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Agrégation Interne 1998

2. les lois de Snell-Descartes conçernant la réflexion et la réfraction ... 1704 - N EWTON : publication d'un traité d'optique dans lequel il explique la complexité de la ..... d'indice différents et d'établir simplement les lois de Snell-Descartes (cf cours et TD). ..... Step 3 - Make sure steps 1 and 2 are consistent with each other.




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lectrique & on obtient :
 INCORPORER Equation.3 .
L’onde s’amortit en  INCORPORER Equation.3 , & donc :  INCORPORER Equation.3 .
5. AN :
f = 10 kHz donc, avec ( = 2(f, on calcule :  INCORPORER Equation.3 , d’où on déduit que :  INCORPORER Equation.3  puis  INCORPORER Equation.3 .
f = 50 MHz donc, avec ( = 2(f, on calcule :  INCORPORER Equation.3 , donnant 324 au carré, un peu limite pour l’approximation :  INCORPORER Equation.3  puis :
 INCORPORER Equation.3 . Les hautes fréquences sont plus fortement amorties, utiliser des basses fréquences pour communiquer dans l’eau.

Exo n°3 : Câble coaxial.
1. Loi des nœuds :  INCORPORER Equation.3  soit :  INCORPORER Equation.3 
Loi des mailles :  INCORPORER Equation.3  soit :  INCORPORER Equation.3 

2. On calcule :  INCORPORER Equation.3  puis  INCORPORER Equation.3  & de même :
 INCORPORER Equation.3  puis  INCORPORER Equation.3 . Par élimination, on obtient :
 INCORPORER Equation.3  & de même :
 INCORPORER Equation.3  ce qui fournit les équations des télégraphistes :

 INCORPORER Equation.3  &  INCORPORER Equation.3 

3. Dans le cas d’une ligne sans pertes (Ro = 0 & Go = 0), il reste :
 INCORPORER Equation.3  &  INCORPORER Equation.3 . On reconnaît l’équation d’onde de d’Alembert, & donc la vitesse des ondes vérifie :
 INCORPORER Equation.3 , résultat logique pour une ligne sans pertes.

4. Pour une onde plane progressive se déplaçant vers les x > 0, & vérifiant la condition initiale, on a :
 INCORPORER Equation.3  & de même :  INCORPORER Equation.3 . Pour une ligne sans pertes, les équations (1) & (2) deviennent :
 INCORPORER Equation.3  &  INCORPORER Equation.3 . En reportant, on obtient :
 INCORPORER Equation.3  &  INCORPORER Equation.3  ce qui donne :  INCORPORER Equation.3 . Avec la relation de dispersion  INCORPORER Equation.3  & l’expression de la vitesse  INCORPORER Equation.3 , on obtient pour l’impédance caractéristique du câble :  INCORPORER Equation.3 . Pour une onde se propageant dans l’autre sens, on aurait (le courant se retournant) :  INCORPORER Equation.3 .

AN :  INCORPORER Equation.3 

5. Compte tenu de la remarque précédente, la traduction de l’impédance caractéristique s’écrit :
 INCORPORER Equation.3 , soit :  INCORPORER Equation.3 .
A l’extrémité de la ligne, la loi d’Ohm donne :
 INCORPORER Equation.3 , d’où l’on déduit que :
 INCORPORER Equation.3 . Le facteur de réflexion pour les amplitudes est défini, pour les courants, par la relation :  INCORPORER Equation.3  & pour les tensions, par la relation :

 INCORPORER Equation.3 . Le facteur de réflexion pour les énergies R est défini par le rapport des énergies incidente & réfléchie, qui sont des fonctions quadratiques des courants ou des intensités, donc R = r². Cas particuliers :

z = 0 : le câble est court-circuité à son extrémité. Alors rI = - rV = 1, & R = 1. La réflexion de l’énergie est totale.
z -> ( : le câble est en circuit ouvert à son extrémité. Alors rI = - rV = - 1, & R = 1. La réflexion de l’énergie est encore totale.
z imaginaire pure : il n’y a pas de consommation de puissance à l’extrémité de la ligne, donc ici encore R = 1.
z = zC : alors rI = rV = 0, donc R = 0. Il n’y a pas d’énergie réfléchie, toute l’énergie de l’onde incidente est absorbée au bout de la ligne : c’est l’adaptation d’impédance.

