Trajectoire d'un projectile dans l'air, force en kv² - Académie de ...
CORRIGE BAC BLANC PHYSIQUE CHIMIE 2013 LMB. EXERCICE ... Le premier
extrait du texte de Huyghens nous indique L = T 2 (question 1.2.1.), soit T ..... f4.
f5. Violon chinois (Erhu). 433,89. 867,79. 1 301,68. 1 735,58. 2169,47. Violon.
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Objectifs :
utiliser les outils technologiques : calcul formel, tableur,
faire travailler les élèves en groupes,
faire des recherches sur linternet, en histoire des mathématiques et sur le sujet (en commençant par une recherche des mots clés balistique, balistique extérieure, projectile entre autre),
appliquer les programmes actuels : méthode dEuler,
tracer des courbes en mode paramétrique.
Sommaire :
TOC \o "1-3" \h \z \u HYPERLINK \l "_Toc175369987" I. Un petit point de vue historique : PAGEREF _Toc175369987 \h 3
HYPERLINK \l "_Toc175369988" 624 à 548 avant J.C. Thales de Milet : PAGEREF _Toc175369988 \h 3
HYPERLINK \l "_Toc175369989" 570 à 500 avant J.C. Pythagore de Samos : PAGEREF _Toc175369989 \h 4
HYPERLINK \l "_Toc175369990" 408-355 avant J.C. Eudoxe de Cnide : PAGEREF _Toc175369990 \h 4
HYPERLINK \l "_Toc175369991" 384-322 avant J.C. Aristote : PAGEREF _Toc175369991 \h 4
HYPERLINK \l "_Toc175369992" 310 à 230 avant J.C. Aristarque de Samos : PAGEREF _Toc175369992 \h 5
HYPERLINK \l "_Toc175369993" Fin du IVe siècle Christianisation de l'Empire romain : PAGEREF _Toc175369993 \h 5
HYPERLINK \l "_Toc175369994" VIe puis XIIIe siècle, invention de la poudre en Chine, transport en Europe : PAGEREF _Toc175369994 \h 5
HYPERLINK \l "_Toc175369995" 1300 environ, invention des armes à feu : PAGEREF _Toc175369995 \h 5
HYPERLINK \l "_Toc175369996" 1320-1382 Nicole (ou Nicolas) Oresme : PAGEREF _Toc175369996 \h 6
HYPERLINK \l "_Toc175369997" 1452-1519 Léonard de Vinci : PAGEREF _Toc175369997 \h 7
HYPERLINK \l "_Toc175369998" 1537 Niccolo Fontana dit Tartaglia (1499-1557) : PAGEREF _Toc175369998 \h 7
HYPERLINK \l "_Toc175369999" 1540-1603 François Viète : PAGEREF _Toc175369999 \h 8
HYPERLINK \l "_Toc175370000" 1583 Garcia de Palacios : PAGEREF _Toc175370000 \h 8
HYPERLINK \l "_Toc175370001" 1586 Louis Collado : PAGEREF _Toc175370001 \h 8
HYPERLINK \l "_Toc175370002" 1590 Thomas Harriot (1560-1621) : PAGEREF _Toc175370002 \h 8
HYPERLINK \l "_Toc175370003" 1602 Galilée ou Galileo Galilei (1564-1642) : PAGEREF _Toc175370003 \h 9
HYPERLINK \l "_Toc175370004" 1588-1648 Marin Mersenne : PAGEREF _Toc175370004 \h 9
HYPERLINK \l "_Toc175370005" 1596-1650 René Descartes : PAGEREF _Toc175370005 \h 9
HYPERLINK \l "_Toc175370006" 1598-1647 Bonaventura Cavalieri : PAGEREF _Toc175370006 \h 9
HYPERLINK \l "_Toc175370007" 1610 Diego Ufano : PAGEREF _Toc175370007 \h 10
HYPERLINK \l "_Toc175370008" 1608-1647 Evangelista Torricelli : PAGEREF _Toc175370008 \h 10
HYPERLINK \l "_Toc175370009" 1616-1703 John Wallis : PAGEREF _Toc175370009 \h 11
HYPERLINK \l "_Toc175370010" 1643-1727 Isaac Newton : PAGEREF _Toc175370010 \h 11
HYPERLINK \l "_Toc175370011" 1646-1716 Gottfried Wilhelm von Leibniz : PAGEREF _Toc175370011 \h 11
HYPERLINK \l "_Toc175370012" 1685 François Blondel : PAGEREF _Toc175370012 \h 12
HYPERLINK \l "_Toc175370013" 1667-1748 Jean Bernoulli : PAGEREF _Toc175370013 \h 13
HYPERLINK \l "_Toc175370014" 1707-1783 Leonhard Euler : PAGEREF _Toc175370014 \h 13
HYPERLINK \l "_Toc175370015" 1752-1833 Adrien-Marie Legendre : PAGEREF _Toc175370015 \h 14
HYPERLINK \l "_Toc175370016" 1781-1840 Siméon-Denis Poisson : PAGEREF _Toc175370016 \h 14
HYPERLINK \l "_Toc175370017" 1873 (capitaine) Jouffret : PAGEREF _Toc175370017 \h 14
HYPERLINK \l "_Toc175370018" II. Résolution du problème dans le vide (Torricelli) : PAGEREF _Toc175370018 \h 16
HYPERLINK \l "_Toc175370019" Horizontalement : PAGEREF _Toc175370019 \h 16
HYPERLINK \l "_Toc175370020" 1. À la main : PAGEREF _Toc175370020 \h 16
HYPERLINK \l "_Toc175370021" 2. Avec un logiciel de calcul formel, recherche de primitives et intégrales : PAGEREF _Toc175370021 \h 16
HYPERLINK \l "_Toc175370022" 3. Utilisation dune « boite noire », résolution déquations différentielles par calcul formel : PAGEREF _Toc175370022 \h 17
HYPERLINK \l "_Toc175370023" Verticalement : PAGEREF _Toc175370023 \h 17
HYPERLINK \l "_Toc175370024" 1. À la main : PAGEREF _Toc175370024 \h 17
HYPERLINK \l "_Toc175370025" 2. Avec un logiciel de calcul formel, recherche de primitives et intégrales : PAGEREF _Toc175370025 \h 17
HYPERLINK \l "_Toc175370026" 3. Utilisation dune « boite noire », résolution déquations différentielles par calcul formel : PAGEREF _Toc175370026 \h 18
HYPERLINK \l "_Toc175370027" 4. Écriture de y en fonction de x : PAGEREF _Toc175370027 \h 18
HYPERLINK \l "_Toc175370028" 5. Application numérique : (calcul formel) PAGEREF _Toc175370028 \h 18
HYPERLINK \l "_Toc175370029" 6. La représentation graphique : PAGEREF _Toc175370029 \h 19
HYPERLINK \l "_Toc175370030" III. Influence de lair, force proportionnelle à la vitesse : PAGEREF _Toc175370030 \h 20
HYPERLINK \l "_Toc175370031" Horizontalement : PAGEREF _Toc175370031 \h 21
HYPERLINK \l "_Toc175370032" 1. À la main : PAGEREF _Toc175370032 \h 21
HYPERLINK \l "_Toc175370033" 2. Avec un logiciel de calcul formel, recherche de primitives et intégrales : PAGEREF _Toc175370033 \h 22
HYPERLINK \l "_Toc175370034" 3. utilisation dune « boite noire », résolution déquations différentielles par calcul formel : PAGEREF _Toc175370034 \h 23
HYPERLINK \l "_Toc175370035" Verticalement : PAGEREF _Toc175370035 \h 23
HYPERLINK \l "_Toc175370036" 1. À la main : PAGEREF _Toc175370036 \h 23
HYPERLINK \l "_Toc175370037" 2. Avec un logiciel de calcul formel, recherche de primitives et intégrales : PAGEREF _Toc175370037 \h 24
HYPERLINK \l "_Toc175370038" 3. Utilisation dune « boite noire », résolution déquations différentielles par calcul formel : PAGEREF _Toc175370038 \h 25
HYPERLINK \l "_Toc175370039" 4. Écriture de y en fonction de x : PAGEREF _Toc175370039 \h 25
HYPERLINK \l "_Toc175370040" 5. Application numérique : (calcul formel) PAGEREF _Toc175370040 \h 25
HYPERLINK \l "_Toc175370041" 6. La représentation graphique : PAGEREF _Toc175370041 \h 26
HYPERLINK \l "_Toc175370042" IV. Influence de lair, force proportionnelle au carré de la vitesse, Cas dun tir vertical : PAGEREF _Toc175370042 \h 27
HYPERLINK \l "_Toc175370043" A. La montée : PAGEREF _Toc175370043 \h 27
HYPERLINK \l "_Toc175370044" 1. À la main : PAGEREF _Toc175370044 \h 27
HYPERLINK \l "_Toc175370045" 2. Avec un logiciel de calcul formel, recherche de primitives et intégrales : PAGEREF _Toc175370045 \h 30
HYPERLINK \l "_Toc175370046" 3. Application numérique : PAGEREF _Toc175370046 \h 31
HYPERLINK \l "_Toc175370047" 4. Utilisation dune « boite noire », résolution déquations différentielles par calcul formel : PAGEREF _Toc175370047 \h 31
HYPERLINK \l "_Toc175370048" 5. La représentation graphique : PAGEREF _Toc175370048 \h 32
HYPERLINK \l "_Toc175370049" B. La descente : PAGEREF _Toc175370049 \h 33
HYPERLINK \l "_Toc175370050" 1. À la main : PAGEREF _Toc175370050 \h 33
HYPERLINK \l "_Toc175370051" 2. Avec un logiciel de calcul formel, recherche de primitives et intégrales : PAGEREF _Toc175370051 \h 35
HYPERLINK \l "_Toc175370052" 3. Application numérique : PAGEREF _Toc175370052 \h 37
HYPERLINK \l "_Toc175370053" 4. Utilisation dune « boite noire », résolution déquations différentielles par calcul formel : PAGEREF _Toc175370053 \h 37
HYPERLINK \l "_Toc175370054" 5. La représentation graphique : PAGEREF _Toc175370054 \h 39
HYPERLINK \l "_Toc175370055" V. Influence de lair, force proportionnelle au carré de la vitesse, résolution par la méthode dEuler : PAGEREF _Toc175370055 \h 39
HYPERLINK \l "_Toc175370056" Avec le tableur de la calculatrice ou du logiciel TI_Nspire : PAGEREF _Toc175370056 \h 40
HYPERLINK \l "_Toc175370057" Avec un tableur connu : PAGEREF _Toc175370057 \h 41
HYPERLINK \l "_Toc175370058" VI. Influence de lair, force proportionnelle au carré de la vitesse, résolution du cas général : PAGEREF _Toc175370058 \h 42
HYPERLINK \l "_Toc175370059" Horizontalement : PAGEREF _Toc175370059 \h 42
HYPERLINK \l "_Toc175370060" 1. À la main : PAGEREF _Toc175370060 \h 42
HYPERLINK \l "_Toc175370061" 2. Avec un logiciel de calcul formel, recherche de primitives et intégrales : PAGEREF _Toc175370061 \h 43
HYPERLINK \l "_Toc175370062" 3. utilisation dune « boite noire », résolution déquations différentielles par calcul formel : PAGEREF _Toc175370062 \h 43
HYPERLINK \l "_Toc175370063" Verticalement : PAGEREF _Toc175370063 \h 44
HYPERLINK \l "_Toc175370064" 1. À la main : PAGEREF _Toc175370064 \h 44
HYPERLINK \l "_Toc175370065" 2. Avec un logiciel de calcul formel, recherche de primitives et intégrales : PAGEREF _Toc175370065 \h 45
HYPERLINK \l "_Toc175370066" 3. Application numérique : PAGEREF _Toc175370066 \h 46
HYPERLINK \l "_Toc175370067" 4. Utilisation dune « boite noire », résolution déquations différentielles par calcul formel : PAGEREF _Toc175370067 \h 46
HYPERLINK \l "_Toc175370068" 5. Écriture de y en fonction de x : PAGEREF _Toc175370068 \h 47
HYPERLINK \l "_Toc175370069" 6. La représentation graphique : PAGEREF _Toc175370069 \h 47
HYPERLINK \l "_Toc175370070" VII. Traitement dune erreur intéressante et surprenante : PAGEREF _Toc175370070 \h 48
HYPERLINK \l "_Toc175370071" Petite bibliographie : PAGEREF _Toc175370071 \h 50
HYPERLINK \l "_Toc175370072" Calcul d'une flèche : PAGEREF _Toc175370072 \h 51
HYPERLINK \l "_Toc175370073" P.S. : PAGEREF _Toc175370073 \h 53
Préambule important et nécessaire :
Aucune formule mathématique ne permet de décrire « exactement » la trajectoire dun projectile sortant de la bouche dun canon, dun fusil, dune carabine, dune arme de poing (pistolet, révolver).
