VI. Programmation sous Matlab - Darkantoine
C'est une norme dans l'espace vectorielle Mn(R), avec en plus. Norme ...... de
Crout: On peut tout aussi bien utiliser Crout (qui est la méthode proposée en TD).
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TOC \o "1-3" \h \z HYPERLINK \l "_Toc498325964" I. Transformation de Laplace PAGEREF _Toc498325964 \h 6
HYPERLINK \l "_Toc498325965" A. Définition PAGEREF _Toc498325965 \h 6
HYPERLINK \l "_Toc498325966" B. Transformée de fonctions élémentaires PAGEREF _Toc498325966 \h 6
HYPERLINK \l "_Toc498325967" 1. Fonction échelon unité (fonction dHeaviside) U(t) PAGEREF _Toc498325967 \h 6
HYPERLINK \l "_Toc498325968" 2. Fonction impulsion unité (Distribution de Dirac) PAGEREF _Toc498325968 \h 7
HYPERLINK \l "_Toc498325969" 3. Fonction puissance PAGEREF _Toc498325969 \h 7
HYPERLINK \l "_Toc498325970" 4. Fonction exponentielle PAGEREF _Toc498325970 \h 8
HYPERLINK \l "_Toc498325971" 5. Propriétés PAGEREF _Toc498325971 \h 8
HYPERLINK \l "_Toc498325972" 6. Transformée de la dérivée PAGEREF _Toc498325972 \h 10
HYPERLINK \l "_Toc498325973" 7. Transformée de la primitive PAGEREF _Toc498325973 \h 11
HYPERLINK \l "_Toc498325974" C. Produit de convolution PAGEREF _Toc498325974 \h 11
HYPERLINK \l "_Toc498325975" 1. Définition PAGEREF _Toc498325975 \h 11
HYPERLINK \l "_Toc498325976" 2. Théorème PAGEREF _Toc498325976 \h 11
HYPERLINK \l "_Toc498325977" 3. Application de la transformation de Laplace aux systèmes différentiels PAGEREF _Toc498325977 \h 12
HYPERLINK \l "_Toc498325978" D. Applications PAGEREF _Toc498325978 \h 13
HYPERLINK \l "_Toc498325979" 1. Exercice n°1 PAGEREF _Toc498325979 \h 13
HYPERLINK \l "_Toc498325980" 2. Exercice n°2 PAGEREF _Toc498325980 \h 13
HYPERLINK \l "_Toc498325981" 3. Exercice n°3 PAGEREF _Toc498325981 \h 14
HYPERLINK \l "_Toc498325982" 4. Exercice n°4 PAGEREF _Toc498325982 \h 14
HYPERLINK \l "_Toc498325983" 5. Exercice n°5 PAGEREF _Toc498325983 \h 15
HYPERLINK \l "_Toc498325984" E. Formulaire PAGEREF _Toc498325984 \h 16
HYPERLINK \l "_Toc498325985" II. Transformation de Fourier PAGEREF _Toc498325985 \h 18
HYPERLINK \l "_Toc498325986" A. Généralités PAGEREF _Toc498325986 \h 18
HYPERLINK \l "_Toc498325987" 1. Définition PAGEREF _Toc498325987 \h 18
HYPERLINK \l "_Toc498325988" 2. Théorèmes dinversion PAGEREF _Toc498325988 \h 18
HYPERLINK \l "_Toc498325989" B. Propriétés PAGEREF _Toc498325989 \h 19
HYPERLINK \l "_Toc498325990" 1. Linéarité PAGEREF _Toc498325990 \h 19
HYPERLINK \l "_Toc498325991" 2. Fonctions conjuguées transformation affine PAGEREF _Toc498325991 \h 19
HYPERLINK \l "_Toc498325992" 3. Dérivation et Intégration PAGEREF _Toc498325992 \h 19
HYPERLINK \l "_Toc498325993" C. Convolution PAGEREF _Toc498325993 \h 20
HYPERLINK \l "_Toc498325994" D. Exemples PAGEREF _Toc498325994 \h 20
HYPERLINK \l "_Toc498325995" 1. Transformée dune fréquence unique PAGEREF _Toc498325995 \h 20
HYPERLINK \l "_Toc498325996" 2. Transformée dune fonction paire: le cosinus PAGEREF _Toc498325996 \h 21
HYPERLINK \l "_Toc498325997" 3. Transformée dune fonction impaire: le sinus PAGEREF _Toc498325997 \h 21
HYPERLINK \l "_Toc498325998" 4. Transformée dune fonction constante PAGEREF _Toc498325998 \h 22
HYPERLINK \l "_Toc498325999" 5. Transformé dune fonction porte PAGEREF _Toc498325999 \h 22
HYPERLINK \l "_Toc498326000" 6. Relation entre largeur temporelle dune fonction et largeur de son spectre PAGEREF _Toc498326000 \h 23
HYPERLINK \l "_Toc498326001" 7. Transformée dune fonction tronquée (transformée fenêtrée) PAGEREF _Toc498326001 \h 24
HYPERLINK \l "_Toc498326002" 8. Transformée dun peigne de Dirac PAGEREF _Toc498326002 \h 24
HYPERLINK \l "_Toc498326003" 9. Calcul de la Transformée de Fourier PAGEREF _Toc498326003 \h 26
HYPERLINK \l "_Toc498326004" 10. Cas de la Transformée de Fourier en deux dimensions PAGEREF _Toc498326004 \h 26
HYPERLINK \l "_Toc498326005" E. Cas des fonctions périodiques PAGEREF _Toc498326005 \h 26
HYPERLINK \l "_Toc498326006" 1. Définition dune série trigonométrique PAGEREF _Toc498326006 \h 26
HYPERLINK \l "_Toc498326007" 2. Calcul des coefficients de Fourier PAGEREF _Toc498326007 \h 27
HYPERLINK \l "_Toc498326008" 3. Conclusion fondamentale PAGEREF _Toc498326008 \h 28
HYPERLINK \l "_Toc498326009" 4. Cas dune fonction de t, périodique de période T: PAGEREF _Toc498326009 \h 28
HYPERLINK \l "_Toc498326010" 5. Remarques PAGEREF _Toc498326010 \h 30
HYPERLINK \l "_Toc498326011" F. Corollaires PAGEREF _Toc498326011 \h 31
HYPERLINK \l "_Toc498326012" 1. Egalité de Parceval PAGEREF _Toc498326012 \h 31
HYPERLINK \l "_Toc498326013" 2. Largeur des paquets dénergie PAGEREF _Toc498326013 \h 31
HYPERLINK \l "_Toc498326014" G. Applications PAGEREF _Toc498326014 \h 32
HYPERLINK \l "_Toc498326015" 1. Exercice n°1 PAGEREF _Toc498326015 \h 32
HYPERLINK \l "_Toc498326016" 2. Exercice n°2 PAGEREF _Toc498326016 \h 32
HYPERLINK \l "_Toc498326017" 3. Exercice n°3 PAGEREF _Toc498326017 \h 32
HYPERLINK \l "_Toc498326018" 4. Exercice n°4 PAGEREF _Toc498326018 \h 32
HYPERLINK \l "_Toc498326019" III. Résolution déquations algébriques PAGEREF _Toc498326019 \h 34
HYPERLINK \l "_Toc498326020" A. Les objectifs PAGEREF _Toc498326020 \h 34
HYPERLINK \l "_Toc498326021" B. Analyse mathématique PAGEREF _Toc498326021 \h 35
HYPERLINK \l "_Toc498326022" C. Les méthodes itératives PAGEREF _Toc498326022 \h 36
HYPERLINK \l "_Toc498326023" 1. Méthodes du 1er ordre PAGEREF _Toc498326023 \h 36
HYPERLINK \l "_Toc498326024" 2. Méthode de Newton (2ème ordre) PAGEREF _Toc498326024 \h 37
HYPERLINK \l "_Toc498326025" 3. Autres méthodes PAGEREF _Toc498326025 \h 37
HYPERLINK \l "_Toc498326026" D. Remarques sur la méthode de Newton PAGEREF _Toc498326026 \h 39
HYPERLINK \l "_Toc498326027" 1. Initialisation PAGEREF _Toc498326027 \h 39
HYPERLINK \l "_Toc498326028" 2. Annulation de la dérivée PAGEREF _Toc498326028 \h 40
HYPERLINK \l "_Toc498326029" 3. Calcul de la dérivée PAGEREF _Toc498326029 \h 40
HYPERLINK \l "_Toc498326030" 4. Tests darrêt PAGEREF _Toc498326030 \h 40
HYPERLINK \l "_Toc498326031" IV. Résolution de systèmes déquations PAGEREF _Toc498326031 \h 42
HYPERLINK \l "_Toc498326032" A. Rappels dalgèbre linéaire PAGEREF _Toc498326032 \h 42
HYPERLINK \l "_Toc498326033" 1. Calcul matriciel (rappels) PAGEREF _Toc498326033 \h 42
HYPERLINK \l "_Toc498326034" 2. Diagonalisation PAGEREF _Toc498326034 \h 42
HYPERLINK \l "_Toc498326035" 3. Algorithmes PAGEREF _Toc498326035 \h 44
HYPERLINK \l "_Toc498326036" B. Méthodes directes pour la résolution de systèmes linéaires PAGEREF _Toc498326036 \h 44
HYPERLINK \l "_Toc498326037" 1. Méthodes classiques PAGEREF _Toc498326037 \h 44
HYPERLINK \l "_Toc498326038" 2. Inversion de matrice PAGEREF _Toc498326038 \h 48
HYPERLINK \l "_Toc498326039" C. Méthodes itératives pour les systèmes déquations PAGEREF _Toc498326039 \h 50
HYPERLINK \l "_Toc498326040" 1. Systèmes linéaires PAGEREF _Toc498326040 \h 50
HYPERLINK \l "_Toc498326041" 2. Systèmes non-linéaires PAGEREF _Toc498326041 \h 52
HYPERLINK \l "_Toc498326042" 3. Newton-Raphson PAGEREF _Toc498326042 \h 53
HYPERLINK \l "_Toc498326043" D. Applications PAGEREF _Toc498326043 \h 54
HYPERLINK \l "_Toc498326044" 1. Exercice 1 PAGEREF _Toc498326044 \h 54
HYPERLINK \l "_Toc498326045" 2. Exercice 2 PAGEREF _Toc498326045 \h 55
HYPERLINK \l "_Toc498326046" V. Initiation à Matlab PAGEREF _Toc498326046 \h 57
HYPERLINK \l "_Toc498326047" A. Eléments de base PAGEREF _Toc498326047 \h 57
HYPERLINK \l "_Toc498326048" 1. Quest-ce que Matlab ? PAGEREF _Toc498326048 \h 57
HYPERLINK \l "_Toc498326049" 2. Documentation - Aide en ligne PAGEREF _Toc498326049 \h 57
HYPERLINK \l "_Toc498326050" B. Informations traitées PAGEREF _Toc498326050 \h 59
HYPERLINK \l "_Toc498326051" 1. Les types de données PAGEREF _Toc498326051 \h 59
HYPERLINK \l "_Toc498326052" 2. Types de base PAGEREF _Toc498326052 \h 59
HYPERLINK \l "_Toc498326053" 3. Types évolués PAGEREF _Toc498326053 \h 60
HYPERLINK \l "_Toc498326054" C. Opérations algébriques PAGEREF _Toc498326054 \h 63
HYPERLINK \l "_Toc498326055" 1. Fonctions élémentaires, opérations arithmétiques PAGEREF _Toc498326055 \h 63
HYPERLINK \l "_Toc498326056" 2. Opérations sur les tableaux et matrices carrées PAGEREF _Toc498326056 \h 63
HYPERLINK \l "_Toc498326057" VI. Programmation sous Matlab PAGEREF _Toc498326057 \h 67
HYPERLINK \l "_Toc498326058" A. Quest-ce quun programme ? PAGEREF _Toc498326058 \h 67
HYPERLINK \l "_Toc498326059" 1. Algorithme + langage = programme PAGEREF _Toc498326059 \h 67
HYPERLINK \l "_Toc498326060" 2. Instructions, variables et types PAGEREF _Toc498326060 \h 67
