dessus, il sagira dintroduire des caractéristiques de position (moyenne et médiane) et de dispersion (étendue), la motivation venant principalement encore dun objectif de comparaison.
Place dans la progression annuelle
Il est conseillé de mettre en uvre le projet assez tôt dans lannée, en tout cas avant le traitement du thème « Proportionnalité ».
En 6e, 5e, il sera préférable davoir vu (pour les élèves ayant eu le programme 2002 à lécole primaire) ou revu avant le début de la séance 5 que la fraction a/b est égale à a divisé par b.
Quel que soit le niveau de classe, il nest pas nécessaire davoir abordé le thème des nombres rationnels, ni les représentations graphiques. Lun des intérêts de ce PER est de faire apparaître ces notions comme des outils de résolution de certains problèmes : ce PER pourra donner loccasion de motiver la comparaison des rationnels, permettra lintroduction des pourcentages en 6e, et aussi de travailler sur les représentations graphiques, en particulier de travailler la proportionnalité dans ce cadre.
Le parcours sera étalé sur une partie de lannée et des allers et retours avec les autres thèmes qui lui sont connectés pourront se faire.
Des activités sur la comparaison des rationnels, sur la proportionnalité et les pourcentages sont en cours délaboration ; une séance est proposée dans les fiches synthétiques de séances, après HYPERLINK \l "_Séance_5_-"Séance 5 - Comparaison et, en 5e, mise en place de la notion de fréquence
Les choix effectués
Ce paragraphe présente des justifications des choix didactiques effectués, il peut être mis de côté dans une première lecture.
Explicitation des choix
A partir de spécificités locales (projet détablissement, événements particuliers, culture ou habitudes locales, travail interdisciplinaire, etc) mettre en place avec les élèves une véritable problématique, comportant un ou des problèmes de comparaison, à laquelle on va répondre :
en effectuant une enquête réalisée par les élèves eux-mêmes (et en ne pas partant pas dune enquête toute faite)
en exploitant les résultats de cette enquête.
Remarque : comme nous avons pu le constater lors des expérimentations, certains élèves peuvent avoir limpression quune partie du travail (par exemple : lélaboration du questionnaire, le dépouillement) ne relève pas du cours de mathématiques. Il est donc important de présenter le projet dans sa globalité afin déviter ce genre de remarques et, si celles-ci se présentent néanmoins, davoir des réponses prêtes. On peut, par exemple, indiquer que, certes, la problématique initiale nest pas du domaine mathématique, mais quy répondre nécessite lutilisation de notions et doutils mathématiques (certains étant nouveaux dans le programme), et que la qualité du travail mathématique dépend de la qualité du travail effectué en amont. De plus, lélaboration dun questionnaire, les problèmes liés au dépouillement, etc, relèvent de léducation à la citoyenneté ; or, dans les programmes, il est demandé explicitement aux enseignants de mathématiques de participer à cette éducation.
Eléments de justification de ces choix
Une enquête ?
Pourquoi proposer une enquête :
partir dune enquête permet de problématiser lenseignement de la statistique, et de donner du sens au travail effectué
lenquête sur un sujet qui les concerne permet dimpliquer les élèves
la réalisation effective de lenquête va obliger les élèves à se poser des questions, dès le départ, en vue de lexploitation ultérieure, ce qui nest pas le cas avec une enquête déjà faite. Ces questions étant, par exemple :
"Que veut-on faire de cette enquête ? " On verra que ce point est fondamental, en particulier lorsquil sagira de faire des choix de regroupement de modalités pour une variable qualitative, ou de regroupement en classes pour une variable quantitative.
"Quelles questions proposer dans lenquête ?" Lenquête doit permettre de répondre à tout ou partie de la problématique, il est donc essentiel de proposer des questions en lien avec lobjectif final.
Par exemple : Des questions sur lalimentation au petit déjeuner peuvent être « Quas-tu mangé ce matin au petit déjeuner ? » et « Quas-tu bu ce matin au petit déjeuner ?» ou bien « Quas-tu pris ce matin au petit déjeuner ? ». On voit que, dans le premier cas, le questionnement distingue ce qui est bu de ce qui est mangé, ce qui peut avoir un intérêt plus grand dans un projet en liaison avec le cours de sciences naturelles ou le projet détablissement sur léducation à lalimentation et à la santé.
Quel est leffet de la formulation des questions de lenquête sur la nature des réponses obtenues et sur leur exploitation ultérieure ?
Par exemple : si à la question « Quas-tu pris ce matin au petit déjeuner ? », on propose comme modalités de réponses « laitages, céréales, tartines, fruits, boissons, autres », on voit que le regroupement va induire la forme des réponses et ne savèrera peut-être pas pertinent en fonction du questionnement initial, qui pourrait concerner les problèmes de diététique en lien avec le professeur de SVT ou linfirmière.
Remarques :
Lenseignant devra cependant être vigilant sur le fait que les questions amènent ou pas, à létude dun « caractère statistique », cest-à-dire une application de lensemble « Population » vers un ensemble fini, ordonné ou non (caractère qualitatif) ou une partie de R (caractère quantitatif).
Par exemple : à la question « Quas-tu pris au petit déjeuner ce matin ? », un individu de la population peut apporter plusieurs réponses ; ce qui ne permet pas de définir une application, donc un caractère statistique. Et, dans lexploitation des réponses à cette question, il faudra faire remarquer que le nombre des réponses nest pas égal à leffectif total de la population.
Pour les variables qualitatives (respectivement quantitatives), nous choisissons de ne pas proposer de regroupement de modalités (respectivement de regroupement en classes) dans les questions de lenquête de façon à amorcer une réflexion sur la détermination des regroupements des modalités (en 5e) en effectuant plusieurs essais de choix de ces regroupements (respectivement de détermination des classes) et en examinant les effets obtenus.
Les problèmes de comparaison
Pourquoi des problèmes de comparaison :
« Comparer » est un problème important en statistique. Cependant, il y a plusieurs types de comparaison possibles ; on peut vouloir comparer :
un même caractère sur deux populations différentes,
deux caractères sur une même population,
un individu donné par rapport à la population dont il est un élément.
Dun point de vue didactique, le travail de comparaison va permettre :
de mener une réflexion sur la nécessité davoir les mêmes intitulés de questions que lenquête canadienne et/ou ceux des autres classes de collège français pour pouvoir comparer ;
dintroduire différentes notions selon le type de comparaison visé :
en 6e : utilisation des fractions et éventuellement des pourcentages pour comparer deux populations différentes,
en 5e : nécessité de passer des effectifs aux fréquences, et motivation dexprimer celles-ci sous forme de pourcentages pour comparer deux populations différentes,
en 4e : introduction de la notion de moyenne, donnant ainsi un moyen de comparer un individu à la population,
en 3e : introduction de différents paramètres de position et de dispersion, donnant un moyen de comparer les résultats concernant un même caractère sur deux populations différentes, ou de comparer deux caractères dune même population.
Généralités sur les descriptifs
Afin dintéresser les élèves au maximum, le professeur peut proposer un choix de thèmes, éventuellement choisis parmi ceux de lenquête canadienne. Cependant, à terme, un seul des thèmes proposés sera étudié et travaillé par la classe.
Quelques suggestions en 6e / 5e :
Thème 1 : petit déjeuner.
Thème 2 : mode de vie : temps de sommeil, activités extrascolaires.
Thème 3 : durée et moyen de transport.
Thème 4 : activités physiques (marche à pied par exemple), ou activités sportives.
Pour chaque thème, il est recommandé de mettre en place :
deux variables qualitatives au moins : une dont les réponses sont du type « oui/non » et une autre présentant au moins trois modalités,
au moins une variable quantitative discrète en 6e, et au moins deux variables quantitatives en 5e, une discrète et une continue.
Les exemples donnés dans les différents descriptifs ci-dessous seront en général ceux relatifs au thème 1 du « Petit déjeuner » (ces exemples seront numérotés 1A, 1B, etc).
Quelques suggestions en 4e / 3e
Thème 1 : éducation à la santé : petit déjeuner, tabac, marche à pied, etc.
Thème 2 : mode de vie : temps de sommeil, activités extrascolaires, etc.
Thème 3 : orientation et métiers.
Remarques
Il est important que lenquête et le questionnaire aient un objectif réel. Par exemple, le thème « Petit déjeuner » peut être choisi pour étudier limpact de la présence ou non du petit déjeuner des élèves et de sa nature sur leur attention le matin ; dans ce cas, on peut proposer par exemple une question portant sur la nature de ce repas et une autre sur lheure à laquelle les élèves ressentent la faim. Cependant, il faudra bien prendre garde de ne viser que des questions à réponses objectives, et déviter les questions à réponses trop subjectives basées sur des ressentis.
En vue de cet objectif, il se peut que le questionnaire comporte plus de questions quon ne pourra en traiter dans les premières séances ; si cette situation se présente, ce nest pas un problème car les questions en surplus pourront être utilisées pour réinvestissement ou pour entraînement, voire même en liaison avec lenseignement de lannée ultérieure.
Descriptif détaillé du parcours détude et de recherche pour les classes de 6e et 5e
On pourra commencer par lire les fiches synthétiques proposées dans le document HYPERLINK \l "_Fiches_synthétiques_pour"Fiches synthétiques pour les classes de 6e et 5e pour se faire une idée densemble de la séquence. La lecture du descriptif détaillé ci-dessous semble néanmoins indispensable.
Séance 1 Présentation et lancement du parcours (environ 15 20 min)
Il est intéressant de motiver lenquête en fonction du contexte local : parution ou projet de publication dun article dans le journal du collège, IDD, projet interdisciplinaire, coutumes locales, etc ; mais la motivation peut être simplement de vouloir comparer la classe, sur un sujet donné, avec dautres classes, françaises ou non ; ou encore de se situer soi-même sur un sujet donné par rapport à la classe.
Même si le travail mathématique à proprement parler est effectué seulement lors des séances postérieures à la séance 4, les trois premières séances sont importantes car elles permettent de préparer et de fournir une raison dêtre de ce travail et de justifier sa pertinence. Si nécessaire, on pourra indiquer aux élèves, par exemple, que la problématique initiale nest pas du domaine mathématique, mais quy répondre nécessite lutilisation de notions et doutils mathématiques (certains étant nouveaux dans le programme), et que la qualité du travail mathématique dépend de la qualité du travail effectué en amont.
Différents points de départ sont possibles, par exemple, partir :
dun texte introductif, sur létalement géographique des villes, sur la vie à la campagne, etc. Tout cela a-t-il de linfluence sur le temps de transport des élèves pour aller à lécole ? Et pour aller plus loin, cela a-t-il de linfluence sur leur temps de travail ? leur temps de sommeil ? etc.
ou de questions posées aux élèves à partir dévénements particuliers (retard dun élève, temps de sommeil, constatation dune agitation récente et récurrente dans la classe ou dune baisse de participation, etc.) ;
ou dun projet en liaison avec dautres disciplines ou des thèmes de convergence, ou en liaison avec le projet détablissement, par exemple sur le thème de l« éducation à la santé ».
Une fois la problématique mise en place, lenseignant propose alors aux élèves de réaliser eux-mêmes une enquête sur un des thèmes dune (courte) liste quil aura établie en lien avec la problématique.
Pour une bonne compréhension, par les élèves, du travail proposé, il est important de leur présenter lobjectif de comparaison, soit à une ou plusieurs autres classes du collège ou dun autre collège, ce qui nécessite une prise de contact et un travail de concertation de lenseignant avec les collègues en charge des autres classes concernées, soit à lenquête canadienne.
Pour la séance suivante, demander aux élèves de choisir lun des thèmes, de formuler les questions correspondantes de lenquête, et de répondre eux-mêmes à ces questions.
Séance 2 Début de mise en forme du questionnaire (environ 30 min, voire plus)
Première mise en commun
Cette première mise en commun peut se réaliser en trois temps :
mise en commun rapide des questions formulées par les élèves et de leurs propres réponses,
débat autour de quelques formulations inacceptables de par leur manque de précision, ou leur effet pervers, ou autres,
débat pour comparer les différentes formes des questions, et de leur impact sur lobjectif visé de lenquête.
Choix dun seul thème
Eventuellement, lenseignant peut influencer ce choix dans le cas dun travail en commun avec plusieurs classes.
Il est nécessaire dexpliciter clairement à quel questionnement cette enquête se propose de répondre, quel que soit le cadre adopté, projet interdisciplinaire ou autre. En effet, cela motivera le dépouillement ultérieur, mais aussi permettra un regroupement des modalités pour la variable qualitative qui ne soit pas arbitraire mais utile pour la réponse au questionnement (voir le descriptif de la séance 4).
Par exemple : si le thème « petit déjeuner » est inscrit dans le cadre dun projet détablissement « Education à la santé », lenseignant pourra travailler en liaison avec son collègue de SVT ou de sport, ou encore avec linfirmière du collège. Le questionnement pourra porter sur lapport glucidique, protéinique et lipidique le matin, ou bien sur la présence dune boisson ou non, ou sur la nature et la variété des aliments (céréales, produit laitier, produits à base de fruits, etc).
Mise au point des modalités pratiques
Pour garantir le sérieux du travail mathématique réalisé ultérieurement, il est important de déterminer précisément avec les élèves les modalités pratiques de réalisation de lenquête : pour cela, il faut sentendre sur :
la détermination du public auprès de qui lenquête sera réalisée, cest-à-dire la détermination de la population statistique qui sera étudiée (voir HYPERLINK \l "_Annexe_B-_Quelques"Annexe B- Quelques éléments du vocabulaire de la statistique): ce peut être la classe uniquement, ou lensemble des élèves du collège, ou lensemble des élèves de classes dun niveau donné du collège et/ou dun collège voisin, etc.
le choix de la forme du recueil des réponses : parution du questionnaire dans le journal du collège et boîte pour recueillir les réponses, ou élèves allant interviewer des élèves du collège ou les élèves de Sixième-Cinquième quils connaissent, ou enseignant faisant passer le questionnaire dans ses autres classes de collège.
Il est très important dêtre vigilant sur ces modalités, en particulier dans le cas où les élèves auront à jouer le rôle denquêteurs :
la population étudiée doit être déterminée avant la réalisation de lenquête, et toute cette population doit être interrogée. Aussi, il ne faut pas restreindre lenquête à linterview par les élèves de quelques personnes de leur choix personnel ; en effet, si cest le cas, lenquête ne pourra pas être considérée comme un travail relevant de la statistique descriptive, et le sérieux du travail effectué pourra être contesté ;
dans le cas où les élèves jouent eux-mêmes le rôle denquêteurs, insister auprès deux sur limportance de leur neutralité lorsquils poseront les questions, cest-à-dire quils ne doivent pas influencer les réponses des personnes quils vont questionner.
Exemples de mise en uvre : voir HYPERLINK \l "_Séance_2_"Séance 3 Mise en forme précise du questionnaire
Mise au point de la formulation des questions de lenquête
Rappeler aux élèves quil y a un objectif de comparaison, et faire émerger la nécessité davoir les mêmes questions dans les différents questionnaires.
Deux cas de figure :
soit la comparaison est faite avec une ou plusieurs classes dun même ou de plusieurs collèges français, et lenseignant repart avec les questions en indiquant aux élèves quil va consulter ses collègues afin dharmoniser leur formulation ;
soit la comparaison se fait avec les résultats de lenquête canadienne, et on reprend la formulation de ses questions.
