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Correction - Math93

Correction des exercices 4 et 6 du TD4 et 5 du TD5. Remarque1 : dans le DS du 15 décembre (ex. 1 partie B), il faut considérer le flux de chaleur entre deux ...




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TD n°2 : Valeur future et actualisation – Correction des exercices

Versement unique

Exercice 1: Valeur future et calculs d’années
On place 10 000 pendant n années au taux actuariel annuel de 3.5%. La valeur future obtenue au bout des n années est de 15 110.69. Calculer n.
On a l’équation : 15 110,69 = 10 000((1 + 3,5%)n donc n =  eq \s\do1(\f(ln ( eq \s\do1(\f(15 110.69;10 000))) ; ln(1 + 3.5%) )) =12
Exercice 2 : Valeur future et calculs de taux
On place 10 000 pendant 7 années au taux actuariel annuel de t%. La valeur future obtenue au bout des 7 années est de 20 000. Calculer t.
On a l’équation : 20 000 = 10 000((1 + t%)7
donc (1 + t%)7 = 2 soit t% = 21/7 – 1 SYMBOL 187 \f "Symbol"\h 0,10409 d’où un taux de 10,409 % (t = 10,409)
Exercice 3 : Valeur actuelle
Soit 100 000 acquis au terme d’un placement de 7 ans au taux annuel de 6%, calculer sa valeur actuelle.
C0 =  eq \s\do1(\f(100 000;1,067)) = 100 000 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 1,06 – 7 SYMBOL 187 \f "Symbol"\h 66 505,71.
Exercice 4 : Valeur actuelle et calcul d’années.
Soit 100 000 acquis au terme d’un placement de n années au taux annuel de 5%, sa valeur actuelle étant de 67 683,94. Calculer n.
100 000 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 1,05– n = 67 683,94 ou 67 683,94 ( 1,05n = 100 000 donc 1,05n =  eq \s\do1(\f(100 000;67 683,94))
et n =  eq \s\do1(\f(ln eq \b( eq \s\do1(\f(100 000;67 683,94)));ln(1,05))) SYMBOL 187 \f "Symbol"\h 8 années
Exercice 5 : Valeur actuelle et calcul de taux.
Soit 100 000 acquis au terme d’un placement de 10 années au taux annuel de t%, sa valeur actuelle étant de 64 392,77. Calculer t.
100 000 = 64 392,77 ( (1 + t%)10 soit (1 + t%)10 =  eq \s\do1(\f(100 000;64 392.77 ))
et t% =  eq \b( eq \s\do1(\f(100 000;64 392.77 )))1/10 -1 SYMBOL 187 \f "Symbol"\h 0,04499 donc le taux est de 4,5 % (t = 4,5)
Exercice 6 : Valeur future et diagramme des flux
Soit un capital de 500 000 placé au taux annuel actuariel de 5%. Quelle est la valeur future de ce capital dans 5 ans ? On présente ici le diagramme des flux.
 EMBED Excel.Sheet.8 
La première flèche se situe au temps t0 et correspond au versement par l’investisseur de la somme de 500 000 au titre du placement (flux négatif car il s’agit d’un décaissement). Elle représente la valeur actuelle.
Les traits verticaux correspondent aux différentes périodes de capitalisation (il y en a 5).
La seconde flèche est dirigée vers le haut (sens positif) car il s’agit pour l’investisseur d’un encaissement. C’est la valeur future (au terme des 5 années)
Correction : Vf = 500 000 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 1,055 H" 638 140,78


Suite de versements
Exercice 7 : Valeur actuelle
Soit une suite de 5 versements annuels à terme échu :
ª% le premier de 50 000 le 01.01.n+1
ª% le second de 10 000,
ª% les troisième et quatrième de 5 000
ª% le dernier de 15 000.
Déterminer la valeur actualisée au taux de 3% annuel au 01.01.n. (Rép. : 79 926,92), puis cette même valeur si les flux sont début de période (Rép : 82 324,73). Correction :
1°) Va = 50 000 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 1,03  1 + 10 000 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 1,03  2 + 5 000 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 1,03  3 +5 000 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 1,03  4 + 15 000 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 1,03  5
 eq \x(Va H" 79 926,92 )
2°) Va = 50 000 + 10 000 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 1,03  1 + 5 000 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 1,03  2 +5 000 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 1,03  3 + 15 000 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 1,03  4
 eq \x(Va H" 82 324,73 )



Exercice 8 : Valeur future
Soit un contrat de placement de 1 000/ mois durant 3 ans au taux actuariel annuel de 5%.
Signature du contrat le 01.01.n
Premier versement le 01.02.n
Fin du contrat et dernier versement le 01.01.n+3
Quelle est la valeur future de ce placement ? Présenter le diagramme des flux.
Correction :
 EMBED Excel.Sheet.8 
Il s’agit de versements à termes échus.
Donc Cu = 1 000 + 1 000 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h (1 + Tm) + 1 000 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h (1 + Tm)2 + …. + 1 000 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h (1 + Tm)35
 eq \b\lc\{( \s(1 000 correspond au dernier versement ; 1 000 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h (1 + Tm)35 au premier versement 01.02.n ; Tm est le taux mensuel équivalent (à calculer)))
Soit après factorisation
Cu = 1 000 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h  eq \b\bc\[(1 + (1+Tm) + … + (1+Tm)35 )
Cu = 1 000 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h  eq \s\do1(\f(1 – ( 1 +Tm )36;1 – (1 + Tm) )) (somme des termes d’une suite géométrique de raison 1+Tm )
Il faut calculer Tm :
On a : (1 + Tm)12 = (1 + Ta)1 soit  eq \x(Tm = 1,051/12  1 H" 0, 4074 %)
Donc  eq \x(Cu H" 38 689,22 )







