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vincent jullien - Centre Atlantique de Philosophie

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Ce que dit Descartes touchant
la chute des graves



Vincent Jullien et André Charrak

Septentrion 2002 Table des matières
Avant Propos
Première partie : situation de la chute des graves chez Descartes
Synopsis des écrits cartésiens sur la chute des graves
Première période, Descartes avant son Monde.
IIème période, Un phénomène de ma physique.
IIIème période. Place aux principes.
Un essai de formalisation .
IVème période. Principes cartésiens, effets Galiléens.
Vème période. La quantification de la chute des graves.

Examen des principaux arguments et critiques concernant la loi de la chute des graves et la géométrisation de la physique chez Descartes
Sur la question particulière de la loi de chute des graves
Sur la notion de Vitesse
Sur le temps et/ou espace en extensio
Sur l'absence du concept de fonction
Sur la question plus générale d’une relation non effective entre physique et mathématiques
La hiérarchisation des tâches
Une physique trop compliquée
L’unité de la science
Une hétérogénéité d’objets
Loi du mouvement et quantification de la chute
abstraction ou réduction
La chute « en supposant deux ou trois choses très fausses »
La chute, une question de fait ?
Un obstacle mathématique
Fécondité d’une physique inachevée ?
Une physique mathématique ?
Conclusion


Seconde partie. Présentation des textes, analyse et commentaire
Chapitre I. « Descartes avant son Monde »
Premier texte. Novembre-Décembre 1618.
Deuxième texte-1618.
Troisième texte. In cogitationes privatae, parmi les Opuscules de
1619-1621 des manuscrits de Leibniz.
Chapitre II. « Un phénomène de ma physique »
Texte IV, 13 novembre 1629
Texte V, 18 décembre 1629
Chapitre III. « Place aux Principes »
Textes VI,VII et VII, 1631-1632
Textes IX, X, XI et XII, 1632-1634
Chapitre IV. « Un essai de formalisation»
Texte XIII , extrait des Anatomica du 5 février 1635 
Chapitre V. « Principes cartésiens, effets galiléens »
Textes XIV à XVII, 1636-1639
Textes XVIII à XXI, 1640-1642
Chapitre VI. « La quantification de la chute d’un grave »
Texte XXII-Lettre à Huygens 18-19 février 1643
Textes XXIII à XXV. 1643-1646.
Vingt ans après




Vincent JULLIEN

et

André CHARRAK






Lapis cadens


de 1618 à 1646, la chute des graves chez Descartes,
un indicateur de sa philosophie naturelle


Lapis cadens
Descartes et la chute des graves


« La loi de la chute des corps est une loi fort importante : c’est la loi fondamentale de la dynamique moderne. C’est en même temps une loi extrêmement simple ; elle s’épuise entièrement dans une définition : la chute des corps est un mouvement uniformément accéléré ». C’est en ces termes qu’Alexandre Koyré caractérise ce qui constitue le résultat sans doute le plus décisif de la physique du premier XVIIeme siècle. A cette appréciation, on pourra en joindre une autre, due à Pierre Duhem, qui donne à cet énoncé fondamental sa valeur historique « Aristote avait formulé cette loi : une force constante produit un mouvement uniforme dont la vitesse est proportionnelle à la force qui l’engendre. Pendant près de deux mille ans, cette loi a dominé la mécanique. Aujourd’hui nous professons une autre loi : une force constante engendre un mouvement uniformément accéléré et l’accélération de ce mouvement est proportionnelle à la force qui sollicite le mobile ».
L’accomplissement de cette étape majeure de l’histoire de la philosophie naturelle est très généralement porté au mérite de Galilée et nous ne discuterons certainement pas ce jugement incontestable. Lors de ses débuts à Pise, vers 1590, le jeune Galilée cherche à tirer le meilleur parti de la doctrine de l’impetus qu’il abandonne bientôt. Trois moments sont classiquement repérés dans l’élaboration galiléenne de la loi de la chute ; trois fois où il l’énonce explicitement. D’abord le 16 octobre 1604 dans la lettre qu’il adresse à son ami Paolo Sarpi et dans laquelle on peut lire « Réfléchissant aux problèmes du mouvement, pour lesquels, afin de démontrer les accidents observés par moi, il me manquait un principe absolument indubitable que je pourrais poser pour axiome. J’en suis venu à une proposition qui paraît suffisamment naturelle et évidente. Laquelle étant supposée, je démontre après tout le reste, notamment que les espaces franchis par le mouvement naturel sont dans la proportion double du temps et que, par conséquent, les espaces franchis dans des temps égaux sont comme les nombres impairs à partir de l’unité. […]Le principe est celui-ci : que le mobile naturel va en augmentant de vitesse dans la proportion même où il s’éloigne de son point de départ ... ». Le second exposé de la loi se trouve dans la seconde journée du Dialogo, publié en 1632 à Florence. Salviati présente ainsi ses conclusions : « Avant toute chose, il faut considérer comment le mouvement des graves qui se meuvent vers le bas n’est pas uniforme mais s’accélère continuellement à partir du repos. Cet effet est connu de tous […] Mais cette connaissance générale n’est d’aucun profit si on ne connaît pas dans quelle proportion se fait cet accroissement de vitesse, une conclusion, celle-ci, qui a été ignorée jusqu’à nos jours par tous les philosophes et qui a été retrouvée et démontrée par notre ami par notre ami académicien. Celui-ci […] démontre comment l’accélération du mouvement en ligne droite des graves se fait suivant les nombres impairs à partir de l’unité. C’est-à-dire que si l’on fixe autant de temps que l’on veut, quelconques, mais égaux entre eux, et si le mobile traverse un certain espace à partir du repos, par exemple une canne dans le premier temps, dans le deuxième temps il traversera trois cannes, dans le troisième cinq, dans le quatrième sept et ainsi de suite suivant les nombres impairs successifs ; ce qui, en somme revient à dire que les espaces traversés par le mobile , en partant du repos, ont une proportion double de celle qu’ont les temps pendant lesquels ces espaces ont été mesurés, c’est-à-dire que les espaces sont entre eux comme les carrés des temps ». Ce résultat est obtenu à partir d’un principe tout à fait différent de celui qui avait été donné en 1604, à savoir que « les degrés des vitesses accélérées s’accroissent de quantités égales en des temps égaux » (id.). Le temps est devenu ‘sujet’ du graphique, sur la ligne de l’extensio où il a remplacé l’espace. Bien des problèmes sont ici implicites, qui concernent aussi bien la genèse de cette élaboration, le statut de la loi et notamment son degré de certitude, que les concepts et les méthodes employées dans l’exposé comme dans la démonstration (de quelle vitesse s’agit-il ? comment sont utilisés les indivisibles ? quel est le rapport entre les agrégats d’indivisibles représentant les degrés de vitesse et l’espace parcouru ?). L’étude de ces questions n’entre pas dans le cadre du travail présent ; en les mentionnant, nous pouvons cependant indiquer qu’elles seront présentes dans les travaux cartésiens. Enfin, dans les Discorsi, publiés à Leyde en 1638, l’affaire est présentée de manière beaucoup plus systématique et discursive. Un point nouveau et extrêmement important est posé puisque l’objet étudié est le « mouvement accéléré tel que la nature l’utilise ». La capture de l’essence du mouvement est réalisée à partir des coïncidences expérimentales, mais surtout à l’aide de considérations générales a priori, comme celle-ci « Nous avons été conduit comme par la main en observant la règle que suit ordinairement la nature dans toutes ses autres opérations, où elle a coutume d’agir en employant les moyens les plus ordinaires, les plus simples et les plus faciles ». Le choix du temps comme grandeur en extensio est posé, et la proportion fondamentale naturellement acquise puisque, «Quand donc j’observe une pierre tombant d’une certaine hauteur à partir du repos, et recevant continuellement de nouveaux accroissements de vitesse, pourquoi ne croirais-je pas que ces additions ont lieu selon la proportion la plus simple et la plus évidente ? Or, tout bien considéré, nous ne trouverons aucune addition, aucun accroissement plus simple que celui qui toujours se répète de la même façon. Ce que nous comprendrons aisément en réfléchissant sur l’étroite affinité entre le temps et le mouvement ». Ceci conduit Galilée, quelques lignes plus loin à conclure « Nous ne nous écarterons donc pas de la droite raison, si nous admettons que l’intensification de la vitesse est proportionnelle à l’extension du temps ; aussi la définition du mouvement dont nous allons traiter peut-elle se formuler comme suit : je dis qu’un mouvement est également ou uniformément accéléré quand, partant du repos, il reçoit, en des temps égaux, des moments (momenta) égaux de vitesse ». Le second théorème déduit de ces données offre l’énoncé désormais classique de la doctrine galiléenne sur cette question capitale : « Si un mobile, partant du repos, tombe avec un mouvement uniformément accéléré, les espaces parcourus en des temps quelconques par ce même mobile sont entre eux en raison double des temps, c’est-à-dire comme les carrés de ces mêmes temps ».
Voici donc, brièvement évoqué, le tableau de l’effort galiléen qui le conduit au succès. Ce que nous souhaitons faire, au cours de cet ouvrage, c’est une analyse détaillée de l’effort concomitant de Descartes sur le même problème. Il est généralement tenu pour acquis que cet effort conduit le philosophe français à l’échec. Nous croyons que c’est là un bilan qui manque de nuances, ne serait-ce qu’en raison de l’existence de certains textes cartésiens dont les résultats coïncident avec le théorème de Galilée. Nous verrons aussi que nombre de problèmes proprement physiques et mathématiques sont similaires chez les deux savants ; problèmes qui tiennent à l’élaboration des concepts de base de la cinématique (espace parcouru, vitesse, accélération, statut du temps de chute) et problèmes de composition du continu et de passage à la limite. Pour l’essentiel, ce qui constitue la ligne de partage des eaux entre eux est sans nul doute d’ordre philosophique : une doctrine de l’abstraction toute différente, voire opposée, une conception de la mathématisation des faits physiques elle aussi radicalement distincte.

Nous nous proposons donc d’exposer ici les résultats d’un examen de l'ensemble des textes que Descartes consacre au problème de la chute des corps. Les vingt cinq documents qui s'y rapportent directement couvrent presque toute la carrière scientifique de Descartes, de 1618 à 1646. Cette étude se distingue ainsi des analyses et des exposés déjà produits sur cette question qui, en général, ne considèrent que les textes issus de la discussion avec Beeckman et deux ou trois lettres écrites à Mersenne autour de 1630. La plupart des passages que nous prenons en considération sont brefs et extraits de lettres dont ils ne constituent pas l'unique sujet. Il n'empêche que leur prise en compte est indispensable si l'on souhaite contribuer au dévoilement de la pensée cartésienne sur la chute des corps. Il est remarquable, notamment, que la critique ait généralement négligé la décisive lettre à Huygens de 1643 ou le passage des Anatomica du 5 février 1635.
Il convient de s'accorder sur ce en quoi consiste le traitement cartésien de la chute des graves. On peut partir d’une description courante : lors de ses premières études (1618-1620), Descartes établit une mise en équations (au sens des Regulae, où une équation exprime les rapports des diverses grandeurs prises en compte) du mouvement d'un corps en chute libre dans le vide. Que la loi soit fausse n'est pas, pour l’instant, le problème. Descartes n’y revient pas dans les dernières années de sa vie (1646-1650), et nous devons nous en tenir aux commentaires proprement physiques fournis, pour l’essentiel, dans la correspondance. Les premières tentatives tombent alors sous le coup de deux remarques : d’une part, Descartes admet qu’il ne peut mettre en équations, dans toute sa généralité, le mouvement de chute des corps réels, tel que sa doctrine de la gravité permet de l’expliquer. D’autre part, il se défend d'en vouloir donner une expression quantitative dans le vide et compte non tenu de la variation de la gravité. On ne trouvera donc, dans les textes de la maturité, ni une équation qui correspondrait à la réalité d’un phénomène général, ni une loi abstraite, comme celle que fournit Galilée. L’examen du dossier ne bousculera pas ce cadre apparemment restrictif, mais il permettra d’identifier les possibilités qu’il tolère et que Descartes ne manque pas d’explorer.
Toute la réflexion cartésienne sur cette question se situe dans le contexte général d’une destruction de la doctrine aristotélicienne du mouvement et de l’émergence d'une nouvelle physique. Elle engage certains aspects des rapports entre métaphysique, physique et mathématiques, dans les différents états du système. La première difficulté que nous rencontrons consiste donc à limiter ce travail aux seuls textes qui doivent être examinés pour eux-mêmes. L'effet — accept頗 de cette délimitation est une réduction de la portée de l'entreprise. Nous avons choisi de ne pas rendre compte de la doctrine générale du mouvement ni de la théorie de la pesanteur, donc de la conception cartésienne de la matière et des éléments : par suite, nous ne prétendons pas examiner, dans toute leur généralité, les fondements métaphysiques du mécanisme cartésien. Il est bien sûr inévitable que ces principes interviennent dans la discussion, parfois même de façon assez insistante. C'est cependant un objectif modeste et précis que nous souhaitons atteindre, même s’il peut contribuer - en tant que pierre constitutive d'un édifice - à l'examen de ces thématiques générales.
Le grand nombre des interventions de Descartes tient d’abord, et tout simplement, à l'importance du sujet. Bien souvent, Descartes l'aborde en réponse à une question précise et insistante de Mersenne. On pourrait alors soutenir qu'il ne s'agit que de prises de positions un peu contraintes et marginales, sur un sujet obligé. C’est partiellement exact, mais il suffit de s'interroger sur l'insistance obstinée du père Mersenne, pour se remettre à l'esprit le rôle considérable des discussions sur la chute des graves dans l'Europe savante, au sein des milieux engagés dans la réforme générale de la philosophie et de la science.
Pour rendre explicites nos motivations, il nous faut indiquer qu'un caractère général de l'épistémologie cartésienne est tout de même visé : celui du rapport existant entre la géométrie et la physique. Cette étude suggère que le problème circonscrit et limité de la chute puisse servir d'indicateur ou de témoin pour la question plus générale de la possibilité ou de l'impossibilité d’une mise en équations d’un phénomène du Monde créé. Nous pensons en effet que ces deux questions (chute des corps et géométrisation de la physique) sont étroitement mêlées et que les évolutions de Descartes dans un domaine retentissent dans l'autre.
Il faudra pourtant se résoudre à ne pas identifier purement et simplement, chez Descartes, géométrisation et mise en équation, c’est-à-dire, aussi bien, à lui réserver une place marginale dans le grand mouvement qui, avec Galilée, inaugure l’histoire de la science classique. Nous ne devons pas nous aveugler sur le caractère paradoxal de cette situation : Descartes, qui donne toute sa puissance à l’application de l’algèbre à la géométrie, paraît hésiter et suspendre l’application générale de la géométrie algébrique à la physique. Ce grand problème déborde le cadre de notre étude, mais le cas de la chute des graves impose une vision plus nuancée des procédures développées dans la physique cartésienne. Il demeure en effet, pour faire vite, que c’est bien le problème d’une mise en équation des phénomènes que les contemporains posent à Descartes lorsqu’ils lui demandent de se prononcer sur la chute des graves. La Géométrie n’est plus alors la géométrie classique, ou géométrie des anciens (celle qui embarrasse trop l’imagination, celle qui n’est pas soumise à l’ordre). Ce n’est pas non plus la Mathesis universalis dont la géométrie n’est qu’une partie (celle qui concerne les questions parfaitement connues). Ce n’est pas davantage cette géométrie naturelle que Descartes associe directement à l’identification de la nature des corps avec leur étendue. En ce sens-ci (et Descartes le généralise, après les méditations), il y a géométrie, dès lors qu’il y a physique ; elle est de droit mais son décodage n’est pas certainement effectif. Il est ici question de la Géométrie exposée dans l’essai de 1637 et déjà méditée dans les Regulae. En somme, il s’agit bien de la géométrie algébrique, c’est-à-dire celle où les étendues, les dimensions d’un problème sont mises en équations à partir des procédures de la théorie des proportions. Toute la question est - dans cette étude - de savoir si les dimensions du problème de la chute peuvent faire l’objet d’une connaissance telle qu’elle relèverait de cette géométrie, c’est-à-dire d’une mise en équation. Corrélativement, on doit envisager l’introduction d’autres procédures de mise en équation, certes moins « classiques », et que Descartes estimerait seulement ‘mécaniques’, susceptibles de s’appliquer au phénomène. Géométrie et mathématiques reçoivent ainsi le sens que leur donne Descartes lorsque, selon l’Entretien avec Burnam, il admet que, dans sa philosophie (publiée), seuls quelques endroits de la Dioptrique sont mathématiques – nous reviendrons bien entendu sur ce texte délicat.
Si l'objectif de ce travail n'est donc pas d'étudier les rapports généraux et extrêmement complexes que Descartes reconnaît entre physique, métaphysique et mathématiques, il demeure cependant de saisir un thème dans son évolution interne à la pensée cartésienne pour y voir à l'œuvre ce triptyque.
L'étude des rapports de la physique à la métaphysique a produit une littérature de très grande qualité mais aussi fort contradictoire dans ses conclusions. La question reste ouverte de savoir comment, dans l’examen des questions concrètes, s'articulent physique et géométrie algébrique chez Descartes. L'exemple de la chute des graves, canonique pour les contemporains, devrait nous permettre de mieux comprendre l'évolution de la pensée cartésienne, A.C. Crombie exprime parfaitement le problème que nous nous sommes posé en écrivant « The paradox was that his own development in the Principia philosophiae of his programme in a science of motion able to give reasons for real and particular effects was largely unmathematical and when quantified usually false ». Gaston Bachelard avait proposé une évaluation caricaturale et, partant, révélatrice de l’état du commentaire en écrivant que « le Monde cartésien de l’étendue n’est, à aucun titre, le Monde de la mesure. La physique de Descartes est une physique de l’objet non mesuré, une physique sans équations, une représentation géométrique sans échelle désignée, sans métamathématiques ».
La difficulté est d’ailleurs aisément repérable puisque, parmi ses contemporains, Descartes occupe une position manifestement singulière. Pour Kepler, Mersenne, Galilée, Leibniz ou Newton, le Dieu créateur est d’abord un Dieu mathématicien, qui conforme sa création aux vérités éternelles. C’est pourquoi les mathématiques possèdent un statut univoque pour Dieu et pour l’homme qui, grâce à cet instrument, entreprend de connaître la réalité. Or l’on sait que, pour Descartes, Dieu crée librement toutes choses, y compris les vérités mathématiques, et ne s'y soumet pas : il n’est donc pas mathématicien comme l’homme peut et doit l’être. Par conséquent, dans la visée de l’explication du Monde, l’usage des ressources mathématiques, abstrait de certains paramètres physiques, devient problématique. Le dossier que nous souhaitons ouvrir ou parcourir témoigne des aménagements complexes requis par cette exigence maximale, qui prennent, à notre avis, l’allure d’une difficulté progressivement thématisée.
Synopsis des écrits cartésiens sur la chute des graves
On peut retenir deux critères qui permettent de classer les textes qui constituent le dossier cartésien sur la chute des graves. Le premier, chronologique, conduit à distinguer cinq périodes (et un texte isolé) ; le second critère, notionnel, retient neuf concepts ou thématiques autour desquels se joue la réflexion de Descartes : le statut physique de la chose étudiée (son ‘actualité’) ; la considération ou non de la résistance et de la variation de gravité ; le rôle d’une théorie générale de la gravité ; le rapport entre le temps et l’espace ; le choix de la grandeur en extensio ; la nature de la force de mouvement ; le concept de vitesse employé ; la quantification (ou mise en équations) effectivement proposée ; l’affirmation du principe d’inertie. Par croisement de ces deux critères, il est bien sûr possible de dresser un tableau à double entrée, qui peut se lire soit en colonnes (entrée chronologique), soit en ligne (entrée notionnelle). Nous en donnons ici une brève description, ‘en colonne’.
Première période, Descartes avant son Monde.(1618-1621) Textes I-III
La chute des graves se présente comme un exercice théorique, proposé par un tiers, envisagé sous des hypothèses qui n’ont pas à être validées par leurs effets ou leurs conséquences démonstratives. Il ne s’agit pas, en somme, d’un phénomène réel. Une expression partielle du principe d’inertie est intégrée au raisonnement comme hypothèse beeckmanienne. Le mouvement décrit est fictif en ce sens qu’il admet le vide, et ne fait intervenir aucun attribut des corps. Cette abstraction des ‘conditions réelles’ n’interdit pas que Descartes ne rende la question ‘plus difficile’, en imaginant des causes supplémentaires et diversifiées, auxquelles il n’accorde nulle réalité physique. La théorie de la gravité est extrêmement conventionnelle et ne doit rien à une élaboration proprement cartésienne ; c’est l’attraction par la terre ou la force d’attraction de la terre qui cause le mouvement. Les rôles du temps et de l’espace dans l’analyse du mouvement se trouvent quasiment identifiés, en ce sens que l’analyse réclame la considération des minima et qu’il est nettement repérable - dans ces textes - qu’un minimum de temps est tout aussi bien un minimum d’espace — l’un comme l’autre étant avant tout un minimum motus. Le terme qui exprime ou caractérise cette identification est momentum qui s’applique identiquement au temps, à l’espace et, donc, au mouvement. Pour le choix de la grandeur mise en extensio, il me semble que l’on obtient une description simple si l’on accepte de faire une distinction entre le niveau du momentum (c’est-à-dire, en fait des minima) où il y a une ‘indifférence’ entre les deux grandeurs candidates (le temps et l’espace), et le niveau du mouvement accompli (ou de l’une de ses parties) où le choix est parfaitement net en faveur de l’espace. Les mots force ou vis semblent pouvoir désigner deux notions bien distinctes selon qu’ils expriment la cause du mouvement (c’est la ‘force de gravité’), ou la mesure du mouvement (c’est la force de mouvement) ; dans ce dernier cas, la force est une notion finalement non-dynamique mais cinématique et peu différente de la vitesse (au sens global bien entendu). Le sens et l’usage qu’il convient de faire de cette notion a déjà été exposé précédemment et nous ne pouvons que rappeler qu’il s’agit de la vitesse globale pré-classique, dont on doit savoir qu’en tant que mesure du mouvement sur des espaces parcourus égaux, elle est inversement proportionnelle aux temps. Ces textes aboutissent à une ‘loi du mouvement’ au statut difficile puisque, d’une part, elle est très particulière en ce qu’elle se contente d’affirmer que les temps sont multipliées par quatre tiers si les espaces sont doublés, et que, d’autre part, le lecteur est vivement encouragé à adopter une généralisation de cette proportion — ce qui ne va pas sans difficultés puisque deux voies discordantes (pour le moins) s’offrent à nous pour effectuer cette généralisation. S’il n’en avait tenu qu’à Descartes, nous ne connaîtrions pas ces textes qui nous sont parvenus indirectement. On gardera enfin à l’esprit que ces essais sont produits avant la découverte de voies nouvelles en mathématiques et avant l’élaboration des Regulae (bien entendu avant le mûrissement des doctrines physiques).
IIème période. Un phénomène de ma physique. Textes IV-V (1629).
Ces deux textes s’inscrivent dans un climat complètement différent. Descartes a consacré les premiers mois de l’année 1629 à la rédaction d’un « petit traité de métaphysique », puis, après avoir suspendu ce travail, s’est engagé dans la rédaction de ce qui deviendra le traité du Monde. C’est bien la réalité physique du phénomène de la chute qui est alors visée. Celui-ci, comme « tous les phénomènes de la nature » devra prendre place dans la physique en constitution. Il est envisagé dans le cadre de notions qui ne sont plus gratuites mais relatives aux principes de sa physique — il s’agit en particulier du principe d’inertie. Nous n’avons plus affaire à un exercice mathématico - physique mais à l’examen des conditions sous lesquelles il serait (ou non) possible de fournir la description effective d’un phénomène central de la physique en constitution. Comprenons bien que, dans l’étude des proportions, le passage du vide à un milieu résistant demeure ici hypothétique, même si le silence de Descartes sur la cause de la gravité interdit d’en dénier le caractère fictif. Le degré de détermination que l’on doit retenir devient une question sensible : dans ces deux textes, Descartes évoque deux possibilités, non contradictoires mais bien plutôt complémentaires, comme des niveaux successifs de complexité de la question posée. Quelle est la chute d’un grave dans le vide ? mais aussi quel sont les effets de la résistance de l’air ? Le second niveau (compte tenu de la résistance de l’air) a un statut imprécis ; dans le premier texte, la prise en compte de cette résistance « ne tombe pas sous la science » car elle mène à des situations trop complexes, alors que dans le second, elle est nettement quantifiée par des hypothèses qui évaluent la proportion de cette résistance et tentent de la combiner avec la loi « dans le vide ». A ce moment crucial de la pensée physique cartésienne, l’hypothèse du vide et de la gravité constante n’est pas incompatible avec la possibilité même de la chute — au moins pour ce qui concerne, bien entendu, le traitement mathématique du phénomène. En outre, la théorie de la gravité à l’œuvre dans ces textes est encore ‘pré - cartésienne’ (qu’elle n’est pas encore déduite de la doctrine générale des éléments et des tourbillons) et semble fortement influencée par la théorie de l’impetus. Les corps ont leur propre gravité qui les accompagne sans discontinuer. On ne note pas de changement en ce qui concerne les deux notions suivantes, les rapports temps-espace et le choix de la grandeur en extensio. Au niveau élémentaire du mouvement, c’est encore la notion de momentum qui englobe et réunit le minimum de temps et le minimum d’espace et c’est encore et clairement l’espace qui est en extensio. La notion de force est peu claire, puisqu’elle désigne successivement une ‘force de mouvement’, une ‘force de gravité’ et aussi une ‘force de vitesse’. C’est, au fond, une puissance d’accroissement du mouvement. La notion de vitesse prend de l’importance en se dédoublant entre, d’une part, la vitesse globale au sens précédent de mesure du mouvement accompli et, d’autre part, une notion qui apparaît dans la « force de vitesse imprimée » ou encore la « force de gravité » et qui joue le rôle des degrés de vitesse, assez proches de ce qu’ils sont dans les diagrammes galiléens. Enfin, la proportion des quatre tiers calculée dans les textes de première période est très fermement réaffirmée avec un complément extrêmement important dans le second texte, où Descartes essaie une quantification intégrant les hypothèses relatives à la résistance de l’air.
IIIème période. Place aux principes. Textes VI-XII (1631-1634).
C’est une période de grande certitude générale sur les causes et les principes et de forte hésitation sur l’explication et la description du phénomène particulier de la chute des graves. Descartes achève son Monde et la doctrine de la pesanteur est établie à la fin de 1631. L’objectif est de déduire les diverses formes et essences des corps terrestres a priori. C’est donc à partir de son insertion dans le Monde que la chute des graves doit être expliquée et décrite. Un point semble définitivement acquis : la doctrine de la pesanteur est clairement mentionnée dans ces textes et un axe de la critique anti - galiléenne s’en trouve constitué, puisque Galilée méconnaît les vraies causes dans son exposé de la chute des graves. L’autre leçon de ces textes, plus délicate, concerne le statut de la connaissance qu’il est possible d’atteindre quant aux déterminations précises de la chute. La chute dans le vide et à gravité constante est désormais une fiction, un non-être physique. La loi d’une telle chute ne concerne donc pas le vrai phénomène et suppose même des choses impossibles ; elle est donc expulsée de la physique cartésienne. On doit remarquer, cependant, que le résultat acquis sous ces conditions fictives reste valide en son genre, « quand tout cela serait vrai » — nous y reviendrons. Les proportions généralisées qui peuvent en être tirées sont discutées soigneusement. En outre, au moins dans le texte VI, la découverte de la vraie proportion…dans l’air est inscrite au programme de la physique cartésienne. La force n’a plus de place propre en ce sens qu’elle est comme dissoute dans la considération des « puissances naturelles qui agissent ». Le choc des éléments de matière subtile est la cause de ce mouvement et, au vrai, il n’y a plus de force attractive ni d’impetus. Il n’apparaît pas de modification significative de la notion de vitesse qui demeure la mesure du mouvement accompli alors que l’espace parcouru demeure la grandeur de l’extensio. Enfin, le traitement quantitatif de la chute des graves est extrêmement problématique dans ce groupe de textes. La proportion des quatre tiers est réaffirmée dans les textes VI à VIII et des doutes d’une grande importance sont émis quant à l’efficacité de l’outillage mathématique susceptible de découvrir les proportions qui régissent le mouvement réel. Le second groupe de textes (IX à XII) est fortement marqué par la puissante intervention de Galilée dans la discussion. Il faut désormais se situer par rapport à l’auteur du Dialogo. Descartes le fait de manière complexe : offensive en ce qu’il affiche sa supériorité dans l’explicitation des causes, mais défensive en ce qu’il s’aligne – maladroitement – sur le savant italien en revendiquant une incompréhensible identification du résultat galiléen à la proportion cartésienne.
Un essai de formalisation . Texte XIII (1636).
Il ne nous a pas paru possible d’associer harmonieusement ce texte avec le précédent groupe, pas davantage avec le suivant. Il est isolé dans le temps : au centre d’un intervalle de quatre ans entre les troisième et quatrième périodes. C’est un pivot et la pensée cartésienne sur la chute des graves ‘tourne autour’ de ce texte qui concentre les complexités, les tensions et les hésitations caractéristiques du traitement cartésien de cette question. Descartes, on le sait, a renoncé à la publication du Monde et met la dernière main au Discours et aux Essais. On comprend qu’il y ait là un ‘moment problématique’ : le Discours n’a pas en charge la présentation complète des principes et des causes (la Dioptrique en porte témoignage), c’était l’affaire du Monde et ce sera celle des Principes. Or, le point fort de Descartes en ce qui concerne la chute est justement la connaissance et l’exposition des causes alors que la démonstration des effets s’avère résistante, voire inaccessible. On connaît la solution adoptée ; elle est radicale puisqu’il ne sera tout simplement pas question de la chute des corps ni dans le Discours, ni dans les Essais. Le court et dense texte des Anatomica montre que ce renoncement ne prive pas de toute pertinence l’exposé quantifié des conditions générales de la chute dont on donnera, non pas la loi, mais le cadre formel.
Le sujet de ce texte est un mouvement de chute des corps, envisagé sous des hypothèses complexes qui ont tout de même à voir avec les conditions de la chute réelle. Ces hypothèses (variation de gravité, résistance) sont complètement exprimées par des moyens mathématiques, et plus précisément traduites en termes de proportions et devraient pouvoir se plier ou plutôt s’associer au calcul et à la mise en équations d’un objet physique.
Plus précisément, il est question, au début de ce passage, de la situation fictive où la chute a lieu dans un espace vide et au sein duquel la gravité est constante. Est alors prise en compte une hypothèse formelle intégrant la résistance du milieu ; à la suite de quoi, une nouvelle hypothèse formelle intégrant la variation de gravité est à son tour prise en compte. Le texte se poursuit par la suggestion et la prise en compte d’autres causes ou paramètres non clairement désignés qui peuvent se combiner avec les précédents.
En considérant des degrés de difficultés croissantes et en faisant une ‘revue’ des différentes combinaisons de causes possibles, Descartes confronte ces hypothèses avec les éléments fondamentaux qui – depuis le début – servent à analyser ce mouvement (impulsion, vitesse etc.).
La mathématisation de ces situations est à la fois extrêmement ambitieuse et très peu performante dans ce texte. Respectant la complexité croissante de la question, Descartes réaffirme la validité de la proportion des quatre tiers dans le vide puis tente de combiner des progressions par associations successives de type géométrique et géométrique, puis géométrique et arithmétique en envisageant les cas de causes concourantes ou concurrentes. Le résultat demeure très allusif ; les moyens mathématiques font défaut et les mathématiques proprement cartésiennes s’avèrent impuissantes à atteindre une formalisation « classique » du problème. Ce sont finalement deux figures dont les éléments constitutifs ne sont pas quantifiés et qui sont chargées d’exprimer les proportions des parties successives du mouvement de chute.
On observera cependant que, sur quelques points précis et qui auront leur importance par la suite, Descartes amorce un changement d’orientation aussi important que subreptice. Les rôles respectifs du temps et de l’espace sont modifiés au sein, au cours même, du texte. Il semble bien qu’au début de celui-ci, conformément aux précédentes analyses, le mouvement soit considéré d’abord selon l’espace parcouru, les temps étant en conséquence inversement proportionnels aux ‘vitesses’. Mais à la fin du texte, l’affaire est transformée et il est question du rapport de la ‘vitesse du premier temps à la vitesse du second temps’, comme si les temps étaient dorénavant en extensio. Cette observation est entièrement confirmée par l’analyse du concept de vitesse en jeu ; s’il s’agit encore de la vitesse globale pré-classique, elle est cette fois-ci donnée par les espaces parcourus en des temps donnés, c’est-à-dire que les aires des figures qui ‘mesurent le mouvement’ sont bien proportionnelles aux espaces parcourus ; le temps a été mis en extensio.
IVème période. Principes cartésiens, effets Galiléens(1638-1640). Textes XV-XXIII
Huit textes reviennent sur la question dans un court intervalle de deux ans (le texte XXIII est décalé, un peu plus tardif) ; cela seul suffirait à montrer l’intérêt que lui porte (encore et toujours) Descartes. Les caractéristiques de ces prises de position sont assez simples : la doctrine physique est stable, bien assurée. Les textes XIX et XX, par exemple, résument la théorie de la gravité. Ce qui semble beaucoup moins simple, en revanche, c’est la manière dont le traitement mathématique dont le phénomène de la chute des graves est susceptible. Doit-il être écarté comme trop complexe, ou en raison de son importance minime en comparaison de la connaissance des causes ? Ces textes répondent clairement qu’il n’en est rien. C’est à ce moment que Descartes prend conscience du poids des résultats galiléens et des attendus de son opposition. D’ailleurs le niveau de la critique anti-galiléenne a changé : celui-ci est fautif parce qu’il ne tient pas compte des empêchements extérieurs, ce qui n’est pas aussi grave que de pécher par négligence des causes — on est passé du péché mortel au péché véniel.
Ce groupe de textes révèle la persistance (ou la reprise, si l’on songe au retrait manifesté au cours de ce que j’appelais la troisième période) du projet d’exhiber les proportions réelles entre les temps et les espaces lors de la chute d’un grave. Le problème n’est alors pas seulement un problème théorique ou philosophique ; il est rendu particulièrement actuel parce que Galilée vient d’en donner une solution décisive, et la qualité de son argumentation est reconnue dans toute l’Europe savante. La pression est donc forte sur Descartes et, plutôt que de rejeter la proportion acquise dans le mouvement abstrait, il l’intègre, comme approximative, comme un à peu près ; mais une approximation qui ne serait pas l’expression du faux, mais de l’inachèvement. Le problème, résolu dans le vide et à gravité constante, demeure ouvert. Comme lorsqu’en mathématique, on commence par résoudre un cas particulier qui ouvre la voie à la solution générale (par exemple en résolvant des équations différentielles avec d’abord la solution nulle, et ensuite la solution générale).
Reste à savoir comment Descartes apprécie la résolution de ce cas ‘approximatif’ puis envisage la solution réelle et générale. Dans les jugements qu’il porte sur la solution galiléenne (au texte XV notamment), il n’est fait aucune allusion aux rôles respectifs du temps et de l’espace, ce qui semble confirmer l’indifférence que nous avons déjà soulignée sur cet aspect du problème. Surtout, Descartes déclare retrouver ses propres idées chez Galilée ; s’il est un point des Discorsi qui ne fait pas question, c’est bien le choix du temps comme variable indépendante (comme grandeur extensive), or ceci n’émeut pas Descartes. C’est qu’une conversion se prépare, conversion déjà en bonne voie dans le texte XXII où la mesure du mouvement est donnée in ratione duplicam temporum . Toujours sous réserve des compléments qui devront intégrer les autres causes à l’œuvre au cours de la chute (réserve qui reste le point de résistance anti-galiléenne), Descartes adopte une autre modification conceptuelle majeure : la vitesse globale ne disparaît pas, mais la notion de degré de vélocité ou de degré de vitesse s’affirme nettement et, dès le texte XVII, Descartes approche de la proportion galiléenne. Cette évolution se trouve confirmée dans les textes suivants (notamment au texte XXI), où il est fortement question de la vitesse initiale et des moments de vitesse.
En conséquence de ces profonds changements, la proportion revendiquée n’est plus celle des quatre tiers mais bien la ‘proportion doublée’ des temps. Le lecteur pourra être fort surpris de lire et relire que ce sont les vitesses qui sont en proportion doublée des temps (les auteurs que nous avons longuement cités auraient été comblés par une si grossière ‘erreur’ s’ils avaient pris la peine d’examiner aussi ces textes). On comprendra sans doute mieux si l’on pense qu’avec de la notion de degré de vitesse ou moment de vitesse, cohabite une vitesse, mesure du mouvement, proportionnelle aux espaces. Cette proportion est donc juste selon Galilée et aussi selon moi, dit Descartes. Deux remarques compléteront la présentation de ce groupe de textes. Tout d’abord, l’influence galiléenne reste limitée et les critiques des années 1633-1634 ne sont pas abandonnées, même si elles ne sont pas explicitement répétées. On sait assez ce qui sépare les deux auteurs. Simplement, si l’expression de ces profonds désaccords est ici émoussée, c’est que Descartes a compris l’importance majeure de la quantification de la loi de chute des graves. Or, même partiellement, même approximativement, Galilée a réussi une formidable ouverture dans la réalisation de cette tâche. Pour Descartes, modérer sa critique anti-galiléenne, c’est rehausser le statut d’un problème qu’il a ‘partiellement’ résolu. La seconde remarque est encore plus significative. La véritable réussite, la seule qui vaille vraiment peut-être, serait de donner les proportions, compte tenu des situations que la physique cartésienne explique. Or un doute sérieux plane sur la possibilité d’y parvenir et l’on peut penser que la déficience de l’instrument mathématique est ici déterminante. Il ne s’agit pas de la remarque générale (à laquelle Descartes lui-même a eu recours parfois) selon laquelle des causes innombrables peuvent entrer en ligne de compte ; il s’agit, plus simplement, mais plus radicalement, de savoir mettre en équations à la fois l’inertie, la gravité variable et la résistance du milieu. Descartes ne sait pas le faire, ses mathématiques ne le lui permettent pas.
Vème période. La quantification de la chute des graves(1643). Textes XXIV-XXVI
La principale pièce de ce dernier groupe de texte est constituée par la lettre à Huygens de février 1643. Les Principes sont terminés et bientôt publiés. Or Descartes revient sur le problème de la chute de façon extrêmement précise, comme s’il complétait l’examen du détail des phénomènes engagé dans la troisième partie du manuel. Songeons d’abord à la forme qu’il donne à ses interventions : une lettre à Huygens redoublée par l’envoi d’une version équivalente à Mersenne. Autant dire qu’il s’agit d’officialiser et de donner de la publicité à ses raisonnements. En outre, il postule, sans la reprendre, la doctrine définitive de la chute des graves. La loi de la chute n’est pas exposée pour elle-même, mais employée comme un outil qui permet de résoudre une question pratique : elle est utilisée pour faire la théorie d’un fait expérimental, à savoir la trajectoire du jet d’eau. Nous ne doutons pas un instant de l’importance de cette dernière question, pour elle-même, mais il ne pouvait échapper à Descartes qu’il prenait une position absolument nette sur un point décisif dans la mise en place de la physique nouvelle. Comme nous l’avons dit en introduction, le rejet des procédures d’abstraction conduit Descartes à constituer, non pas un cas idéal, mais une question parfaitement déterminée dont on pourra prolonger les résultats dans le cas d’une ‘chute continuée’, le jet d’eau. Ce texte est admirable de netteté, de clarté dans les enchaînements, de précision dans sa structuration et il est assez simple d’en faire le bilan, pour qui connaît la doctrine galiléenne. Tout d’abord, le problème réel supporte de négliger certains paramètres (la différence n’est guère sensible écrit Descartes dans le texte XXV) ; si rien ne permet de dire que la doctrine générale de la gravité est mise en cause, force est de constater cependant qu’elle n’est pas évoquée ; le temps, grandeur extensive du mouvement, est bien la grandeur que l’on va mettre en relation avec les espaces et les vitesses. La vitesse globale laisse place nette à une unique notion de vitesse en un instant. La loi de la chute est exprimée, on ne peut plus clairement, à partir du principe de proportionnalité des vitesses aux temps écoulés, par la proportion doublée des espaces par rapport à celle des temps. C’est évidemment spectaculaire, même si Descartes prend quelques précautions pour rappeler que ces résultats théoriques peuvent s’écarter quelque peu des mesures concrètes en raison des simplifications que tolère le cas précis que l’on étudie. Le test expérimental est d’ailleurs convoqué ; nous sommes dans une physique de phénomènes, tout à la fois complexes et effectivement observables ; la loi mathématique s’applique à un objet actuel et existant. Fort de ce succès, Descartes évoque à nouveau la possibilité d’aller plus loin dans la théorie balistique, en suggérant l’étude de la nature des courbes en jeu, mais, décidément, cette perspective est au delà des possibilités mathématiques qu’il peut ou veut bien employer.





