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corrigé - Collège Clovis Hugues

(Le soin apporté aux solutions des exercices, la présentation, la rédaction et l' orthographe ... Donc A, B et C sont régulièrement espacés sur la droite. ... Utilisation de l'algorithme d'Euclide : 301 = 1×172+129 ; 172 = 1×129+43 ; 129=3 ×43+0.




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PRÉPARATION BREVET DE MATHÉMATIQUES 3ème
Sujet 3 corrigé Collège Clovis Hugues 2009

(Le soin apporté aux solutions des exercices, la présentation, la rédaction et l'orthographe seront notés
sur 4 points.)


ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (18 points)


Exercice n°1
A a pour abscisse  EMBED Equation.3  ;B  a pour abscisse  EMBED Equation.3  et C a pour abscisse  EMBED Equation.3 .
 EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 . Donc A, B et C sont régulièrement espacés sur la droite.
2.  EMBED Equation.3 .
3.  EMBED Equation.3  ; donc il y a 12 filles en 3eA.  EMBED Equation.3  ; donc il y a 12 filles en 3eB. Dans le groupe il y a donc 24 filles sur 50 élèves.  EMBED Equation.3 . Le pourcentage de filles dans ce groupe est donc 48%.
4. a. 120,40 × 0,8 = 96,32. Le montant de la facture après remise est de 96,32¬ .
b. Le nombre de sachets réalisables est un diviseur de 301 et 172 (on veut un nombre entier de caramels et de chocolats dans chaque sachet). On cherche le nombre maximal de sachets donc on calcule le PGCD de 301 et de 172.
Utilisation de l’algorithme d’Euclide : 301 = 1×172+129 ; 172 = 1×129+43 ; 129=3×43+0.
Donc PGCD(301 ;172) = 43, donc le nombre maximal de sachets réalisables est de 43.
c. 301 : 43 = 7 et 172 : 43 = 4 ; il y aura 7 caramels et 4 chocolats dans chaque sachet.

Exercice n°2
1.a. EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 
b. Pour  EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3 
c.
2.a. Pour x = 5, x – 5 = 0 donc le nombre 5 annule les deux termes, donc 5 est une solution de E = 0.
b.  EMBED Equation.3 
c. E = 0 ;  EMBED Equation.3  ; (x "5)=0 ou 3x  4= 0 ; x = 5 ou 3x = 4 ; x = 5 ou x =  EMBED Equation.3 
donc la deuxième solution de E= 0 est  EMBED Equation.3 .
3. Pour x= EMBED Equation.3  :  EMBED Equation.3 
Exercice n°3
1. P(A) =   EMBED Equation.3  2. P(T) = EMBED Equation.3  3. P(M)=  EMBED Equation.3 
4. non A est l’événement contraire de l’événement A. (la flèche ne désigne pas le secteur A). P(non A)=  EMBED Equation.3 

Exercice n°4
1.a.  EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3   ; 2y = 34  ; y = 17  ; x + 17 = 43 ; x = 26.
(26 ; 17) est la solution de ce système d’équations.
b. Soit x le nombre d’objets de type A et y le nombre d’objets de type B fabriqués. On a  EMBED Equation.3 
D’après la question précédente (26 ; 17) est la solution de ce système d’équations, donc l’entreprise a fabriqué 26 objets de type A et 17 objets de type B.
2.a.  EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3 . Les solutions de cette inéquation sont les nombres supérieurs ou égaux à 9.

b. D’après la question précédente, il faut embaucher au moins 9 spécialistes de chaque sorte pour que le nombre de mathématiciens soit au moins égal aux deux tiers du nombre d’informaticiens ?



ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES (18 points)


Exercice n°1 2 pts

Question 1 : Réponse C 0,5 pt
Question 2 : Réponse C 0,5 pt
Question 3 : Réponse C 0,5 pt
Question 4 : Réponse B 0,5 pt


Exercice n°2 5 pts

1 AC²=10²=100 AC² = AB² + BC² donc d’après la réciproque du
AB² + BC² = 6² + 8² = 100 théorème de Pythagore,le triangle ABC est rectangle en B. 1,5 pts

2 Dans le triangle ABS rectangle en A, on applique le théorème de Pythagore :
BS² = AB² + AS²
BS² = 6² + 8² = 100 1,5 pts
BS =  EMBED Equation.DSMT4  = 10 cm.

3 Volume SABC =  EMBED Equation.DSMT4 = 64 cm3. 1 pt

4 La pyramide SIJK est une réduction de la pyramide SABC.
Volume SIJK =  EMBED Equation.DSMT4  Volume SABC =  EMBED Equation.DSMT4  = 8 cm3. 1 pt

Exercice n°3 11 pts

1 Dans le triangle ABC rectangle en A, on applique le théorème de Pythagore :
BC² = AB² + AC²
BC² = 5,4² + 7,2² = 81 1 pt
BC =  EMBED Equation.DSMT4  = 9 cm.

2 a. Dans le triangle HAC rectangle en H :  EMBED Equation.DSMT4  0,5 pt
b. Dans le triangle BAC rectangle en A :  EMBED Equation.DSMT4  0,5 pt
c.  EMBED Equation.DSMT4 = 4,32 cm. 1 pt

3 a. (AI) est la médiane issue de A dans le triangle ABC 0,5 pt
donc I est le milieu de [BC] : BI =  EMBED Equation.DSMT4  = 4,5 cm. 0,5 pt

b. Dans le triangle ABH rectangle en H, on applique le théorème de Pythagore :
BH² = AB² – AH²
BH² = 5,4² – 4,32² = 10,4976 1 pt
BH =  EMBED Equation.DSMT4  = 3,24 cm.



4 a. Dans le triangle ABH rectangle en H : cos BAH =  EMBED Equation.DSMT4  donc BAH  EMBED Equation.DSMT4  37 °. 1,5 pts
b. (AJ) bissectrice de l’angle BAC donc JAB = EMBED Equation.3  0,5 pts
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