Remarques
le fait davoir laissé les élèves réfléchir à un thème peut mettre en évidence que tout nest pas nécessairement digne dintérêt. Par exemple, on peut se rendre compte que tous les élèves dune classe urbaine mettent à peu près le même temps pour arriver au collège, ce qui nest pas le cas pour un collège de campagne, et donc quune enquête portant sur la durée du trajet pour aller au collège est sans intérêt (cest ce qui a été le cas de lexpérimentation pilote). Si cela se produit, il est intéressant de le mettre en évidence avec les élèves.
avec des exemples à lappui, on peut éventuellement prolonger la discussion abordée en i) et amener les élèves à réaliser que dans les médias, les résultats des enquêtes réalisées sont plus ou moins influencés par la forme des questions posées.
Travail pour la séance suivante : demander aux élèves de rédiger une nouvelle formulation des questions en tenant compte de tous les points soulevés pendant cette séance.
Séance 3 Mise en forme précise du questionnaire (environ 25-30 min)
Formulation des questions
Rediscuter avec les élèves de la formulation des questions et mettre au point la formulation définitive. Dans le cas où le professeur a mis au point une formulation avec des collègues en charge dautres classes, bien cerner avec les élèves le sens précis quils donnent à ces questions, et éventuellement modifier une dernière fois leur forme. Dans le cas de lutilisation de lenquête canadienne, dégager le sens des questions, par exemple bien sentendre sur ce quon appelle « temps habituel de transport » afin de pouvoir lexpliquer aux personnes interrogées lors de lenquête.
Exemple de mise en uvre :HYPERLINK \l "_Séance_3__"Séance 3 Mise en forme précise du questionnaire (environ 25-30 min) et HYPERLINK \l "_Séance_3_" Séance 3 Mise en forme précise du questionnaire
Forme des réponses aux questions
Discuter avec les élèves :
sur la forme des réponses attendues aux questions de lenquête,
Exemple 3 (thème 3 « Transport ») : pour une durée, préciser quon demande une réponse en minutes ou autre,
Exemple 1 (thème 1 « Petit déjeuner ») : voir avec les élèves que pour la réponse « tartine », il peut être nécessaire de faire préciser les constituants de la tartine (support (pain ou pain de mie ou biscotte), beurre ou non, confiture ou pâte à tartiner, etc.),ceci afin de faciliter le dépouillement ultérieur.
sur la possibilité de donner, ou non, un choix de réponses possibles (type QCM).
Pour une des questions au moins relevant dune variable qualitative et une au moins relevant dune variable quantitative, il est suggéré de laisser ouvertes les réponses ; en effet, cela devrait permettre un travail sur lanalyse des données à la séance suivante.
Anonymat
Voir avec les élèves quil nest pas nécessaire (par rapport aux objectifs fixés, en particulier celui de comparaison) de noter le nom des personnes qui ont répondu. On pourra alors faire un travail sur lanonymat, en précisant que cet anonymat a plusieurs objectifs :
la protection des individus qui répondent aux questions, dautant plus que dans certains cas, notamment dans les cas où la population est faible, il peut être assez aisé de retrouver les personnes à partir de leurs réponses,
la recherche de réponses fiables aux questions posées ; en effet, lors de questions très personnelles, dites « sensibles », il nest pas garanti davoir des réponses sincères, ou même dobtenir des réponses.
Pour la séance suivante, les élèves devront répondre aux questions de lenquête et, éventuellement, réaliser lenquête auprès du public désigné.
Séance 4 Présentations des résultats (une séance de cours, voire une séance et demie.)
La séance 4 portera sur la présentation des résultats pour une variable qualitative à plusieurs modalités
Pour aborder cette séance, lenseignant devra avoir recueilli toutes les réponses au questionnaire. Sil ne souhaite pas faire effectuer de dépouillement par les élèves, il devra avoir effectué ce travail pour la question traitée dans cette séance et disposer des données brutes sur lesquelles les élèves vont travailler.
Cest là que débute le travail mathématique proprement dit. Si le dépouillement est effectué en classe par les élèves, commencer par la mise en commun des réponses recueillies à une question sur une variable qualitative ayant plusieurs modalités de réponse (voir dans HYPERLINK \l "_Séance_4_"Séance 4 Présentations des résultats (une séance de cours, voire une séance et demie.) et HYPERLINK \l "_Séance_4__" Séance 4 Présentation des résultats : des exemples de mise en uvre). Demander aux élèves de présenter lensemble des réponses ; mais cette question doit en amener une autre : comment présenter ces réponses ? Lidée dun tableau devrait émerger, sinon la proposer aux élèves.
Remarque : il nous semble judicieux et préférable dintroduire le tableau sur la variable ayant plusieurs modalités et non sur celle ayant deux modalités de réponse. En effet, pour deux modalités de réponse (« oui », « non ») le tableau nest pas nécessaire. On pourra faire remarquer aux élèves que lintérêt dun tableau est de présenter de nombreux résultats de façon synthétique. Dans les classes observées, on a pu constater que la notion de tableau était associée fréquemment par les élèves à celle de « tableau de proportionnalité » ; cest alors loccasion de faire un travail permettant de casser cette image erronée.
On peut introduire à ce moment ou en fin de séance, la notion de population statistique, dindividus (en faisant remarquer que ce ne sont pas toujours des individus « vivants » au sens courant du terme), et deffectifs.
Remarque : lors de lexpérimentation dans certaines classes, lintroduction du mot « Statistique » en début de séance a manifestement induit les élèves à parler de pourcentage, de « camembert » à des moments où il ny avait pas lieu den parler.
Choix dune forme du tableau
Amener les élèves à choisir un tableau de type « tableau deffectifs ». On pourra leur demander de tracer rapidement un tableau au brouillon. Et construire le tableau correspondant à la question sur la variable qualitative à modalités multiples. En 6e, afin de centrer la séance sur le dépouillement et la présentation des résultats sous forme de tableaux puis sous forme de graphiques, il paraît raisonnable de choisir un caractère présentant un nombre limité de modalités. En revanche, en 5e, les élèves ont déjà rencontré ces notions ; de ce fait, on peut dès cette séance choisir un caractère présentant un nombre plutôt élevé de modalités et où des regroupements sont adaptés. Les tableaux deffectifs relatifs aux autres questions pourront être construits, ultérieurement et quand on sy intéressera, soit par lenseignant après ramassage des questionnaires, soit en répartissant les élèves dans différents groupes responsables chacun dune partie du travail.
Exemples de mise en uvre de cette mise en commun : HYPERLINK \l "_Séance_4_"Séance 4 Présentations des résultats (une séance de cours, voire une séance et demie.) et HYPERLINK \l "_Séance_4__" Séance 4 Présentation des résultats :
Ces tableaux sont-ils exploitables, et comment ?
Constater avec les élèves le fait que ces tableaux remplis de nombres ne permettent pas de dégager une vision globale de la situation étudiée, et motiver une autre présentation afin darriver aux graphiques.
Proposer de présenter les résultats sous forme dun diagramme en barres ou en bâtons (cf. annexe B HYPERLINK \l "_Annexe_B-_Quelques"Annexe B- Quelques éléments du vocabulaire de la statistique sur les différents types de graphiques utilisés en statistique).
Remarque : pour les familiariser à la diversité des graphiques, il paraît intéressant de laisser les élèves proposer des graphiques à barres verticales ou à barres horizontales, en leur indiquant quils auront à construire lun ou lautre graphique dans la suite de la séquence.
Exemple de réactions délèves : HYPERLINK \l "_Séance_4_"Séance 4 Présentations des résultats (une séance de cours, voire une séance et demie.)
Pour cette séance, il est suggéré à lenseignant de construire lui-même le graphique au fur et à mesure avec les élèves, au tableau ou sur un transparent ou avec un tableur sur ordinateur.
En effet, il nous semble préférable de reporter provisoirement la construction du graphique par les élèves eux-mêmes (car cette construction va soulever des problèmes déchelles et de proportionnalité), de façon à se concentrer sur lobjectif principal, cest-à-dire lintérêt du graphique, puis en 5e, lintérêt du regroupement de certaines modalités. De plus en demandant aux élèves de construire un autre graphique, soit celui concernant un autre caractère, soit celui obtenu après regroupement des modalités du caractère étudié dans la séance, pour la séance suivante sur feuille libre, lenseignant pourra repérer les difficultés des élèves dans la construction de graphiques.
En 5e, une fois la construction effectuée, mettre en évidence que, si plusieurs modalités ont de petits effectifs, on ne peut pas dégager de vision globale intéressante, et amener les élèves à lidée den regrouper certaines (dans certaines classes observées, cette idée a été proposée très rapidement par les élèves). Doù la question : Quelles modalités regrouper ?
Voir avec les élèves que plusieurs regroupements sont possibles.
Faire éventuellement un premier regroupement en lien avec le questionnement initial avec les élèves (voir ci-dessous), puis un regroupement permettant datteindre lobjectif de comparaison. Pour celui-ci, on proposera alors :
soit le regroupement déjà retenu après concertation avec les collègues en charge des autres classes françaises,
soit le regroupement effectué dans lenquête canadienne.
Concernant le premier regroupement, il est important de lui donner du sens et de leffectuer en lien avec le questionnement qui motive lenquête.
Voir exemple dans HYPERLINK \l "_Séance_4_"Séance 4 Présentations des résultats (une séance de cours, voire une séance et demie.)
Institutionnalisation à la fin de cette séance : donner un sens au vocabulaire utilisé
notions dindividus et de population au sens statistique,
caractère ou variable statistique,
tableau deffectifs,
diagrammes en bâtons ou en barres.
Pour la séance suivante, demander aux élèves de refaire un tableau deffectifs soit relatif à un autre caractère en 6e, soit relatif aux regroupements retenus en 5e, et de construire le graphique correspondant sur feuille libre.
Remarques
Même si dans le programme de Sixième, ne figure que « lire un graphique » et pas « construire » (alors que cela se trouve dans celui de cycle 3 programmes 2002, et dans les programmes 2008, on trouve : « lire ou produire des tableaux, des graphiques et à les analyser »), il nous semble néanmoins important de faire construire des graphiques aux élèves de Sixième car la construction participe à la compréhension de la lecture, et va permettre daborder dautres notions, comme celle des échelles.
Même si dans les programmes de 6e et de 5e, on ne parle que de tableaux à lire ou à représenter, ce qui est important en statistique cest ce que ces tableaux permettent de révéler et ce ne sont pas les tableaux eux-mêmes. Il faudra donc insister sur le fait quun tableau deffectifs permet de dégager la distribution deffectif de la variable étudiée.
Après expérimentation, il nous semble préférable, surtout en 6e, de donner ce vocabulaire au fur et à mesure de la séance quand on en ressent le besoin, puis de le faire noter aux élèves en fin de séance.
Attirer lattention des élèves sur le fait que la population étudiée est celle que les élèves ont étudiée dans cette séance. Dans les séances ultérieures, il y aura plusieurs populations : celle étudiée à la première séance et celles avec lesquelles les comparaisons seront effectuées.
Attention à lutilisation du logiciel Excel : la touche intitulée « histogramme » de la barre doutils ne donne pas un histogramme (voir lannexe B HYPERLINK \l "_Annexe_B-_Quelques"Annexe B- Quelques éléments du vocabulaire de la statistique).
Remarque : Comme cela a été rappelé ci-dessus, en statistique on étudie les distributions deffectifs et de fréquences, qui sont visualisées par leurs graphiques associés (diagrammes en bâtons, en barres, circulaires, etc
). Mais ces types de graphiques peuvent aussi être utilisés pour des données réelles pouvant être cumulées ; par exemple, un diagramme en barres montrant les tonnages de poissons pêchés par catégorie de poissons.
Séance 5 Comparaison et, en 5e, mise en place de la notion de fréquence (une « heure » de cours)
Observation des graphiques
Observer les différents graphiques construits par les élèves (affichage au tableau), concernant toujours une variable qualitative à différentes modalités :
lordre des modalités peut varier ; dégager avec eux que cela na pas vraiment dimportance, mais peut néanmoins induire des perceptions différentes ;
dégager que suivant léchelle choisie, certains aspects seront amplifiés ou gommés.
On peut éventuellement commenter ce point en observant les effets de ce choix sur des graphiques trouvés dans certains journaux.
Exemple de mise en uvre : lenseignant projette au fur et à mesure différents graphiques construits pour la même question concernant une variable qualitative à plusieurs modalités et pour deux populations distinctes. Il pose des questions pour faire émerger les différences entre chaque graphique :
Premier série de graphiques : un correspondant à chaque population, avec la même échelle, mais avec un ordre des modalités différents ;
Deuxième série de graphiques : un correspondant à chaque population, avec même ordre des modalités et des échelles telles que la modalité de plus grand effectif dune population paraisse plus grande que celle de plus grand effectif de lautre population alors que leffectif est plus petit. Prendre soin de mettre les mêmes graduations sur laxe des effectifs (de 10 en 10) pour que les élèves ne se polarisent pas sur cette différence, mais bien sur léchelle.
Troisième série de graphiques : sur la même population, faire deux choix déchelle de façon à gommer certaines différences, et remarquer avec les élèves la différence de perception induite.
si cela est possible, poser des questions permettant de dégager des propriétés de proportionnalité : par exemple, si leffectif de la modalité A est le double de celui de B, la hauteur de la barre représentant leffectif de A sera le double de celle correspondant à B,
ramasser les graphiques des élèves de façon à repérer ceux qui ont manifesté des difficultés dans la construction.
Procédures délèves observées : voir IX. A HYPERLINK \l "_Séance_5_"Séance 5 Comparaison et, en 5e, mise en place de la notion de fréquence (une « heure » de cours) et IX.B. HYPERLINK \l "_Séance_5_:" Séance 5 : Comparaison ( 1 heure de cours)
Comparaison de plusieurs populations
Afficher un graphique correct et celui correspondant à une ou dautres classes ayant effectué le même travail, ou à celui de lenquête canadienne (attention : ne pas cumuler). Demander « Que peut-on comparer ? » Constater que les tableaux deffectifs et les graphiques correspondants ne permettent que certaines comparaisons ; par exemple, si on se pose la question :
« On veut déterminer la modalité (employer le vocabulaire adapté à la classe) qui a le plus grand ou plus petit effectif dans chaque population », alors on pourra y répondre ;
« Est-ce quau moins la moitié des élèves du collège vont à lécole en voiture et quen est-il pour les autres ? ou pour les canadiens ? », alors le travail effectué jusquà présent ne permettra pas dy répondre.
« Dans quelle classe, y a-t-il le plus délèves qui prennent un petit déjeuner », alors cette question na pas vraiment de sens. Par exemple, si dans une classe de 26 élèves, il y a 24 élèves qui prennent un petit déjeuner, tandis que dans la population formée de deux autres classes deffectif total 50, 25 élèves prennent un petit déjeuner, il semblera dénué de sens de se contenter du fait que 25 est supérieur à 24 pour conclure.
On veut donc comparer les résultats des différentes populations pour quelques modalités ; cela ne sera possible quen comparant des proportions. Si cette idée napparaît pas chez les élèves, la provoquer en proposant un exemple comme celui du point ci-dessus, ou en prononçant le mot « proportion » et en demandant, par exemple, quelle proportion délèves de la classe répondent à une modalité donnée et quen est-il pour les élèves des autres classes ou les élèves canadiens.