Il est sans doute utile de rappeler brièvement les principales interprétations du traitement cartésien de la chute des graves, dans son articulation au (vieux) problème de la faible mathématisation effective de la physique. Ce panorama nous permet de préciser comment, à notre sens, peuvent être lus et compris certains des concepts principaux de la mécanique cartésienne, tels qu'ils apparaîtront dans les textes du dossier ; ce qui ne détermine que partiellement et parfois indirectement leur sens et leur statut dans l’ensemble du système.
Examen des principaux arguments et critiques concernant la loi de la chute des graves et la géométrisation de la physique chez Descartes.
Sur la question particulière de la loi de chute des graves
Les auteurs que nous avons consultés développent deux séries d'arguments. Mentionnons d’abord les lectures qui dénoncent les insuffisances techniques du traitement cartésien de la question. Dans cette perspective, l'essentiel est dit lorsqu'on a souligné (et éventuellement recensé) les fautes et les erreurs de calcul et/ou de raisonnement de Descartes sur cette question. Ces erreurs sont à chaque fois liées au mauvais usage qu'aurait fait Descartes du temps et de l'espace dans l'étude du phénomène. Ainsi nous explique Tannery dans son commentaire de la lettre du 13 nov. 1629, « [Descartes] commet une faute de raisonnement singulière. Sur la figure, la coordonnée ABC devrait représenter les temps, tandis qu'il s'en sert également pour représenter les espaces parcourus. » (AT.I-75). Si, plus tard (le 14 août 1634), Descartes identifie sa loi à celle de Galilée, c'est « qu'il avait évidemment lu bien superficiellement le Dialogue de Galilée ». P. Tannery persiste et signe en réfutant les arguments de ceux (comme M. Chazotte) qui lui reprochent « La double erreur [qu’il aurait] attribuée à tort à Descartes : à savoir, tirer d'abord de prémisses justes, une conclusion erronée, puis identifier cette conclusion avec la loi de Galilée, qui est vraie ». L'erreur principale de Descartes résiderait ainsi dans la confusion (ou inversion) qui affecte la signification des coordonnées dans les figures de la chute des graves : les temps ont joué le rôle de l'espace et réciproquement. Le jugement que Tannery porte sur cette erreur est assez surprenant : « commise par lui à l'âge de vingt-deux ou vingt-trois ans, [cette erreur] n'a certainement pas plus d'importance qu'une faute de calcul dans un brouillon de mathématicien puisqu'en tout cas il a abandonné plus tard ce tentamen juvénile » (p.447).
On retiendra donc que l'écart cartésien par rapport à ce qui reste un des efforts majeurs pour l'émergence de la physique classique, savoir la considération du temps comme variable des fonctions du mouvement – cet écart est, aux yeux de Tannery, « une faute de brouillon sans importance ». Il sera utile de prendre la mesure réelle des problèmes liés à cette « confusion du temps et de l'espace ». Ils associent deux catégories de réflexions. L’une qui engage un concept du mouvement selon lequel il n’est pas établi que celui-ci soit donné par des relations fonctionnelles entre paramètres clairement distingués, comme justement le temps ou l’espace — étudier un mouvement implique alors de considérer ensemble et pour ainsi dire globalement le temps et l’espace. L’autre renvoie aux efforts développés par les mertoniens et les parisiens du XIVeme siècle pour mettre en place une théorie permettant de quantifier les qualités, en plaçant notamment le temps (ou plus rarement) l’espace en extensio. Discutant leurs arguments sur ce point, Maurice Clavelin pose la question « qu’entendre en effet par « parties » du mouvement ? Doit-on les déterminer par rapport au temps ou par rapport à l’espace ? Albert de Saxe, quant à lui, avait opté pour l’espace […]Or cette solution sur laquelle s’accordèrent tous les physiciens de la renaissance est aussi celle qu’adoptait Galilée […]en 1604 ». 
Sur la loi du mouvement, Milhaud défend la théorie du ‘correctif nécessaire et légitime’ qu'il conviendrait d'apporter au texte cartésien.
« Mais qui ne sent, en lisant la démonstration de Descartes (il s'agit du texte de 1618) qu'avec quelques changements dans le texte, et en conservant la même figure, comme, à peu près les mêmes considérations mathématiques, on substituerait aisément des idées claires aux notions confuses, et à la conclusion inexacte, l'énoncé exact de la loi de la chute des corps dans le vide ? Il suffirait de voir dans la verticale ab l'axe des temps, et non plus des espaces, dans les horizontales les vitesses, enfin dans les aires afg, fbcg, des quantités proportionnelles aux espaces parcourus, et l'on aboutirait clairement à cette conclusion que l'espace parcouru dans le deuxième temps est le triple du premier ».
En somme, il suffirait de tenir pour résolues certaines des plus épineuses questions préalables à la cinématique classique : traiter le temps comme la variable indépendante du mouvement, disposer de la notion de vitesse instantanée et reconnaître les espaces parcourus comme des intégrales définies. Cette substitution aisée, ces quelques changements transforment le texte cartésien en profondeur et, en réalité s'en éloignent à tel point qu'ils ne sauraient véritablement contribuer à le faire comprendre.
C’est ainsi qu’à propos de la démonstration du 13 novembre 1629, Milhaud note que, « par une inadvertance inexplicable, [Descartes] substitue des parallèles verticales aux horizontales de la première figure, et rend ainsi les choses absolument incompréhensibles » (id. p.31).
Troisième auteur à retenir cette explication, Pierre Duhem est sans doute aussi le plus radical. Après avoir examiné la démonstration galiléenne du Dialogo, il commente le texte du 13 novembre 1629 en ces termes :
« On est surpris de voir un tel génie [Galilée] commettre des erreurs que l'on condamnerait chez un débutant en géométrie. Ces mêmes erreurs nous allons les retrouver, du moins en partie sous la plume d'un autre homme de génie, de Descartes. »
Après avoir traduit une partie de la lettre, Duhem indique que « ce fragment de Descartes est clair si l'on a soin de tracer la figure comme nous l'avons fait [c.a.d. en inversant horizontale et verticale, en la ‘renversant’]; il est absolument incompréhensible si l'on se sert de la figure qui se trouve dessinée dans la lettre à Mersenne […] Que ce dernier tracé résulte d'une inadvertance commise peut-être lorsque Descartes a recopié ce fragment pour l'insérer en la lettre destinée à Mersenne, cela ne nous paraît aucunement douteux. Nous admettrons donc que la figure par nous dessinée est bien celle que Descartes avait en vue lorsqu'il construisait son raisonnement. »
L’assurance de Duhem ne peut manquer d’étonner ; mais la suite de son raisonnement s’avère parfaitement claire : le ‘vrai’ schéma cartésien est une reprise précise des schémas d'Oresme sur la latitude des formes. Descartes est un héritier masqué des ‘parisiens’ du XIVe. Comme le passage en question est daté par Tannery en 1619 (ce à quoi nous ne voyons par ailleurs nulle raison convaincante), Duhem peut conclure que Descartes disposait des enseignements oresmiens sur les coordonnées avant ‘d'inventer’ sa géométrie. Et lorsqu’il revient à la démonstration cartésienne, Duhem déclare ainsi que, « des deux paralogismes commis par Galilée, Descartes a gardé le premier en évitant le second; aussi, parti du même principe que le pisan, a-t-il abouti à une conclusion différente. Obtenue à partir d'un principe faux par une lourde faute de raisonnement, cette solution est erronée, elle est une malencontreuse inversion [d'un] théorème exact et classique depuis Heytesbury ». Toujours selon Duhem, la théorie de l'erreur est aussi applicable à Beeckman. Il estime en effet que celui-ci se fourvoie, dans le texte lapis in vacuo…, en commettant à son tour d'incompréhensibles inadvertances : « voici qu'au moment de conclure la démonstration, une inadvertance se glisse; les longueurs portées sur AC ne représentent plus les durées de chute, mais les chemins parcourus par le mobile » (id., p. 573).
On sait combien la philosophie de la science de Descartes déplaisait à Duhem, mais l'analyse des textes témoigne ici d’une certaine désinvolture. Le profond historien et théoricien de la physique semble refuser de restituer sa cohérence propre à la pensée cartésienne. Cette lecture trop commode en termes d'erreurs accumulées, d’inadvertances et d’inversions, bien qu’elle ait notablement influencé l'historiographie, ne saurait être bien utile à notre recherche.
Entre les divers tenants de cette théorie des erreurs, une nuance importante existe cependant, selon que l’on considère ‘l'inversion temps - espace’ comme une bévue mineure (ce qui est le cas de Tannery et de Duhem) ou que l’on estime, à l'opposé, qu'il s'agit d'une orientation fondamentalement erronée et solidement enracinée. On doit à A. Koyré les premières études et explications approfondies sur ce point ; il a pris à bras le corps le problème posé par les ‘erreurs de Descartes’.
A l'objection selon laquelle l'erreur s'explique suffisamment par un manque d'attention (ce qui, s’agissant de Descartes, est assez curieux) ou par une inadvertance (Duhem), Koyré oppose une profonde circonspection lorsqu’il « avoue ne pas pouvoir accepter l'objection. Du moins pas entièrement. […] La concordance dans l'erreur [de Galilée et de Descartes] doit avoir quelque raison » (p.85). Les grandes lignes de sa réponse sont bien connues.
L’analyse des questions/réponses de 1618-19, conduit Koyré à déclarer que « Descartes est un géomètre, un mathématicien pur. C'est là, semble-t-il la raison pour laquelle […] il donne à sa question une réponse erronée [...] De la chute, il ne garde que la trajectoire. Ou si l'on veut encore, instinctivement, il élimine le temps » (id., p.114-115). A propos de la première démonstration cartésienne de 1618, il estime qu’ » il est difficile de s'imaginer un texte qui unirait, comme celui-ci, une suprême élégance mathématique avec une plus irrémédiable confusion physique » (id., p.118). Koyré poursuit ainsi son commentaire :
« C'est lorsqu'il essaie de traduire les résultats de son intégration en termes d'espace que, emporté par l'élan de la représentation imaginative et de sa tendance à la géométrisation à outrance, il tombe dans l'erreur que, chose curieuse, il pouvait, en principe éviter. S'il y tombe, c'est qu' […] il fait de la trajectoire, et non plus du temps l'argument de sa fonction. » (id.,p.119).
On l'aura compris, l'erreur n'est pas une faute mathématique de débutant, mais elle provient d'une totale confusion dans l’élaboration des concepts physiques en jeu, confusion sans doute révélatrice d’un certain désintérêt.
La solution donnée dix ans plus tard à Mersenne (nov. 1629), quoique démontrée différemment, serait aussi fausse que la précédente et, à bien y regarder, pour les mêmes raisons : « De même qu'auparavant, Descartes glisse du temps à l'espace, du physique au géométrique […] Comme jadis, la pensée de Descartes succombe à la tentation de l'imagination géométrique». (id., p.125).
Deux des thèses de Koyré nous paraissent foncièrement contestables. D'une part, nous ne croyons pas qu'il y ait de fonctions (au sens mathématique du terme, tel que Leibniz notamment contribuera à le constituer) dans les solutions cartésiennes. L’hypothèse de la substitution d’une variable à une autre est, de ce fait, difficile à soutenir. D’autre part, nous sommes convaincus (sur ce point) par les objections qu'adresse Daniel Garber à Koyré à propos de cette prétendue absence du temps. Dans son Descartes' metaphysical physics, il a efficacement remis en cause cette thèse trop radicale de Koyré et montré que le mouvement cartésien n'exclut pas le temps: « But, as suggestive as this reading is, it isn't Descartes […] Motion is, thus, inextricably linked with duration in Descartes' mind ». C'est que la liaison du temps au mouvement est, chez Descartes, différente de ce qu'elle sera dans la physique classique; elle n'est justement pas fonctionnelle (au moins dans les premiers textes), elle est bien plus qualitative, globale et, au fond, demeure pré-classique.