6. L’énergie est contenue dans l’inductance & la capacité, donc :  INCORPORER Equation.3 . La puissance est donnée par : P (x, t) = i (x, t).v (x, t). On écrit un bilan de puissance sur une tranche dx de câble :
 INCORPORER Equation.3  d’où :  INCORPORER Equation.3  On reconnaît l’équation de continuité de l’énergie. Vérification :
 INCORPORER Equation.3  &  INCORPORER Equation.3  d’où on déduit que :
 INCORPORER Equation.3 . Or :  INCORPORER Equation.3  donc  INCORPORER Equation.3  soit :
 INCORPORER Equation.3 . De la définition de P (x, t), on déduit que :
 INCORPORER Equation.3 donc  INCORPORER Equation.3 
Avec  INCORPORER Equation.3 , on retrouve bien l’équation de continuité de l’énergie.

Exo n°4 : Corde vibrante.


On isole un élément de corde situé entre les abscisses x & x + dx. On appelle  INCORPORER Equation.3 les tensions aux deux extrémités de l’élément. On écrit la relation fondamentale de la dynamique (sans le poids) en projection :
 INCORPORER Equation.3  car x ne varie pas ;
 INCORPORER Equation.3 .
A l’ordre 1, cos ( 1 & la norme de la tension est constante, & donc égale à F à l’extrémité. Théorème des accroissements finis sur la deuxième équation :
 INCORPORER Equation.3 , or  INCORPORER Equation.3  d’où l’équation de d’Alembert :
 INCORPORER Equation.3 , avec  INCORPORER Equation.3 .

Exo n°5 : Ondes sonores dans les fluides.

1. Dans l’étude générale du mouvement d’un fluide, on a 6 inconnues  INCORPORER Equation.3  qui dépendent des 4 variables  INCORPORER Equation.3 . Elles sont déterminées par les 6 équations suivantes : équation vectorielle d’Euler, & 3 équations scalaires : continuité de la masse, équation d’état du fluide, invariant du processus thermodynamique. On s’intéresse à l’aspect mécanique du problème, & donc on ignorera la variable thermodynamique T. Les équations déterminant l’évolution d’un fluide parcouru par des ondes sonores sont dans ces conditions :
 INCORPORER Equation.3 
L’équation (1) est une équation de continuité traduisant la conservation de la masse. L’équation (2) est une forme de l’équation d’Euler :  INCORPORER Equation.3 , avec l’hypothèse suivante : 
on néglige le poids du fluide, car s’il n’était pas nul, il serait compensé par la poussée d’Archimède, résultante des forces de pression non nulle seulement s’il y a variation de pression (d’autre part, en règle générale, le mouvement du fluide aura lieu suivant une direction orthogonale au champ de pesanteur).
L’équation (3) traduit l’invariant du processus thermodynamique, donc isentropique.
A l’ordre 1, on obtient donc :

 INCORPORER Equation.3 
 INCORPORER Equation.3 
 INCORPORER Equation.3 

2. Pour obtenir l’équation de propagation de la pression, on prend la divergence de l’équation (5) :
 INCORPORER Equation.3 . En utilisant les équations (4) & (5), & en remarquant qu’à l’ordre 1, l’équation (6) montre que le coefficient (s est constant :  INCORPORER Equation.3 , on obtient l’équation cherchée :  INCORPORER Equation.3 , avec  INCORPORER Equation.3 . Pour un gaz parfait :
 INCORPORER Equation.3  pour une isentropique. On prend la différentielle logarithmique :  INCORPORER Equation.3 , d’où on déduit :  INCORPORER Equation.3 ,  INCORPORER Equation.3  & donc :  INCORPORER Equation.3 , c’est la formule de Laplace.
Avec le formalisme de l’onde plane :  INCORPORER Equation.3 , l’équation (5) devient :
 INCORPORER Equation.3 .
3. On isole un élément de surface  INCORPORER Equation.3  à l’intérieur du fluide. Alors la puissance élémentaire dP associée à la force élémentaire  INCORPORER Equation.3  est donnée par :  INCORPORER Equation.3 , & donc la puissance sonore traversant une surface S vaut :  INCORPORER Equation.3 , & apparaît comme le flux du vecteur  INCORPORER Equation.3 .
Comme en électromagnétisme, on calcule la divergence du vecteur  INCORPORER Equation.3  :
 INCORPORER Equation.3 . En utilisant les équations précédentes, on obtient :
 INCORPORER Equation.3 .
Avec  INCORPORER Equation.3 , on obtient :
 INCORPORER Equation.3  , densité d’énergie.
On en déduit que l’énergie cinétique volumique vaut  INCORPORER Equation.3 , & l’énergie potentielle volumique vaut :  INCORPORER Equation.3 .

