1. Signal discret, signal bloqué, signal échantillonné
Correction de TD7: Transformée en z en temps discret ... Etablir l'expression du
signal discretsi on échantillonneaux instants avec . .... Ajoutons la loi de
commande , le système bouclé obtenu ainsi aura la fonction de transfert , quelle
en est la ...
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viside). Quelle est la fonction de transfert INCORPORER Equation.3 de BOZ ?
Quelle est la transformée de Laplace du signal échantillonné INCORPORER Equation.3 ? Déduire la transformée de Laplace de INCORPORER Equation.3 . Comparer la transformée en z INCORPORER Equation.3 du signal discret INCORPORER Equation.3 avec INCORPORER Equation.3 .
% en Matlab
>> t= 0 :.5 :3 ;
>> s= 2*exp(-2*t) ;
>> plot(t,s)
>> stem(t,s)
>> stairs(t,s)
>> grid
INCORPORER Equation.3
INCORPORER Equation.3
INCORPORER Equation.3 fonction de transfert du BOZ
INCORPORER Equation.3 , doù la transformée de Laplace INCORPORER Equation.3 si INCORPORER Equation.3 convergence vers INCORPORER Equation.3
INCORPORER Equation.3 en transformant cette chaîne étape par étape, il vient
INCORPORER Equation.3 , on retrouve une suite dimpulsions de hauteur INCORPORER Equation.3 pour la nième et de largeur INCORPORER Equation.3 , dont le terme général de la somme exprimé avec la variable de Laplace est INCORPORER Equation.3 , échelon damplitude INCORPORER Equation.3 débutant en INCORPORER Equation.3 moins échelon de même amplitude débutant en INCORPORER Equation.3
INCORPORER Equation.3 et INCORPORER Equation.3 sont dordre 1, la constante de temps vaut INCORPORER Equation.3 et le pôle discret vaut INCORPORER Equation.3 cest en fait INCORPORER Equation.3
Transformée en z :
A. Calculer INCORPORER Equation.3 dont on représentera lallure temporelle. Appliquer les théorèmes des valeurs initiale et finale. Montrer que les valeurs INCORPORER Equation.3 , INCORPORER Equation.3 , décrivent un régime transitoire exponentiel. Relier le temps de réponse à 5% de ce transitoire au pôle INCORPORER Equation.3 et à INCORPORER Equation.3 .
Donner deux manières de générer le signal INCORPORER Equation.3 .
Appliquons la formule des résidus à la quantité INCORPORER Equation.3 il y a deux résidus, soient :
INCORPORER Equation.3
Pour INCORPORER Equation.3 , INCORPORER Equation.3 , pour INCORPORER Equation.3 , INCORPORER Equation.3 , entre ces deux limiltes, un régime exponentiel en INCORPORER Equation.3 , soit INCORPORER Equation.3 ou encore INCORPORER Equation.3 avec INCORPORER Equation.3
Le théorème de la valeur finale donne : INCORPORER Equation.3 , INCORPORER Equation.3 donne INCORPORER Equation.3
Processus générateurs de INCORPORER Equation.3 , supposons quon a inversé une réponse impulsionnelle, la quantité inversée était en fait une fonction de transfert en z, quelle en était alors léquation aux différences associée ? Il suffira de présenter une impulsion discrète à lentrée de ce processus ? on rappelle que limpulsion discrète est un signal nul partout sauf en INCORPORER Equation.3 où il vaut 1. On retrouve facilement la transformée en z de limpulsion discrète (fonction de Kronecker) qui vaut 1 (appliquer définition de Tz). Seconde possibilité, INCORPORER Equation.3 étant la transformée de léchelon discret, on peut également programmer un échelon à lentrée du processus déquation INCORPORER Equation.3
Etudier le processus discret déquation paramétrée INCORPORER Equation.3 , dentrée INCORPORER Equation.3 et de sortie INCORPORER Equation.3 . Calculer la réponse indicielle associée, et étudier leffet des deux paramètres INCORPORER Equation.3 et INCORPORER Equation.3 sur la stabilité, le gain statique et la constante de temps. Comment choisir INCORPORER Equation.3 et INCORPORER Equation.3 pour obtenir un temps de réponse de INCORPORER Equation.3 environ et un gain statique de INCORPORER Equation.3 si la fréquence déchantillonnage vaut INCORPORER Equation.3 ?
La fonction de transfert vaut INCORPORER Equation.3 , la réponse indicielle est INCORPORER Equation.3
soit par la formule des résidus INCORPORER Equation.3 , on en déduit lallure et le gain statique qui est INCORPORER Equation.3 , la constante de temps se déduit de INCORPORER Equation.3 comme dans lexercice précédent, INCORPORER Equation.3 , il y a stabilité dés que INCORPORER Equation.3 , Pour les valeurs demandées, il suffit de fixer INCORPORER Equation.3 et INCORPORER Equation.3 soit INCORPORER Equation.3
Notons le cas particulier où INCORPORER Equation.3 , le processus se comporte alors comme un retard dune période déchantillonnage , si INCORPORER Equation.3 , le processus répond alors à une entrée présentée en la recopiant « pile » après une période d échantillonnage.