Une seconde série d'arguments prend plus au sérieux l’organisation du corpus cartésien. Il s’agit alors de relever, fût-ce d’une manière évasive ou incomplète, les hésitations de Descartes, dont les méthodes, les présupposés, les justifications et les résultats varient apparemment. Les auteurs qui soulignent cet aspect des solutions cartésiennes ont étudié plus de textes pour produire une analyse plus complète. C'est le cas de G. Milhaud qui évoque ainsi très brièvement la lettre à Huygens de février 1643 : « Plus tard, dans une lettre de février 1643, adressée probablement à Huygens, il énonce la véritable loi. Dans cette même lettre, d'ailleurs, il s'appuie sur les travaux de Galilée, relatifs à la forme parabolique de la trajectoire des projectiles. Aurait-il, dans l'intervalle, reconnu son erreur ? En même temps, peut-être qu'il aurait eu l'occasion de mieux apprécier quelque partie de l'œuvre du savant italien? . »
Le contenu de cette lettre est pourtant singulièrement sous-estimé, puisque Descartes ne se contente pas d'y énoncer la véritable loi, comme nous le verrons dans le commentaire; il y donne des démonstrations mathématiquement bien supérieures à celles des années 1619-1620 auxquelles on se réfère généralement. Les effets physiques de la pesanteur sont bien pris en compte : « je considère aussi, touchant la pesanteur, qu’elle augmente la vitesse des corps qu’elle fait descendre, presque en même raison que sont les temps pendant lesquels ils descendent » (A.T. III, 619). Et Descartes rend compte explicitement du fait que les proportions proposées, si elles ne sont « pas justes » (en raison de la résistance de l'air et la variation de la force de gravité), diffèrent cependant de la descente réelle d’une quantité qui « n’est guère sensible » — mais, et cette précision est capitale, dans le cas précis qui est envisagé. C’est pourquoi les remarques proposées dans de cette lettre par Milhaud, quoique de grande conséquence, ne seront pas généralisées.
Le problème de l'abandon du traitement mathématique du problème de la chute est fort clairement soulevé par Milhaud, bien que l’opinion qu’il exprime soit infirmée par les textes, dont, précisément celui qu’il vient de citer . « Pourquoi Descartes, après l'essai de 1618, n'a-t-il jamais songé à pousser plus loin l'étude du problème de la chute des corps? ». Le corpus ici pris en compte suffit à montrer que cette étude n'a pas déserté les songes cartésiens d'après 1618, et l’on est fort déçu par la solution proposée par Milhaud, bien qu'il dise répondre « plus exactement qu'on ne l'a fait jusqu’ ici [...] L'explication est beaucoup plus simple. Descartes a accepté provisoirement de Beeckman le principe de la permanence de la force qui, à chaque instant, donne une impulsion nouvelle; il ne tarde pas à y renoncer, et dès lors s'écroulent les résultats de ses premières recherches » (id., p.33). De fait, la théorie des tourbillons d'Ether, qui causent la gravité, fournit le cadre des réflexions cartésiennes sur ce problème à partir de 1630. Il est patent que cette théorie rend les conditions de l'étude du phénomène plus complexes ; elle révoque la possibilité même d’une chute à gravité constante et dans le vide complet. Ceci n'explique cependant pas un certain désarroi chez Descartes, puisque la découverte ou l’appropriation de la proportion de la chute est systématiquement revendiquée, alors que le rejet de sa vérité ou de sa justesse l’est presque autant. Il nous faudra élucider le statut de cette revendication et de ce rejet. Nous verrons que, selon les cas, Descartes s’autorise à ne pas tenir compte de cette pression variable ou à l’inverse qu’il tente d’en faire un bon compte. Le problème de la résistance de l'air et celui de la gravité variable sont souvent associés, même s’ils doivent être soigneusement distingués. Mais il est vrai que, du point de vue de la technique mathématique, ils présentent quelque analogie.
Du reste, certains des textes cartésiens sur la chute des graves demeurent difficiles à interpréter indépendamment de la prise en considération de cette pression variable. On ne peut donc se contenter de l’assertion de Milhaud, qui est doublement douteuse: d'abord parce que Descartes, quoiqu’en dise Milhaud, a souvent « songé à pousser plus loin l’étude du problème » et ensuite parce qu'on ne reconnaît pas particulièrement la manière cartésienne dans ce renoncement quasi-immédiat, au prétexte d’un l’échec de « ses premières recherches ».
A. Koyré fournit un tableau un peu plus juste lorsqu'après avoir indiqué quelles modifications interviennent du moment que sont énoncés les principes de la physique, il explique que la manière d'aborder le problème de la chute s'en trouve complètement transformée. C'est tout à fait juste mais cela suffit-il à expliquer qu’il soit abandonné? Koyré soutient (et il a raison) que Descartes ne renonce pas à donner une expression mathématique de ce phénomène, même beaucoup plus complexe, du mouvement réel : en octobre 1631, il espère pouvoir « maintenant déterminer à quelle proportion s'augmente la vitesse d'une pierre qui descend, non point in vacuo, mais in hoc vero aer » (AT.I,231). Il tire ensuite la leçon de l'échec avoué de Descartes quelques années plus tard en notant « Descartes les possède, ces vrais principes de la physique et il sait aussi ce qu'est la pesanteur [conditions nécessaires qui expliquent l'échec de Galilée, aux yeux de Descartes]. Pourquoi alors, nous refuse-t-il la réponse? Parce que c'est trop compliqué. Parce que dans une physique telle que la sienne, […] tout dépend de tout, tout agit instantanément sur tout. On ne peut isoler aucun phénomène, et on ne peut, par conséquent formuler de lois simples de formes mathématiques.»
Voici reprise l'explication selon laquelle, dans cette physique, on ne saurait isoler certains paramètres dans l’étude d’un phénomène. Il faudrait alors rendre compte de plusieurs tentatives cartésiennes : qu’en est-il alors de l’arc-en-ciel ? de la réfraction ? de l’isochronie des pendules ? des machines simples ? Nous n’essaierons pas de soutenir qu’un fait général de la chute des graves est isolé, comme phénomène, chez Descartes ; mais il sera aussi difficile de nier que - dans certaines conditions précises et limitées - une chute sans considération de la résistance et de la variation de gravité est examinée, et qu’ailleurs, des hypothèses précises sur la quantification de ces deux paramètres sont proposées, qui ouvrent la voie à une étude géométrisée, à la mise en équation d’un phénomène.
On constate ainsi que la littérature spécifiquement consacrée à la chute des corps est demeurée non pertinente jusqu'à une date assez récente. Le livre de Damerow, Freudenthal, McLaughlin et Renn a profondément modifié la situation. Nous y ferons de nombreuses références, mais nous pouvons tout de suite signaler qu’il situe avec justesse la source principale des interprétations fautives précédemment évoquées. Elle consiste en un vaste anachronisme en vertu duquel on mobilise les concepts ‘classiques’ de vitesse instantanée, de sommation intégrale (ou au moins de limite) et de fonction pour ausculter et comprendre un effort conceptuel antérieur à la production (ou du moins à la clarification) de ces concepts. Ces auteurs signalent ainsi, dès leur introduction :
« Here, one of the crucial questions is whether, when, and how Galileo (Descartes, Beeckman and others) realised that the velocity of falling bodies is proportional to the time elapsed and not to the distance traversed in fall. Now, if the law is interpreted as the correct choice between theses alternatives, then its discovery is naturally considered to be the result of examining the alternatives and making a well founded choice ; the existence of the alternative prior to the discovery of the law is, of course, presupposed. However, from the point of view of aristotelian natural philosophy -where no equivalent to a functional dependence of motion on a certain parameter exists, and where the velocity of a motion always refers to its overall extension in space and time- the alternative : velocity stands either in such a specified relation to space or else to time cannot sensibly be posed. It would be like demanding that a zebra have either white stripes or black ones. The existence of such an alternative itself presupposes the relevant concept, « velocity » and « motio » as they figure in the law of free fall, i.e., with the meaning they have in classical mechanics. » (p. 1-2)
Pour contribuer à invalider les lectures anachroniques en terme de ‘théorie des erreurs’, nous proposons donc les trois précisions suivantes, destinées à faciliter et cadrer la lecture des textes, l'une sur la notion de vitesse, l'autre sur la question du temps et/ou de l'espace en extensio du mouvement, la dernière sur la notion de fonction.
Sur la notion de Vitesse
Une source de nombreuses fautes de lecture et d'interprétation des textes cartésiens sur la chute réside dans les contresens commis à propos de la vitesse (velocitas ou celeritas en latin). Nous voudrions simplement ici indiquer la pertinence des mises au point et réévaluations faites assez récemment par Pierre Souffrin sur l'usage de cette notion dans la première moitié du XVIIe siècle. Une bonne part de ces pertinentes analyses sont mobilisées dans l'ouvrage de Damerow et al. Ces conclusions, avec lesquelles nous nous accordons, peuvent être résumées comme suit.
Vitesse, velocitas ou celeritas, employés seuls, ne désignent pas la vitesse dans l'instant, ou en ‘un point de trajectoire’. Les notions qui anticipent notre concept de vitesse instantanée sont explicites ; il est alors question de ‘degré de vitesse’, de gradus velocitatis etc. ; dans la terminologie issue des scolastiques du XIVe siècle, ce peut être l'intensio motus ou même l'impetus. La vitesse moyenne, comme rapport fonctionnel de la distance parcourue au temps de parcours n'a pas cours.
La vitesse, telle qu'elle est en usage dans la tradition pré-classique (avant Galilée), que P. Souffrin nomme ‘vitesse holistique’ (on pourrait préférer ‘vitesse globale’) est la mesure d'un mouvement accompli en un temps écoulé ou/et dans un espace parcouru. En conséquence, lorsqu'il est question de comparer des vitesses, deux lectures (et deux seulement) sont possibles. En des temps égaux, les vitesses sont comme les espaces parcourus (ce qui n'entraîne pas l'uniformité) ou sur des espaces égaux, les vitesses sont en raison inverse des temps. De plus, lorsqu'il est question de la ‘force du mouvement’, c'est de sa ‘grandeur’, c'est-à-dire de sa mesure, et donc de sa vitesse : un mouvement 'fort’ est un mouvement rapide. On trouvera ainsi un sens cinématique au terme vis qui, selon le contexte, pourra être convenablement traduit par vitesse.
Admettre cette simple proposition, que la vitesse pré-classique est la vitesse cartésienne (sauf dans certains textes tardifs examinés ce dossier) et qu'elle désigne la mesure d'un mouvement accompli, entraîne deux conséquences majeures :
1. Tout ce qui désigne la mesure du mouvement est susceptible d'être considéré comme synonyme de vitesse : par exemple, la ‘force de mouvement’, la ‘quantité de mouvement’ (avant que cette expression ne reçoive un autre sens dans le Monde et les Principes).
2. Les représentations figurées (en général les triangles et trapèzes) sont dès lors des représentations normales de cette vitesse-là ; partant, lorsque les espaces parcourus sont en extensio, elles donnent les proportions inversées des temps de parcours sur des espaces égaux. En 1643, Descartes écrit encore à Mersenne que « l’impression & le mouvement & la vitesse, considérés en un même corps, ne sont qu’une même chose ».
On éclaire ainsi des passages importants, rendus incompréhensibles par l'emploi de concepts classiques de la vitesse Dans le texte III (AT.X, 219-220), comme l'écrivent Damerow & al., « what looks like hopeless confusion if the concept of velocity of classical mechanics is presupposed is hence perfectly reasonable in the logical framework of the concepts involved ». Le difficile passage des Anatomica devient lui aussi partiellement intelligible.
Sur le temps et/ou espace en extensio
Toute interprétation fonctionnelle des schémas et des généralisations possibles de Descartes pose avec urgence la question de la grandeur mise en extensio. Même s'il est vrai que l'idée fonctionnelle demeure anachronique et étrangère à ces réflexions, une forme quantifiée de mise en relation est finalement proposée et la question de l'extensio n'est pas hors sujet ou sans importance. Ce que nous souhaitons montrer tient alors en deux propositions.
1. Au niveau du minimum, la considération de telle ou telle grandeur est neutre, tant il est clair que les minima motus sont aussi bien associés aux minima temporum qu'aux minima spatium. Ce qui importe est qu'en ces minima (aussi bien de temps que d'espace) s'accumulent des forces de mouvement, ou minima motus, ou momenta qui constitueront le mouvement lui-même, c'est-à-dire qu'ils exprimeront la vitesse. « The quantity of motion is thus dependant on its elements, the minima or moments in which the difference between time and space seems to vanish. Extension is thus understood as consisting of indivisible moments which could just as well be interpreted as moments of time or space ».
2. En un second moment conceptuel, le mouvement accompli s'interprète et se mesure, selon qu'il est considéré en un temps donné (les temps seraient alors en extensio), ou alors selon qu'il est considéré dans un espace donné (les espaces sont alors en extensio). Evidemment, la ‘neutralité’ précédemment évoquée est hors de propos; cette neutralité au niveau des minima s'actualise dans l'interprétation du mouvement accompli et les dimensions de la figure reçoivent un sens physique. Il est parfaitement net que le choix d'actualisation fait par Descartes est presque toujours (sauf dans les derniers textes) celui des espaces en extensio. Il n'est peut-être pas simple de comprendre pourquoi il en est ainsi. Il est possible que l’étendue soit la grandeur qui convient le mieux à la chose, c’est-à-dire ici, au mouvement. On pourra avoir aussi à l’esprit l’élucidation galiléenne qui le fait passer lui aussi de l’espace parcouru au temps écoulé comme grandeur extensive. Ainsi se marque une césure extrêmement nette avec la manière de faire des auteurs du XIVe (Oresme, Heytesbury…) pour lesquels le choix de l'extensio est normalement le temps. On peut y trouver un argument pour éviter de lier trop étroitement les travaux cartésiens à cet héritage et à cette tradition.
Sur l'absence du concept de fonction
Nous avons vu comment Koyré attribue à Descartes l’usage d’une fonction à variable bien définie (quoiqu’en l’occurrence mal choisie). Cette lecture est gravement fautive et il est navrant qu'elle ait peu ou prou été partagée par bien des auteurs. Il n'y a pas de concept de fonction à l’œuvre dans la physique de Descartes et, bien entendu, pas d'intégration (l’affirmation est plus discutable dans la Géométrie de 1637, en ce qui concerne les fonctions). Cette erreur interdit de comprendre les raisonnements cartésiens. Encore une fois, il nous paraît que Damerow & al. ont raison d’insister sur ce point :
« It appears strange that Descartes rather assumes that only a proportion -namely the proportion of times or spaces to velocities in equal intervals of space or time represented by areas corresponding to equal intervals of the vertical- is represented which cannot be generalised to a geometrically represented function. But from the viewpoint of the medieval conceptual tradition, there is no necessity for such a generalisation. Motions are conceived as caused by forces and having deplacements in space as their effects. The effect depends of time and on some determination of the motion called velocity. This velocity is conceptualised as a space traversed in a given time. In this conceptual framework it does not make sense to compare these spaces if the times are not equal. From this viewpoint a comparison of the areas i.e., the velocities, for arbitrary intervals makes no sense at all.» Aussi précisent-ils à bon droit : « The mathematical means of the 17th century did not yet contain a general concept of function. »
Sur la question plus générale d’une relation non effective entre physique et mathématiques.
On peut (en élargissant la question) examiner les principaux arguments avancés pour rendre compte de l’échec, chez Descartes, d’une constitution moderne des relations entre la physique et la mathématique - la chute des corps ne constituant qu'un test de ce divorce désormais admis par les commentateurs. Les trois premières argumentations, très tranchées, peuvent être discutées dès à présent, au lieu que les problèmes soulevés par l’abstraction, la définition des domaines d’objets et le statut des mathématiques employées nécessitent une discussion plus circonstanciée que nous engageons un peu plus loin avec l’examen positif de la loi du mouvement.
La hiérarchisation des tâches
Une première explication à la ‘faible géométrisation de fait’ de la physique consiste à prendre Descartes au pied de la lettre chaque fois qu’il expose sa décision, son choix - indiscutables - de rechercher et d'exposer ce qui est essentiel, en physique comme pour tout autre domaine. Or, l'essentiel, ce sont les principes et pas les calculs. Les principes étant fournis, le programme peut être considéré comme réalisé. Nous rencontrerons de nombreuses expressions de cette hiérarchie de préoccupations selon laquelle c’est par manque de temps, ou parce qu’il se détourne des aspects secondaires des problèmes, ou parce que la tâche de mise au point des détails peut être confiée à d’autres, qu’il ne prend pas la peine d’entrer dans les calculs, ni même de commenter ceux des autres (cf. le commentaire sur le « livre de Galilée »). C’est ce que regrette Tannery dans son court texte, Descartes Physicien, où il évoque ce que n’a pas fait Descartes « [qui aurait pu laisser], dans la physique, un des noms les plus illustres [...] Mais il n'en a rien été; Descartes a en fait consacré encore moins d'efforts à la physique particulière, telle que nous l'entendons aujourd'hui, qu'à la géométrie» .
S’il y a en cette idée quelque chose d’indiscutable, elle demeure insuffisante pour expliquer la faible ‘mathématisation de fait’ de la physique cartésienne. La correspondance de Descartes est pleine de ces déclarations de prise de distance avec les mathématiques, qu’il faut rendre compatibles avec les travaux qui assurent à leur auteur une place éminente dans la communauté scientifique européenne. Il y a plus - lorsqu’il est en mesure de donner l’expression mathématique techniquement satisfaisante de la solution d’une question (qu’il s’agisse de mathématiques ou de physique), Descartes ne s’en prive jamais. Il sait tracer les frontières philosophiques au sein de ses travaux mathématiques et précise le statut de ses résultats, pour s’autoriser quelques incursions au-delà des frontières qu’il a lui-même dessinées. Autrement dit, lorsqu’il renonce à donner une telle expression, c’est parce qu’il estime que c’est impossible — reste encore à reconnaître la source de cette impossibilité, ce que rappellerons infra.
Tannery avance une conséquence de cette situation en notant qu' «en 1638, dans les Nuove Scienze, Galilée venait de donner, de sa loi, une démonstration directe irréprochable, et depuis longtemps Descartes ne s'intéressait plus à une question qui, pour lui, était devenue purement théorique ». L'expression peut prêter à confusion puisqu'elle semble indiquer que le désintérêt supposé de Descartes est dû au fait que la question soit devenue pour lui théorique. Si telle était l'idée de Tannery, elle viendrait contredire ce qu'il avançait au sujet de la lettre du 13 novembre 1629, à savoir que Descartes réfutait Galilée car celui-ci ne pouvait produire de « vérité théorique ». Mais Tannery veut sans doute signaler qu’à partir du Monde, le phénomène de la chute est subordonné aux principes généraux de la physique et qu’à ce titre, il est devenu «purement théorique". Il reste que le verdict selon lequel Descartes se désintéresse de cette question est contestable, même s'il est également vrai que la chute ne doit plus être étudiée pour elle-même, sans explicitation des causes; et c'est bien le sens du reproche adressé à Galilée. Enfin, on sera beaucoup plus réservé sur l'indétermination qui affecte, chez Tannery, cette vérité théorique: pour Descartes, la démonstration galiléenne n’est précisément pas irréprochable.
Le fait est que Tannery a bien senti la modification de la doctrine cartésienne mais n'en a pas trouvé ou donné de raison. Il met, maladroitement (c’est décidément un procédé récurrent chez Tannery de corriger les fautes et erreurs de Descartes), le doigt sur un point sensible lorsqu'il estime « qu'à partir de 1634, ses conceptions sur la physique lui ont fait à tort abandonner dans cette question une des règles de sa méthode, la division des difficultés, et par suite, la considération des mouvements dans le vide, de même, dans la démonstration ci-dessus, qui doit remonter, d'après ses dires, avant 1619, il n'a pas observé son autre règle encore plus importante, de n'accepter que des notions parfaitement claires et distinctes. » (ibid., p.189)
Ce ne sont pas « les règles de la méthode » qui sont « abandonnées à tort » par Descartes ; c’est l’analyse des difficultés qui constituent la question de la chute qui a changé. Ce qui pouvait être séparé, en 1619 ou 1620, à savoir la résistance du milieu notamment, ne peut plus l’être en 1634 ; quant à l’acceptation des seules notions claires et distinctes, l’auteur du Discours de la méthode n’y a pas renoncé. Il se trouve que les notions désormais constitutives du mouvement de chute posent des problèmes qui résistent à l’expression mathématique. Cette résistance demande justement à être précisée, notamment parce qu’au delà des difficultés proprement techniques, elle recèle des écueils méthodologiques, à savoir la nécessité du recours à des procédures infinitésimales.
Une physique trop compliquée
Une thèse complémentaire est avancée par les commentateurs ; la tâche de mathématisation effective était devenue trop compliquée pour être menée à bien. Descartes, dit encore Tannery, « ne semble pas, au reste, depuis 1634, avoir cherché à exprimer mathématiquement la loi de la chute des corps. La résistance du milieu, qu'il aurait fallu faire intervenir, compliquait évidemment trop le problème et il manquait de données suffisantes pour l'aborder » (Ibid., p.184).
Vers 1634 (voire même dès 1619 d'après la première citation), Descartes renoncerait ainsi, parce qu'il veut envisager la chute dans l'air et qu'il manque de données. Mais de quelles données s'agit-il — d'expériences, de mesures ou d'outils mathématiques ? Tannery n’en dit pas davantage, mais il ne décrit pas un renoncement choisi et philosophiquement fondé. Il suggère plutôt une orientation de la science cartésienne subie faute de moyens — on peut accorder cette appréciation, même s'il faut préciser nettement quels sont ces moyens qui font justement défaut à Descartes.
De son côté, Koyré estime aussi que Descartes nous refuse la réponse [c’est-à-dire l’expression mathématisée de la chute], parce que c’est trop compliqué. C’est ce qu'écrivait déjà Morin à Descartes, le 12 août 1638 : « j'ai vu que les choses physiques souffrent bien plus de difficultés que les mathématiques, ce que vous-même reconnaissant, avez invité les hommes savants à vous faire des objections » (AT.II, p. 290). Koyré ne croit donc pas - lui non plus - au renoncement serein et assumé de la mise en équations des phénomènes par Descartes, à la ‘mise en congé de la géométrie’ algébrique en physique; il estime que les mathématiques qu'il fallait pour y parvenir manquent à Descartes et que le renoncement contraint est exposé mélancoliquement. En une note radicale, il conclut son étude sur la loi de la chute chez Descartes: « c'est la conscience de cet échec qui donne à la physique cartésienne l'aspect pragmatique qu'elle prend dans les Principes ». Au cours de l'examen complet du dossier, nous aurons toutefois l'occasion de mesurer quels aménagements nuancent ce renoncement.
L’unité de la science
Plus ample est la thèse qui soutient que le programme cartésien de mathématisation de la physique est en lui-même impossible, à cause de l’unité proclamée de la science. C’est la position défendue par Etienne Gilson, qui s'interroge clairement :
« Descartes aurait pu se contenter de rester le mathématicien de génie qu'il était déjà et devenir un physicien comme l'était Galilée ou comme devait l'être Pascal. Il ne l'a pas voulu, et nous savons pourquoi. Dès l'époque de ses relations avec Beeckman, il s'évade de la physique mathématique pour passer à la mathématique pure et de la mathématique pure pour passer à la mathématique universelle. A partir de ce moment, Descartes s'est condamné lui-même à constituer d'un seul coup toutes les sciences et s'est interdit d'en acquérir aucune à part […]. »
L'unité de la science comme projet cartésien contrarie les acquisitions régionales en des sciences trop particulières ; la nature philosophique du projet de science cartésienne s'oppose aux méthodes et aux directions qui eurent permis le succès scientifique. Il n’est pas sûr que les choses se passent ainsi dans les travaux de Descartes. Pour évaluer la pertinence de cette thèse élégante, il faut tout de même considérer les travaux d'optique (ce qui est assez connu), les textes sur les mechaniques, sur les centres d'oscillations et l'ensemble des passages sur la chute des corps (même si ces exemples n’ont pas tous le même statut). En ces domaines, l'évasion évoquée par Gilson n’advient pas et Descartes (re)vient à la physique mathématique. Un argument plus fort que cette description un peu 'forcée' est proposé par Gilson quelques pages plus loin (p. 180 ), et l’on peut le résumer ainsi : Descartes a « intégré de la métaphysique à la physique dans la composition de ce qu'il nomme sa Philosophie » et il « ne disposait d'aucune autre méthode pour constituer sa physique. Il s'y était irrémédiablement condamné le jour même où il avait conçu le projet d'une science universelle construite sur le type des mathématiques et s'était engagé à le réaliser ». L’argument de Gilson postule au fond une opposition trop forte entre la physique, qualifiée d’expérimentale et qui devrait être a posteriori, et les mathématiques, science déductive a priori.
Ce qui ne nous convainc pas - outre le fait que les textes cartésiens offrent un tableau différent de ce qui est prévu par la thèse de Gilson - est la conception trop stricte de la physique, qualifiée d'expérimentale, que son caractère a posteriori rendrait incompatible avec la science déductive a priori. Par ailleurs, il entre chez Descartes une réelle souplesse dans les manières de traiter des questions physiques (de fait, de raison, par expérience ou par déduction nécessaire), quelle que soit, par ailleurs, la nécessité de les bien fonder, c’est-à-dire d’en expliciter le statut. Dans le détail des phénomènes, on choisira entre plusieurs raisons possibles, qui sont en quelque sorte ‘triées’ par l’expérience.Certaines hypothèses ‘fines’ avancées sur la résistance du milieu, la réduction de gravité etc. interviennent chez Descartes. Comme on le verra, la connaissance de leurs effets se heurte à des difficultés mathématiques.
Il faut insister sur un autre point important : à force de revenir ainsi sur la nature a priori des mathématiques, on risque d'oublier le caractère analytique (au sens que, justement, Descartes leur a donné) de leurs procédures, qui autorise précisément à découvrir les données manquantes (et explicatives) en partant du problème résolu. L'opposition de nature entre les démarches d'une vraie physique et d'une vraie mathématique nous apparaît donc infondée et, partant, ne peut suffire (associée à la thèse de l’unité de la science) à caractériser comme fondamentalement vain le projet scientifique cartésien. La faiblesse de cet argument tient sans doute à la conception gigogne de la « physique-mathématique », des « mathématiques pures » et de la »mathématique universelle » que Gilson reprend à son compte. Le rapport que décrit M. Fichant est bien plus conforme à la réalité ; il indique clairement en quoi la « Mathesis universalis » ne comprend pas toutes les mathématiques et en quoi elle contient aussi des sujets de physiques — elle n’est pas que mathématique.
L’idée d’un échec inhérent au projet cartésien est longuement défendue par J. L. Allard dans son ouvrage Le mathématisme de Descartes. Il dresse d'abord un constat explicitement formulé par Descartes, celui de l'inachèvement de la physique cartésienne. « Il a légué à ses neveux un arbre de la science tronqué » écrit Allard (p. 190-191) en insistant sur la conscience de cet inachèvement. Dans les commentaires des textes sur la chute, nous aurons l'occasion de confirmer cette appréciation. La thèse de Allard est alors que les causes de cette ‘physique insuffisante’ ne sont pas contingentes, qu’elles sont inscrites dans le projet lui-même, dans la réduction cartésienne des corps à l'étendue (autre fondement de la thèse de l’unité de la science), dans l'exclusion des forces et de tout dynamisme, dans la nécessité où il se trouve d'en appeler à une intervention providentielle toujours active. « Telles sont les raisons fondamentales qui expliquent pourquoi Descartes a laissé un héritage intellectuel inachevé » (Id., p.197).
Que les difficultés décrites par Allard soient réelles, c'est possible (et même probable); la physique mathématique porteuse de la science moderne devra certes intégrer forces, dynamisme et qualités dans les corps. En ce sens, Allard nous explique correctement en quoi Descartes ne fut pas Newton, ou même Leibniz. Mais le problème spécifiquement cartésien n'est pas exactement celui-là. Les corps - même dépouillés de qualités secondes, ou de force - sont susceptibles, dans leurs mouvements, figures et chocs, d'une expression mathématique que Descartes ne réalise pas non plus (ou avec beaucoup d’hésitation et d’incertitude). Une chose est de critiquer la ‘réduction’ cartésienne des corps (qui le condamnerait à un échec aussi général qu’inévitable), mais c'est dans la mathématisation de ces ‘objets réduits’ eux-mêmes que résiderait cet échec visé par les commentateurs — le problème est alors interne, en même temps qu’il ne conduit plus inévitablement aux apories que nous avons rappelées. Tel passage du livre d'Allard est représentatif de ce glissement :
« Comment expliquer cet insuccès? La raison en est simple: Descartes s'est imposé une tâche impossible, celle d'accorder à la méthode mathématique une valeur qui dépasse ses possibilités. En effet, la méthode mathématique réussit en mathématiques à cause de la simplicité de leur objet et de leur statut purement idéal. Pour généraliser la méthode mathématique, Descartes devait donc nécessairement simplifier les objets de connaissance, les niveler sur le plan de la raison; c'est ainsi qu'il a réduit tous les objets de la connaissance scientifique en natures simples et qu'il a « fait de la pensée l'objet premier de la pensée. » (p. 212)
Selon cet argument, on devrait avoir une mathématisation effective d' ‘objets réduits’ (fussent-ils de ‘faux objets physiques’ comme le pense Allard) . Or c'est aussi cette mathématisation qui fait largement défaut ; ce qui reste totalement inexpliquée par J. L. Allard, parce qu’il sous-estime grandement les difficultés de la 'simple mathématisation', celle des ‘natures simples, au statut purement idéal’. La mathématisation des ‘objets réduits’ est bien une porte ouverte sur une physique mathématique mais elle est plus complexe que ne l'imagine Allard et c'est notamment cette difficulté proprement mathématique qui arrête Descartes. Il suffit en outre de songer aux réalisations de la génération qui suivra pour prendre conscience que la « méthode mathématique » n’est pas incompatible avec les objets physiques, même dotés de leurs attributs dynamiques.
« Son but est tout autre: il prétend construire un système général et complet qui puisse, dans l'enseignement, remplacer celui d'Aristote […] Parce qu'il s'élève à une conception d'ensemble, que cette conception lui montre l'infinie complication des causes et des effets, qu'enfin une vérité approximative ne satisfait pas son désir de rigueur géométrique, il regarde comme impossible, en thèse générale, de trouver un énoncé mathématique s'appliquant exactement aux phénomènes naturels. Une telle simplicité ne peut se présenter que dans des cas tout particuliers (comme la réflexion et la réfraction de la lumière) (Ibid., p.306-307) […] Son système ne lui permettait pas de croire, en général, à la simplicité des lois réelles de la nature, et […] il se souciait peu de rechercher des relations seulement approchées […] Il faisait fausse route en prétendant construire exclusivement a priori les lois mathématiques qui gouvernent la nature. » (Ibid., p.313)
Si l’on peut accorder ce jugement d'ensemble, il demeure trop vague pour éclairer les textes qui nous occupent et trop évasif sur des points qui brouillent sa simplicité. Il n'y a pas qu'en optique que Descartes s'engage sur la mathématisation (entendue désormais en un sens « classique ») des phénomènes naturels. Dans un premier temps, c’est bien au nom d’une conception d’ensemble fort élevée, qu’il élabore, dans les Regulae, le programme de la Mathesis universalis, et ce programme inclut bel et bien l'expression géométrique des phénomènes naturels qui – à ce moment – est bien à entendre comme quantification. Ce n'est pas seulement cette élévation qui est un obstacle à la mathématisation, mais un combiné de cette raison et d'autres (légitimité des mathématiques nécessaires au projet, hiérarchie et priorités des préoccupations, doctrine restreinte de l’abstraction). Il faut, quoiqu’il en soit, mieux indiquer quand et comment advient le renoncement cartésien (si renoncement il y a) à la ‘mise en équations’ d’un phénomène central de la physique en voie de constitution, la chute des graves.
Cette conséquence est admise par Koyré, mais, pour lui, elle fausse radicalement la démarche. Ainsi, écrit-il, à propos de la doctrine du mouvement: « Jamais plus (après les années 30) il n'essayera d'en donner la formule, jamais plus il ne tentera d'en établir la loi. C'est que, autour de 1630, la pensée de Descartes subit une […] révolution ». Toujours selon Koyré, l'élaboration admirable de la structure et de la nature ontologique du mouvement a un prix très élevé: « elle fait perdre à Descartes toutes les acquisitions concrètes de la «science nouvelle» de cette physico-mathématique ». La physique des Principes est « aussi peu mathématique que celle d'Aristote » (Ibid., p.128). La clef de l'explication réside dans la réduction cartésienne des corps et de la matière, « la géométrisation à outrance - ce péché originel de la pensée cartésienne - aboutit à l'intemporel: elle garde l'espace, elle élimine le temps. (L'étendue est substance ou attribut essentiel, le temps n'est qu'un mode de l'être, et encore subjectif) » (Ibid., p.131). La physique cartésienne est une physique sans le temps, depuis l'époque ou il l'escamotait de la ligne de l' extensio jusqu'à la maturité ou il l'exclut des attributs essentiels. On peut encore alléguer des raisons supplémentaires: le vide et la constance de la gravité ne sont pas de ce Monde; la chute ne peut être connue sous ces hypothèses certainement et réellement fausses.
Une variante plus récente de la thèse de non mathématisation au motif de l’unité de la science est due à M. Kobayashi. La mention très rapide des textes cartésiens sur la chute des corps permet à l'auteur de justifier et d’expliquer le renoncement cartésien.
« Pour déterminer la vitesse de la chute des corps pesants, il faut donc expliquer préalablement la pesanteur et «tout le système du Monde» et envisager ce problème dans le cadre du système de l' Univers. Pour cette raison tirée logiquement de l'idée de la physique cosmologique, Descartes renonce finalement à obtenir une loi de la chute libre des corps pesants […] On voit donc comment le holisme physico-cosmologique a fait obstacle à la poursuite cartésienne d'une loi de la chute des corps. Ce n'est, ni l'incapacité technique ni la géométrisation à outrance qui ont empêché Descartes d'atteindre la loi exacte de la chute des corps, mais sa fidélité logique à sa propre théorie de la physique cosmologique prescrivant de rapporter les phénomènes terrestres à la structure matérielle de l'univers. » (p. 101)
Cette explication soulève plusieurs difficultés. D'une part, Descartes a justement réalisé les tâches dites préalables à la détermination de la loi de la chute. Il a, par ailleurs, et chaque fois qu'il l'a pu (optique, traité des mécaniques, centres d'oscillation) mis en œuvre des mathématiques adéquates aux phénomène. Il faudrait démontrer que les facteurs que ce « holisme » imposait de prendre en compte, étaient - par nature - réfractaires à une expression mathématique. Démonstration impossible évidemment, même si cela constituait pour Descartes lui-même, une difficulté trop grande, et si, au total, ces facteurs interdisaient qu’il pût considérer l’expression mathématique de la chute des graves dans sa généralité. Même s’il entre dans la décision de Descartes des éléments logiques et nécessaires, on doit tenir compte de la complexité technique et mathématique de l'affaire, associée au choix de consacrer ses forces à des problèmes d'intérêt supérieur.
Une hétérogénéité d’objets
Les objets mathématiques et les objets physiques seraient, pour certains commentateurs, si radicalement hétérogènes que le traitement des uns par les autres en deviendrait impossible. Dans le récent ouvrage déjà mentionné de Daniel Garber, Descartes' metaphysical physics, il n’est pas de thème important relatif à la physique cartésienne qui ne soit d'abord précisément exposé puis discuté. Certains de ses jugements sont extrêmement éclairants pour notre propos, en particulier l'insistance avec laquelle D. Garber défend, contre Koyré, l'idée selon laquelle le temps est inextricablement lié au mouvement tel qu'il existe dans le Monde. L’auteur ne néglige pas le rôle que tient la chute libre dans l'appréhension générale du mouvement, mais il n'accorde presque aucune place au traitement effectif qu'en propose Descartes. Le problème de la géométrisation de la physique n’est abordé qu’à la fin du livre, dans une page très nette : «I would like to make a last point. Descartes is sometimes credited with having made physics mathematical. It is true that the objects of physics for Descartes, are simply the objects of geometry made real. Furthermore, Descartes himself sometimes talks as if his physics were just a branch of mathematics. For example, at the end of part II of the Principles, concluding that section and introducing the discussion of cosmology and terrestrial physics, Descartes writes that «I admit no other principles in physics but those in geometry or abstract mathematics» (Pr.II, 64, see also AT I, 410-411; AT I, 420-421). But this cannot be right. While the objects of physics are the objects of geometry made real, in making them real they take on properties that they did not have in Euclid Because they are created and sustained by God, and perhaps, subject to his continual push, they satisfy laws of motion that are entirely foreign to the objects of pure mathematics. In trying to link Descartes' physics closely to mathematics, one forgets the crucial connection between Descartes' physics and his metaphysics; it is a crucial feature of his physics that it is grounded in God, and without that grounding there could be no cartesian physics.» (Ibid., p. 292-293).
La netteté du jugement n’épargne cependant pas d’examiner deux éléments de cette affirmation. Que des objets échappent à la pure mathématique dès lors qu'ils relèvent des lois du mouvement est fort contestable. En effet, la difficulté de constituer la mécanique comme branche des mathématiques est bien entendu réelle et elle constitue sans doute l'obstacle - clé auquel se heurte le projet cartésien, puisqu'elle exige la reconnaissance du temps comme variable indépendante formalisable; mais que cette difficulté soit posée par Garber comme une barrière de principe et donc infranchissable (they take on properties that they did not have in Euclid) peut surprendre — d'autant plus que Garber lui-même attire notre attention sur l'outrance qu'il y a dans les jugements de Koyré sur l'expulsion du temps de la physique cartésienne. Que le temps puisse être une dimension des relations, des rapports et donc des équations qui décrivent les phénomènes — il n'y a pas là d'hérésie en bonne doctrine cartésienne.
Ce que n'évoque pas Garber, c'est (encore une fois) la difficulté conceptuelle et technique, proprement (purement!) mathématique à en faire la variable par rapport à laquelle il conviendrait de différentier et d'intégrer. En outre, l'inférence selon laquelle « en liant la physique de Descartes aux mathématiques, on oublie la connexion cruciale entre sa physique et sa métaphysique » peut être interrogée. On pourrait tout aussi bien, à ce niveau de généralité, estimer que la reconnaissance de la liaison à la géométrie (si souvent proclamée par Descartes) contribue à constituer le lien de la physique à la métaphysique, tant il est vrai que la géométrie est le domaine où se rencontrent les ‘étincelles divines de vérité’.
Lorsqu’il reprend les discussions qui opposent les commentateurs, (Hatfield, Guéroult, Gabbey, sur la question de la force chez Descartes), Garber suggère que loin d'être en Dieu, ou dans le corps mobile ou en repos, ou encore en l'un ou dans l'autre, la force n'est à proprement parlé nulle part (p.298) ; la force cartésienne n'est qu'une manière de parler de l'action divine pour maintenir le Monde selon un principe de moindre modification modale (Principle of least modal change, cf. p. 299). Quoi qu'il en soit, cette ‘manière de parler’ concernerait les corps de la physique et bien évidemment pas ceux de la pure géométrie, ce qui - de toute manière - fonderait une distinction entre les uns et les autres.
Mais nous ne voyons pas que cela interdise rigoureusement une mathématisation effective : la force (même variable) selon le corps et le moment est une dimension supplémentaire, susceptible du plus et du moins; de même que les causes variées des phénomènes sont des dimensions (ceci est plusieurs fois affirmé par Descartes). En tant que telles, elles relèvent complètement de la possibilité de géométrisation: il n'y a aucun obstacle théorique issu de cette radicale distinction. La vérité, selon nous, est que cette cause supplémentaire introduit une complexité considérable et au total désarmante, dans le cadre de la géométrie cartésienne.
Descartes affirme assez clairement que la saisie de l’objet physique n’est pas le signal d’une rupture avec l’objet mathématique, selon le texte de l’Entretien avec Burnam :
« C’est ainsi que toutes les démonstrations des mathématiciens roulent aussi sur des objets et des êtres véritables ; et ainsi, l’objet de la mathématique (Matheseos), dans sa totalité et son universalité, et tout ce qu’elle y considère, est un être véritable et réel, qui a une nature véritable et réelle, non moins que l’objet de la physique même. La différence n’est qu’en ceci : la Physique considère son objet non seulement comme un être véritable et réel, mais comme actuel et existant en tant que tel, tandis que la Mathématique (Mathesis) ne considère le sien qu’en tant que possible, et qui, sans doute, n’existe pas en acte dans l’espace, mais toutefois peut exister. »
Il est bien entendu — et d’abord pour Descartes — qu’en donnant la proportion de la chute, ou la loi des sinus, ou la formule du centre d’agitation, on n’écrit pas un chapitre nouveau de la Géométrie ; à un certain égard, on ne rompt pas non plus avec les mathématiques de la Géométrie.
L’élucidation du concept de Mathesis chez Descartes, qui excède l’étude proposée dans ce volume, permet cependant de clarifier la question. F. de Buzon relève l’importance du changement introduit par Descartes dans une longue tradition, et qui trouve son accomplissement dans le dernier article de la seconde partie des Principes de la philosophie. Sans reprendre ici tout le détail de cette nouvelle interprétation, il faut prendre acte d’un double résultat. Premièrement, « exclusion de l’arithmétique et inclusion d’une phoronomie caractérisent […] la redéfinition de la Mathesis pura en extension » (Ibid., p.310). Il faut alors considérer avec de Buzon que Descartes remplit son programme dans les Principia, qui fournissent une « théorie abstraite du mouvement, et plus généralement des propriétés liées à cela seul que la matière est divisible en parties qui ont des figures et des mouvements » (Ibid., p.311). Cette Mathesis « contient donc la géométrie comme une de ses parties sans se confondre avec elle ». Deuxièmement, cette Mathesis abstraite est suffisante « dans le domaine de la physique et du phénoménal » (Ibid., p.313). Comprenons alors que le traitement de la gravité proposé dans les Principes constitue, aux yeux de Descartes, l’exemple de l’explication authentiquement géométrique d’un phénomène physique. Il reste alors à se demander quelle place une mise en équation peut trouver au regard de ce programme rigoureusement cohérent qui, pour une bonne part, ne semble pas prendre l’idée d’une mathématisation des phénomènes dans le sens reçu par les contemporains.
A un titre ou un autre, ces différentes approches des rapports de la géométrie à la physique par Descartes ne dissipent pas tous les problèmes soulevés par les rapports qu’entretiennent ces domaines dans la science cartésienne. Sans prétendre élucider ces rapports, nous voulons suivre les méandres de cette relation incomplète telle qu'elle se manifeste à l'occasion des nombreuses prises de position sur le problème de la chute des graves. On pourra mentionner quelques moments et attitudes marquantes de la réflexion cartésienne sur le sujet:
La lettre de 1643 à Huygens sur le jet d'eau est une résolution mathématique, aussi parfaite que possible – mais dans une situation précisément circonscrite - d’une question constituée par la chute libre d’un grave dans le vide et à gravité constante. Dans un cas comme celui-ci, la vérité acquise est très assurée.
L'intérêt d'une mise en équations du mouvement réel (c'est-à-dire dans l'air et en tenant compte de la variation supposée de la pesanteur selon l'altitude) n'est pas véritablement mis en cause par Descartes; elle est en revanche considérée comme difficile et, surtout, non généralisable. Elle peut constituer l’horizon d’un travail de détail, très subordonné par rapport à l’établissement de l’explication mécanique des phénomènes — c’est ainsi que la présente, en octobre 1631, une lettre à Mersenne : « Pour ce qui est de la vraie proportion selon laquelle s’augmente ou diminue la vitesse d’un poids qui descend dans l’air, je ne la sais pas encore [...] » (AT.I, 222).
D'autre part, l'intérêt de la mise en équations d’une chute fictive, dans le vide et à gravité constante, n'est pas systématiquement rejeté tout au long de la période de maturation de la science cartésienne. Nous aurons à revenir sur le cas qu’il convient de faire d’un tel savoir ; il n’empêche que Descartes ne le répudie pas purement et simplement.
La chute des corps et la description des trajectoires balistiques ne se trouvent donc pas exclues de sa physique, mais la difficulté d'en rendre compte modifie leur statut.
Lorsqu’il est possible de circonscrire le problème si précisément que les paramètres trop complexes peuvent être négligés, parce qu’ils sont peu sensibles, ces questions tolèrent un traitement mathématique (c’est le cas de la chute de la colonne d’eau). Mais lorsqu’on les considère du point de vue des principes, elles ne sont plus que des questions de fait — éventuellement susceptibles d'être déterminées par l'expérience, sinon par la raison.
Loi du mouvement et quantification de la chute
abstraction ou réduction
Un argument plus important qui permet d’expliquer cette relation non effective entre une physique mécaniste et une géométrie algébrique consiste à soutenir que cette mathématisation des phénomènes nécessite un processus d'abstraction qui n'est pas conforme à la doctrine cartésienne.
Sur cette réticence, bien présente chez Descartes, à abstraire certaines conditions réelles des phénomènes, Milhaud revient, mais très évasivement : « Nous trouvons ici la difficulté qu'il y a pour Descartes, ou tout au moins l'hésitation à abstraire, dans une question de physique, quelqu'un des éléments qui composent le Monde réel. Il y a plus ou moins confusément l'impression que c'est déformer la réalité, fausser la science, et risquer de bâtir dans le vide, que de spéculer, à propos d'un problème quelconque, que sur une partie des facteurs dont il dépend. C'est un des côtés de la pensée de Descartes que Paul Tannery a bien mis en évidence et sur lequel je n'insisterais pas davantage.»
Michel Fichant formule une thèse importante lorsqu’il insiste sur la rupture - au moins partielle - effectuée en 1630 avec le programme des Regulae, rupture qui concerne notamment la doctrine de l’abstraction. Il est ainsi établi qu’à partir de 1630, « Descartes aura renoncé à l’instrument des Regulae et ne cherchera plus à vrai dire à mettre en équation les problèmes de physique, mais à les construire par des figurations qui n’auront plus le caractère de code qu’elles ont dans les Regulae ». L’exemple de la chute est d’ailleurs typique de cette rupture avec le programme des Regulae. Si le contenu des grands traités est conforme à cette description, les nombreux textes de la correspondance imposeront d’envisager les aménagements que tolère cette répartition.
Dans la perspective qu’il a dessinée, M. Fichant peut en effet déclarer que « la réalisation de la science cartésienne abandonne en fait cet idéal d’unité après 1630 [...] Géométrie et physique vont se constituer désormais à part l’une de l’autre, et leur relation aux acquis des Regulae qui survivent à l’abandon de leur dessein est paradoxale ». Les remarques qui suivent caractérisent la Géométrie de 1637 et sont très éclairantes, mais les considérations sur l’ « autre géométrie, celle qui vise à l’explication des phénomènes de la nature » ne comblent pas la faille laissée ouverte par cette « représentation géométrique sans mathématiques », selon l’expression de Bachelard. Outre le fait qu’il s’agit sans doute d’un trait ironique, d’un clair-obscur provocateur en plein XVIIe siècle, les textes sont là, qui montrent que Descartes continuait de chercher des équations conformes ou adéquates à des questions posées par la chute des graves ou connexes à ce phénomène.
Le ressort de ce changement de programme tiendrait au fait suivant. Dans les Regulae, Descartes pensait pouvoir intégrer les problèmes de physique à la Mathesis Universalis, par la réduction, l’abstraction et la transposition qui en feraient des « questions parfaites ». Un exemple connu est celui de la nature de l’aimant évoqué à la règle XIII.
A partir de 1630, cette possibilité se trouve donc catégoriquement révoquée. Elle n’est peut-être pas la seule que tolère la méthode, cependant. Si l’on reprend le texte de la première lettre à Mersenne du 13 juillet 1638, on découvre une particularisation des procédés mis au programme dans les Regulae. Il s’agit d’un « Examen de la question, savoir si un corps pèse plus ou moins, étant proche du centre de la terre, qu’en étant éloigné ». Cette question telle quelle, n’est pas déterminée par la seule connaissance de la pesanteur qui ne m’apprend rien, sinon que c’est une question de fait, c’est-à-dire qui réclame des expériences, dont le rôle est justement de la déterminer. Conjointement, cette détermination s’accompagne d’une réduction de la question. Cette réduction commande, en l’occurrence, de ne considérer que des altitudes faibles (en ce sens on pourra dire que ce n’est pas un phénomène général qui va faire l’objet de l’étude parfaite, mais seulement certaines manifestations limitées, qui feront la question). Une fois opérée cette réduction-déterminatio,  « je passe maintenant aux raisons mathématiques » dit Descartes et les pages qui suivent traitent la question sur un mode géométrique qui ne congédie pas les mathématiques : c’est un mode géométrique bien plus proche des mises en équations que de la « géométrie du sel ».
Le texte de la lettre à Huygens de 1643 va dans le même sens : un phénomène général est réduit à une question qui devient parfaitement déterminée, par la prise en compte de résultats expérimentaux précis ainsi que par sa limitation à des conditions (d’altitude encore) restreintes. Cette procédure - qui n'est pas une abstraction - une fois réalisée, la résolution de la question est mathématique, et se pose en termes de proportions, d’équations et de courbes géométriques.
S’il est donc une notion qui, selon les commentateurs, perd toute pertinence dans le mûrissement de la physique cartésienne, c’est bien l’abstraction, au sens que lui donne la science classique et qui, de fait, trouve chez Galilée une thématisation explicite : « C’est pourquoi -affirme Salviati- si l’on veut traiter scientifiquement ce problème [du mouvement], il convient d’en faire abstraction [ de la résistance du milieu et de la variation de gravité] et, après avoir découvert et démontré les lois, en supprimant toute résistance, de les compléter, au moment de les utiliser concrètement, par ces limitations que l’expérience nous enseignera » (Discorsi, IV, PUF 212), et il poursuit ainsi : « les erreurs susceptibles d’apparaître dans les conclusions établies, hors de tout accident externe, seront de peu d’importance avec nos machines, tant en raison de la grande vitesse des mouvements généralement considérés, que des distances, en réalité très petites, si on les compare au rayon du globe terrestre ou à l’un de ses grands cercles » (Discorsi, IV, PUF, p.213-214). De fait, on ne peut qu’opposer à une telle déclaration les lourdes réserves que Descartes exprime sur ses propres tentatives pour mathématiser la chute des graves: « (…) les propositions que j’ai déterminées ne sont pas justes, à cause que l’action de la pesanteur diminue à mesure que les corps se meuvent plus vite [gravité variable], et aussi à cause que l’air leur résiste davantage » (Lettre à Huygens, 18 ou 19 février 1643, AT III, p.623). L’opposition des deux démarches est d’autant plus frappante que Descartes mentionne ici au moins l’un des paramètres dont Galilée lui-même faisait abstraction pour donner une loi du mouvement, savoir, la résistance du milieu (mais nous verrons que le statut de la résistance est loin d’être aussi simple qu’il paraît).
On doit à Koyré l’expression la plus heureuse de l’opposition qui intervient entre Galilée et Descartes sur cette notion, et qui semble placer l’auteur des Principia à l’écart de l’histoire du développement de la physique classique : chez Descartes, en effet, « On ne peut pas isoler les phénomènes. On ne peut donc pas faire de physique ‘abstraite’ comme celle de Galilée. L’abstraction qui néglige les cas concrets, réels, est tout à fait légitime dans le Monde de Galilée : un Monde archimédien. Elle lui permet de dégager le cas simple, le cas idéal, à partir duquel il va étudier le cas concret et complexe. Mais Descartes ne peut faire qu’une physique concrète. L’abstraction ne le mènerait pas au cas simple : elle le mènerait au cas impensable » (Etudes galiléennes, Paris, 1939, II, p.53). Cette interprétation très remarquable demeure incontestable dans le cas de la chute des graves, même si elle ne fait pas droit aux efforts de Descartes pour considérer des cas simples, dans celles des questions physiques qui restent irrémédiablement soumises aux conditions de l’expérience ; mais il est vrai, comme nous le verrons, que cette simplicité expérimentale n’est pas conquise au prix d’une abstraction vraiment analogue à celles que Galilée peut légitimement s’autoriser. En effet, l’important, dans le texte de Koyré, réside dans la mention d’un Monde archimédien qui, dans les Discours concernant deux sciences nouvelles, permet effectivement d’utiliser pour elles-mêmes les ressources mathématiques, abstraction faite de certaines conditions physiques réelles.
Il convient de distinguer chez Descartes des situations où la non prise en considération (la séparation) de certains facteurs rend la conception du phénomène impossible, de celles où ce n’est pas le cas. Alors l’abstraction est bel et bien de mise, en vue d’une expression mathématique de la solution. Ainsi, dans le texte d’octobre 1637 sur L’explication des engins par l’aide desquels on peut avec une petite force lever un fardeau fort pesant (AT I, 435 sq.), on lit qu’ « il y a toutefois une chose qui empêche que ce calcul ne soit exact, à savoir la pesanteur de la poulie, & la difficulté qu’on peut avoir à faire couler la corde & à la porter. Mais cela est fort peu à comparaison de ce qu’on lève, & ne peut être estimé qu’à peu près » et un peu plus loin « mais il y a encore à rabattre de ce calcul la difficulté qu’il y aurait à mouvoir le corps F le long du plan AC, si ce plan était couché sur la ligne BC dont je suppose toutes les parties également distantes du centre de la terre. Il est vrai que, cet empêchement étant d’autant moindre que le plan est plus dur, plus égal & plus poli, il ne peut derechef être estimé qu’à peu près & n’est pas fort considérable. On n’a pas besoin non plus de considérer que, la ligne BC étant une partie de cercle qui a même centre que la terre, le plan AC doit être tant soit peu voûté & avoir la figure d’une partie de la spirale décrite entre deux cercles qui aient aussi pour centre celui de la terre, car cela n’est nullement sensible »  (AT.I 438 et 439). Pour des raisons que les récents commentaires ont rigoureusement élucidées, le fondement des principes mathématiques de la physique, chez Descartes, interdit en général une telle disjonction, ce qui ne signifie pas que ces ressources ne puissent exprimer la solution de questions physiques convenablement déterminées.
Dans l’étude qu’il consacre à la « Fable du Monde » , M. Fichant rappelle que la thèse de la création des vérités éternelles, qui constitue un véritable hapax dans l’histoire de la métaphysique classique, place les vérités mathématiques au même niveau ontologique que le Monde physique et les lois qui le régissent : absolument nécessaires pour notre entendement, elles sont cependant créées librement par Dieu, de sorte que les vérités mathématiques ne s’imposent nullement au créateur pour constituer la nature. Nous n’avons pas à reprendre ici l’interprétation de cette thèse : rappelons simplement que, comme l’a montré J.-L. Marion, elle permet d’établir que les énoncés scientifiques, qui sont absolument vrais, possèdent un statut ontologique dérivé ; ils ne concernent jamais que les étants, même en mathématiques, et non l’être comme tel. Pour ce qui concerne la physique, nous devons surtout retenir que la thèse de la création des vérités éternelles interdit de fournir une expression mathématique des phénomènes, cependant qu’on ferait abstraction de certaines de leurs déterminations physiques essentielles : « l’argument essentiel qu’il oppose à la loi mathématique de la chute des corps (et qui porte non sur la teneur de cette loi mais sur sa possibilité même), tient à ce que Galilée doit d’abord, pour en garantir l’interprétation physique, montrer la légitimité de l’idéalisation en vertu de laquelle tous les corps pesants tombent pareillement dans le vide. A quoi Descartes répond que, dans le vide, il n’y a nulle pesanteur, et qu’une loi édictée sous de telles conditions n’a aucun sens physique ». L’absence d’un sens physique implique ici l’inconsistance de l’expression mathématique.
Sans vouloir infirmer la consistance de la position de principe expliquée par M. Fichant et sans prétendre relever une quelconque incohérence de Descartes, il s’agit plus modestement d’identifier les stratégies d’évitement qui chez lui, permettent d’apprécier un phénomène dont le Monde, puis les Principes de la philosophie, fournissent l’explication causale. La lecture que nous avons conduite, à dire le vrai, atteste d’abord que le rejet de l’entreprise galiléenne ne demande aucune élaboration conceptuelle inédite : il suffit à Descartes, pour l’essentiel, de reprendre les critiques qu’il dirigeait, dès 1630, contre ses propres tentatives pour mathématiser la chute des graves (la plus lourde, qui impose d’écarter ces premiers résultats, concerne bien entendu la mention du vide). De surcroît, les textes mêmes dans lesquels Descartes paraît supposer le vide, cependant qu’il est déjà en possession des principes mathématiques de sa physique, servent l’interprétation de Koyré. L’extrait des Anatomica que nous avons commenté peut bien être lu comme une tentative de Descartes pour éprouver l’accord des notions qui ont permis d’analyser le mouvement de la chute (l’impulsion, la vitesse) avec les vrais principes de la physique, désormais acquis. Le texte procède ainsi à un dénombrement des cas, selon que l’on admet ou non les hypothèses du vide et de la gravité constante. Mais cette induction (selon l’équivalence posée dans les Regulae) ne donne lieu qu’à une conclusion très circonscrite : il est établi que la variation de vitesse mobilise la gravité variable ‹ et ce, même dans le vide. Ainsi, jusque dans cette hypothèse galiléenne, purement fictionnelle pour Descartes, il est exclu de poser par abstraction une gravité constante. Et du moment que j’introduis cette variation, il devient impossible de déterminer la loi dont le texte des Anatomica fournit simplement le cadre formel (les vitesses augmentent en proportion géométrique). Cette impossibilité est toutefois étroitement dépendante des restrictions liées aux mathématiques dont dispose Descartes (ou qu’il accepte d’employer). Les conditions abstraites de calcul que paraît se donner Descartes ont ainsi une double signification : elles mettent d’abord en évidence les conditions d’une quantification effective, un peu comme les règles du choc qui, dans les Principes, sont données dans le vide ; mais la conclusion de cette entreprise est ici négative ‹ il est établi que, le vide même étant admis, l’expression de la variation de vitesse ne saurait être formulée dans une loi : les problèmes de pesanteur, dans leur généralité, restent irréductiblement empiriques.
Aussi nous faut-il prêter une attention plus soutenue à chacun des paramètres dont Descartes pouvait faire abstraction, dans ses premières tentatives. Considérons d’abord la résistance du milieu. Dans les critiques qu’il adresse à Galilée, Descartes stigmatise l’hypothèse fausse du mouvement dans le vide, qu’il paraît identifier avec l’élimination de la résistance du milieu. Toutefois, si l’on envisage simplement le cas d’un corps auquel la matière subtile impulse un mouvement de chute en dehors de l’air ambiant, qui résiste effectivement, alors le milieu (la matière subtile) ne lui imposera aucune espèce de résistance à descendre, sauf s’il venait à se mouvoir plus vite qu’elle. Il n’est donc pas évident que l’abstraction de la résistance du milieu ne puisse trouver aucune place dans le Monde de Descartes. Nous devons néanmoins apporter trois précisions importantes, 1° Cette " abstraction " ne saurait évidemment être généralisée aux choses terrestres qui, pourtant, constituent des phénomènes au même titre que les mouvements supralunaires. 2° L’explication physique de la pesanteur fait intervenir la consistance des corps, de sorte que la proportion qui exprime le mouvement de chute devrait changer selon les cas. 3° Quoi qu’il en soit, d’ailleurs, de la nature du milieu (l’air ambiant, ou ce qui se passe au-delà des nues), Descartes identifie dans la gravité variable le principal obstacle aux conditions d’une mathématisation complète : « (…) elle est purement de fait, c’est-à-dire qu’elle ne saurait être déterminée par les hommes, qu’en tant qu’ils en peuvent faire quelque expérience ; et même que, des expériences qui se feront ici en notre air, on ne peut connaître ce qui est beaucoup plus bas, vers le centre de la terre, ou beaucoup plus haut, au-delà des nues, à cause que, s’il y a de la diminution ou de l’augmentation de la pesanteur, il n’est pas vraisemblable qu’elle suive partout une même proportion ». En somme, conformément à l’enseignement des Anatomica , l’abstraction de la résistance du milieu (qui était alors présentée comme mouvement dans le vide) ne suffit pas pour établir la loi mathématique selon laquelle s’effectue la variation de vitesse, qui fait intervenir la gravité variable.
Qu’en est-il justement de la gravité variable, qui engage le statut expérimental de la loi de la chute ? En première lecture, les déclarations de Descartes sont ici beaucoup plus troublantes. Le traitement mathématique des problèmes qui font nécessairement intervenir la pesanteur (poids) requiert alors que l’on restreigne notablement les conditions par lesquelles se trouve déterminée la pesanteur absolue : elle est alors, dans un corps, « la force dont il tend à descendre en ligne droite, étant en notre air ordinaire à certaine distance du centre de la terre, & n’étant ni poussé ni soutenu d’aucun autre corps, & enfin n’ayant point encore commencé à se mouvoir ». (Ibid., p.226-227) (relevons au passage la proximité avec les conditions que se donne Galilée dans les Discorsi). L’important réside en ce que le traitement du problème posé par Mersenne requiert justement que l’on admette la gravité constante : «[…] nous supposerons que chaque partie d’un même corps pesant retient toujours en soi une même force ou inclination à descendre, nonobstant qu’on l’éloigne ou qu’on l’approche du centre de la terre, ou qu’on la mette en telle situation que ce puisse être. Car encore que, comme j’ai déjà dit, cela ne soit peut-être pas vrai, nous devons toutefois le supposer, pour faire plus commodément notre calcul ; ainsi que les astronomes supposent les moyens mouvements des astres qui sont égaux, pour avoir plus de facilité à supputer les vrais qui sont inégaux » (Ibid., p.227). Toutefois, quand Descartes semble ainsi disposé à traiter par abstraction un problème de physique, il se replace dans les conditions étroitement déterminées par les nécessités de l’expérience. C’est aussi ce qui sera fait dans la Lettre à Huygens de 1643. La restriction d’un paramètre à ses déterminations les plus simples ne s’inscrit donc pas du tout dans une perspective galiléenne : il ne s’agit pas de négliger le cas concret, réel, mais, bien au contraire, de se limiter aux conditions précises sous lesquelles il peut constituer une authentique question. En cela, Descartes se conforme rigoureusement au quatrième précepte du Discours.
Quand donc le traitement cartésien de la chute des graves paraît le plus s’approcher de l’abstraction galiléenne, il s’en écarte en réalité davantage, car la constitution d’une véritable question, selon les exigences posées par le Discours de la méthode et applicables au cas de la pesanteur, s’effectue au rebours des conditions d’idéalisation introduites par l’auteur des Discorsi.
Il faut se rendre attentif aux possibilités que Descartes tire de ces prescriptions strictes. Il écrit en effet exactement ceci à Mersenne, le 23 mars 1643 : « je voudrais bien aussi vous déterminer le jet d’eau de 45 degrés, lequel, sans aucun calcul, je crois être une parabole : à savoir,, en ne supposant que les principes mis en mon écrit, sans considérer la résistance de l’air ni la diminution de la force qui cause la pesanteur ». Les principes évoqués dans l’écrit envoyé un mois auparavant à Huygens étant le principe d’inertie et celui selon lequel  « la pesanteur augmente la vitesse des corps qu’elle fait descendre, presque en même raison que sont les temps pendant lesquels elle descend » . La thèse générale exposée par Koyré ne dispense pas d’un examen très soigneux des nombreuses approches cartésiennes de questions parfois bien déterminées, qui ont pour objet la chute d’un grave.
Le point de vue, selon lequel l’abstraction de circonstances constitutives du phénomène n’est plus possible à partir de l’établissement de la doctrine générale des éléments et de la pesanteur, n’est pas contestable, nous souhaitons toutefois souligner quatre points. Le premier est qu’il reste possible de faire provisoirement abstraction de certaines circonstances non constitutives de l’effet physique étudié (les aspérités et les irrégularités, les formes compliquant par trop les calculs, le poids de certaines parties des systèmes concrets etc.). C’est ainsi qu’une analyse fine du rôle de la matière subtile dans la pesanteur n’interdit pas que la résistance puisse être « non constitutive » de la chute. Nous découvrons en effet dans les textes postérieurs à 1630 une distinction extrêmement importante dans le statut des deux causes réelles qui interdisent de considérer comme un phénomène du Monde sensible la chute abstraite galiléenne. Ces deux causes sont la résistance du milieu d’une part et la variation de gravité d’autre part. Or, le cas de la chute « dans le vide » pourrait être mis sur un plan d’intelligibilité analogue à celui qui régit l’exposé des règles du choc. En revanche – et c’est sur ce point qu’insiste désormais Descartes – la situation où la cause de la pesanteur a un effet constant sur le mobile est absolument impossible car contradictoire avec les conditions cartésiennes de communication du mouvement. Le mécanisme nous y contraint : celui-ci se transmet par contact. Dès lors qu’il y a contact, l’état du mobile change relativement à la cause de son mouvement (ici la matière subtile) et l’impulsion (ou la pression) ne peut être pensée comme constante « même dans le vide, l’impulsion serait toujours diminuée » écrit-il par exemple dans le passage étudié des Anatomica .
En second lieu, certaines conditions d'idéalisation (comme la proportion de la résistance à la vitesse) permettent au moins de fournir le cadre formel d'une loi de la chute, même si, du même coup, elles interdisent de la déterminer physiquement. C’est tout l’intérêt de ce texte essentiel du dossier, que nous avons extrait des Anatomica et qui offre un témoignage remarquable, quoiqu’implicite, de cette possibilité. Il n'y a là rien de scandaleux, si l'on songe au statut des règles du choc dans les Principes.
Le troisième point tient à ce qu’il est possible de ne pas tenir compte de circonstances constitutives, à condition d’accepter une réduction, une particularisation de l’objet d’étude (ainsi, dans la lettre à Huygens, Descartes ne résout pas le problème général de la chute des corps, mais il traite mathématiquement de la question de la chute d’une colonne d’eau sur une hauteur limitée) ; le quatrième enfin - le plus important peut-être - est que la prise en considération de circonstances complexes, comme la résistance du milieu, la variation de gravité ou même la forme du grave n’interdisent pas, chez d’autres auteurs, le traitement mathématique de la question. C’est bien ce à quoi vont s’attaquer les physiciens mathématiciens des générations qui suivent immédiatement : l’étude de la chute dans un milieu résistant. Le problème qui passe alors au premier plan tient au statut des outils mathématiques nécessaires, qui dépassent les possibilités dont dispose Descartes ; mieux, ils engagent la mathématique adéquate à la physique en des régions hostiles à la raison cartésienne, puisqu’il s’agit de mathématiques infinitésimales.
La chute « en supposant deux ou trois choses très fausses »
Une fois reconnu que la balistique concrète n'entrerait finalement pas dans les grands traités de physique, au motif qu’elle ne recouvre pas un phénomène général, il reste encore à savoir si la balistique ‘abstraite’ – ou fictive – doit en être vraiment exclue?
La question se pose sérieusement en raison du grand nombre de passages de la correspondance où elle est discutée. Le fait est là : nous disposons au minimum de douze textes (textes du corpus n° I,II,III,IV,V,VI,VII, XII, XIII, XXII, XXIII et XXV, qui vont de 1619 à 1643) où l’on trouve des procédures par lesquelles Descartes écarte de son raisonnement les causes à l’œuvre dans ce Monde, soit qu’il ne les ait pas encore élaborées, soit qu’il « suppose deux ou trois choses très fausses », pour proposer une question figurée. Il est exact que les résultats acquis pour un grave en chute dans le vide et soumis à une gravité constante ne seront que partiels, ne porteront pas sur un objet existant et actuel mais néanmoins véritable et réel (pour reprendre les termes employés dans L’entretien avec Burman). L’étude de cet objet qui est donc une fiction physique ne procurera qu'une intelligibilité réduite. Est-ce à dire qu'un pareil résultat soit négligeable? Non puisqu’il pourra avoir valeur de résultat mathématique (et non pas physique) comme dans le texte des Anatomica, ou encore parce qu’il pourra concerner une question particulière de physique, dans le cas où les paramètres problématiques sont très peu sensibles.
Dans la longue et importante lettre à Cavendish du 30 mars 1646, au sujet des centres d’agitation, la gravité joue un rôle central et les résultats établis par Descartes le sont en « [exceptant] très expressément ce que la résistance de l’air peut changer » (A.T.IV, 380). La témérité à « déterminer des choses qui dépendent de l’expérience sans [en avoir] fait l’épreuve auparavant » n’invalide pas les proportions obtenues : il existe une vérité mathématique qui en général recouvre une fiction physique et qui, en outre, peut coïncider avec une question particulière de physique. On peut, par ailleurs, et dans des circonstances précisément déterminées, soumettre cette question à l'expérience. En avril de la même année, il écrit sur le même sujet à Mersenne en explicitant que « la principale adresse qu'on puisse employer, en l'examen des expériences, consiste à choisir celles qui dépendent le moins des causes diverses et desquelles on peut, le plus aisément découvrir les vraies raisons ». Faut-il rester de marbre après cet avis qui nous livre comme vraies raisons, celles qui, mathématiquement, nous donnent les proportions de la question physique, compte non tenu des causes diverses?
Descartes n'est certes pas galiléen, en ce sens qu’il ne reconnaît pas une vérité essentielle et mathématique, cachée, masquée sous la gangue des accidents matériels. L'abstraction de ceux-ci ne peut donc évidemment pas avoir le même sens, ni être aussi spontanément admissible que chez Galilée. Que fait-il lorsqu'il accepte (explicitement jusqu'en 1643 pour la chute et bien plus tard pour les centres d'oscillation) de donner les relations mathématiques du mouvement, sans tenir compte de l'empêchement dû à l'air, ou de la variation de gravité, ou de la forme du grave etc.? Contrairement à Galilée pour lequel il y a une vérité intime du phénomène dans le vide, et des accidents comme la plus ou moins grande résistance de l'air, pour Descartes, il n'y a pas de coupure essentielle, pas de discontinuité causale, entre ce qui fait que la chute a lieu et ce qui fait qu'elle est empêchée : ces deux faits constituent le phénomène général de la pesanteur, c'est-à-dire des relations mécaniques entre les éléments de la matière. Descartes ne peut considérer une pesanteur sans empêchement, ni envisager, d’un côté une vérité du mouvement compte non tenu des empêchements et de l’autre une adaptation concrète, compte tenu de ceux-ci. La connaissance de la chute des graves doit intégrer tout cela (et aussi la variation de l'action de la pesanteur selon la vitesse acquise). Dans certains cas, on peut considérer comme minime et peu sensible la seconde catégorie de causes par rapport à la première. Si, dans ces cas, des mathématiques disponibles fournissent une expression assez proche de l'expérience, en général on ne dispose pas d’outils mathématiques capables de comptabiliser ces autres causes. L’approximation qui est le fruit de ces calculs n’exprime donc pas toute la réalité du phénomène. Elle n’est pourtant pas répudiée.
On a assez souligné l’opposition entre Descartes et Galilée au sujet de l’abstraction pour remarquer toutefois que le diagnostic que fait Galilée sur la difficulté à bâtir une science de la chute des graves, est bien proche de celui auquel aboutit Descartes : « Quant à la perturbation due à la résistance du milieu, elle est plus importante (que la perturbation causée par la finitude de la distance au centre de la terre), et il est impossible, en raison des formes variées qu’elle revêt, de la soumettre à des règles fixes, et d’en faire la science [...] Ces propriétés de gravité et vitesse et même de forme sont susceptibles de varier de tant et tant de manières qu’il est impossible d’en donner une science rigoureuse : c’est pourquoi, si l’on veut traiter scientifiquement de ce problème (la science du mouvement), il convient d’en faire abstraction, et, après avoir découvert et démontré les lois, en supprimant toute résistance, de les compléter, au moment de les utiliser concrètement, par ces limitations que l’expérience nous enseignera » .
La chute, une question de fait ?
Descartes explicite la différence entre les vérités démontrées a priori et les vérités prouvées a posteriori ‹ cette distinction, pour l’essentiel, recoupe celle que la troisième partie des Principes de la philosophie établira, entre le domaine de la certitude métaphysique, qui caractérise la connaissance des principes des choses matérielles et du mouvement, et celui de la certitude morale, qui sanctionne l’explication des phénomènes. Citons cet important passage : « Pour la matière subtile, il est vrai que je ne la prouve pas a priori ; car n’ayant pas voulu traiter toute la philosophie dans un tel livre, il m’a fallu commencer par quelque bout ; et c’est pour cela que j’ai écrit que je la supposais ; mais je prétends qu’il y a plus de cinq cent raisons dans la Dioptrique et dans les Météores qui la prouvent a posteriori, c’est-à-dire, cinq cent choses que j’explique par elle, & qui ne pourraient être sans elle ; en sorte que j’espère que lorsque vous les aurez tous lus, vous en jugerez comme moi ». Ce texte appelle plusieurs remarques, qui instruisent notre compréhension du statut cartésien du niveau expérimental, où se développe l’explication de la chute des corps.
1° Notons d’abord que, dans cette lettre, les preuves a posteriori désignent assez manifestement les expériences, naturelles ou mises en scène, qui attestent la pertinence d’une hypothèse : et tel est bien le statut de la matière subtile, pour des raisons que nous allons rappeler. Ce texte postule ainsi l’équivalence posée en Principes, III, 4, entre les phénomènes et les expériences. Les choses qui, dans les Météores surtout, « prouvent » a posteriori la matière subtile, constituent en effet une véritable histoire du Monde visible. Si les expériences éprouvent les hypothèses, c’est d’abord parce qu’elles constituent l’objet qu’il s’agit d’expliquer.
2° En conséquence, nous ne devons pas nous méprendre sur la façon dont ces expériences peuvent s’avérer probantes. Descartes précise bien que les phénomènes ne soutiennent une preuve a posteriori qu’en ce que l’explication qu’il s’agit d’éprouver les explique convenablement, et non en ce qu’ils fourniraient les éléments d’une élaboration conceptuelle préalable. Relisons une fois encore le texte des Principes, III, 4 : « je ferai ici une brève description des principaux phénomènes dont je prétends rechercher les causes ; non point afin d’en tirer des raisons qui servent à prouver ce que j’ai dit ci-après, car j’ai dessein d’expliquer les effets par leurs causes, et non les causes par leurs effets ». Nulle contradiction entre ces deux textes ; les preuves mentionnées dans la lettre de 1646 ne suffisent en aucune façon pour élaborer une explication physique. Elles attestent simplement que l’hypothèse de la matière subtile, rigoureusement déduite des principes a priori de la physique, permet d’expliquer les choses qui, dans le Monde visible, constituent l’objet de l’enquête. S’il est des explications qui, pour reprendre le lexique de cette lettre, ne pourraient jamais être prouvées qu’a posteriori, ou (dans les termes des Principes) ne seraient jamais sanctionnées que par une certitude morale, c’est parce que leur déduction rigoureuse n’interdirait pas la déduction d’autres hypothèses également fondées : dans ce cas, l’expérience nous permet de choisir. Les choses du Monde visible ne sont donc probantes que dans la stricte mesure où elles permettent de discriminer « entre les effets innombrables produits en puissance par des lois ».
3° La mention de la matière subtile renforce bien sûr la convergence de cette lettre avec le texte canonique que nous avons cité. Dans la troisième partie des Principes, elle intervient comme l’élément central d’une cosmogenèse dont le statut hypothétique requiert précisément le témoignage de l’expérience. Encore devons-nous rappeler que la thèse cartésienne selon laquelle une même matière forme la terre et les cieux (Principes, II, 22) impose de reconnaître « qu’on peut mettre au nombre des phénomènes toutes les choses qu’on voit sur la Terre » (Ibid., III, 42). Autant dire que les conditions expérimentales dans lesquelles sont envisagés les problèmes qui font intervenir la pesanteur obéissent au même régime que les phénomènes célestes — leur statut interdit donc que l’on fasse abstraction des principes fondamentaux de la physique, et c’est dans un tout autre sens qu’il convient d’interpréter les procédures de simplifications employées par Descartes.
On ne doit pas être surpris de cette limitation puisqu'elle est clairement envisagée dans le Discours où l'usage des préceptes de la méthode s'avère d'une grande efficacité, non seulement pour découvrir des vérités mais aussi pour « déterminer, en celles que j'ignorais, par quel moyens, et jusques où, il était possible de les résoudre ». Ce genre de connaissance est cependant problématique puisqu'il est partiel ou incomplet. L'analyse serait-elle en échec devant des matières dont le philosophe connaît pourtant les causes?
Descartes nous a fort bien indiqué en quelles circonstances se développait une telle situation — lorsque la décomposition des difficultés ou des composantes d'un problème est infinie. Dans un sens restreint, il était sans doute envisageable de surmonter cette difficulté : par exemple en se limitant à la chute verticale et en supposant une hypothèse simple comme la proportionnalité de la résistance de l'air à la vitesse. Il eût été parfaitement concevable de décomposer les effets de la résistance du milieu, voire des effets de la forme du solide en chute etc. Il est donc raisonnable de penser que le statut très dérivé et indécidé de cette question (et des problèmes annexes comme les trajectoires balistiques) n'est que provisoire, tant que la puissance d'analyse n'est pas encore telle qu'elle puisse exprimer les nombreuses proportions entre les multiples ‘dimensions’ du problème.
Un obstacle mathématique
Quel que soit le stade d’évolution et de maturation de la pensée cartésienne que l’on examine, une hypothèque demeure non levée : l’efficience ou plutôt la déficience des mathématiques disponibles. On touche là un point délicat, qui consiste à mesurer aussi exactement que possible la nature de l'obstacle mathématique auquel se heurte Descartes, dès lors que les causes de la chute sont plus complexes que s'il ne fallait considérer (selon la première fiction des Anatomica ) que l'anima agissant toujours également, dans le vide. Cette complexité peut aussi bien résulter d'hypothèses fictives (textes d'avant 1630) que de la connaissance des véritables causes à l'œuvre dans le Monde sensible. Dans l'un et l'autre cas, le schéma en triangle des premiers textes et la proportion en 4/3 qui l’exprime ne suffisent plus. Descartes nous livre un certain nombre (au moins neuf) d'indications sur la conscience qu'il a de la présence et du poids de cette difficulté dans l'examen de la chute des graves.
A la fin de la lettre de novembre-décembre 1618, il prolonge ainsi son étude : «On peut enfin poser différemment la question, à propos du rendement des revenus. Si l’on imagine qu’il augmente à chaque moment, et si l’on demande ce qui est dû à tel ou tel instant, cette question sera résolue elle aussi par les proportions tirées du triangle. Mais la ligne ab ne doit pas être partagée en parties arithmétiques, c'est-à-dire égales, mais en parties géométriques, c’est-à-dire proportionnelles. Tout cela j’aurais pu le prouver avec la plus grande évidence à partir de mon algèbre géométrique, mais cela aurait été trop long ». C'est faire appel à un modèle mathématique qui concernerait une situation où le minimum motus accroîtrait le mouvement comme les intérêts composés augmentent le capital. Le résultat donnerait une progression exponentielle. Mener le calcul «aurait été trop long », dit Descartes dans ce texte de jeunesse. Il est bien clair qu'il ne s'agit pourtant pas d'une 'simple' question de temps disponible puisqu'une frontière sera dressée, par Descartes justement, pour exclure ce genre de progression, qui ne peut plus être considérée comme véritablement géométrique.
On est en présence d’un scénario bien proche à la fin du passage des Cogitationes privatae, de 1619-1621 où il écrit : «Aliaeque innumerae questiones … circulari & recto ». Le repérage de la difficulté se fait donc plus précis. La figure obtenue n'est pas explicitée, ni traduite en équations. Elle est désignée comme relevant de questions mathématiques d'une autre nature et, d'ailleurs, Leibniz - expert en la matière - note à cet endroit «Id est ex numero non analyticorum ». La quadratrice, qui correspond donc à la situation plus complexe est bien connue par Descartes comme seulement mécanique. Il en discute d'ailleurs explicitement dans le texte suivant (du 13 novembre 1629) et la donne comme modèle de ce qui «ne peut se trouver géométriquement ».
Jusqu’à présent, toutefois, les conditions qui ont donné naissance à des relations mathématiques que l'on ne peut traiter, sont des spéculations qui ne déterminent pas la chute réelle. Nous sommes avant la doctrine de la pesanteur cartésienne. Il n'empêche, la frontière proprement mathématique est déjà là, qui bloque l'extension de l'examen.
A la suite du passage de la lettre du 13 novembre 1629, la source de la difficulté est en effet différente. Ce n'est plus à cause des hypothèses fictives qu'elle surgit, mais bien en raison de l'empêchement de l'air (empêchement lui-même infiniment varié) et encore d'autres circonstances (comme la matière du mobile, sa forme). «Il est donc impossible d'en donner la justesse" et «sub scientiam non cadit ». L'arrêt n'est pas parfaitement clair: est-ce parce que la question ne peut être suffisamment déterminée qu'elle ne recevra pas de transposition mathématique ou, plutôt, parce que les déterminations nous engageraient sur la voie de mathématiques infinitésimales?
Deux ans plus tard, en octobre 1631, nous avons un renseignement à la fois plus précis et quelque peu surprenant. Descartes s'arrête à l'hypothèse (fausse) du vide et de la gravité constante et énonce cette curieuse affirmation «Mais quand tout cela serait vrai, il n'y aurait point moyen d'expliquer la vitesse de ce mouvement par d'autres nombres que ceux que je vous ai envoyés, au moins qui soient rationnels; et je ne vois pas même qu'il soit aisé d'en trouver d'irrationnels, ni aucune ligne en géométrie qui en explique davantage » (AT.I, p.222). Voici qui semble curieux car c'est une situation abstraite (et donc fausse, mais là n'est pas le problème) qui fournit l'occasion de se prononcer sur les conditions de possibilité d’une quantification et qui, dans le cas présent impose de limiter les possibilités d'expression mathématique. Or, quelque soit le mode de généralisation que l'on adopte, à partir de sa proportion en 4/3, Descartes a parfaitement raison. Soit on généralise les proportions elles-mêmes qui, prises discrètement, sont évidemment des «nombres rationnels" (pour des espaces mesurés par des quantités de la forme 2n, on obtient des temps mesurés par des quantités de la forme (4/3)n), et l'issue de cette généralisation qui viserait une expression continue de la relation est une sorte de fonction exponentielle, ainsi que l'a depuis longtemps signalé Tannery et ainsi que devait l'avoir réalisé Descartes; soit on généralise à partir de la constitution des trapèzes qui représentent le mouvement et on obtient la série 1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 … C'est une somme de nombres rationnels qui ne s'exprime pas, dans sa généralité, en nombres rationnels; elle est aussi transcendante. Il y a là un indice fort que la difficulté d'expression de la chute en termes mathématiques formalisés ne surgit pas au moment où l'on intègre des conditions complexes et réelles, mais sous les conditions mêmes qui, dans les premiers textes, permettaient de simplifier le problème — de façon fautive. Ce n'est pas parce que Descartes prend en charge les conditions réelles qui déterminent la question que la mathématisation devient impossible, c'est parce que des obstacles sérieux surgissent au sein même des mathématiques requises.
Le 15 mai 1634, l’évocation des courbes balistiques signale à nouveau un blocage mathématique. En effet, les courbes trajectoires sont en quelque sorte déterminées, puisque Descartes peut affirmer qu’elles sont toutes « de même genre », mais elles ne sont pas explicitées. Savoir si elles peuvent l’être est une question qui demeure ouverte puisque, dit Descartes, « je n’ai encore jamais examiné quelles lignes se peuvent être ».
L’étape suivante de la confrontation cartésienne avec les obstacles de nature proprement mathématique soulevés par la chute des graves fait toute la difficulté du texte des Anatomica que nous avons déjà évoqué. Il constitue un essai pour améliorer l’expression formelle de la solution de cette question. Soulignons dès à présent un point capital : la prise en compte de paramètres qui pourraient déterminer la question conduit à un demi échec mathématique ; il ne reste, à la fin du texte, que des figures dont on sait qu’elles représentent les proportions du mouvement sans que celles-ci ne soient explicitées.
Lorsque Descartes admet le 11 octobre 1638, à la lecture des résultats galiléens – et sous réserve d’une abstraction par ailleurs non légitime – que la quantification du mouvement de chute et des trajectoires balistiques associées est possible en termes rationnels (ou proprement géométriques), c’est pour manifester une sorte de mépris du résultat et de son traitement. Il admet que la chute galiléenne (fausse selon les principes) est soumise à un traitement et à des conclusions géométriques exactes ; il reconnaît en particulier que la nature parabolique des trajectoires se conclut bien des hypothèses fictives de Galilée. Mais il insiste sur le fait que ce sont des mathématiques bien élémentaires qui expriment cette situation indûment abstraite. Les obstacles que l’on avait repérés dans le traitement de la chute fictive (lorsque l’espace était en extensio) ont disparus à partir de la mise en extensio du temps. Reste l’essentiel puisque ces obstacles à la quantification ressurgissent dès que les conditions réelles de la chute sont prises en compte : des procédures infinitésimales et irrationnelles y semblent inévitables, ce qui l’exclut du domaine des choses intelligibles : sub scientia non cadit.
Au total, il n’est pas certain que le renoncement de Descartes à intégrer l'expression complète et quantifiée de ce phénomène général à la vraie physique, pour cohérent qu’il demeure avec la doctrine, soit exempt d’aménagements. Il ne s’agit pas en tout cas, d’une incompatibilité de principe. On ne peut dire sans précautions que la généralité de la physique cartésienne implique l'absence de description complète (c'est-à-dire quantitative et géométrique) des phénomènes, même si elle l'explique. On se souviendra du passage de la lettre du 13 novembre 1629 (moment crucial d’élaboration du « cartésianisme ») , où il est dit en substance : je dois mettre en ma physique le calcul du temps que le poids emploie à descendre…mais la justesse de l’empêchement de l’air ne tombe pas sous la science . La physique – à cette période au moins – inclut les expressions quantifiées des questions déterminées.
Il faut de plus considérer les séquences qui, selon le programme du Monde, font leur place à une élucidation des conditions de quantifications — à l’écart, il est vrai, des phénomènes : « Je pourrais mettre ici plusieurs règles pour déterminer, en particulier, quand, comment et de combien, le mouvement de chaque corps peut être détourné et augmenté ou diminué, par la rencontre des autres; ce qui comprend, sommairement tous les effets de la nature. » (Alquié II, p.362)
Le cadre général reste valide par la suite et Allistair Crombie nous semble dans le vrai en notant que « His arguments in the Principia proceeded like Aristotel’s Physics through a purely rational analysis of fundamental concepts and properties of type of existence, involving very general abstract questions to be answered not by observation but by dialectic, but from witch particular quantitative consequences should follow exactly as they happened in the material world ». Si l’on accordait ce point, on devrait donc prendre acte d'une sorte de revers, subit sur une aile sensible du front de la philosophie et de la science cartésienne: la mathématisation de la physique qui n'est plus soutenue qu'en raison et pas en fait.
Comme on l’a vu, des explications diverses peuvent être proposées au renoncement cartésien à résoudre la question de la chute des graves. D'autres sujets réclamaient avec insistance l'attention du philosophe, l'essentiel était fait avec l'exposé du Monde et des Principes et l’idéalisation d’un phénomène général de chute était exclue. Nous venons de suggérer qu’il en existe une autre, sans doute secondaire, mais qui interroge le cœur de la science cartésienne. Quelles mathématiques étaient en mesure de résoudre le problème du mouvement des projectiles dans un milieu résistant ? L'histoire de cette science a répondu ; ce sont les algorithmes infinitésimaux — et encore, pas à leurs débuts. Le long et difficile parcours, de Huygens, Newton, Leibniz, Wallis, Bernoulli et Varignon vers une solution satisfaisante souligne l’ampleur des difficultés proprement mathématiques. Ce que Descartes a compris,* justifier ! c'est que des procédures infinitésimales occuperaient une place centrale dans le traitement de cette question ; indépendamment des difficultés techniques (proprement insurmontables, même par lui) un obstacle méthodologique se dressait entre la connaissance de fait de ces trajectoires 'réelles’ et leur connaissance par analyse. Un problème spécifique s’inscrit alors au cœur du problème général de la mathématisation de la physique : c'est celui de la nature des mathématiques nécessaires à la réalisation de cette tâche. Elles devraient intégrer des procédures infinitésimales, elles déborderaient les frontières strictes de la géométrie bien fondée, telle qu'elle est codifiée dans La Géométrie de 1637. Ainsi, pensons-nous que le 'renoncement’ cartésien à cette physique effectivement mathématisée et la conception expressément limitative des mathématiques qu'il a défendu font système, celle-ci expliquant celui-là. Michel Blay a bien caractérisé la manière hugonienne, face au même problème de la chute des graves, qui consista à s'appuyer « sur le risque et l'innovation mathématique, en utilisant une démarche mathématique pour le moins audacieuse et fort peu euclidienne […] Tous les problèmes afférents aux manipulations de l'infini resurgissent immédiatement plongeant la raison dans les plus grandes incertitudes ». C'est ce risque et cette incertitude, refusés par Descartes, qui permettront d’avancer. Une remarque d'Etienne Gilson va dans ce sens : « if we need a philosophy whose certitude is equal to that of mathematics […] can we have it? In other words, are we sure that everything that is, is susceptible of a mathematically evident interpretation ? ». Ce qui est en cause tient à cette restriction, effectivement cartésienne, de réclamer un critère de certitude fondé sur l'évidence, qui est pris en défaut dans les processus de mathématisation complexes des phénomènes réels.
Fécondité d’une physique ’inachèvée ?
Descartes admet bien volontiers qu’avec lui, la physique n’est pas achevée, qu'il livre au public une physique incomplète. C'est ce qui ressort de façon exemplaire dans la Préface aux Principes de la philosophie la limitation de l'entreprise est clairement indiquée :
« La première [partie] contient les principes de la connaissance […] Les trois autres parties [des Principia, c'est-à-dire sauf la partie de métaphysique] contiennent tout ce qu'il y a de plus général en la physique […] à savoir l'explication des premières lois ou des principes de la nature, et la façon dont les cieux, les étoiles fixes, les planètes, les comètes et généralement tout l'univers est composé; puis en particulier, la nature de cette terre, de l'air, de l'eau, du feu, de l'aimant […] et de toutes les qualités qu'on peut remarquer en ces corps […] au moyen de quoi je pense avoir commencé à expliquer toute la philosophie […] Le dernier et principal fruit de ces principes est qu'on pourra, en les cultivant, découvrir plusieurs vérités que je n'ai point expliquées […] je sais bien aussi qu'il pourra se passer plusieurs siècles avant qu'on ait ainsi déduit de ces Principes toutes les vérités qu'on en peut déduire. »
Depuis les lettres à Mersenne de 1630, et désormais sans défaillance, Descartes défend le fondement métaphysique de sa physique. Sa physique (en tant qu'elle est d’abord un exposé de principes) est donc essentiellement l'exposé du cur des phénomènes et non du quomodo. C'est bien de s'être soucié de l'inverse qu'il avait fait reproche à Galilée. S'il soutient avoir fait l'essentiel, il souligne l’ampleur des tâches qu’il reste à accomplir (« il y faudra plusieurs siècles »).
Cet état des lieux est la source d’un profond malentendu entre lui et ses sectateurs d’une part, la majorité des savants contemporains et de leurs successeurs d’autre part. Selon les critères internes au système cartésien, l’inachèvement admis est un mal bénin et somme toute normal. Les phénomènes dont traitent les Essais, les Monde ou les Principes III et IV sont bel et bien réputés élucidés, selon la figure et le mouvement. Ils pourraient être plus nombreux ou plus détaillés encore, mais cela ne constitue pas une faille dans l’édifice. Il faut certes passer avec discrétion sur des absents de marque : les machines simples, les pendules, la chute des graves ou les trajectoires planétaires, mais le catalogue des faits naturels expliqués suffit à revendiquer le succès général de l’entreprise. Il n’en va de même pour les auteurs de philosophie naturelle post cartésiens. A leurs yeux, Descartes n’a fait que de brèves incursions – parfois géniales – dans la voie royale de la nouvelle physique, celle qui consiste à traiter mathématiquement les phénomènes. Les Principes III et IV ne trouveront pas grâce à leur yeux, sauf à être revisités par les mathématiques.
Il convient toutefois, précisément sur ce point, de mentionner l’étoile jumelle de Descartes pour la philosophie naturelle, en France, dans la première moitié du XVIIe siècle, c’est-à-dire Pierre Gassendi. Comme les atomistes, Descartes prend d’ailleurs les principes de sa mécanique en un sens réaliste, puisqu’ils désignent également les éléments des choses ; et Gassendi, lui aussi examine la chute des graves et en produit une explication atomiste sans quantification. Lorsqu’il développe ses commentaires et analyses concernant les expériences barométriques et expériences sur le vide, il conçoit et en tout cas annonce le concept de pression de l’air comme distinct de celui de poids, il jette les bases des recherches sur l’élasticité. Sa pensée constitue, de ce fait, une étape entre l’apport pascalien et la loi de Boyle-Mariotte. Mais, alors que la physique des gaz progressera sous des formes quantifiées et grâce à d’efficaces expressions algébriques de ses lois expérimentales, Gassendi n’entre pas dans cette manière. La pensée cartésienne a encore contribué à ouvrir un autre et vaste secteur à la science du XVIIe où le mécanisme et la pensée géométrique règnent sans quantification réussie : l’iatromécanique. Comme le note François Dagognet « Par l’identification de l’animal à un appareil […]Descartes libère un espace de pure intelligibilité et d’ailleurs d’intelligibilité par l’espace ». Il serait faux d’imaginer que l’échec est complet dès lors que la voie royale de mathématisation algébrisée n’est pas empruntée dans l’exploration ou l’élaboration d’un champs de connaissance scientifique.
Une physique mathématique ?
Les passages où Descartes s'exprime directement sur les rapports entre sa physique et ses mathématiques, furent longtemps tenus pour contradictoires, puisqu'on peut aussi bien mettre en avant la protestation selon laquelle « d'exiger de moi des démonstrations géométriques en une matière qui dépend de la physique, c'est vouloir que je fasse des choses impossibles» (AT. II, 142) ou, à l'inverse, s'appuyer sur cette proclamation : «toute ma physique n'est autre chose que géométrie » (AT. II, 268) — ces deux propositions sont distantes de deux mois (mai et juillet 1648), et adressées au même interlocuteur, Mersenne.
C’est dans la fameuse lettre qu’il lui envoie le 27 mai 1638 que Descartes affirme qu’il n’entend pas proposer, en physique, les mêmes démonstrations qu’il développe en géométrie : « Vous demandez si je tiens que ce que j'ai écrit de la réfraction soit démonstration; et je crois que oui, au moins autant qu'il est possible d'en donner en cette matière, sans avoir auparavant démontré les principes de la physique, par la métaphysique, (ce que j'espère faire quelque jour, mais qui ne l'a point été par cy devant) et autant qu'aucune autre question de Mécanique, ou d'Optique, ou d'Astronomie, ou autre matière qui ne soit pas purement géométrique ou arithmétique ait jamais été démontrée. Mais d'exiger de moi des démonstrations géométriques en une matière qui dépend de la physique, c'est vouloir que je fasse des choses impossibles. Et si on ne veut nommer démonstrations que les preuves des géomètres, il faut donc dire qu'Archimède n'a jamais rien démontré dans les mécaniques, ni Vitellion en l'optique, ni Ptolémée en l'Astronomie etc. ce qui toutefois ne se dit pas. Car on se contente, en telles matières, que les auteurs, ayant présupposé certaines choses qui ne sont point manifestement contraires à l'expérience, ayent au reste parlé conséquemment et sans faire de paralogisme, encore même que leurs suppositions ne fussent pas exactement vraies […] Et sachez qu'il n'y a que deux voies pour réfuter ce que j'ai écrit, dont l'une est de prouver, par quelques expériences ou raisons que les choses que j'ai supposées sont fausses & l'autre, que ce que j'en déduis ne saurait en être déduit. Ce que Monsieur de Fermat a fort bien entendu; car c'est ainsi qu'il a voulu réfuter ce que j'ai écrit de la réfraction, en tachant de prouver qu'il y avait un paralogisme. Mais pour ceux qui se contentent de dire qu'ils ne croient pas ce que j'ai écrit, à cause que je le déduis de certaines suppositions que je n'ai pas prouvées, ils ne savent pas ce qu'ils demandent, ni ce qu'ils doivent demander. »
Une bonne compréhension de cette déclaration requiert le repérage préalable de quelques notions cartésiennes qui, dans cet extrait, servent une conception de l’histoire de la philosophie naturelle. Si l’on peut bien parler de « démonstrations » en physique, c’est d’abord en prenant le terme en un sens plus faible qu’en mathématiques — songeons aux preuves a posteriori mentionnées à propos de la matière subtile, qui permettent d’expliquer un très grand nombre de phénomènes et, du même coup, s’avèrent recevables. Tout donne lieu de penser que, dans ce texte, les authentiques démonstrations (celles que produisent les géomètres) possèdent au contraire un caractère a priori, comme l’indique Descartes par la négative : s’agissant des choses matérielles, on ne saurait fournir de telles démonstrations « sans avoir démontré auparavant les principes de la physique par la métaphysique ». C’est précisément ce que fera l’auteur des Principes de la philosophie, de telle sorte que l’article 64 de la seconde partie soulignera explicitement la certitude apodictique qui, sous la condition d’une fondation rigoureuse des principes, caractérise également les démonstrations proposées en physique et en géométrie : « (…) je ne veux rien recevoir pour vrai, sinon ce qui en sera déduit [des principes des corps matériels et du mouvement, désormais fondés] avec tant d’évidence qu’il pourra tenir lieu d’une démonstration mathématique. » Il est clair que ce passage fournit un corrélat positif aux réserves exprimées dans la lettre à Mersenne que nous commentons.
Devons-nous maintenant considérer que la mise en équation est radicalement solidaire des démonstrations géométriques, de telle façon que la déclaration de l’article 64 renverrait à un travail qui n’est pas encore accompli ? A dire le vrai, l’organisation des Principes suffirait à écarter cette interprétation, puisque le dernier article de la seconde partie précise sans ambiguïté que les démonstrations géométriques permettent d’expliquer les phénomènes ; c’est l’objet de la troisième partie de l’ouvrage, consacrée au Monde visible et dans laquelle nous ne trouvons aucun exemple de « quantification ».
La lettre de mai 1638 atteste du reste que cette orientation correspond bien à l’idée que Descartes se fait de l’histoire de la philosophie naturelle. Si nous ne recevions pour démonstratives que les preuves des géomètres, alors nous devrions tenir qu’Archimède, Vitellion et Ptolémée n’ont jamais fourni de démonstrations — ce qui, bien entendu, n’exprime pas la pensée de Descartes. Rappelons que ces tentatives présentent cependant l’intérêt de procéder à une quantification des phénomènes : ce n’est donc pas la seule mise en équation des dimensions d’un problème qui confère à son traitement une certitude apodictique. En quoi ces travaux sont-ils (relativement) déficients ? C’est que les auteurs mentionnés ont « présupposé certaines choses qui ne sont point manifestement contraires à l’expérience » — en somme, ils ont utilisé des hypothèses efficaces mais qui, selon les précisions fournies au début de la lettre, n’étaient pas rigoureusement déduites des vrais principes de la physique (contrairement à celles que Descartes proposera dans la troisième partie des Principes).
Il faut alors insister sur deux des exemples fournis par Descartes. Cette lettre précise en effet que Ptolémée et Vitellion ont admis des « suppositions bien moins certaines » (AT II, p.141) que celles introduites par Archimède. On ne peut manquer de relever qu’une fois encore, l’astronomie et l’optique sont rapprochées, dans les mêmes termes que ceux employés dans la Dioptrique, lorsque Descartes revendiquait pour sa propre entreprise le statut des raisonnements proposés par les astronomes « qui, bien que leurs suppositions soient presque toutes fausses ou incertaines, toutefois, à cause qu’elles se rapportent à diverses observations qu’ils ont faites, ne laissent pas d’en tirer plusieurs conséquences très vraies et très assurées ». Comprenons donc que les démonstrations de la Dioptrique, qui proposent justement la mise en équation des phénomènes lumineux, n’atteignent pas la certitude absolue des preuves des géomètres, comme Descartes le reconnaît expressément au début de cette lettre à propos des lois de la réfraction.
De quelle impossibilité Descartes parle-t-il alors ? L’expression mathématique des phénomènes est bien possible mais, pour ce qu’elle requiert des hypothèses ad hoc, elle n’atteindra pas l’apodicticité des preuves des géomètres, qui sont rigoureusement déduites des principes. La certitude des mathématiques, que Descartes entend bien conquérir en physique, désigne avant tout « l’évidence de leurs raisons ». L’équation, comme l’établit la Règle VI, fournit certes le type de la disposition en un ordre : mais Descartes soulignait alors que la méthode dont la mise en équation exhibe les ressources peut se déployer « en d’autres sciences encore ». L’équation nous montre que « le rapport devient l’unique terme de référence pour l’intelligibilité des autres », de sorte qu’elle confère bien aux travaux de la Dioptrique un caractère démonstratif, puisqu’ils satisfont aux conditions de la mise en séries. Mais dans ce cas, les hypothèses ne sont pas réduites aux natures simples qui communiquent leur évidence aux termes de la déduction, de sorte que les preuves demeurent, en réalité, provisoire. Seules les démonstrations déduites des principes fondés en métaphysique tireront donc, en physique, le véritable bénéfice de la méthode appliquée par les géomètres. Et Descartes semble bien suggérer qu’il n’est pas possible de généraliser l’accord des applications de la vraie Mathesis aux matières physiques et aux conditions du calcul.
Résumons — La physique emprunte à la géométrie les définitions, axiomes et postulats euclidiens associés aux trois (ou deux) lois de la nature, découvertes par déduction métaphysique. Elle peut, à l'occasion, s'enrichir de quelques suppositions (vraies ou fausses, mais provisoires) qui ne sont pas contraires à l'expérience et suffisantes pour rendre déductibles les effets. La physique est donc, tout à la fois, intimement géométrique et radicalement distinguée de la géométrie exposée et pratiquée dans l'essai de 1637. On comprend de la sorte qu'il ne soit pas possible d'exiger des démonstrations géométriques en une matière qui dépend de la physique, dans la mesure où les démonstrations purement géométriques n'intègrent pas de principes physiques ou d’hypothèses incertaines; autrement dit, la géométrie ‘pure’ ne peut du tout, en elle même, être ‘de la physique’.
Descartes a toujours soutenu que le véritable rôle de la géométrie était l'exercice de l'esprit et qu'elle constituait, en cela, le domaine privilégié où s'apprend la Méthode. Or cette géométrie a été examinée, organisée et exposée dans toutes ses directions principales dans le troisième essai du Discours. La tâche est de ce point de vue accomplie; elle concernait la géométrie abstraite. Jusque là, tout est clair. Cette géométrie là, si éminente soit-elle, est reconnue insuffisante, comme on l'a vu, à l'explication des phénomènes et, pour signaler qu'il est passé à autre chose de plus général, Descartes renvoie cependant Desargues aux Essais, plus précisément aux Météores.
Dans la lettre du 27 juillet 1638 à Mersenne, Descartes se prononce explicitement sur les rapports entre physique et géométrie : « Mr Desargues m'oblige du soin qu'il lui plaît avoir de moi, en ce qu'il témoigne être marri de ce que je ne veux plus étudier en géométrie. Mais je n'ai résolu de quitter que la géométrie abstraite, c'est-à-dire la recherche des questions qui ne servent qu'à exercer l'esprit ; et ce afin d'avoir d'autant plus de loisir de cultiver une autre sorte de géométrie, qui se propose pour questions l'explication des phénomènes de la nature. Car s'il lui plaît de considérer ce que j'ai écrit du sel, de la neige, de l'arc-en-ciel &c., il connaîtra bien que toute ma physique n'est autre chose que géométrie. »