Pour tenter den donner une « bonne approximation » (qui dépend de ce que lon recherche !), chacun choisit un modèle.
COX, statisticien reconnu disait « tous les modèles sont faux, certains peuvent rendre service ».
Quels que soient les calculs effectués par chacun, ce ne seront que des approximations.
Dans les conditions qui nous intéressent (mes conditions : tir au revolver à poudre noire), il est généralement admis quune assez bonne description de la trajectoire est réalisée en prenant une résistance à la pénétration de lair proportionnelle au carré de la vitesse du projectile.
Jai choisi de décomposer le mouvement, la vitesse, sur les axes horizontal et vertical, selon UN modèle : la projection sur chacun des axes de la résistance due à la pénétration de lair par le projectile est EMBED Equation.DSMT4 sur [Ox) et EMBED Equation.DSMT4 sur [Oy) où v0 est la vitesse initiale du projectile, et( langle entre lhorizontale et laxe de tir initial.
Les résultats sont « cohérents » avec les observations sur le terrain.
En classe de terminale il est possible de déterminer avec un peu de physique et de mathématique les équations du mouvement dun projectile, sur terre, « dans le vide ». Ce cas nayant aucune commune mesure avec la réalité, « on reste sur sa faim » pour toute association de lutilité de faire des maths et de la physique pour comprendre les phénomènes du monde qui nous entoure.
Lutilisation, raisonnée et raisonnable
, dun logiciel de calcul formel, quil soit sur ordinateur ou implémenté sur calculatrice, permet de montrer que lon peut trouver des résultats utiles issus de formules et calculs au delà des programmes de la classe en cours, quen respectant une méthode scientifique il est possible de dépasser ses savoirs et, quil reste encore bien du chemin à parcourir pour arriver à être capable de calculer toutes ces formules fort intéressantes « à la main » sans outil informatique.
Poser le problème à partir de points de vues historiques offre lintérêt supplémentaire de motiver les élèves par une recherche sur internet.
Dans les films où policiers et truands échanges des nombreux coups de feux, les lois de la physique semblent différentes de celles de la réalité. Cest du cinéma
! (je déteste, ce genre dimage, voir tirer avec une arme tenue à 90° de sa position normale). Cest une des motivations à ce sujet.
I. Un petit point de vue historique :
On remarquera quil est difficile dessayer de faire de lhistoire des maths. Laccès aux documents est réservé à ceux qui le peuvent, pour le reste, linformation sur le net dépend beaucoup des convictions de ceux qui écrivent, daprès celui qui à écrit en ayant lu ce que quelquun dautre à écrit, qui na pas forcément eu accès aux documents existants.
On peut trouver entre autre sur le site galica, des numérisations de livres, livrets, fascicules souvent intéressants. Ils nont pas tout ! Par exemple jai trouvé une bonne partie des documents produits par Adrien Marie Legendre. Sauf « Recherches sur la trajectoire des projectiles dans les milieux résistants », 1782 ni « Dissertation sur la question de balistique proposée par lAcadémie royale des Sciences et Belles-Lettres de Prusse », Berlin, 1782 alors que la référence en est faite dans plusieurs documents. Euler à écrit un ouvrage intitulé « artillerie ». Je ne lai pas trouvé non plus (jen ai une douzaine de pages).
Il était une fois, il y a très longtemps
je ne sais pas et ils nont pas laissé de quoi le savoir. Pas de papier, livre, revue, CD ou DVD
624 à 548 avant J.C. Thales de Milet :
Astronome, commerçant, ingénieur et philosophe, considéré comme le père de la géométrie déductive Grecque. Il affirme la sphéricité de la terre, et linclinaison de lécliptique : lorbite apparente du soleil autour de la terre est inclinée par rapport au plan de léquateur terrestre.
570 à 500 avant J.C. Pythagore de Samos :
Pour Pythagore, suivant en cela Thalès, la terre est sphérique et tourne sur elle-même autour du Soleil (héliocentrisme). Cette théorie fut hélas invalidée par Eudoxe, Aristote et Ptolémée (géocentrisme) et plongea le monde dans l'erreur pendant 2000 ans jusqu'à l'entrée en scène de Galilée et Copernic.408-355 avant J.C. Eudoxe de Cnide :
Astronome, géomètre, médecin et philosophe. Disciple de Platon, ses travaux nous sont connus par Archimède.
Il est principalement connu pour sa théorie dite des "sphères homocentriques".
Pour Eudoxe, les astres tournent tous autour de la Terre, qui est immobile : le Soleil, la Lune et toutes les planètes alors connues (Mercure, Vénus, Mars, Jupiter et Saturne).
Eudoxe est aussi l'initiateur de la méthode d'exhaustion qui lui permettra, par des quadratures proches de celles de Riemann, le calcul d'aires et de volumes complexes, que reprendra et affinera Archimède. Image de représentation du monde sur son site HYPERLINK "http://serge.mehl.free.fr/chrono/Eudoxe.html" http://serge.mehl.free.fr/chrono/Eudoxe.html.384-322 avant J.C. Aristote :
Pour nous, concernant le problème de la balistique, tout commence avec Aristote et SA description du monde dans : Questions mécaniques-Traité du ciel-Physique.
Sa vision cosmologique géocentrique (la Terre est centre du Monde), confortant celle d'Eudoxe, reprise par Saint Thomas d'Aquin (philosophe et religieux italien du 13e siècle) et, érigée en dogme, entrava le développement de la science, sinon celle de l'astronomie, jusqu'au 17è siècle : autour de la Terre, sphérique et fixe, gravitent la Lune, le Soleil et les autres planètes (Mercure, Mars, Vénus, Jupiter et Saturne) à l'exception d'Uranus, Neptune et Pluton (car trop éloignées et invisibles alors et découvertes respectivement en 1781 par Herschel, 1846 par Le Verrier et Adams, 1915 par Lowel).En physique, il considère deux types de mouvements, les mouvements naturels et les mouvements violents.
En gros, le mouvement naturel concerne les astres (mouvement circulaire) et les corps qui se déplacent sans action apparente : les corps légers comme la fumée montent, les corps lourds (ou « graves ») tombent vers le centre du monde (la terre).
Le mouvement violent dérange lharmonie (de léquilibre) du mouvement naturel. Il est périssable (causé par une impulsion) et donc provisoire. Le moteur en est lair qui conserve les vibrations lors du lancer.
Pour Aristote, il ne peut y avoir de mouvement dans le vide, ni même dailleurs de vide.
Pour Aristote ce qui est important est de savoir ce qui permet le déplacement, pas de prévoir le mouvement. Il laisse cette partie aux « mécaniciens ». On peut considérer que pour lui, le javelot, la flèche à un mouvement en deux parties, une droite dans le sens du lancer (mouvement violent), une deuxième droite verticale (lobjet tombe).
Pourtant, si la trajectoire dune balle, dun boulet de canon, nest pas observable à lil, aucune difficulté napparaît pour décrire le mouvement dune flèche ou dun javelot, fort utilisés à lépoque !
Cest lintroduction de la poudre en occident qui ravivera la flamme de la recherche du mouvement balistique.
310 à 230 avant J.C. Aristarque de Samos :
Il fut directeur de la bibliothèque dAlexandrie. Simplifiant fortement le système planétaire mis en place par Eudoxe, il avança lidée dune terre tournant sur elle même et autour du soleil, héliocentrisme, sopposant au géocentrisme dAristote, ce qui à cette époque déjà déplut grandement !. Thèse pourtant soutenue un peu plus tôt par Pythagore.Fin du IVe siècle Christianisation de l'Empire romain :
Le christianisme s'est développé à partir du Ier siècle de notre ère dans le contexte des communautés juives du Moyen-Orient et en particulier les communautés juives hellénisées. Le nom « christianisme » vient du mot Christos, qui traduit l'hébreu Messie (« celui qui a reçu l'onction »).
Avec la conversion au christianisme de l'empereur Constantin, les persécutions contre les chrétiens s´arrêtèrent. Vers la fin du IVe siècle, le catholicisme devient la religion officielle de l'Empire romain, remplaçant ainsi le culte romain antique. Cette date marque symboliquement le début de la chrétienté : période de l'histoire de l'Europe où le christianisme est la seule religion admise.
VIe puis XIIIe siècle, invention de la poudre en Chine, transport en Europe :
Vraisemblablement, la poudre apparaît en Chine vers le VIe siècle. Les Chinois utilisaient des flèches incendiaires propulsées par un mélange semblable à la poudre à canon au XIe siècle.
La poudre noire arrive en Europe au milieu du XIIIe siècle par l'intermédiaire de la civilisation islamique.
Parmi les avantages de la poudre noire, notons qu'elle est peu onéreuse, stable et qu'une faible quantité d'énergie en provoque la combustion. Ainsi, peut-on l'enflammer à l'aide d'une flamme, d'un impact, d'une friction, d'une étincelle, ou même d'un laser. Il en résulte que sa manipulation est dangereuse.Elle produit :
d'abondants résidus solides, surtout composés de calamine, qui encrassent les armes. C'est l'une des raisons pour lesquelles une arme à feu ancienne présente un fort calibre qui augmente la tolérance donc réduit la fréquence des nettoyages nécessaires,
de la fumée, gênant la visée lors des tirs répétés si le vent ne la chasse pas.
Pour ces raisons on lui préfère aujourd'hui la poudre sans fumée (poudre pyroxylée inventée en 1886).
1300 environ, invention des armes à feu :
Une arme à feu est une arme permettant d'envoyer à distance des projectiles, au moyen des gaz produits par la combustion rapide et confinée d'un composé chimique détonnant, la déflagration.
Les premières armes à feu utilisables apparaissent environ cinquante ans après lapparition de la poudre noire en Europe.
La première certitude de leur existence se trouve dans un manuscrit anglais de 1326 intitulé De Notabilitatibus, Sapientia, et Prudentia Regum, rédigé par Walter de Milemete, chapelain du roi Édouard II d'Angleterre, à l'intention et pour l'éducation du futur roi Édouard III.
Le mot canon vient du grec ancien º±½Î½ (kanôn) qui signifie règle ou modèle ; le mot, d'origine sémitique (cf. l'hébreu qaneh), désigne en effet primitivement le roseau ou la canne, qui servaient d'étalon pour mesurer les distances.
Les premières armes à feu sont des bouches à feu que l on nommera « canons », bombardes, mortiers
qui ne semblent pas avoir le moindre intérêt ! en effet, ils explosent souvent et ne permettent pas de tirer beaucoup sur lennemi car ils sont longs à charger et lennemi ne semble pas très disposé à rester au loin sur la position de tir . Il faut près dune heure entre deux tirs, entre autre pour laisser refroidir le canon !.
Les premières munitions en pierre éclatent soit dans le canon, soit contre les murs des forteresses sans pour autant les entamer.
