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TD - Physique Appliquée

Exercice 13 :Charge condensateur circuit transistor et Zener ..... bipolaire : les phases du moteur sont alimentées avec des tensions alternativement positives et  ...




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TD Sciences Appliquées STS 2
Les régimes transitoires

 TOC \o "1-3" \h \z  HYPERLINK \l "_Toc418148417" QCM  PAGEREF _Toc418148417 \h 3
 HYPERLINK \l "_Toc418148418" Exercice 1. QCM (Solution 1)  PAGEREF _Toc418148418 \h 3
 HYPERLINK \l "_Toc418148419" Premier ordre  PAGEREF _Toc418148419 \h 5
 HYPERLINK \l "_Toc418148420" Exercice 1. Régime transitoire dans un Hacheur série ()  PAGEREF _Toc418148420 \h 5
 HYPERLINK \l "_Toc418148421" Exercice 2. Charge d'un condensateur initialement chargé (Solution 1)  PAGEREF _Toc418148421 \h 5
 HYPERLINK \l "_Toc418148422" Exercice 3. Equation différentielle des charges d'un condensateur dans circuit RC (Solution 2)  PAGEREF _Toc418148422 \h 5
 HYPERLINK \l "_Toc418148423" Exercice 4. Charge d'un condensateur initialement déchargé (Solution 3)  PAGEREF _Toc418148423 \h 6
 HYPERLINK \l "_Toc418148424" Exercice 5. Equation différentielle de la tension dans circuit RC (Solution 4)  PAGEREF _Toc418148424 \h 6
 HYPERLINK \l "_Toc418148425" Exercice 6. Etablissement du courant dans une charge RL(Solution 5)  PAGEREF _Toc418148425 \h 6
 HYPERLINK \l "_Toc418148426" Exercice 7. Commande d'une bobine de contacteur (Solution 6)  PAGEREF _Toc418148426 \h 6
 HYPERLINK \l "_Toc418148427" Exercice 8. Montée en température d’un thermomètre(Solution 7)  PAGEREF _Toc418148427 \h 7
 HYPERLINK \l "_Toc418148428" Exercice 9. Etude d’un MCC (Solution 8)  PAGEREF _Toc418148428 \h 7
 HYPERLINK \l "_Toc418148429" Exercice 10. Détermination du moment d'inertie d'un MCC (Solution 9)  PAGEREF _Toc418148429 \h 7
 HYPERLINK \l "_Toc418148430" Exercice 11. Etude du remplissage d’une cuve (Solution 10)  PAGEREF _Toc418148430 \h 8
 HYPERLINK \l "_Toc418148431" Exercice 12. Dispositif embrayage-frein (d'après BTS CPI) (Solution 11)  PAGEREF _Toc418148431 \h 8
 HYPERLINK \l "_Toc418148432" Exercice 13. Régimes transitoires de courant dans un moteur pas à pas(Solution 12)  PAGEREF _Toc418148432 \h 9
 HYPERLINK \l "_Toc418148433" Exercice 14. Charge condensateur circuit transistor et Zener(Solution 13)  PAGEREF _Toc418148433 \h 10
 HYPERLINK \l "_Toc418148434" Exercice 15. Montage monostable RC (Solution 14)  PAGEREF _Toc418148434 \h 10
 HYPERLINK \l "_Toc418148435" Exercice 16. Régime transitoire d’un MCC (Solution 15)  PAGEREF _Toc418148435 \h 11
 HYPERLINK \l "_Toc418148436" Exercice 17. Blocage d’un thyristor (Solution 16)  PAGEREF _Toc418148436 \h 11
 HYPERLINK \l "_Toc418148437" Exercice 18. BTS 1995 Nouméa (MCC) (Solution 17)  PAGEREF _Toc418148437 \h 12
 HYPERLINK \l "_Toc418148438" Exercice 19. BTS 1998 Nouméa (Solution 18)  PAGEREF _Toc418148438 \h 12
 HYPERLINK \l "_Toc418148439" Exercice 20. Etude d’un oscillateur (Solution 19)  PAGEREF _Toc418148439 \h 13
 HYPERLINK \l "_Toc418148440" Exercice 21. MCC (Solution 20)  PAGEREF _Toc418148440 \h 13
 HYPERLINK \l "_Toc418148441" Exercice 22. Application du thyristor en continu : TP (Solution 21)  PAGEREF _Toc418148441 \h 14
 HYPERLINK \l "_Toc418148442" Exercice 23. TP (Solution 22)  PAGEREF _Toc418148442 \h 14
 HYPERLINK \l "_Toc418148443" Exercice 24. NAND (Solution 23)  PAGEREF _Toc418148443 \h 15
 HYPERLINK \l "_Toc418148444" Exercice 25. Oscillateur (Solution 24)  PAGEREF _Toc418148444 \h 15
 HYPERLINK \l "_Toc418148445" Exercice 26. BTS ET 2008 metro Régulation de niveau (Solution 25)  PAGEREF _Toc418148445 \h 15
 HYPERLINK \l "_Toc418148446" Exercice 27. MCC Constante de temps d’un moteur de servomécanisme (Solution 26)  PAGEREF _Toc418148446 \h 16
 HYPERLINK \l "_Toc418148447" Exercice 28. MCC transitoire démarrage (Solution 27)  PAGEREF _Toc418148447 \h 16
 HYPERLINK \l "_Toc418148448" Exercice 29. Abaissement de température par ventilation d’une enceinte (Solution 28)  PAGEREF _Toc418148448 \h 16
 HYPERLINK \l "_Toc418148449" Deuxième ordre  PAGEREF _Toc418148449 \h 18
 HYPERLINK \l "_Toc418148450" Exercice 1. 2ème ordre : graphe (Solution 1)  PAGEREF _Toc418148450 \h 18
 HYPERLINK \l "_Toc418148451" Exercice 2. 2ème ordre : RLC série (Solution 2)  PAGEREF _Toc418148451 \h 18
 HYPERLINK \l "_Toc418148452" Exercice 3. Identification d’un 2eme ordre (Solution 3)  PAGEREF _Toc418148452 \h 18
 HYPERLINK \l "_Toc418148453" Exercice 4. Etude d’un amortisseur (Solution 4)  PAGEREF _Toc418148453 \h 19
 HYPERLINK \l "_Toc418148454" Exercice 5. Etude du circuit de blocage du thyristor principal Thp (Solution 5)  PAGEREF _Toc418148454 \h 19
 HYPERLINK \l "_Toc418148455" Exercice 6. Réponse à un échelon pour un circuit R, L, C série (Solution 6)  PAGEREF _Toc418148455 \h 20
 HYPERLINK \l "_Toc418148456" Exercice 7. Rôle d'une diode dans un circuit L-C (Solution 7)  PAGEREF _Toc418148456 \h 20
 HYPERLINK \l "_Toc418148457" Solutions QCM  PAGEREF _Toc418148457 \h 21
 HYPERLINK \l "_Toc418148458" Solution 1. Exercice 1 : QCM  PAGEREF _Toc418148458 \h 21
 HYPERLINK \l "_Toc418148459" Solutions 1er ordre  PAGEREF _Toc418148459 \h 23
 HYPERLINK \l "_Toc418148460" Solution 1. Exercice 1 : Charge d'un condensateur initialement chargé (Solution 1)  PAGEREF _Toc418148460 \h 23
 HYPERLINK \l "_Toc418148461" Solution 2. Exercice 2 :Equation différentielle des charges d'un condensateur  PAGEREF _Toc418148461 \h 23
 HYPERLINK \l "_Toc418148462" Solution 3. Exercice 3 : Charge d'un condensateur initialement déchargé (Solution 3)  PAGEREF _Toc418148462 \h 23
 HYPERLINK \l "_Toc418148463" Solution 4. Exercice 4 : Equation différentielle de la tension dans circuit RC (Solution 4)  PAGEREF _Toc418148463 \h 24
 HYPERLINK \l "_Toc418148464" Solution 5. Exercice 5 :Etablissement du courant dans une charge RL  PAGEREF _Toc418148464 \h 26
 HYPERLINK \l "_Toc418148465" Solution 6. Exercice 6 :Commande d'une bobine de contacteur (Solution 6)  PAGEREF _Toc418148465 \h 27
 HYPERLINK \l "_Toc418148466" Solution 7. Exercice 7 :Montée en température d’un thermomètre  PAGEREF _Toc418148466 \h 28
 HYPERLINK \l "_Toc418148467" Solution 8. Exercice 8 :Etude d’un MCC  PAGEREF _Toc418148467 \h 29
 HYPERLINK \l "_Toc418148468" Solution 9. Exercice 9 :Détermination du moment d'inertie d'un MCC (Solution 9)  PAGEREF _Toc418148468 \h 30
 HYPERLINK \l "_Toc418148469" Solution 10. Exercice 10 :Etude du remplissage d’une cuve  PAGEREF _Toc418148469 \h 30
 HYPERLINK \l "_Toc418148470" Solution 11. Exercice 11 :Dispositif embrayage-frein (d'après BTS CPI) (Solution 11)  PAGEREF _Toc418148470 \h 31
 HYPERLINK \l "_Toc418148471" Solution 12. Exercice 12 :Régimes transitoires de courant dans un moteur pas à pas  PAGEREF _Toc418148471 \h 33
 HYPERLINK \l "_Toc418148472" i. Exercice 13 :Charge condensateur circuit transistor et Zener  PAGEREF _Toc418148472 \h 34
 HYPERLINK \l "_Toc418148473" ii. Exercice 14 :Montage monostable RC  PAGEREF _Toc418148473 \h 34
 HYPERLINK \l "_Toc418148474" iii. Exercice 15 : Régime transitoire d’un MCC  PAGEREF _Toc418148474 \h 35
 HYPERLINK \l "_Toc418148475" iv. Exercice 16 :Blocage d’un thyristor  PAGEREF _Toc418148475 \h 37
 HYPERLINK \l "_Toc418148476" v. Exercice 17 :BTS 1995 Nouméa (MCC)  PAGEREF _Toc418148476 \h 37
 HYPERLINK \l "_Toc418148477" vi. Exercice 18 :BTS 1998 Nouméa  PAGEREF _Toc418148477 \h 37
 HYPERLINK \l "_Toc418148478" vii. Exercice 19 :Etude d’un oscillateur  PAGEREF _Toc418148478 \h 40
 HYPERLINK \l "_Toc418148479" viii. Exercice 20 :MCC  PAGEREF _Toc418148479 \h 40
 HYPERLINK \l "_Toc418148480" ix. Exercice 21 :Application du thyristor en continu : TP  PAGEREF _Toc418148480 \h 40
 HYPERLINK \l "_Toc418148481" x. Exercice 22 :TP  PAGEREF _Toc418148481 \h 40
 HYPERLINK \l "_Toc418148482" xi. Exercice 23 :NAND  PAGEREF _Toc418148482 \h 40
 HYPERLINK \l "_Toc418148483" xii. Exercice 24 :Oscillateur  PAGEREF _Toc418148483 \h 40
 HYPERLINK \l "_Toc418148484" xiii. Exercice 25 : BTS ET 2008 metro Régulation de niveau (Solution 25)  PAGEREF _Toc418148484 \h 40
 HYPERLINK \l "_Toc418148485" xiv. Exercice 26MCC Constante de temps d’un moteur de servomécanisme (Solution 26)  PAGEREF _Toc418148485 \h 41
 HYPERLINK \l "_Toc418148486" xv. Exercice 27MCC transitoire démarrage (Solution 27)  PAGEREF _Toc418148486 \h 41
 HYPERLINK \l "_Toc418148487" xvi. Abaissement de température par ventilation d’une enceinte (Exercice 28)  PAGEREF _Toc418148487 \h 43
 HYPERLINK \l "_Toc418148488" 4. Solutions 2mer ordre  PAGEREF _Toc418148488 \h 45
 HYPERLINK \l "_Toc418148489" i. Exercice 1 :2ème ordre : graphe  PAGEREF _Toc418148489 \h 45
 HYPERLINK \l "_Toc418148490" ii. Exercice 2 :2ème ordre : RLC série  PAGEREF _Toc418148490 \h 46
 HYPERLINK \l "_Toc418148491" iii. Exercice 3 :Identification d’un 2eme ordre  PAGEREF _Toc418148491 \h 47
 HYPERLINK \l "_Toc418148492" iv. Exercice 4 :Etude d’un amortisseur  PAGEREF _Toc418148492 \h 47
 HYPERLINK \l "_Toc418148493" v. Exercice 5 :Etude du circuit de blocage du thyristor principal Thp  PAGEREF _Toc418148493 \h 49
 HYPERLINK \l "_Toc418148494" vi. Exercice 6 :Réponse à un échelon pour un circuit R, L, C série  PAGEREF _Toc418148494 \h 49
 HYPERLINK \l "_Toc418148495" vii. Exercice 7 :Rôle d'une diode dans un circuit L-C  PAGEREF _Toc418148495 \h 49