Le vocabulaire est particulièrement précis, qui oppose en quelque sorte les questions concernées par la géométrie abstraite et qui exercent l’esprit, aux questions de sa géométrie, au sens des Principes, qui visent à expliquer les phénomènes. Expliquer en résolvant des questions implique de procéder géométriquement, par déduction certaine. Mais il faut l’admettre, un pan entier de ce qui faisait la géométrie abstraite est ici abandonné : celui qui consiste à mettre en rapport les éléments qui font la question, à déduire les éléments inconnus par les proportions qu’ils entretiennent avec les connus. C’est que la nature de la question a changé d’une géométrie à l’autre. Cette répartition parfaitement claire suscite toutefois une certaine insatisfaction, quand on songe à l’histoire du développement de la physique classique. Ce sentiment est d’ailleurs perceptible dans certains commentaires et dans la réception du Discours, des Principes et plus tardivement du Monde.
Le jugement de Roberval d'avril 1638, au sujet du Discours et des essais, vaut d'être cité: « Nous avons lu assez attentivement le livre de Monsieur Descartes, qui contient quatre traités, desquels le premier se peut attribuer à la logique, le second est mêlé de physique et de géométrie, le troisième est presque purement physique et la quatrième est purement géométrique. Dans les trois premiers, il déduit assez clairement ses opinions particulières, sur le sujet de chacun ; si elles sont vraies ou non, celui-là le sait qui sait tout. Quant à nous, nous n'avons aucunes démonstrations ni pour ni contre, ni peut-être l'auteur même, lequel se trouverait bien empêché, à ce que nous croyons, s'il lui fallait démontrer ce qu'il met en avant… ». Il est clair que les météores ne relèvent pas, pour Roberval d’un traitement géométrique et que, si les déductions y sont (comme dans Le discours et la dioptrique) « assez claires », elles n’ont pas le caractère assuré de la déduction géométrique, notamment parce que leurs principes sont indécidables.
L’attitude de Christian Huygens est aussi révélatrice : « M. Descartes – écrit-il – avait trouvé le moyen de faire prendre ses conjectures et fictions pour des vérités. Et il arrivait à ceux qui lisaient ses Principes de philosophie quelque chose de semblable à ceux qui lisent des romans qui plaisent et font la même impression que les histoires véritables. La nouveauté des figures de ses petites particules et des tourbillons y fait un grand agrément. Il me semblait, lorsque je lus ce livre des Principes pour la première fois, que tout allait le mieux du Monde, et je croyais, quand j’y trouvais quelque difficulté, que c’était ma faute de ne pas comprendre sa pensée. Je n’avais que 15 à 16 ans. Mais y ayant depuis découvert de temps en temps des choses visiblement fausses, et d’autres très peu vraisemblables, je suis fort revenu de la préoccupation où j’avais été ». Huygens ne rejette pas ainsi la vérité ou vraisemblance de telle ou telle conclusion, mais surtout la manière même dont la physique cartésienne emporte l’adhésion : elle séduit comme un roman et, partant, ne prouve pas comme les démonstrations des géomètres. Nous avons bien un témoignage de poids contre le statut « géométrique » de cette physique.
Nous disposons encore du jugement plus tardif — mais très net — de D’Alembert sur ce point. Dans l’article Géométrie de l’ Encyclopédie méthodique mathématique, il écrit ceci : «On doit à Descartes, non seulement l’application de l’Algèbre à la Géométrie, mais les premiers essais de l’application de la géométrie à la physique, qui a été poussée si loin ces derniers temps. Ces essais qui se voient principalement dans sa Dioptrique & dans quelques endroits de ses Météores, faisaient dire à ce philosophe que toute sa physique n’était autre chose que Géométrie : elle n’en aurait valu que mieux si elle eut eu en effet, cet avantage ; mais malheureusement, la physique de Descartes consistait plus en hypothèses qu’en calculs & l’analyse a renversé depuis la plupart de ses hypothèses. Ainsi la géométrie, qui doit tant à Descartes, est ce qui a nui le plus à sa physique. Mais ce grand homme n’en a pas moins la gloire d’avoir appliqué le premier avec quelque succès la Géométrie à la science de la nature. ». Pour les savants du XVIIIe siècle, la géométrie n’est donc pas à l’œuvre dans la physique de Descartes, sauf en optique et en quelques endroits épars. C’est à cette époque que se joue l’histoire de l’interprétation moderne, selon laquelle le projet de mathématisation cartésien aurait échoué, devant l’obstacle qui allait contribuer à invalider ses hypothèses elles-mêmes — savoir l’analyse nouvelle, la géométrie infinitésimale.
De fait, l’étonnement du lecteur (Desargues par exemple) des Météores ne peut manquer d'être formidable : il n'y a véritablement pas trace de géométrie en ces passages (sauf pour une partie du discours VIII sur l'arc-en-ciel); rien en tout cas qui puisse être nommé tel par aucun contemporain, ni par les successeurs. On trouve là une longue suite de suppositions ad hoc pour trouver des causes prochaines et plausibles des phénomènes — telles que les infinies variations de forme et de mouvement des éléments se conforment (et expliquent) les effets sensibles du sel, de la neige, des vapeurs et des exhalaisons. Ces spéculations relèvent cependant de la géométrie pour Descartes, puisqu’elles s'appuient sur la forme, le mouvement et les chocs des corps élémentaires. Etienne Gilson admet ainsi que, pour Descartes, « une démonstration de physique est donc aussi géométrique qu’elle peut l’être lorsque, ne faisant intervenir que l’étendue et le mouvement, elle est correctement déduite à partir d’hypothèses conciliables avec l’expérience ». Mais ceci revient à rappeler qu’à partir de la réduction essentielle des corps à l’étendue, la physique est en droit (en puissance) géométrique. Cet argument ne peut satisfaire Desargues (ou Fermat, ou Roberval, ou Huygens). Cette caractérisation, qui amène Gilson a accepter que « [si] les Météores sont entièrement Géométriques [...] ils ne sont cependant pas ou presque pas mathématiques », installe la physique cartésienne dans une indiscutable marginalité.