Ainsi on va devoir comparer, par exemple, 11/26 et 1408/3736 ; cest-à-dire des fréquences !!
Remarque : il nous semble important
de faire remarquer que les questions du type « Dans quelle population y a-t-il plus délèves qui prennent le petit déjeuner » ne permettent pas une comparaison intéressante, car le bon sens permet de répondre que cela se trouvera probablement dans la population ayant le plus grand effectif. Puis arriver à formuler la question sous la forme par exemple « Dans quelle population y a-t-il la plus grande proportion délèves qui prennent le petit déjeuner ? »
décrire au tableau clairement ce quon est en train de comparer : ce sont des proportions, et non des effectifs : écrire par exemple : « la proportion délèves de la classe A prenant le petit déjeuner est 11/26, et la proportion délèves de la classe B prenant le petit déjeuner est 57/107 ».
Or, il ny a pas de méthode au niveau 6e pour comparer deux fractions.
Il nous semble ici que la manière la plus simple et la plus naturelle de continuer, surtout en 6e, est de procéder en utilisant une approximation décimale des fractions (cela suppose davoir vu auparavant en 6e que 11/26 = 11 : 26, ce qui nest plus traité systématiquement en CM.) On va ainsi comparer les approximations décimales, et dans ce cas lécriture des proportions (fréquences en 5e) sous forme de pourcentages peut sembler difficile. Cependant, nous suggérons que lenseignant propose décrire
11 : 26 H" 0,42 ; et comme 0,42 = 42/100, cette proportion est à peu près la même que s il y avait 42 réponses dans une population de 100 individus. Puis indiquer qu une autre écriture du nombre 42/100 est 42 %.
Faire ensuite construire le tableau des fréquences pour la population étudiée.
Remarque : on pourrait proposer une autre méthode de comparaison en revenant au fait que la comparaison nest pas possible car le nombre délèves dans chacune des populations nest pas le même ; donc on pourrait introduire lidée de deux populations fictives ayant même effectif, lune ayant même proportion de chaque modalité que la classe, lautre que les autres classes françaises, ou la population canadienne.
Plusieurs procédures délèves seront possibles : proportionnalité, passage par lécriture décimale (11/26 environ égal à 0,42, qui , lui-même, est égal à 42/100).
Cependant, comme dans lexemple ci-dessus, la mise en uvre de cette stratégie peut rencontrer des difficultés ; ce qui met en évidence que cette manière de procéder est moins naturelle et peut se révéler délicate à traiter avec les élèves.
Exemple de mise en uvre : voir IX. A HYPERLINK \l "_Séance_5_"Séance 5 Comparaison et, en 5e, mise en place de la notion de fréquence (une « heure » de cours) et IX.B. HYPERLINK \l "_Séance_5_:" Séance 5 : Comparaison ( 1 heure de cours)
Institutionnalisation à la fin de cette séance :
- 6e : méthode(s) pour obtenir une proportion sous forme de pourcentage
-5e : tableau de fréquences et méthodes pour obtenir une proportion sous forme de pourcentage.
Pour la séance suivante :
- Réinvestissement : construire le tableau des fréquences pour la population « autres classes françaises » ou « élèves canadiens ».
- Travail préparatoire : construire le tableau des effectifs pour une variable quantitative discrète en sixième et/ou continue en cinquième.
Pour une séance intermédiaire de consolidation sur « Fractions et pourcentages », consulter à la fin du paragraphe HYPERLINK \l "_Séance_5_-"Séance 5 - Comparaison et, en 5e, mise en place de la notion de fréquence
Séance 6 Traitement dune variable quantitative (une « heure » de cours)
Regroupements
Pour les 6e, la variable quantitative sera à valeurs entières ; le travail portera essentiellement sur lordre, et éventuellement sur un regroupement de différentes valeurs de la variable, comme déjà fait pour la variable qualitative : voir pour les 5e ci-dessous.
En 5e : dégager la nécessité dun regroupement en classes, et la nécessité de faire un choix réfléchi des classes. Tester au moins deux choix en faisant varier lamplitude des classes, qui doivent toutes être de même amplitude, conformément au programme.
Exemple 1B : « à quelle heure avez-vous pris votre petit déjeuner ? » : le minimum de la variable est 6h00 et le maximum est 10h30. Les élèves proposent de regrouper par tranche dune heure. Si cest dans le cadre dun questionnement sur linfluence de lheure de la prise du petit déjeuner par rapport à la baisse dattention en fin de matinée, le choix de classes damplitude plus petite, par exemple une demi-heure, peut permettre une étude plus fine : « 6h-6h29 », « 6h30-6h59 », etc,
Remarque : il sera important de donner du sens à ce découpage ; en effet, où placer une réponse du type 6h29min30s ? On pourra évoquer la convention décriture suivante : la réponse se situe dans la classe 6h-6h29 si elle indique que lévénement sest produit dans un laps de temps situé à partir de 6h et avant 6h30. Cette convention pourra être rapprochée de la convention prise pour les âges : dire quun enfant a 10 ans, cest dire quil a au moins 10 ans mais pas 11.
Construction des graphiques
Faire un travail spécifique sur la construction des graphiques :
pour la variable quantitative discrète, le diagramme utilisé est le diagramme en bâtons conformément au programme, et pour la variable quantitative continue en 5e, le diagramme utilisé est lhistogramme avec des classes de même amplitude ;
- traiter les problèmes déchelles ;
- faire un graphique des effectifs puis, en 5e, un graphique des fréquences.
Institutionnalisation : méthode de construction des graphiques, et en 5e, dégager que le graphique des effectifs et celui des fréquences ne diffèrent que par le choix des unités.
Fiches synthétiques pour les classes de 6e et 5e
Pour commencer, un travail préparatoire est à réaliser par lenseignant avant de mettre en place le parcours devant les élèves :
voir si ce PER peut être mené en liaison avec le projet détablissement ou un projet spécifique local ;
voir les modalités de mise en uvre, en particulier sous quelle forme et avec quel(s) collègues(s) ou partenaire(s) scolaire(s) mener le travail de comparaison.
Une fois ce travail fait, voici les fiches synthétiques pour chacune des six séances proposées :
Séance 1 - Présentation et lancement du projetDurée indicativeEnviron 15 20 minPhase 1 : Présentation du projet consistant à répondre à une question sur un thème à choisir ensembleTexte introductif ou questions posées aux élèves ou présentation du projet en liaison avec dautres disciplines ou le projet détablissementPhase 2 : Présentation de la réalisation dune enquête« Je vous propose de réaliser vous-mêmes une enquête sur un des thèmes suivants ».
Présentation de lobjectif de comparaison
Phase 3 : Recherche des sujets dintérêt des élèvesChoix du thème et travail à faire pour la séance suivante : « formuler les questions correspondantes de lenquête, et répondre vous-mêmes à ces questions. »
Demander aux élèves des premiers exemples de questions.
Séance 2 - Début de mise en forme du questionnaireDurée indicativeEnviron 30 min, voire plusPhase 1 : Première mise en commun
Mise en commun rapide des questions et réponses des élèves aux questions quils ont formulées eux-mêmes ; débat autour de quelques formulations ; débat pour comparer les différentes formes des questions, et de leur impact sur lobjectif visé de lenquête.
Phase 2 : Mise au point des modalités pratiquesDéfinir avec les élèves :
- la détermination du public auprès de qui lenquête sera réalisée, cest-à-dire la détermination de la population statistique qui sera étudiée ;
- choix de la forme du recueil des réponses
Insister sur la neutralité des enquêteurs
Phase 3 : Mise au point de la formulation des questions de lenquête
Rappeler aux élèves quil y a un objectif de comparaison, et faire émerger la nécessité davoir les mêmes questions dans les différents questionnaires.
On peut amener les élèves à réaliser que dans les médias, les résultats des enquêtes réalisées sont plus ou moins influencés par la forme des questions posées.
Travail à faire pour la séance suivante :
« Recopier ou reformuler sur une copie au moins 5 questions (certaines avec réponses proposées) sur le thème et donner vos propres réponses »
Séance 3 - Mise en forme précise du questionnaireDurée indicativeEnviron 30 minPhase 1 : Formulation des questions
Mise en commun rapide des questions et réponses des élèves aux questions quils ont formulées eux-mêmes ;
Lenseignant note la formulation définitive des questions et cerne avec les élèves le sens précis de chaque question.
Lenseignant veille à ce quil y ait des questions relevant dune variable qualitative, dune variable quantitative (discrète en 6e, discrète et continue en 5e)
Phase 2 : Formulation des formes de réponsePréciser la forme des réponses attendues aux questions de lenquête : durée en minutes par exemple, QCM.
Lenseignant veille à ce que ce ne soit pas un QCM, mais une réponse libre pour une des questions au moins relevant dune variable qualitative et une au moins relevant dune variable quantitative.Phase 3 : AnonymatPréciser quels sont les objectifs de lanonymat
Séance 4 - Présentations des résultatsDurée indicativeUne séance de cours, voire une séance et demieMatérielAffiche ou rétroprojecteur et transparent ou ordinateur et vidéo projecteurPhase 1 : Exploitation des réponses à une variable qualitative à plusieurs modalités
Par groupe, les élèves « dépouillent » les réponses à une question du questionnaire. Demander aux élèves de présenter les réponses. Mise en commun des propositions des élèves à partir de questions : « dans votre groupe, combien de réponses « laitages » ? « comment organiser les réponses ? ». Si lidée dun tableau ne vient pas, la leur proposer.
Phase 2 : Mise en commun de lensemble des réponsesChoix dun tableau de type « tableau deffectifs ». Construction sur transparent ou au tableau ou sur une affiche ou en rentrant les effectifs dans un fichier sur lordinateur des deux tableaux deffectifs à comparer. Introduction des mots « population », « individus », « effectifs ».Phase 3 : Exploitation des tableaux et représentation graphiqueDemander aux élèves de présenter lensemble des réponses et amener la question : « Comment présenter ces réponses sous une forme rapidement lisible ? » afin de faire émerger lintérêt dun graphique ; et si celui-ci némerge pas suffisamment rapidement, le proposer aux élèves.
Lenseignant construit le graphique lui-même (diagramme en barres ou en bâtons) au fur et à mesure avec les élèves, au tableau, sur un transparent, ou avec un tableur sur ordinateur.
Travail à faire sur feuille libre pour la séance suivante : construire un graphique pour lautre population ou pour un autre caractère. Leur demander de le faire assez grand pour que lon puisse lafficher.
Phase 4 (En 5e) : Etude du graphique construit, regrou-pement de modalitésMettre en évidence que, si plusieurs modalités ont de petits effectifs, on ne peut pas dégager de vision globale intéressante. Proposer un regroupement de certaines modalités : le faire en lien avec les questions qui ont motivé lenquête.Phase 4 (en 6e) ou 5 (en 5e) : institutionnalisationNotions dindividus et de population au sens statistique,
caractère ou variable statistique,
tableau deffectifs,
diagrammes en bâtons ou en barres
Séance 5 - Comparaison et, en 5e, mise en place de la notion de fréquence Durée indicativeUne ou deux séances de coursMatérielAffiche ou Rétroprojecteur et transparent ou ordinateur et vidéo projecteurPréparation préalablePremiers graphiques : un correspondant à chaque population, avec la même échelle, mais avec un ordre des modalités différents ;
Deuxièmes graphiques : un correspondant à chaque population, avec même ordre des modalités et des échelles telles que la modalité de plus grand effectif dune population paraisse plus grande que celle de plus grand effectif de lautre population alors que leffectif est plus petit. Prendre soin de mettre les mêmes graduations sur laxe des effectifs (de 10 en 10) pour que les élèves ne se polarisent pas sur cette différence, mais bien sur léchelle.
Troisièmes graphiques : sur la même population, faire deux choix déchelle de façon à gommer certaines différences, et remarquer la différence de perception induite avec les élèves.Phase 1 : Observation des graphiques construits par les élèves sur une des variables qualitatives à plusieurs modalités
Affichage des graphiques (que lenseignant ramassera ultérieurement).
Constater que lordre des modalités peut varier ;
dégager que suivant léchelle choisie, certains aspects seront amplifiés ou gommés.
Projeter éventuellement ceux préparés par lenseignant pour compléter les observations.Phase 2 : Mise au point sur les graphiquesSi cela est possible, poser des questions permettant de dégager des propriétés de proportionnalité : par exemple, si leffectif de la modalité A est le double de celui de B, la hauteur de la barre représentant leffectif de A sera le double de celle correspondant à B ;
Phase 3 : ComparaisonAfficher les deux graphiques du même type pour chacune des populations à comparer et les tableaux deffectifs correspondants. Les deux populations à comparer nauront pas le même effectif total.
Diverses questions sont posées :
« Déterminer la modalité (employer le vocabulaire adapté à la classe) qui a le plus grand ou plus petit effectif dans chaque population » ;
« Dans quelle population, y a-t-il plus délèves (par rapport à lensemble de la classe) qui prennent un petit déjeuner ? » convenir quon ne peut pas répondre. Demander alors dans quelle population la proportion délèves prenant un petit déjeuner par exemple est la plus importante. Expliquer le terme proportion : si 6 élèves sur 24 ne prennent pas un petit déjeuner on dira que la proportion délèves ne prenant pas de petit déjeuner est 6/24, cest-à-dire 1/4.
Phase 4 : Comparaison des proportionsFaire calculer les proportions à comparer en les présentant sous forme de fraction.
« Comment faire pour comparer ces proportions ? »
Partir des procédures des élèves ; en 6e si les élèves nont pas didée, proposer de comparer les nombres par exemple 11/26 et 57/107 en les calculant avec la calculatrice.
Phase 5 : Introduction de lintérêt des pourcentagesLenseignant propose d écrire 11 : 26 H" 0,42 ; et comme 0,42 = 42/100, cette proportion est à peu près la même que s il y avait 42 réponses dans une population de 100 individus. Puis indiquer qu une autre écriture du nombre 42/100 est 42 %.Phase 6 : Construction du tableau des fréquencesFaire construire pendant la séance ou pour la séance ultérieure le tableau des fréquences pour chaque population
Travail préparatoire pour la séance suivante : construire le tableau des effectifs pour une variable quantitative discrète en sixième et/ou continue en cinquièmePhase 7 : Institutionnalisation6e : méthode(s) pour obtenir une proportion sous forme de pourcentage
5e : tableau de fréquences et méthodes pour obtenir une proportion sous forme de pourcentage.
Séance intermédiaire : séance dentraînement sur lécriture sous forme de pourcentage et sur la comparaison de proportions
Comme expliqué en introduction, des questions soulevées lors du PER vont être génératrices dactivités dans dautres domaines du programme.
Calcul mental : par quel nombre multiplier 50, 25, 10, 2, 5 pour obtenir 100 ?
Exercice 1 : (dans le cas où légalité des fractions a déjà été vue ou revue) écriture de fraction sous la forme a/100
Fraction de type b/10, b/25, b/50, b/2, b/5
Exercice 2 : fraction « quelconque » en passant par une valeur approchée décimale
Exercice 3 : 1) dans une population de 200 habitants, il y 112 femmes. Déterminer le nombre dhommes et la proportion de femmes et dhommes dans cette population, exprimée en pourcentages.
