Modulations numériques - Exercices corriges
QAM ? Quadrature Amplitude Modulation ? combinaison de ASK et PSK. ..... Le
signal QPSK pose les même problèmes que le signal BPSK : l'effet de l'ambiguïté
de phase de la ..... Modulation numérique de fréquence non orthogonale FSK.
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MODULATIONS NUMERIQUES
Les modulations numériques sont utilisées pour la transmission des messages discrets (données) à travers des canaux de type passe-bande. La porteuse est sinusoïdale et le signal modulé est un signal analogique.
Exemples :
transmission de données par canaux téléphoniques / radio / satellites ;
communications mobiles ;
transmission vidéo numérique ;
transmission audio numérique.
Le design des systèmes de transmission numérique est soumis aux contraintes suivantes :
efficacité de lutilisation de la bande ou efficacité spectrale (le débit par unité de bande, bit/s/Hz),
puissance minimum assurant une valeur donnée de la probabilité derreur,
coût.
Les deux premières contraintes sont contradictoires. Pour certains applications la contrainte defficacité spectrale prévaut (exemple : transmissions de données par lignes téléphoniques, dont la bande passante atteint à peine 3 kHz) ; pour dautres applications, par contre, cest léconomie de puissance qui est primordiale (exemple : téléphonie mobile, où les postes mobiles sont alimentés par des piles).
Pour chaque application il faut trouver le compromis qui convient.
MODULATION M-aire et EFFICACITE SPECTRALE
On distingue des modulations numériques binaires, où il y a deux valeurs possibles du paramètre modulé de la porteuse (amplitude, phase ou fréquence), et des modulations numérique M-aires, où il y en a M telles valeurs.
Modulation binaire
Cest la modulation numérique la plus simple : à chaque bit correspond une de deux valeurs possibles du paramètre modulé de la porteuse. Dans ce cas, la vitesse de modulation (vitesse de changement du paramètre modulé) vaut le débit binaire des données.
Soit le débit binaire :
EMBED Equation.DSMT4
La fréquence Nyquist correspondante vaut :
EMBED Equation.DSMT4
et lors dune mise en forme conformément au critère de Nyquist, la bande du signal (bande de base) vaut :
EMBED Equation.DSMT4
où r est le facteur de roll-off : EMBED Equation.DSMT4 .
Si la modulation est linéaire, la largeur de bande du signal modulé vaut :
EMBED Equation.DSMT4
Dans ce cas la bande est comprise entre D et 2D, donc lefficacité spectrale ne peut pas dépasser 1 bit/s/Hz (valeur correspondant à r = 0).
La méthode la plus directe daugmenter lefficacité spectrale est de passer à une modulation M-aire, avec M = 2k.
Modulation M-aire
La modulation M-aire est effectuée par groupes de k bits. A chaque combinaison de k bits correspond une valeur du paramètre modulé, donc en tout il y a 2k = M valeurs possibles de ce paramètre.
Un groupe de k bits représente un symbole M-aire ; si le débit binaire vaut D bit/s, le débit des symboles est k fois plus petit : il vaut D/k Baud et cest de même pour la vitesse de modulation.
Un modulateur M-aire doit être précédé par un convertisseur série/parallèle, comme illustré ci-dessous.
EMBED Designer.Drawing.7
Entrée du convertisseur S/P :
données binaires
débit binaire D bit/s
fréquence Nyquist D/2 = fb/2 Hz
Sortie du convertisseur S/P :
groupes k bits, 2k = M combinaisons possibles ( symboles M-aires
débit de symboles Ds = D/k Baud
fréquence Nyquist Ds/2 = D/2k = fb/2k Hz
largeur de bande du signal mis en forme Bbb = D"(1+ r)/2k Hz
Sortie modulateur M-aire :
signal modulé, M = 2k niveaux de modulation
vitesse de modulation Ds = D/k
largeur de bande du signal modulé B = 2"Bbb = D"(1+ r)/k Hz
Donc dans le cas d une modulation M-aire la largeur de bande du signal modulé est comprise entre D/k et 2D/k, et lefficacité spectrale maximale vaut k bit/s/Hz (valeur correspondant à r = 0).
nombre de bits nombre niveaux efficacité spectrale
par symbole M-aire de modulation maximale
k M = 2k k = log2M bit/s/Hz
1 2 1
2 4 2
3 8 3
4 16 4
.
En conclusion, si la bande passante à disposition vaut B, on peut augmenter le débit binaire des données transmises en dessus de D = B bit/s en augmentant k, donc le nombre de niveaux de modulation. Mais le prix à payer cest laugmentation de la probabilité derreur.
Dans le cas des certaines modulations différentielles à vitesse de modulation D/k, le nombre de niveaux de modulation est doublé (2M au lieu de M) sans que lefficacité spectrale maximale dépasse k bit/s/Hz.
MODULATEUR ET DEMODULATEUR VECTORIELS
Représentation vectorielle
La majorité des modulations numériques sont des modulations vectorielles, parce que le signal modulé est généré à laide de deux porteuses en quadrature, obtenant ainsi la variation du module et/ou de la phase du vecteur (phaseur) représentant le signal modulé.
EMBED Designer.Drawing.7
s(t) = A(t)"cos(wðpt + qð(t)) = A(t)"cos qð(t)"cos wðpt -ð A(t)"sin qð(t)"sin wðpt
s(t) = I(t)"cos wðpt -ð ðQ(t) "sin wðpt
avec
I(t) = A(t)"cos qð(t) et Q(t) = A(t)"sin qð(t)
Donc
EMBED Equation.DSMT4
La représentation vectorielle indique tant la méthode de modulation, utilisant deux modulateurs en quadrature, que celle de démodulation, utilisant deux démodulateurs synchrones.