Conclusion
L’examen des prises de positions cartésiennes sur la chute des corps permet de brosser un tableau relativement cohérent de l’implication des mathématiques dans la physique cartésienne. Tableau cohérent d’une pratique, d’une attitude elle-même différentiée.
Selon les critères en cours d’imposition dans cette phase de constitution de la physique mathématique, Descartes ne parvient que très modestement (en des régions très délimitées) à produire de la physique effectivement mathématisée: en optique (mais c'est une exception fort ancienne), à propos des méchaniques, sur les centres d'oscillation, sur les cordes vibrantes et sur la chute des graves. Dans tous ces cas, les solutions cartésiennes tombent sous les compétences de la méthode, et ne sont pas élaborées en fonction des nouveaux critères mis en place par ses contemporains.
Dans l’étude de problèmes précis, Descartes, loin de donner congé à la mise en équation effective de sa physique, entreprend et, parfois, réussit une quantification des phénomènes conforme à ses principes.
L'obstacle principal à de plus amples réalisations réside dans la complexité des mathématiques qui seraient requises et dans la disqualification des procédures infinitésimales. Une lecture extérieure à l’état communiqué du système, conduirait donc à dire que c'est parce qu'il n'est pas assez mathématicien (et non par excès de géométrisme) que l’auteur du Monde ‘manque’ les meilleurs fruits d'une physique dont il donne les principes. Malgré les fulgurantes propositions de La Géométrie et les élégances de bien des textes mathématiques de la Correspondance, Descartes n'est pas un des ‘plus grands mathématiciens du siècle’ ; la cause principale de cette (toute relative) disqualification en est certainement la dévaluation cartésienne persistante de cette science considérée en elle-même, doctrine qui a considérablement diminué ses efforts et ses recherches. Il faut bien aussi y ajouter l’obstacle philosophique qu’il a édifié lui-même lorsqu’il a enfermé la géométrie dans un espace restreint, voulant la prémunir des discours sur l’infini que l’entendement humain est incapable de comprendre.





Chapitre I. « Descartes avant son Monde »


Première période : 1618-1621

texte I - texte II - texte III





Premier texte. Novembre-Décembre 1618. A.T. X. 75-78.

Texte en latin - traduction nouvelle - commentaire.

Ecrits de Descartes, insérés dans le journal de Beeckman. Les titres et sous titres sont de Beeckmann.

Lapis in vacuo versus terræ centrum cadens
quantum fingulis momentis motu crescat,
ratio Des Cartes a.

In propositâ quaestione, vbi imaginatur fingulis temporibus novam addi vim quâ corpus grave tendat deorsum, dico vim illam eodem pacto augeri, quo augentur lineæ transversæ d e, s g, h i, & aliæ infinitæ transversæ, quæ inter illas possunt imaginari b . Quod ut demonstrem, assumam pro primo minimo vel puncto motûs, quod causatur à primâ quæ imaginari potest attractivâ vi terræ, quadratum a I d e. Pro secundo minimo motûs, habebimus duplum, nempe d m g f : pergit enim ea vis quæ erat in primo minimo, & alia nova accedit illi æqualis. Item in tertio minimo motûs, erunt 3 vires : nempe primi, secundi & tertij minimi temporis, &c. Hic autem numerus est triangularis, vt alias fortè susius explicabo, & apparet hunc figuram triangularem abc repræsentare. Immò, inquies, sunt partes protuberantes a l e, e m g, go i, &c.,

dessin

qu( extra trianguli figuram exeunt. Ergo figurâ triangulari illa progressio non debet explicari. Sed respondeo illas partes protuberantes oriri ex eo quòd latitudinem dederimus minimis, qu( indivisibilia debent imaginari & nullis partibus constantia. Quod ita demonstratur. Dividam illud minimum a d in duo (qualia in q; iamque a r s q est minimum motûs, & q t e d secundum minimum motûs, in quo erunt duo minima virium. Eodem pacto dividamus d f, f h, &c. Tunc habebimus partes protuberantes a r s, s t e, &c.
Minores sunt parte protuberante a l e, vt patet. Rursum, si pro minimo assumam minorem, vt a (, partes protuberantes erunt adhuc minores, vt a ( (, &c. Quòd si denique pro illo minimo assumam verum minimum, nempe punctum, tum ill( partes protuberantes null( erunt, quia non possunt esse totum punctum, vt patet, sed tantùm media pars minimi a l d e ; atqui puncti media pars nulla est. Ex quibus patet, si imaginetur, verbi gratiâ, lapis ex a ad b trahi à terrâ in vacuo per vim qu( (qualiter ab illâ semper fluat, priori remanente, motum primum in a se habere ad ultimum qui est in b, vt punctum a se habet ad lineam bc; mediam verò partem g b triplo celerius pertransiri à lapide, quàm alia media pars a g, quia
triplo majori vi à terrâ trahitur : spatium enim f g b c triplum est spatij a f g, vt facilè probatur; & sic proportione dicendum de c(teris partibus.
Aliter verò potest hæc qu(stio proponi difficilius, hoc pacto. Imaginetur lapis in puncto a manere, spatium inter a & b vacuum ; iamque primùm, verbi gratiâ, hodie horâ nonâDeus creet in b vim attractivam lapidis; & fingulis postea momentis novam & novam vim creet, qu( (qualis sit illi quam primo momento creavit ; qu( iuncta cum vi ante creatâ fortiùs lapidem trahat & fortiùs iterum, quia in vacuo quod semel motum est semper movetur ; tandemque lapis, qui erat in a, perveniat ad b hodie horâ decimâ. Si petatur quanto tempore primam mediam partem spatij confecerit, nempe a g ; & quanto reliquam : respondeo lapidem descendisse per lineam a g temporeEMBED Equation.3EMBED Equation.3 hor( ; per spatium autem g b, EMBED Equation.3 hor(. Tunc enim debet fieri pyramis supra basim triangularem, cuius altitudo sit a b, qu( quocunque pacto dividatur vnà cum totâ pyramide per lineas transversas (que distantes ab horizonte. Tanto celerius lapis inferiores partes line( a b percurret, quanto majoribus insunt totius pyramidis sectionibus.
Aliter denique proponi potest de reditu redituum. Qui si fingulis momentis augeri imaginetur, & qu(ratur quid hoc vel illo tempore debeatur : solvetur h(c qu(stio etiam proportionibus ductis à triangulo ; sed dividi non debet linea a b in partes arithmeticas, hoc est (quales, sed in geometricas, sive proportionales. Qu( omnia evidentissime ex meâ Algebrâ geometricâ possem probare, sed nimis longum foret.


Traduction
Pierre tombant dans le vide vers le centre de la terre: combien elle augmente de mouvement à chaque moment, démonstration de Descartes

Dans la question proposée, où l'on imagine qu'en chacun des temps, s’ajoute une nouvelle force, par (avec ?)laquelle le corps grave tend vers le bas; je dis que cette force augmente de la même manière que les lignes transversales de, fg, hi et d’autres transversales en nombre infini qui peuvent être imaginées entre elles. Pour faire cette démonstration, je prendrai pour premier minimum ou point de mouvement causé par la première force d’attraction de la terre qui puisse être imaginée, le carré alde. Pour le second minimum de mouvement, nous aurons le double, soit dmgf : en effet la force qui existait dans le premier minimum perdure et une nouvelle force, égale à la première, s'y ajoute. De même, dans le troisième minimum de mouvement, il y aura trois forces, soit celle du premier, celle du second, celle du troisième minimum de temps &c. Or, ce nombre est triangulaire, comme je l'expliquerai peut-être ailleurs plus en détail, et il apparaît que la figure triangulaire abc le représente. Mais, dira-t-on, il y a des parties protubérantes ale, emg, goi, &c., qui dépassent de la figure triangulaire. Cette progression ne doit donc pas être expliquée par la figure triangulaire. Mais, je réponds que ces parties protubérantes tirent leur origine du fait que nous avons donné une largeur aux minima qui devraient être imaginés comme des indivisibles et comme n’étant constitués d'aucune partie. Voici la démonstration : je diviserai ce minimum ad en deux parties égales, en q; dés lors arsq est le (premier) minimum de mouvement & qted est le second minimum de mouvement dans lequel il y aura deux minima de forces. Divisons de même df, fh, &c. Alors, nous aurons les parties protubérantes ars, ste, &c. Elles sont plus petites que la partie protubérante ale, comme il apparaît avec évidence. De nouveau, si pour minimum je prends quelque chose de plus petit, comme aað, les parties protubérantes seront encore plus petites, comme abðgð, &c. Et si, finalement, je prends pour ce minimum, le vrai minimum, soit le point, alors ces parties protubérantes seront nulles, parce qu elles ne peuvent être le point entier, comme il apparaît avec évidence, mais seulement la moitié du minimum alde; or la moitié d'un point est une partie nulle. De ceci, il apparaît avec évidence que, si par exemple on imagine une pierre attirée dans le vide de a jusqu'à b, par la terre, avec une force dont le flux viendrait d’elle de façon toujours égale, pendant que la précédente force subsiste, le premier mouvement en a se trouve par rapport au dernier qui est en b, comme le point a se trouve par rapport à la ligne bc; et que la moitié gb est parcourue trois fois plus vite par la pierre que l'autre moitié ag, parce qu'elle est attirée par la terre avec une force trois fois plus grande: car l'espace fgbc est le triple de l'espace afg comme on peut facilement le prouver; et il faut en dire autant des autres parties en proportion.
Cette question peut être proposée plus difficilement de la manière suivante : imaginons qu’une pierre est immobile au point a et que l'espace entre a et b est vide; qu’alors, premièrement, par exemple, à la neuvième heure d'aujourd'hui, Dieu crée en b une force qui attire la pierre, et qu'ensuite, en chaque moment, il crée une force nouvelle et nouvelle, qui soit égale à celle qu'il a créée au premier moment; que cette force jointe à celle créée antérieurement, attire la pierre toujours plus fort parce que dans le vide dans le vide ce qui est mis en mouvement se meut toujours ; et qu’enfin la pierre qui était en a, parvienne en b aujourd’hui à la dixième heure. Si l'on demande en combien de temps elle a parcouru la première moitié de l'espace, soit ag et en combien le reste, je réponds que la pierre est descendue le long de la ligne ag en 1/8 d'heure, le long de l'espace gb en 7/8 d'heure. Il faut alors en effet faire une pyramide sur base triangulaire dont la hauteur soit ab et coupée d'une manière quelconque, ainsi que toute la pyramide, par des lignes tranversales à égale distance de l'horizon. La pierre parcourra les parties inférieures de la ligne ab d'autant plus vite qu'elles se trouvent sous les plus grandes sections de la pyramide tout entière.
On peut enfin poser différemment la question, à propos du rendement des revenus. Si l’on imagine qu’il augmente à chaque moment, et si l’on demande ce qui est dû à tel ou tel instant, cette question sera résolue elle aussi par les proportions tirées du triangle. Mais la ligne ab ne doit pas être partagée en parties arithmétiques, c'est-à-dire égales, mais en parties géométriques, c’est-à-dire proportionnelles. Tout cela j’aurais pu le prouver avec la plus grande évidence à partir de mon algèbre géométrique, mais cela aurait été trop long.


Commentaire.

Lapis in vacuo versus terrae centrum cadens, quantum singulis momentis motu crescat, ratio Descartes

Descartes est engagé dans une discussion avec Beeckman sur la chute des corps graves. Le débat est général dans l'Europe savante et il est normal que ces deux jeunes gens y participent (les traités du mouvement sont nombreux notamment en Italie). La discussion porte traditionnellement (et ce depuis que les commentaires de la Physique d’Aristote existent) sur les causes de la chute. Diverses théories de la gravité vont se concurrencer tout au long du XVIIe siècle. En 1636, la question sera abordée lors d’une correspondance entre Etienne Pascal, Pierre de Fermat, Gilles de Roberval, à l’occasion de la sortie du livre de Jean de Beaugrand, en mai 1636 (Geostatice seu de vario pondere gravium secundum varia a terrae centro intervalla dissertation mathematica). Ainsi que le résume Roberval, «[...] il se peut faire que la pesanteur est une qualité qui réside dans le corps même qui tombe ; peut-être qu’elle est dans un autre, qui attire celui qui descend, comme la terre. Il se peut faire aussi, et c’est fort vraisemblable que c’est une attraction mutuelle ou un désir naturel que les corps ont de s’unir, comme il est clair au fer et à l’aimant […]. »
Comment tombent les corps est une question qui n’a reçu que des réponses qualitatives, comme le soulignera Galilée dès l’ouverture de la troisième journée des Discorsi de Galilée: «Certaines [propriétés], plus apparentes, ont été remarquées tel le fait que le mouvement naturel des graves, en chute libre, est continuellement accéléré ; selon quelle proportion, toutefois se produit cette accélération, on ne l’a pas établi jusqu’ici».
Descartes ne discute pas ici des causes de la chute des corps. Lui et Beeckman concentrent leurs efforts sur la possibilité de donner l’expression mathématique d’un mouvement qui se fait dans des conditions précisément établies. Ces conditions sont acceptées à titre tout à fait hypothétique par Descartes et instituent un modèle complètement ‘hors cartésianisme’ (plus exactement, incompatible avec ce que sera le système cartésien) ; il réclame, en effet, une attraction à distance et il admet le vide, deux circonstances qui l’excluent radicalement de ce que sera la physique cartésienne de la maturité. On remarquera que ces hypothèses ne sont pas - en 1619 - frappées de l’impossibilité qui leur sera attachée après l’établissement de la doctrine physique.
Le résultat qui va être établi ici demeurera cependant comme un acquis pour Descartes jusqu'à la fin des années trente, même si les conditions dans lesquelles il sera réputé valide devront être précisées, restreintes et même finalement révoquées.
Il faut donc passer en revue les diverses notions et articulations de ce premier apport cartésien à la chute des graves.
La force reçoit deux acceptions distinctes. En tant qu’elle est la cause de la chute, la vis attractiva terrae est constante, elle émane de la terre, toujours égale ; mais la force, en tant qu’elle affecte le mouvement du mobile, qu’elle agit sur lui, la vis qua corpus grave tendat deorsum, cette force qui est celle du mouvement qui s’accomplit, est cumulative. Elle l’est même de deux façons : premièrement parce qu’en chaque minimum de mouvement (ou de temps), la force du mouvement s’accroît ou augmente par ajout d’une nouvelle force d’attraction à la force de mouvement déjà active ; deuxièmement cette force de mouvement s’accumule d’autant que les minima en extensio sont joints ensembles et que s’accomplit un mouvement assignable. Cette accumulation est d’abord l’addition des rectangles qui constituent les ‘marches de l’escalier’ avant l’élimination des parties dépassantes, puis, elle est la réunion (on peut utiliser ici le terme d’agrégat ) des lignes transversales lorsqu’on est parvenu au minimum véritable. Cette force du mouvement, additionnée ou accumulée est la mesure du mouvement considéré comme réalisé dans un intervalle d’espace ou de temps assigné.
Les minima sont les éléments constitutifs du mouvement étudié. La notion principale de minimum est celle de minimum motus qui associe inextricablement le minimum de forces, le minimum ‘de temps’, le minimum ‘d’espace’ pour constituer une sorte d’élément de mouvement. Ce minimum de mouvement est représenté d’abord par les rectangles (les marches de l’escalier) puis par les lignes transversales. Si ces minima motus existent, c’est parce qu’agit la vis attractiva et il est neutre ou indifférent de considérer qu’elle agit en des minima de temps ou en des minima d’espace ; c’est tout un et ‘au niveau du minimum’, c’est à dire des parties élémentaires, le temps, l’espace, le mouvement sont minimisés ensemble. Dans le texte 5 de ce dossier, on lira d’ailleurs « prenant un fort petit espace pour un moment ».
Le passage de la représentation en escalier à la figure triangulaire pose des problèmes distincts. Un problème mathématique qui est assez simple à commenter et une question physique plus délicate. Il s’agit donc de se débarrasser des parties dépassantes qui ont été nécessaires à l’analyse du mouvement de chute. Il faut ainsi passer d’une succession discrète de mouvements ‘de force constante’ à un mouvement dont la force est uniformément difforme. Le traitement mathématique consiste à diminuer la latitude, la ‘certaine largeur’ concédée provisoirement aux minima. En divisant cette largeur par deux, on diminue les parties dépassantes et en considérant « enfin » les vrais minima, c’est à dire des quantités sans largeur, on fait disparaître les parties dépassantes pour obtenir un triangle. Lorsqu’à l’image fausse des minima ayant une certaine largeur, on aura substitué la véritable, la représentation en indivisibles, on n’aura plus de parties dépassantes. L’exposé mathématique qu’en fait Descartes est très évasif et intuitif mais il est vrai qu’il va de soi si l’on admet un équivalent de l’idée limn( 0 1/2n = 0. Les constituants du phénomène: forces, mouvements, espaces parcourus, temps sont concevables ponctuellement et non plus selon des intervalles, même très courts: primum motus in a ultimum in b
Les mouvements sont en des points et sont entre eux comme les lignes transversales: on retrouve, au niveau des indivisibles, l'équivalence entre les mouvements et les éléments du triangle.
La question proposée, telle que l'a acceptée Descartes suggérait fortement un modèle en impulsions: à chaque moment, s'ajoute une nouvelle force. Le passage au triangle réfute et remplace ce schéma en impulsions au profit d’une variation continue. Au cours de cette transformation, les minima de force attractive, qui étaient comme de petits carrés, sont devenus des points, les minima de temps qui étaient associés à la largeur des ‘marches d’escalier’ sont devenus des points et les minima de mouvement, qui étaient des rectangles, des lignes. Si les minima de force attractives sont les indivibles-points de ces minima de mouvement , ceux-ci, à leur tour sont devenus les invisibles-lignes des surfaces (triangulaire pour la première et trapèze pour les suivantes) qui représentent le mouvement lui-même, qui en mesure l’intensité, la force sur un intervalle donné en extensio. Il est bien possible que les élaborations ultérieures de la philosophie cartésienne aient pu légitimement nourrir des interprétations selon lesquelles il y a chez Descartes un atomisme temporel et pourquoi pas, une discontinuité nécessaire du mouvement, ce texte cependant va à l’encontre de cette tendance ; il y a au contraire une claire démarcation qui se fera même polémique dans le texte suivant d’une conception discontinuiste du mouvement (qui, sans doute est celle de Beeckman).
Il est impossible d’interpréter l’exposé cartésien si l’on n’élucide pas la délicate question de l’extensio. Quelle est la grandeur qui est représentée par la ligne verticale, la grandeur qui constitue le côté des aires exprimant la force du mouvement ? Nous ne revenons pas sur les lectures déformantes dues aux partisans de ‘l’erreur malencontreuse’ ; elles n’ont que peu d’intérêt . Plus récemment, Damerow, Renn et al. ont défendu l'idée que la ligne en extensio est le temps en s'appuyant sur deux occurences: “ubi imaginatur singulis temporibus” (p.75, l.5) et “…nempe primi, secundi & tertii minimi temporis, &c.” (p.76, l.1-2). Il est exact que, dans cette partie du texte qui commente le dessin de la page 76, la ligne ab n'est pas désignée comme l'espace ou la trajectoire et il semble que l'on puisse interpréter le texte jusqu'à “Ex quibus patet…” (p.77, l.8) - c’est à dire jusqu'à l’exploitation physique par Descartes des schémas mis en place - en considérant que le temps est la grandeur mise en extensio. C'est d'ailleurs ce que fait Beeckman. Mais, à partir de là, dans ce qu'on peut prendre pour la partie synthétique du texte, le choix est fait de l'espace en extensio et la ligne ab est clairement désignée comme trajectoire du mouvement du mobile. Nous nous trouvons donc face à une sorte de contradiction ou d'une ambiguïté du texte. Cette modification de la grandeur extensive au sein du texte en signale la partition en deux parties ; une première partie analytique qui décompose le mouvement en minima, qui montre la convergence vers une figure triangulaire de la représentation en escalier; puis une seconde partie synthétique qui saisit le diagramme limite, c'est-à-dire triangulaire et expose le versant physique du mouvement, selon sa trajectoire. Dans la première partie, si c’est plutôt le temps qui constitue la latitude des minima motus, c’est parce qu’il s’agit d’en analyser la constitution ; or, c’est le flux de la vis attractiva terrae qui génère le mouvement qui affecte le mobile ; mais ce flux n’a - en lui même - rien à voir avec une trajectoire, et tout à voir avec l’écoulement du temps ; il s’en suit que l’accumulation de ces minima virium se fait selon le temps en extensio. Force est de constater que ce temps là n’est pas la variable indépendante d’une quelconque fonction et qu’il n’engage pas la suite ; il sert ‘seulement’ à constituer les minima motus. Une fois ce rôle tenu, lorsqu’il s’agit d’interpréter le schéma final, l’espace s’impose, car il convient tout naturellement pour évaluer la chute d’un grave. Nous croyons qu'il n'est en effet pas possible de lire la seconde partie du texte (et le second schéma) avec une extensio temporelle, comme s’efforcent de le faire Damerow, Renn et al., après Beeckman. Dès lors que le second schéma est utilisé, le doute n’est absolument pas permis : la ligne verticale représente, donne la mesure, de l’espace traversé par le corps grave.
C’est avec une certaine brutalité, ex quibus patet, que Descartes déduit de son schéma triangulaire la proportion cherchée. La partie gb - c’est à dire - la seconde moitié de l’espace traversé lors de la chute - est parcourue trois plus vite que l'autre moitié ag. C’est la première occurrence de la vitesse (triplo celerius). Si l’on veut bien exclure de ce texte la notion anachronique de vitesse instantanée et aussi celle de vitesse moyenne, l’exposé cartésien s’en trouve singulièrement éclairci. La vitesse est la mesure d’un mouvement accompli, pour un espace donné ou en un temps donné. Que ce mouvement soit fort, alors il sera rapide et sa rapidité sera en proportion de sa force (pour un même espace parcouru, triplo majori vi entraînetriplo celerius). Il est donc normal que ce qui mesure la force du mouvement - ici ce sont les aires triangulaires puis trapèzes, le long de la lignes ab - mesure aussi directement la vitesse. Dans la seconde moitié du mouvement, l’aire est triple que dans la première ; d’autre part, l’interprétation canonique de la vitesse au sens pré-classique de ce concept consiste à reconnaître que pour des espaces égaux, les temps sont inversement proportionnels aux vitesses. Voici pourquoi, mediam vero partem gb triplo celerius pertransiri a lapide, quam alia media pars ag, quia triplo majori vi a terra trahitur: spatium enim fgbc triplum est spatii afg.
On a donc - en principe - une expression du temps nécessaire pour parcourir telle ou telle succession d'espaces égaux: le second espace égal est parcouru en 1/3 du temps du premier. C'est la fameuse proportion 4/3 pour doubler l'espace: t(2e) : t(e) :: 4:3.
Ce raisonnement amène au résultat plus général suivant, auquel nous invite expressément Descartes lorsqu'il écrit & sic proportione dicendum de cæteris partibus. Les parties sont celles que l’on peut concevoir en prolongeant la chute, ou en la découpant en plus de deux parties. Soit une succession d'espaces égaux en parcourus en des temps tn. « En dire autant » au sujet de la troisième partie revient à observer que la force de mouvement - c’est-à-dire la vitesse - y est 5 fois supérieure à ce qu’elle était pour le premier espace ; considérant la quatrième partie, on aurait un facteur 7 etc. comme la suite des nombres impairs. Les temps étant dans une proportion inverse des vitesses, on en conclurait que les espaces de rangs successifs n et n+1 sont parcourus en des temps qui sont dans le rapport :
tn+1 : tn = (2n-1) : (2n+1)
ou encore, si on s’intéresse au temps total de chute Ti depuis le début sur i espaces égaux, on aura : Ti = t1 + t2 + t3 + t4 +… ti
soit , en prenant T1 = t1=1
T2 = 1 + 1/3
T3 = 1 + 1/3 +1/5
Tn = 1 + 1/3 +…+1/(2n-1)
Le temps est donné par une série extraite de la série harmonique dont - à l’époque - on ne connaissait pas d’expression générale. Cette série était clairement identifiée comme irrationnelle par Descartes. Il est frappant d’observer que ce résultat présente de remarquables analogies avec ce que propose Galilée dans le début du frammento habituellement associé à la terre à Paolo Sarpi du 16 octobre 1604.
On verra, en examinant les textes suivants, qu’une autre manière de généraliser la proportion fondamentale en 4/3 est possible, qui est incompatible avec celle-ci, qui s’appuie sur la figure triangulaire.
Le problème est rendu plus compliqué verbi gratia. Dieu crée, à chaque moment (singulis postea momentis) une nouvelle force attractive, égale aux précédentes. L’hypothèse est fictionelle, purement spéculative. Ainsi, au second minimum de mouvement, il y aurait la force initiale qui perdure, cette force initiale qui agit à nouveau et la force nouvelle créée par Dieu, soit trois forces égales à la première. Au troisième minimum, on a la force initiale qui agit triplement, la force secondement créée qui agit doublement et une troisième force nouvellement créée, soit six forces initiales. Et ainsi de suite, 10, 15, 21 etc. selon la succession des nombres triangulaires.



Dans une telle situation hypothétique, la somme successive des nombres triangulaires est bien donnée par les nombres pyramidaux. (1,4,10,20,56…). Ceux-ci relèvent bien de la puissance troisième. En effet, si l'on considère la somme des n premiers nombres triangulaires, soit le nième pyramidal, on obtient n(n+1)(n+2)/6
La somme des 2n premiers est 2n(2n+1)(2n+2)/6. Ces nombres indiquent respectivement les additions de forces attractives lors d'une portion de mouvement (d'un parcours) et lors de son double. Ils indiquent donc la célérité ou vitesse globale avec laquelle s'accomplit ce mouvement. Le rapport des deux est donné par
(8n3+12n2+4n): (n3+4n2+5n +2)
En considérant les espaces minima comme de plus en plus petits, le rapport (quand n tend vers l'infini) est 8. Le second espace est ainsi parcouru en 1 moment quand le premier l'est en 7. Tel est le résultat de Descartes qui est bien conforme à une quadrature de parabole, dans laquelle on aurait encore supprimé les parties dépassantes’.
Pour conclure le commentaire du premier texte de ce corpus ; soulignons les quelques points qui ont été évoqués :
Si ce premier texte traite mathématiquement de la chute des corps, le mouvement dont il s'agit n'est pas le mouvement réel et physique de la nature. Les causes ne sont pas définies et aucune mention n'est faite à quelque expérimentation ou donnée empirique que ce soit.
La gravité est ici conçue - c'est le modèle proposé par Beeckman et, au départ accepté par Descartes - comme jaillissement successif d'impulsions qui crée des forces vers la Terre, forces qui, une fois appliquées au mobile, y demeurent actives jusqu'à la fin du mouvement. Ainsi, une cause étant constante, elle dotera le mobile d'une succession d'impulsions dues à la même force (ou source de force) identiques; successions d'impulsions qui agiront d'autant moins longtemps qu'elle sont ‘activées’ en fin de mouvement. Ce modèle impulsif discontinu laisse toutefois la place à une conception continue. Cependant, on ne peut y voir une conception en ‘champ d'attraction’ constant dont l'effet resterait par nature extérieur au mobile. Il est bien plutôt question d'un phénomène qui affecte le mobile d'une ‘force cumulée’ qui y demeure agissante, et ce, à chaque instant. Chaque force instantannée -en soi identique- agit d'autant moins qu'elle intervient tardivement dans la chute, elle s'aggrège avec celles qui agissent déjà dans le mobile.
Le mouvement n'est pas une variation de type fonctionnel; c'est un phénomène que l'on ne peut considérer (ou du moins analyser) que dans son accomplissement et selon ses qualités. Ainsi il est rapide ou lent ; cette rapidité ou lenteur étant susceptible de degrés est dans le rapport inverse du temps associé à l'accomplissement du mouvement. Il n'est pas rapide ou lent instantanément, mais globalement.
Cette quantité, dite mouvement, est une grandeur continue, susceptible de minimum (comme ses constituants) et à laquelle on pourra appliquer des considérations en indivisibles: ‘le véritable minimum est le point &c.’
Les minima de mouvement, et tout ce qui en dépend (minima d'espace, de temps…) sont d'abord considérés comme une succession de mouvements uniformes élémentaires, puis, par un passage à la limite, sont assimilés à un mouvement uniformément difforme (la figure du triangle). Selon un diagramme en escalier, on a une première force qui donne une première impulsion et engendre un mouvement uniforme; puis une seconde force (égale) qui ajoute une seconde impulsion et ainsi de suite. Remarquons que la hauteur des marches de l'escalier (ou l'épaisseur des tranches uniformes) est constante: les impulsions se succèdent comme les espaces parcourus se succèdent, pas comme les temps. La ‘portion de mouvement’ est d'abord le parcours d'un espace.
Deuxième texte-1618. A.T. X. 58-61.

Texte en latin ; traduction nouvelle ; commentaire.

Ce texte est tiré des notes de Beeckman qui donne sa version de la thèse de Descartes (appelé Mr. Du Perron ou encore Mr. Peron).

(XI) Lapis cadens in vacuo cur semper celerius cadat.

Moventur res deorsum ad centrum terræ, vacuo intermedio spatio existente, hoc pacto :
Primo momento, tantum spacium conficit e , quantum per terræ tractionem fieri potest. Secundo, in hoc motu perseverando superadditur motus novus tractionis, ita ut duplex spacium secundo momento peragretur. Tertio momento, duplex spacium perseverat, cui superadditur ex tractione terrae tertium, ut uno momento triplum spacij primi peragretur f.

(XI bis) Lapis cadentis tempus supputatum.

Cùm autem momenta hæc sint individua, habebit g spacium per quod res unâ horâ cadit, ADE a . Spatium per quod duabus horis cadit, duplicat proportionem temporis, id est A D E ad A C B b , qu( est duplicata proportio AD ad ACc. Sit enim momentum spatij per quod res unâ horâ cadit alicujus magnitudinis, videlicet ADEF.



Duabus horis perficiet talia tria momenta, scilicet AFEd GBHCD. Sed AFED constat ex ADE cum AFE ; atque AFEGBHCD constat ex ACB cum AFE & EGB, id est cum duplo AFE.
Sic, si momentum sit AIRS, erit proportio spatij ad spatium, ut ADE cum klmn, ad ACB cum klmnopqt, id est etiam duplum klmn. Ast klmn est multo minus quàm AFE. Cùm igitur proportio spatij peragrati ad spatium peragratum constet ex proportione trianguli ad triangulum, adjectis utrique a termino (qualibus, cùmque haec (qualia adjecta semper eo b minora fiant, quo momenta spatij minora sunt : sequitur h(c adjecta nullius quantitatis fore, quando momentum nullius quantitatis statuitur. Tale autem momentum est spatij per quod res cadit. Restat igitur spatium per quod res cadit unâ horâ, se habere ad spatium per quod cadit duabus horis, ut triangulum ADE ad triangulum ACBc .
H(c ita demonstravit Mr. Peron d , cùm est ansam pr(buissem, rogando an possit quis scire quantum spacium res cadendo conficeret unicâ horâ, cùm scitur quantum e conficiat duabus horis, secundùm mea fundamenta, viz. quod semel movetur, semper movetur, in vacuo f , & supponendo inter terram & lapidem cadentem esse vacuum. Si igitur experientiâ compertum sit, lapidem cecidisse duabus horis per mille pedes, continebitg triangulum ABC looo pedes. Hujus radix est 1oo pro lineâ AC, qu( respondet horis duabus. Bisecatâ eâ in D, respondet AD uni h hor(. Ut igitur se habet proportio A C ad A D duplicata, id est 4 ad I : sic I OOO ad 250, id est A C B ad A D E.
Si verò momentum minimum spatij sit alicujus quantitatis, erit arithmetica a progressio. Nec poterit sciri ex uno casu, quantum singulis horis perficiat ; sed opus erit duobus casibus, ut inde sciamus quantitatem primi momenti. Ita autem ego supposueram ; at, quia magis placet suppositio momenti indivisibilis, hæc non explicabo susius.
Aliter quoque videmus spacium casûs unius horæ se habere ad spacium casûs duarum horarum, ut A D E ad A C B, cùm consideramus, in arithmeticâ b progressione, numeros omnes, contentos sub dimidio terminorum, ad omnium terminorum numeros c se nunquam habere ut I ad 4, etsi proportio perpetuò augetur. Sic duorum terminorum progressio, quæ est I.2., se habet ut I ad 3. Sic I.2..3.4.5.6.7.8. se habet ut I O ad 36. Sic termini hi octo ad d I 6 se habent ut 36 ad I 36, quod nondum est ut I ad 4. Si igitur descendus lapidis fiat per distincta intervalla, trahente terrâ per corporeos e spiritus, erunt tamen hæc intervalla seu momenta tam exigua, ut proportio eorum arithmetica b, ob multitudinem particularum, non sensibiliter fuerit minor quam f I ad 4. Retinenda ergo triangularis dicta demonstratio.
Traduction

XI-Pourquoi une pierre tombant dans le vide tombe toujours plus vite.

Les choses se meuvent vers le bas, en direction du centre de la terre, de la manière suivante, s'il existe un espace vide intermédiaire:
Dans le premier moment, la chose franchit autant d'espace que la traction de la terre permet de le faire. Dans le second [moment], en même temps qu'elle se maintient dans ce mouvement, il s'y ajoute un second mouvement de traction, si bien qu'un espace double se trouve parcouru dans le second moment. Dans le troisième moment, le double espace se maintient et, par suite de la traction de la terre, il s'y ajoute un troisième, si bien que le triple du premier espace est parcouru dans un seul moment.

XI bis- Calcul du temps de chute d'une pierre

Or, comme ces moments sont indivisibles, on aura l'espace qu'une chose franchit dans sa chute, en une heure, ADE. L'espace qu'elle traverse dans sa chute en deux heures double la proportion du temps, c'est-à-dire ADE à ACB, qui est la proportion double de AD à AC. Que le moment d’espace, que la chose traverse dans sa chute en une heure ait une certaine grandeur, soit ADEF.
En deux heures, la chose franchira trois moments pareils, AFEGBHCD. Mais, AFED se compose de ADE avec AFE. Et AFEGBHCD se compose de ACB avec AFE et EGB, c'est-à-dire, deux fois AFE.
Ainsi, à supposer que le moment soit AIRS, la proportion d'espace à espace sera comme ADE avec klmn à ACB avec klmnopqt , c'est-à-dire encore le double de klmn. Mais klmn est beaucoup plus petit que AFE. Donc puisque la proportion de l'espace franchi à l'espace franchi se compose de la proportion d'un triangle à un triangle, des grandeurs égales ayant été ajoutées à chaque terme, et puisque ces grandeurs ajoutées égales sont d'autant plus petites que les moments d'espace sont plus petits, il s'ensuit que ces grandeurs ajoutées seront de quantité nulle quand on décide un moment de quantité nulle. Or tel est le moment d'espace qu'une chose traverse en tombant. Il reste donc que l'espace qu'une chose traverse en tombant pendant une heure se trouve, par rapport à l'espace qu'elle traverse en tombant pendant deux heures comme le triangle ADE par rapport au triangle ACD.
C'est ce qu'a démontré Mr. Peron lorsque je lui en eus fourni l'occasion en lui demandant si l'on pouvait savoir combien d'espace une chose franchit en tombant pendant une seule heure, quand on sait combien elle en franchit en deux heures, en admettant mes présupposés, à savoir que dans le vide, ce qui est mis en mouvement une fois ne cesse de se mouvoir et en supposant qu'il y a le vide entre la terre et la chose qui tombe. Si donc l'on découvre, à l'expérience que la pierre a traversé 1000 pasen tombant pendant deux heures, le triangle ABC contiendra 1000 pas. Sa racine (peut-être dimension?) est de 100 pour la ligne AC qui correspond à deux heures. Si cette ligne est coupée par le milieu en D, Ad correspond à une heure. Donc, de même que la proportion de AC à AD se trouve doublée, c'est-à-dire de 4 à 1, de même en est-il de 1000 à 250, c'est-à-dire de ACB à ADE.
Mais si le moment d'espace minimum a une certaine grandeur, il y aura une progression arithmétique. Et on ne pourra pas savoir, à partir d'une seule chute combien la chose franchit pendant chaque heure; il y aura besoin de deux chutes pour en déduire la quantité du premier moment. C'est l'hypothèse que j'avais faite quant à moi; mais puisque l'hypothèse du moment indivisible plaît davantage, je ne m'étendrais pas plus sur ce point.
D'une autre manière encore, nous voyons que l'espace correspondant à une chute d'une heure se trouve par rapport à l'espace correspondant à une chute de deux heures comme ADE à ACB, quand nous considérons que, dans une progression arithmétique, tous les nombres contenus jusqu’à la moitié des termes ne se trouvent jamais, par rapport au nombre de tous les termes, comme 1 à 4, quoique la proportion augmente toujours. Ainsi, une progression de deux termes, comme la progression 1.2., se trouve comme 1 à 3. Ainsi la progression 1.2.3.4.5.6.7.8. se trouve comme 10 à 36. Ainsi ces huit termes, jusqu'à 16 se trouvent comme 36 à 136, ce qui n'est pas encore de 1 à 4. Si donc la descente de la pierre se fait par intervalles distincts, la terre l'attirant par l'intermédiaire d'esprits corporels, ces intervalles ou moments seront cependant si petits que leur proportion arithmétique ne sera pas sensiblement plus petite que de 1 à 4, à cause du grand nombre des petites parties. La démonstration dite par les triangles devra donc être conservée.
Commentaire
Ce texte est l'une des contributions de Beeckman au dialogue que nous avons présenté dans la notice précédente. Il y présente la solution que Descartes a défendue et d'une certaine manière, il la commente. Dans ses Etudes galiléennes, A. Koyré parle des échanges entre Beeckman et Descartes comme d'une “comédie des erreurs”. Il oppose un Descartes très mathématicien , mais peu physicien, qui “géométrise à outrance” à un Beeckman ayant compris la chute des corps, mais piètre mathématicien. Il y a certes un malentendu dans cet échange. Mais nous ne pensons pas qu'il soit essentiellement celui-ci.
La traduction intégrale que nous donnons du texte révèle des formulations mathématiques propres à Beeckman qui manifestent une réelle aisance dans cette discipline. En conséquence de quoi, il faut examiner ce malentendu non pas tant du point de vue de la différence entre physique et mathématiques mais plutôt comme l'expression d'une tradition physico-mathématique du discret contre une tradition physico-mathématique du continu.
On fera une première remarque concernant la juxtaposition des titres donnés à ces deux textes. Le premier (XI-Lapis cadens in vacuo cur semper celerius cadat) envisage la question de la cause (cur) du phénomène et le second (XI bis- Lapis cadentis tempus supputatum) traite de sa quantification (supputatum). Voici qui est suffisamment révélateur de l'état d'esprit de Beeckman, pour qui une loi de la nature (la chute des graves) peut et doit se laisser comprendre distinctement, comme effet mesuré, mathématisé d'une cause qualitativement désignée. Cette cause, qui est non problématique, produit un « mouvement de traction ». Chez Beeckman, la notion de force n'est pas mentionnée, alors qu'elle est centrale chez Descartes: elle est la cause quantifiable du mouvement; produite par la terre, elle s'accumule dans le mobile et permet la connaissance de la proportion de chute. Pour Beeckman, l'affaire est plus immédiate: la terre produit directement du mouvement, au sens de mouvement local.
La thèse beeckmanienne, exposée dans le court texte XI est inachevée et entre apparemment en contradiction avec ce qu'il va proposer dans XI bis. D’après XI, dans le second moment, l'espace est le double de celui qui est franchi dans le premier moment. D'après XI bis, lorsque le temps est doublé, l'espace est en proportion doublée, c'est-à-dire quadruple. La solution que nous suggérons est que la première affirmation exprime la vérité intime et atomique des choses alors que la seconde en exprime une vérité effective, phénoménale.
Cette contradiction n'est - en effet - que provisoire car l'effort de Beeckman va consister à justifier que les minima ont une certaine grandeur (Si vero momentum minimum spacii sit alicujus quantitatis) mais qu'en les considérant dans leur ensemble, on peut retrouver les résultats qui découlaient de leur considération en indivisibles sans grandeur. Là où Descartes a procédé à une interprétation en continu de la réalisation du phénomène par une réfutation du mode réellement ‘en impulsion’ des causes (forces) et des effets (mouvements), Beeckman assume jusqu'à la limite ‘atomique’ ce modèle en impulsion pour obtenir des effets discontinus mais qui diffèrent de ceux qui résulteraient d'un modèle continu d'une quantité “qui ne sera pas sensiblement plus petite”.
Si Beeckman souligne explicitement la divergence de raisonnement entre lui et Descartes, les deux auteurs semblent d'accord sur le point de départ:
Lors d'un primo momento (Beeckman) ou primo minimo motus (Descartes), la Terre produit un effet attractif qui demeure actif par la suite dans le grave; dans un second momento, un second effet attractif agit, etc. Mais là où Descartes vise la réduction de ces minima à une ligne puis leur association en une progression continue, Beeckman juxtapose une succession d'actions distinctes qui progressent par sauts. Ils sont d'accord jusqu’à ce résultat intermédiaire: ces grandeurs ajoutées égales sont d'autant plus petites que les moments d'espace sont plus petits… Le texte, de structure assez complexe, s'organise alors comme suit: Beeckman envisage les deux approches.
Selon la première, « quand on décide un moment de quantité nulle, il s'ensuit que ces grandeurs ajoutées seront de quantité nulle ». Le rapport 4 à 1, propre à la figure en triangle, en découle. Tel est, aux yeux de Beeckman, ce qu'a démontré Mr. Peron. Il sait donc que Descartes a fait le choix  continuiste du passage à la limite.
Il tente de rendre compte de ce passage à la limite opéré par Descartes. Si on note eð les portions qui  font la différence entre un schéma continu et un schéma en impulsion (les grandeurs ajoutées), on aura le rapport des espaces E1 à E2 comme (ADE + eð)ð ðest à (4ADE + 2eð)ð.ð ðLe vrai rapport doit bien être de 1 à 4, les « grandeurs ajoutées [étant] de quantité nulle »; les moments d'espace sont vraiment tels, c'est-à-dire nuls; ce qui n'empêche que leur succession, leur association, ou encore ce qu on pourrait désigner comme leur agrégat ne l'est pas et que les eð ðs'annulent sans que ADE ne disparaisse. Beeckman cherche à restituer une démonstration en indivisibles hétérogènes, telle que Descartes l'a proposée.
Il expose alors la seconde approche, qui en fait est la sienne : « Si le moment d'espace minimum a une certaine grandeur (c'est l'hypothèse que j'avais faite), alors, il y aura une progression arithmétique ». Pour la connaître, il faut naturellement deux termes. Beeckman dit ne pas commenter davantage la préférence donnée (par Peron) à la suppositio momenti indivisibilis sur ses momenta dotés d'une certaine grandeur. En réalité, il développe la conséquence de cette seconde approche dans la fin du texte qui consiste à concevoir, comme conséquences, comme images, comme notions-effets, les momenta spatii qui sont des espaces correspondants aux durées minimales. On peut imaginer une portion minimale de temps, insécable, où le corps a parcouru une portion minimale d'espace, qui est le plus grand trajet qu'il est possible de faire par le moyen de la seule traction de la terre. La vraie figure de ces espaces est bien en rectangles, comme une succession d'impulsions, ou de mouvements uniformes.
Le texte XI a permis de donner la raison de la suite arithmétique, à savoir 2. Les espaces parcourus sont les sommes de ces impulsions successives, et bien que le rapport d'une telle somme de n impulsion à une somme de n/2 impulsions ne soit nunquam ut 1 ad 4, d’un point de vue global, leur proportion ob multitudinem particularum, non sensibiliter fuerit minor quam 1 ad 4. Il ne s'agit pas d'un passage à la limite mais d'une interprétation macroscopique d'un phénomène connu à l'échelon atomique.
La différence la plus consistante entre les deux auteurs demeure cependant le choix opposé qu'ils font quant à la grandeur extensive qui devra soutenir le schéma.
Pourquoi l'un s'empresse-t-il de poser le temps en extensio (Beeckman) et l'autre (Descartes) choisit-il au bout du compte, mais clairement, l'espace? Sinon parce que le temps se comprend si bien comme succession d'instants alors que la ligne droite est l'archétype de la grandeur continue.
Nous l'avons déjà signalé, il y a une médiation supplémentaire chez Descartes entre la cause et l'effet, absente chez Beeckman. La cause, l’attraction terrestre, se déploie dans le temps et chez Beeckman, sans médiation, elle tire la chose vers le bas: le temps est l'extensio naturelle de ce mouvement. Pour Descartes, l'attraction créée une force dont elle dote le mobile or cette force (accumulée) mesure le mouvement, c'est-à-dire le déplacement que l'on prendra donc naturellement en extensio. Il faut souligner que le vocabulaire autorise une réelle confusion. Momentum, en effet ne désigne pas précisément le temps ; c’est une partie, soit du temps, soit de l’espace, soit du mouvement. Dans ce seul texte, on trouve en effet des emplois nettement divergents : « en deux heures, la chose franchira trois moments pareils (59. L.5) », ou « Les moments d’espace (60. L.6) » évoquent l’espace ; « Si le moment est AIRS (59, l.8) » désigne une portion du mouvement lui-même ; « Ces intervalles ou moments (61, l.18) » sont plus nettement des portions de temps. L’essentiel est que ces momenta soient susceptibles d’être aussi petits qu’on le souhaite et le débat porte principalement sur leur caractère indivisible.
Bien plus qu'une opposition entre un physicien médiocre mathématicien et un géomètre peu assuré (encore) de ses thèses physiques, il y a un clair antagonisme entre un atomiste et un continuiste. Le malentendu porte d'abord sur le rôle de l'hypothèse des indivisibles dans la géométrisation du mouvement. Et le choix opposé des temps contre les espaces en résulte. Il est sans doute utile de mentionner un débat analogue entre Cavalieri et Galilée. « L’accroissement du mouvement d’un corps en chute libre - écrivent M. Blay et E. Festa - se fait-il par bond ou par variation continue ? dans une lettre à Galilée en date du 21 mars 1626, [Cavalieri] attire plus spécialement son attention sur cet aspect particulier du phénomène ».
Troisième texte
In cogitationes privatae, parmi les Opuscules de
1619-1621 des manuscrits de Leibniz. A.T. X, 219-223

Texte en latin- traduction nouvelle - commentaire.