QCM
QCM ( REF _Ref246324860 \h\n Solution 1)
Entourer la ou les bonnes réponses.
On considère le circuit représenté ci-contre. A l'instant t = 0 s, on ferme l'interrupteur K.

La tension ue(t) correspond à un échelon de tension.
En régime permanent (stationnaire), la bobine est équivalente à un fil.
L'intensité du courant circulant dans le circuit en régime permanent vaut 15,2 mA.
Pour établir l'équation différentielle, on utilise la loi des mailles.
Le circuit vérifie l'équation différentielle du premier ordre  EMBED Equation.DSMT4 
La constante de temps du circuit est L x R.
Le temps de réponse à 5 % du circuit vaut 35 µs.

Circuit RLC en régime transitoire
On considère un circuit RLC série que l'on connecte à l'instant t = 0 à un générateur de tension continue. On a représenté ci-dessous la tension présente aux bornes du condensateur uc(t). On donne C = 2 µF et L = 10 mH.

La tension E délivrée par le générateur vaut 13 V.
Le coefficient d'amortissement est supérieur à 1.
Le régime transitoire est du type apériodique.
Le temps de réponse à 5 % est de 1,1 ms.
Il suffit de diminuer la valeur de la résistance pour atténuer les oscillations.
La résistance R = 100 ( permettrait d'obtenir le régime critique.

MCC soumis à un échelon de tension
On considère un moteur de type Axem à excitation indépendante et constante présentant une résistance d'induit R = 0,28 (, une inductance d'induit négligeable et une constante électromécanique k = 0,42 V.s.rad-1. Le moteur étant initialement à l'arrêt, on applique à ses bornes une tension U = 14 V. La charge entraînée est purement inertielle et on néglige les pertes autres que les pertes par effet Joule.
Le moment d'inertie du système est J = 5 . 10-3 kg.m2.

La vitesse atteinte en régime permanent est voisine de 33 tr.min-1.
Le principe fondamental de la dynamique indique que si deux systèmes sont soumis à un même couple, celui qui présente le moment d'inertie le plus faible accélérera plus rapidement.
La f.é.m. est nulle juste après la fermeture de l'interrupteur, à t = 0+.
L'intensité du courant d'induit en régime permanent est proche de 1 A.
Le démarrage du moteur est d'autant plus long que le moment d'inertie est élevé.
La constante de temps du système est voisine de 8 ms.

Premier ordre
Régime transitoire dans un Hacheur série ()
On considère le circuit de la figure ci-contre dans lequel:
E est une source de tension continue parfaite de valeur 140 V
H est un interrupteur parfait dont la période de fonctionnement est T.
H est fermé de 0 à (T (la diode se retrouve bloquée : ne laisse pas passer le courant)
H est ouvert de (T à T(la diode se retrouve passante : et laisse passer le courant) .
La fréquence de hachage est 5 kHz .
Le récepteur est un moteur à courant continu à aimant permanent
de f.é.m. Ec= 126 V
en série avec une inductance Lc=2 mH
de résistance RC=0.5 (

On supposera pour cette analyse l’interrupteur la phase où H est bloqué et donc la diode passante.
Faire le schéma du montage lors de la phase correspondant à 0 à (T.
Déterminer l’équation différentielle de iC durant cette phase
Déterminer l’expression et la valeur de la constante de temps de ce courant iC
Déterminer l’expression et la valeur du courant atteint en régime permanent.
En supposant que le courant est initialement nul, tracer à main levée la courbe ic=f(t). Veillez à noter les points caractéristiques de cette courbe (rappel cette courbe est de la forme  EMBED Equation.DSMT4 )
Donner la valeur atteinte par le courant au bout de 1ms

On supposera pour cette analyse l’interrupteur H bloqué et donc la diode passante et on négligera cette fois ci la valeur de la résistance.
Déterminer l’équation différentielle de iC durant cette phase
Déterminer l’équation de iC
Tracer sur le même graphique le courant iC
Est-il logique de négliger l’influence de R