De la « terrible » efficacité des canons
en 1673 lors du siège de Maëstricht, la chanoinesse de Franclieu écrit, terrifiée, dans ses mémoires « une bombe tomba dans notre cour et y arracha un pavé ».
Assez rapidement se développent des armes individuelles mousquet, arquebuse, qui auront une précision suffisante pour devenir utiles au combat, même si les premières armes fabriquées nont une portée efficace que dune trentaine de mètres.
Bouche à feu suédoise du XIVème siècleDepuis les années 1500 les artilleurs ont procédé à de nombreuses expériences pour écrire des abaques, des tables dans lesquelles ils trouvaient les réglages devant permettre de frapper lennemi.
Les artilleurs ont essayé de trouver une « loi » qui par un calcul (simple autant que possible) offre les réglages pour chaque nouvelle condition de tir. Ils ont rapidement remarqué que la proportionnalité ne sappliquait pas entre les charges de poudre et la portée, les angles de tir et la portée, etc.
Pour obtenir une théorie balistique (quils espèrent simple !) et construire des tables de tir fiables, sans accorder trop de temps à une certaine expérimentation qui ne pouvait quêtre approximative, les artilleurs avaient besoin dun physicien, mathématicien, dun « mécanicien » aurait dit Aristote.
Mathématiciens, physiciens, (ingénieurs) et artilleurs ayant plus ou moins uvrés pour la mise au point de formules de calcul de la trajectoire dun projectile :
1320-1382 Nicole (ou Nicolas) Oresme :
Ses recherches le conduisent aux premières notions de représentation graphique, de fonction (lien entre distance, temps et vitesse) et d'extrema (recherche d'un minimum ou d'un maximum) à travers une première approche de la géométrie analytique dont les grands fondateurs seront Fermat et Descartes.
Dans « Traité sur la configuration des qualités et du mouvement » afin de décrire et d'étudier un mouvement rectiligne, Nicole Oresme a l'idée de représenter graphiquement la vitesse instantanée du mobile en fonction du temps.Sur une droite horizontale il porte des graduations proportionnelles au temps et au dessus de chaque graduation il élève une perpendiculaire dont la longueur est proportionnelle à la vitesse du mobile à l'instant correspondant. Ce qui lintéresse dans cette construction, c'est la portion de plan balayée par ces perpendiculaires successives. Par l'examen de cas particuliers simples et en généralisant, il aboutit à la conclusion que l'aire de la surface balayée par les perpendiculaires élevées au dessus de chaque graduation d'un intervalle de temps donné est proportionnelle à la distance parcourue par le mobile pendant cet intervalle de temps.
On remarquera quil en arrive à létude du mouvement rectiligne uniformément accéléré de vitesse nulle au temps zéro, ce quil dessine et calcule à partir dun triangle (et trapèzes) et découvre que « la distance parcourue est proportionnelle au carré du temps mis pour la parcourir ». Il est vraisemblable que Galilée en ait eu connaissance.
1452-1519 Léonard de Vinci :
Léonard de Vinci est incontestablement un génie technologique. Il vante la prépondérance absolue de lexpérience par rapport à la spéculation pure et au savoir livresque mais qui néanmoins nest quune assise pour la construction de la théorie qui la supplante et la remplace. Son apport essentiel réside dans lanalyse des cas concrets et des dessins qui les accompagnent : cest plus un ingénieur quun théoricien. Très influencé par les idées dAristote, on ne lui doit pas de découvertes théoriques mais une étude intéressante des chocs ou percussions. Léonard, contrairement à Oresme, ne pensait pas que cétait lair qui donnait au corps son impetus mais quau contraire, lair ralentissait lobjet. Il en voulait pour preuve le sifflement de la pierre lancée en lair quil analysait comme un frottement.
Dans son étude des poids et réaction du support, Léonard sapproche du principe de légalité de laction et de la réaction. 1537 Niccolo Fontana dit Tartaglia (1499-1557) :
Mathématicien connu pour sa résolution de léquation du 3ième degré (cas particuliers).
Tartaglia écrit « La Nova Scientia » en (1537) sur l'application des mathématiques à l'artillerie. Il décrivit de nouvelles méthodes balistiques et de nouveaux instruments ainsi que des tables de tir.
Prisonnier de son éducation (Aristote), il lui est difficile daccepter une réalité quil pressent. Dans ce livre il reste très traditionnaliste en considérant la trajectoire comme une droite. Quelques années plus tard, essayant de mieux tenir compte de lexpérimentation des artilleurs, dans « Quesiti et Inventioni Diverse » en 1546, il abandonne laxiome dincompatibilité des deux mouvements « naturel » et « violent » pour indiquer que les parties dapparence rectiligne sont légèrement incurvées mais de façon insensible.
Ses remarques restèrent ignorées de ses contemporains, cest dommage.
Jai trouvé son « General trattato di numeri et misure » à
HYPERLINK "http://www.xs4all.nl/~adcs/Huygens/varia/biblz.html" http://www.xs4all.nl/~adcs/Huygens/varia/biblz.html pas ses deux autres livres alors que sur le site de la Biblioteca Nazionale Centrale Firenze HYPERLINK "http://www.bncf.firenze.sbn.it/" http://www.bncf.firenze.sbn.it/ ils ont pas mal dautres livres en PDF.1540-1603 François Viète :
En 1591, il publie un nouvel ouvrage de 18 pages, "In artem ananyticam isagoge" qui représente une avancée considérable pour lalgèbre. Avec Viète, le calcul littéral trouve ses bases dans le but de résoudre tout problème. Les grandeurs cherchées sont désignées par des voyelles et les grandeurs connues par des consonnes.
La notion déquations y est longuement développée et une théorie sérieuse commence à se mettre en place. Avant les équations étaient résolues de façon géométrique. Les identités remarquables, par exemple, reposant par le passé sur des concepts géométriques deviennent avec Viète des formules proprement dites.
1583 Garcia de Palacios :
Auditeur à laudiencia de Guatemala puis à celle de Mexico, rédige ses dialogues militaires dont le troisième livre traite « de la nature et composition de la poudre, du bon usage des arquebuses et de lartillerie et des règles de perspective avec quelques instruments nécessaires »
1586 Louis Collado :
Il écrit (en italien) « Pratica manuale de artigleria ». Six ans plus tard, une édition augmentée est publiée en espagnol à Milan sous le titre de « Practica de artilleria en que se trata del arte militar, de los maquinas de los antiguos, de la invençion de la polvora y un examen de artilleros ». Remarque : si son travail est avant tout le fruit de sa propre expérience il reprend et critique les travaux de Tartaglia sur la balistique.
1590 Thomas Harriot (1560-1621) :
Mathématicien et astronome anglais a écrit quatre manuscrits sur la balistique : « Shooting in ordnance » (remarque : ordnance se traduit par artillerie) semble consacré au recueil de données bibliographiques ou expérimentales sur le tir au canon, le jet ou la chute de projectiles, lignition de la poudre et la « force » du tir selon langle de hausse. « Propositiones elementares de motu » contient des calculs de séries (somme infinie de fractions formées selon une régularité donnée) à partir de diagrammes de mouvement varié qui évoquent les représentations géométriques du mouvement et des changements proposées par Nicole Oresme, et commente des passages du Liber de triplici motu du régent portugais Alvarus Thomas.« For oblique motions » applique les méthodes exposées par Alvarus à la composition de deux mouvements, lun naturel, lautre violent. Le cahier se conclut sur le calcul des portées pour différentes hausses. « Velocities & randons » applique la théorie dynamique du cahier « For oblique motions » au calcul des vitesses initiales des projectiles pour différentes armes, en se fondant sur les mesures de Bourne et de Capobianco. Un livre le concernant aurait dû sortir en 2006
peut être sous le titre « journal de la renaissance 4 » de P. Brioist éditions BREPOLS.
1602 Galilée ou Galileo Galilei (1564-1642) :
A 35 ans, Galilée étudie les mouvements et décrit la chute des corps. Du haut de la tour de Pise, il lâche des balles de plomb, de bois, de papier et découvre que, quelle que soit leur masse, tous les corps sont animés du même mouvement. Il est également le premier à énoncer le principe de relativité. Lorsquon est à bord dun navire qui vogue en ligne droite et à vitesse constante, on ne ressent aucun mouvement. On est immobile par rapport au navire mais le navire se meut par rapport à la Terre. En fait, rien nest absolument immobile et tout dépend du référentiel dans lequel on se place.
1588-1648 Marin Mersenne :
Abbé, philosophe et physicien, il se passionna pour les mathématiques de son époque. Il établit une correspondance avec les plus grands physiciens et mathématiciens comme Huygens, Roberval, Torricelli, Pascal, Fermat et, tout particulièrement, Descartes qui permet d'établir une sorte de journal de la recherche scientifique de son époque. En physique, ses travaux portent essentiellement en mécanique galiléenne (tendant à confirmer la rotation de la Terre sur elle-même) et en acoustique.1596-1650 René Descartes :
Mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la philosophie moderne.
Le principal apport de Descartes en mathématique est l'application des méthodes de l'algèbre (réformée par Viète au début du siècle) aux problèmes de la géométrie, pratiqués presque sans changement depuis l'antiquité.1598-1647 Bonaventura Cavalieri :
Bonaventura Francesco Cavalieri (en latin, Cavalerius) précurseur du calcul intégral.
Cavalieri a créé la géométrie des indivisibles (dont Roberval lui disputa cependant l'invention) : il concevait les lignes comme formées d'un nombre infini de points ; les surfaces, d'une infinité de lignes et, les solides, d'une infinité de surfaces. Il réussit, à la faveur de cette méthode à résoudre un grand nombre de problèmes.1610 Diego Ufano :
Il écrit un traité considéré comme exemplaire (il sera réédité, cité et repris à de nombreuses occasions).
Dans sa première édition, il considère, suivant en cela létude de Tartaglia quil cite, un mouvement pratiquement constitué de deux droites, la première selon laxe du tir puis verticale « avec toutefois un petit bout indéterminé ».
Remarque : de sa conception dune trajectoire est tiré un sujet de bac de physique centre étranger en juin 2003 avec un prolongement « Résolution numérique de léquation du mouvement dun projectile dartillerie, par la méthode dEuler, en utilisant un logiciel tableur, et en modélisant la résistance de lair par une force opposée au vecteur vitesse et proportionnelle au carré de la vitesse ». HYPERLINK "http://www.ac-nantes.fr/peda/disc/scphy/html/charg0p.htm" www.ac-nantes.fr/peda/disc/scphy/html/charg0p.htm.
Dans une réédition, il semble sen affranchir et se laisser guider par ses observations et son expérience, il augmente notablement la partie « mixte ».1608-1647 Evangelista Torricelli :
Physicien et mathématicien italien qui pour la première fois invente la notion d'enveloppe et, trouve la solution complète de la chute libre « avec violence » ainsi que la description complète de la parabole de sûreté, via une méthode peu connue de lépoque (Cavalieri).
Malheureusement, il ne compléta pas son travail : sans introduction de la résistance de l'air, la notion d'asymptote n'existe pas ; et son travail est la risée des artilleurs (les bombardieri).
Proposition de Torricelli :
Soit un boulet B (lancé à une vitesse initiale Vo), tombant dans le vide, dans un champ de pesanteur uniforme g.
Sa trajectoire sera dans le plan vertical (O, Vo, g).Selon la célèbre loi de la chute libre énoncée en 1602 par Galilée (1568-1642), son mouvement ne dépend ni de sa masse, ni de sa densité.
Soit O lorigine du repère et B le point symbolisant le boulet, le mouvement est régi par la seule équation : EMBED Equation.DSMT4 , qui est l'équation d'une parabole.
Pour un module V0 donné, quelle que soit la direction donnée à la « hausse » du canon, certains points seront hors de portée du canon. L'ensemble de ces points forme une région du plan limitée par une courbe (C) qui « entoure » le point O ; au-delà de (C), « on est en sûreté », d'où le nom de la courbe.