Modulateur vectoriel
Le schéma bloc dun modulateur vectoriel est donné ci-dessous.
EMBED Designer.Drawing.7
Observations :
Les signaux Ii et Qi sont en mode NRZ (ou NRZI) antipolaire.
Les filtres passe-bas sont en général des filtres de mise en forme.
Démodulateur vectoriel
Le schéma bloc dun démodulateur vectoriel est donné ci-dessous. Chaque branche comprend un démodulateur synchrone ou cohérent (multiplicateur et filtre passe-bas), nécessitant le recouvrement de la porteuse.
EMBED Designer.Drawing.7
Le fonctionnement est basé sur l orthogonalité des porteuses cos wðpt et -ðsin wðpt. Il est essentiel que la porteuse soit correctement recouvrée, de façon que les deux porteuses déphasées de pð/2 soient synchrones avec les porteuses correspondantes du signal s(t).
Dans ce cas (on considère les filtres idéaux afin de simplifier le calcul) on obtient pour la branche I :
s(t)"cos wðpt = (I(t)"cos wðpt -ð ðQ(t)"sin wðpt)"cos wðpt =
0.5"I(t)"(cos(0) + cos 2wðpt) -ð ð0ð.ð5ð"Q(t)"(sin(0) + sin 2wðpt) =
0.5"I(t) + 0.5"I(t)"cos 2wðpt -ð ð0ð.ð5ð"Q(t)"sin 2wðpt
Les composantes de haute fréquence seront éliminées par le filtre passe-bas, et il ne reste que la composante démodulé en I(t).
De la même façon on obtient pour la branche Q :
s(t)"(-ðsin wðpt) = -ð(I(t)"cos wðpt -ð ðQ(t)"sin wðpt)"sin wðpt =
-ð0.5"I(t)"(sin(0) + sin 2wðpt) + ð0ð.ð5ð"Q(t)"(cos(0) -ð cos 2wðpt) =
0.5"Q(t) -ð 0.5"I(t)"sin 2wðpt -ð ð0ð.ð5ð"Q(t)"cos 2wðpt
Après le filtre passe-bas il ne reste que la composante démodulé en Q(t).
En ce qui concerne les filtres passe-bas du démodulateur vectoriel, en fonction du type de modulation ils sont soit des filtres de mise en forme, soit ils ont seulement le rôle déliminer les composantes de haute fréquence présentes à la sortie des multiplicateurs.
En général, les filtres de mise en forme sont numériques. Ils sont suivis des convertisseurs D/A (modulateur) ou précédés par des convertisseurs A/D (démodulateur, récepteur analogique) ; dans le cas des récepteurs numériques la conversion A/D précède le démodulateur vectoriel qui est en intégralité numérique (voir "Récepteurs numériques" dans le chapitre "Systèmes analogiques").
Exercice
Déterminer les signaux aux sorties des filtres passe-bas du démodulateur vectoriel pour le cas où la porteuse recouvrée est déphasée de fð (considérer donc les porteuses en quadrature cos (wðpt + fð) et -ðsin (wðpt + fð)). Peut-on dans ce cas séparer correctement les signaux I(t) et Q(t) ?
Solution
Pour la branche I on obtient :
s(t)"cos (wðpt + fð) = (I(t)"cos wðpt -ð ðQ(t)"sin wðpt)"cos (wðpt + fð) =
0.5"I(t)"(cos(fð) + cos (2wðpt + fð)) + 0ð.ð5ð"Q(t)"(sin(fð) -ð sin (2wðpt + fð))
Après le filtre passe-bas il reste une composante en :
I(t)"cos(fð) + Q(t)"sin(fð)
De la même façon on obtient pour la branche Q :
s(t)"(-ðsin (wðpt + fð)) = -ð(I(t)"cos wðpt -ð ðQ(t)"sin wðpt)"sin (wðpt + fð) =
-ð0.5"I(t)"(sin(-ðfð) + sin (2wðpt + fð)) + ð0ð.ð5ð"Q(t)"(cos(fð) -ð cos (2wðpt + fð))
Après le filtre passe-bas il reste une composante en :
I(t)"sin(fð) + Q(t)"cos(fð)
Les deux composantes, I(t) et Q(t), ne peuvent plus être correctement séparées.
MODULATIONS NUMERIQUES LINEAIRES
Les modulations numériques linéaires sont :
ASK Amplitude Shift Keying modulation damplitude ;
PSK Phase Shift Keying modulation de phase ;
QAM Quadrature Amplitude Modulation combinaison de ASK et PSK.
La modulation PSK est linéaire à condition que pour M niveaux de modulation la différence entre deux phases adjacents Dðfð vaille 2pð/M. Par exemple :
k = 1, M = 2 et Dðfð ð= pð
k = 2, M = 4 et Dðfð = pð/2.
Toutes ces modulations sont des modulations vectorielles.
Parmi les modulations numériques linéaires les plus utilisées sont PSK et QAM.
BPSK
Binary Phase Shift Keying est une modulation PSK bit par bit ; k = 1, M = 2, donc on a deux niveaux de modulation :
di fði
ð ð ð0ð 0ð
ð ð ð1ð pð
où di représente le bit courant, et fði la phase correspondante. On peut représenter le diagramme vectoriel, montrant les trajectoires possibles des phaseurs :
EMBED Designer.Drawing.7
Souvent on représente dans le plan IQ le diagramme de constellation, sur lequel sont marqués seulement les valeurs du signal aux instants déchantillonnage :
EMBED Designer.Drawing.7
Afin dobtenir un tel diagramme de constellation, le signal Ii, appliqué à lentrée de la branche I du modulateur vectoriel, doit être antipolaire. Donc il faut opérer une conversion unipolaire / antipolaire conformément à la correspondance :
di Ii
1ð
ð ð ð ð ð ð ð ð-ð1ð
Un modulateur BPSK est donc composé d un convertisseur unipolaire/antipolaire (di/Ii) et, comme Q(t) = 0, seulement de la branche I d un modulateur vectoriel.