Charge d'un condensateur initialement chargé ( REF _Ref259993985 \h\n Solution 1)
Étude de la tension aux bornes du condensateur

Établir l'équation différentielle du premier ordre que vérifie uc1,.
Identifier la constante de temps du circuit. Calculer sa valeur numérique.
Quelle valeur atteint la tension uc1(t) en régime permanent ?
Le condensateur est initialement chargé sous 5 V. Représenter l'évolution de la tension uc1(t).
Étude du courant au cours de la charge
On peut montrer que le courant i(t) vérifie l'équation différentielle  EMBED Equation.DSMT4 
Quelle est la valeur de l'intensité du courant juste avant la fermeture de l'interrupteur ?
Exprimer la valeur initiale de l'intensité du courant, juste après la fermeture de l'interrupteur, notée i(0+).
Utiliser les résultats précédents pour représenter l'allure de l'évolution de l'intensité du courant i(t).
Equation différentielle des charges d'un condensateur dans circuit RC ( REF _Ref259995224 \h\n Solution 2)
Dans un circuit RC série établir l’équation différentielle du premier ordre relative à la charge q du condensateur. Donner son expression temporelle.
Charge d'un condensateur initialement déchargé ( REF _Ref259995387 \h\n Solution 3)
Un circuit RC série avec R=1000 ( et C = 20 µF , initialement déchargé, est alimenté par un échelon de tension constante V = 50V à l’instant t=0 où l’interrupteur est fermé . Calculer :
les équations donnant uC
la constante de temps
Représenter schématiquement la courbe uC(t)
Equation différentielle de la tension dans circuit RC ( REF _Ref259995388 \h\n Solution 4)
 EMBED Word.Picture.8 Ve est un échelon de 10 V
On donne R = 10 k(, et C = 1 µF.
1) Trouvez l'équation différentielle relative à VS :
2) Identifiez cette équation différentielle avec la forme normalisée. Puis calculez la constante de temps ?, ainsi que le gain statique k.
3) donnez la solution de vs(t)
4) Citez trois points de repère permettant de tracer la courbe de réponse à un échelon de tension d'entrée. Expliquez de façon simple la manière dont on construit ces trois repères.
5) Tracez la tension de sortie vs pour une entrée ve en échelon de tension. On précisera bien, sur le graphique, les échelles.
Etablissement du courant dans une charge RL( REF _Ref246324923 \h\n Solution 5)
 EMBED Word.Picture.8 Un circuit RL série avec R=50 ( et L = 10 H est alimenté par une tension constante u(t)=E = 100V à l’instant t=0 où l’interrupteur est fermé .
Déterminer l’équation différentielle régissant i(t) ( uR et uL )
Faire apparaitre la constante de temps et montrer par une analyse dimensionnelle que cette constate est bien homogène à une durée.
Déterminer la solution de l’équation différentielle de i(t)
Déterminer le courant à l’instant t=0.5s
Déterminer vR et vL
Déterminer le temps au bout duquel uR = uL (réservé aux adeptes de l’exponentielle et de sa petite sœur)
Commande d'une bobine de contacteur ( REF _Ref246323930 \h\n Solution 6)
On désire déclencher le démarrage d'un ventilateur en utilisant une sortie d'un automate programmable industriel (API). Pour ce faire, on utilise un contacteur dont la bobine est commandée par un étage de sortie de l'automate réalisé à l'aide d'un transistor de type NPN.
La sortie de cet automate délivre un courant maximal de 2 A.
On utilise un contacteur Finder série 20 qui possède une bobine KM de résistance RKM = 27 ( et d'inductance LKM = 145 mH. Ce contacteur s'enclenche lorsque l'intensité du courant parcourant la bobine KM atteint 50 % de la valeur atteinte en régime permanent.
L'automate programmable commande à l'instant t = 0 la saturation du transistor T qui devient équivalent à un interrupteur fermé. La diode D est alors bloquée, c'est-à-dire équivalente à un interrupteur ouvert.Montrer, après avoir établi le schéma équivalent du dispositif, que le courant i(t) vérifie une équation différentielle du premier ordre.
Déterminer l'expression puis la valeur numérique de la constante de temps du circuit.
L'intensité du courant atteint en régime établi est-elle compatible avec l'intensité maximale que peut fournir la sortie de l'automate programmable ?
Tracer l'évolution au cours du temps de l'intensité i. En déduire graphiquement le délai d'enclenchement du contacteur notée tE.
Montée en température d’un thermomètre( REF _Ref246324928 \h\n Solution 7)
On plonge un thermomètre dans un liquide à la température TE,
La montée en température du thermomètre est progressive, on cherche la constante de temps du thermomètre.
On notera TS la température du mercure dans le thermomètre.
On notera
 EMBED Equation.DSMT4  la résistance thermique du verre,
CHg la capacité calorifique du mercure CHg = 138,8 J.kg-1.K-1
Masse volumique du mercure (Hg= 13545 kg.m-3.
La résistance thermique du verre  EMBED Equation.DSMT4  avec
e épaisseur du verre 1 mm ,
S surface en contact 5cm*2(*3mm
( la conductivité thermique : (verre = 1,35 W.m-1.K-1

 EMBED Word.Picture.8 Etablir que le flux de chaleur reçu par le thermomètre est  EMBED Equation.DSMT4  (avec P en Watt, ,C capacité calorifique du thermomètre en J/°C)
Etablir  EMBED Equation.DSMT4 
Soit l’équation différentielle :  EMBED Equation.DSMT4 
Déterminer la constante de temps du thermomètre.
Etude d’un MCC ( REF _Ref246324929 \h\n Solution 8)
Un moteur à courant continu à excitation séparée (Rappels : E=k( et U=E+RI)
Par l’écriture de la relation fondamentale de la dynamique retrouver l’équation différentielle :  EMBED Equation.DSMT4  avec  EMBED Equation.DSMT4  et Cm =kI avec k= 0,2 V.rad-1.s et R =2 ( ; J=0,5 kg.m² ; f=0,05 ; Cs =3Nm ; U=200 V
Donnez l’équation différentielle de (
Donnez l’expression de la constante de temps
Donnez l’expression de la vitesse atteinte en régime stabilisé
Détermination du moment d'inertie d'un MCC ( REF _Ref246324021 \h\n Solution 9)
On considère un moteur à courant continu à aimants permanents ESCAP 28L28 de faible puissance inséré dans une chaîne d'asservissement de position. La réalisation de cet asservissement nécessite la connaissance du moment d'inertie que l'on détermine en effectuant un démarrage du moteur à vide sous tension constante U.
Lors de cet essai, on néglige les pertes mécaniques et ferromagnétiques. Il n'y a aucun couple résistant et le moment d'inertie est uniquement celui du rotor du moteur noté Jm.
A l'aide d'essais précédents, on a déterminé la résistance d'induit R = 1,5 ( et la constante électromécanique k = 10,7. 10-3 V.s.rad-1.
Rappeler la formule liant la vitesse angulaire de rotation ( (t) à la f.é.m. du moteur e(t). Quelle équation lie le couple électromagnétique Tem(t) au courant d'induit i(t)?
Rappeler le principe fondamental de la dynamique pour les systèmes inertiels en rotation. Montrer qu'en régime permanent, le courant d'induit est nul.
Montrer que la vitesse du moteur vérifie l'équation différentielle :  EMBED Equation.DSMT4 
Donner l'expression de la constante de temps, du moteur puis mesurer graphiquement sa valeur.
Déterminer la valeur numérique du moment d'inertie du moteur.
Calculer la vitesse de rotation angulaire ((, atteinte en régime permanent et en déduire la tension U qui a été appliquée aux bornes du moteur.

