LES SYSTEMES DE NUMERATION
LES SYSTEMES DE NUMERATION. 1) Base d'un système de numération. La
base d'un système de numération est le nombre de chiffres différents qu'utilise ce
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LES SYSTEMES DE NUMERATION
1) Base dun système de numération
La base dun système de numération est le nombre de chiffres différents quutilise ce système de numération. En électronique numérique, les systèmes les plus couramment utilisés sont : le système binaire, le système octal, le système décimal et le système hexadécimal.
Se rappeler que : a0 = 1.
a) Système décimal
Cest le système de numération décimal que nous utilisons tous les jours. Cest le système de base 10 qui utilise donc 10 symboles différents : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.
Un nombre N (entier positif) exprimé dans le système de numération décimale est défini par la relation ci-dessous :
N = an * 10n + an-1 * 10n-1 .............. + a0 * 100 (où an est un chiffre de rang n)
Exemple : N = (1975)10
N = 1 * 103 + 9 * 102 + 7 * 101 + 5 *100
Les puissances de 10 sont appelés les poids ou les valeurs de position. Le poids est
égal à la base élevée à la puissance de son rang.
UnitéDizaineCentaineMilliers10*Milliers100*MilliersChiffrea0a1a2a3a4a5Rang012345Poids100101102103104105
Exercice :
* N = (6281)10 =
* N = (1967)10 =
* N = 2 * 104 + 8 * 103 + 4 * 102 + 2 * 101 + 9 *100 =
b) système binaire
Le système binaire est le système de base 2, cest à dire qui utilise deux symboles différents : le 0 et le 1. Chacun deux est appelé bit (contraction de binary digit) ou élément binaire.
Dans ce système, le poids est une puissance de 2.
Exemple : N = (10110)2
N = 1 * 24 + 0 * 23 + 1 * 22 + 1 * 21 + 0 * 20
N = (22)10
* Puissance de 2 :
N01234567891011121314152n124816326412825651210242048409681921638432768
* Définitions :
Triplet : nombre binaire formé de 3 éléments binaires.
Quartet : nombre binaire formé de 4 éléments binaires.
Octet (byte) : nombre binaire formé de 8 éléments binaires.
Mot (word) : nombre binaire formé de 16, 32 ou 64 éléments binaires.
L.S.B. : bit le moins significatif ou bit de poids faible (élément le plus à droite dun nombre binaire).
M.S.B. : bit le plus significatif ou bit de poids fort (élément binaire le plus à gauche dun nombre binaire)
* Notations des valeurs binaires :
Un nombre binaire peut être précédé du signe % ou suivi de lindice de base (2) ou dun B.
Exemple : % 01000110
(1000110)2
01000110 B.
* Cadrage dun nombre :
Cest le nombre déléments binaires pris pour représenter un intervalle de valeurs.
Les éléments binaires les plus significatifs sont situés à droite, les valeurs les moins significatives sont situées à gauche et sont toutes à 0.
Exemple : % 00011011 nombre représenté sur un octet (8 bits)
% 0000000000011011 nombre représenté sur 16 bits.
* Valeurs maximum et minimum représentées sur n bits :
En utilisant n bits, on peut former 2n nombres différents et le plus grand dentre eux est égal à (2n-1).
Exemple : si n = 8 alors : on peut former 256 nombres différents et Nmax = (28 -1) = 255.
La valeur minimum dun entier représenté sur n bits est 0 quelque soit le nombre déléments binaires.
c) système octal
Le système de numération octal est de base 8, ainsi il utilise 8 symboles différents : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 et 7.
Dans ce système, le poids est un puissance de 8.
Exemple : N = (6543)8
N = 6 * 83 + 5 * 82 + 4 * 81 + 3 * 80
N = (3427)10
La succession des nombres par ordre croissant est le suivant :
- 1 chiffre : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 0, 1, 2,
..
- 2 chiffres : 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, 21......, 27, 30, 31....etc.
* puissance de 8 :
n0123458n1864512409632768
* notation dun nombre octal :
Un nombre octal peut être précédé du signe @ ou suivi de lindice de base (8) ou dun Q.
Exemple : @ 1672
(1672)8
1672 Q
d) système hexadécimal
Le système hexadécimal est de base 16 et utilise 16 symboles différents : les dix premiers chiffres décimaux : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 et les 6 premières lettres de lalphabet : A, B, C, D, E, F.
La succession des nombres hexadécimaux par ordre croissant est la suivante :
- 1 chiffre : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, 0, 1, 2, 3.....etc.
- 2 chiffres : 00, 01, 02 ....., 09, 0A, 0B,....., 0F, 10, 11, 12,....., 19, 1A, 1B.....etc.
Les lettres A à F correspondent respectivement aux nombres décimaux 10 à 15.
Dans ce système, le poids est une puissance de 16.