Dans le domaine fréquence, comme pour le AM-P, on retrouve autour de fp la densité spectrale de puissance (DSP) du signal modulateur mis en forme. La largeur de bande du signal BPSK :
BBPSK = (1+r)"D
Donc l efficacité spectrale maximum vaut 1 bit/s/Hz.
La démodulation synchrone nécessite le recouvrement de la porteuse. Comme la DSP du signal modulé s(t) ne contient pas de raie à la fréquence de la porteuse fp, on ne peut pas extraire la porteuse directement du signal reçu. Mais on peut "faire apparaître" une composante de fréquence double, 2fp : tant la DSP du signal redressé |s(t)|, que celle du signal élevé au carré s2(t) contient une raie à la fréquence 2fp, quon peut facilement extraire à laide dun filtre passe-bande ou dun PLL. Après une division de fréquence par 2 on obtient la porteuse de fréquence fp, mais en ce qui concerne sa phase il subsiste une ambiguïté de pð. La conséquence de cette ambiguïté : les données reconstituées seront soit correctes, soit inversées, ce qui est inacceptable.
La solution de ce problème consiste à faire usage dune modulation différentielle.
DPSK
Differential Binary Phase Shift Keying est la modulation BPSK différentielle. Les données contrôlent les sauts de phase de la porteuse modulée et non plus les valeurs absolues de sa phase.
Il y a plusieurs variantes de DPSK. La plus simple est celle où le saut de phase peut prendre une des valeurs 0 ou pð ð:
di Dðfði = fði fði-1
0ð ð ð ð0ð
ð ð ðpð
Dans ce cas la porteuse modulée a deux phases possibles. En notant par ai le bit qui contrôle la phase fði, on peut écrire :
di Dðfði fði ai
0 0 fði-1 ai-1
1 pð fði-1+ pð i-1
doù :
EMBED Equation.DSMT4
Cette relation correspond au codage NRZI de la séquence NRZ {di}.
Les diagrammes vectoriel et de constellation ressemblent à ceux de BPSK avec la différence essentielle que la phase de la porteuse est contrôlée par la séquence NRZI {ai} et non pas par la séquence NRZ {di}.
EMBED Designer.Drawing.7
Un modulateur DPSK est composé dun codeur différentiel NRZ/NRZI (di/ai), dun convertisseur unipolaire/antipolaire (ai/Ii) et, comme pour BPSK, seulement de la branche I dun modulateur vectoriel.
EMBED Designer.Drawing.7
La densité spectrale de puissance du signal DPSK est identique à celle du signal BPSK (lexplication est simple la DSP ne contient aucune information sur la phase).
Côté récepteur le démodulateur vectoriel (branche I) est suivi par un convertisseur antipolaire/unipolaire (Ii/ai) et par un décodeur différentiel NRZI/NRZ reconstituant les données {di}.
EMBED Designer.Drawing.7
Comme expliqué, en ce qui concerne la phase de la porteuse recouvrée il subsiste une ambiguïté de pð, donc le décodage NRZI/NRZ sera effectué à partir de la séquence NRZI {ai} ou {i}. Si la phase de la porteuse recouvrée est correcte, on obtient la séquence NRZ {di} correcte :
EMBED Equation.DSMT4
Grâce au fait que dans une séquence NRZI l information est contenue dans les transitions, si la porteuse recouvrée est déphasée de pð, la séquence NRZI est inversée, mais la séquence reconstituée NRZ {di} sera toujours correcte :
EMBED Equation.DSMT4
donc l ambiguïté de pð concernant la phase de la porteuse recouvrée n a aucun effet sur les données NRZ reconstituées.
Si ce problème est résolu pour la modulation DPSK, il y a un autre problème commun posé par les signaux DPSK et BPSK : si le signal modulateur I(t) est mis en forme, lenveloppe du signal modulé nest pas constante, comme illustré ci-dessous.
Les variations de lenveloppe du signal modulé posent un problème côté amplificateur de puissance classe C, surtout si elles sont importantes. Le rendement de ces amplificateurs est sensiblement meilleur si les variations de lenveloppe sont réduites, ou mieux encore si lenveloppe est constante.
Lenveloppe du signal modulé sannule si le phaseur passe par lorigine, ce qui a lieu chaque fois qu il y a un saut de phase de pð (voir le diagramme vectoriel BPSK).
Dans le cas d une modulation bit par bit, afin d éviter les sauts de phase de pð il faut faire usage de la modulation différentielle pð/2-DPSK.
pð/2-DPSK
Le saut de phase peut prendre une des valeurs pð/2 ou pð/2 :
di Dðfði = fði fði-1
ð ð ð ð0ð ð ð ðpð/2
ð ð ð ð1ð ð-ðpð/2
ce qui mène à quatre phases possibles du signal modulé, comme illustré par le diagramme de constellation.