Etude du remplissage d’une cuve ( REF _Ref246324932 \h\n Solution 10)
 EMBED Word.Picture.8 
La cuve a une surface horizontale S et une hauteur de remplissage h.
La vanne est telle que  EMBED Equation.DSMT4 
Exprimer la variation de volume dV en fonction de la variation de hauteur dh
Que vaut la variation de volume vis à vis des débits entrants et sortants
Par l’écriture de la variation de volume dans la cuve retrouver l’équation différentielle :  EMBED Equation.DSMT4 
Donnez la constante de temps
Donnez le gain statique

Dispositif embrayage-frein (d'après BTS CPI) ( REF _Ref246324062 \h\n Solution 11)
On étudie un motoréducteur muni d'un dispositif d'embrayage-frein.
La partie électrique de l'embrayage-frein (schéma ci-contre) comprend un électro-aimant commandant l'embrayage et un circuit de décharge monté en parallèle sur la bobine de l'électro-aimant. La bobine de l'électro-aimant possède une inductance L = 1 H et une résistance interne r = 10 (. Le circuit de décharge est constitué d'une diode D et d'une résistance R = 50 (. L'embrayage est alimenté en énergie par l'intermédiaire d'un transformateur et d'un pont de Graëtz (pont de diode) à travers un contacteur KA.
La tension moyenne délivrée par le pont redresseur vaut  EMBED Equation.DSMT4  volts.
Étude de l'embrayage
Pour commander l'embrayage, on ferme le contacteur KA à l'instant t = 0.
Le système embraye, après fermeture de KA, quand l'intensité du courant i traversant l'électro-aimant atteint 95 % de sa valeur nominale, qui sera notée I0. On peut montrer que dans cette phase, la diode de roue libre D est bloquée et donc équivalente à un interrupteur ouvert.
Refaire le schéma électrique simplifié du circuit correspondant.
Donner l'expression de l'intensité I0 du courant circulant dans la bobine de l'électro-aimant en régime permanent. Calculer sa valeur numérique.
Montrer que le courant traversant la bobine de l'électro-aimant vérifie l'équation différentielle :  EMBED Equation.DSMT4 
Représenter l'allure des variations de i(t) en fonction du temps. En déduire la durée d'embrayage du système notée tE.

Étude du débrayage (frein)
Le système débraye, après ouverture du contacteur KA, quand l'intensité du courant i atteint 15 % de sa valeur nominale I0. L'instant d'ouverture de contacteur KA sera pris comme nouvelle origine des temps (t = 0).
La diode de roue libre D devient passante et sera assimilée à un fil conducteur (on néglige la tension de seuil de la diode). Représenter le schéma équivalent du circuit.
Montrer que le courant traversant la bobine de l'électro-aimant vérifie l'équation différentielle :  EMBED Equation.DSMT4 
Exprimer puis calculer la valeur numérique de la constante de temps ( du système.
Quelle est la valeur initiale du courant, juste avant l'ouverture de KA ? Vers quelle valeur finale tend-il ensuite ?
Représenter l'allure des variations de i en fonction du temps. On placera précisément sur ce graphique les valeurs que prend le courant pour t = 0, pour t = ( et t = 3(.
Déterminer graphiquement le temps t1 nécessaire pour que l'intensité du courant atteigne 15 % de sa valeur nominale I0.
Quelle serait la valeur de t1 s'il n'y avait pas la résistance R ? En conclure sur le rôle de cette résistance.
Régimes transitoires de courant dans un moteur pas à pas( REF _Ref246324935 \h\n Solution 12)
On considère un instrument astronomique (lunette ou télescope) entraîné par un moteur pas à pas qui permet de compenser le mouvement de rotation de la Terre. Ce moteur possède les caractéristiques suivantes :
- nombre de pas par tour Np = 48 : c'est le nombre de positions occupées par le rotor au cours d'une rotation de 360° ;
- 2 phases ou enroulements : elles permettent, en les alimentant suivant une séquence convenable, de créer à la périphérie du stator un champ tournant de Np /2 pôles qui occupent Np positions ;
- rotor à aimant permanent multipolaire : il comporte Np /2 pôles qui occupent Np positions ; c'est l'interaction entre les pôles du champ tournant statorique et les pôles rotoriques qui provoque la rotation du rotor ;
- bipolaire : les phases du moteur sont alimentées avec des tensions alternativement positives et négatives u1(t)= ±E = ± 12 V.

Déterminer l'angle de pas (p en ° du moteur (c'est l'angle de rotation du moteur lui permettant de passer d'une position à la suivante).
Déterminer la fréquence de pas Fp en pas.s-1 (c'est le nombre de pas effectués par seconde) permettant d'obtenir une vitesse de rotation de 110 tr.min-1.
Rotor immobilisé, chaque phase du moteur est équivalente à une résistance R en série avec une inductance L :

Démontrer dans ces conditions que les phases, alimentées sous la tension u(t) = ± E, sont parcourues en régime établi par un courant d'intensité : i(t) = ± I = ± E / R.
Rotor immobilisé, on a relevé l'évolution du courant circulant dans une phase du moteur au moment où sa tension d'alimentation u(t) passe de –E à +E: En déduire la valeur numérique de la résistance R d'une phase du moteur.
A partir de ce même graphique et en détaillant la méthode utilisée, déterminer la valeur numérique de la constante de temps ( d'une phase.
Déterminer le temps de réponse à 5 % de l'intensité i(t) noté tr5%. La durée du régime transitoire tr5% est-elle compatible avec la fréquence de pas désirée Fp ?
Montrer que l'intensité du courant dans les phases vérifie une équation différentielle du premier ordre. Exprimer de manière littérale la constante de temps (.
Donner l'expression de l'inductance L en fonction de ( et de R, puis calculer sa valeur numérique.


Charge condensateur circuit transistor et Zener( REF _Ref246324938 \h \n Solution 13)
Vz= 5.6 V ; VBE = 0.6 V ; Re = 1 k( et Vcc=15 V
a) Déterminer la tension aux bornes de la résistance Re et en déduire la valeur de Ie
b) Ic= k.Ib , avec K= 30; en déduire la valeur de Ic . Conclure
c) On remplace la résistance RC par un condensateur de capacité C= 10 µF. Comment évolue la tension aux bornes de ce condensateur, celui-ci étant déchargé à t = 0.
Montage monostable RC ( REF _Ref246324941 \h\n Solution 14)
On considère un monostable formé de deux NAND
Compléter le tableau de vérité de ce composant.
On réalise le montage monostable suivant: sachant qu'un monostable comporte un état stable, celui-ci est obtenu pour e1=VDD et pour le condensateur dans un état stable.
Préciser les valeurs de s1, e2 ,s2 et VC. Montrer que cet état est stable.
e1e2s00011011


e1 passe à 0 pendant un intervalle de temps très court. Préciser l'évolution de vC , s1, e2 et s2.
En utilisant la caractéristique de transfert, préciser la période du monostable.
Etudier le retour à l'état stable, en précisant l'évolution théorique de vC , s1, e2 et s2 .
Tracer l'allure des tensions vC , e1 , s1, e2 et s2 .