Contigit mihi ante paucos dies familiaritate vti ingeniosissimi viri, qui talem mihi qu(stionem proposuit a :
Lapis, aiebat, descendit ab A ad B vnâ horâ ; attrahitur autem à terrâ perpetuò eâdem vi, nec quid deperdit ab illâ celeritate qu( illi impressa est priori attractione. Quod enin in vacuo movetur, semper moveri existimabat. Qu(ritur : quo tempore tale spatium percurrat.
Solvi qu(stionem. In trianglo isoscelo rectangulo, ABC spatium repr(sentat ; in(qualitas spatij à puncto A ad basim B C, motûs in(qualitatem. Igitur A D percurritur tempore, quod A D E repr(sentat ; D B verò tempore, quod D E B C repr(sentat : vbi est notandum minus spatium tardiorem motum repr(sentare. Est autem AED tertia pars D E B C b : | ergò triplo tardiùs percurret A D quàm D B ..
Aliter autem proponi potest h(c qu(stio, ita vt semper vis attractiva terr( (qualis sit illi qu( primo momento fuit : nova producitur, priori remanente. Tunc qu(stio solvetur in pyramide a .

Vt autem hujus scienti( fundamenta jaciam, motus vbique (qualis lineâ repr(sentabitur, vel superficie rectangulâ, vel parallelogrammo, vel parallelipipedo ; quod augetur ab unâ causâ, triangulo ; à duabus, pyramide, vt supra ; à tribus, alijs figuris.

Ex his infinit( qu(stiones solventur. Verbi gratiâ, lapis in aere descendit viresque acquirit eundo b : quandonam incipiet (quali celeritate moveri? Quod solvetur. H(c linea repr(sentet gravitatem lapidis in primo instanti : curvatura linearum A E G & C F H in(qualitater motûs : à puncto enim E, F, (qualiter moveri incipiet, quia A E G non est curva nisi ab A ad E ; ab E ad G est recta c .


Item, si fax accensa in aere descendat, vt etiam ignis magna levitas de gravitate aliquid tollat, cùm levitatis quantitas sit nota.
Item, etiam gravitatis totius facis & aeris impedimentum, si qu(ratur quo instanti celerrime descendat & quo instanti non descendat ; ubi etiam notum esse oportet, quid de face fingulis momentis comburatur.
Aliaeque innumerae quaestiones sunt ex geometrica pariter & mathematica progressione.
Ad talia pertinet quaestio de reditu redituum. G.v., mutuo accepi AB ; post tempus AC, debeo CD ; post tempus AE, debebam tantum EF, si BFD ducta sit linea proportionum. Linea proportionum cum quadratrice conjungenda : oritur enim [quadratrix] ex duobus motibus sibi non subordinatis, circulari et rectoa .
Traduction
Il y a quelques jours, le hasard m'a amené à me lier d'amitié avec un homme à l'esprit fort pénétrant, qui m'a soumis la question suivante:
Une pierre descend de A à B en un temps donné (en une heure), me disait-il; elle est attirée par la terre avec une force toujours identique et ne perd rien de la vitesse qui lui a été imprimée par la première attraction. Car, estimait-il, ce qui se meut dans le vide ne cesse de se mouvoir. On demande en combien de temps elle parcourt tel ou tel espace.
J'ai résolu la question. Dans un triangle isocèle rectangle, l'espace ABC représente ; l'inégalité de l'espace du point A à la base BC représente l'inégalité du mouvement. C'est pourquoi AD est parcouru en un temps que représente ADE, et DB en un temps que représente DEBC: il faut noter ici qu'un espace plus petit représente un mouvement plus lent. Or AED est le tiers de DEBC: donc elle parcourra AD trois fois plus lentement que DB.
Cette question pourrait aussi être posée différemment, en supposant que la force d'attraction de la terre soit toujours égale à celle qui existe au premier instant: une nouvelle force est produite pendant que la précédente se maintient. Dans ce cas, la question sera résolue avec une pyramide.
Jetons les bases de cette science: un mouvement partout égal sera représenté par une ligne, ou une surface rectangulaire, ou un parallélogramme ou un parallélépipède; ce qui est augmenté par une cause sera représenté par un triangle, par deux causes, par une pyramide, comme indiqué plus haut, par trois causes, représenté par d'autres figures.
Par là seront résolues des questions infinies. Par exemple, une pierre descend dans l'air et acquiert des forces en allant : quand commencera-t-elle à se mouvoir avec une vitesse égale? Solution: que cette ligne représente la gravité de la pierre au premier instant et la courbure des lignes AEG et CFH, les inégalités de mouvement; à partir du point E ou F, en effet, elle commencera à se mouvoir de façon égale parce que AEG n'est courbe que de A à E, et droite de E à G.
Il en va de même si une torche enflammée descend dans l'air de sorte que la grande légèreté du feu ôte aussi un peu de gravité, en supposant connue la quantité de légèreté.
De même aussi l'entrave à la gravité d'ensemble de la torche et de l'air, si l'on demande à quel instant elle descend le plus vite et à quel instant elle ne descend pas; il convient aussi de savoir ce qui brûle de la torche à chaque moment.
Il y a aussi d'innombrables autres questions sur la progression tant géométrique que mathématique.
De ceci relève la question du rendement des revenus. G.v., j’ai emprunté AB ; après le temps AC, je dois CD ; après le temps AE, je devais seulement EF, soit tracée BDF la ligne des proportions. La ligne des proportions doit être liée à une quadratrice : car la [quadratrice] naît de deux mouvements non subordonnés l’un à l’autre, un circulaire et un rectiligne.

Commentaire

Il s’agit d’une note du journal de Beeckman qui nous est connue par une copie tardive, faite par Leibniz, quelques soixante dix ans après la rédaction de ce texte. La question à laquelle fait référence Descartes doit être celle qui était déjà discutée dans les textes précédents ; elle date donc de novembre ou décembre 1619. Il l'a abordée de manière abstraite, sans prétention à décrire un phénomène du monde réel puisqu’il ne se prononce toujours pas sur la validité des hypothèses de départ du raisonnement : l’attraction par une force terrestre constante, le vide et une forme embrionnaire du principe d’inertie.
Une caractéristique importante de la manière cartésienne de traiter le problème apparaît ici, plus nettement que dans les premiers textes. On y avait déjà rencontré la prise en compte d’hypothèses supplémentaires qui venaient compliquer la situation de base (la figure pyramidale). Ici, l’action d’une autre force agissante à chaque instant est à nouveau considérée et l’action de causes hypothétiques multiples va être considérée (causes dont on ne sait d’abord pas à quelle réalité phénoménale elles peuvent bien correspondre).
Voici qui ouvre une perspective extrêmement vaste, celle de l’établissement d’une science du mouvement des graves. Dotée des modèles géométriques adéquats (les figures triangulaires, puis pyramidales etc.) elle pourrait bien résoudre une infinité de questions qui correspondraient à des situations réelles. C’est d’abord à la chute dans l’air que songe Descartes (Beeckman aussi il est vrai), avec l’évocation d’un résultat qui va prendre une grande place : le point d’égalité, c’est-à-dire l’atteinte (ou la proximité asymptotique) d’une vitesse constante. Des complications concrètes très délicates sont évoquées comme la combinaison de qualités de légèreté et de gravité dans un mobile (une torche enflammée) et la variation des parties graves et légères de ce mobile. Descartes considère toutefois que ces situations doivent pouvoir être modélisées dans la mesure où elles ne font intervenir que des progressions des variations géométriques et arithmétiques. Bien entendu, il ne réalise pas ce qui - fugitivement - semble devoir être un programme de recherche.
Il n’y a ici encore qu’une situation qui reçoit une réponse géométrique précise, c’est évidemment la plus simple : la chute dont la cause est constante et qui a lieu dans le vide. On doit observer que la question est plus générale que dans les textes précédents « en combien de temps elle parcourt tel ou tel espace ». La réponse doit donc être valable quelque soit la portion d’espace considérée.
Une nette évolution a eu lieu, depuis le texte n°1, sur la présentation impulsive du phénomène. Le schéma en escalier n’est pas employé et la tâche consistant à ‘passer’ à une figure triangulaire n’est plus nécessaire. Là où il y avait une force nouvelle à chaque instant, il y a maintenant une force toujours identique qui attire la pierre qui tombe. Toutefois, la pierre conserve la vitesse qui lui a été imprimée par la première attraction. Le raisonnement à partir d'une succession dénombrable d'impressions de vitesses n'est pas totalement délaissé. Si la cause n'est plus un processus discret, mais continu, l'effet vitesse est encore analysé discrètement.
Dans l'énoncé apparaît donc -enfin- l'occurence de celeritate qui joue le rôle exact du minimum motus du texte n°1. En ce sens qu'il s'agit de ce qui est causé ponctuellement par la force attractive. Voici nettement une notion de vitesse comme mimimum de mouvement. Il y a là sans nul doute une étape conceptuelle de la plus grande importance.
La réponse de Descartes est bien, en substance, la même qu'au texte n°1 qui consiste à donner la proportion
temps pour le deuxième espace : temps pour le premier espace :: 1 : 3
La solution est donnée beaucoup plus rapidement que dans le texte n°1, surtout parce qu'elle ne s'embarrasse pas des ‘parties dépassantes’ et fait ainsi l'économie du raisonnement qui les faisait disparaître. Cette attitude fournit un nouvel argument pour montrer que Descartes souhaite exposer un phénomène essentiellement conçu comme continu en évitant les modèles en impulsion. Le problème du passage du discret au continu ne se pose pas (ou plus) dans l'aspect physique de la question; il se pose éventuellement du strict point de vue géométrique et le premier texte à, de ce point de vue, réglé la question.
La figure triangulaire est conçue comme suit:
La ligne verticale représente encore et à la fois les espaces parcourus et la trajectoire.
L'accroissement des transversales (représente) l'accroissement du mouvement.
Les surfaces des trapèzes expriment ou représentent le mouvement accompli le long de la portion de verticale correspondante. Il s’agit encore de la mesure de ce mouvement qui est sa rapidité ou sa lenteur. Il n'y a pas trace d'une quelconque espèce de sommation de vitesses élémentaires donnant le parcours. En même temps - et ceci peut paraître paradoxal - ces surfaces représentent les temps de parcours:
ADE représente le temps de parcours de AD
DECB représente le temps de parcours de DE
Les surfaces représentent donc à la fois la qualité première du mouvement lui-même et aussi le temps de parcours. On ne peut en inférer que ces deux grandeurs soient identiques, ou semblables ; ce qui serait absurde car, plus un mouvement serait ‘fort’, c’est-à-dire rapide, plus le temps de son accomplissement serait grand ! Il faut admettre que le terme représente n'implique pas la proportionnalité, ni même un sens de variation commun; il annonce l'existence d'un rapport réglé entre deux grandeurs. Ici, le temps est d'autant plus long (grand) que la surface est petite. C'est la rapidité qui est proportionnelle à la surface du trapèze: ubi est notandum minus spatium tardiorem motum repræsentare (219, l.23)
Autrement dit, les surfaces associées à des parcours de chute ‘mesurent’ cette rapidité et donnent les inverses des temps de parcours. On retrouve donc la même réponse, la même solution qu'au texte n°1, c'est-à-dire la proportion un tiers.
Reste à savoir si la question plus générale est bien résolue. Supposons que l’on souhaite savoir quelle proportion de l’heure nécessaire à la chute de A en B est nécessaire pour parcourir la neme partie de AB ? En suivant le raisonnement attaché à la figure et à ses constituants, et en notant a le temps de parcours de cette neme partie, on aurait, pour expression du temps total de chute :
T = a+a/3+a/5+a/7+...a/n (comme dans les textes précédents), et
a/T = 1/ (1+1/3+1/5+1/7+...1/n).
ce que ne dit pas Descartes, sans doute parce qu’il ne sait pas donner la valeur de cette série. Cette question étant réglée, Descartes reprend d’assez près la suggestion du texte n°1 - Dieu n'est plus sollicité pour créer, à chaque instant une nouvelle force égale à celle qui existe au premier instant. La solution est simplement rappelée, elle est en pyramide (voir notice du texte n°1).
Descartes annonce alors qu'une science du mouvement peut être ainsi fondée, selon le nombre des causes qui le génère. Il est à noter que le mouvement partout égal (disons uniforme) est sans cause. Pour développer la science du mouvement, il s'agit de connaître la façon dont agissent les causes: deux exemples ont déjà été traités (l’attraction uniforme qui correspond à une cause et l’attraction uniformément difforme, soit deux causes). Ce qu'il faut connaître ce sont les inégalités de mouvement ponctuelles; les aires correspondant aux portions parcourues donneront alors les proportions du temps. La méthode envisagée est conforme à ce qu’enseigneront les Regulae, il convient d'analyser les mouvements réels selon le nombre et la complexité de leurs causes. Un classement s'en suivra qui sera associé à un classement des figures géométriques qui les représenteront.
Ainsi dans l'air, une cause ralentissante agit puisque la ligne s'incurve avant de devenir droite. Aucun calcul ne vient préciser, quantifier, les figures suivantes et la « science » évoquée en reste là.
La partie du texte qui va de « Ut autem hujus scientiae fundamenta jaciam...jusqu'à... ab E ad G est recta », pose deux problèmes difficiles. La première difficulté réside dans le passage « motus ubique aequalis linea repraesentabitur, vel superficie rectangula, vel parallelogrammo, vel parallelipedo... ». Il faut en effet admettre qu’un mouvement de force toujours égale peut aussi bien être représenté par les quatre figures suivantes.






Il s’agit de la ‘représentation du mouvement’. Quelle figure y convient ? Les diagrammes de la latitude des formes constituent des réponses dont on peut croire qu’elles étaient connues alors. Dans le cas d’un ‘mouvement uniforme’ (motus ubique aequalis), la mesure du mouvement, ou quantité de vitesse est donnée directement avec la longueur que le mobile doit parcourir pendant le temps de parcours. Une ‘simple ligne droite peut y suffire : le mouvement a une dimension et les proportions entre différents mouvements de ce type peuvent être exprimées par des rapports de lignes, ce qui est l’essentiel. Les deux représentations proposées sont classiques avec une extensio de dimension un et une intensio invariable en chaque point de l’extensio  (les lignes représentant le degré de la qualité (l’intensio) ne sont pas forcément perpendiculaires à la ligne de l’extensio, ce qui peut donner naissance au parallelogramme); mais il faut y ajouter la quatrième figure où l’extensio a pour dimension deux. Nicole Oresme avait conçu le cas : « au lieu de tracer seulement une ligne dans le sujet, on peut y tracer une surface, par exemple une surface plane, et étudier la qualité qui informe chacun des points de cette surface ; on aura ainsi affaire, non plus à une qualité linéaire, mais à une qualité superficielle […] De même qu’une qualité linéaire uniforme est représentée par un rectangle, de même une qualité superficielle uniforme sera représentée par un corps qui présente huit trièdres trirectangles (le parallélépipède) » . Dans ce cas, chaque degré de la qualité est une surface (un rectangle identique dans le cas d’un mouvement uniforme).
Dans ce cas, le mouvement uniformément accéléré serait représenté selon la figure suivante: le parallélogramme hachuré représente une inégalité de mouvement.
On comprend mieux le schéma donné dans ce texte qui, à son tour, pourrait être représenté comme suit, si la dimension de l'extensio était ‘un’.
Pour reprendre le vocabulaire ‘oresmien’, la figure exprime la variation d’une qualité superficielle : dès lors que l’on a doté l’extensiode deux dimensions, la figure en a trois.
La seconde difficulté réside dans la courbure elle-même. Faute d’autres raisons, toute courbe ‘concave’ ferait l’affaire, c’est-à-dire toute courbe qui indiquerait une diminution de l’accroissement des « inégalités de mouvements » due au frein de l’air. Descartes reviendra sur cette question dans plusieurs textes ultérieurs.
L'exemple suivant met en scène des causes multiples. La chute de la torche enflammée est redevable de quatre causes: l'attraction de la terre, l'entrave due à l'air, le retrait de gravité dû à la légèreté de la flamme et la diminution de gravité due aux portions consumées de torche. De ceci on retiendra qu’en ces années 1619-1620, la géométrisation cartésienne devait intégrer les conditions particulières et concrètes et certaines des caractéristiques du cas matériel envisagé. Si Descartes complique la position mathématique du problème, c'est précisément pour être en mesure d’aborder des situations réelles, elles-mêmes plus complexes. Il va sans dire qu'il ne s'agit là que d'annonces, en quelque sorte programmatiques dont on verra qu'elles ne seront pas véritablement suivies d'effet. A cette étape de la pensée cartésienne, nous sommes bien, cependant, dans une situation où la chute des corps n’est pas comprise selon des principes fermement établis qui l’expliqueraient, mais où l’adoption d’hypothèses générales puis particulières doit permettre d’en élaborer une expression mathématique, géométrique.

Reprenant un sujet qu’il avait abordé en 1618 (cf. le premier texte), Descartes mentionne de « rendement des revenus ». La solution n’est plus « en triangles », comme alors, où elle est « résolues par des proportions » tirées de cette figure. Le temps est la dimension du sujet mise en extensio, justement dans un cas qui ne traite pas de mouvement local mais de l’évolution d’un capital. Celui-ci est l’intensio qualitatis ou la latitudo. Sachant ce que l’on doit à un moment donné, on demande ce qui était dû en un temps qui est une portion du temps total. La « ligne des proportions » n’est pas géométrique, elle est ‘associée’ à la quadratrice, car, comme cette dernière, elle relève de deux mouvements incommensurables. Descartes ne dit pas ce qu’est cette courbe des proportions, qui n’a pas d’autre rapport avec la quadratrice que d’être ‘transcendante’. Ceci signifie-t-il qu’à cette époque, il y a, pour Descartes, un genre commun à toutes les « courbes mécaniques » ? Un prolème demeure cependant : la courbe dessinée est possiblement logarithmique et non exponetielle, ce dont il est bien délicat de rendre compte.



Chapitre II. « Un phénomène de ma physique »

Deuxième période : 1629
texte IV- texte V


quatrième texte
Lettre à Mersenne du 13 novembre 1629. A.T.I, p.69-74.

Texte partiellement en latin - traduction nouvelle -commentaire.
Le texte est en majeure partie en français avec un passage en latin. Nous y intégrons un passage du début de la lettre qui restitue l'état d'esprit de Descartes à cette période cruciale ou prend tournure le projet du Traité du Monde.
Début du passage latin
(page 71, ligne 25) [...] quod in vacuo semel incoepit moueri, semper & æquali celeritate mouetur. Supponas ergo pondus in A existens impelli a sua grauitate versus C. Dico statim atque coepit moueri, si defereret illuma ipsius grauitas, nihilominus pergeret in eodem motu donec perueniret ad C ;
sed tunc non tardius nec celerius descenderet ab A ad B quam a B ad C. Quia vero non ita sit, sed adest illi grauitas quæ premit illuma deorsum & addit fingulis momentis nouas vires ad descendendum, hinc sit vt multo celerius absoluat spatium B C quam A B, quia in eo percurrendo retinet omnem impetum quo mouebatur per spatium A B & insuper nouus ei accrescit propter grauitatem quæ de nouo vrget fingulis momentis.
Qua autem proportione augeatur ista celeritas, demonstratur in triangulo A B C D E : nempe prima linea denotat vim celeritatis impressam I° momento, 2a linea vim impressam 2° momento, 3a vim 3° inditam, & sic consequenter. Vnde sit triangulus A C D qui repræsentat augmentum celeritatis motus in descensu ponderis ab A usque ad C, & A B E qui repræsentat augmentum celeritatis in priori media parte spatii quod pondus percurrit, & trapezium B C D E quod repræsentat augmentum celeritatis in posteriori media parte spatii quod pondus percurrit, nempe B C. Et cum trapezium B C D E sit triplo maius triangulo A B E, ut patet, inde sequitur pondus triplo celerius descensurum a B ad C quam ab A ad B : id est si tribus momentis descendit ab A ad B, vnico momento descendet a B ad C ; id est quattuor momentis duplo plus itineris conficiet quam tribus, & per consequens I2 momentis duplo plus quam 9, & 16 momentis quadruplo plus quam 9, & sic consequenter.
Quod autem de descensu ponderis per lineam rectam demonstratum est, idem sequitur de motu ponderis ad funem appensia , quippe in cuius motu quantum spectat ad vim per quam mouetur, non oportet consyderare arcum G H quem percurrit, sed finum K H ratione cuius descendit ; ac proinde idem est ac si
recta descenderet a K ad H,
quantum scilicet attinet ad motum dessin
propter grauitatem. Si vero consyderes
aeris impedimentum, multo magis
& aliter impedit in motu obliquo a G ad H
quam in recto a K ad H.
fin du passage, (page 73, ligne 21).

Texte avec Traduction du passage latin
Car depuis le temps que je vous avais écrit, il y a un mois […] je me suis résolu d'expliquer tous les phénomènes de la nature, c'est à dire toute la physique. Et le dessein que j'ai me contente plus qu'aucun autre que j'ai jamais eu, car je pense avoir trouver un moyen pour exposer toutes mes pensées en sorte qu'elles satisferont à quelques uns & que les autres n'aurontpas occasion d'y contredire.
L'invention de Mr Gaudey est très bonne et très exacte en pratique, toutefois affin que vous ne pensiez pas que je me fusse mépris de vous mander que cela ne pouvait être géométrique, je vous dirais que […] le tout dépend de la ligne hélice […] qui n'est pas une ligne plus recue en géométrie que celle qu'on appelle quadratrice. […]
Pour ce que vous me demandez sur quel fondement j'ai pris le calcul du temps que le poids emploie à descendre étant attaché à une corde de 2, 4, 8 & 16 pieds, encore que je le doive mettre en ma physique, je ne veux pas vous faire attendre jusque là et je tâcherais de l'expliquer. Premièrement je supose que le mouvement qui est une fois imprimé en quelque corps y demeure perpétuellement, s'il n'en est ôté par quelque autre cause, c'est à dire que (le latin commence ici) ce qui a une fois commencé à se mouvoir dans le vide se meut toujours et avec une vitesse égale. Supposons donc qu'un poids situé en A soit poussé vers C par sa gravité. Je dis que, dès qu'il a commencé à se mouvoir, même si sa gravité l'abandonnait, il ne progresserait pas moins dans le même mouvement jusqu'à ce qu'il parvienne en C; mais alors il ne descendrait pas plus lentement ni plus vite de A à B que de B à C. Mais puisqu'il n'en est pas ainsi, puisque se trouve en lui cette gravité qui le pousse vers le bas et ajoute à chaque moment de nouvelles forces pour le faire descendre, il arrive par là qu'il parvient au bout de l'espace BC beaucoup plus vite que de l'espace AB, parce que, en le parcourant, il conserve tout l'impetum qui le fait mouvoir sur l'espace AB et qu'en outre un nouvel impetus vient s'y adjoindre à cause de sa gravité qui le pousse de nouveau à chaque moment. Dans quelle proportion cette vitesse augmente, on le démontre dans le triangle ABCDE: de fait, la première ligne indique la force de vitesse imprimée au premier moment, la deuxième ligne, la force imprimée au deuxième moment, la troisième, la force apportée au troisième moment, et ainsi de suite. De la viennent le triangle ACD qui représente l'augmentation de la vitesse du mouvement dans la descente du poids de A jusqu'à C, le triangle ABE qui représente l'augmentation de la vitesse dans la première moitié de l'espace que parcourt le poids et le trapèze BCDE qui représente l'augmentation de la vitesse dans la deuxième moitié de l'espace que parcourt le poids, à savoir BC. Et comme le trapèze BCDE est trois fois plus grand que le triangle ABE, comme on le voit avec évidence, il s'ensuit que le poids descendra trois fois plus vite de A à C que de A à B: c'est-à-dire que s'il descend en trois moments de A en B, il descendra de B en C en un seul moment; c'est-à-dire qu'il franchira deux fois plus de chemin en quatre moments qu'en trois, et par conséquent deux fois plus de chemin en 12 moments qu'en 9, quatre fois plus en 16 moments qu'en 9 et ainsi de suite.
Ce qui a été démontré de la descente d'un poids selon une ligne droite se trouve aussi dans le mouvement d'un poids suspendu à une corde, puisque, dans ce mouvement, en ce qui concerne la force par laquelle il est mû, il ne convient pas de prendre en compte l'arc GH qu'il parcourt mais le sinus en raison duquel il descend.
Et pour cette raison il en va comme si une droite descendait de K à H, pour ce qui touche au mouvement selon la gravité. Mais si on considérait l'empêchement de l'air, il constitue un frein beaucoup plus important et différent dans le mouvement oblique de G à H que dans le mouvement droit de K à H. (le latin s'arrête ici) Or pour cet empêchement de l'air duquel vous me demandez la justesse, je tiens qu'il est impossible d'y répondre et qu'il ne tombe pas sous la science; car s'il est chaud, s'il est froid, s'il est sec, s'il est humide, s'il est clair, s'il est nébuleux, & mille autres circonstances peuvent changer l'empêchement de l'air; et outre cela si le poids est de plomb, de fer ou de bois, s'il rond, s'il est carré ou d'autre figure & mille autres choses peuvent changer cette proportion, ce qui se peut dire généralement de toutes les questions ou vous parlez de l'empêchement de l'air.



Commentaire
La période exacte de rédaction de cette lettre est importante. C'est à l'automne 1629 que la question éveillée par les parhélies de Rome provoque, chez Descartes la décision d'écrire un traité qui, d'extensions en élargissements deviendra Le Monde. Au début de la lettre qui nous occupe, Descartes affirme en effet qu'il vient de se résoudre à expliquer tous les phénomènes de la nature, c'est-à-dire toute la physique. Tel est son état d'esprit et les sujets qu'il évoque alors sont liés à ce projet. D'abord pour une raison d'ordre général dont Descartes nous a fait part dans la lettre précédente du 8 octobre 1629: « Il faut que je me donne tout à une matière, lorsque j'en veux examiner quelque partie. Ce que j'ai éprouvé depuis peu en cherchant la cause de ce phénomène duquel vous m'écrivez » (AT.I, p.23). Un second argument pour rapporter le sujet de cette lettre aux préoccupations générales et physiques de Descartes, est la façon dont il évoque le problème du temps de battement du pendule simple. La discussion de ce problème mobilise les résultats obtenus sur la chute des graves. Voici précisément ce qu’en dit l’auteur « encore que je doive mettre [le fondement de ce calcul] en ma physique, je ne veux pas vous faire attendre… ». Faut-il en tirer comme conclusion que dans sa physique prendront place les seuls fondements (à savoir la doctrine de la gravité en cours d’élaboration) du phénomène? C’est peu vraisemblable puisque Descartes - qui souhaite ne pas faire attendre Mersenne jusque là - lui fournit les explications qui devront se trouver dans la physique. Or ces explications comprennent aussi les proportions, l’expression géométrique et numérique de la chute des graves. En 1629 donc, moment où mûrissent ses conceptions mathématiques et l’édifice général de sa physique, Descartes estime que la proportion des temps et des espaces parcourus lors de la chute d'un grave dans le vide doit prendre place dans sa Physique, et ce, sous une forme ou une expression mathématisée.
On se demande bien sur quel argument se fonde Tannery pour dater le passage latin (ici traduit) des années 18-19. Sinon pour renforcer l'idée selon laquelle, en 1629, Descartes aurait déjà ‘donné congé’ à la physique mathématique. Cette supposition nous paraît gratuite. La juxtaposition du latin et du français n’est pas plus probante puisque, dans le texte suivant, la même situation se retrouve où, au moment de donner un argumentaire mathématique, Descartes passe au latin pour revenir ensuite au français. Il faut simplement admettre que le latin est alors une meilleure langue mathématique. Il faut bien s'y rendre: la recherche de la loi quantitative de la chute est encore au programme du Monde en 29 et ne l'est plus en 33. C'est dans cette période que, sans doute progressivement, Descartes va modifier sa conception des rapports entre physique et géométrie.
En 1629 , touchant la chute des graves, l’introduction des principes physique est carctérisée par une formulation encore floue de ce qui deviendra le principe d’inertie et par une théorie de la gravité constante (qui est implicite mais certaine puisque la figure triangulaire est employée), bientôt abandonnée. Sur cette base, Descartes entreprend de démontrer les proportions selon lesquelles augmente la vitesse de chute. Ce qui ne relève pas de la physique (sub scientiam non cadit), c’est la mesure des effets de la résistance de l’air.
Il est naturel et utile d'opposer cette déclaration, « Or pour cet empêchement de l'air duquel vous me demandez la justesse, je tiens qu'il est impossible d'y répondre et sub scientiam non cadit, car, s'il est chaud […] et mille autres choses peuvent changer cette proportion », à ce que nous avons lu dans le texte précédent qui annonçait « Ut autem hujus scientiæ fundamenta jaciam, motus ubiue æqualis…Ex his infinitæ quaestiones solventur… »
Doit-on tirer argument de ce passage pour renforcer la thèse du renoncement à la connaissance certaine des proportions qui décriraient mathématiquement les mouvements réels des corps, en chute, se balançant ou vibrants? C’est vrai dans une certaine mesure, mais, ce qui ne relève pas de la science, ce n'est pas la chute des graves, c'est l'empêchement de l'air. Si Descartes renonce ainsi à mettre en équations les « mille circonstances » qui accompagnent concrètement les phénomènes produits dans et par la nature, il maintient, en 1629, qu'il faut rendre compte mathématiquement des fondements de ces phénomènes et qu'il faut fournir la loi quantitative de la chute des graves dans le vide; que la mathématisation des accidents soit reconnue impossible ne disqualifie pas celle de la chute idéalisée, c’est-à-dire dans le vide et à gravité constante. C’est peut-être ici le moment, très bref, où il se montre le plus galiléen, sinon dans les résultats établis, du moins dans l’objectif proposé à la physique mathématique. Les Regulae auraient alors donné le moyen de reprendre la science de Beeckman selon la méthode. Cet usage implicite de l’abstraction nous laisse en effet imaginer ce qu’aurait pu être le troisième livre des Regulae et la raison pour laquelle il n’a pas été écrit : l’exigence de dégager les Principes des choses s’impose progressivement à Descartes.
La place consacrée à l'exposé des causes et des caractéristiques qualitatives du mouvement est bien plus ample que dans les textes 1 et 3. On y retrouve l'idée que, si la cause (ici la gravité) du mouvement disparaît, celui-ci se poursuit uniformément. Une évolution décisive a cependant eu lieu : alors qu’il s’agissait alors d’une hypothèse endossée par Beeckman, elle est maintenant cartésienne ; il s’agit d’un élément de sa physique. La proportion qui s’en déduit ne relève plus de l’exercice géométrique mais –sous les réserves que nous avons dites- elle est vraie selon la nature des choses.
Pour reprendre une formule que nous avons déjà employée, il faut signaler que nous sommes encore assez éloignés de ce qui deviendra la physique cartésienne. La nature de la gravité est inconnue ; le vocabulaire employé semble la rattacher à la doctrine de l’impetus : la gravité du corps le pousse vers le bas, elle ajoute de nouvelles forces pour le faire descendre, elle est cause de l’impetus cumulatif que contient le poids. Au total, ceci valide le schéma d’augmentation des « forces de mouvement » qui agissaient dans les textes précédents.
La proportion du mouvement est examinée et découverte par analyse de la figure triangulaire ADC. Plus exactement, c'est l'augmentation de la vitesse qui est recherchée; en effet la notion de vitesse est bien plus centrale désormais, au travers de ses deux acceptations. La vitesse, sans précision, celle dont on veut déterminer l’augmentation, est à nouveau la mesure qui caractérise le mouvement accompli. Il n’y a pas de modification sur ce point, par rapport aux textes précédents. On observe donc que le partage en un triangle ABE et un trapèze BCDE est réalisé comme dans les textes précédents et que ces surfaces représentent la même chose, à savoir la force de ce mouvement relativement à la portion d’espace parcouru. L'aire du triangle ou du trapèze est dénommée ici augmentum celeritatis motus ; rappelons qu'elle était désignée par motum dans le texte I et par vim motus dans le texte III. On peut en déduire que les trois notions de augmentum celeritatis motus , de motum et de vim motus jouent des rôles équivalents.
La force de vitesse imprimée (vis celeritatis impressa) est une nouveauté. Elle ne correspond pas au minimum motus constitué des minima virum gravitatis de ces textes. Elle n’est pas l’intensio qualitatis considérée à chaque moment. De l’extensio. La vis celeritatis impresa a les mêmes causes mais considérées différemment : c’est l’effet de la force élémentaire de gravité, tout au long de la chute, c’est la représentation de la permanence de cet effet depuis le début de son action jusqu'à la fin. Il est donc parfaitement normal que sa représentation en soit selon des lignes verticales. Les lignes verticales ont fait couler beaucoup d'encre, pas toujours bien inspirée à notre avis. Elles se comprennent en effet fort bien: une vim celeritatis agit à chaque moment du parcours, elle agit jusqu'à la fin du parcours et donc d'autant moins qu'elle intervient tardivement. Le schéma, lu dans ce sens, insiste bien sur la permanence de l'action de ces causes ponctuelles. Ainsi, ‘si la gravité abandonnait’ le mobile, arrivé en B, le schéma serait celui-ci:

