Td corrigé Agrégation Interne 2001 pdf

Agrégation Interne 2001

Exercices d'induction II Corrigé .... La bobine étant un petit circuit plongé dans un champ magnétique uniforme peut être assimilée à un dipôle magnétique, donc ...




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ù :
 INCORPORER Equation.3 , valeur extrêmement faible, car une seule spire.

 INCORPORER PBrush 
2. On appelle  INCORPORER Equation.3  les champs magnétiques créés par les deux cylindres. La règle du tire - bouchon montre (cf figure) que les deux champs sont dirigés vers les x < 0. Le champ résultant vaut donc :  INCORPORER Equation.3 . On en déduit le flux propre à travers le rectangle C reliant les deux conducteurs, & de hauteur h :
 INCORPORER Equation.3 , d’où l’inductance linéique :  INCORPORER Equation.3 , car en pratique on a b >> a. AN : valeurs raisonnables : a = 0,5 mm, b = 1 cm, d’où :  INCORPORER Equation.3 , du même ordre de grandeur. Le résultat précédent constitue l’inductance extérieure, due au champ à l’extérieur des fils. La contribution intérieure ne peut se calculer que par la méthode énergétique, puisque la notion de flux suppose le circuit filiforme. A l’intérieur d’un fil infini, ou de hauteur h >> a, le théorème d’Ampère donne, en supposant le courant uniformément réparti :  INCORPORER Equation.3 , d’où on déduit la densité d’énergie :  INCORPORER Equation.3 . On intègre dans le volume du conducteur :
 INCORPORER Equation.3 , donc  INCORPORER Equation.3 , valeur indépendante du rayon du câble, & donc valable pour un circuit filiforme.
Quand  INCORPORER Equation.3 , la contribution intérieure devient négligeable devant la contribution extérieure (cas des circuits filiformes, & donc quand on demande de calculer L, il s’agit en fait de la contribution extérieure).
 INCORPORER PBrush 

3. La première ligne bifilaire parcourue par le courant I1 crée un champ magnétique  INCORPORER Equation.3  somme des champs  INCORPORER Equation.3  créés par les deux fils. On a, en norme :  INCORPORER Equation.3 , d’où on déduit le flux à travers le circuit C2 :
 INCORPORER Equation.3 , soit :
 INCORPORER Equation.3 , ou enfin :
 INCORPORER Equation.3 , d’où l’inductance mutuelle linéique :  INCORPORER Equation.3  car en pratique b >> a. Il reste  INCORPORER Equation.3 , toujours du même ordre de grandeur.

4. A l’intérieur du tore, au point M situé à la distance r de l’axe Oz, le fil parcouru par le courant I1 crée le champ INCORPORER Equation.3 donné par le théorème d’Ampère : INCORPORER Equation.3, dont le flux à travers une spire du tore vaut : INCORPORER Equation.3. On en déduit le flux total à travers l’enroulement : INCORPORER Equation.3, puis l’inductance mutuelle par : INCORPORER Equation.3, soit :
INCORPORER Equation.3. AN : INCORPORER Equation.3, valeur extrêmement faible.

Exo n°2 :
1. Le cadre est en équilibre sous l’action de son poids & du couple électromagnétique. Mouvement de rotation, donc on calcule les moments par rapport à l’axe Ox : le poids INCORPORER Equation.3 a un moment INCORPORER Equation.3 si G est le centre d’inertie du cadre. Ce moment est dirigé vers les x < 0 : INCORPORER Equation.3. A courant constant, l’énergie magnétique et donnée par INCORPORER Equation.3. On en déduit le couple électromagnétique INCORPORER Equation.3. Autre calcul possible : le champ magnétique étant uniforme, le circuit se comporte comme un dipôle magnétique, donc INCORPORER Equation.3 vers les x < 0, donc INCORPORER Equation.3. Equation d’équilibre : INCORPORER Equation.3, donc :
INCORPORER Equation.3.