2) sur un lot de 500 boîtes de conserves, on a trouvé 6 boîtes avariées. Déterminer la proportion de boîtes avariées. Comparer avec un lot de 1200 boîtes sur laquelle il y a 13 boîtes avariées.
Exercice 4 : dans une classe de 28 élèves, 5 élèves jouent au foot, 3 font de la danse. Quelle est la proportion délèves faisant de la danse, jouant au foot ? Comparer avec une classe de 29 élèves où 6 élèves font du foot, où 5 élèves font de la danse.
Séance 6 - Traitement dune variable quantitative Durée indicativeUne « heure » de coursMatérielPhase 1 : Etude dune variable quantitative
Pour les 6e, la variable quantitative sera à valeurs entières ; le travail portera essentiellement sur lordre, et éventuellement sur un regroupement de différentes valeurs de la variable, comme déjà fait pour la variable qualitative : voir pour les 5e ci-dessous.
En 5e : dégager la nécessité dun regroupement en classes, et la nécessité de faire un choix réfléchi des classes. Tester au moins deux choix en faisant varier lamplitude des classes, qui doivent toutes être de même amplitude, conformément au programme.
Phase 2 : Construction graphiquePour la variable quantitative discrète, le diagramme utilisé est le diagramme en bâtons conformément au programme, et pour la variable quantitative continue en 5e, le diagramme utilisé est lhistogramme avec des classes de même amplitude ;
Traiter les problèmes déchelles ;
En 5e, un graphique des fréquences.Phase 3 : ComparaisonUtilisation des graphiques pour faire des comparaisonsPhase 4 : InstitutionnalisationMéthode de construction des graphiques, et en 5e, dégager que le graphique des effectifs et celui des fréquences ne diffèrent que par le choix des unités.
Descriptif détaillé du parcours détude et de recherche pour les classes de 4e et 3e
Remarque : les trois premières séances sont très similaires à celles proposées en classes de 6e et 5e.
On pourra commencer par lire les fiches synthétiques proposées dans le document HYPERLINK \l "_Fiches_synthétiques_pour_"Fiches synthétiques pour les classes de 4e et 3e pour se faire une idée densemble de la séquence. La lecture du descriptif détaillé ci-dessous semble néanmoins indispensable.
Séance 1 Présentation et lancement du projet (environ 15 20 min)
Il est intéressant de motiver lenquête en fonction du contexte local : publication dans le journal du collège, IDD, projet interdisciplinaire, orientation scolaire ou professionnelle, etc ; mais la motivation peut être simplement de vouloir comparer la classe, sur un sujet donné, avec dautres classes, françaises ou non ; ou encore de se situer soi-même sur un sujet donné par rapport à la classe.
Partir
dun texte introductif : par exemple sur létalement géographique des villes, sur la vie à la campagne ; tout cela a-t-il de linfluence sur le temps de transport des élèves pour aller à lécole ? et pour aller plus loin, cela a-t-il de linfluence sur leur temps de travail ? leur temps de sommeil ? etc
.
ou de questions posées aux élèves à partir dévénements particuliers (retard dun élève, temps de sommeil, etc
) ;
ou dun projet en liaison avec dautres disciplines ou des thèmes de convergence, ou en liaison avec le projet détablissement, par exemple « éducation à la santé ».
Proposition de lenseignant : « Je vous propose de réaliser vous-mêmes une enquête sur un des thèmes suivants ».
Présenter lobjectif de comparaison : soit à une ou plusieurs autres classes du collège ou dun autre collège, ce qui nécessite une prise de contact et un travail de concertation de lenseignant avec les collègues en charge des autres classes concernées ; soit à lenquête canadienne.
Pour la séance suivante, demander à chacun de choisir lun des thèmes, de formuler les questions correspondantes de lenquête, et de répondre eux-mêmes à ces questions.
Séance 2 Début de mise en forme du questionnaire (environ 25/30 min)
Mise en commun rapide des questions et réponses des élèves aux questions quils ont formulées eux-mêmes ; discussion autour de quelques formulations inacceptables de par leur manque de précision, ou leur effet pervers, ou autres.
Choix dun seul thème
Eventuellement influencer ce choix dans le cas dun travail en commun avec plusieurs classes ;
Il est nécessaire dexpliciter clairement à quel questionnement cette enquête se propose de répondre, quel que soit le cadre adopté, projet interdisciplinaire ou autre. En effet, cela motivera le dépouillement ultérieur, mais aussi permettra un regroupement des modalités pour la variable qualitative qui ne soit pas arbitraire mais utile pour la réponse au questionnement (voir le descriptif de la séance 4)
Mise au point des modalités pratiques
détermination du public auprès de qui lenquête sera réalisée, cest-à-dire détermination de la population statistique qui sera étudiée (voir annexe B sur la notion de population statistique): la classe uniquement, lensemble des élèves du collège, lensemble des élèves de classes de même niveau du même collège ou dun collège voisin, etc ;
choix de la forme du recueil des réponses : parution du questionnaire dans le journal du collège et boîte pour recueillir les réponses, ou élèves allant interviewer des élèves du collège ou les élèves de Quatrième-Troisième quils connaissent, ou enseignant faisant passer le questionnaire dans ses autres classes de collège.
Il est très important dêtre vigilant sur ces modalités, en particulier dans le cas où les élèves auront à jouer le rôle denquêteurs :
La population étudiée doit être déterminée avant la réalisation de lenquête, et toute cette population doit être interrogée. Aussi, il ne faut pas restreindre lenquête à linterview par les élèves de quelques personnes de leur choix personnel ; en effet, si cest le cas, lenquête ne pourra pas être considérée comme un travail relevant de la statistique descriptive, et le sérieux du travail effectué pourra être contesté ;
Insister auprès des élèves sur limportance de leur neutralité lorsquils poseront les questions, cest-à-dire quils ne doivent pas influencer les réponses des personnes quils vont questionner.
Institutionnalisation : vocabulaire Population, Individu
Mise au point de la formulation des questions de lenquête
Rappeler aux élèves quil y a un objectif de comparaison, et faire émerger la nécessité davoir les mêmes questions dans les différents questionnaires.
Deux cas de figure :
- soit la comparaison est faite avec une ou plusieurs classes dun même ou de plusieurs collèges français, et lenseignant repart avec les questions en indiquant aux élèves quil va consulter ses collègues afin dharmoniser leur formulation ;
- soit la comparaison se fait avec les résultats de lenquête canadienne, et on reprend la formulation de ses questions.
Remarques
même si les élèves ont déjà réalisé une enquête dans les classes antérieures, on peut éventuellement insister auprès des élèves sur le fait que dans les médias, les résultats des enquêtes réalisées sont plus ou moins influencés par la forme des questions posées.
pour faciliter la mise en place de la notion de « moyenne », il est important de disposer dune variable quantitative discrète prenant un petit nombre de valeurs ;
Séance 3 Mise en forme précise du questionnaire (environ 25-30 min)
Formulation des questions
Rediscuter avec les élèves de la formulation des questions. Dans le cas où le professeur aura mis au point une formulation avec des collègues en charge dautres classes, bien cerner avec les élèves le sens précis quils donnent à ces questions, et éventuellement modifier une dernière fois leur forme. Bien sentendre sur le sens des mots, par exemple sur le sens du mot « habituel» sil est utilisé, ou distinguer jour de semaine et jour de week-end, afin de pouvoir les expliquer aux personnes interrogées lors de lenquête.
Forme des réponses aux questions
Discuter avec les élèves :
- sur la forme des réponses attendues aux questions de lenquête : par exemple pour exprimer une durée, il faudra préciser quon demande une réponse en minutes ou autre,
- sur la forme des questions : questions ouvertes ou questions fermées ? Cest-à-dire questions où la réponse est libre, et questions dont la réponse est à cocher parmi un ensemble de réponses prédéfinies (type QCM) ;
Nous suggérons, que pour une des questions au moins relevant dune variable qualitative et une au moins relevant dune variable quantitative, de ne pas proposer un choix de réponses possibles, car cela devrait permettre un travail sur lanalyse des données à la séance suivante.
- de la comparaison à effectuer : plusieurs classes du collège, la classe à lensemble du collège, plusieurs collèges, la classe à lenquête canadienne, etc.
Pour la séance suivante, les élèves devront répondre eux-mêmes aux questions de lenquête, et/ou réaliser lenquête auprès du public désigné ; dans le cas dune enquête réalisée en dehors de la classe, ils devront avoir préparé chacun le tableau deffectifs correspondant à la comparaison choisie..
Séance 4 Regroupement des résultats (Une séance )
Mise en commun des réponses recueillies par les élèves
Construire le tableau deffectif global de la classe ; cela permettra de réactiver ou dactiver la construction des tableaux, ainsi que le vocabulaire « caractère », « modalités », « effectifs ».
Même si dautres modalités peuvent être mises en uvre, il est très intéressant de mener cette séance en organisant le travail des élèves par groupes de trois ou quatre ; chaque groupe peut être chargé de dépouiller les résultats relatifs à une question qualitative et une question quantitative pour une partie des questionnaires. La mise en commun des résultas de tous les groupes peut se faire sous la direction du professeur, éventuellement en utilisant un tableur visualisé par tous à laide dun vidéo projecteur.
A la fin du travail, le professeur peut voir ou revoir avec les élèves que les tableaux deffectifs ne font pas apparaître le nom des personnes qui ont répondu.
Regroupements éventuels
Mettre en évidence que si plusieurs modalités ont de petits effectifs, on ne peut pas dégager de vision globale intéressante, et faire émerger la nécessité dun regroupement. Puis rappeler lobjectif de comparaison et :
soit choisir un regroupement permettant de comparer la classe avec la population de lenquête,
soit proposer le regroupement déjà retenu après concertation avec les collègues en charge des autres classes françaises,
soit proposer le regroupement effectué dans lenquête canadienne.
Concernant le premier regroupement, il est important de lui donner du sens et de leffectuer en lien avec le questionnement qui motive lenquête.
Remarque : il est important que lenseignant prévoie à lavance les regroupements pertinents par rapport au questionnement, afin de ne pas se laisser déborder par des discussions « techniques » inutiles entre les élèves. Cf. Compte-rendu dexpérimentation en 6e-5e HYPERLINK \l "_Séance_4_" Séance 4 Présentations des résultats (une séance de cours, voire une séance et demie.) : paragraphe b) exemple 2.
Pour la séance suivante, demander aux élèves de construire un graphique (sur feuille libre et suffisamment grande pour être lisible de loin lors de laffichage à la séance suivante) pour lune des variables qualitatives et lune des quantitatives discrètes.
Remarques
ne pas imposer de forme particulière de graphique ; à la séance suivante, cela permettra dune part de voir quelles formes de graphiques les élèves élaborent de leur propre chef, et dautre part de comparer la lisibilité selon la forme retenue ;
Le professeur pourra, de son côté, préparer plusieurs graphiques, sur transparents ou sur vidéo projecteur, en faisant varier léchelle, lordre des modalités pour la variable qualitative, etc. Par exemple, pour une variable qualitative à plusieurs modalités et pour deux populations distinctes :
Premiers graphiques : un correspondant à chaque population, avec la même échelle, mais avec un ordre des modalités différents ;
Deuxièmes graphiques : un correspondant à chaque population, avec même ordre des modalités et des échelles telles que la modalité de plus grand effectif dune population paraisse plus grande que celle de plus grand effectif de lautre population alors que leffectif est plus petit. Prendre soin de mettre les mêmes graduations sur laxe des effectifs (de 10 en 10) pour que les élèves ne se polarisent pas sur cette différence, mais bien sur léchelle.
Troisièmes graphiques : sur la même population, faire deux choix déchelle de façon à gommer certaines différences, et remarquer la différence de perception induite avec les élèves.
ii) il est important de bien ( !) choisir la variable quantitative discrète de telle sorte que, à la séance suivante, la moyenne apparaisse comme un outil pertinent pour la comparaison et soit simple à obtenir.
Séance 5 - Comparaison et mise en place de la notion de moyenne en 4e, ou réactivation en 3e (une « heure » de cours en 4e, peut-être moins en 3e)
Mise en commun des graphiques
En fonction des graphiques produits par les élèves, le professeur utilisera ou non les graphiques quil aura préparés.
Il fera dégager les différences de lisibilité et dinterprétation entre les différents graphiques produits ou projetés.
Il réactivera à cette occasion les règles de construction dun graphique en bâtons ou en barres : la hauteur des bâtons ou des barres est proportionnelle à leffectif correspondant. Si des élèves ont produit des graphiques en camembert, le professeur pourra décrire brièvement le procédé de construction de ce type de graphique, mais reportera sa construction par chacun à une séance ultérieure.
Traitement de la variable qualitative retenue
Comparaison de plusieurs populations :
Projeter les tableaux deffectifs et les graphiques correspondants pour les deux populations à comparer.
Demander « Que peut-on comparer ? » Constater que les tableaux deffectifs et les graphiques correspondants ne permettent que certaines comparaisons ; par exemple, si on se pose la question :
« On veut déterminer la modalité qui a le plus grand ou plus petit effectif dans chaque population », alors on pourra y répondre ;
« Est-ce quau moins la moitié des élèves du collège vont à lécole en voiture et quen est-il pour les autres ? ou pour les canadiens ? », alors le travail effectué jusquà présent ne permettra pas dy répondre.
« Dans quelle classe y a-t-il plus délèves qui prennent un petit déjeuner ?», alors cette question na pas vraiment de sens. Par exemple, si dans une classe de 26 élèves, il y a 24 élèves qui prennent un petit déjeuner, tandis que dans la population formée de deux autres classes deffectif total 50, 25 élèves prennent un petit déjeuner, il semblera dénué de sens de se contenter du fait que 25 est supérieur à 24 pour conclure.
On dégagera alors la nécessité dutiliser les fréquences au lieu des effectifs. Faire construire le tableau des fréquences.
Pour la séance suivante, demander de construire le graphique en bâtons des fréquences correspondant au regroupement effectué au a), et de répondre au problème de comparaison.
Traitement de la variable quantitative discrète retenue
On pourra procéder en six temps :
1) faire une première comparaison rapide à laide des graphiques ;
2) proposer daller plus loin dans la comparaison et évoquer lidée de chercher à résumer la distribution deffectifs de la variable pour chacune des populations étudiées. On peut alors poser la question : comment faire pour résumer ces distributions deffectifs à laide dun seul nombre ? Le mot de « moyenne » ou lexpression « valeur moyenne » va probablement émerger plus ou moins rapidement en 4e (sinon évoquer une situation de notes scolaires !), et assez rapidement en 3e ;
3) sans en donner déjà une définition officielle, proposer que chacun calcule la « moyenne » de la variable quantitative pour la population « classe » ;
4) discuter les valeurs obtenues par les élèves : il est très probable que, en 4e, des valeurs différentes soient trouvées ; en effet, certains élèves auront trouvé le résultat correct, dautres auront simplement calculé la somme des différentes valeurs divisée par le nombre de ces valeurs sans tenir compte des effectifs de chacune de ces valeurs, et dautres encore auront calculé la somme des différentes valeurs divisée par leffectif total. Mettre en débat les différentes procédures des élèves pour ce calcul, et faire éliminer les procédures erronées ; éventuellement, pour éliminer les procédures erronées, le professeur pourra évoquer une situation imaginaire où il ny aurait que deux valeurs obtenues avec des effectifs très différents ; en 3e, cette phase permet à lenseignant de faire une évaluation diagnostique des connaissances/souvenirs des élèves sur le sujet ;
5) en 4e définir la moyenne dune variable quantitative discrète ; en 3e, faire rappeler la définition ;
6) revenir au problème de comparaison annoncé, calculer la moyenne de la variable statistique étudiée pour la ou les autre(s) population(s) ; en déduire un type de comparaison sappuyant sur cette moyenne.