Fonction de transfert en z :
A. le filtre suivant est donné par une équation aux différences comportant 3 paramètres INCORPORER Equation.3 :
INCORPORER Equation.3 . Calculer la fonction de transfert INCORPORER Equation.3 et la réponse impulsionnelle INCORPORER Equation.3 . Décrire la relation dentrée sortie du filtre par un produit de convolution.
La transformée en z de INCORPORER Equation.3 à conditions initiales nulles et en prenant INCORPORER Equation.3 et INCORPORER Equation.3 pour transformées de la sortie INCORPORER Equation.3 et de lentrée INCORPORER Equation.3 donne INCORPORER Equation.3 soit INCORPORER Equation.3 Le terme INCORPORER Equation.3 au dénominateur est un retard dune période déchantillonnage, essayons dinverser INCORPORER Equation.3 dans INCORPORER Equation.3 , il suffira ensuite de remplacer INCORPORER Equation.3 par INCORPORER Equation.3 dans le résultat obtenu. Or, INCORPORER Equation.3 donne par transformation inverse (cf. table de transformée en z) INCORPORER Equation.3 , pour le premier terme et INCORPORER Equation.3 pour le second à partir de INCORPORER Equation.3 ( retard appliqué à un terme de la table). En résumé, pour D(z), cest INCORPORER Equation.3 , INCORPORER Equation.3 , et INCORPORER Equation.3 pour INCORPORER Equation.3 Si on donne un signal INCORPORER Equation.3 causal à lentrée, connaissant la réponse impulsionnelle causale également INCORPORER Equation.3 , la relation dentrée sortie permettant de calculer INCORPORER Equation.3 est INCORPORER Equation.3
B. le filtre correcteur proportionnel intégral dérivé (ou pid) ci-dessous est donné par une fonction de transfert, avec trois paramètres INCORPORER Equation.3 . Les paramètres étant par exemple ici INCORPORER Equation.3 quelle est léquation aux différences à programmer pour réaliser ce filtre discret ?
INCORPORER Equation.3
Mettons INCORPORER Equation.3 sous la forme dune fraction rationnelle en INCORPORER Equation.3 , et nommons INCORPORER Equation.3 et INCORPORER Equation.3 les transformées de la sortie et de lentrée , cest INCORPORER Equation.3 doù léquation aux différences
INCORPORER Equation.3
Deuxième partie : problème
Etudier lasservissement de la sortie INCORPORER Equation.3 du processus discret dentrée INCORPORER Equation.3 déquation INCORPORER Equation.3 au moyen dune loi proportionnelle de gain INCORPORER Equation.3 : INCORPORER Equation.3 , la période déchantillonnage vaut INCORPORER Equation.3 . Que dire de la valeur INCORPORER Equation.3 (réponse pile) ?
La commande en boucle ouverte du processus est-elle envisageable ?
Comment se traduit lapparition dun retard pur INCORPORER Equation.3 dû au calcul : INCORPORER Equation.3 ?
La fonction de transfert est INCORPORER Equation.3 pour le processus seul, une petite étude rapide montre que cest un équivalent discret de lintégrateur en temps continu, donc instable au sens ebsb et difficile à commander.
Ajoutons la loi de commande INCORPORER Equation.3 , le système bouclé obtenu ainsi aura la fonction de transfert INCORPORER Equation.3 , quelle en est la réponse indicielle si INCORPORER Equation.3 , on trouve INCORPORER Equation.3 pour INCORPORER Equation.3 . On voit apparaître un gain statique unité ainsi quun régime exponentiel ou un régime sinusoïdal amorti selon les cas, petite étude intéressante à faire selon la valeur du pôle INCORPORER Equation.3 :
Voir les cas INCORPORER Equation.3 = 2, -1, -0.5, 0, 0.5, 1, 2, il existe à chaque fois une valeur de INCORPORER Equation.3 possible et le comportement est assez facile à évaluer parce quil sagit de puissances de 2.
On peut également associer les comportements au lieu du pôle INCORPORER Equation.3
En particulier INCORPORER Equation.3 est très intéressant, et typique des systèmes discrets, lasservissement répond pile en une période déchantillonnage à léchelon présenté, ou à nimporte quelle entrée dailleurs.
Dans le cas dun retard de INCORPORER Equation.3 dans le calcul de INCORPORER Equation.3 la fonction de transfert de lasservissement devient INCORPORER Equation.3 , cest maintenant un second ordre discret, qui suivant les valeurs de INCORPORER Equation.3 va présenter des réponses apériodiques ou sinusoïdales amorties, par exemple, le cas INCORPORER Equation.3 précédent est alors la limite dinstabilité au lieu de la réponse pile. Le gain statique vaut 1, soit une erreur statique nulle. Essayer le cas INCORPORER Equation.3 qui donne le régime critique, un pôle double en INCORPORER Equation.3
Le lieu des pôles est également facile à tracer
Et à discuter
INCORPORER Equation.3 limite dinstabilité
INCORPORER Equation.3 racine double
INCORPORER Equation.3 racines réelles stables
Ecole Supérieure des Sciences Informatiques - Automatique et TS
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©Jean-Paul Stromboni, ESSI, Avril 2000 - PAGE 4 -
ESSI, Automatique et Traitement du Signal : Introduction aux Signaux et Systèmes de lAutomatique, JPS, 2000 - PAGE 1 -
