Classe de seconde 3 - Corrigé du devoir maison de maths
Lors d'un second devoir, Nathalie obtient 10 sur 20 et Philippe 15 sur 20.
Nathalie ... S'il augmentait de 20% sa vitesse, il gagnerait 12 minutes sur la
durée du trajet. .... est probablement judicieuse bien qu'elle ne soit pas faite dans
ce corrigé.
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Classe de seconde 3 - Corrigé du devoir maison de maths
L Exercice 2 a été corrigé en classe
Exercice 1
Résultat du cours utilisé plusieurs fois dans cet exercice : (O, I , J) est un repère orthonormal du plan .
Soit x un nombre réel Îð ] 0 ; EQ \L( EQ \F((;2) ) [. Soit M le point associé à x par enroulement sur le cercle trigonométrique de centre O.
cos x et sinx coincident respectivement avec cos EQ \o(\s\up3(Æ);IOM) et sin EQ \o(\s\up3(Æ);IOM) .
x désigne un réel de lintervalle ] 0 ; EQ \L( EQ \F((;4) ) [.
I, A et B sont les points images de 0 , x et 2x sur le cercle trigonométrique de centre O .
La perpendiculaire à la droite (OI) passant par A coupe (OI) en P et la perpendiculaire à (OB) passant par A coupe (OB) en Q.
Les droites (OA) et (BI) se coupent en H.
Démontrer que laire du triangle OIB est : EQ \L( EQ \F(1;2) ) sin (2x) et que celle du triangle OAP est : EQ \L( EQ \F(1;2) ) sin(x) cos(x).
Soit h la longueur de BD, la hauteur issue de B dans le triangle OIB isocèle en O,où langle EQ \o(\s\up3(Æ);IOB) mesure 2x radians par hypothèse. x est un réel de lintervalle ] 0 ; EQ \L( EQ \F((;4) ) [, donc 2x < EQ \L( EQ \F((;2) ) . Dans le triangle rectangle OBD , sin EQ \o(\s\up3(Æ);BOD) = sin 2x = EQ \L( EQ \F(h;OB) ) =h.
Laire du triangle OIB est égale à EQ \L( EQ \F(h × OI ; 2) ) = EQ \L( EQ \F(sin 2x ; 2) ) . aire OIB = sin 2x
Dans le triangle rectangle OAP , où EQ \o(\s\up3(Æ);POA) = x , cos EQ \o(\s\up3(Æ);POA) = cos x = EQ \L( EQ \F(OP;OA) ) = OP et sin EQ \o(\s\up3(Æ);POA) = sinx = EQ \L( EQ \F(AP;OA) ) = AP .
Laire du triangle OAP est égale à EQ \L( EQ \F(OP × AP ; 2) ) ou encore à EQ \L( EQ \F(1;2) ) sin(x) cos(x). aire OAP = EQ \L( EQ \F(1;2) ) sin(x) cos(x)
Démontrer que les triangles OIH et OHB sont rectangles et ont des aires égales.
Dans le triangle IOB isocèle en O,la droite (OA) , bissectrice de langle EQ \o(\s\up3(Æ);IOB) est aussi la hauteur et la médiatrice
relative au côté [IB ]
.On en déduit que la droite (OA) est perpendiculaire à la droite (IB). Donc les triangles OIH et OHB sont rectangles en H.
La droite (OH) est axe de symétrie du triangle OIB , donc aire OHB = aire OIH = EQ \L( EQ \F(1;2) ) aire OIB
Démontrer que les triangles OIH et OAP ont des aires égales.
Dans le triangle rectangle OIH, cos x = cos EQ \o(\s\up3(Æ);IOH) = EQ \L( EQ \F(OH;OI) ) = OH et sin x = sin EQ \o(\s\up3(Æ);IOH) = EQ \L( EQ \F(IH;OI) ) = IH .
Dans la première question , on a vu que OP = cos x et AP = sin x .
Aire OIH = EQ \L( EQ \F(OH× IH ;2) ) = EQ \L( EQ \F(cos x × sinx ; 2) ) = EQ \L( EQ \F(OP × AP ; 2) ) = aire OAP .
Déduire des questions précédentes que laire du triangle OIB est le double de celle du triangle OAP.
De la question 2, (aire OIH = EQ \L( EQ \F(1;2) ) aire OIB )et de la question 3 (aire OAP = aire OIH ), on conclut : aire OIB = 2 × aire OAP
Exprimer sin(2x) en fonction de sin (x) et cos (x).
À partir des expressions des aires précédemment trouvées, encadrées plus haut, on peut écrire :
EQ \L( EQ \F(sin 2x ; 2) ) = 2 × EQ \L( EQ \F(1;2) ) sin(x) cos(x), ou encore : sin 2x = 2 × sinx × cosx
Figure de lexercice 1 DM2
