TD de Théorie des jeux M1 - lameta
2- Dessinez la matrice des paiements correspondant à ce jeu (forme stratégique)
et calculez l'équilibre en dominance itérative. Conclure. TD de Théorie des ...
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TD de Théorie des jeux M1
Thème 1 : Représentation formelle des jeux
P.J. Cottalorda, M. Heugues
Exercice 1 :
Deux pays (A et B) considèrent létat des relations politiques entre eux. Ils doivent choisir entre un état de guerre (G) et un état de paix (P). Si les deux choisissent la guerre alors chacun aura un gain de 2 points. Si un seul déclare la guerre alors il obtient 6 points et son voisin obtient 0 point. Sils choisissent tous les deux de préserver la paix, chacun obtient un gain de 4 points.
1- Donnez lensemble des joueurs et lensemble des stratégies de chaque joueur.
2- Représentez le jeu sous forme stratégique.
3- Représentez le jeu sous forme développée.
Exercice 2 : Papier-Ciseaux-Caillou
Il sagit dun jeu entre deux enfants, Marie et Paul. Les deux choisissent simultanément un objet parmi les trois suivants : papier (P), ciseaux (Ci) et caillou (Ca). Selon ces choix, soit un des enfants gagne le jeu, soit il ny a pas de gagnant (quand ils choisissent le même objet). Caillou gagne contre ciseaux, ciseaux gagne contre papier et papier gagne contre caillou.
Le montant des gains est défini de la façon suivante : lenfant qui gagne obtient 2 points tandis que celui qui perd obtient 0 point. En cas dégalité, chacun des deux enfants obtient 1 point.
Décrivez lensemble des joueurs et lensemble des stratégies de chaque joueur.
Ecrivez le jeu simultané sous forme stratégique
Ecrivez le jeu simultané sous forme développée
Ecrivez le jeu simultané sous forme développée si Paul triche et observe le choix de Marie avant de jouer.
Ecrivez le jeu simultané sous forme extensive si Paul observe le choix de Marie que si elle choisit caillou.
Execrice 3 : Enchères
Une unité dun bien est mise aux enchères. Il y a n acheteurs potentiels et lacheteur i a une valuation (cest-à-dire la valeur quil pense que le bien a) vi e" 0 pour ce bien. La procédure d enchère est la suivante : chaque acheteur soumet une offre écrite sous pli scellé. Les plis sont transmis à un commissaire priseur. L acheteur ayant soumis l offre la plus haute remporte le bien et paye un prix égal à la seconde plus haute offre. En cas de gagnants ex-aequo, on tire au sort celui qui remporte le bien.
Modéliser cette situation sous forme dun jeu en précisant les ensembles de stratégies et les fonctions de paiement.
TD de Théorie des jeux M1
Thème 2 : Stratégies dominantes, dominance itérative, récurrence amont et stratégies prudentes
P.J. Cottalorda, M. Heugues
Exercice 1 :
On considère la matrice des gains dun jeu simultané à deux joueurs suivante :
2R1R2R3L1(0,0)(1,2)(2,1)1L2(2,3)(4,5)(3,1)L3(1,1)(2,3)(1,2)
L1, L2 et L3 correspondent aux stratégies du joueur 1 et R1, R2 et R3 à celles du joueur 2.
Existe-il un équilibre en stratégie dominante ?
Si les paiements associés à (L3, R2) sont (4, 3), y a-t-il un équilibre en stratégie dominante ?
Si les paiements associés aux stratégies (L3, R3) deviennent (7,2) et ceux associés aux stratégies (L3, R1) sont (1, 4), y a-t-il un équilibre en stratégie dominante ? Le jeu est-il solvable par dominance itérative et dans ce cas quel est léquilibre ?
Pour chacune des questions, vous expliquerez votre raisonnement de manière détaillée.
Exercice 2 : Enchères
On reprend lénoncé de lexercice 3 (thème 1). Montrez quoffrir sa propre valuation v est une stratégie faiblement dominante.
Exercice 3 :
On considère le jeu simultané à deux joueurs suivant :
2R1R2R3L1(3,-3)(2,-2)(7,-7)1L2(-4,4)(1,-1)(9,-9)L3(1,-1)(0,0)(-3,3)
Quelle est la particularité de ce jeu ? Utilisez cette propriété pour simplifier la matrice des paiements.
Calculez les stratégies prudentes pour chacun des joueurs.
Ce jeu a-t-il une valeur ?
Exercice 4 :
On considère larbre du jeu suivant :
SHAPE \* MERGEFORMAT
Déterminez le(s) équilibre(s) de ce jeu en utilisant le concept de récurrence amont.