EMBED Designer.Drawing.7
On observe que ai contrôle le signe de Ii, et bi contrôle le signe de Qi. Vue que la modulation est différentielle, le bit di détermine le saut de phase, et donc le dibit biai sera déterminé tant par di, que par la valeur précédente de la phase, donc par bi-1ai-1.
di Dðfði fði-1 bi-1ai-1 fði bi ai
0 pð/2 pð/4 0 0 3pð/4 0 1
3pð/4 0 1 -3pð/4 1 1
-3pð/4 1 1 -pð/4 1 0
-pð/4 1 0 pð/4 0 0
1 -pð/2 pð/4 0 0 -pð/4 1 0
3pð/4 0 1 pð/4 0 0
-3pð/4 1 1 3pð/4 0 1
-pð/4 1 0 -3pð/4 1 1
Les expressions de ai et bi peuvent être déterminées facilement à partir de ce tableau.
EMBED Equation.DSMT4
Le diagramme vectoriel du signal pð/2-DPSK sans mise en forme est représenté ci-dessous.
EMBED Designer.Drawing.7
Comme attendu, aucune des trajectoires ne passe pas par lorigine. Le prix à payer consiste en laugmentation des nombre des phases possibles de 2 (DPSK) à 4, sans que lefficacité spectrale augmente ; pð/2-DPSK est toujours une modulation bit par bit (ai et bi dépendent tous les deux du même bit d entrée di), donc k = 1, mais M = 2"2k= 4.
On remarque que la correspondance dibit phase du signal modulé est faite de façon que les dibits correspondant à deux phases adjacentes diffèrent d une seule position. Quelle est à votre avis la justification de ce choix ?
Le schéma bloc d un modulateur pð/2-DPSK comprend un codeur di/aibi, un convertisseur unipolaire/antipolaire (aibi/IiQi) et, en fin, un modulateur vectoriel.
EMBED Designer.Drawing.7
Le débit à l entrée du modulateur, et donc la vitesse de modulation valent le débit binaire de la séquence {di}.
La allure de la DSP du signal pð/2-DPSK est la même que celle des signaux BPSK et DPSK. Et l efficacité spectrale maximale est la même 1 bit/s/Hz.
Côté récepteur le démodulateur vectoriel est suivi par un convertisseur antipolaire/unipolaire (IiQi/aibi) et par un décodeur aibi/di. Le décodeur reconstitue les données {di} conformément à la relation qui résulte du tableau de codage :
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Designer.Drawing.7
Pour recouvrer la porteuse, vue que les sauts de phase sont des multiples de pð/2, il faut élever le signal reçu à la puissance 4 ; la DSP du signal s4(t) contient une raie à la fréquence 4fp, qu on peut facilement extraire à l aide d un PLL ou d un filtre passe-bande. Après une division de fréquence par 4 on obtient la porteuse de fréquence fp, mais en ce qui concerne sa phase il subsiste cette fois une ambiguïté multiple de pð/2 (pð/2, pð, ou 3pð/2). Un déphasage de að de la porteuse recouvrée est équivalent à une rotation de -ðað du diagramme de constellation par rapport à cette porteuse. Une rotation d'un multiple de pð/2 garde les points du diagramme de constellation inchangés, et donc la séquence {di} décodée sera toujours correcte, même si les séquences {ai} et {bi} à l'entrée du décodeur sont différentes de celles du codeur.
Observation
Les signaux à modulation différentielle (DPSK, pð/2-DPSK et autres) peuvent être démodulés à l aide d un démodulateur non cohérent, ne nécessitant pas le recouvrement de la porteuse : le démodulateur compare la phase courante avec la phase précédente. Un tel démodulateur, appelé différentiel, est plus simple quun démodulateur vectoriel impliquant le recouvrement de la porteuse, mais ses performances sont moins bonnes (taux derreurs plus élevé).
De toutes façons, dû à une certaine "propagation" des erreurs, le taux derreurs dans le cas de toute modulation différentielle est un peu plus élevé que si la modulation nétait pas différentielle, même si le démodulateur est vectoriel.
Exercice
Soit un modulateur pð/2-DPSK et soit la séquence d entrée {di }:
11101001&
En considérant les valeurs initiales données dans le tableau ci-dessous, déterminer les séquences {di}, {ai}, {bi}, {Ii}, {Qi}, les phases {fði} et les sauts de phase {Dðfði}. Vérifier que la correspondance entre la séquence {di} et les sauts de phase {Dðfði} est correcte.
di di bi ai Qi Ii fði Dðfði
& 0 0 0 ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð.ð.ð.ð
1
1
1
0
1
0
0ð
1ð ð
Solution
Codage différentiel (NRZ ( NRZI) :
di = di + di-1
Calcul ai et bi :
EMBED Equation.DSMT4
Correspondance unipolaire ( antipolaire :
0 ( +1 et 1 ( -ð1
di di bi ai Qi Ii fði Dðfði
& 0 0 0 +1 +1 pð/4 & ð
1 1 1 0 -ð1 +ð1 -ðpð/4 -ðpð/2
1 0 0 0 +1 +1 ð ðpð/4 pð/2
1 1 1 0 -ð1 +ð1 -ðpð/4 -ðpð/2
0 1 1 1 -ð1 -ð1 -ð3pð/4 -ðpð/2
1 0 1 0 -ð1 +ð1 -ðpð/4 ð ðpð/2
0 0 0 0 +1 +1 ð ðpð/4 ðpð/2
0 0 0 1 +ð1 -ð1 ð3pð/4 ðpð/2
1 1 0 0 +1 +1 ð ð ðpð/4 -ðpð/2
La correspondance di ( Dðfði est correcte, elle est conforme au tableau :
di Dðfði = fði fði-1
ð ð ð0ð ð ð ðpð/2
ð ð ð1ð ð-ðpð/2
QPSK et OQPSK
Quadrature Phase Shift Keying est une modulation PSK par groupes de deux bits (dibits) : k = 2, M = 4, donc on a quatre niveaux de modulation. Chaque phase de la porteuse modulée correspond à un dibit, donc à un symbole quaternaire.
di+1di fðj (avec i = 2j)
0 0 pð/4
0 1 3pð/4
1 1 -3pð/4
1 0 -pð/4
EMBED Designer.Drawing.7
Le schéma bloc d un modulateur QPSK comprend un convertisseur série/parallèle, un convertisseur unipolaire/antipolaire (didi+1/IjQj) et un modulateur vectoriel.