Exo n°6 : Impédance acoustique.
1. Théorème de Bernoulli en  INCORPORER Equation.3 : même z, la vitesse est continue, la masse volumique aussi, d'où continuité de la pression. On peut aussi traduire l’équilibre d’un piston situé en xo. La continuité du débit volumique Dv suppose le fluide incompressible, ce qui suppose réalisée l’une des deux conditions suivantes :  INCORPORER Equation.3  : c’est donc le cas. La section étant variable, on doit raisonner sur le débit volumique & non pas, comme d’habitude, sur la vitesse.
2. L’équation d’Euler  INCORPORER Equation.3  s’écrit  INCORPORER Equation.3  en régime sinusoïdal, soit  INCORPORER Equation.3  , & on retrouve la définition d’une impédance : cause (surpression) divisée par effet (vitesse du fluide mis en mouvement). On vérifie que pour une onde réfléchie, le changement de signe de la vitesse implique un changement de signe de l’impédance. D’après la relation précédente, si P est solution de l’équation de d’Alembert, la vitesse aussi, & on peut écrire :
 INCORPORER Equation.3  &  INCORPORER Equation.3  dans le milieu 1, & dans le milieu 2 on a :
 INCORPORER Equation.3  &  INCORPORER Equation.3 . Alors on traduit les conditions aux limites en xo :
continuité du débit volumique :  INCORPORER Equation.3 
continuité de la pression :  INCORPORER Equation.3 
On fait le rapport des équations :  INCORPORER Equation.3 , d’où on déduit :
 INCORPORER Equation.3  , où  INCORPORER Equation.3  est le facteur de réflexion défini pour les débits & rp celui pour les surpressions (changement de signe dû à l’onde réfléchie). Calcul du facteur de transmission pour les débits  INCORPORER Equation.3  : la première relation donne :  INCORPORER Equation.3 , soit :
 INCORPORER Equation.3 . Calcul du facteur de transmission pour les surpressions :
 INCORPORER Equation.3 , soit aussi :  INCORPORER Equation.3  .

3. La puissance acoustique traversant une surface S est donnée par le flux du vecteur  INCORPORER Equation.3 , soit la quantité :  INCORPORER Equation.3 . Le facteur de réflexion pour les énergies est donc donné par la relation (le signe provenant de l’onde réfléchie) :  INCORPORER Equation.3 . Le facteur de transmission est donné par (pas de changement de signe) :  INCORPORER Equation.3 . On vérifie que l’on a : R + T = 1, ce qui traduit la conservation de l’énergie.

4. Les deux conduites contenant le même fluide, on a :  INCORPORER Equation.3   d’où :  INCORPORER Equation.3 , d’où les valeurs des facteurs :  INCORPORER Equation.3  &  INCORPORER Equation.3 . Cas particuliers :
Si  INCORPORER Equation.3  :  INCORPORER Equation.3 . Le débit de sortie est nul, il ne sort rien, tout est réfléchi. Alors  INCORPORER Equation.3 , c’est l’équivalent une ligne en sortie ouverte.
Si  INCORPORER Equation.3  :  INCORPORER Equation.3 . Le surpression en sortie est nulle (pour conserver une puissance finie), il ne sort rien, tout est réfléchi. Alors  INCORPORER Equation.3 , c’est l’équivalent une ligne en court-circuit.

L’adaptation d’impédance dans le cas d’un seul fluide correspond donc à S1 = S2, & le facteur de transmission devient rapidement très faible si les deux sections diffèrent beaucoup. Dans un pavillon acoustique, on doit donc réaliser une croissance de la section (pour compenser les pertes d’énergie & maintenir le flux ( constant) faible mais régulière (pour réaliser localement l’adaptation d’impédance) : c’est la cas du pavillon exponentiel.











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Agreg Interne 98 Corrigé Exos Propagation


 INCORPORER PBrush 


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