Dans le cas présent, sans résistance de lair, (C) est une parabole, d'où le nom : parabole de sûreté.
1616-1703 John Wallis :
En 1649, après avoir perfectionné ses connaissances en mathématiques dans les livres d'Oughtred, il accède à la chaire de géométrie d'Oxford qu'il occupera jusqu'à sa mort.
Wallis est surtout réputé pour avoir perfectionné la méthode des indivisibles de Cavalieri, ouvrant ainsi la voie au calcul infinitésimal de Newton.
En 1687 dans « Transactions philosophiques » il étudie le mouvement dun projectile dans un milieu résistant.1643-1727 Isaac Newton :
Sir Isaac Newton, philosophe, mathématicien, physicien et astronome anglais né le 4 janvier 1643 du calendrier grégorien au manoir de Woolsthorpe près de Grantham et mort le 31 mars 1727 à Kensington. Figure emblématique des sciences, il est surtout reconnu pour sa théorie de la gravitation et la création, en concurrence avec Leibniz, du calcul infinitésimal.
En 1687, il publie son uvre majeure : « Philosophiae naturalis principia mathematica ». Cette uvre marque le début de la mathématisation de la physique. Newton y expose le principe dinertie, la proportionnalité des forces et des accélérations, légalité de laction et de la réaction, les lois du choc, il y étudie le mouvement des fluides, les marées, etc.Depuis Newton, on applique le principe fondamentale de la dynamique :
L'application d'une force EMBED Equation.DSMT4 sur un objet, modifie la vitesse de ce dernier.
L'accélération résultante EMBED Equation.DSMT4 , de même direction et de même sens que la force appliquée, lui est proportionnelle. Elle est inversément proportionnelle à la masse de lobjet.
Ce qui peut être résumé dans la relation EMBED Equation.DSMT4 .
Dans « Philosophiae naturalis principia mathematica » livre 2 section 7 proposition 40, il a essayé de donner une théorie de la résistance de lair.
1646-1716 Gottfried Wilhelm von Leibniz :
Créateur (en concurrence avec Newton) du calcul intégral.
Les travaux mathématiques de Leibniz se trouvent dans le Journal des savants de Paris, les Acta Eruditorum de Leipzig (qu'il a contribué à fonder) ainsi que dans son abondante correspondance avec Huygens, les frères Bernoulli, le marquis de lHopital, Varignon, etc.
L'algorithme différentio-intégral achève une recherche débutée avec la codification de l'algèbre par Viète et l'algébrisation de la géométrie par Descartes. Tout le XVIIe siècle étudie l'indivisible et l'infiniment petit.
Comme Newton, Leibniz domine tôt les indéterminations dans le calcul des dérivées.
De plus il développe un algorithme qui est l'outil majeur pour l'analyse d'un tout et de ses parties, fondé sur l'idée que toute chose intègre des petits éléments dont les variations concourent à l'unité. Ses travaux sur ce qu'il appelait la "spécieuse supérieure" seront poursuivis par les frères Bernoulli, le marquis de l'Hospital, Euler et Lagrange.
Dans l'histoire du calcul infinitésimal, le procès de Newton contre Leibniz est resté célèbre. Newton et Leibniz avaient trouvé l'art de lever les indéterminations dans le calcul des tangentes ou dérivées. Mais Newton a publié tard (son procès intervient en 1713, presque 30 ans après les publications de Leibniz: 1684 et 1686) et, surtout, Newton n'a ni l'algorithme différentio-intégral fondé sur l'idée que les choses sont constituées de petits éléments, ni l'approche arithmétique nécessaire à des différentielles conçues comme "petites différences finies".
Dans Acta eruditorum en 1689 il publie un essai de prise en compte de la résistance de lair sur la trajectoire dun projectile.
1685 François Blondel :
Il serait le premier à décrire la bonne trajectoire dans son « Art de jeter les bombes »
Il fait de nombreuses citations de Tartaglia, par exemple la conception de cette équerre des canonniers.
Juste après, il cite Diego Ufano,
pour qui la trajectoire serait celle du boulet ci-contre.
Blondel, décrit comment Ufano, interprète la trajectoire : « il y distingue trois mouvements, dont le premier quil appelle violent est en ligne droite, le second quil appelle mixte est en ligne courbe, & le troisième quil appelle pur ou naturel est aussi en ligne droite ».
Un peu plus loin il indique : « ce sentiment lui est commun avec la plupart des ingénieurs et canoniers (écrit avec un seul n) Italiens et Allemans (sans d) qui nont pas compris que la gravité dun corps nest jamais oisive ».
Il lhonore pour plusieurs de ses découvertes, entre autre pour lindication des tirs équivalents pour des angles de tirs symétriques de langle 45 °.
1667-1748 Jean Bernoulli :
Il professa les mathématiques à Groningue (1695), puis à Bâle, après la mort de son frère Jacques (1705), et devint associé des Académies de Paris, de Londres, de Berlin et de Saint-Pétersbourg. Formé par son frère Jacques Bernoulli, il avait longtemps travaillé de concert avec lui à développer les conséquences du nouveau calcul infinitésimal inventé par Gottfried Leibniz ; mais il s'établit ensuite entre eux, une rivalité qui dégénéra en inimitié.
Il a aussi contribué dans beaucoup de secteurs aux mathématiques y compris le problème d'une particule se déplaçant dans un champ de gravité. Il trouva l'équation de la chaînette en 1690 et développa le calcul exponentiel en 1691.
En 1721 il donne une solution du problème de la trajectoire dun boulet par quadrature de courbes transcendantes (modèle choisi : EMBED Equation.DSMT4 ). Solution théorique non applicable par les artilleurs.
Il fut le professeur de Leonhard Euler.1707-1783 Leonhard Euler :
Mathématicien et physicien suisse. Il est considéré comme le mathématicien le plus prolifique de tous les temps. Il domine les mathématiques du XVIIIe siècle et développe très largement ce qui s'appelle alors la nouvelle analyse. Complètement aveugle pendant les dix-sept dernières années de sa vie, il produit presque la moitié de la totalité de son travail durant cette période.
La « méthode dEuler » est au programme de première et terminale S.
Il écrit un traité dartillerie en 1745.
En dehors de quelques pages, je nai pas pu le consulter.
1752-1833 Adrien-Marie Legendre :
Il fit dimportantes contributions à la statistique, à la théorie des nombres, aux algèbres abstraites et à l'analyse.
Une grande partie de son travail fut perfectionné par d'autres : son travail sur les racines des polynômes inspira la théorie de Galois ; le travail de Abel sur les fonctions elliptiques fut construit sur celui de Legendre ; certains travaux de Gauss en statistique et en théorie des nombres complétèrent ceux de Legendre.
Il écrit un traité dartillerie lors de son passage comme professeur à lécole dartillerie.
Ce serait le premier à utiliser un repère lié au projectile.1781-1840 Siméon-Denis Poisson :
En 1798, à peine âgé de dix-sept ans, il est reçu premier à l'Ecole polytechnique. Il attire alors l'attention de Lagrange et Laplace qui voient en lui un brillant mathématicien.
Il fut examinateur à lécole dartillerie.
Il a publié dans le journal de lEcole Polytechnique en 1838-1839 un mémoire sur le mouvement dun projectile dans un milieu résistant en tenant compte dune résistance proportionnelle au carré de la vitesse dans le cas dun projectile sphérique.
Dans le tome 3 du « Mémorial de lartillerie » il publie « Formules de probabilité relatives au résultat moyen des observations » qui est la théoriedes erreurs de Laplace, et notamment la « loi des erreurs » en artillerie qui deviendra la loi normale.
En probabilité, la loi de Poisson porte son nom.
1873 (capitaine) Jouffret :
Capitaine dartillerie à lécole de Metz, il enseigne les probabilités liées au tir, étudie la dispersion des tirs. Il écrit dans son cours « Si on tire un grand nombre de coups et quensuite on aille placer lun au dessus de lautre, en chaque point du sol, tous les projectiles tombés en ce point, la surface enveloppe de ces projectiles sera semblable à une cloche ».
Cette image sera reprise par Joseph Bertrand en 1887 dans son livre de calcul des probabilités. Elle aura un succès tel que lon oubliera la « loi des erreurs » de Laplace pour ne plus parler que de courbe en cloche.
Dautres ont participé
comme J. dAlembert, F.Siacci (gros travail, réalisation de tables de tir, souvent repris et cité), J. H. Lambert (développements en séries 1767), B. Riemann, I. Didion, F. Hélie, je ne les ai pas tous cités, jen ai forcément oublié, quils me pardonnent.
Malgré ce qui précède, nayant pas de loi simple, les artilleurs continueront à utiliser les données « empiriques » écrites dans leurs tables.
Fin 1800, début 1900, certains auteurs (mathématiciens, physiciens, ingénieurs et/ou artilleurs) écrivent des traités de « balistique extérieur » qui résolvent correctement le problème de la trajectoire dun boulet de canon (par exemple Charbonnier en 1921).
Il faut remarquer que par la suite, de nouvelles conditions de tir ont demandé de nouveaux calculs.
Le canon qui bombarda Paris (1918) : longueur 36 m, poids 750 t, calibre 210 mm, obus 104 à 106 kg, vitesse déjection 1600 m/s, porté 126 km !
Par exemple, le canon qui bombarda Paris, appelé à tort « la grosse Bertha » (cest pas le même) pour qui la hauteur atteinte par le projectile lui fait passer des couches dair moins dense et change la portée attendue, les rayures intérieures du canon produisent un effet déviant lobus (effet Magnus), enfin, leffet Coriolis sapplique aussi à ce projectile sur des tir à très longue distance (erreur de tir pouvant atteindre entre 3 à 5 km de déviation sur le côté, en dehors de leffet supplémentaire pouvant être induit par le vent !).
Aujourdhui, avec une modélisation sur ordinateur, les calculs sont effectués rapidement, de façon satisfaisante, à condition de savoir programmer les calculs à effectuer !
Résolution du problème en quatre parties :
La première, cest un cas décole, comme Torricelli, considère le projectile dans le vide. On sait que les résultats sont très éloignés de la réalité (lexpérimentation des artilleurs).
La seconde fait intervenir la résistance de lair, en considérant que cette force est proportionnelle à la vitesse du projectile. Cest beaucoup plus proche des résultats de lexpérimentation, lallure de la courbe obtenue peut être considérée comme un bon modèle. Nous savons que ce modèle sapplique bien pour des vitesses dobjets animés dune faible vitesse (v ( 10 m/s), ce qui nest pas le cas considéré.
La troisième correspond davantage à la réalité, on constate en effet par comparaison avec la réalité quune résistance de lair proportionnelle au carré de la vitesse du projectile fait partie « des bons modèles ». Le calcul est alors nettement plus compliqué !
Cette troisième partie donne lieu à trois subdivisions : la première concerne le tir vertical, la seconde résout le problème par lapplication de la méthode dEuler, enfin, la troisième utilise le calcul formel comme support de résolution.
Pour la quatrième partie, cest une remarque concernant la façon de procéder suite à une erreur qui peut apparaitre lors de lintégration des fonctions trigonométriques.
Remarques :
il nexiste pas UN modèle mais plusieurs qui dépendent des conditions : vitesse du projectile en sortie du canon de larme, forme du projectile, longueur du canon de larme et forme de ses rayures
Il est généralement admis que les modèles de type kvn, pour n=2 ou 3, 4, 5 voir même av2+bv3 sont de bons modèles selon la vitesse déjection du projectile. Dans les conditions du problème (calcul de la portée, calcul dune flèche, munition simple, vitesse initiale inférieure ou égale à 250 m/s) kv2 semble être LE modèle utile.
lutilisation dun logiciel de calcul formel permet non seulement dessayer de nous aider à trouver des réponses aux questions que nous nous posons, en plus, il permet de récupérer directement par copier-coller le texte ou les formules des calculs utilisés.