HYPERLINK \l "_Toc498326061" 3. Sous-programmes PAGEREF _Toc498326061 \h 68
HYPERLINK \l "_Toc498326062" 4. Mise en oeuvre d'un programme PAGEREF _Toc498326062 \h 68
HYPERLINK \l "_Toc498326063" 5. Différentes approches de programmation PAGEREF _Toc498326063 \h 69
HYPERLINK \l "_Toc498326064" B. Les instructions essentielles PAGEREF _Toc498326064 \h 70
HYPERLINK \l "_Toc498326065" 1. Rupture de séquences, arrêt, tests PAGEREF _Toc498326065 \h 70
HYPERLINK \l "_Toc498326066" 2. Les boucles PAGEREF _Toc498326066 \h 71
HYPERLINK \l "_Toc498326067" 3. Les fonctions Matlab PAGEREF _Toc498326067 \h 72
HYPERLINK \l "_Toc498326068" C. Transmission dinformation dans un programme PAGEREF _Toc498326068 \h 73
HYPERLINK \l "_Toc498326069" 1. Les fichiers PAGEREF _Toc498326069 \h 73
HYPERLINK \l "_Toc498326070" 2. Visibilité des variables PAGEREF _Toc498326070 \h 74
HYPERLINK \l "_Toc498326071" 3. La gestion des entrées-sorties PAGEREF _Toc498326071 \h 75
HYPERLINK \l "_Toc498326072" D. Quelques algorithmes PAGEREF _Toc498326072 \h 76
HYPERLINK \l "_Toc498326073" 1. Les tris PAGEREF _Toc498326073 \h 76
HYPERLINK \l "_Toc498326074" E. Exercices : Méthodes de résolution PAGEREF _Toc498326074 \h 80
HYPERLINK \l "_Toc498326075" 1. Systèmes tridiagonaux par blocs PAGEREF _Toc498326075 \h 80
HYPERLINK \l "_Toc498326076" 2. Newton-Raphson PAGEREF _Toc498326076 \h 80
HYPERLINK \l "_Toc498326077" VII. Equations différentielles ordinaires PAGEREF _Toc498326077 \h 82
HYPERLINK \l "_Toc498326078" A. Notions de base PAGEREF _Toc498326078 \h 82
HYPERLINK \l "_Toc498326079" B. Equations du 1er ordre PAGEREF _Toc498326079 \h 82
HYPERLINK \l "_Toc498326080" 1. Définitions PAGEREF _Toc498326080 \h 82
HYPERLINK \l "_Toc498326081" 2. Théorème PAGEREF _Toc498326081 \h 83
HYPERLINK \l "_Toc498326082" 3. Résolution PAGEREF _Toc498326082 \h 83
HYPERLINK \l "_Toc498326083" C. Equations du 2d ordre PAGEREF _Toc498326083 \h 84
HYPERLINK \l "_Toc498326084" 1. Généralités PAGEREF _Toc498326084 \h 84
HYPERLINK \l "_Toc498326085" 2. Equations se ramenant au 1er ordre PAGEREF _Toc498326085 \h 84
HYPERLINK \l "_Toc498326086" 3. Equations linéaires du 2d ordre PAGEREF _Toc498326086 \h 85
HYPERLINK \l "_Toc498326087" 4. Equation linéaire à coefficients constants PAGEREF _Toc498326087 \h 87
HYPERLINK \l "_Toc498326088" D. Intégration par développement en série entière PAGEREF _Toc498326088 \h 89
HYPERLINK \l "_Toc498326089" VIII. Intégration numérique PAGEREF _Toc498326089 \h 91
HYPERLINK \l "_Toc498326090" A. Problème de conditions initiales PAGEREF _Toc498326090 \h 91
HYPERLINK \l "_Toc498326091" 1. Méthodes à pas séparés PAGEREF _Toc498326091 \h 91
HYPERLINK \l "_Toc498326092" 2. Méthodes à pas liés PAGEREF _Toc498326092 \h 95
HYPERLINK \l "_Toc498326093" B. Autres types de problèmes PAGEREF _Toc498326093 \h 96
HYPERLINK \l "_Toc498326094" 1. Problème de conditions limites PAGEREF _Toc498326094 \h 96
HYPERLINK \l "_Toc498326095" 2. Systèmes différentiels PAGEREF _Toc498326095 \h 97
HYPERLINK \l "_Toc498326096" IX. Optimisation PAGEREF _Toc498326096 \h 99
HYPERLINK \l "_Toc498326097" A. Programmation linéaire PAGEREF _Toc498326097 \h 99
HYPERLINK \l "_Toc498326098" 1. Introduction PAGEREF _Toc498326098 \h 99
HYPERLINK \l "_Toc498326099" 2. Forme canonique d'un programme linéaire PAGEREF _Toc498326099 \h 99
HYPERLINK \l "_Toc498326100" 3. Forme standard d'un programme linéaire PAGEREF _Toc498326100 \h 100
HYPERLINK \l "_Toc498326101" 4. Solutions optimales et sommets PAGEREF _Toc498326101 \h 102
HYPERLINK \l "_Toc498326102" 5. Algorithme primal du simplexe PAGEREF _Toc498326102 \h 103
HYPERLINK \l "_Toc498326103" B. Autres méthodes PAGEREF _Toc498326103 \h 108
HYPERLINK \l "_Toc498326104" 1. Algorithme du gradient conjugué PAGEREF _Toc498326104 \h 108
HYPERLINK \l "_Toc498326105" 2. Algorithme du gradient réduit PAGEREF _Toc498326105 \h 109
HYPERLINK \l "_Toc498326106" C. Eléments de théorie des graphes - Flots dans les réseaux - PAGEREF _Toc498326106 \h 110
HYPERLINK \l "_Toc498326107" 1. Définitions et propriétés PAGEREF _Toc498326107 \h 110
HYPERLINK \l "_Toc498326108" 2. Flot dans un réseau PAGEREF _Toc498326108 \h 110
HYPERLINK \l "_Toc498326109" 3. Le problème du flot maximum dans un réseau de transport PAGEREF _Toc498326109 \h 113
HYPERLINK \l "_Toc498326110" 4. Algorithme de recherche dun flot maximum PAGEREF _Toc498326110 \h 114
HYPERLINK \l "_Toc498326111" 5. Le problème du flot maximum à coût minimum PAGEREF _Toc498326111 \h 117
Transformation de Laplace
Définition
Soit f une fonction de la variable réelle t, définie sur R et supposée nulle pour t négatif (fonction causale). On appelle transformée de Laplace de f, la fonction F définie par:
EMBED Equation.3
Où p est une variable complexe.
On écrit : F(p) = L [f(t)] ou F(p) EMBED Equation.3 f(t)
f(t) = L1 [F(p)] ou f(t) EMBED Equation.3 F(p)
La transformée de Laplace dune fonction nexiste que si lintégrale est convergente, pour cela on est amené à imposer à f deux conditions :
être continue par morceaux sur tout fermé
être « d ordre exponentiel à l infini », c est à dire qu il existe M>0 et að tels que |f(t)|X.
On démontre que si les hypothèses précédentes sont vérifiées, la transformée de Laplace est définie pour p> ðað , ou si p est complexe, pour Re(p) > að . Par la suite on considérera en général que Re(p) > 0.
Transformée de fonctions élémentaires
Fonction échelon unité (fonction dHeaviside) U(t)
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Comme Re (p)>0, alors EMBED Equation.3
Ce qui implique EMBED Equation.3
Fonction impulsion unité (Distribution de Dirac)
EMBED Equation.3 Si EMBED Equation.3 tend vers 0, la distribution de Dirac sert à représenter en physique une action sexerçant sur un instant très court (impulsion).
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 avec Re (p)>0
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
et finalement : EMBED Equation.3
Remarque
EMBED Equation.3 , on a EMBED Equation.3 .
Fonction puissance
Soit EMBED Equation.3 ( n EMBED Equation.3 N ).
Calculons donc EMBED Equation.3
Posons le changement de variables : EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 (le premier crochet est nul si Re(p)>0 )
Doù : EMBED Equation.3 . Sachant que EMBED Equation.3 , on en déduit que :
EMBED Equation.3 ( n EMBED Equation.3 N)
Fonction exponentielle
Soit EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Si Re(p + a) > 0 alors, EMBED Equation.3
doù EMBED Equation.3
Propriétés
Linéarité
EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 complexes, L[f(t)] = F(p) et L[g(t)] = G(p)
L[að.f(t) + bð.g(t)] = að.F(p) + bð.G(p)
Exemple : Transformée de Laplace des fonctions circulaires
EMBED Equation.3
d où : EMBED Equation.3
De même pour EMBED Equation.3 : EMBED Equation.3
Règle de similitude (Changement d échelle)
Soit g(t) = f(a.t) ( a>0 )
EMBED Equation.3
On pose alors le changement de variables : EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
ce qui permet détablir : EMBED Equation.3
Règle de translation en p
EMBED Equation.3
doù : EMBED Equation.3
Règle de translation en t
Soit EMBED Equation.3
On pose u = t t0 et du = dt
EMBED Equation.3
ce qui permet détablir : EMBED Equation.3 où EMBED Equation.3 est le facteur retard
Exemple
Image dun créneau entre 0 et t0 :
f(t) = f1(t) + f2(t) = U(t) U(t t 0)Il en résulte que : EMBED Equation.3
Doù : EMBED Equation.3
Application : Transformée dune fonction périodique
Soit f une fonction bornée sur lintervalle EMBED Equation.3 et nulle sur EMBED Equation.3 . Sa transformée de Laplace est notée EMBED Equation.3 .
Définissons maintenant la fonction périodique g telle que :
EMBED Equation.3
Autrement dit : EMBED Equation.3
En appliquant la linéarité et le théorème du retard, on en déduit la transformée de Laplace EMBED Equation.3 de g :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
soit finalement : EMBED Equation.3
Transformée de la dérivée
Théorème fondamental
Si f est continue par morceaux sur tout fermé [0; x0] et si EMBED Equation.3 alors :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
En effet, en intégrant par parties, on obtient:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
f(0+) représentant la limite à droite de f(t) quand t tend vers 0, doù le théorème.
Généralisation
Si f vérifie à son tour les hypothèses du théorème, on a:
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Cette propriété, qui fait la richesse de la transformée de Laplace sera largement utilisée dans les équations différentielles.