Régime transitoire d’un MCC ( REF _Ref253319727 \h\n Solution 15)
On donne l’évolution de la vitesse d’une machine à courant continu soumise à un échelon de tension U de 1 V
La vitesse est donnée en radian/s.
La MCC est telle que Cm =kI avec k= 0,2 V.rad-1 et R =2 (
Le couple de frottement soumis au moteur est du type :  EMBED Equation.DSMT4 
Donnez le gain statique
Donnez la constante de temps du système
Par l’écriture de la relation fondamentale de la dynamique retrouver l’équation différentielle :
donnez la relation fondamentale de la dynamique appliquée à un solide en rotation
Rappeler le modèle équivalent du MCC en régime statique
établir la relation liant le couple moteur Cm à la tension d’alimentation U, la vitesse, la constante k et la résistance R (on néglige le couple de pertes mécanique du moteur)
En combinant les 2 équations précédentes retrouver la relation  EMBED Equation.DSMT4 
A l’aide de l’équation différentielle, identifiez l’expression de la constante de temps du système ainsi que l’expression de la valeur finale de (
A l’aide des résultats précédents retrouver la valeur de f caractérisant le frottement visqueux
Déduire du résultat précédent la valeur de J.
 EMBED Excel.Chart.8 \s 
Blocage d’un thyristor ( REF _Ref246324949 \h\n Solution 16)
A t= 0- le condensateur est chargé et le thyristor est passant : déterminer la valeur de Vc .
A t = 0+ on appuie sur le bouton poussoir P . Etudier la charge du condensateur et tracer l'évolution de Vc(t).
En déduire la durée t1 pendant laquelle VAK est négatif
Déterminer la capacité C permettant de maintenir négative la tension VAK pendant un temps t2 = 100 µs .
On donne la valeur de R = 10 (
 EMBED Word.Picture.8 
BTS 1995 Nouméa (MCC) ( REF _Ref246324952 \h \n Solution 17)
Le moteur étudié est un moteur à aimant permanent. Son rotor est constitué d’un disque isolant sur lequel sont collés des conducteurs en lamelles. L’induit ne comportant pas de fer, les pertes ferromagnétiques sont négligeables.
Caractéristiques du moteur :
Résistance d’induit : R = 1,5 ( ; inductance d’induit négligeable ;
Moment d’inertie : J = 2,35 10-4 kg.m2
Valeurs nominales :
Tension : U = 65 V
Courant absorbé : I = 8 A
Vitesse : 3000 tr/mn
Le moteur étudié doit vaincre dans tous les cas un couple de frottement mécanique dont le moment est donné par la relation : Tp = Tf + Kd( où Tf = 2,6 10-2 N.m et Kd = 1,43 10-4 N.m/rad.s-1
( représente la vitesse angulaire du rotor exprimée en radians par seconde.
1. Pour le fonctionnement nominal, calculer les pertes mécaniques, la puissance utile et le rendement du moteur.
2. Calculer la constante k liant la f.é.m E à la fréquence &! par E = k&! Montrer que le moment Tem du couple électromagnétisme est égal à kI ( I : intensité du courant dans l induit)
3. Calculer la vitesse &!v en rad.s-1 du moteur et l’intensité Iv du courant dans son induit, à vide sous la tension nominale U = 65 V.
4. Le moteur étant à vide et à l’arrêt, on applique brusquement la tension U = 65 V .
4.1. Ecrire la relation fondamentale de la dynamique pour le moteur en mouvement.
4.2. Etablir la relation donnant le moment du couple Tem en fonction de U, &! et k
4.3. En déduire l équation différentielle vérifiée par &!.
4.4. Mettre cette expression sous la forme a d&!/dt + &! = b. Exprimer a et b.
4.5. En déduire la constante de temps mécanique (m et la vitesse finale &!vf atteinte par le moteur 
BTS 1998 Nouméa ( REF _Ref246324953 \h\n Solution 18)
Lors d'une descente de la charge à vitesse constante, la machine asynchrone restitue une puissance constante P = 10 kW. Il est alors nécessaire d'inclure une résistance de freinage R0 (figure 4) qui assure la réversibilité du convertisseur continu / alternatif tandis que le pont PD3 à diodes est bloqué.
L'interrupteur K0 est commandé en fonction de la valeur de la d.d.p. uc :
- Lorsque cette d.d.p. uc atteint une valeur EMBED Equation.3 = 700 V, l'interrupteur K0 se ferme.
- Lorsque cette d.d.p. uc redescend à une valeurEMBED Equation.3 = 600 V, l'interrupteur K0 s'ouvre.
Lors du fonctionnement envisagé dans cette partie, l'interrupteur K0 s'ouvre et se ferme de manière périodique.
On donne : C = 2000 µF , R0 = 25 (.
1 - On rappelle que l'énergie emmagasinée par un condensateur de capacité C soumis à une d.d.p. uc s'écrit :  EMBED Equation.DSMT4 
Calculer les valeurs numériques W1 et W2 de l'énergie emmagasinée par le condensateur pour uc = EMBED Equation.3 et uc = EMBED Equation.3 .
2 - A l'instant t = 0, l'interrupteur K0 se ferme. Pendant l'intervalle de temps où l'interrupteur K0 reste fermé :
a - Exprimer la puissance instantanée dissipée dans la résistance R0 en fonction de uc .
b - A l'aide d'un bilan de puissances, montrer que l'équation différentielle qui régit l'évolution de l'énergie WC(t) s'écrit : 
EMBED Equation.3
(On remarquera que EMBED Equation.3 est la puissance reçue à l'instant t par le condensateur.)
c - La loi d'évolution de WC (t) s'écrit alors : WC (t) = K . e- t/( + ( P.
- Préciser l'expression de la constante de temps ( ainsi que sa valeur numérique.
- Exprimer la constante K en tenant compte des conditions initiales.
d - A quel instant t0 l'interrupteur K0 s'ouvre-t'il ?
3 - A partir de l'instant t0 , l'interrupteur K0 est ouvert. Pendant l'intervalle de temps où l'interrupteur K0 reste ouvert :
a - Montrer que l'énergie emmagasinée WC (t) croit linéairement en fonction du temps.
b - L'interrupteur K0 se ferme à un instant T. Déterminer la durée (T - t0 ) de l'intervalle de temps où l'interrupteur K0 reste ouvert.
4 - A partir de l'instant T, l'interrupteur K0 est fermé ... Tracer sur feuille de papier millimétré le graphe représentant l'évolution de l'énergie WC (t) en fonction du temps.
5 - Quelle est la puissance moyenne dissipée par la résistance R0 
 EMBED Word.Picture.8 

Etude d’un oscillateur ( REF _Ref246324951 \h\n Solution 19)
 EMBED Word.Picture.8 
Etude d'un oscillateur
Etudier la charge du condensateur : en déduire l'expression de ton .
Etudier la décharge du condensateur: en déduire l'expression de toff
Application numérique: R = 10 k( ; C = 22 nF ; VDD = 10 V ; VH = 5.8 V et VL = 4.5 V .
En déduire la fréquence et le rapport cyclique de l'oscillateur.
MCC ( REF _Ref246324960 \h\n Solution 20)
Un moteur à courant continu dont le flux d'excitation est constant est alimenté par une source de tension continue de fem E et de résistance interne r. On néglige la réaction magnétique d'induit et les pertes du moteur autres que les pertes par effet joule. Le moteur est accouplé directement à un récepteur mécanique qui lui oppose un couple résistant Cr.
On donne E = 16 V, r = 1 (, r'= résistance de l'induit du moteur =3 (.
On posera R= r+r'. On désignera par J le moment d'inertie des pièces tournantes.
On notera k la constante de fém. et de couple, Cm le couple moteur, E’ la fém. du moteur
1) Ecrire les équations caractérisant le fonctionnement du moteur (en fonction de I,(,R,E,L,Cr).
Les traduire en utilisant la transformée de Laplace.
Pour chacune d'elles, donner le schéma fonctionnel correspondant.
Les regrouper pour établir le schéma fonctionnel du moteur.
2) Pour la suite, l'inductance du moteur est supposé négligeable.
On reprend les équations établies ci-dessus.
On se place en régime permanent: le couple Cr est constant.
Donner l'expression de la vitesse angulaire ( en fonction de E,Cr,ket R.
Application numérique:
a) Le couple Cr étant nul, on a relevé (=(o= 400rd.s/V. En déduire la valeur de k.
Quel est le courant I absorbé par le moteur?
b) Le couple Cr est maintenant égal à 0,08mN.
Donner la vitesse du moteur (.
Donner la valeur du courant d'induit I.

3) Etude en régime transitoire.
Le couple résistant étant nul depuis un temps infini, on applique à un instant pris comme origine des temps, un couple Cr égal à 0,08mN (échelon de couple).
a) D'après les équations établies ci-dessus, donner l'équation différentielle régissant l'évolution de (. Quelle est la constante de temps.
A.N: On a mesuré t=0,5 s;en déduire J.
b) Donner l’équation différentielle régissant l'évolution de I. Quelle est la nouvelle constante de temps ?
c) Représenter les évolutions de ( (t) et I(t).Quel est le temps de réponse du moteur?
Application du thyristor en continu : TP ( REF _Ref246324961 \h \n Solution 21)

à t = 0- le thyristor est passant et le condensateur est chargé
à t = 0+ on appuie sur le bouton poussoir P.
a) Etudier la charge du condensateur et tracer l'évolution VC (t).
b) En déduire la durée t1 pendant laquelle Vak est négatif.
c) Déterminer la capacité C permettant de maintenir négative la tension Vak pendant un temps t2 = 100 µs. (R = 10 ().
TP ( REF _Ref246324963 \h\n Solution 22)
On a relevé les oscillogrammes suivants :

Vt+=Vh ; Vt-=Vlð1) Etudier la charge du condensateur : en déduire l'expression de ton.
2) Etudier la décharge du condensateur : en déduire l'expression de toff.
R = 10 k( ; C = 22 nF ; Vdd = 10 V ; Vt+ = 5,8 V ; Vt- = 4,5 V.
3) En déduire la fréquence et le rapport cyclique de l'oscillateur.

NAND ( REF _Ref246324964 \h \n Solution 23)
1) Compléter le tableau pour un NAND.