EMBED Designer.Drawing.7
Le débit de symboles, D/2 Baud, vaut la moitié du débit binaire D bit/s de la séquence {di}, la fréquence Nyquist correspondante vaut fNy = D/4 Hz et la largeur de bande du signal QPSK :
EMBED Equation.DSMT4
Si on compare les densités spectrales de puissance des signaux BPSK et QPSK (ici sans mise en forme et représenté seulement pour f e" fp), on voit que pour le même débit binaire le lobe principal est deux fois plus étroit pour QPSK, d où une efficacité spectrale maximale deux fois plus élevée 2 bit/s/Hz.
Côté récepteur le démodulateur vectoriel est suivi par un convertisseur antipolaire/unipolaire (IjQj/didi+1) et par un convertisseur parallèle/série.
EMBED Designer.Drawing.7
Le signal QPSK pose les même problèmes que le signal BPSK : leffet de lambiguïté de phase de la porteuse recouvrée et des importantes variations de lenveloppe du signal modulé.
Sur le diagramme vectoriel du signal QPSK on observe les passages par lorigine correspondant aux sauts de phase de pð.
EMBED Designer.Drawing.7
Pour les éviter on "casse" le saut de pð en deux sauts de pð/2. C est le principe de la modulation OQPSK Offset Quadrature Phase Shift Keying. En effet, il y a un décalage (offset) de T (période de bit, donc moitié de période de symbole) entre les instants des transitions des signaux aux sorties du convertisseur S/P, comme illustré ci-dessous.
EMBED Designer.Drawing.7
Le diagramme vectoriel du signal OQPSK (ici sans mise en forme) na pas de passages par lorigine. Par exemple, le passage de pð/4 à -3pð/4 se fait en deux temps, de pð/4 à 3pð/4, et seulement après T de 3pð/4 à -3pð/4.
EMBED Designer.Drawing.7
Si on considère le signal OQPSK avec mise en forme, les signaux I(t) et Q(t) correspondants n ont pas de transitions brusques. Le décalage de T est facilement observable sur les diagrammes en il.
Cest ce manque de transitions brusques qui explique lallure du diagramme vectoriel du signal OQPSK avec mise en forme.
Il est très concluant de comparer lallure des enveloppes des signaux QPSK et OQPSK lenveloppe OQPSK ne sannule jamais, ses variations sont limitées à 3 dB.
La DSP du signal OQPSK est identique à celle du signal QPSK, et lefficacité spectrale maximale est la même.
En ce qui concerne leffet de lambiguïté de phase de la porteuse recouvrée les deux modulations sont déficitaires. La solution est la même que dans le cas binaire faire usage d une modulation différentielle.
DQPSK et pð/4-DQPSK
Differential Quadrature Phase Shift Keying est la modulation QPSK différentielle. Comme dans le cas de DPSK binaire, les données contrôlent les sauts de phase de la porteuse modulée et non plus les valeurs absolues de sa phase.
di+1di Dðfðj (avec i = 2j)
0 0 0ð
0 1 pð/2
1 1 pð
1 0 -pð/2
Dans ce cas la porteuse modulée a quatre phases possibles. Le diagramme vectoriel est donné ci-dessous.
EMBED Designer.Drawing.7
On observe que aj contrôle le signe de Ij, et bj -ð celui de Qj. Vue que la modulation est différentielle, le dibit di+1di détermine le saut de phase, et donc le dibit bjaj sera déterminé tant par di+1di, que par la valeur précédente de la phase, donc par bj-1aj-1.
Pour recouvrer la porteuse, vue que les sauts de phase sont des multiples de pð/2, il faut élever le signal reçu à la puissance 4 et extraire la raie à la fréquence 4fp. Après une division de fréquence par 4 on obtient la porteuse de fréquence fp, ayant une ambiguïté de phase multiple de pð/2. La modulation étant différentielle, cette ambiguïté de phase n'a pas d effet sur la séquence décodée, comme expliqué pour la modulation pð/2-DPSK.
La DSP du signal DQPSK est identique à celle du signal QPSK, et l efficacité spectrale maximale est la même.
Sur le diagramme vectoriel du signal DQPSK on observe les passages par l origine correspondant aux sauts de phase de pð. Afin de les éviter il faut faire usage de la modulation différentielle pð/4-DPSK.
L astuce de cette modulation est d ajouter pð/4 à chaque saut de phase du tableau établi pour DQPSK :
di+1di Dðfðj (avec i = 2j)
0 0 pð/ð4ð
0 1 3pð/4
1 1 ð-3ðpð/ð4ð
1 0 -pð/2
Il résulte huit phases possibles du signal modulé, comme illustré par le diagramme vectoriel.
EMBED Designer.Drawing.7
La phase du signal modulé est contrôlée par des groupes de 3 bits, appelés tribits : sont contrôlés tant le signe que l amplitude de Ii et de Qi. Le diagramme de constellation est composé de deux constellations décalées de pð/4 l une par rapport à l autre ; à chaque saut de phase on passe d une constellation à l autre. Ce qui explique qu il n y a pas de sauts de phase de pð, et par conséquent sur le diagramme vectoriel il n y a plus de passages par l origine.