Remarques importantes
Théorème de la valeur initiale: EMBED Equation.3
Théorème de la valeur finale: EMBED Equation.3
Transformée de la primitive
Si EMBED Equation.3 ; alors : EMBED Equation.3
Démonstration
EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3
En appliquant le théorème de la dérivée
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 avec EMBED Equation.3
Il sensuit : EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
or EMBED Equation.3 ; doù le résultat.
Produit de convolution
Définition
La convolution deux fonctions EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 se définit comme étant la fonction :
EMBED Equation.3 qui se note : EMBED Equation.3
Théorème
Dans le cadre de ce chapitre, on sintéresse à des fonctions f et g nulles pour t < 0 (f et g causales). Ainsi la convolution de ces deux fonctions prendra la forme suivante :
EMBED Equation.3
Le changement de s en t-s montre que EMBED Equation.3 est symétrique par rapport au couple (f,g). Proposons-nous de trouver limage EMBED Equation.3 de EMBED Equation.3 , connaissant les images EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 de EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 , i.e. :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Expression que lon peut mettre sous la forme dune intégrale double :
EMBED Equation.3
D étant le demi-quadrant du plan s,t défini par : 0 < s < t. Il sagit dune intégrale double généralisée. Si elle existe, elle est calculable en faisant le changement de variable : EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3
On trouve : EMBED Equation.3
On voit donc que EMBED Equation.3 est le produit de deux intégrales :
EMBED Equation.3
Autrement dit : EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 CQFD !
Finalement, on a démontré que limage de la convolution de deux fonctions est égale au produit des images de ces deux fonctions :
EMBED Equation.3
Ce théorème est dun usage fréquent, car il permet souvent de mettre sous une forme calculable loriginal du produit de deux fonctions. Si loriginal de EMBED Equation.3 nest pas apparent, il pourra être commode décrire EMBED Equation.3 sous la forme du produit de deux fonctions, et dappliquer la formule ci-dessus.
Application de la transformation de Laplace aux systèmes différentiels
Considérons le système différentiel :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
où les EMBED Equation.3 sont EMBED Equation.3 constantes données, et les EMBED Equation.3 n fonctions données de la variable t. Cest un système à coefficients constants avec second membre. Pour le résoudre par le calcul symbolique, on désigne par EMBED Equation.3 les images de EMBED Equation.3 . Si on cherche la solution de ce système telle que, pour t=0, EMBED Equation.3 prenne une valeur donnée EMBED Equation.3 , on a donc :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Pour calculer les EMBED Equation.3 , on doit résoudre un système algébrique de n équations linéaires à n inconnues. On en déduit ainsi les EMBED Equation.3 correspondant à des conditions initiales données. Par lintermédiaire dun dictionnaire dimage, on en déduit les expressions des EMBED Equation.3 .
Dans ce cadre, la transformation de Laplace constitue un moyen relativement simple pour résoudre de tels systèmes, dautant plus lorsque lon a à faire à un système homogène, i.e. :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Exemple : Résolution dun système de dimension deux
Soit le système différentiel suivant :
EMBED Equation.3 sannulant pour t = 0.
Soient EMBED Equation.3 les images de EMBED Equation.3 . Les images de EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 sont ici EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 . On a donc :
EMBED Equation.3
doù on tire les expressions pour X et Y :
EMBED Equation.3
si f et g étaient explicitement données, on pourrait en déduire directement les expressions de x(t) et y(t). Au contraire, ici EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 font intervenir des images dont les origines sont EMBED Equation.3 . On trouve ainsi, après très peu de calculs :
EMBED Equation.3
Applications
Exercice n°1
Calculer les transformées de :
EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 désignant la partie entière de t.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Exercice n°2
Trouver les originales de :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ; avec EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ; avec EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Exercice n°3
Résoudre, en utilisant la transformation de Laplace, léquation différentielle suivante :
EMBED Equation.3
avec EMBED Equation.3
Exercice n°4
On définit les fonctions EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 par :
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
On notera EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Etablir la relation entre EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3
En déduire la transformée de EMBED Equation.3 . Sachant que EMBED Equation.3 , en déduire la transformée de EMBED Equation.3 . Remarque pour les valeurs entières de EMBED Equation.3 ?
Montrer que : EMBED Equation.3
Exercice n°5
On sintéresse à la simulation dynamique dun réacteur parfaitement agité continu (RAC): ce réacteur de volume V est alimenté par un débit F de concentration en produit A, Notée CA0(t). Le courant de sortie est de même débit F que le courant dentrée, avec un concentration CA(t). On suppose que le produit A se transforme en produit B à lintérieur du réacteur, suivant une cinétique du premier ordre de constante k.
Par un bilan simple sur le produit A, donner léquation différentielle régissant le fonctionnement dynamique du réacteur. Montrer que cette équation peut se mettre sous la forme :
EMBED Equation.3 ;
où K est une fonction de k et de EMBED Equation.3 , qui définit le temps de séjour moyen dans le réacteur, i.e. : EMBED Equation.3
A laide de la transformée de Laplace, construire la transformée de Laplace du RAC définie comme étant :
EMBED Equation.3
où EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 représentent respectivement les transformées de Laplace de EMBED Equation.3 et de EMBED Equation.3 . On supposera quà t=0, EMBED Equation.3 . Donner la forme de EMBED Equation.3 pour la condition dentrée suivante : EMBED Equation.3 avec CA0 = constante.
On se propose de construire la fonction de transfert de 2 réacteurs en série :
On suppose que les réactions sont caractérisées respectivement par deux constantes cinétiques k1 et k2.
A laide dun bilan identique au cas traité ci-dessus, montrer, à laide de la transformée de Laplace, que la fonction de transfert EMBED Equation.3 définie par :
EMBED Equation.3
est en fait le produit des fonctions de transfert EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 , respectivement des réacteurs 1 et 2.
Montrer que EMBED Equation.3 est de la forme : EMBED Equation.3
En supposant a= b, donner la forme de EMBED Equation.3 pour une fonction dentrée EMBED Equation.3 définie comme dans la question précédente. Que devient EMBED Equation.3 quand EMBED Equation.3 est considérée comme une impulsion de Dirac EMBED Equation.3 ?
Généraliser le résultat pour une série de n réacteurs.
Formulaire
f(t)F(p) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 1
tn EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
F(p+a) EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 tnð EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Transformation de Fourier
Généralités
Définition
Les fonctions de R dans C qui sont sommables (ou absolument intégrables) forment un espace vectoriel noté L1(R ). Cet espace vectoriel est muni de la semi-norme EMBED Equation.3
Si EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 définie par : EMBED Equation.3 est la transformée de Fourier de f.
Théorèmes dinversion
Si EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 , on a pour presque tout x réel : EMBED Equation.3
Si EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 , et si f est continue sur R : EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Si EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 , et si f est continue sur R : EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Si EMBED Equation.3 est à variations bornées :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (Lemme de Jordan)
Propriétés
Linéarité
EMBED Equation.3
Fonctions conjuguées transformation affine
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
et plus particulièrement :
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Dérivation et Intégration
Transformée de Fourier des dérivées
Si EMBED Equation.3 est dérivable et si EMBED Equation.3 : EMBED Equation.3
Si EMBED Equation.3 est n fois dérivable et si pour tout k EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , alors : EMBED Equation.3
Dérivées des Transformées de Fourier
On pose : EMBED Equation.3
Si EMBED Equation.3 et si EMBED Equation.3 , alors EMBED Equation.3 est de classe C1 et EMBED Equation.3
Généralisation, on pose : EMBED Equation.3 .
Si EMBED Equation.3 et si pour tout k EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , alors EMBED Equation.3 est de classe Cn et EMBED Equation.3
Convolution
Soient f et g deux applications de R dans C. La convolée, ou produit de convolution des fonctions f et g est lapplication définie par :
EMBED Equation.3
Soient f et g EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3 est définie pour presque tout x
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
les propriétés suivantes sont vraies pour presque tout x :
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Si f et g EMBED Equation.3 , alors : EMBED Equation.3
Si f et g EMBED Equation.3 , et si EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , alors EMBED Equation.3
La transformation de Fourier transforme le produit de convolution en produit simple. Réciproquement, elle transforme le produit simple en produit de convolution. Ce résultat est connu sous le nom du théorème de Plancherel.
Exemples
Il existe plusieurs définition de la transformée de Fourier, qui sont toutes équivalentes à un changement de variables prêt. Dans la suite, on adoptera donc comme définition, pour la transformée :
EMBED Equation.3
Et pour la transformée inverse :
EMBED Equation.3
Transformée dune fréquence unique
Prenons un vecteur tournant EMBED Equation.3 qui tourne à la fréquence n1. f est alors une fonction complexe. Sa transformée est:
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Pour n = n1 cette intégrale nest pas définie et vaut EMBED Equation.3 . Pour n EMBED Equation.3 n1. Lintégrale est nulle. On retrouve donc une « fonction » nulle partout sauf en un point n1où elle prend la valeur EMBED Equation.3 . Cest en fait un Dirac centré sur n1. On le note : EMBED Equation.3 .
Transformée dune fonction paire: le cosinus
On a vu que EMBED Equation.3 est une fonction périodique de fréquence n qui peut sexprimer sous la forme: EMBED Equation.3 . Un cosinus est donc constitué uniquement de 2 fréquences n et - n, cest à dire de 2 vecteurs tournants dont les coefficients sont + ½ et + ½. Sa transformée de Fourier sera donc constituée de 2 Dirac centrés sur n et -n. Cette transformée est une fonction réelle (et paire). Ce résultat est général.
INCLUDEPICTURE "http://laennec.univ-lyon1.fr/SCIENTIFIQUE/IFC/instn/m4c2/Image140.gif" \* MERGEFORMATINET
Transformée dun cosinus
Transformée dune fonction impaire: le sinus
On a vu que EMBED Equation.3 est une fonction périodique de fréquence n qui peut sexprimer sous la forme: EMBED Equation.3 . Un sinus est donc constitué uniquement de 2 fréquences n et -n , cest à dire de 2 vecteurs tournants dont les coefficients sont -½ i et +½ i . Sa transformée sera donc constituée de 2 Dirac centrés sur n et -n . Cette transformée est une fonction imaginaire et impaire. Ce résultat est général.
INCLUDEPICTURE "http://laennec.univ-lyon1.fr/SCIENTIFIQUE/IFC/instn/m4c2/Image141.gif" \* MERGEFORMATINET
Transformée dun sinus
Transformée dune fonction constante
Une fonction constante f(t)=1 peut être considérée comme un cosinus de fréquence 0, cest à dire de période infiniment grande. En effet, EMBED Equation.3 . Cest une fonction « périodique » qui met tellement longtemps avant de « bouger » quelle reste toujours au même endroit. Sa transformée sera donc un Dirac centré sur 0. Inversement, la transformée dun Dirac est une constante.
Transformé dune fonction porte
Soit une fonction f(t) définie comme suit :
f(t) = 1 si t EMBED Equation.3 [-a,+a]
f(t) = 0 si t EMBED Equation.3 [-a,+a]
Calculons sa transformée. Cest le seul cas où on va pouvoir le faire ici facilement et rigoureusement.
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
où la fonction sinus cardinal est définie comme : EMBED Equation.3
Ainsi, la transformée dune porte est un sinus cardinal. Inversement, la transformée dun sinus cardinal est une fonction porte.