Le problème est traité dans les conditions suivantes : larme utilisée est un revolver à poudre noire (reproduction du Remington New Army 1858), calibre .45 (soit un diamètre de 11,55 mm ou 1,155 10-2 m). v0=220 m/s = vitesse de sortie de la balle du canon. Masse de la balle (ronde en plomb) : 9,5 g = 9,5 10(3 kg). Surface frontale de la balle : ½ sphère de rayon 5,775 10-3 m : EMBED Equation.DSMT4 .
On prendra EMBED Equation.DSMT4 avec k1=0,001. EMBED Equation.DSMT4 avec EMBED Equation.DSMT4 =1,25 kg/m3 masse volumique de lair (qui varie de 1,2 à 1,3 kg/m3 au niveau de la mer), S la surface frontale du projectile, Cx=0,25 pour une balle ronde, le coefficient de pénétration dans lair (0,25 à 0,20 pour une bonne voiture) et v la vitesse du projectile. On prendra donc EMBED Equation.DSMT4 .
Remarques :
habituellement, pour résoudre les équations différentielles de ce problème on procède par séparation des variables et intégration (recherche dune primitive). On peut aussi appliquer la méthode de résolution de léquation différentielle y+ay=b au programme de la classe de terminale S, au moins pour les deux premières parties,
depuis Bernoulli et Legendre on utilise dans le cadre de la résolution générale un repère lié au projectile (dit de Fresnel), ce qui nest pas retenu ici,
larme utilisée est en réalité de calibre .44 (soit un 11,43) dans laquelle il faut mettre en force des balles en plomb de calibre .45 ! Cela permet un bon ajustement du projectile au canon. Seule une très faible partie de plomb est enlevée lors du chargement (donc la masse à prendre en considération est celle des balles de .45).
II. Résolution du problème dans le vide (Torricelli) :
Les calculs « classiques » depuis Torricelli, calculs « dans le vide », sans frottement.
A t=0 le projectile est lancé à la vitesse V0 selon un angle að (en degrés) avec l horizontale. On considère que seul le poids sapplique à la masse M du projectile.
Dans un repère orthogonal, la décomposition sur les axes [ox) et [oy) permet décrire :
EMBED Equation.DSMT4 où EMBED Equation.DSMT4 .
En un point M quelconque de la trajectoire nous avons :
Horizontalement :
À la main :
EMBED Equation.DSMT4 avec m(0 où ax représente la valeur absolue de laccélération horizontale.
Ce qui permet décrire EMBED Equation.DSMT4 . Par intégration directe : vx(t)=K1x où K1x est une constante.
Détermination de la constante : v0x=vx(0)=v0(cos(að). Donc vx(t)=v0(cos(að).
Alors EMBED Equation.DSMT4 qui par intégration donne EMBED Equation.DSMT4 . Les conditions initiales permettent d écrire EMBED Equation.DSMT4 (1).
Avec un logiciel de calcul formel, recherche de primitives et intégrales :
Remarque : on utilise ici un logiciel de calcul formel bien que les élèves soient capables deffectuer les différents calculs, un peu pour son apprentissage et, surtout pour mettre en place un modèle de procédure dutilisation.
Maple est fréquemment utilisé dans lenseignement supérieur. Il est « inabordable » en lycée (question de prix). Jutilise ici TI-Nspire qui correspond à ce que lon obtient avec Dérive ou une calculatrice formelle TI89 ou V200 (puis sans doute la TI-Nspire) que possèdent certains élèves de Tale S.
Utilisation dune « boite noire », résolution déquations différentielles par calcul formel :
Tout cela correspond, avec parfois une écriture « inattendue », à ce qui est calculé dans le texte ci-dessus, pour la méthode utilisée : résolution par intégration après séparation des variables.
Verticalement :
À la main :
EMBED Equation.DSMT4 avec m(0, où ay représente la valeur absolue de laccélération verticale et g=9,81 m.s-2 une approximation de laccélération de la pesanteur terrestre.
Ce qui permet décrire EMBED Equation.DSMT4 . Par intégration directe : vy(t)=-g(t+K1y où K1y est une constante.
Détermination de la constante : EMBED Equation.DSMT4 . Donc EMBED Equation.DSMT4 .
Alors EMBED Equation.DSMT4 qui par intégration donne EMBED Equation.DSMT4 .
Les conditions initiales permettent décrire EMBED Equation.DSMT4 (2).
En éliminant t entre les expressions (1) et (2), on trouve EMBED Equation.DSMT4 (3).
Avec g=9,81 (m/s²), (=45 (en degrés) et v0=220 (m/s).
Dans ce cas, on remarque que le résultat est indépendant de la masse, de la taille (surface frontale) du projectile.
Avec un logiciel de calcul formel, recherche de primitives et intégrales :
Utilisation dune « boite noire », résolution déquations différentielles par calcul formel :
Écriture de y en fonction de x :
Remarque : dhabitude le logiciel écrit certaines conditions lors de lécriture des solutions dune équation. Ici il semble ne pas sintéresser aux quantités en dénominateur, EMBED Equation.DSMT4 . Il est vrai que dans les conditions du problème nous savons que cest le cas (le logiciel non !).
Application numérique : (calcul formel)
La représentation graphique :
Insérer une page « graphiques et géométrie ». En mode coordonnées polaires (paramétriques), plage des paramètres : x variant de 0 à 5 000, y de 0 à 1 600, le temps varie lui de 0 à 32 s. Prendre un pas de 1. Recopier les formules obtenues (copier-coller), ne pas oublier dindiquer la valeur des coefficients, angle a (vérifier que lon est en mode degré), g et v0. Valider.
En mode trace nous obtenons laffichage de deux points caractéristiques : la portée, 4933 m au temps 31,71 s (le temps nest pas affiché avec les coordonnées visibles sur le graphique, pourtant il est bien présent lorsque lon est en train dutiliser le mode trace), ainsi que laltitude atteinte lors de ce tir 1233 m au temps 15,8 s.
On fera remarquer que pour deux angles symétriques vis à vis de 45° la portée est identique (dans ce cas).
Ci-contre deux tirs, lun à 35°, lautre à 55°, même portée.
Remarque : On aurait pu bien évidemment tracer y=f(x). Après tout, travailler en mode paramétrique est une bonne chose.
Calcul de la portée (distance maximale de tir) : il faut y=0. La solution triviale x=0 noffre pas dintérêt pour le problème.
Lexpression EMBED Equation.DSMT4 est la plus pratique à utiliser.
En factorisant, EMBED Equation.DSMT4 , doù EMBED Equation.DSMT4 ou EMBED Equation.DSMT4 . Cest le temps de vol du projectile pour la plus grande distance atteinte.
Reporter cette valeur dans lautre équation : EMBED Equation.DSMT4
Or EMBED Equation.DSMT4 donc finalement EMBED Equation.DSMT4 .
Cette expression est maximale pour sin(2að) maximum, soit að=45°.
Remarque : il est aussi possible d utiliser le logiciel ou une calculatrice formelle :
C est bien l expression trouvée précédemment (remplacer 2 sin(að)cos(að) par sin(2að)).
Avec les résultats obtenus et d après les données du problème il est possible de calculer :
Portée : EMBED Equation.DSMT4 . Cest beaucoup pour les utilisateurs (expérimentateurs), totalement irréaliste.
Temps de vol : EMBED Equation.DSMT4
Altitude maximale (dans le cas de portée maximale) : elle sera atteinte lorsque la vitesse ascensionnelle sannule. EMBED Equation.DSMT4 pour EMBED Equation.DSMT4
Doù laltitude atteinte lors de ce tir :
EMBED Equation.DSMT4
Tir vertical, altitude maximale : EMBED Equation.DSMT4 puis EMBED Equation.DSMT4
Ce qui est totalement irréaliste.
On comprend que les artificiers de lépoque de Torricelli se soient moqués de lui.
III. Influence de lair, force proportionnelle à la vitesse :
On considère une force de réaction due à lair proportionnelle à la vitesse. Ce qui est vrai pour un mobile à faible vitesse (véhicule lent, parachutiste, boule de pétanque, boulle de pétanque par exemple).
A t=0 le projectile est lancé à la vitesse V0 selon un angle að (en degrés) avec l horizontale.
Dans un repère orthogonal, a décomposition sur les axes [ox) et [oy) permet d écrire :
EMBED Equation.DSMT4 où EMBED Equation.DSMT4 .
La force de réaction de l air est proportionnelle à la vitesse.
Le modèle choisi considère EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 où EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
Remarque : pour les calculs manuels ainsi que pour comparer avec les formules données par le logiciel de calcul formel, dun vieux grimoire du millénaire dernier que jutilisais en tant quétudiant, jextrais les formules suivantes (à donner aux élèves) :
La première formule sutilisant y compris pour n négatif (ce qui nest pas habituel pour les élèves de lycée), la formule N° 27 demande un commentaire supplémentaire : on obtient cette forme lorsque l on travaille en radians, en degré un coefficient À/180 intervient alors.
Enfin, on remarquera dans les formules 28 et 17, l ancienne écriture Log pour ln.
La résolution : en un point M quelconque de la trajectoire nous avons :
Horizontalement :
À la main :
EMBED Equation.DSMT4 avec m(0 où ax représente la valeur absolue de laccélération horizontale, k un coefficient fonction du projectile (on prendra k=0,001 kg(s-1).
Ce qui permet décrire EMBED Equation.DSMT4 . Puis séparation des variables EMBED Equation.DSMT4 , avec k et m positifs.
Remarque : dans les conditions du problème, EMBED Equation.DSMT4 donc EMBED Equation.DSMT4 .
Par intégration : EMBED Equation.DSMT4 +K1x. Daprès les conditions initiales K1x= EMBED Equation.DSMT4 .
Alors EMBED Equation.DSMT4 sécrit EMBED Equation.DSMT4 .
Puis EMBED Equation.DSMT4 , soit EMBED Equation.DSMT4 et finalement EMBED Equation.DSMT4 .
Une nouvelle intégration : EMBED Equation.DSMT4 .
Comme x(0)=0, EMBED Equation.DSMT4 . Ce qui avec une mise en facteur en tenant compte de EMBED Equation.DSMT4 sécrit : EMBED Equation.DSMT4 .
Avec un logiciel de calcul formel, recherche de primitives et intégrales :
utilisation dune « boite noire », résolution déquations différentielles par calcul formel :
Verticalement :
À la main :
EMBED Equation.DSMT4 avec m(0, où ay représente la valeur absolue de laccélération verticale et g=9,81 m.s-2 une approximation de laccélération de la pesanteur terrestre.
Ce qui permet décrire EMBED Equation.DSMT4 , puis EMBED Equation.DSMT4 .
Equation différentielle aux variables séparées. EMBED Equation.DSMT4 .
Pour t=0 EMBED Equation.DSMT4 doù EMBED Equation.DSMT4 et donc EMBED Equation.DSMT4
Que lon écrit EMBED Equation.DSMT4
Soit : EMBED Equation.DSMT4 . On cherche v, donc EMBED Equation.DSMT4 soit EMBED Equation.DSMT4 .
Puis, EMBED Equation.DSMT4 et, finalement EMBED Equation.DSMT4 .
Ce qui est encore une équation différentielle aux variables séparées.
EMBED Equation.DSMT4 . Pour t=0 y(0)=0 donc EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
y en fonction de x :
EMBED Equation.DSMT4
Avec g=9,81 m/s², m=9,5 10-3 kg, k = k1=0,001 kg(s-1, (=45 (en degrés) et v0=220 m/s.
Avec un logiciel de calcul formel, recherche de primitives et intégrales :
Remarque : on est parfois surpris (par la forme) du résultat, quune réécriture permet de prendre une forme similaire aux résultats trouvés.
Utilisation dune « boite noire », résolution déquations différentielles par calcul formel :
Écriture de y en fonction de x :
Application numérique : (calcul formel)
La portée est donc de 1348 m (pour un tir à 45°) et il faut 23,13 s au projectile pour parcourir cette distance.