2. Stabilité : par l’énergie pour changer. INCORPORER Equation.3 comprend l’énergie électromagnétique & l’énergie potentielle de pesanteur, soit : INCORPORER Equation.3.
A l’équilibre, l’énergie est extrémale, donc Si l’équilibre est stable, l’énergie est minimale, donc sa dérivée seconde positive & on retrouve l’équation d’équilibre précédente.
Si l’équilibre est stable, l’énergie est minimale, donc sa dérivée seconde positive. Si l’équilibre est instable, l’énergie est maximale, donc sa dérivée seconde négative. On calcule :
INCORPORER Equation.3, normal pour une fonction sinusoïdale.
Pour INCORPORER Equation.3 donc équilibre stable ;
Pour INCORPORER Equation.3 donc équilibre instable ;

Exo n°3 :
INCORPORER PBrush
On considère le circuit élémentaire de dimensions INCORPORER Equation.3, de profondeur a (cf figure). On l’assimile à un circuit filiforme C, orientée à partir de la règle du tire - bouchon & du champ magnétique. On calcule le flux du champ magnétique à travers la surface S (C) : INCORPORER Equation.3 car les vecteurs INCORPORER Equation.3 sont colinéaires & de même sens, & le champ ne dépend que du temps, donc : INCORPORER Equation.3, d’où la fem induite : INCORPORER Equation.3. Conductance du circuit élémentaire (les lignes de courant pouvant raisonnablement être considérées comme parallèles) : INCORPORER Equation.3 car INCORPORER Equation.3 (tôle). Puissance Joule élémentaire perdue dans ce circuit :
INCORPORER Equation.3 d’où :
INCORPORER Equation.3, d’où la puissance volumique : INCORPORER Equation.3.
Cette quantité dépend de grandeurs sur lesquelles on ne peut pas intervenir : pulsation ( & amplitude Bm du champ magnétique, conductivité ( de l’acier, facteur INCORPORER Equation.3 lié à la géométrie. Pour réduire ces pertes, il reste à réduire e, c’est-à-dire à feuilleter le circuit massif, ce qui est réalisé dans les carcasses de transformateurs.

Exo n°4 :
1. Pour chacun des solénoïdes, le champ magnétique créé au point O est dirigé suivant l’axe, & vaut :
INCORPORER Equation.3, où ( est une constante ne dépendant que des paramètres géométriques du solénoïde. Le champ résultant vaut donc : INCORPORER Equation.3. On associe alors à chaque vecteur plan un nombre complexe, soit :
INCORPORER Equation.3, & on utilise les formules d’Euler pour représenter les sinus, ce qui donne :
INCORPORER Equation.3
On sépare les contributions en INCORPORER Equation.3 & en INCORPORER Equation.3, ce qui donne :
INCORPORER Equation.3. Dans le premier crochet, on reconnaît la somme des racines cubiques de l’unité, qui vaut zéro, d’où : INCORPORER Equation.3. Il en résulte que le module du champ est constant : INCORPORER Equation.3, & que l’argument du nombre complexe associé est une fonction affine du temps : on a affaire à un champ tournant autour du point O à la vitesse angulaire constante ( (qui est celle du système de courants triphasés) dans le sens trigonométrique.

2. Comme le champ magnétique créé tourne, l’angle entre sa direction & celle de la normale à la bobine dépend du temps, donc son cosinus & le flux aussi, d’où production d’une fem induite & d’un courant induit, donc de forces de Laplace qui auront un couple moteur entraînant la bobine dans un mouvement de rotation.
INCORPORER PBrush

3. D’après la figure, on déduit l’angle INCORPORER Equation.3 à un instant t quelconque : INCORPORER Equation.3, & donc le flux à travers la bobine vaut : INCORPORER Equation.3 car le champ magnétique est supposé constant sur la bobine de faibles dimensions. On en déduit la fem induite : INCORPORER Equation.3, où l’on a posé :
INCORPORER Equation.3. On constate que la fem induite s’annule si INCORPORER Equation.3 (pas de mouvement relatif, donc pas de phénomènes d’induction), d’où le nom de moteur asynchrone. On a une fem alternative, donc on se trouve en régime sinusoïdal forcé, & on utilise les notations complexes : INCORPORER Equation.3, & de même : INCORPORER Equation.3. La bobine étant un circuit R-L, on a :
INCORPORER Equation.3, car ici l’on a : INCORPORER Equation.3, d’où : INCORPORER Equation.3, d’où l’on déduit que :
INCORPORER Equation.3, & INCORPORER Equation.3 car la bobine est un circuit inductif. Il en résulte que : INCORPORER Equation.3.