Le recouvrement de la porteuse s effectue à partir du s8(t), l ambiguïté de phase qui subsiste après la division de fréquence par 8 sera, cette fois, multiple de pð/4. Comme dans les précédents cas de modulation différentielle, cette ambiguïté de phase n a pas d effet sur la séquence décodée.
La allure de la DSP du signal pð/4-DQPSK est la même que celle du signal QPSK. Et l efficacité spectrale maximale est la même 2 bit/s/Hz.
8PSK et offset 8PSK
L efficacité spectrale peut être augmentée à 3 bit/s/Hz en effectuant la modulation par groupes de 3 bits. Cest le cas de 8PSK. Les diagrammes de constellation et vectoriel sont représentés ci-dessous. La phase de la porteuse modulée est contrôlée par les tribits di+2di+1di.
EMBED Designer.Drawing.7
Sur le diagramme vectoriel on observe les passages entre chaque point du diagramme de constellation et tous les 7 autres points, ce qui fait quil y a des passages par lorigine, menant aux variations importantes de lenveloppe du signal modulé, voir à son annulation.
Afin de diminuer ces variations on utilise parfois une modulation différentielle appelée 3pð/8 offset 8PSK, car les sauts de phase valent :
Dðfð = k"pð/4 + 3pð/8 avec k = 0, 1, & , 7
Grâce au fait que le saut de phase est toujours un multiple impair de pð/8, il résulte 16 phases possibles. La phase courante du signal modulé est contrôlée par des groupes de 4 bits, calculés à partir du tribit d entrée di+2di+1di et de la phase précédente du signal modulé.
Comme il n y a pas de sauts de phase de pð, sur le diagramme vectoriel il n y a plus de passages par l origine. Le diagramme de constellation est composé de deux constellations entrelacés de 8 phase chacune : les multiples pairs et les multiples impairs de pð/8. A chaque nouveau tribit d entrée on passe d une constellation à l autre.
EMBED Designer.Drawing.7
Linconvénient de cette modulation est le rapprochement des points adjacents sur le diagramme de constellation, et donc la diminution de la marge de bruit. Mais en tenant compte, lors du processus de décision, du passage obligé dune constellation à lautre, on peut maintenir le taux derreurs assez proche de celui atteint avec 8PSK.
Par ailleurs, justement à cause de la diminution de la marge de bruit on nutilise pas PSK seul pour augmenter lefficacité spectrale au dessus de 3 : on utilise des combinaisons de ASK et PSK, connues comme QAM.
16QAM et autres QAM
Quadrature Amplitude Modulation est une modulation en amplitude de deux porteuses en quadrature, et qui a comme résultat un signal modulé tant en amplitude quen phase.
La plus "simple" est la modulation 16QAM. La modulation est effectuée par groups de k = 4 bits, donc il y a M = 24 = 16 niveaux de modulation et lefficacité spectrale maximale vaut 4 bit/s/Hz. Le diagramme de constellation est donné ci-dessous.
EMBED Designer.Drawing.7
Dans certaines applications (voir plus loin) on utilise QAM avec un nombre plus élevé de niveaux de modulation :
32QAM k = 5 M = 32 efficacité spectrale maximale 5 bit/s/Hz,
64QAM k = 6 M = 64 efficacité spectrale maximale 6 bit/s/Hz,
256QAM k = 8 M = 256 efficacité spectrale maximale 8 bit/s/Hz.
Il est évident que pour augmenter de telle façon lefficacité spectrale, tant léquipement utilisé que le canal de transmission doit satisfaire des conditions draconiennes.
MODULATIONS NUMERIQUES NON LINEAIRES
Les modulations numériques non linéaires sont toutes des variantes de modulation de fréquence. Leur avantage commun est lenveloppe constante du signal modulé.
On peut faire une classification suivant lorthogonalité des porteuses modulées et la continuité de phase du signal modulé :
modulation non orthogonale sans continuité de phase
FSK -ð Frequency Shift Keying
modulations orthogonales à continuité de phase
FSK et MFSK -ð Frequency Shift Keying binaire et M-aire
GFSK -ð Gaussian Frequency Shift Keying
MSK -ð Minimum Shift Keying
GMSK -ð Gaussian Minimum Shift Keying
Les modulations à continuité de phase sont connues aussi comme CPFSK (Continuous Phase FSK) ou CPM (Continuous Phase Modulation).
Modulation numérique de fréquence non orthogonale FSK
Frequency Shift Keying est, dans sa forme la plus simple, une modulation binaire, donc k = 1, M = 2, et il y a deux niveaux de modulation :
di fi
ð ð ð0ð ð ðf0
ð ð ð1ð ð ðf1
La fréquence de la porteuse non modulée, fp, représente la moyenne des fréquences f0 et f1 :
EMBED Equation.DSMT4
La déviation de fréquence :
EMBED Equation.DSMT4
Le signal FSK :
s(t) = cos(2pð"(fp ± Dðf)"t),
où le signe ± est contrôlé par les données {di}.
Il n y a aucune contrainte quant au rapport entre la déviation de fréquence Dðf et le débit binaire D. La modulation peut être réalisée par la commutation de deux porteuses non cohérentes de fréquences f0, respectivement f1, et de phases quelconques. Le signal FSK apparaît comme étant le résultat de laddition de deux porteuses modulées OOK (On-Off Keying modulation ASK avec un signal NRZ unipolaire de niveaux A et 0) par des signaux correspondants à deux séquences complémentaires.
Dans le cas dune telle commutation, lors des passages dun bit à lautre, il y aura des sauts de phase de valeurs aléatoires entre pð et pð. Ces sauts de phase mènent à des lobes latéraux pas négligeables de la DSP du signal FSK.