La représentation graphique :
Copier directement les formules dans léditeur de fonctions pour tracer la courbe représentative. Ne pas oublier dindiquer la valeur des coefficients a, g, m, k et v0. Valider.
Jai tracé cette courbe dans le même repère que la précédente pour comparaison.
Le résultat est remarquable. On se rapproche très fortement de la réalité (expérimentation).
On peut remarquer une très grande différence de portée entre les calculs des première et deuxième parties. Lallure de la courbe est très différente de la parabole précédente, assez semblable à ce que Diego Ufano en 1610 à pu déterminer (avec quelques erreurs) par expérimentation.
[On recherchera les mêmes questions que précédemment : portée, altitude maximale
, directement sur la courbe tracée par la machine, les résultats ne sont de toute façon quune certaine approximation de la réalité, cest indicatif sans plus.]
On trouve environ 1350 m de portée pour un temps de vol de 23,1 secondes. Une altitude maximale (pour ce tir) de 608 m à une distance de 923 m après 9,1 s.
La trajectoire nest pas symétrique par rapport à son sommet. Il faut un peu plus de 900 m pour la montée et, seulement un peu plus de 400 m pour la descente.
Il est conseillé de vérifier que pour des angles proches de 45° la distance est ou non inférieure.
Pour un angle a= 28 ° la portée est plus importante. 1520 m après 16,5 s de vol.Remarque : la préversion dont je dispose na pas encore toutes les fonctions prévues. Je ne dispose pas de deux outils quil est intéressant dutiliser ici.
Dune part la possibilité de tracer une famille de courbes, dautre part des outils mathématiques liés aux représentations graphiques (maximum, minimum,
). Cela devrait être réglé avec la prochaine version, prévue le 1er septembre 2007.
Provisoirement, avec une V200 :
Construire une liste de valeurs (une suite de nombres) à examiner pour langle (variable a), voir écran de gauche.
Faire tracer la courbe sans renseigner ce paramètre. Utiliser le menu F5 Math pour rechercher le point le plus éloigné du point de départ.
On remarquera quil nest pas possible de décrire chaque courbe avec « trace » car une seule est active (la courbe N°2 ici, pour UNE SEULE valeur du paramètre).IV. Influence de lair, force proportionnelle au carré de la vitesse, Cas dun tir vertical :
Létude préalable du tir vertical permet de travailler dans un premier temps sur un problème (dapparence !) plus simple que le cas général envisagé. Elle permet de plus de pouvoir répondre à la question : « une balle tirée verticalement est-elle dangereuse ? » (sous entendu, redescend-elle aussi vite quelle est montée).
Remarques :
Dans le cas de la descente les calculs mapparaissent trop compliqués pour des élèves de lycée, y compris en utilisant laide du logiciel de calcul formel. Il serait intéressant de procéder par expérimentation, comme le fait Jean Louis Balas dans une fiche « F1n Résistance de lair, cinématique Bac Pro » avec des filtres à café. Puis donner la loi déterminée aux élèves.
on calcule les différents résultats avec des angles en degrés. Lors des intégrations ou de la résolution déquations différentielles, un coefficient EMBED Equation.DSMT4 apparaitra dans certaines formules qui en paraitront dautant plus compliquées. [on peut dire aux élèves quil y a donc de bonnes raisons de shabituer à travailler en radians].
A t=0 le projectile est lancé verticalement à la vitesse V0.
Dans un repère orthogonal, la décomposition sur les axes [ox) et [oy) permet décrire :
EMBED Equation.DSMT4 où EMBED Equation.DSMT4 .
La force de réaction de lair est proportionnelle au carré de la vitesse.
Le modèle choisi considère EMBED Equation.DSMT4 .
En un point M quelconque de la trajectoire nous avons :
A. La montée :
À la main :
Rappel : formules N° 27 et 28 du « grimoire » :
Il faut distinguer les deux cas, montée puis descente :
A la montée la pesanteur et la réaction due à lair sont dirigées dans le même sens, vers le bas. La formule du « grimoire » qui sera à employer est la formule N° 27.
A la descente la pesanteur est dirigée vers le bas alors que la réaction due à lair est dirigée vers le haut. La formule du « grimoire » qui sera à employer est alors la formule N° 28.
EMBED Equation.DSMT4 avec m(0, où ay représente la valeur absolue de laccélération verticale et g=9,81 m.s-2 une approximation de laccélération de la pesanteur terrestre.
Ce qui permet décrire EMBED Equation.DSMT4 , puis EMBED Equation.DSMT4 où m, k et g sont tous positifs.
Pour une intégration (recherche de primitive), en degrés, donc avec un coefficient EMBED Equation.DSMT4 supplémentaire :
EMBED Equation.DSMT4 est de la forme (N° 27) EMBED Equation.DSMT4 .
EMBED Equation.DSMT4 .
Détermination de la constante :
pour t=0 et EMBED Equation.DSMT4 doù EMBED Equation.DSMT4 .
On obtient :
EMBED Equation.DSMT4
Il faut isoler v pour obtenir une nouvelle équation différentielle aux variables séparées
faire passer les coefficients EMBED Equation.DSMT4 à droite puis prendre la tangente des deux quantités.
EMBED Equation.DSMT4
Remarque : il est possible de tracasser les élèves pour leur faire obtenir des formules plus « agréables » à partir des formules daddition des sinus cosinus (et tangente) vues en première.
(Faire se) rappeler aux élèves que EMBED Equation.DSMT4
leur faire déduire que EMBED Equation.DSMT4 .
Indiquer que le calcul sera fait en radians, pour ne pas compliquer les calculs avec les coefficients EMBED Equation.DSMT4 .
Nous venons de calculer v :
EMBED Equation.DSMT4 , réécrivons la formule sans le coefficient EMBED Equation.DSMT4 dû au travail en degré et, avec une petite astuce (pour obtenir m.g partout) :
EMBED Equation.DSMT4
Reconnaître la forme tan(a-b) et appliquer :
EMBED Equation.DSMT4 .
Soit EMBED Equation.DSMT4
Forme « un peu plus simple » que la précédente.
Qui permet de remarquer que la vitesse sannule pour EMBED Equation.DSMT4 ,
soit EMBED Equation.DSMT4 (ATTENTION : ici les angles sont en radians !).
Ce qui peut se calculer avec les données de lénoncé : g=9,81 (m/s²), (=45 (en degrés) soit EMBED Equation.DSMT4 (en radians) et v0=220 (m/s), EMBED Equation.DSMT4 . Alors t_montée=7,25 s.
Nous avions : EMBED Equation.DSMT4
Ce qui peut sécrire EMBED Equation.DSMT4 qui est encore une équation différentielle aux variables séparées. Que lon traite par intégration de chacun des deux côtés, avec lindication : EMBED Equation.DSMT4 (quand on travaille en degrés, toujours à une constante près).
On devrait donc avoir : EMBED Equation.DSMT4 (à une constante près) avec EMBED Equation.DSMT4 et y(0)=0.
Avec quelques simplifications EMBED Equation.DSMT4 .
Détermination de la constante : EMBED Equation.DSMT4 .
Soit enfin :
EMBED Equation.DSMT4 .
On peut calculer laltitude maximale atteinte sachant que EMBED Equation.DSMT4 :
EMBED Equation.DSMT4 .
Avec les données de lénoncé on trouve EMBED Equation.DSMT4 (attention ici angles sont en radians pour le calcul de tmontée).
Ces données me semblent cohérentes avec les autres résultats. Je nai pas les moyens de les vérifier.
Avec un logiciel de calcul formel, recherche de primitives et intégrales :
Vérifier que lon est en mode « degrés ».
Application numérique :
Il faut 7,25 s pour atteindre laltitude maximale denviron 420 m.
Utilisation dune « boite noire », résolution déquations différentielles par calcul formel :
La montée :
La représentation graphique :
Lecture sur la courbe : altitude maximale : 419,7 m après 7,245 s.
Par calcul il a été trouvé : altitude maximale 420 m après 7,25 s.
B. La descente :
À la main :
On considèrera que pour t=0, y(0)=yMax
EMBED Equation.DSMT4 avec m(0, où ay représente la valeur absolue de laccélération verticale et g=9,81 m.s-2 une approximation de laccélération de la pesanteur terrestre.
Ce qui permet décrire EMBED Equation.DSMT4 , puis EMBED Equation.DSMT4 .
On remarquera que la vitesse est négative (dans le repère choisi) et augmente en valeur absolue, donc que laccélération doit être positive.
Sachant que m, g et k sont positifs et que la vitesse initiale est nulle, cela veut dire deux choses :
on aura EMBED Equation.DSMT4 ,
une vitesse limite apparaît : EMBED Equation.DSMT4 .
Calcul de la vitesse limite dans les conditions de lénoncé : EMBED Equation.DSMT4 .
La résolution :
Alors, EMBED Equation.DSMT4 sécrit EMBED Equation.DSMT4 où m, k et g sont tous positifs.
Cest une équation différentielle à variables séparées, pour une intégration (recherche de primitive), formule N° 28 :
EMBED Equation.DSMT4 que lon écrit EMBED Equation.DSMT4 ,
Soit après simplifications et, en tenant compte de EMBED Equation.DSMT4 :
EMBED Equation.DSMT4 .
Pour extraire v, prendre lexponentielle de chaque membre :
EMBED Equation.DSMT4 .
Faire les opérations nécessaires pour obtenir : EMBED Equation.DSMT4 .
Expression qui ne nous satisfait pas encore.
On écrit : EMBED Equation.DSMT4 ,
Enfin, EMBED Equation.DSMT4 (rappel : v(0)=0).
Continuons
en faisant remarquer que le travail qui suit est hors de portée dun élève de lycée.
Rappel (pour ceux qui savent !) : il faut utiliser les fonctions hyperboliques.
EMBED Equation.DSMT4 .
On écrit : EMBED Equation.DSMT4 ,
avec sorti du vieux grimoire :
Nouvelle écriture : EMBED Equation.DSMT4 .
Puis intégration : EMBED Equation.DSMT4 sans oublier que pour t=0 y(0)=ymax de la montée.
Soit finalement : EMBED Equation.DSMT4 .
Temps pour redescendre et vitesse darrivée au sol :
Calcul du temps de descente : il faut y=0.
doù : EMBED Equation.DSMT4 soit EMBED Equation.DSMT4 ,
réécrit EMBED Equation.DSMT4 puis EMBED Equation.DSMT4 ,
alors EMBED Equation.DSMT4 .
On pose EMBED Equation.DSMT4 avec la condition X > 0.
Remarque : nous savons que EMBED Equation.DSMT4 , on peut dailleurs considérer EMBED Equation.DSMT4 puisque le projectile tombe dune hauteur non nulle. Ce qui veut dire que EMBED Equation.DSMT4 .
Il reste à résoudre EMBED Equation.DSMT4 .
EMBED Equation.DSMT4 . EMBED Equation.DSMT4
On a donc EMBED Equation.DSMT4 ,
et finalement EMBED Equation.DSMT4 .
On reporte cette expression dans celle de v (choisir sa formule !) : EMBED Equation.DSMT4
Pour trouver EMBED Equation.DSMT4 .
Avec les conditions de lénoncé on trouve alors : EMBED Equation.DSMT4 , soit près de 180 km/h. La vitesse au sol approche sa valeur limite.
Daprès des experts, ça va faire mal, cest ou cest pas mortel ?
Avec un logiciel de calcul formel, recherche de primitives et intégrales :
Vérifier que lon est en mode « degrés ».
Il est toujours intéressant dutiliser les erreurs (qui ici nen est pas une
) quand on sait où elles se produisent. Une primitive se détermine à une constante près. Jai obtenu le même résultat au même endroit avec 3 logiciels de calcul formel différents !