Dessinez la matrice des paiements correspondant à ce jeu (forme stratégique) et calculez léquilibre en dominance itérative. Conclure.
TD de Théorie des jeux M1
Thème 3 : Equilibre de Nash, stratégies mixtes et stratégies corrélées.
P.J. Cottalorda, M. Heugues
Exercice 1 :
Soit le jeu sous forme stratégique suivant :
B gdAg(1,1)(1,1)d(-1,-1)(2,0)
Quels sont les équilibres de Nash en stratégies pures de ce jeu ?
Existe-t-il des équilibres de Nash en stratégies mixtes ?
Exercice 2 : La fureur de vivre
Deux conducteurs A et B dirigent leur voiture lune contre lautre dans une rue trop étroite pour quelles puissent se croiser sans provoquer daccident. Si un conducteur ralentit, tandis que lautre garde la même vitesse, le premier conducteur perd la face : il obtient alors une utilité de 0 et son adversaire obtient 4. Si les deux ralentissent en même temps alors le jeu se termine par une égalité et les deux conducteurs obtiennent une utilité de 2. Si aucun ne ralentit alors laccident arrive et chacun obtient une utilité de -2.
Précisez lensemble des joueurs et lensemble des stratégies de chaque joueur.
Donnez la forme stratégique du jeu.
Déterminez les équilibres de Nash en stratégies pures du jeu.
Déterminez les équilibres de Nash en stratégies mixtes après avoir préciser les fonctions de meilleure réponse des joueurs.
Exercice 3 :
Considérez le jeu sous forme stratégique suivant :
B 12AI(k, l)(e, f)II(g, h)(c, d)
Déterminer les conditions sur les paramètres c, d, e, f, g, h, k et l pour que :
le résultat (I, 1) résulte de lélimination des stratégies strictement dominées ;
le résultat (I, 1) soit un équilibre de Nash ;
le résultat (I, 1) soit un optimum de Pareto ;
le résultat (I, 1) ne soit pas Paréto-comparable avec (II, 2).
Exercice 4 :
On considère le jeu suivant :
2 R1R21L1(4,4)(1,5)L2(5,1)(0,0)
Calculer les équilibres de Nash du jeu en stratégies pures et en stratégies mixtes.
Que se passe-t-il si les deux joueurs décident de sentendre pour baser leur décision sur la réalisation dun événement aléatoire E (observable par les deux joueurs) extérieur au jeu ?
On fait lhypothèse que cet évènement survient avec une chance sur deux et que les joueurs décident de jouer (L2, R1) si lévénement se produit et (L1, R2) sinon.
On considère maintenant 3 événements aléatoires mutuellement exclusifs E1, E2 et E3 qui surviennent avec la même probabilité. Le joueur 1 peut savoir si E1 sest réalisé et le joueur 2 peut seulement savoir si E2 sest réalisé ou non. Que se passe-t-il si les joueurs décident dadopter les stratégies suivantes :
le joueur 1 joue L1 sil nobserve pas E1 (L2 sinon)
le joueur 2 joue R1 sil nobserve pas E2 (R2 sinon).
Pourquoi lissue du jeu qui émerge suite à cette procédure est-il appelé un équilibre « corrélé » ?
Exercice 5 :
Calculer les équilibres en stratégies pures et mixtes des jeux suivants :
(5,4)(3,3)(3,3)(7,8)
(2,-2)(1,-1)(3,-3)(4,-4)
(1,0)(1,2)(1,1)(0,0)
TD de Théorie des jeux M1
Thème 4 : Jeux répétés
P.J. Cottalorda, M. Heugues
Exercice 1 :
Soit le marché dun bien homogène produit par deux firmes. La demande inverse de marché est donné par P = 100 - Q et les fonctions de coût des deux firmes sont Ci(qi) = 2qi avec i= 1,2.
Déterminez léquilibre de cette industrie si chaque firme choisit son niveau de production au début de la période sans communication ave son concurrent.
Même question si les firmes coopèrent de manière à maximiser le profit joint (considérer le cas où les firmes partagent de manière égalitaire les quantités et le profit du cartel).
Quel sera léquilibre de ce marché sil na lieu que 10 fois, avec chaque firme actualisant ses revenus avec le facteur d actualisation commun ´.
Quel sera l équilibre du marché si le marché peut continuer sas fin, sachant que si une firme dévie de sa stratégie de coopération son concurrent jouera non coopératif jusqu à la fin des temps. Sous quelles conditions la solution coopérative peut-elle émerger comme un équilibre ?