Par modulation OOK on retrouve, centrée sur la porteuse, la DSP en sinc2(fT) du signal modulateur (NRZ unipolaire). Si Dðf >> D la largeur de bande du signal FSK peut être approximée par BFSK H" 2"(Dðf+D) et dans ce cas le seul inconvénient des sauts de phase est l atténuation relativement lente des lobes latéraux de la DSP.
Par contre, des sauts de phase de valeurs aléatoires entre pð et pð représentent un inconvénient de taille dans le cas où les fréquences f0 et f1 ne sont pas beaucoup plus élevées que le débit binaire D : ils causent une importante gigue des transitions du signal démodulé.
En effet, des sauts de phase |Dðfð| d" pð du signal modulé, dont la fréquence instantanée fi vaut soit f0, soit ou f1, produisent une gigue relative des transitions du signal démodulé :
EMBED Equation.DSMT4
La gigue est importante si fi et D sont du même ordre de grandeur, et cest le cas des transmissions de données par des lignes téléphoniques analogiques.
Lexemple ci-dessous correspond au cas du modem de 1200 bit/s (f0 = 2100 Hz et f1 = 1300 Hz) où, le débit binaire D et les fréquences f0 et f1 étant du même ordre de grandeur, la gigue due aux sauts de phase serait critique, dans le sens quelle mènerait à une augmentation sensible du taux derreurs.
Dans de tels cas il y a deux solutions :
utiliser un schéma qui permet de réduire les sauts de phase ;
utiliser un VCO de précision, donc passer à une modulation sans sauts de phase.
Le schéma donné ci-dessous permet de réduire autant quon veut les sauts de phase.
EMBED Designer.Drawing.7
On choisie la fréquence fq de loscillateur à quartz un multiple commun de m"f0 et m"f1 :
fq = k"m"f0 = n"m"f1
Les sauts de phase du signal FSK sont limités à l intervalle [-pð/m, pð/m] et m peut être convenablement choisi.
La modulation FSK est la première à avoir été utilisée pour transmissions de données par canaux téléphoniques analogiques. La justification du choix est la simplicité du modulateur et du démodulateur (non cohérent). Etant donné que la bande passante de ces canaux est très "modeste", (approximativement de 400 Hz à 3400 Hz), on a essayé de lutiliser le mieux afin daugmenter le plus possible le débit des données. On est arrivé à des débits du même ordre de grandeur que f0 et f1, où la réduction des sauts de phase est obligatoire.
Afin dévaluer la largeur de bande du signal FSK dans ce cas, il faut se référer à sa densité spectrale de puissance. Pour un signal FSK à sauts de phase réduits, la DSP sapproche beaucoup de celle du signal FSK à phase continue, représentée ci-dessous. Son allure dépend fortement de la déviation totale de fréquence normalisée, notée h :
EMBED Equation.DSMT4
où D = 1/T bit/s représente le débit binaire.
Le choix de Dðf est limité par la bande passante du canal ; dans ce cas le choix de D détermine la valeur de h et donc l allure de la DSP. Une bonne utilisation de la bande conduit à des valeurs du paramètre h proches de 1. Ci-dessous est représentée (seulement pour f e" fp) la DSP normalisée Q(f)/T en fonction de la fréquence normalisée (f-fp)"T, pour des valeurs de h autour de 1.
On constate que la meilleure utilisation de la bande a lieu pour des valeurs de h aux environs de 0.65.
Pour h = 0.65 la largeur de bande du signal FSK peut être approximée par :
BFSK H" 2"0.7"D = 1.4"D
L efficacité spectrale correspondante vaut approximativement 0.7 bit/s/Hz. Ce qui explique pourquoi seulement les modems de bas débit (jusqu à 1200 bit/s) utilisaient la modulation FSK binaire et que pour augmenter le débit on a été obligé de recourir à des modulations ayant une meilleure efficacité spectrale.
En ce qui concerne le démodulateur non cohérent, une solution simple et très efficace est celle qui utilise un PLL (analogique ou numérique). Ci-dessous est donné le schéma dun démodulateur à PLL avec détecteur de verrouillage.
EMBED Designer.Drawing.7
On choisit la fréquence de libre oscillation du PLL égale à celle de la porteuse :
fOL = fp
Fonctionnement au synchronisme (PLL verrouillé)
En considérant le DP de type multiplicateur, si le signal FM dentrée est en sinus, le signal du VCO vers le DP est en cosinus, avec un déphasage dépendant de la différence fi - fOL. La tension de contrôle du VCO varie avec la variation de cette différence et elle est nulle pour fi = fOL.
Ci-dessous est représentée la dépendance v(fi - fOL) en tenant compte du fait que tant le signal dentrée écrêté, que le signal du VCO sont rectangulaires, donc sin est remplacé par sgn(sin), respectivement cos - par sgn(cos).
EMBED Designer.Drawing.7
Pour que le PLL puisse suivre un signal FSK, le filtre passe-bas de la boucle doit être de bande large, ce qui fait que la composante de fréquence double, présente à la sortie du DP ne soit pas suffisamment atténuée, doù la nécessité dun filtre passe-bas, dit "post-détecteur", en dehors de la boucle. Ce filtrage est très important et presque critique si la porteuse est du même ordre de grandeur que le débit binaire.
En ce qui concerne la branche du détecteur de verrouillage, le signal du VCO vers le DP en quadrature est, comme le signal dentrée, en sinus, avec un déphasage dépendant de la différence fi - fOL. La tension de sortie du DP en quadrature, filtrée passe-bas, atteint son maximum là, où ce déphasage est nul, donc pour fi = fOL.