INCLUDEPICTURE "http://laennec.univ-lyon1.fr/SCIENTIFIQUE/IFC/instn/m4c2/Image155.gif" \* MERGEFORMATINET
Transformée dune porte
Relation entre largeur temporelle dune fonction et largeur de son spectre
Reprenons lexemple précédent:
f(t) = 1 si t EMBED Equation.3 [-a,+a]
f(t) = 0 si t EMBED Equation.3 [-a,+a]
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
La largeur de la porte est de 2a. La largeur du lobe central de sa transformée (cest à dire de son spectre en fréquence) est (1/a).
En effet EMBED Equation.3
Donc EMBED Equation.3 . La fonction EMBED Equation.3 sannule donc en n =-1/2a et en n =1/2a, doù la largeur 1/a.
Si la porte f(t) est très large (fonction qui dure longtemps dans le temps), a sera grand, donc 2/a sera petit et le spectre EMBED Equation.3 sera étroit.
En revanche, si la porte f(t) est étroite (fonction brève dans le temps), a sera petit, donc 2/a sera grand et le spectre EMBED Equation.3 sera très large.
A la limite, une impulsion infiniment brève (Dirac) a un spectre infini : une impulsion infiniment brève contient toutes les fréquences. Réciproquement, une fonction cosinus dure de - EMBED Equation.3 à + EMBED Equation.3 , et elle a un spectre étroit (2 Dirac).
Transformée dune fonction tronquée (transformée fenêtrée)
Soit une fonction f(t) qui prend des valeurs de - EMBED Equation.3 à + EMBED Equation.3 . Si lon observe cette fonction pendant une durée limitée, par exemple, de t = -a à t = +a, ceci va revenir à étudier la fonction EMBED Equation.3 où P (t) est la fonction porte étudiée précédemment. En dehors de cette fenêtre dobservation, on considérera que la fonction est nulle. Lorsquon fait la transformée de la fonction observée g(t), on ne va pas obtenir exactement la transformée de la fonction f(t). Ceci correspond à une situation très réelle: on ne peut étudier un signal donné que pendant un temps limité! Calculons la transformée de g: EMBED Equation.3
Daprès la propriété sur les relations entre transformée et produit de convolution, on obtient: EMBED Equation.3
La transformée de g est donc le produit de convolution entre la transformée de Fourier de f et dun sinus cardinal. Par exemple, si lon observe une sinusoïde pendant un temps limité, on obtiendra un sinus cardinal (décalé par rapport à lorigine):
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Le fait dobserver la fonction pendant un temps limité change donc sa transformée.
INCLUDEPICTURE "http://laennec.univ-lyon1.fr/SCIENTIFIQUE/IFC/instn/m4c2/Image159.gif" \* MERGEFORMATINET
Transformée dune fonction tronquée
Transformée dun peigne de Dirac
Soit un peigne de Dirac dont la largeur entre 2 dents successives est T. Sa transformée de Fourier est un peigne de Dirac dont la largeur entre les dents est 1/T. On retrouve ici lidée quun peigne « étroit », aux dents resserrées, a une transformée à dents larges et réciproquement.
INCLUDEPICTURE "http://laennec.univ-lyon1.fr/SCIENTIFIQUE/IFC/instn/m4c2/Image160.gif" \* MERGEFORMATINET
Transformée de peignes
Conséquence n°1: TF dune fonction périodique
On a vu quune fonction périodique g(t) de période T peut être considérée comme le produit de convolution dun motif élémentaire f(t) et dun peigne de Dirac de largeur T: INCLUDEPICTURE "http://laennec.univ-lyon1.fr/SCIENTIFIQUE/IFC/instn/m4c2/Image40.gif" \* MERGEFORMATINET T
g (t) = [f* INCLUDEPICTURE "http://laennec.univ-lyon1.fr/SCIENTIFIQUE/IFC/instn/m4c2/Image40.gif" \* MERGEFORMATINET T](t)
Si on prend la transformée de cette fonction périodique G(n ), on va obtenir le produit ordinaire de la transformée de f(t): F(n ) par la transformée du peigne: 1/T : G(n ) = F(n ). INCLUDEPICTURE "http://laennec.univ-lyon1.fr/SCIENTIFIQUE/IFC/instn/m4c2/Image40.gif" \* MERGEFORMATINET 1/T
La fonction G(n ) ne prend donc de valeurs que pour des multiples de 1/T. Cette fréquence 1/T est la fréquence fondamentale, et les multiples sont les harmoniques. On retrouve le résultat suivant: une fonction périodique de période T peut se décomposer en une somme de sinusoïdes de fréquences multiples de 1/T: cest la décomposition en série de Fourier. On parle de spectre de raies: le spectre dune fonction périodique nest pas continu: il est constitué de « raies » que sont le fondamental et les harmoniques. On peut alors simplifier la formulation de la transformée en utilisant les séries de Fourier (voir plus bas).
La transformée dune fonction périodique est un spectre de raies
INCLUDEPICTURE "http://laennec.univ-lyon1.fr/SCIENTIFIQUE/IFC/instn/m4c2/Image161.gif" \* MERGEFORMATINET
Fonction périodique & spectre de raies
Conséquence n°2: Transformée dune fonction échantillonnée
Soit un signal f(t) continu. Nous avons vu quil est impossible denregistrer toutes les valeurs prises par f avec une précision infinie: on est forcé déchantillonner f, cest à dire de noter la valeur prise par f à intervalles réguliers de T: T est la période déchantillonnage. On obtient la fonction g échantillonnée cest à dire multipliée par un peigne de Dirac de largeur T: g(t) = f(t) . INCLUDEPICTURE "http://laennec.univ-lyon1.fr/SCIENTIFIQUE/IFC/instn/m4c2/Image40.gif" \* MERGEFORMATINET T
La transformée de g est donc : G(n ) = [F* INCLUDEPICTURE "http://laennec.univ-lyon1.fr/SCIENTIFIQUE/IFC/instn/m4c2/Image40.gif" \* MERGEFORMATINET 1/T](n )
La transformée dune fonction échantillonnée (tous les T) est donc périodique de période 1/T. Par exemple, si lon échantillonne une fonction toutes les millisecondes T = 1 ms, le spectre obtenu sera périodique de période 1/T = 1 kHz.
Echantillonner une fonction revient à périodiser son spectre.
INCLUDEPICTURE "http://laennec.univ-lyon1.fr/SCIENTIFIQUE/IFC/instn/m4c2/Image162.gif" \* MERGEFORMATINET Échantillonnage & spectre périodique
Calcul de la Transformée de Fourier
Si on connaît une forme analytique du signal, par exemple, si on sait que le signal est une exponentielle, on peut essayer de calculer analytiquement la transformée, cest à dire de faire le calcul avec les formules mathématiques. Dans le cas contraire, on est forcé de faire un calcul numérique, si possible grâce à un ordinateur.
Comme on la vu, un ordinateur ne sait travailler que sur des fonctions discrètes, cest à dire échantillonnées, cest à dire sur une liste finie de nombre correspondant aux échantillons du signal. Plusieurs méthodes sont possibles:
certains programmes vont faire le calcul en suivant simplement la formule, mais cest assez lent
dautres programmes vont optimiser le calcul grâce à des algorithmes perfectionnés qui donnent un calcul de transformée rapide (ou FFT = Fast Fourier Transform). Le plus courant est lalgorithme de Cooley-Tuckey qui ne peut faire le calcul que pour un nombre déchantillons égal à 2n. Dautres algorithmes plus complexes, peuvent faire ce calcul sur un nombre quelconque (Goodthomas, Agarwaal-Cooley et Cooley-Tuckey).
certains microprocesseurs sont conçus spécialement pour faire des transformée et des produits de convolution. Ce sont des microprocesseurs dédiés au traitement du signal (DSP = digital signal processors). On en trouve dans de nombreux appareils tels que les téléphones cellulaires.
Ceci dit, il nest en général pas absolument nécessaire de savoir comment la machine procède: en général, on lui donne les valeurs numériques, et on récupère les valeurs calculées en sortie.
Cas de la Transformée de Fourier en deux dimensions
Si f est une fonction à 2 variables, du style f(x,y), on peut faire sa transformée en 2 dimensions. Il suffit dappliquer une fois la transformée selon x, puis une deuxième fois selon y. On obtiendra ainsi une fonction F(n x,n y) où n x et n y sont des fréquences selon x et y respectivement.
Cas des fonctions périodiques
Définition dune série trigonométrique
Une série de Fourier sécrit sous la forme suivante :
EMBED Equation.3
son terme général est donc: EMBED Equation.3 et dépend dune variable réelle x.
Remarques
La périodicité de cos(nx) et de sin(nx) permet daffirmer que la série de Fourier écrite ici est périodique de période 2pð.
Si on suppose qu une fonction f(x) peut être développée en une série de Fourier (de terme général EMBED Equation.3 ) et on recherche alors tous les coefficients a0, a1, b1, a2, b2, & de cette série.
Calcul des coefficients de Fourier
Connaissant la fonction f(x), on veut la développer en une série de Fourier :
EMBED Equation.3
Pour cela on doit encore calculer les an à partir de f(x) et les bn à partir de f(x).
Premier terme a0
Réalisons une opération d intégration (sur une période 2pð) sur chaque terme de légalité, on conserve légalité :
EMBED Equation.3
Or de tous les termes qui se trouvent à droite de légalité, seul le premier nest pas nul (périodicité des cosinus et des sinus).
Il vient donc immédiatement que : EMBED Equation.3 ce qui permet de dire que le terme a0 du développement en série de Fourier de f(x) est calculable à partir de la relation suivante:
EMBED Equation.3
Les coefficients suivants an et bn
Multiplions de part et dautre de légalité par cos(px) (p étant un entier non nul), on conserve toujours l égalité:
EMBED Equation.3
Réalisons une opération d intégration (sur une période 2pð) sur chaque terme de l égalité, on conserve l égalité :
EMBED Equation.3
Il vient :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Ce qui permet de dire que chaque terme an du développement en série de Fourier de f(x) est calculable à partir de la relation suivante:
EMBED Equation.3
de même chaque terme bn du développement en série de Fourier de f(x) est calculable à partir de la relation suivante:
EMBED Equation.3
Conclusion fondamentale
(Sous certaines conditions mathématiques toujours vérifiées dans le domaine du signal) Toute fonction f continue (de R dans R) périodique de période 2pð, et intégrable sur la largeur d une période est décomposable en une série de Fourier. Cette décomposition s écrit de la manière suivante :
EMBED Equation.3
Si f connaît des points de discontinuité, alors :
EMBED Equation.3
Remarques
Si la fonction f est paire, sa transformée lest également et son développement se réduit aux termes an, i.e. :
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Si la fonction f est impaire, sa transformée lest également et son développement se réduit aux termes bn, i.e. :
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Dans le calcul des coefficients de la série de Fourier lopération dintégration a été réalisée de -pð à +pð. Elle aurait pu être faite entre n importe quelles bornes séparées de 2pð radians, l important étant de la réaliser sur une période entière de la fonction f(x).