Il faut connaître les habitudes des logiciels de calcul formel pour pouvoir résoudre cette partie.
Létude du cas de la descente est donc difficile à envisager en lycée, même avec lappui, raisonnable, dun logiciel de calcul formel pour aider à trouver des primitives de fonctions inconnues à ce niveau.
Application numérique :
Utilisation dune « boite noire », résolution déquations différentielles par calcul formel :
On remarquera que pour trouver le bon résultat il faut renseigner le logiciel sur le fait que EMBED Equation.DSMT4 , i.e. avoir déjà préparé les calculs !
La représentation graphique :
Lecture sur la courbe : redescente en 11,54 s avec une arrivée au sol à 51,87 m/s (vitesse non donnée par la courbe mais par les calculs précédents).
V. Influence de lair, force proportionnelle au carré de la vitesse, résolution par la méthode dEuler :
A t=0 le projectile est lancé à la vitesse V0 selon un angle að (en degrés) avec l horizontale.
Dans un repère orthogonal, la décomposition sur les axes [ox) et [oy) permet d écrire :
EMBED Equation.DSMT4 où EMBED Equation.DSMT4 .
La force de réaction de l air est proportionnelle au carré de la vitesse.
Le modèle choisi considère EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
La méthode dEuler est au programme des classes de 1ère et Tale S.
Description de la méthode :
Lune des définitions du nombre dérivé sécrit : pour F définie sur I, pour tout h tel que x0+h appartienne à I, EMBED Equation.DSMT4 avec EMBED Equation.DSMT4 . (On posera pour la suite EMBED Equation.DSMT4 )
Euler se dit que si le dernier terme est nul (car h et EMBED Equation.DSMT4 le sont pratiquement, donc leur produit lest encore plus), il peut écrire EMBED Equation.DSMT4 , quil considère comme une formule de récurrence, EMBED Equation.DSMT4 , où h est le pas choisi, le point de départ M0 (x0 ; y0) sur la courbe cherchée étant donné. Il définit alors une suite de points M1, M2,
, Mn par application de cette formule de récurrence généralisée, EMBED Equation.DSMT4 .
Dans notre cas :
comme d=v(t passer de la vitesse à la distance se fera par la formule de récurrence EMBED Equation.DSMT4 , où h est le pas choisi et vn la vitesse calculée au rang précédent,
sur [Ox), la décomposition nous donne EMBED Equation.DSMT4 doù EMBED Equation.DSMT4 donc la formule de récurrence EMBED Equation.DSMT4 ,
sur [Oy), la décomposition nous donne EMBED Equation.DSMT4 doù EMBED Equation.DSMT4 donc la formule de récurrence EMBED Equation.DSMT4 ,
calcul des constantes utilisées : EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 doù EMBED Equation.DSMT4 , pas=intervalle=0,1 (seconde), vx(0) = vy(0) = EMBED Equation.DSMT4
Remarques :
les formules sont établies à partir du modèle de résistance due à lair f(v)=kv2,
je nai pratiquement pas de différence en diminuant le pas à 0,01.
Avec le tableur de la calculatrice ou du logiciel TI_Nspire :
Les formules dont certaines sont à recopier vers le bas :
Attention, les données doivent être sur toute la colonne, ne pas utiliser les premières cellules pour la déclaration des valeurs initiales.
A1 =B1 = 0 H1 = k = 0,00344
C1 = approx(J1) D1 = approx(K1)
J1 = K1 = vx(0) = vy(0) = EMBED Equation.DSMT4
C2 = vx(1) = C1-I$1*H$1*C1^(2) D2 = vy(1) = D1-I$1*(H$1*D1^(2)+9.81)
E1 = x(0) = 0 F1 = y(0) = 0
E2 = x(1) = =E1+I$1*C1 F2 = y(1) = =F1+I$1*D1
Le dernier point affiché est encore à 12 m au dessus du sol (contrairement au tableur qui suit, les points hors fenêtre daffichage ne sont pas marqués).
On trouve alors 607,69 m après 13,4 s.
Lecture dans le tableur de la valeur suivante : 609,57 m après 13,5 s (et 2,68 m sous le sol).
Un résultat très intéressant. Cest une application de la méthode dEuler qui a lavantage dutiliser un problème extérieur à la classe.
Avec un tableur connu :
Les formules dont certaines sont à recopier vers le bas :
G1=J1= EMBED Equation.DSMT4 B1=k=0,00344
C4 = vx(0) D4 = vy(0)
C5 = vx(1) = C4-D$1*B$1*C4^2 D5 = vy(1) = D4-D$1*(B$1*D4^2+9,81)
F4 = x(0) = 0 G4 = y(0) = 0
F5 = x(1) = F4+D$1*C4 G5 = y(1) = G4+D$1*D4
Remarque : il est aussi possible dutiliser des suites récurrentes.
Le travail est le même, il faut trouver les formules de récurrence, construire quatre suites récurrentes.
Les résultats sont bien évidemment identiques, ce qui est un peu « artificiel » à la calculatrice ou avec le logiciel cest de tracer la courbe. Description rapide sur V200 :
Définir les suites dans le mode adéquat, placer les termes dans deux listes (ici eul_balx et eul_baly).
Passer en mode fonction.Dans léditeur de fonctions ! désélectionner toutes les fonctions, choisir un afficheur de données statistiques (statplot).
Paramétrer la fenêtre daffichage, demander la représentation graphique.
Toujours dans le domaine du possible, travailler par programmation est intéressant.
Consulter par exemple « Interaction Sciences Physiques-Mathématiques : Euler » réalisé par Rémy Coste, Jacques Péries, Nicole Pithon Jacques Salles et Jean Winther.
Un exemple de programmation de la méthode dEuler se trouve aussi dans la conférence et le « défi » consacré à la méthode dEuler pour la fête de la science octobre 2003 qui devraient se trouver sur le site de lIREM de Corse.
VI. Influence de lair, force proportionnelle au carré de la vitesse, résolution du cas général :
Remarque : on calcule les différents résultats avec des angles en degrés. Lors des intégrations ou de la résolution déquations différentielles, un coefficient EMBED Equation.DSMT4 apparaitra dans certaines formules qui en paraitront dautant plus compliquées. [on peut dire aux élèves qu il y a donc de bonnes raisons de s habituer à travailler en radians].
A t=0 le projectile est lancé à la vitesse V0 selon un angle að (en degrés) avec l horizontale.
Dans un repère orthogonal, la décomposition sur les axes [ox) et [oy) permet décrire :
EMBED Equation.DSMT4 où EMBED Equation.DSMT4 .
La force de réaction de lair est proportionnelle au carré de la vitesse.
Le modèle choisi considère EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
En un point M quelconque de la trajectoire nous avons :
Horizontalement :
À la main :
EMBED Equation.DSMT4 avec m(0 où ax représente la valeur absolue de laccélération horizontale, k un coefficient fonction du projectile (on prendra k=3,27 10-5).
Ce qui permet décrire EMBED Equation.DSMT4 , puis EMBED Equation.DSMT4 . Par intégration EMBED Equation.DSMT4 .
Soit EMBED Equation.DSMT4 avec la condition initiale EMBED Equation.DSMT4 . Doù EMBED Equation.DSMT4 .
EMBED Equation.DSMT4 . Nouvelle équation différentielle aux variables séparées.
EMBED Equation.DSMT4 . Comme x(0)=0, EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 ,
finalement, EMBED Equation.DSMT4 .
Avec un logiciel de calcul formel, recherche de primitives et intégrales :
utilisation dune « boite noire », résolution déquations différentielles par calcul formel :
Verticalement :
À la main :
EMBED Equation.DSMT4 avec m(0, où ay représente la valeur absolue de laccélération verticale et g=9,81 m.s-2 laccélération de la pesanteur.
Ce qui permet décrire EMBED Equation.DSMT4 , puis EMBED Equation.DSMT4 où m, k et g sont tous positifs.
Pour une intégration (recherche de primitive), en degrés, donc avec un coefficient EMBED Equation.DSMT4 supplémentaire :
EMBED Equation.DSMT4 est de la forme EMBED Equation.DSMT4 .
EMBED Equation.DSMT4 .
Détermination de la constante :
pour t=0 et EMBED Equation.DSMT4 doù EMBED Equation.DSMT4 .
On obtient :
EMBED Equation.DSMT4
Il faut isoler v pour obtenir une nouvelle équation différentielle aux variables séparées
faire passer les coefficients EMBED Equation.DSMT4 à droite puis prendre la tangente des deux quantités. Cela devient vraiment compliqué « à la main ».
EMBED Equation.DSMT4
Remarque : comme lors des calculs concernant la montée du tir vertical, il est possible de « mieux » écrire la formule de la vitesse :
EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
Ce qui peut se calculer avec les données de lénoncé.
Nous avions : EMBED Equation.DSMT4
Ce qui peut sécrire EMBED Equation.DSMT4 qui est encore une équation différentielle aux variables séparées. Que lon traite par intégration de chacun des deux côtés, avec lindication : EMBED Equation.DSMT4 (quand on travaille en degrés, toujours à une constante près).
On devrait donc avoir : EMBED Equation.DSMT4 (à une constante près) avec EMBED Equation.DSMT4 et y(0)=0.
Avec quelques simplifications EMBED Equation.DSMT4 .
Détermination de la constante : EMBED Equation.DSMT4
Soit enfin :
EMBED Equation.DSMT4
Avec un logiciel de calcul formel, recherche de primitives et intégrales :
Vérifier que lon est en mode « degrés ». Reprendre les opérations précédentes avec les nouvelles conditions.
Application numérique :
Utilisation dune « boite noire », résolution déquations différentielles par calcul formel :
Écriture de y en fonction de x :
Ce que jai réécrit :
EMBED Equation.DSMT4
(aux erreurs de recopies près !).
Avec g=9,81 m/s², m=9,5 10-3 kg, k2=3,27 10-5, (=45 (en degrés) et v0=220 m/s.
La représentation graphique :
Copier les formules dans léditeur de fonctions, ajouter les conditions.
Directement sur le graphique on recherchera les mêmes questions que précédemment : portée 612 m en 13,5 s, altitude maximale atteinte dans ces conditions : 327 m après 6,5 secondes de vol.
Ce sont dexcellents résultats (avec EMBED Equation.DSMT4 ).
Comme précédemment on cherchera si un angle plus petit permet une plus grande portée.
Cest le cas pour 35° : 635 m après 12,7 s en passant par laltitude 274 m après 6,2 s.
Les différentes portées trouvées selon le modèle choisi : 4 933 m, 1 583 m, 420 m.
VII. Traitement dune erreur intéressante et surprenante :
Problème du traitement de la constante. Quand on travaille sur des tangente ou arc tangente (tan-1), il faut traiter le cas de la constante directement avec lexpression de la primitive trouvée. Sinon, curieusement ( ?) le résultat obtenu pose problème si on procède à une nouvelle intégration avant de rechercher cette constante.
Horizontalement pas de problème,
Verticalement : pour une intégration (recherche de primitive), en degrés, donc avec un coefficient EMBED Equation.DSMT4 supplémentaire :
EMBED Equation.DSMT4 est de la forme EMBED Equation.DSMT4 .
EMBED Equation.DSMT4 à une constante près,
puis, EMBED Equation.DSMT4 .
Il faut une expression donnant v. On prend la tangente de chaque côté : EMBED Equation.DSMT4 réécriture : EMBED Equation.DSMT4 soit en tenant compte de la constante non encore incluse dans lexpression : EMBED Equation.DSMT4 avec EMBED Equation.DSMT4 , qui permet de calculer la constante : EMBED Equation.DSMT4 alors EMBED Equation.DSMT4 .
Ce qui peut sécrire EMBED Equation.DSMT4 qui est encore une équation différentielle aux variables séparées.
Que lon traite par intégration de chacun des deux côtés, avec lindication : EMBED Equation.DSMT4 (quand on travaille en degrés, toujours à une constante près).