2) Un monostable comporte un état stable, celui-ci étant obtenu pour e1 = Vdd.
Donner les valeurs de s1 , e2 et s2. (le condensateur sera dans un état stable).
3) e1 passe à 0 pendant une durée très courte, préciser l'évolution de Vc , S1 , e2 et S2.
4) En utilisant la caractéristique de transfert, préciser la période du monostable.
5) Etudier le retour à l'état stable, en précisant l'évolution théorique de Vc , s1 , e2 et s2.
6) Sachant que le NAND est protégé en entrée contre les surtensions négatives préciser l'évolution des diverses tensions


Oscillateur ( REF _Ref246324965 \h \n Solution 24)
Le schéma de l'oscillateur comporte un inverseur "trigger". Celui-ci a une résistance d'entrée infinie, une résistance de sortie et des temps de commutation supposés négligeables. L'oscillateur est étudier en régime établi.
1) On prend comme origine des temps l'instant où us commute vers le niveau haut.
a) Quelle est à cet instant la valeur de ue (t) ?
b) Etablir l'expression de ue (t) pour la durée t1 pendant laquelle us (t) = E.
c) Exprimer t1 en fonction de E, U1 , U2 et la constante de temps R C.
2) On prend comme origine des temps l'instant où us commute vers le niveau bas.
a) Quelle est alors la valeur de ue (t) ?
b) Etablir l'expression de ue (t) pour la durée t2 pendant laquelle us (t) = 0.
c) Exprimer t2 en fonction de U1 , U2 et R C.
3) a) Donner l'expression de la période T.
b) A quelle condition le rapport cyclique t1/T est-il égal à ½ ?
c) E = 8 V, U1 = 3 V, U2 = 5 V et C = 1 nF. Quelle valeur de R donne une fréquence de 80 Hz ?
d) Représenter ue (t) et us (t).

BTS ET 2008 metro Régulation de niveau ( REF _Ref288305462 \h\n Solution 25)
La section d’un réservoir a une surface égale à SR = 1103 m2. Le niveau d'eau maximal mesurable est Nmax = 2 m et le niveau minimal est Nmin = 0 m. Le débit de remplissage est noté Qe et le débit de vidange est noté Qs (voir figure).
Pendant un petit intervalle de temps noté dt, le niveau a varié d'une hauteur notée dN.
1°) Quel est le volume d'eau dV correspondant à la variation de niveau dN ?
2°) Montrer que l'on peut exprimer  EMBED Equation.DSMT4  en fonction de Qe, QS et SR par la relation  EMBED Equation.DSMT4  EMBED Word.Picture.8 3°) Pour l'étude du régime dynamique, on applique la transformation de Laplace à l'équation trouvée à la question précédente. En déduire la relation entre Qe(p), QS(p), N(p) et SR avec des conditions initiales nulles.
MCC Constante de temps d’un moteur de servomécanisme ( REF _Ref309204408 \h\n Solution 26)
On étudie un moteur à courant continu de petite puissance, bipolaire, qui démarre sans rhéostat. L'induit possède deux voies d'enroulement. L'excitation séparée, constante, est fournie par un aimant permanent. La réaction magnétique d'induit est négligeable.
On a mesuré : Résistance de l'induit : R = 5 (
Moment d'inertie de toute la partie tournante : J = 0,05 kg.m2.
On appelle : T le couple électromagnétique en Nm
K la constante de la f.c.é.m. et de couple.
n la fréquence de rotation en tr/s.
( la vitesse angulaire en rad/s.
On néglige toute influence de l'inductance propre de l'enroulement d'induit.
1) Dans un essai à vide, on a relevé n = 22 tr/s avec U = 69 V , le courant appelé étant négligeable ; calculer K.
2) Montrer que la caractéristique mécanique T = f (() de ce moteur, alimenté sous une tension U, peut se mettre sous la forme : T = a U + b (. Calculer a et b. Tracer cette caractéristique à la tension constante U = 75 V.
3) Dans toute la suite du problème, le moteur est accouplé à un appareil (réducteur de vitesse et potentiomètre) qui offre un couple résistant indépendant de la vitesse, Tr = 0,1 Nm. En appliquant le principe fondamental de la dynamique, montrer que la vitesse du moteur est donnée, à chaque instant, par une équation différentielle linéaire à coefficients constants, du premier ordre.
4) Calculer la solution ( = f (t) de cette équation différentielle qui correspond à un démarrage sous tension constante U = 75 V. Préciser la valeur de la constante de temps du système.
5) Donner l'allure de la courbe représentative ( = f (t). Préciser la pente de la tangente à l'origine. Au bout de combien de temps la vitesse atteindra-t-elle la vitesse de régime à 5% près ?
6) On alimente ce moteur par une source de f.é.m. E constante et égale à 75 V et de résistance interne r = 15 (. Calculer le courant appelé par le moteur en fonction de la vitesse angulaire.
7) Quelle nouvelle forme prend dans ce cas l'équation différentielle dont dépend la vitesse ? Quelle est la nouvelle valeur de la constante de temps ? Conclusion ?
 MCC transitoire démarrage ( REF _Ref309204586 \h\n Solution 27)
L'étude porte sur un moteur à flux constant pour lequel on donne la constante de vitesse KE = E/© = 0,163Wb, la résistance d'induit R = 1,5© ainsi que les valeurs nominales UN = 60V, IN = 6,2A et ©N = 315 rad/s. Dans ce qui suit, on se limite au fonctionnement à vide en négligeant l inductance d induit et en admettant que le couple de pertes Cp est constant. Par ailleurs, on désigne par u et i les expressions en fonction du temps de la tension et du courant d'induit.
1) La mesure des pertes à vide pour © = ©N a donné, après déduction des pertes Joule, P0 = 22W. Calculer Cp.
2) Rappeler la relation liant J, d©/dt, Cem et Cp.
3) Lors d'un essai de ralentissement à induit ouvert, on a mesuré (”©/”t) = -300 rad/s² pour © = ©N. Calculer la valeur du moment d'inertie J.
4) Déterminer l'expression du couple électromagnétique Cem en fonction de KE et de i d'une part, puis grâce à la loi des mailles relative au MCC établir la relation liant Cem à KE, u, R et © d'autre part.
5) A l'instant t = 0 pris comme origine, le moteur étant arrêté, on applique à son induit une tension constante U = UN.
a) Calculer la valeur initiale i(0) de i. Le constructeur précise que le courant impulsionnel maximal est de 50A pour ce moteur. Vérifier qu'il y a compatibilité.
b) Ecrire l’équation différentielle déterminant l'évolution de la vitesse. La mettre sous la forme  EMBED Equation.STMT4  en donnant les expressions de (m et de ©0. A.N.: Calculer (m et ©0
c) Résoudre cette équation compte tenu de la condition initiale pour obtenir l expression de ©(t) en fonction de ©0, t et (m.
d) Calculer le temps t0 au bout duquel © est égal à 95% de ©0.
6) On considère maintenant un démarrage à I = IN constant.
a) Ecrire la nouvelle équation différentielle déterminant l'évolution de la vitesse et en déduire l'expression de ©(t).
b) Calculer le temps t1 au bout duquel © atteint la valeur ©0 définie au 5)b).

Abaissement de température par ventilation d’une enceinte ( REF _Ref384328790 \h\n Solution 28)
On souhaite abaisser la température d’une enceinte par extraction d’air.
Un test de chauffe avec une résistance chauffante de 450 W permet de monter de 24 °C à 97°C en 15 min.
1°) Déterminer la capacité calorifique de l’enceinte en J/K.
2°) Déterminer la valeur de la puissance perdue par l’enceinte lorsque celle-ci baisse d’un écart de température dTi pendant dt
3°) Déterminer l’énergie puis la puissance extraite lors d’un renouvellement d’air extrayant de l’air à une température Ti, remplacé par de l’air à la température Te de 24°C
(On considèrera la capacité calorifique de l’air Cair=1200 J.kg-1.°C-1, la masse volumique de l’air de 1,2 kg/m3 et un débit volumique QV)
4°) En faisant le bilan des puissances de ce système, établir l’équation différentielle liée à la température Ti de l’enceinte
5°) Déterminer l’expression de la constante de temps du système
6°) Vers quelle valeur tend la température de l’enceinte ?
7°) Déterminer le débit volumique du ventilateur d’extraction permettant d’abaisser à 37% de l’écart de température initial en 10 min.