Cas d une fonction de t, périodique de période T:
Une fonction du temps f(t) est périodique de période T, si elle est représentée par un motif de durée T qui se répète indéfiniment. La représentation graphique de f(t) peut avoir lallure suivante par exemple:
INCLUDEPICTURE "http://fourier.free.fr/Images/form21.gif" \* MERGEFORMATINET
La fonction f(t) peut être réécrite en fonction de x (en radians) et sappellera alors g(x) de période 2pð (radians). Le graphe de g(x) est le même que celui de f(t) mais représenté en fonction de la variable x et non plus t.
INCLUDEPICTURE "http://fourier.free.fr/Images/form22.gif" \* MERGEFORMATINET
Dans le changement de variable on est passé de t à x et de T à 2pð. L équation de changement de variable s écrit donc :
EMBED Equation.3 et on notera : EMBED Equation.3
Compte tenu de cette relation entre x et t, la fonction g(x) n est qu une écriture différente de la fonction f(t), on a donc l égalité suivante:
EMBED Equation.3
Puisquon cherche la série de Fourier de f(t), écrivons dabord celle de g(x), on en déduira bien celle de f(t).
EMBED Equation.3
par suite : EMBED Equation.3
les coefficients deviennent :
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Remarques
Forme complexe de la série de Fourier
Le terme général de la série de Fourier de f(t) sécrit à laide dune fonction sinus et dune fonction cosinus :
EMBED Equation.3
Nous savons daprès le chapitre sur les nombres complexes (voir les formules dEuler), quon peut écrire un sinus ou un cosinus à partir dun complexe et de son conjugué :
EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3
En utilisant les formules dEuler, on peut écrire le terme général à laide des nombres complexes :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Il en résulte que lon peut définir le développement en série de f sous la forme :
EMBED Equation.3
avec : EMBED Equation.3
Analyse harmonique
Une fonction périodique f(t) quelconque est développable suivant la série de Fourier suivante:
EMBED Equation.3
Le terme général de la série, EMBED Equation.3 peut sécrire avec la factorisation suivante :
EMBED Equation.3
de façon évidente:
EMBED Equation.3
qui nous permet de poser:
EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3
Lexpression de EMBED Equation.3 devient alors:
EMBED Equation.3
et sécrit aussi :
EMBED Equation.3
où EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 .
Langle EMBED Equation.3 introduit ci-dessus est donc le déphasage du terme général.
Ainsi toute fonction périodique f(t) quelconque se développe en une série de Fourier qui peut aussi sécrire :
EMBED Equation.3
la fonction f(t) apparaît donc comme la somme :
dun terme constant a0 qui représente la valeur moyenne de f sur une période T
dune infinité de fonctions sinusoïdales de pulsations, wð, 2wð, & , nwð, & et d amplitudes r1, r2, & , rn& ) avec chacune son propre déphasage jð1, jð2, & ,jðn, & La fonction sinusoïdale de période T (pulsation wð) est appelée le fondamental. Les suivantes, de périodes T/2, T/3, T/4, & ou de pulsations 2wð, & , nwð, & sont appelées les harmoniques de rang n.
La représentation de la transformée de Fourier dune telle série consiste à représenter lévolution du rapport EMBED Equation.3 en fonction de n, qui permet de relativiser les harmoniques présentes par rapport au fondamental.
Corollaires
Egalité de Parceval
Soit f une fonction de carré sommable alors, on définit lénergie de f par :
EMBED Equation.3
Lénergie de f se calcule de la même manière sur son histoire temporelle ou sur son spectre.
Largeur des paquets dénergie
Soit f telle que :
EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3
On définit, la largeur du paquet dénergie dans le temps EMBED Equation.3 par : EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
De même, on définit, la largeur du paquet dénergie en fréquence EMBED Equation.3 par : EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Linégalité de Cauchy-Schwartz permet détablir : EMBED Equation.3
Applications
Exercice n°1
Soit f la fonction 2pð périodique définie par :
EMBED Equation.3
Donner son développement en série de Fourier.
Exercice n°2
Soit f la fonction 2pð périodique définie par :
EMBED Equation.3
Donner son développement en série de Fourier.
Exercice n°3
Soit EMBED Equation.3
Trouver a, b et c tels que :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Exercice n°4
Soit f la fonction 2pð périodique définie par :
EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3
Donner son développement en série de Fourier.
Résolution déquations algébriques
Les objectifs
Soit f une fonction de la variable réelle x. On se propose de trouver x*, tel que f(x*) = 0.
Cette problématique nest pas anodine car il nexiste que très peu de fonction que lon sait résoudre analytiquement. Par exemple, on peut citer les polynômes, et encore, leur résolution symbolique devient impossible dès que leur degré devient strictement supérieur à 4. Pour des équations plus générale, la résolution analytique relève du hasard. Par exemple, une équation aussi simple que f(x) = cos(x) x = 0 ne peut être obtenue analytiquement.
On va présenter dans ce chapitre un certain nombre de méthodes itératives à même de résoudre de tels problèmes. Le principe de base va consister à une construire des suites récurrentes EMBED Equation.3 telles leurs limites soient x*, la valeur initiale étant x0.
Du point de vue numérique, il est clair que lon nobtiendra jamais la vraie valeur de x*, du fait des erreurs de calcul inhérentes aux machines utilisées (ordinateur, calculette). Au mieux obtiendra-t-on une bonne approximation de x*.
Exemple : résolution de EMBED Equation.3
On sait calculer les solutions de cette équation qui sont :
EMBED Equation.3
A partir de f, construisons des suites :
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ;
Pour chacun des EMBED Equation.3 , on peut effectivement vérifier que : EMBED Equation.3
k=0 : x0 = 1g1g2g3g4k=11,500000202,000000k=21,6250001-11,500000k=31,617188201,666667k=41,6181341-11,600000k=51,618022201,625000k=61,6180351-11,615385Analyse mathématique
Soit f telle que EMBED Equation.3
Par hypothèse, supposons que la suite définie par EMBED Equation.3 soit convergente.
Posons : EMBED Equation.3
Si on procède au développement limité de g au voisinage de x*, il vient :
EMBED Equation.3
or, EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3
Ce qui implique : EMBED Equation.3
Soit : EMBED Equation.3
Pour k suffisamment grand, le terme du premier ordre est prépondérant. la convergence est obtenue si EMBED Equation.3 , autrement dit si EMBED Equation.3 .
Remarques
Plus |g| est faible mieux cest !
Si EMBED Equation.3 , la méthode est dite dordre 1
Si EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 , la méthode est dite dordre 2 (le nombre de chiffres significatifs est doublé à chaque itération)
Dans lexemple précédent :
x*= EMBED Equation.3 x*= EMBED Equation.3 g1'(x*)-0,1182,118g2'(x*)-1,2363,236g3'(x*)3,236-1,236g4'(x*)-0,382-2,618Les méthodes itératives
Sur lexemple introductif, on constate :
infinité dexpressions pour la suite récurrente ;
la convergence nest pas toujours garantie ;
avec les expressions que lon a choisi pour les gi, la deuxième solution nest jamais atteinte.
Méthodes du 1er ordre
Facteur de relaxation
Dès lors que lon sest choisi une fonction g, il y a peu dalternatives : çà converge ou non. A cet effet, on introduit un facteur de relaxation EMBED Equation.3 puis :
EMBED Equation.3 ce qui permet de définir EMBED Equation.3
Les buts de ce facteur de relaxation sont a priori de transformer une forme itérative non convergente en une forme itérative convergence et daccélérer la convergence. Cest aussi pourquoi on peut lappeler facteur daccélération dont les propriétés sont : EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 peut varier au fil des itérations
Exemple
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
en choisissant EMBED Equation.3 =0.5
il vient : EMBED Equation.3 qui est une forme itérative convergente.
Remarque
Malgré tout, la convergence nest pas forcément acquise. Si on décide de faire évoluer EMBED Equation.3 pendant le processus itératif, toutefois, il est préférable de procéder à un mode de calcul automatique.
Accélérateur de Wegstein
Cet accélérateur relève de cette automatisation du calcul. Soit f fonction de la variable réelle x, dont on cherche un zéro x*. Procédons à un développement limité de g(x*) (g telle que g(x*)=x*) au voisinage de xk.
EMBED Equation.3
soit : EMBED Equation.3
On fait une approximation de EMBED Equation.3 par : EMBED Equation.3
Et on en déduit lapproximation suivante :
EMBED Equation.3
autrement dit :
EMBED Equation.3 avec EMBED Equation.3
On choisit donc comme formule de récurrence : EMBED Equation.3
Sur lexemple introductif, lintroduction de ce facteur rend chacune des suites convergente. Néanmoins, on ne parvient pas à atteindre la seconde solution en modifiant linitialisation.
Méthode de Newton (2ème ordre)
On cherche à résoudre f(x) = 0. Soit x* la solution.
Procédons à un développement limité de f(x*) au voisinage de x :
EMBED Equation.3
puisque f(x*)=0 :
EMBED Equation.3 ;
autrement dit : EMBED Equation.3
On choisira donc comme relation de récurrence :
EMBED Equation.3
Exemple : EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3
itérationx0=1x0=-115,31578947-0,6666666723,03767616-0,6190476232,01512640-0,6180344541,67007004-0,6180339951,61919108-0,6180339961,61803459-0,6180339971,61803399-0,61803399Autres méthodes
Sécante
On suppose que lon sait encadrer la valeur de la solution x* par EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 , tels que EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . Le principe de cette méthode consiste à construire des suites adjacentes. Cest une méthode dordre 1.
Soit donc f la fonction dont on cherche une solution x* .
Les points EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 définissent une droite dont lintersection avec laxe des abscisses permet de calculer : EMBED Equation.3
On applique :
EMBED Equation.3
Dichotomie
Comme ci-dessus, on connaît deux valeurs qui encadrent la solution x*. Le principe reste identique, sauf quici xk+1 est donné par : EMBED Equation.3
On en déduit : EMBED Equation.3
Lavantage de cette méthode est de pouvoir connaître à lavance le nombre ditérations en fonction de la précision que lon désire sur lapproximation de la solution x*. En effet, on peut montrer aisément que :
EMBED Equation.3
Nombre dOr
Cest une variante de la méthode de dichotomie, on connaît deux valeurs qui encadrent la solution x*.
On définit : EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Et on applique : EMBED Equation.3
De même que pour la dichotomie, on peut connaître à lavance le nombre ditérations en fonction de la précision que lon désire sur lapproximation de la solution x*, puisque :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Remarque
Ces deux dernières méthodes sont également dordre 1.
Méthode dinterpolation
On prend trois valeurs initiales x0, x1 et x2. La démarche consiste à faire passer par les trois points une parabole.
Dans labsolu, cette parabole coupe laxe des abscisses en deux points. On prendra comme point supplémentaire celui qui sera le plus proche.
Cest une méthode du second ordre ne nécessitant pas le calcul dune dérivée, mais qui réclame lextraction dune racine carrée. De plus, limplémentation est pénible.
Remarques sur la méthode de Newton
Initialisation
La valeur dinitialisation du processus itératif peut être éloignée de la solution. Toutefois, à choisir une valeur par défaut ou au hasard peut représenter un risque sur la convergence. En effet, pour obtenir la solution, il faut que la valeur initiale appartienne à la boule de convergence de la suite.
Seulement, cette boule nest pas forcément un intervalle fermé. Plus encore, si léquation à résoudre est fortement non-linéaire, il peut savérer que les boules de convergence associées aux différentes racines de léquation soient fortement imbriquées les unes dans les autres (apparition de structures fractales).