Institutionnalisation à la fin de cette séance en 4e (et éventuellement en 3e) : moyenne dune variable quantitative discrète.
Pour la séance suivante, demander aux élèves de déterminer la moyenne dune autre variable quantitative discrète.
Remarques
i) Au cas où le point 2) est un moment de réactivation de notions déjà vues dans les classes antérieures, ne pas y passer trop de temps.
ii) Faire attention à lutilisation du logiciel Excel : la touche intitulée « histogramme » de la barre doutils ne donne pas un histogramme !
iii) Voir Annexe (D) (en cours de réalisation) pour le calcul dune moyenne pondérée avec Excel.
Séance 6 Approfondissement (une « heure » de cours)
Objectif : montrer que la moyenne ne permet pas toujours une comparaison intéressante car elle est un résumé trop grossier ; on pourra introduire les effectifs et fréquences cumulés et faire visiter aux élèves la notion de quartiles (sans la formaliser en 4e, à formaliser en 3e à partir de la rentrée 2008 car la notion entre dans le nouveau programme 2008), ainsi que celle de diagramme en boîtes.
Deux possibilités vont se présenter
Soit les résultats de lenquête ont fait apparaître une variable présentant des moyennes proches pour deux populations distinctes, mais avec des distributions de fréquence différentes ;
Soit ce nest pas le cas, et le professeur pourra créer une population fictive pour laquelle la variable présente ces caractéristiques.
On dispose donc ici dune variable sur deux populations ayant des moyennes proches ; voir avec les élèves que ces éléments ne permettent pas une comparaison fine.
Dans le but de poursuivre cette comparaison :
Afficher les moyennes et les graphiques des effectifs ;
En 3e, introduire lidée de dispersion et dégager la notion détendue ;
puis poser des questions du type, par exemple : « Peut-on comparer les deux populations du point de vue de ceux qui mettent moins de dix minutes, moins dun quart dheure, moins dune demi-heure, etc, pour venir au collège ?». Lobjectif ici est darriver à la notion de fréquences cumulées pour répondre à ce type de question ; faire calculer les fréquences cumulées et en dégager lintérêt, puis amener les élèves à construire les graphiques correspondants. En 3e, poursuivre vers la définition de la médiane par des questions du type, par exemple : « Peut-on trouver une valeur m pour laquelle le caractère prend une valeur supérieure ou égale à m pour au moins la moitié de la population et prend une valeur inférieure ou égale à m pour au moins la moitié de la population ? ».
Remarques :
Les élèves ont déjà été sensibilisés à lintérêt des fréquences par rapport aux effectifs à la séance 5 ; le professeur pourra peut-être évoquer cette situation si les élèves ne pensent pas deux-mêmes à lutilisation des fréquences et en restent à lutilisation des effectifs ;
Il peut être intéressant de familiariser les élèves à tirer des informations de la lecture directe du graphique de la distribution des effectifs ou des fréquences, sans avoir systématiquement recours aux effectifs ou fréquences cumulés.
Institutionnalisation :
insister sur le fait que la moyenne nest pas toujours un outil performant pour comparer des résultats statistiques
étendue en 3e
fréquences cumulées dune variable quantitative discrète en 3e, graphiques des fréquences cumulées
médiane en 3e.
Pour la séance suivante : poser des questions concernant lune des variables qui amènent à des calculs de fréquences cumulées, et à létendue et à la médiane en 3e .
Séance 7 Traitement dune variable quantitative continue, classes
En cours de rédaction
Etudier une variable quantitative du questionnaire que lon voudra considérer comme continue (remarquer que lon a toujours des données discrètes !). Dégager lintérêt du regroupement en classes, en sinspirant du travail fait pour les variables qualitatives.
Demander aux élèves de déterminer la moyenne de la variable quantitative que lon voudra considérer comme continue, mais sans évoquer cette considération avec les élèves.
Séance ultérieure En cours de rédaction : Approfondissement sur la notion de moyenne : autre point de vue
Faire comprendre que la moyenne est « la valeur quaurait le caractère sil était constant à somme égale »
Exercices de réinvestissement
Fiches synthétiques pour les classes de 4e et 3e
Séance 1 - Présentation et lancement du projetDurée indicativeEnviron 15 20 minPhase 1 : Présentation du projet consistant à répondre à une question sur un thème à choisir ensembleTexte introductif ou questions posées aux élèves ou présentation du projet en liaison avec dautres disciplines ou le projet détablissementPhase 2 : Présentation de la réalisation dune enquête« Je vous propose de réaliser vous-mêmes une enquête sur un des thèmes suivants ».
Présentation de lobjectif de comparaison
Phase 3 : Recherche des sujets dintérêt des élèvesChoix du thème et travail à faire pour la séance suivante : « formuler les questions correspondantes de lenquête, et répondre vous-mêmes à ces questions. »
Demander aux élèves des premiers exemples de questions.
Séance 2 - Début de mise en forme du questionnaireDurée indicativeEnviron 30 min, voire plusPhase 1 : Première mise en commun
Mise en commun rapide des questions et réponses des élèves aux questions quils ont formulées eux-mêmes ; débat autour de quelques formulations ; débat pour comparer les différentes formes des questions, et de leur impact sur lobjectif visé de lenquête.
Phase 2 : Mise au point des modalités pratiquesDéfinir avec les élèves :
- la détermination du public auprès de qui lenquête sera réalisée, cest-à-dire la détermination de la population statistique qui sera étudiée ;
- choix de la forme du recueil des réponses
Insister sur la neutralité des enquêteursPhase 3 : Mise au point de la formulation des questions de lenquête
Rappeler aux élèves quil y a un objectif de comparaison, et faire émerger la nécessité davoir les mêmes questions dans les différents questionnaires.
On peut amener les élèves à réaliser que dans les médias, les résultats des enquêtes réalisées sont plus ou moins influencés par la forme des questions posées.
Travail à faire pour la séance suivante :
« Recopier ou reformuler sur une copie au moins 5 questions (certaines avec réponses proposées) sur le thème et donner vos propres réponses »Séance 3 - Mise en forme précise du questionnaireDurée indicativeEnviron 30 minPhase 1 : Formulation des questions
Mise en commun rapide des questions et réponses des élèves aux questions quils ont formulées eux-mêmes ;
Lenseignant note la formulation définitive des questions et cerne avec les élèves le sens précis de chaque question.
Lenseignant veille à ce quil y ait des questions relevant dune variable qualitative, dune variable quantitative (discrète ; continue )
Phase 2 : Formulation des formes de réponsePréciser la forme des réponses attendues aux questions de lenquête : durée en minutes par exemple, QCM.
Lenseignant veille à ce que ce ne soit pas un QCM, mais une réponse libre pour une des questions au moins relevant dune variable qualitative et une au moins relevant dune variable quantitative.Phase 3 : AnonymatPréciser quels sont les objectifs de lanonymatSéance 4 - Présentations des résultatsDurée indicativeUne « heure » de coursMatérielAffiche ou Rétroprojecteur et transparent ou ordinateur et vidéo projecteurPréparation préalableTableau deffectifs sur ordinateur (tableur)
Choix de la variable quantitative discrète qui sera intéressante pour le calcul de moyennePhase 1 : Exploitation des réponses à une variable qualitative à plusieurs modalités
Par groupe, les élèves « dépouillent » les réponses à une question du questionnaire. Demander aux élèves de présenter les réponses : « comment organiser les réponses ? ». Le tableau devrait émerger rapidement. Construction en commun (sur transparent ou au tableau ou sur une affiche ou en rentrant les effectifs dans un fichier sur lordinateur) dun tableau deffectifs pour cette variable qualitative
Réactivation du vocabulaire population, effectifs, modalités, caractère.
Phase 2 : Mise en commun des réponses à une variable quantitativePar groupe, dépouillement des réponses à une question correspondant à une variable quantitative ; réalisation du tableau deffectifs.
Mise en commun sous la direction du professeur.Phase 3 : Regroupements éventuelsMettre en évidence que si plusieurs modalités ont de petits effectifs, on ne peut pas dégager de vision globale intéressante, et faire émerger la nécessité dun regroupement. Puis rappeler lobjectif de comparaison et effectuer les regroupements en lien avec le questionnement qui motive lenquête.
Phase 4 : (en 4e et 3): institutionnalisation (ou plutôt réactivation) Réactivation : Notions dindividus et de population au sens statistique,
caractère ou variable statistique,
tableau deffectifs,
Travail à faire sur feuille libre pour la séance suivante : construire un graphique pour lune des variables qualitatives et lune des variables quantitatives. Le type de graphique nest pas imposé. Leur demander de le faire assez grand pour que lon puisse lafficher.
Séance 5 - Comparaison, mise en place de la notion de moyenne en 4e ou réactivation en 3e Durée indicativeUne séance de coursMatérielAffiche ou Rétroprojecteur et transparent ou ordinateur et vidéo projecteurPréparation préalable- Graphiques pour la variable qualitative :
Premiers graphiques : un correspondant à chaque population, avec la même échelle, mais avec un ordre des modalités différents ;
Deuxièmes graphiques : un correspondant à chaque population, avec même ordre des modalités et des échelles telles que la modalité de plus grand effectif dune population paraisse plus grande que celle de plus grand effectif de lautre population alors que leffectif est plus petit. Prendre soin de mettre les mêmes graduations sur laxe des effectifs (de 10 en 10) pour que les élèves ne se polarisent pas sur cette différence, mais bien sur léchelle.
Troisièmes graphiques : sur la même population, faire deux choix déchelle de façon à gommer certaines différences, et remarquer la différence de perception induite avec les élèves.
- Tableau deffectifs pour la variable quantitative discrète choisiePhase 1 : Observation des graphiques construits par les élèves sur une des variables qualitatives à plusieurs modalités
Affichage des graphiques (que lenseignant ramassera ultérieurement). Dégager les différences de lisibilité et dinterprétation entre les différents graphiques produits ou projetés.
Constater que lordre des modalités peut varier.
Dégager que suivant léchelle choisie, certains aspects seront amplifiés ou gommés.
Projeter éventuellement ceux préparés par lenseignant pour compléter les observations.Phase 2 : Mise au point sur les graphiquesRéactivation rapide des règles de construction dun graphique en bâtons ou en barres: la hauteur des bâtons ou des barres est proportionnelle à leffectif correspondant. Si des élèves ont produit des graphiques en camembert, le professeur pourra faire décrire brièvement le procédé de construction de ce type de graphique, mais reportera sa construction par chacun à une séance ultérieure.Phase 3 : Comparaison de deux populations pour la variable qualitative retenueAfficher les deux graphiques du même type pour chacune des populations à comparer et les tableaux deffectifs correspondants. Les deux populations à comparer nauront pas le même effectif total.
Demander : « que peut-on comparer ? » ; on pourra aussi poser diverses questions, par exemple :
« Déterminer la modalité qui a le plus grand ou plus petit effectif dans chaque population » ;
« Dans quelle population y a-t-il plus délèves (par rapport à lensemble de la classe) qui prennent un petit déjeuner ? », pour amener les élèves à constater quon ne peut pas répondre. Demander alors dans quelle population la proportion délèves prenant un petit déjeuner par exemple est la plus importante. (Ré)expliquer le terme proportion : si 6 élèves sur 24 ne prennent pas un petit déjeuner on dira que la proportion délèves ne prenant pas de petit déjeuner est 6/24, cest-à-dire 1/4.
Difficulté à comparer les fractions 17/28 et 14/23 (par exemple) doù la nécessité dutiliser les fréquences exprimées en pourcentages.Phase 4 : construction du tableau des fréquencesPour chaque population, déterminer la fréquence pour une modalité de la variable étudiée.
Pour la séance suivante, faire construire le tableau des fréquences pour chaque population.Phase 5 : variable quantitative discrète : introduction de la notion de moyenne1) Faire une première comparaison rapide à laide des graphiques projetés par lenseignant (ceux préparés par les élèves sont ramassés) ;
2) Proposer daller plus loin dans la comparaison et évoquer lidée de chercher à résumer la distribution deffectifs de la variable pour chacune des populations étudiées. On peut alors poser la question: comment faire pour résumer ces distributions deffectifs à laide dun seul nombre ? Le mot de « moyenne » ou lexpression « valeur moyenne » va probablement émerger plus ou moins rapidement en 4e (sinon évoquer une situation de notes scolaires !), et assez rapidement en 3e ;
Sans en donner déjà une définition officielle, proposer que chacun calcule la « moyenne » de la variable quantitative pour la population « classe » ;
3) Discuter les valeurs obtenues par les élèves et éliminer les procédures erronées ; (en 3e, cette phase permet à lenseignant de faire une évaluation diagnostique des connaissances/souvenirs des élèves sur le sujet)
4) En 4e définir la moyenne dune variable quantitative discrète ; en 3e, faire rappeler la définition. Il est essentiel ici damener les élèves à voir la « moyenne pondérée » comme une simple réécriture plus rapide de la moyenne arithmétique ; cela permet de donner du sens à la formule et évite de la présenter aux élèves comme une formule très difficile à retenir.
5) Revenir au problème de comparaison annoncé, calculer la moyenne de la variable statistique étudiée pour la ou les autre(s) population(s) ; en déduire un type de comparaison sappuyant sur cette moyenne.
Phase 6 : InstitutionnalisationRappels : tableau de fréquences et méthodes pour obtenir une proportion sous forme de pourcentage.
Institutionnalisation en 4e (et éventuellement en 3e) : moyenne dune variable quantitative discrète.
Extrait programme de 4e : deux procédés de calcul différents de la moyenne sont mis en oeuvre :
- somme des n données divisée par n,
- moyenne pondérée des valeurs par leurs effectifs.
Les élèves doivent savoir calculer, pour de petits effectifs, une moyenne par la procédure de leur choix. Pour des effectifs plus grands, cette procédure est basée sur lusage du tableur ou de la calculatrice.
Pour la séance suivante, demander aux élèves de déterminer la moyenne dune autre variable quantitative discrète.
Séance 6 En 3e : Traitement dune variable quantitative Approfondissement Durée indicativeUne « heure » de coursObjectif Montrer que la moyenne ne permet pas toujours une comparaison intéressante car elle est un résumé trop grossier ; on pourra introduire les effectifs et fréquences cumulés et faire visiter aux élèves la notion de quartiles sans la formaliser en 4e, à formaliser en 3e (nouveau programme 2008), ainsi que celle de diagramme en boîtes.Matériel Rétroprojecteur ou ordinateur + vidéo projecteur
PréparationChoisir une variable présentant des moyennes proches pour deux populations distinctes, mais avec des distributions de fréquence différentes ;
Si, dans lenquête, ce cas nest pas présent, le professeur pourra créer une population fictive pour laquelle la variable présente ces caractéristiques.