4. La bobine étant un petit circuit plongé dans un champ magnétique uniforme peut être assimilée à un dipôle magnétique, donc soumise au couple : INCORPORER Equation.3, où INCORPORER Equation.3est le moment magnétique de la bobine. En module, on a donc : INCORPORER Equation.3, soit en définitive :
INCORPORER Equation.3. Par analogie avec la définition de la puissance active : INCORPORER Equation.3, on en déduit la valeur moyenne du couple : INCORPORER Equation.3, avec INCORPORER Equation.3, d’où :
INCORPORER Equation.3.

5. On fait apparaître les grandeurs INCORPORER Equation.3 & INCORPORER Equation.3 : INCORPORER Equation.3, où l’on a posé : INCORPORER Equation.3. On calcule la dérivée : INCORPORER Equation.3. Donc :

INCORPORER PBrush
Si INCORPORER Equation.3 (moteur à l’arrêt) :
INCORPORER Equation.3 avec INCORPORER Equation.3 comme il se doit pour un rotor bobiné inductif ;
Si INCORPORER Equation.3 (synchronisme, le moteur décroche) : INCORPORER Equation.3. La dérivée vaut : INCORPORER Equation.3 ;
Si INCORPORER Equation.3alors INCORPORER Equation.3, le couple est maximal & vaut : INCORPORER Equation.3, valeur indépendante de R. D’où la courbe. Si on diminue le facteur de qualité : la tangente à l’origine s’abaisse, le maximum du couple se déplace vers la droite, en conservant la même valeur.

La puissance est donnée par : INCORPORER Equation.3. Pour un bon facteur de qualité, le couple n’est important qu’autour de la valeur gm, alors INCORPORER Equation.3.

Calcul rigoureux : on considère la fonction INCORPORER Equation.3 qui s’annule en g = 0 & g = 1, donc il existe un maximum entre les deux. On dérive :
INCORPORER Equation.3, soit :
INCORPORER Equation.3 si INCORPORER Equation.3 si l’on a la condition Q2 >> 1.

INCORPORER PBrush

6. En prenant g comme variable : INCORPORER Equation.3. La quantité (f représente le frottement statique (obtenu à l’arrêt, pour g = 1). La quantité INCORPORER Equation.3 représente le frottement dynamique (attention ! tous les ( n’ont pas la même dimension !). On discute sur la courbe suivante :
Le système démarre seul si, à l’arrêt, donc pour g = 1, on a : INCORPORER Equation.3, ce qui est réalisé pour Q2, mais pas pour Q1.
Pour faciliter le démarrage : il faut augmenter le couple moteur à l’arrêt, donc augmenter la quantité INCORPORER Equation.3, donc diminuer le facteur de qualité INCORPORER Equation.3. La façon la plus simple consiste à augmenter R par adjonction d’un rhéostat de démarrage, ce qui déplace la courbe vers la droite sans modifier les valeurs extrémales du couple moteur .
En régime permanent : le théorème du moment cinétique donne : INCORPORER Equation.3, & donc en module :
INCORPORER Equation.3 & on a deux points de fonctionnement P1 & P2 correspondant à l’intersection des courbes. Discussion de la stabilité :
Au point P1 : si le moteur accélère, donc si g diminue, le couple résistant l’emporte & on retourne en P1 ; si le moteur ralentit, donc si g augmente, le couple moteur l’emporte & on retourne en P1, qui est donc stable ;
Au point P2 : si le moteur accélère, donc si g diminue, le couple moteur l’emporte & on s’écarte du point P2 ; si le moteur ralentit, donc si g augmente, le couple résistant l’emporte & on s’écarte de P2, qui est donc instable ;
La vitesse limite correspond donc à la limite entre ces deux types de fonctionnement, donc au sommet de la courbe, donc INCORPORER Equation.3, & la vitesse limite est donc (.



















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Agrégation Interne 2001 Corrigé des exercices d’induction II