Le mouvement est considéré dans son achèvement, la vis celeritatis impressa du premier moment agit tout au long du mouvement, la vis celeritatis impressa du second moment agit un peu moins, la ligne qui le désigne est donc plus courte etc. Il semblerait que l'on ait un ‘noyau’ élémentaire dans le minimum de mouvement qui serait en quelque sorte dynamique: la force élémentaire de gravité qui est la cause instantanée de gravité. Point n’est donc besoin de suggérer (comme Pierre Duhem) de « rétablir le bon sens de cette figure » que Descartes aurait malencontreusement inversée. Il y a ‘simplement’ deux manières de concevoir ‘ensemble’ les éléments de mouvement: horizontalement, ce qui donne des ‘degrés de vitesses’ et verticalement, ce qui donne la force de vitesse impresse. Si Descartes choisit ici les lignes verticales, c’est pour mieux figurer son principe de permanence du mouvement, une fois qu’il a commencé.
Comment généraliser, ou extrapoler la proportion 4/3 ?
La conséquence que tire Descartes semble tout d’abord conforme aux textes précédents : l'augmentation totale des vitesses, ou vitesse du mobile est donnée par les aires ABE, BCDE et elle est inversement proportionnelle au temps de parcours. On retrouve alors la proportion 4 à 3 des temps pour un parcours doublé. La suite pose toutefois un sérieux problème. « [le poids] franchira deux fois plus de chemin en quatre moments qu’en trois, et par conséquent deux fois plus de chemin en 12 moments qu’en 9, quatre fois plus en 16 moments qu’en 9 et ainsi de suite ».
La dernière proportion est en effet problématique dans la mesure où on la veut conforme à un prolongement naturel de la figure: si l'on comprend que le poids franchisse deux fois plus d'espace en 12 moments qu'en 9 (c'est encore la proportion 4 à 3), on ne comprend pas la suivante: quatre fois plus en 16 qu'en 9. En effet, si le premier espace est parcouru en 9 moments, le second l’est bien en 3 moments (le tiers du premier temps), mais, le troisième l’est en 9/5 et le quatrième en 9/7. Ce qui serait conforme à ce que nous avons vu dans les premiers textes.
Or, 9+3+9/5+9/7 ( 15,086 ce qui ferait donc à peu près 15 moments, et non 16, pour quadrupler l’espace parcouru lors de la chute. (figure 1)
Il n’est cependant pas difficile d’interpréter ces proportions en partant du principe : Lorsque l’espace est multiplié par 2, le temps est multiplié par 4/3 et en oubliant en quelque sorte, la figure qui l’a fait naître.
Ainsi, quand l'espace e est doublé, en 2e, alors le temps de parcours t devient 4/3.t. Si l’espace 2e est doublé, en 4e, alors le temps 4t/3 devient (4/3)2 t soit 16t/9. On pourrait même considérer que cette règle s’applique à ces deux coefficients 2 et 4/3 pour n'importe quelle valeur rationnelle de l’exposant k : à toute multiplication de l’espace par 2k, correspond une multiplication du temps par (4/3)k. Telle est l’interprétation selon les puissances. L'exemple donné par Descartes est alors correct, pour k = 2, on a bien un espace quadruplé et des temps dans un rapport 16/9. La figure en triangle ne fonctionne ‘que’ pour des espaces doublés ; à chaque étape, on considère un certain espace et son double.(figure 2). La relecture du passage concerné en est rendue particulièrement claire et satisfaisante même si le rôle de la figure s'en trouve singulièrement diminué.
Il s’agit alors de confronter les deux voies de généralisation qui semblent offertes.
Dans quelle mesure la façon de généraliser la proportion en 4/3 par extension de la figure est-elle légitime ? Les trois premiers textes que nous avons étudiés vont dans ce sens. Dans le passage des Cogationes privatae de 19-21, reprenant synthétiquement son exposé du texte précédent, Descartes élargit la question précisément ainsi : « On demande en combien de temps elle parcourt tel ou tel espace ? » A quoi il ajoute immédiatement qu’il a « résolu la question ». L’argument rappelé est l’adéquation entre les surfaces (triangle et trapèzes) et le « mouvement ». Il est donc légitime de répondre généralement à la question, à l’aide de l’argument strictement (exclusivement) issu de l’analyse de cette figure.
Autrement dit, les surfaces associées à des parcours de chute ‘mesurent’ cette rapidité et donnent les inverses des temps de parcours et on retrouve la même réponse, la même solution qu'au texte n°1, c'est-à-dire la proportion quatre tiers et sa généralisation implicite par la série que nous en avons déduite. Un point un peu délicat est soulevé par une lettre ultérieure, du 18 décembre 1629, où sont calculées les proportions, compte tenu d’une résistance de l’air. L’analyse est conduite selon une succession de minima motus, sur un mode qui semble renforcer lui aussi, la généralisation par extension de la figure. Evoquant à nouveau le résultat acquis pour les deux premiers moments, Descartes ajoute en effet « on peut dire la même chose aux autres moments » (AT1. 88-95)
Au point où nous en sommes, nous pouvons donc soutenir que Descartes (indépendamment de problèmes épistémologiques plus fondamentaux portants sur le statut possible d’une loi quantifiée de la chute) disposait d’une généralisation numérique, directement issue de la mesure des figures, des relations entre les temps et les espaces au cours de la chute et qu’elle était donnée par la série précitée.
Tournons-nous alors vers la généralisation proposée dans ce texte-ci, du 13 novembre 1629, dite selon les puissances.
Plusieurs commentateurs ont estimé que cette généralisation selon les puissances était pertinente. C’est le sens d’une note un peu maladroite, car anachronique, de Tannery, qui construit une fonction exponentielle donnant les espaces par rapport à la variable temps. On connaît sa remarque, faite en commentaire de la lettre en question : « Il aboutit donc à une relation essentiellement différente de celle de Galilée, puisqu’elle reviendrait à considérer l’espace parcouru comme proportionnel, non pas au carré du temps, mais à une puissance du temps dont l’exposant est le rapport de log.2 à log.4/3, c’est-à-dire environ 2,4. »  (A.T.I, p. 75). Il n’est pas difficile de reconstituer le calcul de Tannery. On est toutefois mis en alerte par cette manière de faire quelque peu anachronique qui, on va le voir, peut avoir de sérieux inconvénients.
Pierre Souffrin a repris cette question avec plus de précautions et en respectant les possibilités mathématiques effectives d’alors. Il affirme que « la règle de Descartes (la multiplication par 2 des espaces entraîne la multiplication par 4/3 des temps) est une règle qui permet le calcul des temps pour tous les espaces, bref une loi du mouvement […] cela relève de la pratique des proportions continues ». (com. pers.).
Quoiqu’il en soit pour l’instant, nous trouvons, dans la lettre d’octobre ou novembre 1631 à Mersenne, une confirmation de cette généralisation selon les puissances.
Les proportions qui sont mentionnées dans cette lettre (1/3 I 4/9 I 16/27 I 64/81 &c.), comme ayant déjà été proposées (dans une partie perdue du texte IV?) peuvent s'expliquer ainsi: à partir du résultat principal selon lequel, si a est l'espace parcouru en 1/4 du temps, alors 2a est parcouru en 1/3 du temps, et si l'on appelle f la relation donnant l'espace en fonction du temps, on a
f(4t) = 2.f(3t) et, en choisissant les valeurs adaptées pour t on obtient:
f(1/3) = 2.f(1/4) = 2a
f(4/9) = 2.f(1/3) = 4a
f(16/27) = 2.f(4/9) = 8a
f(64/81) = 2.f(16/27) = 16a
Les proportions donnent donc les temps nécessaires pour les espaces successivement doublés, quadruplés, multipliées par 8, par 16 etc. Cette question trouvera de nouveaux rebondissements dans le texte des Anatomica que nous examinons dans la notice 8.
Nous pouvons alors soutenir que Descartes disposait, en 1629, d’une généralisation selon les puissances de sa règle fondamentale des 4/3.
Dès lors, deux remarques s’imposent. Premièrement, ces deux voies de généralisation sont incompatibles. Elles donnent des résultats différents (quoique numériquement assez proches pour de petites valeurs de n). Les deux généralisations sont de nature tout à fait distinctes. Deuxièmement, force est de constater que, non seulement Descartes ne s’explique pas sur cette incompatibilité, mais il semble que la seconde prenne le pas sur la première, sans que les arguments qui avaient validé celle-ci soient remis en cause. D’avantage : la seconde généralisation s’appuie elle aussi, totalement, sur la genèse du triangle fondamental, or, ce triangle fondamental est obtenu selon des moyens qui valident plutôt la première généralisation « par extension de la figure ».
On pourrait conclure à une indifférence cartésienne face à cette alternative. Elle pourrait s’expliquer ainsi: la première généralisation par prolongement de la figure conduit à une somme divergente irrationnelle, transcendante. La seconde généralisation selon les puissances aboutit à une fonction logarithmique, elle aussi transcendante. Dans un cas, comme dans l’autre, on est en présence d’un résultat qui ne « tombe pas sous la science » et, méconnaissance pour méconnaissance, l’indifférence est de mise.
C’est à cette solution que peut conduire une lecture hâtive d’un important passage de la lettre à Mersenne d’octobre 1631 :  « Mais quand tout cela serait vrai (le vide et la gravité invariable), il n'y aurait point moyen d'expliquer la vitesse de ce mouvement par d'autres nombres que ceux que je vous ai envoyés, au moins qui soient rationnels; et je ne vois pas même qu'il soit aisé d'en trouver d'irrationnels, ni aucune ligne en géométrie qui en explique davantage ».
La remarque de Tannery alimente cette opinion, mais il ne faudrait pas s’y fier trop facilement. Cette manière anachronique de réinterpréter une situation mathématique a pour effet de masquer une différence profonde entre les deux généralisations, différence qui devrait permettre d’échafauder une meilleure hypothèse explicative à l’attitude de Descartes. Une lecture plus attentive de la lettre d’octobre 31 nous autorise à modifier cette conclusion. Une préférence y est clairement donnée à la seconde solution. Les « nombres que je vous ai envoyés » renvoient bien à des proportions selon les puissances. Ce sont les seuls « qui soient rationnels ». C’est en fait assez clair : il y aurait bien un autre « moyen d’expliquer la vitesse de ce mouvement » , mais alors ce ne serait pas en nombres rationnels. C’est bien la série transcendante dérivée de la généralisation par extension de la figure qui est visée ici. Il n’est pas possible d’en « expliquer davantage ».
Il devient alors possible de faire le point ainsi :
La première généralisation débouche sur une série qui ne peut être expliquée en nombres rationnels.
La seconde généralisation débouche, même si ce n’est pas absolument général sur une expression réglée en terme rationnels : à un espace de la forme 2n, elle permet d’associer rigoureusement un temps de la forme (4/3)n. L’exposant peut même être rationnel.
Le caractère transcendant de la seconde généralisation apparaît à partir du moment où l’on décide de construire une fonction continue exprimant les espaces par rapport aux temps ; ce qui n’est pas une question cartésienne ; alors que la nature de la série en est bien une. C’est pourquoi la  faute commise par Tannery  constitue une intéressante leçon d’histoire des sciences puisque son anachronisme empêche de proposer une hypothèse performante de compréhension de l’attitude cartésienne.
Nous avons dès lors une bonne raison  de comprendre la rupture de l’indifférence et le choix de la seconde généralisation. Elle possède, par son caractère rationnel une intelligibilité numérique que n’a pas la première.
Un délicat problème surgit alors puisqu’aucun argument n’est apporté contre la première généralisation ; l’analyse quant à la chose, celle qui dévoile les éléments constitutifs du mouvement de chute, les éléments simples de la question est la même dans les deux cas et devrait plus normalement, plus essentiellement valider la première.
Il y a donc là un geste philosophique de grande conséquence puisque Descartes préfère l’intelligibilité numérique à la vérité selon la chose.
Il reste qu’un noyau commun aux deux démarches demeure, indispensable d’ailleurs ; c’est la proportion des 4/3 qui est donnée par figuration des éléments simples qui déterminent la question ; c’est elle qui se donne à voir, en même temps à la raison et à la vision.

Cinquième texte
Lettre à Mersenne du 18 décembre 1629. A.T.I, 88-95.

Texte partiellement en latin- traduction nouvelle- commentaire.
Dans cette lettre, les passages latins sont insérés dans un texte majoritairement rédigé en français. Nous signalons leurs débuts et leur fin. Nous ne reproduisons que les passages ayant trait au problème que nous discutons dans ce travail, c'est-à-dire la chute des corps.
Premier passage latin, (commençant p.88, ligne 23.)
[...] in qua I° petis quare dicam celeritatem imprimi vt vunum primo momento a grauitate et vt duo 2° momento etc. Respondeo, salua pace, me non ita intellexisse, sed celeritatem imprimi vt vnum primo momento a grauitate, et rursus vt vnum 2° momento ab eadem grauitate etc. Vnum autem Ii momenti et vnum 2i faciunt duo, et vnum 3ii faciunt tria, atque ita crescit in Arithmetica proportione. Hoc autem sufficienter probari putabam ex eo quod gravitas perpetuo comitetur corpus in quo est : neque enim potest grauitas corpus comitari nisi id assidué pellat deorsum. Nam si supponeremus, exempli causa, plumbi massam deorsum delabentem vi gravitatis et, postquam per primum momentum labi cœpit, Deum tollere omnem gravitatem ex plumbo, adeo vt postea massa plumbi non sit magis grauis quam si esset aer aut pluma, perget nihilominus descendere ista massa, saltem in vacuo, quoniam et cœpit moueri, et nulla potest afferri ratio cur desinata , sed non augebitur eius celeritas. Atqui si post aliquod tempus restituat Deus grauitatem isti plumbo ad momentum temporis tantum, | quo elapso rursus eandem subtrahat, nunquid secundo isto momento vis grauitatis tantundem impellet plumbum quantum fecerat I° momento, ac proinde duplicabitur celeritas motus? Idem de reliquis momentis dicere licet. fin du premier passage latin, (p.90, ligne 7)
Second passage latin (commence p.91, l.1)
Supponit, vt ego, id quod semel moveri cœpit, pergere sua sponte, nisi ab aliqua vi externa impediatur, ac proinde in vacuo semper moueri, in aere vero ab aeris resistentia paulatim impediri. Supponit prœterea vim grauitatis in corpore existentem singulis momentis imaginabilibus de nouo impellere corpus vt descendat, ac proinde in vacuo semper augeri celeritatem motus ea proportione quam supra dixi, et quam eo proponente ante undecim annos quœsiui habeoque adhuc inter mea aduersaria illius temporls annotatam a. Addit autem de suo quae sequuntur, nemlpe quo celerius descendit aliquod corpus, tanto magis aerem eius motui resistere : quod sane hactenus mihi dubium erat, nunc autem, | re diligenter examinata, verum esse cognosco. Hinc autem sic concludit : cum vis celeritatem faciens crescat semper (qualiter, nempe singulis momentis vnitate, resistentia vero aeris celeritatem impediens semper in(qualiter, nempe I° momento sit quidem minor vnitate, sed aliquantulum augeatur secundo momento et sequentibus, necessario, inquit, eo vsque perueniet vt ista resistentia sit (qualis impulsui grauitatis, tantumque detrahat ex celeritate quantum vis grauitatis adiungit. Eo autem momento quo id contigit, certum est, inquit, pondus celerius non descendere quam momento proxime pr(cedenti ; sed neque sequentibus momentis celeritas augebitur vel minuetur, quia deinceps aeris resistentia manet aequalis — eius enim inaequalitas veniebat ab inaequalitate celeritatis quae sublata est, — vis autem grauitatis semper aequaliter pellit.
fin du second passage latin (p.91, l.27)
Troisième passage latin (commence p.93, l.7)
Ac proinde nunquam tantum detrahitur de celeritate per resistentiam aeris quantum est accrescit per gravitatem, quae nempe singulis momentis illam auget vnitate. Hoc fiet eodem modo si dicas aeris resistentiam tollere 2/3 vel ¾ celeritatis etc. Non autem potes dicere eam I° momento tollere unitatem celeritatis ; ita enim pondus non descenderet. | Ac proinde Mathematicé demonstratur illud quod Becmannus scripserat esse falsum.. fin du troisième passage latin, (p.94, l.7)




Variante donnée par Clerselier (Tome I, page 482-483)
Pour la proportion de vitesse selon laquelle descendent les pois, ie vous en ay écrit ce que i'en sçauois en la precedente, saltem in vacuo, sed in aëre ce que vous a mandé Monsieur Beecman est veritable, pouruû que vous suposiez que plus le pois descend vite, plus l'air luy resiste ; car si cela est, de quoy ie ne suis pas encore du tout assuré, enfin il arriuera que l'air empeschera iustement autant que la pesanteur adjouteroit de vitesse au mouuement in vacuo, et cela estant, le mouuement demeurera tousiours égal ; mais cela ne se peut determiner que de la pensée ; car en pratique il ne le faut pas espérer. Et pour vos experiences, qu'vn pois, descendant de cin- 

quante pieds, employe autant de temps a parcourir les vingt-cinq derniers que les premiers, salvâ pace, ie ne me sçaurois persuader qu'elles soient iustes : car in vacuo, ie trouue qu'il ne mettra que le tiers du temps à parcourir les vingt-cinq derniers, et ie ne puis croire que l'empeschement de l'air soit si notable qu'il rende cette différence-là imperceptible. Ie suis, etc. Fin du fragment Clerselier, tome I, page 504. — Clerselier, tome II, page 482-483, donne, au contraire, tout d'abord une traduction en français du passage latin ( jusqu'à dicere licet, p. 9o,l. 7).

Tannery signale une longue addition dans l’édition Clerselier après descenderet : Et mesme il n'y a personne qui ne sçache qu'vne quantité peut estre accruë à l'infiny sans qu'elle puisse iamais deuenir égale a vne autre, qui toutesfois ne s'augmentera point. Par exemple si vous adjoustez à l'uvnité vn demy, et puis l/4 et puis 1/8, et ainsi tousiours la moitié de ce que vous y auiez adjoûté la derniere fois, vous pourrez augmenter cette vnité à l'infiny, sans toutesfois qu'elle soit iamais égale au nombre de deux. Or il faut necessairementqu'il auouë que c'est en cette proportion que l'air resiste, à sçauoir en proportion geometrique auec la vitesse du mouuement. Car si c'est cette vitesse qui est cause de cette augmentation de resistance de l'air, il faut necessairement qu’à proportion que la vitesse croistra, la résistance de l’air croisse aussi, et non pas ni plus, ni moins. Posons donc qu’une boule descende dans l’air et que la force de la pesanteur la pousse au premier moment comme un, la 

vitesse seroit aussi alors comme un dans le vuide ; mais posons que la résistance de l’air oste tousiours, comme ie viens de dire, la moitié de la vitesse, il s'ensuit que la vitesse de la descente ne sera que comme vn demy au premier moment ; mais au second moment la pesanteur pousse derechef le corps graue comme vn, et partant au second moment la vitesse seroit comme 3/2 ou 6/4, si l'air n'aportoit point de resistance. Mais pource que la resistance qu'il apporte en oste encore la moitié, la vitesse ne sera que de ¾ [P. 486] au second moment et au troisiesme de 7/8, au quatriesme de 13/16, et ainsi à l’infiny. Et partant, la vitesse sera toujours augmentée ; et jamais comme j’ai dit, la résistance de l’air ne diminuera d’autant la vitesse, qu’elle reçoit d’accroissement par la pesanteur ; à cause que ce qui est ainsi osté n’égalera jamais l’unité que la pesanteur lui donne à tous les moments.
Texte avec Traduction des passages latins
Il ne me reste plus que quelque chose touchant la vitesse du mouvement que vous dite que le Sr. Becman vous a mandé, ce qui viendra mieux en répondant à votre dernière (le latin commence ici) dans laquelle premièrement vous demandez pourquoi je dis que la vitesse est imprimée pour un au premier moment par la gravité et pour deux au deuxième moment, etc. Je réponds que ce n'est pas ainsi que j'ai entendu les choses mais que la vitesse est imprimée pour un par la gravité au premier moment, et pour un à nouveau, au deuxième moment, par cette même gravité etc. De fait, un du premier moment et un du 2e font deux, et un du 3e font trois, et cela va croissant ainsi suivant une proportion arithmétique. Je pensais que cela était suffisamment prouvé du fait que la gravité accompagne sans discontinuer le corps dans lequel elle se trouve: en effet la gravité ne peut accompagner un corps si elle ne le pousse pas continuellement vers le bas. En effet, si nous supposons, à titre d'exemple, une masse de plomb tombant de par la force de gravité vers le bas, et, après qu'elle a commencé à tomber, durant le premier moment, que Dieu retire du plomb toute sa gravité, en sorte que la masse du plomb ne soit pas plus lourde, dès lors, que si elle était de l'air, ou une plume, cette masse continuera malgré tout à descendre, du moins dans le vide, vu qu'elle a commencé à se mouvoir et qu'on ne peut donner aucune raison pour qu'elle cesse [note en latin de Descartes en marge: Il convient qu'on se souvienne de supposer que ce qui est mû une fois, se meut toujours dans le vide, et que je tâcherai de démontrer dans mon traité] toutefois sa vitesse n'augmentera pas. Mais si après un certain temps, Dieu restitue à cette masse de plomb sa gravité pour un (certain moment de temps, qui, étant écoulé, il retranche à nouveau celle-ci), la force de gravité n'entraînera-t-elle pas le plomb au second moment de la même manière qu'elle le faisait au premier moment, la vitesse du mouvement ne sera-t-elle pas doublée? On peut dire la même chose en ce qui concerne les autres moments. (le latin s'arrête ici) D'où il suit certainement que, si vous laissiez tomber une boule (latin) dans un espace plan vide (fin du latin) de 50 pieds de haut, que de quelle matière qu'elle put être, elle emploierait toujours justement trois fois autant de temps aux 25 premiers pieds qu'elle ferait aux 25 derniers. Mais dedans l'air, c'est tout autre chose, et pour revenir au Sr Beecman, encore que ce qu'il vous a mandé soit faux, a savoir qu'il y ait un lieu auquel un poids qui descend étant parvenu, poursuit par après toujours d'égale vitesse, toutefois il est vrai qu’après certain espace, cette vitesse s’augmente de si peu qu'elle peut être jugée insensible, et je m'en vais vous expliquer ce qu'il veut dire, car nous en avons autrefois parlé ensemble.
(latin à vérifier ; il existe une traduction Clerselier) Il suppose, comme moi, qu’une fois qu’un corps commence à être mû, il poursuit de son propre mouvement, s’il n’en est pas empêché par quelque force extérieure, et par conséquent, dans le vide, il se meut perpétuellement, tandis que dans l’air, il est empêché peu à peu par la résistance de l’air. Il suppose en outre qu’une force de gravité présente dans le corps entraîne de nouveau aux différents moments imaginables le corps à descendre et par conséquent, même dans le vide, la vitesse de mouvement augmente toujours suivant la proportion dont j’ai parlé plus haut, et sur cette proposition, j’ai encore des notes dans mes controverses de cette époque. Il ajoute, quant à lui, les choses qui suivent, à savoir que tout corps descend d’autant moins vite que la résistance de l’air à son mouvement est grande : ce dont, en ma raison, je doutais bien jusqu’ici mais qu’après examen attentif de la question, je reconnais à présent être vrai. Il en tire cette conclusion : étant donné qu’une force causant une vitesse croît toujours de manière égale, c’est-à-dire d’une unité à chaque moment, la résistance de l’air freinant la vitesse de façon toujours inégale, c’est-à-dire qu’elle est au premier moment nettement plus petite que l’unité, mais augmente un peu au second moment ainsi qu’aux suivants, elle parviendra nécessairement, dit-il à ce que cette résistance soit égale à l’impulsion de la gravité, et ôtera à la vitesse autant que ce que lui apporte la force de gravité. Au moment où elle y arrive, il est certain, dit-il, qu’un poids ne descende pas plus vite qu’au moment immédiatement précédent mais par ailleurs, que la vitesse, aux moments suivants, n’augmentera ni ne diminuera, puisqu’après, la résistance de l’air reste égale - en effet, l’inégalité de celle-ci, venait de l’inégalité de la vitesse qui a été ôtée - tandis que la force de gravité pousse par contre de manière toujours égale. (fin du latin)
Il y a grande apparence en cette raison, & il la pourrait persuader à ceux qui ne sauraient pas l'arithmétique, mais il faut que savoir compter pour trouver qu'elle est fausse. Car si la résistance de l'air s'accroît à mesure que la force de la vitesse s'accroît, elle ne ce peut donc accroître plus que cette vitesse s'accroîtra, c'est-à-dire que suivant la même proportion. Faisons donc qu'au commencement du mouvement, la vitesse serait un, si l'air n'empêchait point, mais qu'elle n'est qu'un demi; c'est donc à dire que la résistance de l'air est aussi 1/2. Or, au second moment que la pesanteur ajoute encore une unité à la vitesse, elle sera 3/2, si l'air ne l'empêchait derechef; mais de combien empêchera-t-il? On peut bien dire que ce ne sera pas tant à proportion que la première fois, à cause qu'il est déjà ému, & en ce cas, la proportion dudit Sr sera d'autant moins véritable. Mais on ne peut pas dire qu'il empêche plus qu'à même proportion que la première fois; c'est-à-dire qu'il diminuera la moitié de la vitesse, qui de 3/2 ne sera que 3/4, & au troisième moment la pesanteur y ajoutera encore une unité à la vitesse, qui serait 7/4 sans que l'air en ôte la moitié & reste 7/8. Et ainsi de suite aux autres moments l'empêchement de l'air sera 15/16, 31/32, 63/64, 127/128, 255/256 et sic in infinitum, où vous voyez que ces nombres croissent toujours et toutefois sont toujours moindres que l'unité.
(le latin reprend) Et en conséquence, il ne peut jamais être ôté de la vitesse par la résistance de l'air autant que ce qui lui est rajouté par la gravité, qui accroît en effet celle-ci d'une unité à chaque moment. Cela se passera de cette façon si l'on dit que la résistance de l'air ôte 2/3 ou 3/4 à la vitesse etc. On ne peut cependant pas dire que celle-ci au premier moment ôte une unité à la vitesse; ainsi en effet le poids ne descendrait pas. Il est ainsi démontré mathématiquement que ce qu'avait écrit Becmann est faux (le latin s'arrête). [une longue addition est ajoutée ici ] Et même, il n’y a personne qui ne sache qu’une quantité peut être accrue à l’infini sans qu’elle puisse jamais devenir égale à une autre, qui toutefois ne s’augmentera point. Par exemple, si vous ajoutez à l’unité un demi, et puis ¼ et puis 1/8 et ainsi toujours la moitié de ce que vous y aviez ajouté la dernière fois, vous pourrez augmenter cette unité à l’infini, sans toutefois qu’elle soit jamais égale au nombre de deux. Or il faut nécessairement qu’il avoue que c’est en cette proportion que l’air résiste, à savoir en proportion géométrique avec la vitesse du mouvement . Car, si c’est cette vitesse qui est cause de cette augmentation de résistance de l’air, il faut nécessairement qu’à proportion que la vitesse croîtra, la résistance de l’air croisse aussi, et non pas ni plus ni moins. Posons donc qu’une boule descende dans l’air et que la force de la pesanteur la pousse au premier moment comme un, la vitesse serait aussi alors comme un dans le vide ; mais posons que la résistance de l’air ôte toujours, comme je viens de dire, la moitié de la vitesse, il s’ensuit que la vitesse de la descente ne sera que comme un demi au premier moment, mais au second moment, la pesanteur pousse derechef le corps grave comme un, et partant, au second moment, la vitesse serait comme 3/2 ou 6/4 si l’air n’apportait point de résistance. Mais parce que la résistance qu’il apporte en ôte encore la moitié, la vitesse ne sera que de ¾ au second moment, et au troisième, de 7/8, au quatrième de 15/16 et ainsi à l’infini. Et partant, la vitesse sera toujours augmentée ; et jamais, comme j’ai dit, la résistance de l’air ne diminuera d’autant la vitesse, qu’elle reçoit d’accroissement par la pesanteur, à cause que ce qui est ainsi ôté n’égalera jamais l’unité que la pesanteur lui donne à tous les moments [fin de l’addition]
Et si vous lui écrivez, je ne serais pas marri que vous lui mandiez, afin qu'il apprenne à ne se glorifier mal à propos des plumes d'autrui.
Mais pour revenir au poids qui descend, on peut voir par ce calcul que l'inégalité de la vitesse est très grande au commencement, mais qu'elle est presque insensible par après & de plus qu'elle se rend plus tôt insensible en un poids de matière légère, qu'elle ne fait en un de matière pesante, ce qui peut faire trouver vos deux expériences véritables quoad sensum. Car suivant ce calcul, & prenant un fort petit espace pour un moment, on pourra trouver qu'une boule qui descend de 50 pieds va presque trois fois aussi vite au 2d pouce qu'elle faisait au premier et toutefois qu'au 3eme pied elle ne va pas sensiblement plus vite qu'au second et qu'elle ne mettra pas plus de temps à descendre les 25 premiers pieds que les 25 derniers, sinon de ce qu'il en faut pour descendre 2 ou 3 pouces, ce qui sera du tout insensible. Or cela arrivera principalement si le poids est de matière légère, mais si fer ou plomb, l'inégalité du mouvement ne sera pas si tôt insensible; toutefois en une grande hauteur on ne la pourra guère mieux apercevoir parce que le mouvement durera moins que d'une matière légère.

Commentaire
Comme pour la lettre précédente, nous sommes à une période d’élaboration des concepts fondamentaux de la physique cartésienne. Un principe est progressivement dégagé, qui deviendra le principe d’inertie, alors que l’impossibilité du vide et, partant, la théorie de la pesanteur et de la matière subtile ne pas encore établies (il est probable que ceci sera réalisé courant 1631). Le statut indéterminé du phénomène de chute des graves s’affirme ici. La fréquence des interventions et des réflexions de Descartes en fait une question importante et travaillée dans le cours même de ses travaux concernant sa physique ; toutefois ni son Monde, ni ses Principes ne lui feront de place. C’est au moins le signe de ce que les frontières de la physique de Descartes, telle qu’il l’explicitera dans ses grands traités ne sont pas stabilisées.
La première partie du texte, depuis « Il ne me reste plus .... jusqu'à... aux 25 derniers », revient, une fois encore, sur l’analyse de la chute dans une situation où un mouvement commencé se poursuit toujours dans le vide si aucune cause ne vient l’arrêter  et où l’on peut considérer un espace vide ainsi qu’une force de gravité constante. Le résultat qui va être rappelé n’est pas un pur exercice géométrique portant sur des hypothèses fictives ; il s’agit bien d’un résultat de physique, dans des conditions où l’on a fait abstraction de la résistance de l’air. Descartes détaille - parce qu’il semble ne pas avoir été bien compris par Mersenne - la notion de vitesse imprimée au mobile elle était déjà employée dans la lettre du 13 novembre). Cette vitesse n’est pas la même que la vitesse globale, pré-classique qui mesure le mouvement accompli. Il s’agit d’une notion qui comporte un élément dynamique provisoirement introduit par Descartes : c’est l’effet de la gravité sur le mobile. La cause, constante, qu’est la gravité produit un effet cumulatif dans le mobile ; cet effet est la vitesse impresse, c’est la force de mouvement, à chaque moment. Cette manière justifie entièrement le diagramme en lignes verticales de la lettre précédente du 13 novembre 1629. Pour se faire encore mieux comprendre, Descartes évoque un schéma ‘en escalier’ (fig. 1) où l’on verrait comment s’accumulent les effets successifs de la gravité constante. C’est ainsi qu’on aurait une progression des vitesses en proportion arithmétique. Il convient de retenir cette qualification : dans l’hypothèse d’une gravité constante, la vitesse (dans le vide) est donnée par une progression arithmétique.
Cette théorie de la vitesse impresse et de la pesanteur devra, dit Descartes, « être démontrée dans mon traité ». On sait qu’il en ira bien autrement et que le principe d’inertie, tel qu’il est ici introduit, sera confirmé dans le Monde, alors que la pesanteur sera entièrement repensée sur des bases mécaniques et non dynamiques.
Quoiqu’il en soit, la très habituelle proportion des quatre tiers est reconduite comme « certaine » , quelle que soit la matière du corps en chute (ce qui constitue une généralisation, et autorise à concevoir une loi générale). « [La boule] emploierait toujours justement trois fois autant de temps aux 25 premiers pieds qu’elle ferait aux 25 derniers ».

La seconde partie introduit la résistance de l’air. Dans la lettre précédente, cet examen était déclaré impossible car trop complexe. Le point de vue est maintenant différent. Descartes annonce au moins un résultat, qui va être établi par des moyens strictement mathématiques : si la chute a lieu dans l’air, la vitesse du mobile admet une valeur limite qu’elle ne peut dépasser. Cette proposition est l’occasion d’une polémique contre Beeckman. En effet, s’ils sont tous deux d’accord sur l’existence de cette valeur limite, Beeckman affirme que le mobile atteint cette vitesse limite alors que Descartes montre qu’il s’en approche indéfiniment sans l’atteindre.
Une curieuse remarque cartésienne mérite qu’on s’y arrête : évoquant les hypothèses beeckmanienne, il écrit : « Il ajoute, quant à lui, les choses qui suivent, à savoir que tout corps descend d’autant moins vite que la résistance de l’air à son mouvement est grande : ce dont, en ma raison, je doutais bien jusqu’ici mais qu’après examen attentif de la question, je reconnais à présent être vrai ». Comment Descartes a-t-il pu douter de ceci ? Il y a deux manières de songer à ce qui peut alimenter ce doute.
D’abord en estimant que, plus le corps va vite, plus il ‘fend l’air’ facilement et donc moins celui-ci résiste, on obtiendrait une résistance inversement proportionnelle à la vitesse impresse.
Ou alors, seconde manière, en estimant que, malgré la résistance de l’air, le mouvement de chute est cependant accéléré ? Intuitivement, rien ne vient interdire ceci, mais - à partir du moment où la résistance va être reconnue comme proportionnelle à la vitesse impresse - il ne sera plus possible de douter ; en effet, la combinaison d’une progression arithmétique due à la gravité constante et d’une progression géométrique due au frein de l’air induit nécessairement une convergence de la vitesse, soit un « point d’égalité ». On remarquera en outre - et ceci est de la plus grande importance - que l’hypothèse de la relation de type géométrique entre le frein de l’air et la vitesse impresse est admise naturellement, comme s’il ne pouvait y en avoir d’un autre type. La seule autre relation concevable eût été de type arithmétique, mais il eût fallu que la cause soit constante ; or, il va de soi que la résistance ne peut être indifférente à la vitesse. Il n’y a donc aucun doute dans l’esprit de Descartes quant au genre de relation qu’entretient la résistance de l’air et la vitesse du mouvement.
Mais Beeckman conclut mal, souligne Descartes, parce qu’il ne connaît pas assez bien les mathématiques. La faute de Beeckman est équivalente à celle qui consiste à croire que si l’on ajoute indéfiniment des quantités, la somme est nécessairement infiniment grande ; ce qui constitue une grossièreté élémentaire.
La véritable analyse est donnée à partir de « Car si la résistance de l'air s'accroît... » jusqu'à « ... ce qu'avait écrit Becmann est faux ». Elle s’appuie sur un exemple dans lequel la raison de la progression géométrique est ½. Au second moment, la vitesse impresse est bien ¾ et, au neme moment, la vitesse impresse vaut (2n - 1)/2n de la vitesse limite. Il est parfaitement possible de généraliser en prenant un coefficient différent de ½, à condition qu’il ne soit pas supérieur à 1, puisque, dans ce cas, un effet serait supérieur à la cause qui le produit. Le détail du calcul qui restitue cette généralisation est proposé dans la notice du texte XIII.
L’analyse cartésienne du mouvement de chute dans un milieu résistant permet, à la marge, comme en passant, de renforcer l’une des branches de l’alternative que nous avons discutée dans la notice précédente. L’extrapolation de la proportion 4/3 doit-elle se faire ‘selon la généralisation des figures’ ou alors ‘selon les proportions généralisées’ ; le présent exposé cartésien valide plutôt la première solution. Ce n’est pas un automatisme algorithmique qui permet de passer du second moment au troisième, mais bien la reprise en compte exhaustive des éléments simples qui constituent la question : la pesanteur qui ajoute « une unité de vitesse » , la résistance qui retranche sa part, la pesanteur précédemment imprimée qui perdure… Ceci peut se traduire par un calcul (ce que nous avons d’ailleurs tenté), mais qui ne fait que mesurer, à chaque pas, la surface qui sert de mesure au nième mouvement élémentaire.
Un sérieux problème se pose cependant, que Descartes aborde un peu allusivement sur la fin de ce passage. Dans le cas de la chute dans le vide, la diminution des minima ne changeait pas la forme générale du diagramme représentant la chute ; en d’autres termes, si l’on considérait deux fois plus de minima, chacun deux fois moindre, le diagramme circonscrivait le même triangle-limite. Dans le cas présent, ceci n’est plus vrai et la conséquence en est que Descartes ne peut plus passer à une description continue de la chute. Il doit se contenter d’affirmer que la suite discrète des vitesses impresses est convergente. Que se passe-t-il si les minima sont de plus en plus petits ? la vitesse-limite est atteinte très rapidement. Voici qui explique le passage final : « Car suivant ce calcul, & prenant un fort petit espace pour un moment, on pourra trouver qu'une boule qui descend de 50 pieds va presque trois fois aussi vite au 2d pouce qu'elle faisait au premier et toutefois qu'au 3eme pied elle ne va pas sensiblement plus vite qu'au second et qu'elle ne mettra pas plus de temps à descendre les 25 premiers pieds que les 25 derniers, sinon de ce qu'il en faut pour descendre 2 ou 3 pouces, ce qui sera du tout insensible. » Passage délicat puisqu’il revient à dire que la chute est pratiquement uniforme, dès le début. L’absence de procédures d’intégration, ou plus précisément de fonctions intégrables rend cette conclusion inévitable.


Chapitre III. « Place aux Principes »



Troisième période : 1631-1634
textes VI,VII et VII – textes IX, X, XI et XII


Sixième, septième et huitième textes
trois extraits de lettres à Mersenne de 1631 et 1632

VI- Lettre à Mersenne d'octobre 1631. A.T.I, p.221-222.