Lexemple ci-dessus concerne léquation EMBED Equation.3 , dont les solutions sont EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 . La non-continuité des boules de convergence est ici évidente. Celle-ci est dautant plus marquée lorsque lon se rapproche des zéros de la dérivée EMBED Equation.3 .
Annulation de la dérivée
Comme on vient de le voir, lannulation de la dérivée pose problème, et ce même lorsque un zéro de la dérivée correspond à lun de la fonction (pôle dordre 2). Dun point de vue théorique, le calcul de développement limité est assez rassurant, puisquil nous garantit la convergence de la suite, même si celle-ci nest plus dordre 2. Ceci peut se produire quand la fonction présente un point de tangence à laxe des abscisses ou un point dinflexion en x*.
Sur le plan pratique, il ne faut pas oublier que tous les calculs réalisés sont naturellement entachés derreurs, qui sont inhérentes à la machine utilisée (ordinateur, calculette,
). Ainsi, ces considérations mathématiques, donc idéalisées, ne sont plus très utiles et dans ces cas, il est préférable de changer de méthode.
Calcul de la dérivée
Dans certains cas, le calcul des dérivées est loin dêtre aisé, voire carrément impossible. Dans de telles circonstances, il est souvent utile davoir recours à une approximation de f en utilisant la formule des accroissement finis, i.e. :
EMBED Equation.3
Là, encore, il faut être prudent, car on ne sait pas à quelle précision la fonction f est calculée, de plus, afin de garantir une relativement bonne précision de cette approximation, on est forcé de choisir un EMBED Equation.3 petit. Ceci va impliquer des erreurs supplémentaires puisque lon va procéder à des soustractions sur des nombres extrêmement proches, ce qui risque doccasionner des erreurs de troncatures. Généralement, on se contente de choisir EMBED Equation.3 .
Tests darrêt
Le test darrêt classique consiste à incrémenter k jusquà ce que EMBED Equation.3 , avec EMBED Equation.3 . Seulement, il faut prendre des précautions quant au nombre ditérations. Maintenant, que lon sait que, de toutes façons, le calcul de f est erroné, la méthode nest plus dordre 2, ce qui peut fortement ralentir la convergence. De ce fait, il est préférable dimplémenter un test de non-évolution sur la variable itérative, ressemblant à : EMBED Equation.3
Quant au nombre maximum ditérations, il est dusage quil ne dépasse pas la vingtaine. Si jamais un processus itératif nécessite plus ditérations :
ou linitialisation est mauvaise ;
ou le problème est mal formulé ;
ou limplémentation est défaillante.
Résolution de systèmes déquations
Rappels dalgèbre linéaire
Calcul matriciel (rappels)
Soient A(m,n) et B(p,q). le produit A.B des matrices a un sens si et seulement si n=p, i.e., ssi le nombre de colonnes de A est égale au nombre de lignes de B. Dans la suite, on va supposer n=m=p=q. On définit EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ; alors :
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 .
Attention : EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
(A+B)C=AC+BC
(AB)C=A(BC)
EMBED Equation.3 nimplique pas à A=0 ou B=0
A non nulle et AB=AC nimplique pas B=C
Diagonalisation
Généralités
Propriétés du déterminant de A, noté det(A) :
Cest une application multilinéaire des colonnes (lignes) de A : Le déterminant de A est nul si et seulement si une de ses colonnes (lignes) est une combinaison linéaire des autres colonnes (lignes) ;
Cest une application alternée des colonnes lignes) de A : Si on échange entre elles deux colonnes (lignes), le déterminant change de signe
Det (I) = 1
A est inversible si et seulement si EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 qui implique EMBED Equation.3
Valeurs propres
Soit A(n,n), et EMBED Equation.3 complexe. EMBED Equation.3 est une valeur propre de A si il existe un vecteur X non nul tel que EMBED Equation.3
Cette relation entraîne, puisque X est différent du vecteur nul, que EMBED Equation.3 nest pas inversible.
On remarquera :
si EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 , on a EMBED Equation.3
Si A est inversible, admettant une valeur propre EMBED Equation.3 et un vecteur propre X, alors EMBED Equation.3 , ce qui indique que linverse de A admet pour valeur propre EMBED Equation.3 et X pour vecteur propre. Cette formulation est équivalente à :
EMBED Equation.3
P est le polynôme caractéristique de A. Il est de degré n et admet n racines dans le corps des complexes, distinctes ou confondues. Ce polynôme est invariant par changement de base. Notons que :
EMBED Equation.3 , ce qui nous indique que : EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 .
Théorèmes
Soit EMBED Equation.3 une valeur propre de A. Si X1, X2,
,Xk sont k vecteurs propres linéairement indépendants pour la valeur propre EMBED Equation.3 , tout vecteur combinaison linéaire de X1, X2,
,Xk est aussi un vecteur propre de A pour la valeur EMBED Equation.3 .
Si X1, X2,
,Xk sont des vecteurs propres correspondant à k valeurs propres distinctes EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ,
, EMBED Equation.3 , ces vecteurs propres sont linéairement indépendants.
Jordan :
soit EMBED Equation.3 la matrice carrée élémentaire définie par : EMBED Equation.3
Toute matrice A(n,n) est semblable à une matrice de la forme :
EMBED Equation.3
On a : EMBED Equation.3 et les éléments correspondants de la diagonale sont les valeurs propres de A. Si k1 > 1, EMBED Equation.3 est valeur propre dordre au moins égal à k1. Cet ordre vaut exactement k1 si tous les EMBED Equation.3 sont distincts. Dans le cas contraire, si par exemple, EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 , alors EMBED Equation.3 est valeur propre k1+k2, même si k1=1. Si tous les ki sont égaux à 1 alors p=n et A est semblable à une matrice diagonale. Chacune des matrices élémentaires est alors de rang 1.
Algorithmes
Méthode de la puissance
Soit A une matrice diagonalisable, EMBED Equation.3 valeur propre de plus grand module, et u0 vecteur donné. On forme la suite définie par :
EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3
Alors la suite EMBED Equation.3 converge vers le vecteur propre normé v1 associé à EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3
Les autres valeurs propres sont obtenues par le processus de déflation qui consiste à trouver un vecteur w tel que EMBED Equation.3 , alors EMBED Equation.3 a les mêmes valeurs propres que A, sauf EMBED Equation.3 qui est remplacée par zéro.
Méthode de la puissance inverse
Soit A diagonalisable, EMBED Equation.3 valeur propre de A, on choisit EMBED Equation.3 tel que lintervalle EMBED Equation.3 ne contienne aucune autre valeur propre de A. Pour u0 vecteur donné on définit la suite EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3
Alors la suite EMBED Equation.3 converge vers EMBED Equation.3 vecteur propre associé à EMBED Equation.3 .
Méthodes directes pour la résolution de systèmes linéaires
Méthodes classiques
Gauss-Jordan
On désire résoudre le système AX=B.
Le principe de cette méthode consiste à se ramener à un système IX=B en effectuant des combinaisons linéaires entre les équations.
La première phase consiste à ramener les éléments diagonaux à la valeur 1, ce qui nécessite de faire un choix sur le pivot , qui en loccurrence sera lélément de la diagonale.
Exemple
On veut résoudre EMBED Equation.3 ; soit EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3
1er pivot = 4 : EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ; et on fait apparaître des zéros dans la 1ère colonne : EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
2ème pivot = 3.5 : EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ; et on fait apparaître des zéros dans la 2ème colonne : EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
3ème pivot = -0.5 : EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ; et on fait apparaître des zéros dans la 3ème colonne : EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Gauss
Dans les faits, lalgorithme de Gauss correspond point pour point à la décomposition L.U, i.e. : on va rechercher une matrice L, triangulaire inférieure, et une matrice U, triangulaire supérieure dont les éléments diagonaux sont égaux à 1, telles que A=L.U
On pose alors Y=UX et on résout LY=B.
Cette approche est très intéressante quand on a plusieurs systèmes à résoudre dans lesquels le premier membre est identique.
Exemple
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Première étape on transforme le système de façon à avoir un système triangulaire
1er pivot = 4 : EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
2ème pivot = 3.5 : EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
3ème pivot = -0.5 : EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Deuxième étape on résout « en remontant »
On a directement :
EMBED Equation.3
Au passage, on identifie L, U et Y :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Remarques
Les deux algorithmes que lon vient de voir sont quasiment identiques. Ils diffèrent uniquement par le nombre dopérations élémentaires (+,-,/,*) nécessaires à leur réalisation que lon peut calculer de façon exacte. On peut montrer que le nombre dopération est équivalent à EMBED Equation.3 pour Gauss-Jordan, contre EMBED Equation.3 pour Gauss, N représentant la taille du système à résoudre (nombre déquations). Ceci indique que pour la résolution de système de plus grande taille, il faut privilégier Gauss.
Le choix du pivot est très important. Lexemple traité ne présente aucun problème car le hasard ( ?) a voulu quà chaque itération, le terme le plus grand en module se trouvait sur la diagonale. Il est bien clair que dans le cas général, cela ne se produit jamais ; particulièrement, on peut tomber sur des éléments nuls. Pour pallier à cela, on doit mettre en place une procédure de recherche du pivot maximum (sur les colonnes) . Ainsi, si la valeur renvoyée au terme de la recherche est nulle, on peut en déduire que la matrice est singulière. De plus, dun point de vue numérique, même si ces méthodes sont exactes (ou directes), on y gagne beaucoup en précision.
Ces méthodes ont un caractère général, i.e. quelle permette de résoudre des systèmes où les matrices sont pleines. Nous allons voir dans la suite que, selon la structure de la matrice, on pourra, afin de limiter lespace mémoire nécessaire à la résolution du problème, avoir recours à des méthodes particulièrement adaptées.
Systèmes à matrices tridiagonales
On cherche à résoudre BX=D, où :
EMBED Equation.3 avec EMBED Equation.3
Dans ce cas précis, on ne fait pas de recherche de pivot maximum et on choisira comme pivot les éléments de la diagonale. Cela permet de ne pas casser la structure.
Pour la phase de résolution en elle-même, on va procéder comme suit : on va supposer que B=WQ, soit WG=D, avec QX=G, où :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Puis en identifiant, on va trouver :
EMBED Equation.3 doù déduit W et Q ;
EMBED Equation.3 doù on déduit G ;
EMBED Equation.3 qui fournit la solution au système.
Systèmes à matrices symétriques
Là encore, on ne fait pas de recherche de pivot maximum. On cherche à résoudre AX=B, avec A matrice symétrique définie positive, i.e. : EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 .
Autrement dit, A peut se définir comme étant le produit dune matrice triangulaire inférieure et de sa transposée : EMBED Equation.3 , i.e. :
EMBED Equation.3
Les termes de la matrice R se calculent encore une fois par identification, colonne par colonne :
1ère colonne : EMBED Equation.3
2ème colonne : EMBED Equation.3
ième colonne : EMBED Equation.3
etc.
Inversion de matrice
On cherche B telle que AB=I, soit B=A-1. On va désigner par EMBED Equation.3 le ième vecteur colonne de la matrice A-1,par EMBED Equation.3 le ième vecteur colonne de la matrice I. On a de façon évidente : EMBED Equation.3 .