Deuxième ordre
2ème ordre : graphe ( REF _Ref246324944 \h\n Solution 1)
La courbe relevée ci-contre correspond à la réponse d’un système à un échelon de 50 V.
Déterminer
le gain statique
le temps de réponse
la pseudo pulsation
le coefficient d’amortissement
Donnez l’équation différentielle que l’on mettra sous la forme
 EMBED Equation.3 
Donnez la fonction de transfert
en déduire l’équation de UC(t)
 EMBED Excel.Sheet.8 2ème ordre : RLC série ( REF _Ref246324945 \h\n Solution 2)
1) Etablir l’équation différentielle liée à la tension du condensateur d’un circuit RLC série
2) Déterminer la pulsation (0 et le coefficient d’amortissement m en fonction de R, L et C
3) C=1µF et L=100mH, prévoir l'allure de la réponse du courant à un échelon de tension si R =150 ( ; 650( ; 1500(
Identification d’un 2eme ordre ( REF _Ref246324948 \h\n Solution 3)
Un ciruit du deuxième ordre donne la courbe de réponse suivante, lorsque son entrée ue est un échelon :
 EMBED Word.Picture.8 
 SHAPE \* MERGEFORMAT 
1) Donnez la forme normalisée d’un système du deuxième ordre.
2) à partir de la courbe de réponse à un échelon en entrée, déterminez les paramètres du système ( (n : pulsation caractéristique et m : amortissement). On détaillera toutes les étapes précisément.
Etude d’un amortisseur ( REF _Ref246324950 \h\n Solution 4)
 EMBED Word.Picture.8 
Par l’écriture de la relation fondamentale de la dynamique retrouver l’équation différentielle :  EMBED Equation.DSMT4 
Faire apparaître la pulsation propre et le coefficient d’amortissement
Donner le temps de réponse à 5%
Donner la valeur du premier dépassement
Donner la réponse temporelle à un échelon de 5 cm
Etude du circuit de blocage du thyristor principal Thp ( REF _Ref246324954 \h\n Solution 5)

I Etude du blocage du thyristor principal :
Pendant la durée du phénomène, très inférieur à T, le courant de charge ich sera considéré comme constant et égal à I.
Etude de l'évolution de vc (t) :
to est pris comme origine du blocage. A t0-, Thp est conducteur, The est bloqué et on suppose que vc = - E.
a) A t0, The devient passant : exprimer vs à to+ et réduire l'état de la diode Drlð.
b) On suppose que iT s'annule instantanément : quelle est la valeur de ic à to+ et comment évolue vc (t) ?
c) A quel instant Drlð devient conductrice, que devient vc , que valent ic et idrlð et à quel instant se bloque The ?
d) Pendant combien de temps vthp est-il négatif ? En déduire la valeur de C.
e) Représenter les allures de vc, vs, vthp , ic , idrlð et ich en fonction de t.
II Charge du condensateur de blocage :
a) A t = t1, instant de déblocage de la diode Drlð , le thyristor Thp étant bloqué, on a vc = E et ic = 0 : pourquoi la charge du condensateur ne change -t-elle pas ?
b) A t = t2, on amorce le thyristor Thp ; vthp = 0 instantanément. En prenant comme origine des temps cet instant, établir l'équation différentielle de charge du condensateur à travers D et lð.
c) En déduire l'évolution de vc , vs , ic , iT , idrlð et ich.
d) Préciser la durée du phénomène d'inversion de la tension vc en fonction de C et lð.
e) Quelle est la valeur maximale du courant idrlð ?
Réponse à un échelon pour un circuit R, L, C série ( REF _Ref246324958 \h \n Solution 6)

Conditions initiales : v(0-)= 0 et i(0-)= 0 ;
e est un échelon de tension d'amplitude E.
1) Déterminer i(0+), v(0+),  EMBED Equation.DSMT4 , i(+() et v(+().
2) Etablir l'équation différentielle régissant v(t) et la mettre sous la forme canonique suivante :  EMBED Equation.DSMT4 .
Exprimer "m" (coefficient d'amortissement du circuit) et (o (pulsation propre).
3) Etude de la solution générale :
a) Montrer qu'une solution particulière avec second membre est v = E.
b) Chercher la solution générale sans second membre sous la forme v = A .  EMBED Equation.2 .
c) Donner l'allure des solutions.
4) On s'intéresse au cas où m < 1.
a) Déterminer la condition sur R pour obtenir m < 1.
b) Déterminer l'expression de v (t) que l'on mettra sous la forme suivante :  EMBED Equation.DSMT4 
Exprimer E0 , ( et ( en fonction de m, E et (0.
c) Calculer la valeur maximale, Vmax de v (t). En déduire l'amplitude du premier dépassement, D1 tel que
 EMBED Equation.DSMT4 
d) Représenter la solution générale lorsque m = 0,1.
5) Déterminer la solution générale lorsque m = 1.
6) Dans le cas où m > 1, déterminer la solution générale de l'équation différentielle.
Rôle d'une diode dans un circuit L-C ( REF _Ref246324959 \h\n Solution 7)
On considère le circuit ci-contre. La diode D est supposée parfaite; la capacité est initialement chargée sous une tension E: on a donc vc = E > 0.

A l'instant t = 0, on ferme l'interrupteur K.
1) Ecrire l'équation différentielle qui relie i à L et C.
2) Exprimer i et vc en fct de t depuis t = 0 jusqu'à l'instant où le courant i s'annule. Exprimer cet instant en fct de L et C.
Que se passe-t-il ?
3) Représenter graphiquement (et séparément) i et vc en fonction du temps. Préciser la valeur de vc à l'instant où i s'annule.
Solutions QCM
 REF _Ref246323476 \h\n Exercice 1 :  REF _Ref246323477 \h QCM
On considère le circuit représenté ci-contre. A l'instant t = 0 s, on ferme l'interrupteur K.

La tension ue(t) correspond à un échelon de tension. (VRAI)
En régime permanent (stationnaire), la bobine est équivalente à un fil. (VRAI)
L'intensité du courant circulant dans le circuit en régime permanent vaut 15,2 mA. (VRAI) en effet  EMBED Equation.DSMT4 
Pour établir l'équation différentielle, on utilise la loi des mailles. (VRAI)
Le circuit vérifie l'équation différentielle du premier ordre  EMBED Equation.DSMT4 (VRAI)
La constante de temps du circuit est L x R. (FAUX)  EMBED Equation.DSMT4  donc  EMBED Equation.DSMT4 
Le temps de réponse à 5 % du circuit vaut 35 µs. (VRAI)  EMBED Equation.DSMT4 
Circuit RLC en régime transitoire
On considère un circuit RLC série que l'on connecte à l'instant t = 0 à un générateur de tension continue. On a représenté ci-dessous la tension présente aux bornes du condensateur uc(t). On donne C = 2 µF et L = 10 mH.

La tension E délivrée par le générateur vaut 13 V. (FAUX) 10 V
Le coefficient d'amortissement est supérieur à 1. (FAUX) inférieur à 1 (oscillations)
Le régime transitoire est du type apériodique. (FAUX) pseudo périodique
Le temps de réponse à 5 % est de 1,1 ms. (VRAI)
Il suffit de diminuer la valeur de la résistance pour atténuer les oscillations. (FAUX) amplifier
La résistance R = 100 ( permettrait d'obtenir le régime critique. (FAUX)  EMBED Equation.DSMT4  donc pseudo périodique

MCC soumis à un échelon de tension
On considère un moteur de type Axem à excitation indépendante et constante présentant une résistance d'induit R = 0,28 (, une inductance d'induit négligeable et une constante électromécanique k = 0,42 V.s.rad-1. Le moteur étant initialement à l'arrêt, on applique à ses bornes une tension U = 14 V. La charge entraînée est purement inertielle et on néglige les pertes autres que les pertes par effet Joule.
Le moment d'inertie du système est J = 5 . 10-3 kg.m2.