On devrait donc avoir : EMBED Equation.DSMT4 (à une constante près) avec EMBED Equation.DSMT4 .
Avec quelques simplifications EMBED Equation.DSMT4 .
Détermination de la constante sachant que pour t=0 y=0, EMBED Equation.DSMT4 . Doù :
EMBED Equation.DSMT4 .
Remarque : je nai pas réglé la fenêtre daffichage pour obtenir un repère ortho(ça oui)normal(ça non). On a donc pas tout à fait limpression dun angle de tir à 45 ° malgré la réalité des calculs.
Il est étonnant de constater quavec cette dernière expression le projectile tiré à 45 ° « prend de la hauteur » ! la courbe du bas étant celle déterminée précédemment pour la troisième partie. Cette trajectoire est impossible, elle résulte dune erreur dans les calculs.
Petite bibliographie :
Ouvrages que jai achetés ou obtenus en PDF ou dont jai lu les références, consultés en parties ou non entre autre sur internet. Liste non exhaustive !
" LA BALISTIQUE " par André DELACHET et Jean TAILLÉ. Collection Que sais-je, Presses universitaires de France (1968). (intéressant, pour les mathématiques et pour les tireurs, trouvé à 20 ¬ )
" BALISTIQUE EXTÉRIEURE " J. OTTENHEIMER. Collection Armand Colin N° 54. Plusieurs versions 1938& 1947. (intéressant, pour les mathématiques et pour les tireurs, trouvé de 5 à 25 ¬ )
" TECNOLOGIA DELLE ARMI DA FUOCO PORTATILI " Giuseppe DE FLORENTIS. Editore Ulrico Hoelpi Milano. (1987 réédition 1991). (completo, in Italiano. Obtenu contre 25 ¬ )
" L équation différentielle de la balistique extérieure et son intégration par quadratures " Jules DRACH. Annales scientifiques de l E.N.S. (1920). (que des maths. Format PDF)
On trouvera aussi certaines explications en recherchant " balistique, balistique extérieure, projectile " sur internet. Par exemple sur HYPERLINK "http://fr.wikipedia.org/wiki/Balistique_ext%C3%A9rieure" http://fr.wikipedia.org/wiki/Balistique_ext%C3%A9rieure un article de wikipédia lencyclopédie en ligne.
« La révolution mathématique du XVIIe siècle » Evelyne BARBIN ELLIPSE. Quelques rappels et éclaircissement historiques (37 ¬ ) Je n ai pas trouvé son autre livre BARBIN Evelyne et CHOLIERE Michèle, La trajectoire des projectiles de Tartaglia à Galilée , Publications de l Université du Maine, n° 4, 1987.
Je ne suis pas arrivé à mettre la main sur des documents écrits par Adrien-Marie Le Gendre lors de son passage à lécole dartillerie
« LE GENDRE : recherches sur la trajectoire des projectiles dans les milieux résistants, 1782 » et « Legendre, Adrien-Marie, Dissertation sur la question de balistique proposée par lAcadémie royale des Sciences et Belles-Lettres de Prusse, Berlin, 1782 ; réimprimée en partie dans le Journal de lÉcole Polytechnique, s. 1, 11, an X, et Journal des armes spéciales, 1845 et 1846 ». si vous en avez une version PDF merci par avance (pas trouvé sur la BNF qui pourtant possède dautres écrits du mathématicien français Adrien-Marie Legendre ni sur SUDOC).
Pas plus que sur un traité de Léonard EULER « ARTILLERIE par Léonard EULER en 1745 » en Allemand (je lai vu, il est en latin pour la version que jai pu apercevoir).
Lexcellent site sur les maths de Serge Mehl avec de nombreuses bibliographie et explications HYPERLINK "http://www.chronomath.com/" http://www.chronomath.com/
Le site (English) bibliographique HYPERLINK "http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/BiogIndex.html" http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/BiogIndex.html
Bernard Bru, « Problème de l'efficacité du tir à l'École de Metz. Aspects théoriques et expérimentaux », Mathématiques et sciences humaines, n° 136, Hiver 1996, [En ligne], mis en ligne le 10 février 2006. URL : HYPERLINK "http://msh.revues.org/document2724.html" http://msh.revues.org/document2724.html
MOLK : ENCYCLOPEDIE DES SCIENCES MATHEMATIQUES PURES ET APPLIQUEES, Tome IV, Mécanique : Volume 6, Balistique. Hydraulique, 1913, Reprint, 1993, 24,5 x 18 oblong, 104 p., Broché, ISBN 2-87647-117-5. Prix : 30 Euros. HYPERLINK "http://www.gabay.com/Sources/Liste_Bio.asp?NP=MOLK%2BJules" http://www.gabay.com/Sources/Liste_Bio.asp?NP=MOLK%2BJules
Gautier, P. Mouvement d'un projectile dans l'air. Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure Sér. 1, 5 (1868), p. 7-65. URL stable: HYPERLINK "http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1868_1_5__7_0" http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1868_1_5__7_0
Revue Internationale d'Histoire Militaire RIHM n° 83 (présentation) HYPERLINK "http://www.stratisc.org/partenaires/cfhm/rihm" http://www.stratisc.org/partenaires/cfhm/rihm
Remarque : les photos ou images sont soit personnelles soit récupérées sur internet comme libre de droit.
Calcul d'une flèche :
Définition : en balistique la flèche désigne la hauteur du point le plus élevé de la trajectoire d'un projectile, au-dessus du plan horizontal passant par l'origine du tir (tir horizontal).
Calculer la flèche, c'est trouver à quelle hauteur monte la balle entre la sortie du canon et le point visé.
Considérations personnelles
Dès qu'elle est sortie du canon une balle "tombe". C'est un effet de la gravitation. Il me semble que cette arme « Remington US Army 1858 marque F. LLI PIETTA calibre .44 à poudre noire » est "réglée d'usine" pour tirer "sans correction" à une distance de 30 m. Ce qui veut dire que le constructeur donne un angle (très petit, de l'ordre de 0,1° vers le haut) entre l'axe du canon et le point de visée sans correction.
Ce que disent mes calculs (langle de tir est donné « angle constructeur » compris :
Distance Prévue :Angle de tir avec l'horizontale :Temps de vol pour
la distance indiquée. Flèche : Distance : Temps :30 m.0,18 °.0,14 s.0,025 m.15,38 m.0,07 s.50 m.0,32 °.0,2 s.0,075 m.26,08 m.0,12 s.100 m.0,69 °.0,53 s.0,36 m.54,40 m.0,27 s.200 m.1,68 °.1,24 s.2,15 m.117,41 m.0,66 s.
Un exemple de trajectoire : pour 100 m.
Explication de lutilisation de ce genre de table :
SI cette arme est réglée pour tirer à 100 m, que la cible se trouve seulement à 50 m, ALORS il faut viser 36 cm en dessous du point prévu pour limpact.
Peut-on extrapoler ces résultats (flèches, portée, vitesse limite de chute) vers dautres armes ? oui (petit) et NON (en grand). Pourquoi ?
Parce que tout changement, que ce soit le calibre, le type de munition, la longueur du canon de larme, la poudre utilisée
va totalement transformer les résultats. Par contre, les calculs sont transportables, les formules sont identiques, il suffit de remplacer les paramètres par ceux qui conviennent.
On notera que pour les munitions récentes (très rapides), il faut changer la loi de résistance de lair et donc, recommencer toute létude mathématique.
Un exemple avec une arme connue, tirant plusieurs types de projectiles : revolver de marque réputée, dappellation 357 magnum. Le calibre est du 9 mm. Lappellation 357 magnum fait joli (surtout dans les films, même si linspecteur H. préfère le 44 magnum de la même marque). Cela correspond aussi (3ième appellation) au calibre 38 spécial (qui est un peu plus « fort » que le 38 spécial « Wadcutter » utilisé en tir sportif).
Nom :Calibre :Poids de la balle :Vitesse initiale :Energie :38 spécial Wadcutter9 mm.9,6 g.228 m/s.250 Joules.38 spécial.9 mm.10,2 g.265 m/s.358 Joules.357 magnum.9 mm.10,2 g.445 m/s.1010 Joules.
Pour une même arme, les conditions deviennent très différentes.
Le 38 spécial accepte les formules calculées dans ce problème car la vitesse initiale de la balle ne dépasse pas de beaucoup les 250 m/s. Il est donc possible de prévoir le comportement de sa balle, au petit détail près, qui nest pas sans importance
que la forme de la balle est différente, bien mieux profilée. Cela entraînera une simple retouche du coefficient k.
Le 357 magnum éjecte ses projectiles à une vitesse de 445 m/s, trop éloignée du maximum acceptable pour la validité des calculs faits ici. Ce nest pas un simple changement de coefficient qui permettra davoir des résultats calculés suffisamment proches de la réalité du terrain. Il faut refaire létude, en tenant compte dune résistance due à lair proportionnelle au cube de la vitesse.
Autre différence pouvant fortement changer les résultats : la longueur du canon de larme. Les tables balistiques fournies par les fabricants de munitions sont données pour des armes dun type bien précis. Pour les armes de poing les tables sont écrites pour un canon long. Il est communément admis que pour un canon court standard (10 à 11 cm), les performance baissent de 40 %, ce qui nest pas rien !
Comment interpréter lénergie dun projectile avec ses effets éventuels ? la question na pas de réponse directe.
Pour exemple, comparaison dune balle de .38 spécial Wadcutter et de la balle souple dun Flash-Ball (arme dite non létale car destinée à mettre hors détat de nuire sans blesser ni tuer) :
Le .38 a un diamètre de 9 mm, une énergie de 250 Joules, une surface dimpacte de 0,63 cm2. Cela donne un rapport énergie cinétique par cm2 de 380 J/cm2.
La balle souple du Flash-Ball a un diamètre de 6,7 cm, une énergie de 200 Joules, une surface dimpacte de 35 cm2. Cela donne un rapport énergie cinétique par cm2 de 5,1 J/cm2 (à 7 m). La limite admissible serait inférieure à 10 J/cm2.
Est-ce que ce type de calcul peut suffire pour prévoir les effets dun projectile ?
Prenons un nouvel exemple, une balle de 22 Long Riffle (armes en vente libre uniquement soumise à déclaration). Balle de type « subsonique » (bien utilisée en stand de tir pour ses bonnes performances et son faible bruit). Caractéristiques : diamètre 5,7 mm, masse 2,6 g, vitesse initiale 315 m/s. Données optimales pour un canon de 65 cm. Sur la boite il est écrit « peut être dangereuse jusquà 1,5 km. ».
Portée dun peu plus de 1200 m, elle est encore à une vitesse de 180 m/s.
Diamètre 5,7 mm, surface dimpacte 0,51 cm2 pour une énergie (en fin de trajectoire) de 42 Joules. Ce qui donne un rapport énergie cinétique par cm2 de 82 J/cm2. Il faut donc bien la considérer comme dangereuse « en fin de course ».
Elle est bien profilée (ce qui augmente notablement ses performances), nous sommes un peu « hors limite » des calculs (vitesse supérieure à 250 m/s). Cest tout de même assez indicatif.
Pour finir, je rappellerai que toutes les armes sont dangereuses et doivent être considérées comme telles.
P.S. :
Si lon peut envisager de traiter de nombreuses parties avec des élèves de lycée, comment procéder pour vérifier expérimentalement avec eux que les résultats calculés correspondent bien à la réalité ?
Que peut-on préparer comme vérifications expérimentales ?
Tout dabord, il faut pouvoir se déplacer jusquà un stand de tir.
Prendre contact avec la Fédération Française de Tir, FFTir : HYPERLINK "http://www.fftir.asso.fr/" http://www.fftir.asso.fr/ pour trouver un club (homologué !) à proximité.
Lusage des armes, même utilisables sans autorisation de détention, est strictement encadré en France, comme dans de nombreux autres pays, cest bien normal.
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