Phase 1 : Etude dune variable quantitative sur deux populations ayant des moyennes proches
Afficher les moyennes et les graphiques des effectifs ;
Voir avec les élèves que la moyenne ne permet pas dans ce cas une comparaison fine.Phase 2 : en 3e, introduction des fréquences cumuléesDans le but de poursuivre cette comparaison :
introduire lidée de dispersion et dégager la notion détendue ;
Poser des questions du type, par exemple : « Peut-on comparer les deux populations du point de vue de ceux qui mettent moins de dix minutes, moins dun quart dheure, moins dune demi-heure, etc, pour venir au collège ?». Lobjectif ici est darriver à la notion de fréquences cumulées pour répondre à ce type de question ; faire calculer les fréquences cumulées et en dégager lintérêt, puis amener les élèves à construire les graphiques correspondants. Poursuivre vers la définition de la médiane par des questions du type, par exemple : « Peut-on trouver une valeur m pour laquelle le caractère prend une valeur supérieure ou égale à m pour au moins la moitié de la population et prend une valeur inférieure ou égale à m pour au moins la moitié de la population ? ».
Phase 3 : InstitutionnalisationInstitutionnalisation :
insister sur le fait que la moyenne nest pas toujours un outil performant pour comparer des résultats statistiques
étendue en 3e
fréquences cumulées dune variable quantitative discrète en 3e, graphiques des fréquences cumulées
médiane en 3e.
Pour la séance suivante : poser des questions concernant lune des variables qui amènent à des calculs de fréquences cumulées, et à létendue et à la médiane en 3e.
Comptes-rendus dexpérimentation en classes de 6e et 5e ; exemple de questionnaire en 4e
Description de procédures et de réactions délèves
Dans ce paragraphe, nous proposons la description de quelques procédures et réactions délèves observées lors des expérimentations des séquences durant lannée scolaire 2006/2007
Ce qui est présenté ci-dessous est une synthèse ou les points marquants des observations menées lors des expérimentations effectuées cette année-là. Les trois premières séances ont été réalisées avant les vacances de printemps, lenquête avant ou pendant les vacances de printemps.
On reprend ici le plan du descriptif détaillé des activités détude et de recherche en 6e / en 5e
Séance 1 Présentation et lancement du projet (environ 15 20 min)
Comme on la déjà signalé, il a été constaté lors de certaines expérimentations que quelques élèves ont fait part de leur impression quune partie du travail (par exemple : élaboration du questionnaire, dépouillement) ne relève pas du cours de mathématiques. Il est donc important de présenter le projet afin déviter ce genre de remarques ou davoir des réponses prêtes. On peut, par exemple, indiquer que la problématique initiale nest pas du domaine mathématique, mais quy répondre nécessite lutilisation de notions et doutils mathématiques (certains étant nouveaux dans le programme), et que la qualité du travail mathématique dépend de la qualité du travail en amont. De plus, lélaboration dun questionnaire, les problèmes liés au dépouillement, etc, relèvent de léducation à la citoyenneté ; or, dans les programmes, il est demandé explicitement aux enseignants de mathématiques de participer à cette éducation.
Séance 2 Début de mise en forme du questionnaire (environ 30 min, voire plus)
Dans deux des expérimentations, les élèves nont pas joué le rôle denquêteurs, les questionnaires ont été proposés par des enseignants (de mathématiques ou non) à la fin dune séance à tous les élèves dune même classe. Pour lune, la professeure de mathématiques a mené lexpérimentation en statistique dans sa classe de 6e, et a posé le questionnaire à tous les élèves de ses classes (une de chaque niveau du collège) ; pour lautre, le projet sest inscrit dans le cadre du projet détablissement et les élèves de toutes les classes de 6e de létablissement (soit 11 classes) ont répondu au questionnaire, un professeur de chacune de ces classes ayant accepté de contribuer au projet par ce biais.
Séance 3 Mise en forme précise du questionnaire (environ 25-30 min)
Dans lune des expérimentations, deux enseignantes de deux collèges différents ont travaillé avec leurs classes sur le thème du "Petit déjeuner", avec lintention de comparer les résultats des deux collèges. Pour des problèmes de calendrier, la première a travaillé sur la mise en forme précise du questionnaire sans pouvoir se concerter avec lautre, et lui a transmis la forme finale. Cest pourquoi la seconde a conduit cette séance de la manière suivante : pour chacune des questions, lorsque les élèves approchaient de la forme finalisée, elle leur montrait sur transparent la question posée dans la classe de sa collègue ; ses élèves ont alors soit adopté la forme proposée, soit gardé leur propre formulation car ils repéraient des défauts. Lenseignante a respecté le choix de ses élèves, tout en prenant soin davoir au moins deux questions parfaitement communes avec la première classe pour travailler sur la comparaison.
Séance 4 Présentations des résultats (une séance de cours, voire une séance et demie.)
Rappel : la séance 4 porte sur la présentation des résultats pour une variable qualitative à plusieurs modalités
Lors dune des expérimentations, lintroduction du mot « Statistique » en début de séance a manifestement induit les élèves à parler de pourcentage, de « camembert » à des moments où il ny avait pas lieu den parler.
Choix dune forme du tableau
Exemples de mise en uvre de la mise en commun :
Exemple 1A : cas dune enquête sur le thème « Petit déjeuner », et portant sur lensemble des élèves de 6e dun collège (près de 300 réponses), avec un questionnaire comportant de nombreuses questions, mis au point par la classe de 6eA. Les élèves de cette classe nont pas joué le rôle denquêteurs, et lenseignante dispose de tous les questionnaires remplis par chaque classe de 6e du collège. Elle a réparti ses élèves de 6eA en 11 groupes, composés avec soin ; elle avait réservé le CDI afin davoir de lespace. Elle a posé le problème du dépouillement de ces réponses aux élèves, qui ont très rapidement proposé que chaque groupe soit en charge dune classe. Elle a distribué les 11 paquets aux 11 groupes, leur indiquant quils avaient 10 minutes en autonomie pour en tirer quelque chose. Voyant que certains élèves commençaient à lire les questionnaires, elle a rappelé quau bout de lheure, on voulait pouvoir donner quelques résultats, et donc quon navait pas le temps de lire chaque questionnaire en détail ; les élèves ont alors convenu quon allait sintéresser à une seule question, que la professeure a alors indiquée :
Prends-tu un petit-déjeuner le matin ?
a) toujours b) souvent c) quelquefois d) jamais
Pendant les 5 minutes suivantes, en autonomie complète, les groupes ont développé différentes stratégies : plusieurs ont effectué des tableaux en mettant une « coche » par réponse de chaque catégorie, dautres répartissaient les questionnaires en tas, dautres encore navançaient pas. Après une mise en commun, la stratégie des tableaux a été adoptée, ainsi que la forme finale « des tableaux deffectifs ». Puis le groupe en charge de la classe 6eA est venu au tableau écrire ses résultats ; chaque groupe est ensuite venu écrire ses résultats. Le point intéressant est que le deuxième groupe a naturellement prolongé les colonnes du tableau initial pour y inscrire ses résultats ; il na pas fait un nouveau tableau.
Exemple 1B : cas dune enquête portant sur une centaine délèves environ, avec un questionnaire comportant peu de questions. Ici, chaque élève de la classe a répondu lui-même au questionnaire, puis a interrogé trois élèves de sixième ou cinquième sur le petit déjeuner ; il dispose ainsi de quatre questionnaires remplis. Pour la question « quas-tu pris au petit déjeuner ce matin », après avoir fait émerger que les résultats allaient être mis dans un tableau, lenseignant interroge les élèves pour lister lensemble des modalités de cette variable. Pour chaque modalité, il fait ensuite lever le doigt aux élèves qui ont au moins un individu (sur les 4 interrogés) ayant proposé cette modalité, et leur demande dindiquer au fur et à mesure le nombre dindividus concernés sur quatre réponses dont ils disposent. Lenseignant note au fur et à mesure les résultats dans un tableau tracé sur un transparent au rétroprojecteur ou sur un ordinateur projeté, ce qui lui permet de le photocopier pour les élèves et déviter un temps de copie.
Exemple 1C : cas dune enquête mise en place par deux professeures dun même collège dans leur classe de 6e, sur le thème « Petit déjeuner », et portant sur lensemble des élèves ayant ces deux professeurs de mathématiques, avec un questionnaire comportant de nombreuses questions. Les élèves de ces deux classes nont pas joué le rôle denquêteurs ; pour cette séance, lenseignante dispose des questionnaires remplis, a déjà dépouillé lensemble des questionnaires, en distinguant les résultats concernant ses élèves de ceux concernant les élèves de sa collègue, et a préparé les tableaux et les graphiques correspondants sur ordinateur avec un tableur. Tout dabord, la mise en forme des résultats est discutée, et rapidement les élèves arrivent à la construction dun tableau dont la forme est ébauchée au tableau. Puis le professeur, grâce à un vidéo projecteur, montre les différents tableaux quelle a obtenus pour ses élèves et ceux de sa collègue. Plus tard dans la séance, elle proposera les graphiques.
Ces tableaux sont-ils exploitables, et comment ?
Exemple de réactions délèves : dans un certain nombre de classes, les élèves ont proposé spontanément des « camemberts » comme représentation graphique. Or, par exemple pour la question « que prenez vous le matin au petit déjeuner », les individus de la population peuvent donner plusieurs réponses pour cette question ; donc la représentation graphique en diagramme circulaire (« camemberts ») nest pas adaptée puisque le total des effectifs de chaque modalité dépasse leffectif de la population. Lenseignant devra donc dire aux élèves que pour linstant on va sintéresser à un diagramme en bâtons ; et que lon verra, dans une séance ultérieure, que le diagramme circulaire peut être adapté, mais sous certaines conditions. Dans cette séance, on précisera alors ces conditions : changer dunité statistique, et exprimer les pourcentages obtenus comme pourcentages de lensemble des réponses données, et non plus comme pourcentages de la population.
Exemple 1 « petit déjeuner » : si le questionnement relatif au projet est lapport en glucides rapides, lents, en lipides et en protides, on pourra regrouper « beurre, fromage » dune part « yaourt, fromage blanc, petit suisse » dautre part, « croissants, chocolatine » dune part, « brioche, pain au lait, pain » dautre part, etc
;
Alors que si le questionnement est sur le type daliments consommés, on pourra proposer les regroupements « céréales et pains», « viennoiseries et gâteaux », « produits laitiers » (beurre, yaourt,
), « fruits et jus de fruits », etc
Exemple 2 « activités sportives » : dans une des expérimentations, des élèves ont entraîné la classe dans des discussions techniques inutiles, par exemple demander si la GRS (Gymnastique Rythmique et Sportive) est à regrouper avec la danse ou la gymnastique
. Le dysfonctionnement observé sexplique par le fait que lenseignant navait pas suffisamment clarifié avec les élèves lobjectif de lenquête et na pas su interrompre la digression suffisamment tôt. Si cela se produit bien que les objectifs de lenquête aient été clarifiés, proposer aux élèves de revenir à la problématique posée.
Séance 5 Comparaison et, en 5e, mise en place de la notion de fréquence (une « heure » de cours)
Observation des graphiques
Procédures délèves observées :
Les élèves font le graphique sur des feuilles à grands carreaux de type Seyès avec 4 espaces interlignes par carreau. Ils choisissent comme échelle deux carreaux pour 10 unités. Pour placer 7, ils comptent 7 intervalles interlignes depuis 0, ce qui est erroné. Lanalyse de ce type derreur permettra de revenir sur le fait que les longueurs des barres sont proportionnelles aux nombres représentés, que si deux carreaux représentent 10 unités, pour représenter 1 unité, il est nécessaire de partager la longueur des côtés des deux carreaux en 10, et donc de ne pas saider du quadrillage dans le cas de papier à grands carreaux.
Dautres élèves font des graduations régulièrement placées sur laxe des ordonnées, mais qui correspondent directement aux effectifs obtenus. Ainsi les effectifs ne sont pas représentés suivant une échelle donnée et ne respectent pas la proportionnalité entre les longueurs des barres et les effectifs.
Comparaison de plusieurs populations
Exemple 1B (dans une classe de sixième) : lenseignant a introduit lidée dune population fictive de 100. Il demande aux élèves comment « passer dune population de 74 à une population de 100 en gardant la même proportion ». Plusieurs élèves proposent de rajouter 26 (car 74 + 26 = 100). Il narrive pas à infirmer cette procédure erronée. Il propose alors un tableau en pensant que les élèves vont en déduire que cest un tableau de proportionnalité (chapitre traité peu de temps avant) :
Effectif des individus ayant pris des laitages50Effectif global74100
Deux élèves continuent à proposer la procédure additive, un élève propose de faire un produit en croix, procédure qui ne diffuse pas, car les élèves ne reconnaissent pas une situation de proportionnalité. Lenseignant est obligé de dire que cest un tableau de proportionnalité.
Séance 6 Traitement dune variable quantitative (une « heure » de cours)
Les regroupements
Exemple 1B : « à quelle heure avez-vous pris votre petit déjeuner ? » : le minimum de la variable est 6h00 et le maximum est 10h30. Les élèves proposent de regrouper par tranche dune heure. Si le travail effectué est relatif à un questionnement sur linfluence de lheure de la prise du petit déjeuner par rapport à la baisse dattention en fin de matinée, le choix de classes damplitude plus petite, par exemple une demi-heure, peut permettre une étude plus fine : « 6h-6h29 », « 6h30-6h59 », etc.
Remarque : il sera important de donner du sens à ce découpage ; en effet, où placer une réponse du type 6h29min30s ? On pourra évoquer la convention décriture suivante : la réponse se situe dans la classe 6h-6h29 si elle indique que lévénement sest produit dans un laps de temps situé à partir de 6h et avant 6h30. Cette convention pourra être rapprochée de la convention prise pour les âges : dire quun enfant a 10 ans, cest dire quil a au moins 10 ans mais pas 11.
Compte-rendu dexpérimentation en classe de 6e
Compte-rendu rédigé par lenseignante Blandine Chevillon (collège), en charge de deux classes de 6e.
Séance 1 - Présentation et lancement du projet
En 6e 2, le 07 mars 2008
L'enseignante introduit le thème. Le thème « petit-déjeuner » est venu tout naturellement car inscrit dans le cadre du projet « Education à la santé » et introduit après une discussion avec la collègue de SVT : « J'ai discuté avec votre professeur de SVT. Elle aimerait savoir si vous avez changé vos habitudes de petit-déjeuner depuis l'intervention de la diététicienne et le petit-déjeuner que vous avez pris au collège en début d'année, si vous déjeunez de manière équilibrée ... »
Les élèves ont très vite réagi en décrivant chacun leur comportement.
Interruption de l'enseignante : « Ce ne sont pas les réponses individuelles qui nous intéressent, nous ne sommes pas là pour juger, pour regarder qui fait quoi mais pour savoir si globalement l'intervention vous a été utile, si à présent vous déjeunez de manière équilibrée et si oui, est-ce que c'est suite au projet « éducation à la santé » ou si vous le faisiez déjà avant. »
Un élève propose alors que chacun note sur un bout de papier ses propres réponses et qu'ensuite on compte combien déjeunent correctement.
Proposition de l'enseignante : « On pourrait organiser un peu mieux tout cela et construire ensemble un questionnaire un peu plus complet. »
Les élèves : « On pourrait même demander aux autres classes. »
Le projet était lancé !