Exemple : N = (AC53)16
N = A * 163 + C * 162 + 5 * 161 + 3 * 160
N = 10 * 163 + 12 * 162 + 5 * 161 + 3 * 160
N = (44115)10
* puissance de 16 :
n01234516n1162564096655361048576
* Notations des valeurs hexadécimales :
Un nombre hexadécimal peut être précédé du signe $ ou suivi de lindice de base (16) ou de la lettre H.
Exemple : $F6B1
(F6B1)16
F6B1 H
Exercice : N = (F5D3)16 =
N = (1F0B)16 =
N = F * 163 + 0 * 162 + 8 * 161 + A * 160 =
* cadrage dun nombre hexadécimal :
Cest le nombre de quartets déléments binaires ou le nombre maximum de chiffres hexadécimaux pris pour représenter un intervalle de valeurs.
Les quartets les plus significatifs du nombre sont situés à droite, les moins significatifs sont situés à gauche et sont tous à 0.
* valeurs maximum et minimum dun nombre hexadécimal :
nombre
de chiffresvaleur
minimumvaleur maximum
base 16 base 1010$F 15200$FF 2553000$FFF 409540000$FFFF 655355000000$FFFFF 10485756000000$FFFFFF 1677721570000000$FFFFFFF 268435455800000000$FFFFFFFF 4294967295
2) Changement de base
tableau de correspondance entre nombre de différentes bases
Décimal (base 10)Binaire (base 2)Octal (base 8)Hexadécimal (base 16)
025 24 23 22 21
0000
0
01000111200102230011334010044501015560110667011177810001089100111910101012A11101113B12110014C13110115D14111016E15111117F1610000201017100012111
b) Conversion dun nombre décimal en un nombre dun système dune autre base
Problème : un nombre N étant donné en base 10, cherchons à lécrire dans un système de base b.
Première méthode : Nous cherchons le plus grand multiple de la plus grande puissance entière de b contenu dans N puis nous la retranchons de N ; il faut recommencer le processus avec le reste obtenu et ainsi de suite.
Exemple : conversion de N=( 3786 )10 en nombre hexadécimal (b=16).
( nous recherchons dabord la plus grande puissance de 16 contenue dans N :
3786 > 256 (162) et 3786 < 4096 (163 )
( nous retenons donc : 162
( recherchons ensuite le plus grand multiple de 16 contenu dans N :
N : 162 = 14.789
N = 14 * 162 + 202
( recommençons avec le reste et ainsi de suite jusquà lobtention dun reste inférieur à 16 :
202 : 161 = 12.625
202 = 12 * 161 + 10
( ce qui donne :
N = 14 * 162 + 12 * 161 + 10 * 160
( ou encore : N = E * 162 + C * 161 + A * 160
Donc : (3786)10 = (ECA)16
Deuxième méthode : Nous divisons le nombre décimal à convertir par la base b et nous conservons le reste. Le quotient obtenu est divisé par b et nous conservons le reste. Sil y a un reste, le résultat est égal à 1 sinon il est égal à 0. Il faut répéter lopération sur chaque quotient obtenu. Les restes successifs sont écrits, en commençant par le dernier, de la gauche vers la droite pour former lexpression de N dans le système de base b.
Exemple : conversion de N = (3786)10 en un nombre du système binaire (b=2).
3786 2 1893 2
0 1893 1 946
946 2 473 2
0 473 1 236
236 2 118 2
0 118 0 59
59 2 29 2
1 29 1 14
14 2 7 2
0 7 1 3
3 2 1 2
1 1 1 1
Le nombre binaire ainsi obtenu est : N = % 010100110111
c) autres conversions
* conversion dun nombre octal en un nombre binaire :
Chaque symbole du nombre écrit dans le système octal est remplacé par son équivalent écrit dans le système binaire à trois bits (voir tableau de correspondance ch.a) ).
Exemple : N = (257)8 = % 010 101 111
2 5 7
* conversion dun nombre binaire en un nombre octal :
Cest lopération inverse de la précédente. Il faut regrouper les 1 et 0 du nombre trois par trois en commençant par la droite, puis chaque groupe est remplacé par le chiffre octal correspondant.
Exemple : N = % 11001101111 = 11 001 101 111
3 1 5 7
N = @ 3157
* conversion dun nombre hexadécimal en un nombre binaire :
Chaque symbole du nombre hexadécimal est remplacé par son équivalent écrit dans le système binaire.
Exemple : N = $ B F 8
N = % 1011 1111 1000
B F 8
* conversion dun nombre binaire en un nombre hexadécimal :
Cest linverse de la précédente. Il faut donc regrouper les 1 et 0 du nombre par quartet en commençant par la droite, puis chaque groupe est remplacé par le symbole hexadécimal correspondant.
Exemple : N = % 100001101111
N = % 1000 0110 1111
8 6 F
N = $ 86F
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