Pour trouver lensemble des éléments de EMBED Equation.3 il sagit de déterminer lensemble des EMBED Equation.3 , ce que lon sait parfaitement faire car on sait désormais résoudre les systèmes linéaires. On a donc n systèmes linéaires à résoudre qui ont tous le même premier membre A. Si, par exemple, on applique lalgorithme de Gauss-Jordan, qui utilise des opérations élémentaires sur les lignes de A, on répètera ces mêmes transformations sur le second membre, qui initialement est égal à I. A terme, le premier membre sera I et le second donnera directement EMBED Equation.3 .
Exemple
Inverser la matrice EMBED Equation.3 avec lalgorithme de Gauss-Jordan.
1er pivot : 4
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
2ème pivot : -0.5
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
3ème pivot : -0.5
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
On en déduit que : EMBED Equation.3
Méthodes itératives pour les systèmes déquations
Systèmes linéaires
Tout comme pour la résolution des équations, le principe de ces méthodes consiste à ramener un système linéaire de la forme AX = B sous la forme X = GX + B.
A est inversible, sous la forme A = M-N, avec M inversible. On forme une suite récurrente définie par :
EMBED Equation.3
Si cette suite converge vers X* alors M X* = N X* + B, X* est solution de AX=B. La suite des EMBED Equation.3 est convergente si et seulement toutes les valeurs propres de EMBED Equation.3 sont de module strictement inférieur à 1.
Jacobi
Si EMBED Equation.3 pour EMBED Equation.3 , on écrit A sous la forme A = D + L + U, où D EMBED Equation.3 est diagonale, L est triangulaire inférieure EMBED Equation.3 , U est triangulaire supérieure EMBED Equation.3 .
On définit la suite donnée par :
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 est une matrice diagonale dont les éléments sont égaux à EMBED Equation.3 . La condition de convergence est vérifiée si A est à diagonale dominante, i.e. :
EMBED Equation.3 pour EMBED Equation.3
en formalisant : EMBED Equation.3
Exemple
Résoudre EMBED Equation.3
On va appliquer : EMBED Equation.3
Partant de : EMBED Equation.3 , il vient :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 12,00000,93750,87501,03911,01370,991212,00002,50001,96881,93752,01952,006813,25002,50002,90633,07032,99612,9883Gauss-Seidel
Si EMBED Equation.3 pour EMBED Equation.3 , on écrit A sous la forme A = D + L + U, où D EMBED Equation.3 est diagonale, L est triangulaire inférieure EMBED Equation.3 , U est triangulaire supérieure EMBED Equation.3 .
On considère la suite donnée par :
EMBED Equation.3
Cette suite est convergente si A est à diagonale dominante.
Explication : Le calcul de EMBED Equation.3 est direct, cest à dire, on dispose dune formule explicite qui va nous permettre de calculer de proche en proche les coordonnées de ce vecteur. Ainsi, dans la formule de Jacobi, lorsque lon veut calculer la ième composante de EMBED Equation.3 , on connaît dores et déjà les i-1 premières. Lalgorithme de Gauss-Seidel propose dutiliser cette information.
En formalisant : EMBED Equation.3
Exemple
refaire lexercice précédent avec cet algorithme.
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 12,00000,90631,00880,99921,00011,000012,50001,95312,00441,99962,00002,000012,37503,05862,99453,00053,00003,0000Remarque
La tendance générale est que Gauss-Seidel converge plus rapidement que Jacobi.
Techniques de relaxation
On peut définir un facteur de relaxation global EMBED Equation.3 , a priori compris entre 0 et 1. Si A = D + L + U, alors on peut définir la suite donnée par :
EMBED Equation.3
dont on déduit
EMBED Equation.3
Si A est symétrique définie positive, on a convergence pour EMBED Equation.3 compris entre 0 et 2.
Systèmes non-linéaires
On cherche à résoudre F(X) = 0,où :
EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3
De même que pour la résolution déquations algébrique, on remet ce système sous la forme :
G(X)=X et on va définir une suite récurrente EMBED Equation.3
La condition de convergence à litération k va être donnée par un développement limité de G au voisinage de X* :
EMBED Equation.3
soit : EMBED Equation.3
J est le Jacobien de G. Ses éléments sont définis par : EMBED Equation.3
La méthode est convergente la norme de J est inférieure à 1, i.e., la valeur propre maximale de J est strictement inférieure à 1 en module. Cette condition est bien entendu assujettie au choix que lon a fait sur le passage de F(X) = 0 à G(X) = X.
Techniques de relaxation
Soit EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3
On peut définir un facteur de relaxation W tel que :
EMBED Equation.3
ou encore : EMBED Equation.3
Cette technique permet de limiter les pas dans certaines directions, mais nest pas forcément aisée à mettre en uvre.
Dans la suite, on présente des modes de calculs automatisés.
Valeur propre dominante
Définissons la valeur propre dominante de J par EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 par hypothèse). On pose alors :
EMBED Equation.3 soit EMBED Equation.3
Linconvénient de cette méthode est que le calcul dune ou des valeurs propres du Jacobien est très coûteux (beaucoup plus que la résolution dun système linéaire).
Approximation de Young
Cette méthode propose une estimation de EMBED Equation.3 .Soit i tel que lon obtienne la valeur maximum de EMBED Equation.3 . Young propose alors :
EMBED Equation.3
Ce qui permet de déduire une valeur du facteur daccélération EMBED Equation.3 à chaque itération. Cette méthode tend aujourdhui à disparaître.
Wegstein
On définit : EMBED Equation.3
Remarques
Le développement mathématique derrière cette formule est identique à celui que lon avait fait pour une équation. Ainsi ce calcule correspond au cas où on aurait indépendance des équations, i.e. EMBED Equation.3 , ce qui est absurde. Autrement dit, on néglige les dérivées partielles de gi par rapport à xj, EMBED Equation.3 .
Cette méthode a tendance à avoir un comportement chaotique et savère être peu satisfaisante, même lorsque lon met en place une stratégie de pas de repos (substitution simple).
Le critère de convergence (résidu) est EMBED Equation.3
Newton-Raphson
Soit F(X*)=0. Procédons à un développement limité de F au voisinage de X(k).
EMBED Equation.3
et on pose EMBED Equation.3 avec EMBED Equation.3
Il vient : EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Donc, si J désigne le Jacobien de F, on a la relation de récurrence suivante :
EMBED Equation.3
avec EMBED Equation.3
A chaque itération, ce processus nécessite le calcul du Jacobien et la résolution dun système linéaire.
Remarques
Par rapport aux autres méthodes, le nombre ditérations nécessaires est relativement faible (Ai+1, et ceci pour tout i allant de 1 à N-1. En langage de programmation Matlab, cela donne :
n=1000;
size=[1,n];
a=rand(size);
for k = 1:n-1
for p= 1:n-1
if a(p) > a(p+1)
temp=a(p+1);
a(p+1)=a(p);
a(p)=temp
end
end
end
Exemple
Il faut trier
321645
On compare les éléments en position 1 et 2 pour éventuellement les échanger
321645
On les échange puisqu'ils ne sont pas dans l'ordre croissant.
231645
On compare les éléments en position 2 et 3 pour éventuellement les échanger
231645
On les échange pour les mettre dans l'ordre croissant.
213645
On compare les éléments en positions 3 et 4. Ils sont dans l'ordre croissant; on n'y touche pas. On compare les éléments en positions 4 et 5. Ils ne sont pas dans l'ordre croissant; on les échange.
213465
On compare les éléments en positions 5 et 6. Ils ne sont pas dans l'ordre croissant; on les échange.
213456
De la sorte les grands éléments ont tendance à migrer vers la fin du vecteur. En particulier, au fur et à mesure des échanges, la méthode fait avancer le plus grand élément rencontré. A la fin de la première boucle, AN contient le plus grand élément du vecteur et cette Nème composante ne doit plus être prise en compte dans la suite du tri puisqu'elle est à sa place.
Il suffit de recommencer ensuite le même processus avec le morceau de A allant de la première composante à la N-1 ème. Cette fois, la boucle sur i ira de 1 à N-2, et ainsi de suite. Dans notre exemple, trions les éléments de position 1 à 5:
123456213456123456123456123456213456
Si à une étape, on travaille jusqu'à l'indice M critere & iteration < nmax
if det(JX) ~=0
X=X-FX/JX;
FX=fonction(X);
JX=jacobien(X);
end
iteration=iteration+1;
end
solution=X;
function J = jacobien(X)
J(1,1)=3*(X(1)^2-X(2)^2);
J(1,2)=6*X(1)*X(2);
J(2,2)=J(1,1);
J(2,1)=-J(1,2);
function F = fonction(X)
F(1)=X(1)^3-3*X(1)*X(2)^2-1;
F(2)=3*X(1)^2*X(2)-X(2)^3 Equations différentielles ordinaires
Notions de base
Une équation différentielle est une équation qui contient en plus des variables indépendantes et des fonctions de ces variables des dérivées ou des différentielles de ces fonctions. Si il n'y a qu'une variable indépendante il s'agit d'une équation différentielle ordinaire. Sinon il s'agit d'un équation aux dérivées partielles. Nous considérons d'abord le cas d'une seule variable indépendante.
Une équation différentielle s'écrit alors : EMBED Equation.3
Cette équation est linéaire et homogène d'ordre n si n'y interviennent que des termes proportionnels à la fonction inconnue et ses dérivées partielles d'ordre inférieur ou égal à n. Elle est inhomogène si il y a des termes ne dépendant pas de y. Elle est non linéaire si il y a des termes proportionnels à des puissances ou des fonctions de y et/ou de ses dérivées.
Equations du 1er ordre
Définitions
EMBED Equation.3
Supposons qu'il existe y=f(x) satisfaisant cette équation, f est une solution de l' équation différentielle. La recherche des solutions d'une équation différentielle s'appelle l'intégration de cette équation. Si EMBED Equation.3 ne dépend pas de y l'ensemble des solutions est de façon évidente:
EMBED Equation.3
où C est une constante arbitraire.
Dans le cas général, il existe également une famille de solutions qui s'écrit sous forme implicite : EMBED Equation.3
En donnant à la constante C des valeurs numériques différentes on obtient des solutions particulières.
Interprétation géométrique
On suppose que EMBED Equation.3 est uniquement définie est continue en tous les points d'un domaine D de R2. En chaque point de ce domaine l'équation définit une direction par :
EMBED Equation.3
Les courbes tangentes à ces directions en chacun de leurs points s'appellent des courbes intégrales de l'équation différentielle.
Théorème
Si EMBED Equation.3 est continue et admet une dérivée partielle par rapport à y dans un domaine D de R2 par chaque point de ce domaine il passe une et une seule courbe intégrale de l'équation différentielle.
Résolution
Facteur intégrant
Soit l'équation différentielle linéaire du premier ordre la plus générale :
EMBED Equation.3
Un facteur intégrant EMBED Equation.3 est un fonction telle que l'équation se réécrive :
EMBED Equation.3
ce qui impose EMBED Equation.3
qui est une équation à variables séparées pour EMBED Equation.3 .
Solutions
On obtient alors:
EMBED Equation.3
et:
EMBED Equation.3
Ce qui résout complètement le problème inhomogène. C est une constante à déterminer par les conditions aux limites données pour que le problème physique correspondant soit bien posé.