Lors de la formulation du travail demandé pour la séance suivante : « Formuler 5 questions sur le thème du petit-déjeuner », certains élèves se sont senti un peu perdu et ne savaient pas quelles questions posées, alors ensemble élèves et enseignant ont proposé des exemples de question. A chaque proposition de question, l'enseignant demande quel est le type de réponse attendu (libre, oui-non, qcm). Les questions proposées sont principalement à réponse libre ou oui-non. La consigne du travail demandé est donc modifiée pour :
« Formuler 5 questions sur le thème du petit-déjeuner en variant les types de réponses (à faire sur le cahier d'exercices). »
Séance 2 Début de mise en forme du questionnaire
En 6e 2, le 12 mars 2008
Lecture de toutes les questions des élèves en précisant pour chacune si la formulation est correcte, si elle correspond au thème. Beaucoup de questions concernent la composition du petit-déjeuner et le changement éventuel après l'intervention de la diététicienne. Quelques questions portent sur le goûter de 10h (il y a une vente de chocolat noir et de tranches de pain par les élèves pendant la récréation du matin) et sur l'heure de prise du petit-déjeuner.
Travail pour la séance suivante :
« Recopier ou reformuler sur une copie au moins 5 questions (certaines avec réponses proposées) sur le thème du petit-déjeuner et donner vos propres réponses dans une autre couleur. »
Le travail est ramassé à la séance suivante.
Séance 3 Mise en forme précise du questionnaire
En 6e2, le 14 mars 2008
Tous les questionnaires ont été ramassés, et l'enseignante a récapitulé l'ensemble des questions sur le même document. Retour en classe, le document récapitulatif est projeté au tableau et ensemble nous choisissons les questions à garder et celles à éliminer, l'ordre des questions, les choix de réponses. Quelques courts débats pour justifier certains choix. Les élèves sont très actifs et commencent à bien comprendre que ce ne sont pas les cas particuliers qui nous intéressent mais la globalité et surtout les questions dont on pourra utiliser les résultats.
La version définitive du questionnaire est remise aux élèves à la séance suivante et ils ont à le rendre complété pour la séance suivante. Afin d'étudier une population plus large, les deux autres 6e de l'établissement sont également interrogées par l'intermédiaire de leur professeur de Mathématiques, le questionnaire élaboré par la 6e2 est distribué à la 6e1 et celui de la 6e4 est distribué à la 6e3. Les retours se feront au retour des vacances. Les questionnaires sont rendus anonymes, seul le nom de la classe doit apparaître (pour faciliter le traitement des données et les retours).
Séance 4 Présentation des résultats :
En 6e2, le 05 mai 2008
En 6e2, les élèves forment 4 groupes de 4 et 2 groupes de 5. Ils choisissent dans chaque groupe un rapporteur qui prendra en note sur son cahier d'exercice, ce qui sera dit dans le groupe. L'enseignante distribue à chaque groupe un lot de questionnaires (remplis par les 6e 2 et 1) en veillant à ce que chaque lot ne comporte que des questionnaires d'une même classe. Les 6e1 étant un peu moins nombreux, chaque élève de 6e2 a un ou deux questionnaires à traiter. Les lots sont remis sans précision de partage. Ce sont les élèves eux-mêmes qui se sont distribué équitablement (ou presque) les questionnaires. La consigne est la suivante : « Je viens de vous distribuer des lots de questionnaires. Nous allons nous intéresser uniquement à la question 7. Avant de compter combien d'élèves font ceci ou cela, que voulait-on savoir en posant cette question ? ». Les réponses sont presque unanimes sur le fait que ce ne sont pas les goûts de chacun qui nous intéressent mais celui de savoir si le petit-déjeuner est équilibré. Un élève rappelle alors les 4 catégories d'aliments qu'il faut consommer pour un petit-déjeuner équilibré : boisson, fruit, céréales, laitages. On décide donc de regrouper les différents choix de réponses proposées dans le questionnaire en respectant ces 4 catégories et il apparaît alors que certaines réponses ne seront pas traitées (confiture, miel ...). Au tableau, on écrit la liste des aliments pour chaque catégorie en remarquant que certains appartiennent à deux catégories (ex : Lait : boisson et laitage). L'enseignant fait donc remarquer que si une personne boit du lait, on devra compter une boisson ET un laitage ! En revanche, si une personne boit du jus de fruit et du lait, on ne comptera pas deux boissons mais une boisson, un fruit et un laitage, car il s'agit de compter combien de PERSONNES prennent une boisson, un laitage,... et non combien de BOISSONS sont consommées !
La consigne est alors « Vous allez chercher un moyen simple et rapide d'écrire les résultats des questionnaires que vous avez dans votre groupe. Je viendrai voir chaque groupe et vous demanderai par exemple « combien de personnes prennent des céréales ? » et vous devez pouvoir me répondre tout de suite. Vous avez 5 grosses minutes, organisez vous comme vous voulez. ». La plupart des groupes pensent de suite à un tableau, quelques uns font des phrases mais répondent du coup beaucoup moins vite à ma question. On fait un petit point ensemble sur le fait que le tableau est la forme la plus rapide. Un tableau est construit au tableau noir de la classe avec 5 colonnes et 3 lignes et le rapporteur de chaque groupe vient remplir le tableau dès que le dépouillement de son groupe est terminé.
ClasseBoissonCéréalesFruitLaitage G1
6e2 : G2
G3G
G
GG
G
GG
G
GG
G
G G4
6e1 : G5
G6G
G
GG
G
GG
G
GG
G
G
Chacun recopie le tableau dans son cahier et chaque groupe dépouille de même la question 13 « La réunion avec la diététicienne vous a-t-elle aidé à faire attention à ce que vous prenez pour le petit déjeuner ? ».
Certains élèves sont un peu perdus en recopiant le tableau car il y a trop de nombres. C'est l'occasion de leur demander s'il n'y a pas d'autres moyens de présenter les résultats. Le mot « graphique » est prononcé dans la classe. Quelques élèves semblent déjà connaître quelques formes de graphiques. L'enseignante précise qu'en 6e on apprend la construction de quelques graphiques mais que pour cette séance, nous n'en dirons pas plus.
Travail pour la séance suivante :
Construire le graphique de votre choix pour représenter les réponses aux questions 7 et 13 (choisir la classe que vous avez dépouillée) sur deux feuilles séparées. Quelques élèves se portent volontaires pour rendre leur travail un jour avant les autres (en classe ou dans le casier).
En 6e4,
Séance équivalente en 6e4. Le travail pour la séance suivante est le même.
Séance intermédiaire 4-5 :
En 6e2, le 07 mai 2008
L'institutionnalisation n'ayant pas pu être faite lors de la séance précédente, cette séance est nécessaire mais ne dure qu'une demi-heure. L'enseignante distribue un cours polycopié concernant le vocabulaire « population, individus, variable, effectif, tableau d'effectifs » sur un exemple de leur sondage. Les élèves font ensuite l'exercice d'application immédiate sur l'autre question dépouillée du sondage.
Travail pour la séance suivante : Apprendre le vocabulaire.
Séance 5 : Comparaison (1 heure de cours)
En 6e2, le 19 mai 2008
Quelques travaux d'élèves sont choisis pour introduire ou réactiver le vocabulaire « diagramme en bâtons », « diagramme en barres ou en colonnes », « histogramme ». Les diagrammes préparés par l'enseignante sont vidéoprojetés. Pour chacun, l'élève interrogé donne le nom de la population et des variables (pour utiliser le vocabulaire). Pour que chaque couple de diagrammes projeté, l'élève indique ce qui est en commun et ce qui change. On commente ensemble ce qui a de l'importance et ce qui n'en a pas.
1er cas : l'ordre des modalités n'a pas d'importance mais « si les modalités sont rangées pas ordre d'effectifs croissants ou décroissants, on voit plus rapidement quel est le plus grand effectif et quel est le plus petit ».
2e cas : deux populations différentes, même ordre de modalité, échelles différentes. Question de l'enseignante : « dans quelle classe y a -t-il plus d'élèves qui prennent des produits laitiers ? » Deux réponses différentes : les élèves qui sont près du tableau répondent « 6e1 » et ceux qui sont plus loin répondent « 6e2 ». En fait ceux qui sont loin ne peuvent pas lire l'échelle et ne se fient qu'à la hauteur de la colonne alors que ceux de devant lisent l'effectif correspondant. D'où l'IMPORTANCE de l'échelle.
3e cas : l'échelle peut également influencer les commentaires du lecteur en gommant certaines différences et en faisant croire que « tout est pareil ».
On s'intéresse enfin au cas de deux populations différentes, même ordre de modalité, même échelle. Mais on ne peut toujours pas comparer certains résultats car même si l'effectif de chaque population est proche ce n'est pas le même. Un élève suggère « on n'a qu'à faire comme si c'était pareil », d'autres proposent de préciser à chaque fois combien d'élèves il y a au total. Cela permet de parler de proportions et d'introduire les fréquences et pourcentage comme deux écritures de proportions. Institutionnalisation et un exemple.
Travail pour la séance suivante :
Faire le tableau de proportions en pourcentage pour les deux questions déjà traitées.
Séance 6 Traitement d'une variable quantitative
Retranscription de la séance 3 dans une classe de 6e
En cours de réalisation
Exemple de questionnaire en 4e
Questionnaire réalisé par une classe de 4e en 2007/2008 (enseignante Blandine Chevillon)
Thème : Mode de vie et travail scolaire
Combien d'heures dormez-vous par nuit en période scolaire?.................................
A quelle heure :
¡% Vous levez vous ? ............................................
¡% Vous couchez vous ?..............................................
Faites vous des activités extra-scolaires ?
¡% Oui :
¡% Lesquelles ? ...............................................................................................................
¡% Combien de temps leur consacrez-vous par semaine ? ............................
¡% Non
Combien de temps passez-vous à vos loisirs chaque jour ?
¡% Ordinateur : ...........................................................
¡% Télévision : ................................................................
¡% voir les ami(e)s en dehors du collège : ..........................................................
¡% Téléphone : ............................................................................................................
¡% Autres : .................................................................................................................
Etes-vous seul en rentrant chez vous?............................................................................
Combien de temps passez-vous à faire vos corvées chaque jour ? ...........................
Les jours de classe, à quel moment faites vous vos devoirs ?
¡% Dès que vous rentrez du collège ?
¡% Après avoir goûter ?
¡% Après une pause, de combien de temps ? ............................................................
¡% Après les corvées
Combien de temps par jour passez-vous à faire vos devoirs ?
¡% Moins d'une heure
¡% Entre 1 h et 2 h
¡% Plus de 2h
Pensez-vous avoir assez de temps pour faire vos devoirs ?
¡% Oui
¡% Non, pourquoi ?....................................................................................................
Où préférez-vous faire vos devoirs ?
¡% En étude, pourquoi ? .......................................................................................
¡% À la maison, pourquoi ?.....................................................................................
¡% Autre, où et pourquoi?........................................................................................
Dans quelles conditions travaillez-vous à la maison ?
¡% En écoutant de la musique
¡% Au calme
¡% Avec du monde autour
¡% Devant la télévision
¡% Autre : ..........................................................................
Vos devoirs, vous les faites :
¡% Seul
¡% Avec de l'aide (parent, frère, soeur, ....). Précisez :......................................
Vous apprenez vos leçons :
¡% Tous les jours
¡% Régulièrement et plusieurs fois dans la semaine
¡% Une fois par semaine
¡% Seulement avant un contrôle
¡% Jamais
Vous faites vos devoirs ...
¡% Tous les jours
¡% Régulièrement et plusieurs fois dans la semaine
¡% Une fois par semaine
¡% Seulement si c'est noté
¡% en avance, dès que possible
¡% en avance, de temps en temps
¡% De temps en temps
¡% Jamais
Êtes-vous attentifs en classe ?
¡% Toujours
¡% Souvent
¡% De temps en temps
¡% Jamais
Quand vous ne comprenez pas, vous :
¡% demandez à ce que l'on vous explique
¡% laissez tomber sans chercher à comprendre
¡% vous retravailler jusqu'à comprendre
L'ambiance de ta classe te permet-elle de travailler dans de bonnes conditions ?
¡% Oui
¡% Non, pourquoi ? ................................................................................................................
Votre environnement vous permet-il de travailler dans de bonnes conditions ?
¡% Oui, tout va bien
¡% J'ai quelques problèmes en ce moment
¡% Non
Compléments mathématiques
Annexe A: Projet international « Recensement à l Ecole »
Il a été signalé que le PER en Statistique peut être conçu à partir du projet international "Recensement à l'École". Voici donc une présentation rapide de ce projet.
Ce projet international, parti du Royaume-Uni en 2000, couvre actuellement quelques pays anglo-saxons (Royaume-Uni, Canada, Nouvelle Zélande, Afrique du Sud et deux régions d'Australie). Il est présenté et développé en français par le Canada
( HYPERLINK "http://www19.statcan.ca/r000_f.htm" http://www19.statcan.ca/r000_f.htm).
L'objectif est de former à la Statistique les élèves du secondaire à partir d'un questionnaire d'enquête auquel les élèves répondent en ligne. Les réponses de la classe sont mises à leur disposition (fichier Excel) et sont intégrées à une base de données internationale. Les élèves peuvent travailler sur les données de leur classe ou sur les données d'échantillons aléatoires extraits de la base de données internationale (fichiers Excel). Ils peuvent comparer les résultats les concernant aux résultats concernant la population (ou une sous-population) des élèves ayant répondu à l'enquête. De nombreuses activités pédagogiques sont disponibles à partir de ce projet (en fichier .doc et fichier .pdf). Des professeurs témoignent de l'intérêt de cette approche (formation à la méthodologie de l'enquête et au traitement statistique à l'aide d'un tableur, possibilité de travail interdisciplinaire sur des sujets de société,
). Certaines questions sont reprises du questionnaire du recensement national de la population canadienne. Un des objectifs du projet est d'expliquer l'utilité et la méthodologie de ce recensement.
Ce projet est donc potentiellement très riche sur le plan didactique. Cependant, il présente linconvénient dune part de ne pas provenir des élèves eux-mêmes, et dautre part de proposer des questions qui ne sont pas vraiment adaptées à la culture française ; tout cela est donc à prendre en compte si on veut sappuyer sur ce projet tout en obtenant une forte implication des élèves.