EMBED Designer.Drawing.7
Afin de ne pas risquer le décrochage, la plage de fonctionnement du PLL comme démodulateur FSK est toujours inférieure à sa plage de synchronisation 2Dðfs, et par conséquent vv(t) est toujours positive. En comparant cette tension avec un seuil choisi en conformité avec la déviation de fréquence du signal FSK |fp f1| = |fp f0|, on obtient une indication sur le verrouillage du PLL, et donc sur la validité des données {di} à la sortie du démodulateur.
Fonctionnement en l absence du verrouillage
Quand le PLL n est pas synchronisé sur le signal FSK d entrée, fo `" fi et à la sortie du DP en quadrature on a un signal de battements de fréquence fi fo ; dans ce cas, même si la tension vv(t) à lentrée du comparateur nest pas nulle, elle se trouve en dessous du seuil du comparateur, dont le niveau de sortie indique donc labsence du verrouillage.
En labsence du signal FSK à lentrée, dû à un certain offset (jamais tout à fait nul) du DP en quadrature, à sa sortie on retrouve, très atténué, le signal du VCO de fréquence fOL. Même si ce signal a une certaine composante continue, elle est très faible, donc la tension à la sortie du filtre passe-bas se trouve en dessous du seuil, et de nouveau la sortie du comparateur indique labsence du verrouillage.
Modulations numériques orthogonales
MFSK
Soit le cas dune modulation de fréquence M-aire avec M fréquences fi correspondant aux M symboles ai.
La modulation est dite orthogonale si
EMBED Equation.DSMT4
donc si les porteuses modulées sont orthogonales sur une période de symbole.
Lorthogonalité correspond à lannulation du coefficient de corrélation mutuelle, rðij. La dépendance du coefficient de corrélation mutuelle de l écart fi - fj est facilement mise en évidence. En effet :
EMBED Equation.DSMT4
car la deuxième intégrale est négligeable pour fi + fj >> 1/Ts. Il résulte que la condition d orthogonalité est remplie si l écart fi - fj vaut un multiple de la moitié du débit des symboles Ds/2 = 1/2Ts :
EMBED Equation.DSMT4
Si entre les porteuses il y a un déphasage, et si ce déphasage est différent de pð, le coefficient de corrélation s annule seulement pour fi - fj multiple pair de 1/2Ts.
En notant lécart entre les fréquences de deux porteuses modulées adjacentes
min |fi fj| = 2fd
on obtient lécart de fréquence normalisé h = 2fd/Ds = 2fdTs. La plus petite valeur de h correspondante à lorthogonalité non conditionnée par le déphasage fð vaut 1, et c est le cas de MFSK.
La modulation MFSK est effectuée avec un VCO de précision, il résulte un signal modulé à continuité de phase.
L orthogonalité des porteuses permet la démodulation cohérente du signal MFSK, ce qui assure un taux d erreurs plus petit par rapport à une démodulation non cohérente.
La densité spectrale de puissance du signal MFSK comporte des raies à toutes les fréquences fi, ce qui rend facile le recouvrement des porteuses.
Le principe de la démodulation cohérente dun signal MFSK est illustré ci-dessous. Le démodulateur comprend M branches, et le signal MFSK reçu est multiplié par toutes les M porteuses recouvrées ; le symbole M-aire ai correspond à la branche dont le signal filtré passe-bas est le plus grand.
EMBED Designer.Drawing.7
Les performances du démodulateur cohérent peuvent être améliorées en remplaçant les filtres passe-bas par des intégrateurs contrôlés par lhorloge de symbole, de façon que les intégrations soient effectuées pendant la durée d'un symbole. Il est intéressant de remarquer que avec laugmentation de M le taux derreurs diminue. Ce "paradoxe" sexplique par le fait quavec laugmentation de M augmente aussi Ts, et donc lintervalle dintégration, et par conséquent leffet du bruit diminue. Le prix à payer cest une importante augmentation de la largeur de bande du signal modulé et de la complexité du démodulateur.
GFSK
La largeur de bande dun signal MFSK est, comme celle de tout signal modulé en fréquence, théoriquement infinie. Pratiquement, on peut la considérer finie, en prenant en compte la bande dans laquelle se trouve un certain pourcentage de la puissance totale du signal et en négligeant la DSP en dehors de cette bande.
Dans la définition de la largeur de bande finie ce qui compte nest pas seulement la puissance dans la bande, mais aussi la façon dont satténue la DSP en dehors de la bande. Ca c'est important afin de pouvoir placer les signaux de plusieurs communications dans une bande de fréquence donnée.
De ce point de vue une amélioration sensible du spectre MFSK est possible en précédant le VCO par un filtre passe-bas de type gaussien.
EMBED Designer.Drawing.7
Le choix du filtre gaussien est justifié par le fait que le signal gaussien, dont la transformé Fourier est aussi une gaussienne, est caractérisé par le plus petit produit durée - bande. Des détails concernant le filtre gaussien sont données plus loin, lors de la présentation de la modulation GMSK.
MSK Minimum Shift Keying
MSK est une modulation bit par bit, dont lidée de base est la suivante : un saut de fréquence Dðf produit pendant la durée T d un bit un certain changement de phase de la porteuse, positif ou négatif. Par conséquent, les sauts de fréquence peuvent être détectés en échantillonnant la phase chaque période de bit. Les changements de phase de (2N+1)"pð/2 par période de bit sont facilement détectables à l aide d un démodulateur vectoriel.
Le changement de phase minimum qui permet ce type de démodulation vaut pð/2 (N=0). Le saut de fréquence Dðf correspondant satisfait la relation :
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