Exemple
Un circuit inductif est un dipôle électrique constitué d'une bobine d'inductance propre L et de résistance R. Il est soumis à une tension V(t) donnée et le courant à l'instant t = 0 est I0. Ce système est régi par l'équation différentielle du premier ordre
EMBED Equation.3
L'équation admet le facteur intégrant : EMBED Equation.3
et sa solution s'écrit : EMBED Equation.3
Si par exemple V(t) = V0 pour EMBED Equation.3 et I0 = 0, il vient EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3
Notons que la solution est la superposition d'une solution de l'équation homogène associée et d'une solution particulière de l'équation avec second membre.
Equations du 2d ordre
Généralités
On appelle équation différentielle du second ordre toute relation de la forme F(x,y,y',y'')=0 entre la variable x et la fonction y(x) et ses deux dérivées premières.
On admettra que sous certaines conditions une équation différentielle du second ordre admet une infinité de solutions dépendantes de deux constantes arbitraires: y = jð (x, lð 1 ,lð 2 ).
L'ensemble de ces solutions constitue l'intégrale générale et représente l'équation d'une famille de courbes dépendant de deux paramètres lð 1 ,lð 2 qui sont appelées courbes intégrales. Une intégrale particulière est obtenue en imposant des conditions initiales. Le plus souvent elles se présentent de la forme y(x0)= yo et y'(x0)=y'0 . Dans ce cas, la courbe est assujettie à deux conditions: Passer par un point (x 0,y0) et avoir un coefficient de tangente donné y'0.
Remarque
En cinématique, les conditions initiales sont celles de la position du mobile et de sa vitesse à l'instant initial. Inversement à toute courbe f(x, y, lð 1, lð 2 )=0 on peut associer une équation différentielle du second ordre.
Exemple
Soit la famille d'hyperboles : EMBED Equation.3
Les dérivées premières valent :
EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3
D'où l'équation différentielle qui régit cette famille de courbes : y.y''=2.y'2 .
Equations se ramenant au 1er ordre
Equations ne contenant pas de y
Soit F(x,y',y'')=0.
On pose y' = z(x), l'équation devient alors F(x, z, z' ) = 0.
Exemple : EMBED Equation.3
On pose : EMBED Equation.3
On en déduit : EMBED Equation.3 (x0 et y0 étant des constantes).
Equations ne contenant pas de x
F(y,y',y'')=0, et si on considère que y' est une fonction de y, on peut donc poser y' = z(y), et EMBED Equation.3
L'équation devient alors, avec pour nouvelle variable y, EMBED Equation.3 qui est une équation du premier ordre pour z. Soit EMBED Equation.3 ou EMBED Equation.3 et en intégrant EMBED Equation.3 avec.
Equations linéaires du 2d ordre
Définition
On appelle équation différentielle linéaire du second ordre une équation de la forme
EMBED Equation.3 (1)
où a(x), b(x), c(x) et f(x) sont des fonctions.
On associe à cette équation l'équation sans second membre:
EMBED Equation.3 (2)
Théorème fondamental
La solution générale yg s'obtient en ajoutant à une intégrale particulière yp de l'équation complète (1) l'intégrale générale de l'équation sans second membre yessm (2) :
EMBED Equation.3
Intégration de l'équation sans second membre
Si on connaît deux intégrales particulières y1 et y2 . La solution générale est une combinaison linéaire de ces deux intégrales particulières :
EMBED Equation.3
Les deux intégrales doivent être linéairement indépendantes, ce qui se traduit par :
EMBED Equation.3 (W(x) est appelé le Wronskien).
Si on connaît une intégrale particulière y1 :
On a donc : EMBED Equation.3
On va utiliser la méthode de variation de la constante. On pose donc EMBED Equation.3 où z(x) est une fonction inconnue de x. On en déduit :
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
et d'où en remplaçant dans (1) :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Soit :
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Puisque EMBED Equation.3 , on en déduit :
EMBED Equation.3
Cette équation s'intègre comme une équation se ramenant à une équation du premier ordre. Si on ne connaît pas de solution particulière, ce n'est généralement pas intégrable sauf si a, b et c sont des constantes.
Intégration de l'équation complète
Supposons que lon connaisse une solution particulière yp. La solution générale est alors EMBED Equation.3
Exemple
L' équation (E) EMBED Equation.3 admet pour solution de l'équation sans second membre : EMBED Equation.3
A la vue du second membre, l' intégrale particulière sera un polynôme du troisième degré : EMBED Equation.3
On obtient donc par identification en remplaçant dans (E) :
EMBED Equation.3
Si on ne connaît pas de solution particulière, on applique la méthode de Lagrange appelée aussi méthode de la variation de la constante. Elle ne doit être employée qu'en dernier recours (surtout en physique). Soit l'intégrale générale de l'équation sans second membre dans laquelle on va faire varier les constantes c'est à dire que lð 1 = lð 1(x) et lð 2 = lð 2(x). L'équation différentielle fournissant une première relation pour déterminer ces deux fonctions, il nous sera possible d'en imposer une seconde.
On dérive EMBED Equation.3
pour obtenir : EMBED Equation.3
On impose alors que : EMBED Equation.3
En dérivant EMBED Equation.3
on obtient : EMBED Equation.3
et en reportant dans l'équation (1) :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Comme y1 et y2 sont des solutions particulières, l' équation se simplifie en :
EMBED Equation.3
où a(x) ¹ð 0, d'où le système :
EMBED Equation.3
Comme y1 et y2 sont linéairement indépendantes, le système précédent est un système de Cramer et détermine lð '1 et lð '2 , on a alors les solutions lð 1(x) et lð 2(x) qui par intégration dépendent chacune d'une constante arbitraire, d'où la solution générale.
Exemple : EMBED Equation.3
Le système à résoudre est :
EMBED Equation.3
dont on déduit :
EMBED Equation.3
Et finalement :
EMBED Equation.3
Equation linéaire à coefficients constants
Soit l'équation : EMBED Equation.3 où a, b et c sont des constantes.
La solution générale se présentera sous la forme : EMBED Equation.3
Intégration de l'équation sans second membre
Soit : EMBED Equation.3 . On cherche des solution de la forme EMBED Equation.3 , ce qui nous donne EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 . En remplaçant dans léquation sans second membre, il vient :
EMBED Equation.3
L'équation EMBED Equation.3 est appelée équation caractéristique . Cest une équation du second degré dont on sait calculer les solutions r1 et r2. Deux cas sont possibles :
EMBED Equation.3 : l'équation caractéristique admet deux racines distinctes r1 et r2 . La solution de léquation sans second membre s écrit alors : EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 : l'équation caractéristique admet une racine double r. La solution de l équation sans second membre s écrit alors : EMBED Equation.3
Dans le cas où Dð 0 ; xj = 0, j = 1,...n, et j différent de k.
La nouvelle solution doit être admissible, donc en particulier vérifier les contraintes propres. Les valeurs des variables d'écart xn+i , i = 1,...m, doivent donc être modifiées:
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ; i = 1,...m
EMBED Equation.3 ; i = 1,...m
La nouvelle solution doit également vérifier les contraintes impropres :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 ;
si EMBED Equation.3 , ceci est toujours vérifié quel que soit qð ð>ð ð0ð
si EMBED Equation.3 : on doit avoir EMBED Equation.3
autrement dit : EMBED Equation.3
On choisit pour qð sa valeur maximale, car une variable s'annule alors : soit p l'indice donnant le minimum : EMBED Equation.3
La contrainte propre p donne : EMBED Equation.3
Donc la variable xn+p sort de base alors que xk entre en base. On obtient donc une nouvelle solution de base, admissible par construction.
Pour itérer le raisonnement, il faut ensuite exprimer la fonction économique z ainsi que les variables de base en fonction des variables hors base.
Pour cela, il faut éliminer la variable xk de l'expression de la fonction économique, ainsi que de toutes les équations du système des contraintes propres, sauf une: la contrainte p, qui sert à faire l'élimination.
Il s'agit donc en fait d'une élimination de Gauss ou pivotage, le pivot étant l'élément apk, coefficient de xk dans la contrainte p, et l'élimination étant effectuée dans toutes les contraintes autres que p. Les calculs sont donc identiques à ceux de la méthode de Jordan (à ceci près qu'ici les pivots ne sont pas des éléments diagonaux de A).
Modification de la contrainte i (entre 1 et m et différent de p) :
EMBED Equation.3
(le coefficient de xk est nul)
La modification de la fonction économique est tout à fait analogue :
EMBED Equation.3
(encore une fois, le coefficient de xk est nul)
Il faut, d'autre part, diviser la contrainte p par l'élément pivot apk:
nouvelle contrainte p : EMBED Equation.3
(dans cette équation, le coefficient de xk est lunité)
En effectuant cette transformation, on a fait un changement de base:
les nouvelles variables hors base sont : x1, ..., xk-1, xk+1, ..., xn, xn+l
les nouvelles variables de base : xk, xn+1, ..., xn+p-1, xn+p+1, ..., xn+m
Les nouvelles valeurs des variables de base sont les seconds membres des contraintes propres modifiées. La fonction économique étant exprimée en fonction des variables hors base qui sont nulles, on a : EMBED Equation.3
En changeant les notations, soient :
x'1, x'2, ..., x'n, les nouvelles variables hors base,
x'n+1, x'n+2, ..., x'n+m, les nouvelles variables de base.
Le programme linéaire s'écrit sous la nouvelle forme suivante :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Ensuite on itère, les nouvelles variables de base jouant le rôle des variables d'écart à la première étape, et les nouvelles variables hors base le rôle des variables naturelles.
La solution optimale est atteinte lorsque tous les cj, coefficients de la fonction économique exprimée par rapport aux variables hors base, sont négatifs ou nuls
Seconds membres non tous positifs
Soit le programme linéaire sous forme standard :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
avec les bi , i = 1,...m, de signes quelconques, l'un au moins étant strictement négatif.
Si, comme dans le cas précédent, on choisit pour variables hors base (donc on fixe à 0) les variables naturelles:
xj = 0, j = 1,...n
on obtient, en remplaçant dans le système des contraintes propres:
xn+i = bi , i = 1,...m
Cette solution de base n'est pas admissible puisque les bi ne sont pas tous positifs. Elle ne permet donc pas le démarrage de l'algorithme primal du simplexe.
Pour obtenir une solution admissible, on utilise l'artifice suivant : on introduit une variable supplémentaire positive, dite variable artificielle, qu'on retranche du premier membre de toutes les contraintes qui ont un second membre négatif.
Autrement dit, on remplace toutes les contraintes :
EMBED Equation.3 , pour lesquelles bi est négatif,
par : EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 étant la variable artificielles avec EMBED Equation.3 .
Au départ, on choisit pour variables hors base les variables naturelles et la variable artificielle : xj = 0, j = 1,...n, et xn+m+1 = 0.
Puis on effectue un changement de base particulier:
on fait entrer en base xn+m+1
on fait sortir de base la variable xn+l telle que EMBED Equation.3 (donc xn+l*B*CJUmHnHphÿuh=HCJmHnHuh=H0JCJmHnHu$jÛh=HCJUmHnHu!jh=HCJUmHnHuh=HCJmHnHu h=H6CJKH]mHnHu h=H0JCJaJ mHnHu"jh=H0JCJUmHnHu0j^h=H>*B*CJUmHnHphÿu~
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