Exercice 9 : Valeur future.
On reprend l exercice précédent (exercice 8) avec cette fois.
Début du contrat le 01.01.n
Premier versement le 01.01.n
Dernier versement le 01.12.n+2
Fin du contrat le 01.01.n+3
Quelle est la valeur future de ce placement ? Présenter le diagramme des flux.
Correction :
 EMBED Excel.Sheet.8 
Il s’agit de versements à termes à échoir.
Donc Vf = 1 000 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h (1 + Tm) + 1 000 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h (1 + Tm)2 + …. + 1 000 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h (1 + Tm)36
 eq \b\lc\{( \s(1 000(1 + Tm) correspond au dernier versement ; 1 000 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h (1 + Tm)36 au premier versement 01.01.n ; Tm est le taux mensuel équivalent (à calculer)))
Soit après factorisation
Vf = 1 000 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h  eq \b\bc\[((1+Tm) + … + (1+Tm)36 ) = Cu SYMBOL 180 \f "Symbol"\h (1 + Tm)
Vf = 1 000 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h (1 + Tm) SYMBOL 180 \f "Symbol"\h  eq \s\do1(\f(1 – ( 1 +Tm )36;1 – (1 + Tm) ))
(Somme des termes d’une suite géométrique de raison 1+Tm )
Donc  eq \x(Vf H" 38 846,84 )


Exercice 10 : Valeur future.
Soit un contrat de placement de 1 000/ mois durant n ans au taux actuariel mensuel équivalent de 0,5%.
Signature du contrat le 01.01.2006
Premier versement le 01.02.2006
Fin du contrat et dernier versement le 01.01.2006+n
La valeur future de ce placement est de 142 739,90. Calculer n.
Il s’agit de versements à termes échus.
Donc Vf = 1 000 + 1 000 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h (1 + Tm) + 1 000 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h (1 + Tm)2 + …. + 1 000 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h (1 + Tm)12n-1
 eq \b\lc\{( \s(1 000 correspond au dernier versement ; 1 000 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h (1 + Tm)12n-1 au premier versement 01.02.2006 ; Tm est le taux mensuel équivalent ))
Soit après factorisation
Vf = 1 000 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h  eq \b\bc\[(1 + (1+Tm) + … + (1+Tm)12n-1 )
Vf = 1 000 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h  eq \s\do1(\f(1 – ( 1 +Tm )12n;1 – (1 + Tm) )) = 1000 (  eq \s\do1(\f(1 – ( 1 +0,5% )12n;1 – (1 + 0,5%) ))
Donc 142 739,90 = 1000 (  eq \s\do1(\f(1 – ( 1 +0,5% )12n;1 – (1 + 0,5%) )) soit  eq \s\do1(\f(1 – ( 1 +0,5% )12n;– 0,5%)) = 142,7399
Et 1,00512n = 0.5% ( 142,7399 + 1
D’où 12n = ln(0.5% ( 142,7399 + 1) / ln (1,005) SYMBOL 187 \f "Symbol"\h soit n = 9


Exercice 11 : Valeur actuelle et calcul de n

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Vactuelle = 10 000 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h  eq \s\do1(\f(1 – 1,04 – n;0,04)) = 93 850,74 donc 1 – 1,04-n =  eq \s\do1(\f(93 850,74 ( 0,04;10 000))
Et 1,04-n = 1 -  eq \s\do1(\f(93 850,74 ( 0,04;10 000)) soit - n =  eq \s\do1(\f(ln  eq \b(1 -  eq \s\do1(\f(93 850,74 ( 0,04;10 000)));ln(1,04)))
Après calcul n = 12.

Exercice 12 : Valeur actuelle et calcul de n

M. Dupont verse chaque 1er janvier et pendant n ans la somme de 10 000 (premier versement le 01.01.N) sur un compte ouvert le 01.01.N rémunéré au taux de 5%. La valeur actualisée au taux de 5% de versements réalisés par M. Dupont est de 118 377,70 . Calculer n.

Vactuelle = 10 000 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 1,05 (  eq \s\do1(\f(1 – 1,05 - n;0,05)) = 118 377,70
1 – 1,05- n =  eq \s\do1(\f(118 377,70 ( 0,05;10 000(1,05)) soit 1,05- n = 1 -  eq \s\do1(\f(118 377,70 ( 0,05;10 000(1,05))
- n =  eq \s\do1(\f(ln  eq \b(1 -  eq \s\do1(\f(118 377,70 ( 0,05;10 000(1,05))) ; ln (1,05))) et donc n = 17.
TD n°2 : Valeur future et actualisation– CORRECTION  PAGE 3/ NUMPAGES 4