Même question sil faut à la firme seulement une période pour convaincre son concurrent quelle ne déviera plus de la stratégie coopérative ?
Exercice 2:
Supposez que ces deux firmes se font concurrence en prix (duopole de Bertrand). La demande de marché est donnée par D(p) = A p et les fonctions de coût des deux firmes Ci(qi) = ciqi avec i = 1,2, ci = c < A. Selon les prix fixés au début de chaque période, la demande est partagée entre les deux firmes selon la règle de Bertrand :
0 si pi > pj
Di(pi,pj) = D(p)/2 si pi = pj = p
D(pi) si pi < pj
Déterminez léquilibre de ce jeu sil na lieu quune seule fois et que les firmes se comportent de manière non coopérative.
Même question si les firmes se comportent de manière coopérative et maximisent le profit joint.
Même question si le jeu a lieu 10 fois et que les firmes non coopératives utilisent le facteur d actualisation commun ´.
Même question si le jeu a lieu à l infini avec des firmes non coopératives. Sous quelles conditions peuvent-elles atteindre les gains coopératifs comme un équilibre parfait en sous jeu de ce jeu, sachant que si jamais une firme dévie de la coopération, lautre la punit en jouant non coopératif jusquà la fin du jeu.
TD de Théorie des jeux M1
Thème 5 : Equilibre parfait en sous jeux
P.J. Cottalorda, M. Heugues
Exercice 1 : Bataille des sexes avec option dentrée
Soit le jeu de la bataille des sexes suivant:
ABA(3,1)(0,0)B(0,0)(1,3)
Quels sont les équilibres de Nash (purs et mixtes) du jeu de la bataille des sexes et les paiements correspondants?
On considère le jeu dans lequel en première étape, le joueur 1 (joueur ligne) a la possibilité dentrer dans le jeu de la bataille des sexes ou non. Sil refuse de jouer, les paiements sont (2,2).
Représenter le jeu sous forme développée.
Mettre le jeu sous forme stratégique.
Quels sont les équilibres de Nash (purs et mixtes) du jeu ?
Quels sont les équilibres parfaits en sous-jeux du jeu ?
Quel est lunique équilibre qui subsiste après lélimination itérative des stratégies faiblement dominées? Quel argument soutient cet équilibre? Expliquer.
Exercice 2 :
Soit le jeu séquentiel à deux joueurs (notés E et I) suivant :
Expliquez de manière littérale le déroulement du jeu (qui prend quelle décision, quelle est linformation à la disposition des joueurs, etc.).
Précisez lensemble de stratégies de chaque joueur.
Donnez la forme stratégique de ce jeu.
Déterminez les équilibres de Nash de ce jeu.
Déterminez les sous-jeux de ce jeu et leurs équilibres de Nash.
Déterminez les équilibres parfaits en sous-jeux de ce jeu.
TD de Théorie des jeux M1
Thème 6 : Equilibre bayésien
P.J. Cottalorda, M. Heugues
Exercice 1 :
Considérez un jeu simultané dans lequel les ensembles de stratégies des deux joueurs sont donnés par Si = {-2, 0, 1}. La fonction dutilité du joueur 1 est connue avec certitude par les deux joueurs et elle est donnée par u1(s) = s12. Mais le joueur 1 ne connaît pas exactement celle du joueur 2 qui peut être de deux types u2A (s) = s1s2 ou u2B (s) = (s1s2)² avec :
P[A] = ½ = 1 - P[B]
Linformation est asymétrique dans la mesure où le joueur 2 connaît bien sûr sa fonction dutilité. Tous ces éléments sont par ailleurs connaissance commune.
Donnez les types des deux joueurs.
Donnez la forme stratégique du jeu correspondant à chacun des types du joueur 2 (dans les deux cas, il vous faut calculer les paiements associés à chacune des stratégies à laide des fonctions dutilité). Déterminez les équilibres de Nash dans ces jeux.
Donnez larbre du jeu après avoir complété linformation avec la méthode dHarsanyi.
Représentez ce jeu complet sous forme stratégique.
Déterminez les fonctions de meilleure réponse du joueur 1 et des deux types du joueur 2.
Déterminez léquilibre de Nash bayésien de ce jeu.
Exercice 2 : Le duopole de Cournot avec information incomplète
On considère un duopole produisant un bien homogène dont la demande inverse est donnée par p(Q) = A - Q mais avec une incertitude initiale sur le niveau de la demande. La fonction de demande sur le marché peut être de 2 niveaux selon la conjoncture :
A " {AF, AE} tel que AF