Annexe B : Quelques éléments du vocabulaire de la statistique
Daprès Jeanne Fine, Professeur à lIUFM Midi-Pyrénées
Les données d'enquête observées sur une population finie
enquête (statistique)C'est dans le but de rechercher de l'information sur une question donnée que l'on peut entreprendre une enquête statistique ; il s'agit alors de définir la population et les différents caractères (appelés aussi variables) définis sur cette population qui pourront apporter l'information cherchée. population (statistique)Ensemble fini et homogène auprès duquel on recherche l'information (Les produits de la mer composés de différents types de poissons et de crustacés ne forment pas une population statistique.)individus (statistiques)éléments de la populationunités statistiquescf. individuscaractèreApplication définie sur la population à valeurs dans un ensemble fini ou "non", ordonné ou non ; si on note EMBED Equation.3 la population et X le caractère, il peut être identifié au N-uple EMBED Equation.3 série statistique de taille NN-uple de valeurs pouvant être considéré comme le N-uple des observations d'un caractère sur une population de taille N (ou sur un échantillon ou sur une suite de N expériences) caractère qualitatifcaractère à valeurs dans un ensemble fini dont les éléments sont appelés modalités caractère qualitatif nominalcaractère qualitatif dont l'ensemble des modalités est non ordonnécaractère qualitatif ordinalcaractère qualitatif dont l'ensemble des modalités est ordonnécaractère quantitatifcaractère à valeurs dans l'ensemble des nombres réelscaractère quantitatif discretcaractère quantitatif dont l'ensemble des valeurs possibles est discretcaractère quantitatif continucaractère quantitatif dont l'ensemble des valeurs possibles est un intervalle ; les valeurs sont alors bien souvent regroupées en classesvariablecf. caractèrevariable catégoriellecf. caractère qualitatifvariable catégorielle nominalecf. caractère qualitatif nominalvariable catégorielle ordinalecf. caractère qualitatif ordinalvariable réellecf. caractère quantitatifvariable réelle discrètecf. caractère quantitatif discretvariable réelle continuecf. caractère quantitatif continucodagenumérotation des modalités d'un caractère qualitatif classesintervalles deux à deux disjoints dont la réunion recouvre l'ensemble des valeurs d'un caractère quantitatif continucatégorieSous-ensemble d'une population de tous les individus prenant une même modalité d'un caractère qualitatifEffectif ou fréquence absolueNombre d'éléments d'un sous-ensemble de la population, (il est appelé "frequence" en anglais et sous Excel, "frecuencia absoluta" en espagnol)fréquence (relative)rapport de l'effectif d'un sous-ensemble de la population sur l'effectif de la population ("relative frequence" en anglais, "frecuencia relativa" en espagnol)distribution d'effectifs (d'un caractère)ensemble EMBED Equation.DSMT4 où EMBED Equation.DSMT4 est l'ensemble des valeurs du caractère et EMBED Equation.DSMT4 l'effectif du sous-ensemble de la population prenant la valeur EMBED Equation.DSMT4
Pour un caractère quantitatif continu dont les valeurs sont regroupées en classes, on remplace l'ensemble des valeurs par l'ensemble des classes.
La distribution d'effectifs est souvent présentée dans un tableau dont la première colonne ou la première ligne est l'ensemble des valeurs (rangées usuellement dans l'ordre croissant lorsque l'ensemble des valeurs est ordonné) et la deuxième colonne ou la deuxième ligne est l'ensemble des effectifs correspondants.distribution de fréquences (d'un caractère)ensemble EMBED Equation.DSMT4 où EMBED Equation.DSMT4 est l'ensemble des valeurs du caractère et EMBED Equation.DSMT4 la fréquence du sous-ensemble de la population prenant la valeur EMBED Equation.DSMT4 ; on a EMBED Equation.DSMT4
Pour un caractère quantitatif continu dont les valeurs sont regroupées en classes, on remplace l'ensemble des valeurs par l'ensemble des classes.
La distribution de fréquences est souvent présentée dans un tableau dont la première colonne est l'ensemble des valeurs (rangées usuellement dans l'ordre croissant lorsque l'ensemble des valeurs est ordonné) et la deuxième colonne est l'ensemble des fréquences correspondantes.
diagramme en secteurs
Un moyen pour représenter les effectifs (ou les fréquences) d'un caractère qualitatif ; il s'agit d'un disque avec des secteurs d'angles proportionnels aux effectifs (ou aux fréquences) du caractèrediagramme en barresUn moyen pour représenter les effectifs (ou les fréquences) d'un caractère qualitatif ; on place les modalités de la variable sur un axe horizontal (à égales distances les unes des autres) et on élève des barres de hauteurs proportionnelles aux effectifs (ou aux fréquences) au dessus de ces modalités diagramme en bâtonsUn moyen pour représenter les effectifs (ou les fréquences) d'un caractère quantitatif discret ; on place les valeurs de la variable sur un axe horizontal représentant la droite des nombres réels et on élève des bâtons de hauteurs proportionnelles aux effectifs (ou aux fréquences) au dessus de ces valeurshistogrammeUn moyen pour représenter les effectifs (ou les fréquences) d'un caractère quantitatif continu dont les valeurs sont regroupées en classes ; on place les classes sur un axe horizontal représentant la droite des nombres réels et on élève des rectangles d'aires proportionnelles aux effectifs (ou aux fréquences) au dessus de ces classes
Annexe C : Construction dun questionnaire
Ci-dessous des éléments dun cours de J.Fine (Professeur à lIUFM Midi-Pyrénées) sur la construction de questionnaire pour une enquête ; cela dépassera sûrement le cadre du questionnaire de lenquête construite par les élèves mais peut être utile pour les enseignants. Nous mettons entre doubles crochets [[
]] et en caractères plus petits ce qui nous semble dépasser ce cadre, et en italique nos commentaires par rapport au travail avec les élèves.
Les différentes étapes de la construction du questionnaire
1 - Définir précisément l'objectif du questionnaire, à qui il s'adresse, dans quelles conditions il est soumis à l'enquêté,
Commentaire : ce travail est indispensable pour lenseignant ; voir par exemple les dysfonctionnements dans lexemple 1.2 des comptes-rendus dexpérimentation.
2 - Réaliser une étude qualitative préalable ; il sagit dorganiser des entretiens de quelques personnes issues de la population concernée afin de préciser la manière daborder les questions, le vocabulaire utilisé,
Commentaire : cette étude qualitative préalable est faite aux séances 2 et 3.
3 - Rédiger une première version du questionnaire
- structurer le questionnaire en fonction de l'objectif (questions d'identification, thème 1, thème 2,...), renvoyer les questions sensibles en fin de questionnaire, organiser les questions filtres et les renvois à des blocs de questions.
- penser à la codification, la saisie et le traitement statistique (tableaux, sous-populations dintérêt).
- respecter les règles qui suivent, concernant la formulation des questions et larticulation du questionnaire
- [[penser aux documents annexes à fournir (présentation, explications), soit à lenquêté, soit à lenquêteur,]]
4 - tester le questionnaire auprès de quelques personnes issues de la population concernée, afin de vérifier si les questions sont bien comprises par les enquêtés, si le questionnaire « passe » bien,
5 - rédiger une version définitive du questionnaire.
Les types de questions
On distingue, quant au fond, deux types de questions :
- les questions concernant les faits ("questions objectives"),
- les questions concernant des opinions, des attitudes, des motivations, des préférences ("questions subjectives").
Commentaire : il nous semble que lenseignant devra privilégier les questions objectives.
On distingue, quant à la forme, deux types de questions :
- les questions fermées c'est-à-dire pour lesquelles l'ensemble des réponses possibles est proposé (étape confirmatoire du sujet de l'étude),
- les questions ouvertes pour lesquelles il n'est pas possible a priori d'envisager la diversité des réponses (étape exploratoire du sujet), Lenquêté répond alors librement à la question.
Commentaire : il nous semble que lenseignant devra privilégier les questions fermées, en proposant néanmoins une ou deux questions ouvertes. Cela permettra aux élèves de comprendre les différences au niveau du dépouillement.
Pour les questions fermées, la réponse peut être unique, à modalités ordonnées ou non. On a une réponse unique lorsque la réponse est un nombre. Par exemple lâge ou le nombre denfants.
Exemple de réponse unique à modalités ordonnées :
Opinion sur tel homme politique.
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[[Faut-il proposer ou non une modalité « pas dopinion » ?
Faut-il proposer ou non une modalité centrale, donc un nombre impair de modalités ?
Sur ces deux questions, les avis sont partagés. Le fait de proposer une modalité « pas dopinion » et une modalité centrale permet de distinguer :
- ceux qui se prononcent (favorablement ou défavorablement)
- ceux qui ont une opinion moyenne
- ceux qui nont pas dopinion
- ceux qui refusent de répondre à la question.
Daprès les dernières expériences, il semble que la présence ou non dune modalité « pas dopinion » ou dune modalité centrale ne modifie pas les pourcentages de ceux qui ont choisi une autre modalité (opinion favorable ou défavorable) par rapport à ceux qui se sont prononcés. (Cf. Grémy in Grangé et Lebart, 1992).
La réponse peut être multiple, avec ou sans classement, avec ou sans indication du nombre de réponses à donner.
Exemple sans classement et sans indication sur le nombre de réponses à donner :
« Concernant le rôle dun professeur, quels sont, parmi les énoncés suivants, ceux dont vous vous sentez le plus proche ? » (Cochez la case correspondant à chacun de vos choix).
énoncé 1 (
énoncé 2 (
....
énoncé 8 (
Le traitement statistique se fera alors à laide de 8 variables indicatrices, une pour chaque énoncé. Linterprétation des réponses à ce type de question nest pas toujours aisé.
Exemple avec classement et avec indication du nombre de réponses à donner :
« Concernant le rôle dun professeur, indiquez par ordre de préférence 1, 2, 3, les trois énoncés parmi les énoncés suivants dont vous vous sentez le plus proche. »
énoncé 1 (
énoncé 2 (
........
énoncé 8 (
Ces questions, appelées aussi questions de préférence, sont particulièrement difficiles à interpréter. En effet, à partir des préférences individuelles il nest pas possible détablir une préférence collective : cest le célèbre paradoxe de Condorcet sur lagrégation des préférences.
Supposons quil y ait trois énoncés A, B, C et trois individus qui classent les énoncés de la façon suivante :
Énoncé AÉnoncé BÉnoncé CIndividu 1123Individu 2312Individu 3231Si lon veut comparer les trois énoncés sur lensemble des trois individus on a :
A placé devant B par 2 voix contre 1
B placé devant C par 2 voix contre 1
C placé devant A par 2 voix contre 1 !]]
Le traitement des questions ouvertes peut se faire de deux manières :
- soit en les fermant a posteriori (post codage) ; on repère les types de réponse revenant le plus souvent et on crée, pour chaque type de réponse, une variable indicatrice (présence, absence) de cette réponse,
- soit en utilisant, sur les réponses telles quelles sont transmises, des logiciels spécialisés dans le traitement statistique de données textuelles (SPAD-T ou Alceste, par exemple).
Il existe aussi des questions semi-ouvertes, où seule la dernière modalité de réponse est de la forme :
( Autre modalité. Précisez.
Commentaires : exemple : dans le questionnaire sur le petit déjeuner, lenseignant peut suggérer de proposer des réponses parmi les produits laitiers, parmi les produits céréaliers et prévoir une case « autre » (pour les réponses du type kebab, jambon...)
La formulation des questions
1. Vérifier la structure logique, éviter les formulations interro-négatives.
Ex : "Êtes-vous d'accord pour désapprouver ceux qui s'opposent au projet de loi sur le code de la nationalité ?"
2. Vérifier que la question soit comprise par l'enquêté (en utilisant éventuellement une question filtre), qu'elle soit comprise de la même façon par tous les enquêtés, éviter les termes techniques, TVA, CEE, SMIC, TUC, SME, ou les termes vagues.
Ex : "Avez-vous lu un quotidien hier ? "
L'interprétation du verbe lire peut être très différente d'un individu à l'autre.
3. Vérifier que l'enquêté puisse répondre sans difficulté pratique (question de mémoire, de typologie, de finalité, ...).
Ex : "En quelle année avez-vous acheté votre téléviseur ?"
"Quelle a été votre consommation totale de surgelés ce mois-ci ?"
[[Les enquêteurs utilisent parfois, pour les enquêtes sur le budget "dépenses" ou le budget "temps", des carnets de décomptes que les enquêtés doivent tenir pendant plusieurs semaines. Mais la tenue de tels carnets n'entraîne-t-elle pas un changement de comportement des enquêtés ? Les personnes acceptant une telle contrainte sont-elles « représentatives » de lensemble de la population ?
"Êtes-vous actif au sens de l'INSEE ? Je vous rappelle la définition : ... " (suivent10 lignes !)
"Avez-vous cessé de boire ?" (Question éminemment difficile)
"Pour réduire le trafic de drogue, pensez-vous que les douaniers devraient être plus sévères dans les aéroports ?" Que ne ferait-on pas pour réduire le trafic de drogue ? Il y a ici deux idées dans la même question.]]
4. Vérifier que la question soit acceptable par l'enquêté, qu'il veuille y répondre sincèrement. Quelle confiance accorder à la promesse d'anonymat statistique pour des questions sensibles, voire réprimées par la loi ?
[[Ex : "Avez-vous avorté durant les 12 derniers mois ?"
Pour ce type de question on pourra faire appel à la méthode des réponses aléatoires (ou anonymisées) :
En l'absence de l'enquêteuse, l'enquêtée jette un dé : si le dé marque 1 ou 2 elle donne la réponse correcte à la question, si le dé marque 3, 4, 5 ou 6 elle donne la réponse fausse à la question. Ainsi l'enquêteuse ne peut pas savoir si l'enquêtée a ou non avorté au cours des douze derniers mois, mais ce dispositif permet d'estimer le pourcentage des femmes l'ayant fait. Une telle enquête a donné un pourcentage de 3.2% alors que des enquêtes parallèles en face à face et par questionnaire anonyme ont donné respectivement 0.3% et 0.8%.]]
Éviter les termes chargés de jugement de valeur : l'enquêté peut vouloir impressionner favorablement l'enquêteur. Il est courant d'observer une surconsommation de livres, de concerts, de théâtres, savon, dentifrice, et une sous-consommation d'alcool, de tabac, de drogue, de revues pornographiques,...
[[Ex : "Avez-vous l'intention de prendre une assurance sur la vie ?"
"Connaissez-vous le célèbre François Duval ?" (Illustre inconnu qui amène 16% de réponses positives).
"Avez-vous voté aux élections partielles de décembre dernier ?" (33% de réponses positives alors qu'il n'y a pas eu d'élections).
"Avez-vous entendu parler du projet de loi sur...?" (53% de oui sur un projet imaginé pour les besoins de l'enquête).
"Pourquoi n'avez-vous pas voté ?" Les réponses arrivent dans l'ordre : 1) force majeure, 2) raisons diverses, 3) manque d'intérêt.
"A votre avis, pourquoi les abstentionnistes ne votent-ils pas ?" Les réponses arrivent dans l'ordre 3), 2), 1).]]
5. Réfléchir au choix des mots.
Ex : "Doit-on permettre les discours contre la démocratie ?" (Oui 21%, non 62%, sans opinion 17%)
"Doit-on interdire les discours contre la démocratie ?" (Non 39%, oui 46%, sans opinion 15%)
"Approuvez-vous la création de dispensaires où les femmes pourraient être renseignées sur les moyens à employer :
pour éviter la grossesse ?" (oui 71%)
pour avoir le nombre d'enfants qu'elles désirent ?" (oui 83%)
6. Éviter qu'il y ait une même opinion pour des raisons différentes.
Par exemple : « Êtes-vous pour lemprisonnement à perpétuité ? »
Peuvent répondre « non » à cette question des personnes qui pensent quil faut laisser un espoir même au pire criminel et des personnes qui sont contre la prison à vie car ils sont pour la peine de mort !
7. Pour les questions fermées,veiller à ce que toutes les modalités de réponse soient proposées et quelles soient exclusives.
Larchitecture du questionnaire
1. Éliminer les questions inutiles, redondantes, celles qui amènent nécessairement 100% de oui ou de non.
Ex : "Voulez-vous davantage de crèches ?"
2. Vérifier l'ordre des questions :
Faire attention au biais d'acquiescement
Il faut savoir quune grande partie de la population a tendance à répondre « oui » pour ne pas contrarier linterlocuteur, ou « daccord » pour ne pas avoir à discuter. Cette tendance est dautant plus forte que les personnes ont un plus faible niveau déducation.
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