[…] Je viens maintenant à vos autres lettres. Toutes les questions que j'y trouvent se rapportent à deux choses: à savoir, à supputer la vitesse d'un poids qui descend, & à connaître quelles consonances sont les plus douces.
Pour la façon de supputer cette vitesse que je vous avais envoyée, (ceci se rapporte au texte IV) vous n'en devez faire nul état, car elle suppose deux choses qui sont certainement fausses: à savoir, qu'il se puisse trouver un espace tout à fait vide, & que le mouvement qui s'y fait soit au premier instant qu'il commence le plus tardif qui se puisse imaginer et qu'il s'augmente toujours par après également. Mais quand tout cela serait vrai, il n'y aurait point moyen d'expliquer la vitesse de ce mouvement par d'autres nombres que ceux que je vous ai envoyés, au moins qui soient rationnels; et je ne vois pas même qu'il soit aisé d'en trouver d'irrationnels, ni aucune ligne en géométrie qui en explique davantage. Pour ce qui est de la vraie proportion selon laquelle s'augmente ou diminue la vitesse d'un poids qui descend dans l'air, je ne la sais pas encore. Il me faudra dans peu de jours expliquer la cause de la pesanteur dans mon traité; si en l'écrivant, je trouve quelque chose de cela, je vous le manderais […]

VII-Lettre à Mersenne d'octobre ou novembre 1631. A.T.I, p.228 et 230-232.
[…] Je ne me dédis point de ce que j'avais dit touchant la vitesse des poids qui descendraient dans le vide: car, supposant le vide, comme tout le monde l'imagine, le reste est démonstratif; mais je crois qu'on ne saurait supposer le vide sans erreur. Je tâcherais d'expliquer quid sit gravitas, levitas, duritas&c. dans les deux chapitres que je vous ai promis de vous envoyer dans la fin de cette année; c'est pourquoi je m'abstiens de vous en écrire maintenant […]
Vous me demandez en troisième lieu, comment se meut une pierre in vacuo; mais pource que vous avez oublié à mettre la figure, que vous supposez être à la marge de votre lettre, je ne puis bien entendre ce que vous proposez et il ne me semble point que les proportions que vous mettez, se rapportent à celles que je vous ai autrefois mandées, ou au lieu de &c. comme vous m'écrivez, je mettais 1/3 I 4/9 I 16/27 I 64/81 &c., ce qui donne bien d'autres conséquences. Mais afin que ce que je vous avais autrefois mandé touchant cela eut lieu, je ne supposais pas seulement le vide, mais aussi que la force qui faisait mouvoir cette pierre agissait toujours également, ce qui répugne apertement aux lois de la Nature: car toutes les puissances naturelles agissent plus ou moins selon que le sujet est plus ou moins disposé à recevoir leur action; & il est certain qu'une pierre n'est pas également disposée à recevoir un nouveau mouvement ou une augmentation de vitesse, lorsqu'elle se meut déjà fort vite, & lorsqu'elle se meut fort lentement. Mais je pense que je pourrais bien maintenant déterminer à quelle proportion s'augmente la vitesse d'un pierre qui descend, non point in vacuo, mais in hoc vero ære. Toutefois, pource que j'ai maintenant l'esprit tout plein d'autres pensées, je ne me saurais amuser à le chercher, & ce n'est pas chose de grand profit […]

VIII- Lettre à Mersenne 5 avril 1632 A.T.I, p.243.
[…] Comme ce que j'ai maintenant entre les mains, après la description générale des astres, des cieux & de la terre, je ne m'étais point proposé d'expliquer autre chose touchant les corps particuliers qui sont sur la terre, que leurs diverses qualités, au lieu que j'y mets quelques unes de leurs formes substantielles, et tâche d'ouvrir suffisamment le chemin, pour faire que par la succession de temps on les puisse connaître toutes, en ajoutant l'expérience à la ratiocination […]


Commentaire des textes VI, VII et VIII
Même si l’explication de la gravité fournie par Descartes dans le Monde et dans les Principes ne constitue pas l’objet de notre étude, il nous faut faire état de ces trois lettres destinées à Mersenne, qui marquent avec une grande précision le cadre proprement cartésien d’une étude de la chute des corps. Ces documents dressent en effet un bilan critique des tentatives précédentes pour quantifier ce phénomène, ainsi qu’un programme très clair qui, pour l’essentiel, correspond à celui que propose le Discours de la méthode et qui déterminera l’articulation des seconde et troisième parties des Principes de la philosophie. Il conviendra donc d’apprécier les contributions ultérieures de Descartes sur la question qui nous occupe en fonction de leur inscription dans ce programme, explicitement prescrite dans les textes de 1631.
Les difficultés soulevées par le passage de la lettre à Mersenne d’octobre 1631 que nous avons retenu tiennent, pour l’essentiel, à ce qu’il doit remplir une double fonction.  D’une part, Descartes se prononce sur les résultats qu’il a déjà communiqués à Mersenne, sous le double point de vue de leurs rapports aux vrais principes des choses matérielles et de leur intérêt propre ; d’autre part, le plan de ce passage correspond implicitement à celui qui devra organiser l’exposé de la vraie physique. Considérons d’abord le bilan critique des premières tentatives — Mersenne ne doit pas communiquer la proportion que Descartes lui a soumise, puisqu’elle “ suppose deux choses qui sont certainement fausses ”, savoir, le vide et la gravité constante. Cette seconde condition est donnée sous la forme du caractère uniforme de l’augmentation de vitesse ; on sait que cette variation n’est obtenue que dans le cas d’une cause constante de l’accélération, c’est-à-dire d’une gravité constante. La condition évoquée par Descartes est bien équivalente à celle-ci. On a vu, en introduction, que l’abstraction de l’un ou l’autre de ces paramètres était absolument inadmissible en bonne physique cartésienne ; toutefois, l’important est ici de constater que ces hypothèses fausses n’interdisent pas d’examiner pour lui-même le résultat proposé par Descartes, puisqu’il ne fut pas acquis au prix d’une erreur de raisonnement — le document suivant, daté d’octobre ou novembre 1631, précise d’ailleurs que “ supposant le vide (…), le reste est démonstratif ”. Or, en elle-même, cette démonstration de la loi de la chute présente l’intérêt d’être la seule qui satisfasse aux conditions d’intelligibilité prescrites par Descartes en mathématiques, c’est-à-dire qu’elle seule procède par nombres rationnels. Il va de soi qu’il faudra évaluer les limites de cette appréciation — même si l’on ne s’arrête pas au fait que la proportion cartésienne pourrait donner lieu à une relation exponentielle, on ne pourra s’épargner de s’interroger, comme Descartes lui-même dans cette première lettre, sur la nature de la quantification à laquelle l’étude complète de la chute des graves pourrait effectivement donner lieu. Il nous semble qu’implicitement, cette lettre fait bien sa place à une telle investigation.
Il faut revenir sur l’injonction à ne « pas faire état de ses supputations ». Elle ne détermine pas un renoncement, clair, net, définitif à celles-ci, puisqu’il continue d’argumenter en leur faveur. En effet, la fausseté du résultat avancé dans la lettre du 13 novembre 1629 ne réside pas dans ses méthodes démonstratives internes, ni dans les calculs mais dans ses hypothèses admises.
Les méthodes démonstratives et les déductions antérieures sont à nouveau défendues « quand tout cela serait vrai ». Autrement dit, l'exercice de mathématisation réalisé alors demeure valide, en soi. Descartes a donné, dans la lettre du 18 décembre 1629, des proportions liant le temps et l'espace parcouru : « Le poids descendra trois fois plus vite de B à C que de A à B: c'est-à-dire que s'il descend en trois moments de A en B, il descendra de B en C en un seul moment; c'est-à-dire qu'il franchira deux fois plus de chemin en quatre moments qu'en trois, et par conséquent deux fois plus de chemin en 12 moments qu'en 9, quatre fois plus en 16 moments qu'en 9 et ainsi de suite.»
On le sait, si l'espace e est fonction du temps t, alors on peut tirer des résultats cartésiens une relation f du genre f(4) = 2 f(3) qui permet effectivement d'avoir une série infinie de rapports temps-espaces. Mais, dit Descartes il est malaisé « d'en trouver d'irrationnels, ni aucune ligne de Géométrie qui en explique davantage ». Il est vrai que la relation est de type transcendante, c'est une ligne exponentielle qui ‘expliquerait’ davantage. Le calcul de P. Souffrin semble donc pertinent selon lequel la ‘loi générale’ qui pourrait être générée par la proportion cartésienne est de type L = k.Tv, ce que Descartes aurait pu apercevoir.
Or Descartes ne veut ou ne peut utiliser ces objets en Géométrie. Nous touchons du doigt une véritable raison de son renoncement; elle ne tient pas seulement à la complexité du réel mais aussi aux limites qu'il impose aux mathématiques pour qu'elles soient certaines et bien fondées. On peut en effet douter qu'il ne puisse trouver la relation exponentielle, grâce à la méthode des proportions continues (quelques années plus tard, il viendra à bout du problème de De Beaune).
Pour l’instant, notons que la lettre à Mersenne d’octobre 1631 se conclut sur le programme des recherches futures, qui suspend l’établissement de la vraie proportion à l’explication mécanique du phénomène. Celle-ci n'est d’ailleurs pas supposée entraîner à coup sûr la formulation d’une loi de la chute des graves qui, au regard d’une rédaction de la vraie physique, ne sera acquise que comme un supplément : “ si en l’écrivant, je trouve quelque chose de cela, je vous le manderais ”, dit seulement Descartes. Il est vrai qu’en 1631, Descartes ne paraît pas exclure que ces deux entreprises pourront être menées de front. Quoiqu’il en soit, cette disjonction, apparemment surprenante, s’explique mieux si nous considérons un second niveau d’organisation du passage, selon lequel le programme de la physique cartésienne n’intervient pas seulement dans les dernières lignes (après “ Pour ce qui est de la vraie proportion… ”) mais détermine l’ensemble du texte.
On peut en effet reconnaître dans cette lettre une articulation en deux moments qui trouvera son expression typique dans le passage de la deuxième à la troisième partie des Principes de la philosophie : d’abord l’établissement des principes des choses matérielles, savoir, les corps et le mouvement qui, selon cette lettre, sont incompatibles avec les deux hypothèses qui supportaient les premières tentatives de Descartes, puis l’explication des phénomènes proprement dits — ainsi la gravité. S’agissant des principes, la supposition du vide représente bien sûr l’erreur la plus frappante, puisqu’elle atteste l’obscurité d’une conception répandue de l’espace ; mais l’hypothèse de la gravité constante trahit, chez les auteurs qui l’admettent, une profonde incompréhension de la nature du mouvement communiqué, seule cause des changements qui surviennent entre les corps, comme le soulignera plus tard (dans les Anatomica) la mention d’une force de gravité qui agirait comme une âme. Ainsi la critique de ces anciennes hypothèses vaut-elle pour une mention implicite des principes de la physique. D’une façon plus générale, la remise en cause du cadre conceptuel qui permettait d’établir la proportion des 4/3 se développe selon le programme d’une physique dont le Monde fournira la première version. Cette analogie structurelle commande du reste toute cette séquence de la correspondance : le vide est dénoncé dans la deuxième lettre comme une croyance commune (“ comme tout le monde l’imagine ”, précise Descartes), et c’est en ce sens qu’il sera à nouveau critiqué dans les ouvrages ultérieurs (en particulier dans les Principes) ; et ce document inscrit bien l’explication des diverses déterminations des corps attestées dans l’expérience (gravitas, levitas, duritas), au programme de la physique. C’est alors au Monde que songe Descartes, et non (prioritairement) à une nouvelle formulation de la loi de la chute des graves.
Il nous semble en outre possible de pousser cette analogie un peu plus loin, afin de mieux comprendre la place que Descartes paraît encore ménager à ses premiers résultats dans la lettre d’octobre 1631. De même que l’établissement des vrais principes n’interdit pas de formuler des règles du choc qui, cependant, ne pourraient s’appliquer que dans le vide, parce qu’il s’agit alors de se prononcer sur des conditions abstraites de quantification, qui ne délivrent pas la vérité du phénomène — de même, la critique “ certaine ” de la première loi de la chute ne nous épargne pas de nous prononcer sur la nature des relations qu’elle permettait de définir. Descartes précise en effet que la solution proposée à Mersenne permettait de traiter le problème en nombres rationnels ; mais le dossier n’est pas clos, et nous pourons lire l’extrait des Anatomica que nous avons choisi comme une étude fictive des conditions de quantification de la chute des graves, analogue dans son statut aux textes consacrés aux règles du choc, mais dont le bilan sera négatif. Aucune proportion mathématique vraiment intelligible ne nous permet en effet, en régime cartésien, d’exprimer les caractéristiques de ce mouvement particulier. Si le bilan du texte des Anatomica, et des nombreux passages qui vont dans le même sens, avait été plus concluant, les Principes auraient peut-être fourni, après les règles du choc, une loi de la chute. Cette lecture impose de réviser l’interprétation commune du renoncement cartésien, qui ne tiendrait pas seulement, dans le cas de la chute des graves, à la complexité du réel, mais bien aux limites des mathématiques cartésiennes.
Il faut donc considérer que, dès 1631, l’explication du phénomène de la gravité, qui reposera sur des conclusions certaines, n’est pas solidaire de la formulation d’une loi de la chute, dont l’examen des conditions de production reste alors en suspens. Il ne nous semble donc pas du tout évident que l’inachèvement de la physique, mentionné dans la lettre à Mersenne du 5 avril 1632, puisse désigner tous les secteurs qui n’ont pas encore fait l’objet d’une mise en équation. Cet extrait atteste surtout que le programme d’une explication bien fondée des phénomènes, dont nous avons relevé les attendus dans les jugements contemporains de Descartes sur la loi de la chute proposée à Mersenne, est alors conçu dans ses principaux développements. La “ description générale des astres, des cieux et de la terre ” correspond exactement aux “ premiers et plus ordinaires effets qu’on [peut] déduire de ces causes ” (Discours de la méthode, p.64), c’est-à-dire des principes des choses matérielles. Les explications qui concernent sur “ les corps particuliers qui sont sur la terre ” et sur “ leurs formes substantielles ” seront fournies selon des procédures explicitées dans le Discours à propos des mêmes objets, savoir, en recourant ࠓ plusieurs expériences particulières ” (ibid.). Or c’est bien “ en ajoutant l’expérience à la ratiocination ”, selon cette lettre, qu’on pourra, après Descartes, achever l’édifice de la physique. Il nous semble alors parfaitement clair que ces compléments désignent avant tout les conclusions particulières (analogues à celles produites dans la troisième partie des Principes de la philosophie) qui, rigoureusement déduites des principes de la mécanique, s’accorderont de plus avec les phénomènes. Et Descartes ne semble pas songer à une autre tâche, lorsqu’il nous fournit quelques indications précises sur le travail dont ses neveux devront se charger : les expériences “ sont telles, et en si grand nombre, que ni mes mains, ni mon revenu, bien que j’en eusse mille fois plus que je n’en ai, ne sauraient suffire pour toutes ” (Discours, p.65).
Ces lettres à Mersenne, qui enregistrent la séparation d’une explication de la chute des graves et de la mise en équation de ce phénomène, n’interdiront pas à Descartes de revenir sur l’étude des conditions de cette quantification, ou de traiter des cas particuliers ; mais elles attestent l’inscription du débat sur la loi de la chute sous l’horizon propre de la physique cartésienne. Elles imposent, en particulier, de ne pas chercher dans les contributions ultérieures de Descartes sur ce problème les compléments auxquels il fait allusion lorsqu’il parle de l’inachèvement de sa physique.

neuvième, dixième, onzième et douzième textes
Quatre extraits de lettres à Mersenne de 1632 et 1634

IX- Lettre à Mersenne novembre ou décembre 1632 A.T.I, p.261.
[…] Pour ce que vous me mandez du calcul que fait Galilée, de la vitesse que se meuvent les corps qui descendent, il ne se rapporte aucunement à ma philosophie, selon laquelle deux globes de plomb, par exemple l'un d'une livre & l'autre de cent livres, n'auront pas même raison entre eux, que deux de bois, l'un aussi d'une livre & l'autre de cent livre, ni même que deux aussi de plomb, l'un de deux livres & l'autre de deux cents livres qui sont des choses qu'il ne distingue point, ce qui me fait croire qu'il ne peut avoir atteint la vérité.
X- Lettre à Mersenne avril 1634 AT.I, p.287-288
[…] Pour les expériences que vous me mandez de Galilée, je les nie toutes et je ne juge pas pour cela que le mouvement de la terre en soit moins probable. Ce n’est pas que je n’avoue que l’agitation d’un chariot, d’un bateau ou d’un cheval, ne demeure encore en quelque façon dans la pierre, après qu’on l’a jetée, étant dessus ; mais il y a d’autres raisons qui empêchent qu’elle n’y demeure si grande. Et pour le boulet de canon tiré du haut d'une tour, il doit être beaucoup plus longtemps à descendre que si on le laissait tomber de haut en bas; car il rencontre plus d'air en son chemin, lequel ne l'empêche pas seulement d'aller parallèlement à l'horizon, mais aussi de descendre.
XI- Lettre à Mersenne 15 mai 1634 AT.I, p.297-298
Si on jette une balle perpendiculairement de bas en haut, le mouvement imprimé en elle par cette action finira au moment qu'elle commencera de redescendre; mais si on la jette un peu à côté du Zénith comme d'A vers B,& et qu'elle redescende suivant la ligne BCD, en sorte que BC soit ligne courbe & CD ligne droite, il ne finira qu'au point C & si toute la ligne BCD est courbe, il ne finira point jusque à terre.
Et si poussez une balle de haut en bas, son mouvement imprimé par votre action ne finira point qu'elle ne soit du tout arrêtée par la terre ou qu'elle n'ait passé bien loin au delà de son centre.
Une balle jetée d'a en c & d'a en e décrit bien deux lignes abc et ade qui sont de même genre, mais non pas pour cela toutes semblables ni de même espèce et je n'ai encore jamais examiné quelles lignes se peuvent être.
XII- Lettre à Mersenne 14 août 1634, A.T.I, p.303-306
[…] Le sieur Beecman vint ici samedi au soir et me prêta le livre de Galilée; mais il l'a emporté à Dort ce matin, en sorte que je ne l'ai eu entre les mains que 30 heures. Je n'ai pas laissé de le feuilleter tout entier, et je trouve qu'il philosophe assez bien du mouvement, encore qu'il n'y ait que fort peu de choses qu'il en dit que je trouve entièrement véritable; mais, à ce que j'en ai pu remarquer, il manque plus en ce où il suit les opinions déjà reçues qu'en ceux où il s'en éloigne. Excepté toutefois de ce qu'il dit du flux et reflux que je trouve qu'il tire un peu par les cheveux. Je l'avais aussi expliqué en mon Monde par le mouvement de la terre mais en une façon toute différente de la sienne. je veux toutefois remarquer que j'ai rencontré en son livre quelques - unes de mes pensées comme, entre autres, deux que je pense vous avoir autrefois écrites. La première est que les espaces par où passent les corps pesants quand ils descendent, sont les uns aux autres comme les carrés des temps qu'ils emploient à descendre, c'est-à-dire que si une balle emploie trois moments à descendre depuis A jusque à B, elle n'en emploiera qu'un à le continuer de B jusque à C, etc., ce que je disais avec beaucoup de restrictions, car en effet, il n'est jamais entièrement vrai comme il pense le démontrer.

Commentaire des trois Premières lettres
Les trois courts extraits IX, X et XI peuvent être commentés dans un cadre général commun. Nous avons en effet quelques-uns des passages les plus caractéristiques parmi ceux qui permettent d’opposer Descartes et Galilée. Le moment est au demeurant très particulier si l’on considère les états respectifs des élaborations cartésiennes et galiléennes sur la chute des graves, et plus généralement sur la nature du mouvement local. Le choc est vif : Descartes vient tout juste de mettre au point sa doctrine mécaniste de la gravité alors même que Galilée publie, dans le Dialogo, sa première grande synthèse concernant le « fait général de la chute des corps ». Il est presque impossible d’être face à une plus nette opposition théorique.
Texte IX.
Selon Descartes, la chute n’est pas concevable indépendamment du milieu résistant, du mécanisme associant la matière subtile en mouvement et la matière même du corps grave. Pour Galilée - au contraire pourrait-on dire - la chute est un objet rationnel, précisément par l’abstraction que l’on y fait de la résistance du milieu. Il n’est dès lors pas étonnant que les expressions cartésiennes qualifiant la manière galiléenne soient à ce moment extrêmement critiques : « le calcul de Galilée [...] ne se rapporte aucunement à ma philosophie » et encore « il ne peut avoir atteint à la vérité ». Cette courte période où Descartes est en possession de sa théorie de la pesanteur et où il n’a pas encore pris connaissance directement des écrits galiléens est la plus nettement non - galiléenne de Descartes et l’on y trouve comme un réveil de l’antique opposition entre les deux thèses qui soutenaient, pour la première qu’il ne pouvait y avoir de mouvement sans milieu porteur et résistant et pour la seconde que le mouvement ne pouvait se comprendre sans le vide, nécessaire pour en former le concept.
On doit souligner que dans la lettre de novembre - décembre 1632, d’une part, la « vérité » du phénomène de chute des graves n’est pas réputée inaccessible et que, d’autre part, elle est susceptible d’être exposée par un calcul, par la raison des vitesses de chute. Autrement dit, une loi du mouvement est au programme. Elle ne peut qu’être complexe puisque ce qui - chez Galilée et en conséquence de la considération d’un « fait général de la chute des graves » - peut être abstrait, à savoir le poids, la matière, la forme etc., bref toutes ces différences qui n’empêchent pas l’analogie entre les diverses chutes concrètes, sont - au contraire - des causes qui déterminent la chute cartésienne. Non seulement l’identité de matière pour des volumes différents ne garantit pas l’analogie des vitesses de chute, mais le rapport des poids ne se retrouve pas dans le rapport des vitesses. Le mécanisme et la doctrine des chocs entre la matière subtile et les éléments constitutifs des corps en chute sont si complexes que les effets de mouvement ne sont pas simplement proportionnels, ni à la densité, ni à la masse.

Texte X
Dans ce passage d’avril 1634, on lit tout d’abord l’expression d’une réelle faiblesse lorsque Descartes rejette et nie les expériences de Galilée, négligeant et rejetant ainsi des données qui semblent réfuter sa propre doctrine. Comment ne pas relever une autre défaillance - conceptuelle celle-ci - de la pensée cartésienne en cette occasion : face à l’interprétation d’un fait expérimental (le tir d’un boulet) qui fait appel à la composition des mouvements, il concède que « l’agitation (et non pas le mouvement ou la vitesse) demeure encore en quelque façon en la pierre après qu’on l’a lâchée ». Voici qui convient mal à une doctrine du mouvement intégrant pleinement le principe d’inertie. On y reconnaît certaines notions appartenant à, ou dérivées de, la doctrine de l’impetus. La cinématique cartésienne n’est pas encore complètement mûre ou aboutie. A cette détermination essentielle du mouvement (qui doit s’analyser comme résultant de mouvements composés), Descartes concentre son opposition à Galilée sur la résistance du milieu, selon un schéma partiellement inexact, mais assez clair : faire abstraction de cette résistance supposerait un mouvement dans le vide. C’est l’occasion pour réaffirmer le primat de l’espace, de la trajectoire sur le temps dans l’analyse du mouvement : c’est parce que la trajectoire oblique ou horizontale est indiscutablement plus longue (selon l’espace parcouru) que la résistance est plus grande et, qu’en conséquence, le temps de chute est lui-même supérieur au temps d’une chute à trajectoire verticale. Cette observation vient à point nommé pour rappeler comment - dans la tradition des théoriciens ou adeptes de l’impetus - le temps ne jouait pas le rôle d’une grandeur indépendante ou séparée. Argumenter comme le fait Descartes amène donc à replacer la résistance du milieu comme élément (comme cause) central et impossible à abstraire dans l’analyse de la chute (et des trajectoires balistiques) ainsi qu’à éviter de tirer toutes les conséquences du principe d’inertie dans la composition des mouvements.
Texte XI
Le passage de la lettre du mois suivant est plus explicite encore quant aux conceptions cartésiennes de cette période. Il n’est pas en possession de la règle de composition des mouvements ni d’une balistique géométrique, telle que Galilée la développe déjà et telle qu’il l’exposera lui-même neuf ans plus tard. L’extrait fait la part belle aux conceptions en vigueur chez les auteurs les plus inventifs du XVIe siècle, sur la nature du mouvement des projectiles : on a des échos peut-être venus de Piccolomini, de Scaliger, de Tartaglia ou même plus anciens, de Léonard de Vinci. La notion de « mouvement imprimé » qui périt lorsqu’il est opposé à l’action de la gravité est clairement inspirée de la [ou des] doctrine(s) de l’impetus. Il convient cependant de souligner un important point de rupture avec ces auteurs : l’action n’a pas à se poursuivre ou à se maintenir lors du mouvement ; ce n’est pas elle qui s’éteint ou s’amenuise mais le mouvement qu’elle a provoqué, alors que chez Piccolomini, comme le relèvent A. Koyré et P. Costabel, « l’action du moteur crée dans le corps mû un impetus accidentellement acquis. L’impetus du mouvement violent produit dans le mobile une certaine légèreté, ce pourquoi il ne tombe pas, du moins tant que continue en lui l’action de cet impetus. Lorsque celui-ci s’alanguit et s’évanouit, ou lorsque la véritable pesanteur le surpasse, le corps cesse de se mouvoir violemment et, par son mouvement propre, tend vers le bas ». Peut-être est-on, en ce passage plutôt indécis, conceptuellement plus proche de la motio de Jules Scaliger, qui est imprimée dans le mobile et peut s’y conserver lors même que le moteur primitif est écarté. Cette motio, comme l’impetus, se fatigue et périt au cours du mouvement.
Enfin, les deux dessins accompagnant ce passage méritent un commentaire particulier. Dans le premier, on a affaire à une trajectoire qui peut être bi-partite puisqu’il est possible (sans que l’on sache pourquoi ni dans quelles conditions), la partie CD, soit la fin du mouvement, corresponde à une trajectoire rectiligne. La règle en est que la trajectoire est courbe tant que les effets de l’action de jet ne sont point terminés. Dans le second dessin, les trajectoires sont entièrement courbes. Comment ne pas songer à l’évolution qui, un siècle auparavant, à conduit Tartaglia de son premier traité de balistique (Nova Scientia de 1537) dans lequel les trajectoires sont tripartites avec une fin rectiligne, jusqu'à son second traité (Quesiti et inventioni de 1546) dans lequel la trajectoire des projectiles est curviligne (sauf évidemment le cas du jet vertical). On serait en présence d’une tentative - renouvelée certes - qui reproduirait certains résultats obtenus par les adeptes de la doctrine de l’impetus, qui cherchaient à concilier, à composer, les mouvements violents et naturels. Le rôle du mouvement naturel (concept bien évidemment non-cartésien) serait tenu par le mouvement provoqué par la percussion des éléments de matière subtile.
Alexandre Koyré a eu l’occasion de remarquer la présence, dans la théorie cartésienne, de certaines analogies avec ces théories de l’impetus. Evoquant le cas de Léonard de Vinci, il écrit ainsi « Léonard nie que l’impetus se perde dans le choc et admet, au contraire, un principe de conservation dont l’objet est mal défini, mais dont l’analogie avec la conception de Descartes est évidente ».

On a enfin une caractérisation géométrique concernant les trajectoires balistiques; les courbes sont du même genre, sans doute parce qu’elles dépendent du même nombre de causes, reçues comme dimensions du problème ; mais ces causes pouvant être d'intensité différente, les trajectoires sont en général d’espèce distincte ; comme des paraboles qui n’auraient pas la même courbure. Descartes affirme ne pas savoir s’il s’agit justement de paraboles, point sur lequel il reviendra quelques années plus tard.
Commentaire du texte XII
Une sorte de ligne de partage des eaux est franchie au cours de trois mois qui séparent les textes précédents de celui-ci, du 14 août 1634. Un revirement ou une évolution brusque est en effet repérable dans ces quelques lignes. Comment pourrait-on négliger que ce virage a justement lieu après que Descartes a pris connaissance du Dialogo ? Il y a comme une intensité, une fièvre cachée derrière le mot feuilleté qu’emploie Descartes pour rendre compte de sa lecture ; il a eu le livre Galilée en main trente heures et nous laisse à penser que ces trente heures ont été toutes consacrées à cette occupation. Alors, en effet, le changement est sensible.
Evolution quant à l'appréciation générale de la doctrine galiléenne qui “philosophe assez bien du mouvement”. Evolution quant à ce en quoi consiste la vérité en cette question : la proportion du mouvement de chute ne peut être “entièrement vraie”, mais elle participe du dévoilement de cette vérité. Evolution enfin en ce qui concerne la prise en compte d’un fait général de la chute des corps pesants puisque c’est bien la justesse de la loi concernant un tel phénomène général qu’il accepte de discuter et même de s’approprier. Les empêchement dus à la résistance de l’air et à la gravité variable ne sont pas des obstacles absolus, mais relatifs, à la découverte des justes équations du mouvement. Ces données ne contredisent pas la proportion annoncée, elles en restreignent l’exactitude, la précision. Elles ne constituent pas des interdictions, mais des restrictions.
Une difficulté sérieuse se présente pourtant à la lecture de cette lettre du 14 août 1634. Assez bien disposé envers Galilée, Descartes prétend avoir rencontré dans le Dialogo, « quelques unes de [ses] pensées ». Le premier exemple de pensée commune qu’il évoque est la loi de la proportion double des espaces parcourus par rapport aux temps employés. On serait bien en peine de trouver un texte contenant une pareille proposition, qu’il « pense avoir autrefois écrite ». L’affaire prend un tour encore bien plus étonnant lorsqu’il ajoute que cette loi est équivalente (équivalence établie par un très explicite « c’est-à-dire ») à sa traditionnelle proportion des 4/3. Comment comprendre que Descartes puisse tenir ces deux propositions pour équivalentes ? Pour Galilée (et Descartes l’a bien lu ), si les espaces sont en raison 2, les temps sont en raison (2 ; pour Descartes, si les espaces sont en raison 2, les temps sont en raison 4/3. On pourrait tenter de soutenir que, puisque (2 = 1,414 et 4/3 = 1,333, puisque la loi n’est qu’approchée, il est possible d’assimiler ces deux résultats. Cette hypothèse est si grossièrement fausse mathématiquement, plus encore dans la mesure où il ajoute un « etc. » qui vise à généraliser les proportions, qu’on a bien de la peine à s’en satisfaire. On pourrait encore y trouver comme la preuve du peu d’intérêt que Descartes accorde désormais à la question ; les textes qui constituent la suite du corpus que nous analysons invalident cette interprétation. Le fait est là : jusqu’en août 1634, Descartes aura soutenu sa proportion des 4/3 ; désormais, il va reprendre à son compte la loi galiléenne. Le moment où se fait le basculement est évidemment délicat, le virage difficile à négocier ; consciemment ou non, Descartes laisse ou fait cohabiter les deux proportions incompatibles avant d’abandonner la première. Nous verrons que ce changement s’accompagnera de transformations importantes concernant les concepts physiques en jeu, en particulier celui de vitesse. Une constatation s’impose : les13 et 14 août 1634, la lecture du Dialogo l’a fortement impressionné, à tout le moins sur plusieurs questions de physique ; il n’a pas pu échapper à notre auteur que son rival italien venait de bouleverser les bases de la doctrine du mouvement des graves ; il sait en prendre acte.



Chapitre IV. « Un essai de formalisation»



Texte XIII , extrait des Anatomica du 5 février 1635 . A.T.XI, p. 629-631




Texte en latin - traduction nouvelle - commentaire.

Si quod corpus ageretur sivi impelleretur ad motum semper aequali vi, nempe a mente sibi indita (nulla enim alia vis talis esse potest), & moveretur in vacuo, semper a principio motus sui ad medium spatii percurrendi triplo plus temporis poneret, quam a medio ad finem, & sic consequenter. Quia vero nullum tale vacuum dari potest, sed quodcumque spatium existat, semper aliquo modo resistit : ita semper resistentia crescit in proportione geometrica ad celeritatem motus, adeo ut eo tandem deveniatur, ut non amplius sensibiliter augeatur celeritas, possitque determinari quaedam alia celeritas finita, cui nunquam erit aequalis.
Quae a vi gravitatis impelluntur, cum ista gravitas non agat semper aequaliter tanquam anima, sed sit quoddam aliud corpus quod jam est in motu, nunquam potest rem gravem tam celeriter impellere quam ipsum movetur, sed etiam in vacuo minueretur semper impulsus in proportione geometrica. Quae vero minuuntur a duabus causis vel pluribus in proportione geometrica, minuuntur ab illis omnibus tanquam ab una causa quae illa minueret in proportione geometrica, semperque redit eadem supputatio. Item etiam , si quae alia causa retineat vi arithmetica, consurget semper diminutio in proportione geometrica. Si vero aliqua alia vis impellat semper in proportione geometrica simul agens cum ea quae geometrice minuitur, eo tandem pervenietur, ut geometrica cesset, solaque arithmetica remaneat, augeatque motum, ut dictum est facturam animam in vacuo. Quod denique si crescat impulsus geometrice & minuatur vel crescat etiam arithmetice, crescet celeritas in infinitum proportione composita, quae potest explicari per spatia ope trianguli & uncae lineae proportionalium comprehensa hoc modo (fig. I) addendo, vel hoc (fig. II) detrahendo, ita ut celeritas primi temporis sit ad celeritatem secundi, ut spatium abc ad spatium aced.


Traduction
Si un corps était poussé ou recevait une impulsion d’une force toujours égale qui lui soit appliquée par un esprit (en effet, aucune autre force ne peut être telle), et qu'il soit mû dans le vide, il mettrait toujours trois fois plus de temps du début de son mouvement jusqu'au milieu de l'espace à parcourir que du milieu à la fin, et ainsi de suite.
Or, parce qu’aucun vide de cette sorte ne peut être donné et que, quelque soit l'espace existant, il résiste toujours en quelque manière: ainsi la résistance croît-elle toujours en proportion géométrique à la vitesse du mouvement, de telle sorte qu’on en arrive enfin au point que la vitesse ne soit pas augmentée sensiblement davantage et qu'il soit possible de déterminer une certaine autre vitesse finie, à laquelle elle ne sera jamais égale.
Comme la gravité ne pousse pas toujours également, comme le ferait l’âme, les corps qui sont soumis à l’impulsion de la force de cette gravité, mais comme il y a un certain autre corps déjà en mouvement, non seulement il ne peut jamais mettre un grave en mouvement aussi rapidement qu'il est mû lui-même, mais même dans le vide l'impulsion serait toujours diminuée en proportion géométrique.
Or, les choses qui sont diminuées par deux ou plusieurs causes en proportion géométrique, sont diminuées par toutes celles-ci comme par une cause unique qui les diminuerait en proportion géométrique, et le calcul donne toujours la même chose.
De même encore, si une autre cause retient certains corps par une force arithmétique, il en résultera toujours une diminution en proportion géométrique.
Or, si une autre force donne une impulsion en agissant toujours en proportion géométrique simultanément avec celle qui est diminuée géométriquement , on en arrivera enfin que la Géométrique cesse et que seule l’Arithmétique demeure et qu’elle augmente le mouvement comme on a dit que l’âme le ferait dans le vide (note de Leibniz : ainsi donc la force de l’âme ,dans le vide est arithmétique).
Et, si enfin l’impulsion croît géométriquement et si le mouvement est encore diminué ou s’il croît arithmétiquement, la vitesse croît à l’infini en proportion composée qui peut être expliquée par l’espace compris du triangle et de la ligne courbe (proportionalium), prises ensemble de cette manière (fig.1) en additionnant et (fig.2) en retranchant, de telle façon que la vitesse du premier temps soit à la vitesse du second comme l’espace abc est à l’espace aced.



Commentaire
Le manuscrit latin de ce passage est de Leibniz ; il fait partie d’une collection de 15 feuillets, copiés par Leibniz, lors de son séjour parisien de 1675-1676. Les originaux de Descartes sont perdus mais les historiens n’en mettent pas l’authenticité en doute. Une première édition est due à Foucher de Careil qui les publia en 1859-1860 dans les deux volumes de ses Œuvres inédites de Descartes ; Paris, Auguste Durand, in-8, CXVII-158 et XXII-238 pages, 1859/1860. L’édition a été révisée notamment par Charles et Henri Adam en 1894. La traduction qu’en donnait Foucher de Careil souligne des défauts de son édition latine ; elle est désordonnée et, de plus, parfois incomplète. Tel est le cas des feuillets sur lesquels est écrit le passage que nous discutons ici (feuillets 13 et 14 du manuscrit de Leibniz). La datation ne paraît pas faire grande difficulté puisque le feuillet 13 comporte une première indication (5 Feb. 1635) et une seconde en marge (1635). Pour plus de précision sur ces éditions, voir l’avertissement in A.T. X, p.207-212 et l’avertissement in A.T. XI, p.545-548 où l’on peut lire, en particulier, que, selon Foucher de Careil, il s’agirait de notes que Descartes paraît avoir écrites lui-même à ses Principes de Philosophies.
Une remarque préliminaire s’impose immédiatement. Il s’agit d’une note d’étude privée, non communiquée à des correspondants. Il va de soi que ceci, loin de lui ôter toute valeur, montre ce à quoi songeait et travaillait Descartes dans le secret de sa chambre. Toutefois, ce statut de texte d’exercice autorise sans doute son auteur à adopter des hypothèses et à poursuivre des raisonnements qui prendraient difficilement place, en l’état, dans sa physique.
Analyse du texte
Descartes y considère à la suite sept situations, soumises, à chaque fois, à des hypothèses assez précises qui déterminent le mouvement d’un corps grave. Les informations qui concernent les premières de ces situations fixent clairement le cadre de l’examen : il est question de la chute sous l’effet de la pesanteur. On va voir que le degré de possibilité physique et phénoménale des conditions fixées est variable de l’une à l’autre de ces situations et cette variation constitue l’un des problèmes à résoudre pour atteindre une compréhention satisfaisante du texte.
Il nous a paru possible de constituer un modèle mathématique unique – et de fait cohérent – pour interpréter les sept cas envisagés par Descartes. On mesure le bénéfice tiré de ce résultat puisqu’il rend intelligible un texte dont l’importance demeurait masquée par l’hermétisme qui semblait le caractériser. Deux questions exigent cependant des réponses convaincantes, sous peine d’invalidation de notre procédé. Ces méthodes mathématiques ont-elles un sens pour Descartes ? A cette première question, nous pouvons sans réserve répondre affirmativement, puisque les ressources mises en œuvre ne sortent pas des possibilités effectives d’alors, ce qui se montrera lorsque nous donnerons le calcul. En effet, les ressources mises en œuvre ne sortent pas des possibiltés ordinaires dont disposait alors un algébriste. La seconde question consiste à savoir s’il est concevable que l’architecture fondamentale de ce texte soit restée implicite, voire cachée par son auteur ? Là encore, nous pouvons acquiescer. D’abord parce que –comme on va le constater – les formes mathématiques en question ne soient pas susceptibles de produire des mesures, des prévisions, des réultats quantifiés que l’on pourrait confronter à des expérimentations. Certains paramètres y sont inassignables, comme la vitesse de la matière subtile, ou les coefficients d'activité des causes invoquées (résistance, impulsion...). On ajoutera qu’il n’est pas exceptionnel que Descartes annonce tel résultat, sans en donner les calculs justificatifs. Ajoutons que ce modèle mathématique semble bien être le seul susceptible de fournir un cadre d’interprétation à ce texte. C’est l’une des raisons qui nous ont conduit à ne pas suivre les analyses d’Alan Gabbey, aussi fines soient-elles. Elles devaint être trop ‘adaptées’, subir trop de distorsions, pour réussir à couvrir l’ensemble des situations repérables dans le passage.
Un seul et unique moyen mathématique est en effet requis pour interpréter le passage. Il s’agit de l’explicitation d’une suite récurrente linéaire. Soit un = aun-1 + b et a>0 ; on utilise le résultat selon lequel : un = an-1u1 + b/(1-a). (1 – an-1)
Si, aujourd’hui, on démontre ceci par un changement du type vn= un + b/(1-a), ou par récurrence, il est clair, qu’en 1635, on pouvait parfaitement suivre la voie suivante :
u1 = u1 donné
u2 = au1 + b
u3 = au2 + b = a2 u1 + ab + b 
un = an-1u1 + b(1+a+a2 +…an-2) = an-1u1 + b/(1-a). (1 – an-1) cqfd
Il n’y à donc aucun inconvénient ou obstacle à convoquer ici ce résultat pour éclairer ce difficile passage des Anatomica.
Le ressor principal de notre description réside dans l’idée suivante : comme dans tous les textes sur le sujet, depuis les années 1618-1619, la vitesse vn, au nième moment, se forme par adjonction de la vitesse acquise vn-1 et de l’impulsion nouvelle (qu’on pourra noter In), ceci, éventuellement corrigé par la résistance. Il y a bien une règle de formation récurrente des vitesses aux étapes successives. C’est parce qu’on considère l’analyse du mouvement, d’abord au nineau des momenta que les impulsions, les vitesses, les résistances sont rendues homogènes et qu’elle sont suceptibles d’addition, de mise en rapport et peuvent être affectées de coefficients communs.
Selon les cas, nous aurons à considérer les grandeurs suivantes :
La première impulsion donnée par la matière subtile, au corps dont on étudie la chute, au premier moment de son mouvement. Nous la noterons i. Cette grandeur i pourra, sans inconvénient être prise pour la vitesse au premier moment, puisque rien d’autre n’entre dans la constitution de celle-ci.
Le coefficient de diminution de l’impulsion en rapport avec la vitesse que nous noterons k. On peut observer que – sous certaines réserve quant à la détermination – et en notant V, la vitesse de la matière subtile, on peut admettre que i = k.V. Il convient évidemment de remarquer l’absence d’un concept vectoriel de la vitesse puisque la direction du mouvement de chute est normale à celle du tourbillon de matière subtile. Il n’empêche, l’impiulsion est bien, directement, fonction de cette vitesse de la matière subtile, puisqu’elle détermine la force centrifuge et la pression qui, dès lors, s’exerce sur le grave. La raison de la résistance au mouvement qui, selon les cas, peut être arithmétique ou géométrique. Nous la noterons r. Le coefficient (introduit au cas n°6) caractérisant l’action d’une force qui augmenterait les impulsions. Nous le noterons l.
Dans ces conditions, voici comment se présente l’examen des sept cas envisagés par Descartes, partition qui se dégage assez spontannément du texte.
1) depuis si un corps jusqu'à ainsi de suite. Descartes évoque la situation du mouvement d’un corps dans le vide qui serait mû par une force constante. On aurait alors une vitesse qui croît arithmétiquement et nous retrouvons la proportion cartésienne habituelle selon laquelle le temps mis à parcourir la première moitié du parcours est triple de celui qu’il faut pour la seconde moitié. On notera qu’un tel mouvement ne peut être produit que a mente et qu’il ne peut être celui d’un corps en chute libre ; toutefois, Descartes reprend bien un résultat obtenu lors de discussions (avec Beeckman) sur la chute des corps.
La notion de vitesse à l’œuvre est pré-classique. Dans le schéma implicite de cette première partie, les vitesses sont comme les aires du triangle au trapèze, correspondants aux deux moitiés de la trajectoire de chute. Si l’on se rapporte tout de suite aux deux schémas de la fin de ce texte, on a exactement la même notion : « la vitesse du premier temps [est] à la vitesse du second comme l’espace abc est à l’espace aced ». Il s’agit bien de la mesure d’un mouvement accompli dans un certain temps.
La vitesse sur la partie de trajectoire considérée est la somme (agrégat) des impulsions (les premières qui ‘continuent d’agir’ et celles - égales - qui sont ajoutées à chaque moment). Ce premier cas revêt bien entendu un caractère exceptionnel du fait qu’il est susceptible d’un lissage, par diminution des minima jusqu’au point. Au cours de l’analyse préalable, les vitesses obéissent à la règle de formation déjà rencontrée : vn = vn-1+i qui s’explicite en vn = ni.
2) depuis Or parce que jusqu'à jamais égale. La force agissant constamment est à nouveau supposée mais elle s’exerce dans un milieu résistant. Descartes affirme que cette résistance croît en proportion de la vitesse du mouvement. Nous ne sommes donc pas encore dans le cas de la chute des corps telle que la conçoit Descartes, à cause, précisément, de l’hypothèse d’une constance de la force agissante. Un modèle de traitement d’une telle situation existe cependant déjà : voici qui nous renvoie aux discussions qu’il eut avec Beeckman en 1629 (en particulier à la lettre du 18 décembre. AT.I, 92-93) où il détaillait ce point pour affirmer (contre Beeckman) que la vitesse s’approchait sans l’atteindre d’une valeur maximale. Dans l’exemple qu’il traitait, les vitesses, aux moments successifs prenaient les valeurs ½ ; ¾ ; 7/8 ; 15/16 ; 31/32 etc. Si l’on conçoit une suite Vn formée des vitesses aux n minima motus, il est conforme aux déclarations cartésiennes que Vn est une série géométrique convergente.
Si l’on cherche à bâtir un schéma de formation du mouvement lors des moments qui se succèdent, conforme à l’analyse des textes précédents, on doit commencer par observer que la grandeur appelée résistance doit être homogène à la grandeur vitesse, puisqu’elles ont raison l’une à l’autre.
Au premier moment, on aurait une impulsion-vitesse que l’on compte pour 1 à laquelle il faut retrancher une résistance proportionnelle. Si l’on adopte la valeur ½ pour raison, comme dans l’exemple de Descartes, on obtient, au premier moment 1 - ½ = 1/2
Au second moment, cette impulsion se maintient, à laquelle on doit en ajouter une autre, identique, qui s’agrège à la précédente (ce qui ferait une vitesse égale à 1+1/2); mais il faut leur retrancher une résistance, proportionnelle à la vitesse du mouvement. On obtient: 1 + 1/2 -1/2 (1 +1/2) = ½ +1/4 = 3/4
Au troisième moment, on a ainsi : 1+1/2 + ¼ - ½(1+1/2+¼)=1/2+1/4+1/8 = 7/4
au quatrième, on aura : ½(1 +1/2 + ¼ +1/8) = 1/2 + ¼ + 1/8+1/16 = 15/16
Ce sont bien les valeurs données en 1629 et les vitesses croissent comme une série géométrique convergente vers 1.
D’une façon générale, et en donnant une valeur r quelconque (r>Á>Å>Ì>Ð>ôìôìèâèâèâèÚÒÚèìÆìºìºìôìºì°ìƤôì¤ìºìôì°ì°ì°ìÆìèœè•è•è•è•è• ht C6]ht CCJaJht CCJaJmH sH ht C0JmH sH ht CCJaJmH sH ht CCJaJmH sH ht CCJaJht CCJaJ
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