La vitesse atteinte en régime permanent est voisine de 33 tr.min-1. (FAUX) 33 rad/s en effet  EMBED Equation.DSMT4 
Le principe fondamental de la dynamique indique que si deux systèmes sont soumis à un même couple, celui qui présente le moment d'inertie le plus faible accélérera plus rapidement. (VRAI) en effet  EMBED Equation.DSMT4 
La f.é.m. est nulle juste après la fermeture de l'interrupteur, à t = 0+.(VRAI) en effet  EMBED Equation.DSMT4  et au démarrage ( =0
L'intensité du courant d'induit en régime permanent est proche de 1 A. (FAUX) I=0 à vide
Le démarrage du moteur est d'autant plus long que le moment d'inertie est élevé. (VRAI)
La constante de temps du système est voisine de 8 ms. (VRAI) en effet


Solutions 1er ordre
 REF _Ref259993982 \h\n 
On considère le circuit de la figure ci-contre dans lequel:
E est une source de tension continue parfaite de valeur 140 V
H est un interrupteur parfait dont la période de fonctionnement est T.
H est fermé de 0 à (T (la diode se retrouve bloquée : ne laisse pas passer le courant)
H est ouvert de (T à T(la diode se retrouve passante : et laisse passer le courant) .
La fréquence de hachage est 5 kHz .
Le récepteur est un moteur à courant continu à aimant permanent
de f.é.m. Ec= 126 V
en série avec une inductance Lc=2 mH
de résistance RC=0.5 (

Schéma du montage lors de la phase correspondant à 0 à (T.
On établit la loi des mailles
 EMBED Equation.DSMT4 
Pour faire apparaître la constante de temps dans cette équation différentielle du premier il faut que l’équation soit de la forme  EMBED Equation.DSMT4  donc on transforme  EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4  puis on divise tout par RC
 EMBED Equation.DSMT4 
Ce qui fait apparaître la constante de temps  EMBED Equation.DSMT4 
En régime permanent  EMBED Equation.DSMT4 , donc  EMBED Equation.DSMT4 
courbe ic=f(t). Veillez à noter les points caractéristiques de cette courbe (rappel cette courbe est de la forme  EMBED Equation.DSMT4 )
Donner la valeur atteinte par le courant au bout de 1ms

On supposera pour cette analyse l’interrupteur H bloqué et donc la diode passante et on négligera cette fois ci la valeur de la résistance.
Déterminer l’équation différentielle de iC durant cette phase
Déterminer l’équation de iC
Tracer sur le même graphique le courant iC
Est-il logique de négliger l’influence de R

 REF _Ref259993982 \h\n Exercice 1 :  REF _Ref259993983 \h Charge d'un condensateur initialement chargé (Solution 1)
1 a)  EMBED Equation.DSMT4 .
b)T=RC1=1µs
c) La valeur finale Ua = 10 V.
d)
2 a) Juste avant la fermeture, le courant ne peut pas circuler, donc i=0A.
2 b) Juste après la fermeture, on peut écrire U. = R x i(0+) + Uc1.
On a donc i(0+) = (Ua — Uc1) / R1 On sait par ailleurs que le condensateur est initialement chargé sous 5 V.
On a donc :i(0+) = (10 - 5)/103 = 5 mA.
Voir figure ci-contre. 
 REF _Ref246323480 \h\n Exercice 2 : REF _Ref246323483 \h Equation différentielle des charges d'un condensateur

 REF _Ref259995382 \h\n Exercice 3 :  REF _Ref259995383 \h Charge d'un condensateur initialement déchargé (Solution 3)
 EMBED Word.Picture.8 
La loi des mailles donne
 EMBED Equation.DSMT4 
On ne peut pas utiliser les relations du sinusoïdal (complexes, Z,  EMBED Equation.DSMT4 ,…)
On est ici en régime « quelconque », donc les relations à employer sont les relations les plus générales
 EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 
On cherche à établir l’équation différentielle de uC(t)
 EMBED Equation.DSMT4 
On obtient ainsi l’équation différentielle de uC(t)
RC est bien la constante de temps car on peut s’apercevoir par une analyse dimensionnelle que RC est homogène à un temps :
Dans une équation constituée de somme de termes, chaque terme terme doit être de la même unité donc comme V est une tension en V , uc(t) doit être une tension en V (ce qui est le cas) et  EMBED Equation.DSMT4  doit être en V
Comme  EMBED Equation.DSMT4 est en V, connaissant les unités de  EMBED Equation.DSMT4 (tension en V) et  EMBED Equation.DSMT4  (temps en s), il faut donc que RC soit un temps (s) pour que  EMBED Equation.DSMT4  soit en V :  EMBED Equation.DSMT4 
Donc  EMBED Equation.DSMT4 

 EMBED Word.Picture.8 
 REF _Ref259995384 \h\n Exercice 4 :  REF _Ref259995385 \h Equation différentielle de la tension dans circuit RC (Solution 4)
1°) EMBED Word.Picture.8 
 EMBED Equation.DSMT4 
Il faut se « débarrasser » de i(t)
Or  EMBED Equation.DSMT4  (relation classique du courant dans un condensateur EMBED Equation.DSMT4 )
2°) Donc on remplace i(y)  EMBED Equation.DSMT4 
Que l’on met sous la forme  EMBED Equation.DSMT4 
Soit  EMBED Equation.DSMT4 
La constante de temps vaut :  EMBED Equation.DSMT4 
Le gain statique est le rapport  EMBED Equation.DSMT4  soit le rapport de VS sur Ve en régime constant ( plus de variation de VS donc  EMBED Equation.DSMT4 )
Donc  EMBED Equation.DSMT4  donc  EMBED Equation.DSMT4 
3°) Pour trouver vS(t) il faut résoudre l’équation différentielle :
 EMBED Equation.DSMT4 
SGESSM :  EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 
SP : La solution particulière est une solution qui satisfait à  EMBED Equation.DSMT4 
donc une solution particulière est Vs(t)= Ve

La solution générale (SG) d’une équation différentielle est la somme de la SGESSM et SP
Donc  EMBED Equation.DSMT4 
Il reste à déterminer K, on se sert des conditions initiales (valeurs connues de Vs à un temps donné)
On sait que le condensateur lisse la tension à ses bornes.
Donc à t=0+ comme le condensateur est initialement déchargé, sa tension sera toujours nulle.
Donc  EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 
Donc
 EMBED Equation.DSMT4 
Les 3 points de repères sont
La pente à l’origine qui coupe l’asymptote (valeur finale de VS (Ve)) au bout du temps (
Au bout du temps (, on est à 63% du maximum ( EMBED Equation.DSMT4  donc  EMBED Equation.DSMT4 )
Au bout du temps 3(, on est à 95% du maximum ( EMBED Equation.DSMT4 donc  EMBED Equation.DSMT4 )
*
 REF _Ref246323490 \h\n Exercice 5 : REF _Ref246323491 \h Etablissement du courant dans une charge RL
 EMBED Word.Picture.8 
On ne peut pas utiliser d’impédance car on n’est pas en sinusoïdal.
Il faut écrire la loi des mailles dans le cas le plus général :
 EMBED Equation.DSMT4 
Pour faire apparaitre la constante de temps il faut que ma variable i(t) soit affectée d’un coefficient 1, ainsi apparaitra devant  EMBED Equation.DSMT4  un coefficient homogène à un temps.
Pour cela il faut tout diviser par R
 EMBED Equation.DSMT4 
En effet si i(t) est en Ampères,  EMBED Equation.DSMT4  est lui aussi en Ampères. Comme  EMBED Equation.DSMT4  est déjà en Ampères, les autres termes devront avoir des unités qui s’annulent. Comme dt est en secondes,  EMBED Equation.DSMT4  est forcément en secondes : c’est la constante de temps du système :  EMBED Equation.DSMT4 
Vérifions que L/R est bien homogène à un temps
 EMBED Equation.DSMT4 
Si u(t) =E = 100 V pour t>0
 EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 
Donc  EMBED Equation.DSMT4 
A t= 0,5 s  EMBED Equation.DSMT4  donc i(0,5)=1,8A
 EMBED Equation.DSMT4  donc  EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4  donc  EMBED Equation.DSMT4 
Si uR = uL alors
 EMBED Equation.DSMT4 

 REF _Ref246323492 \h\n Exercice 6 : REF _Ref246323493 \h Commande d'une bobine de contacteur (Solution 6)
1. On se ramène au schéma simplifié représenté ci-contre.

La loi des mailles permet d'écrire  EMBED Equation.DSMT4 .
On a également pour la résistance et la bobine les relations  EMBED Equation.DSMT4 
et  EMBED Equation.DSMT4 
On obtient en remplaçant :
 EMBED Equation.DSMT4 
On divise tout par RKM de façon a obtenir une forme classique qui fait apparaître la constante de temps
 EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 
2.  EMBED Equation.DSMT4 
Au bout de 5,4 ms on atteindra 63% du courant vers lequel on tendra (plus de variation du courant) :  EMBED Equation.DSMT4 
3. Le courant évolue de manière exponentielle de 0A jusqu’à la valeur finale qui est  EMBED Equation.DSMT4  donc c’est compatible avec le courant max de l’automate qui est de 2 A.
4. Mesure graphique de tE =3,7 ms
 EMBED Equation.DSMT4 
La solution de cette équation différentielle est du type :
 EMBED Equation.DSMT4 On atteint 50% de  EMBED Equation.DSMT4  lorsque
 EMBED Equation.DSMT4 

 REF _Ref246323494 \h\n Exercice 7 : REF _Ref246323495 \h Montée en température d’un thermomètre
1°) Le gain d’énergie d’un corps qui monte en température est  EMBED Equation.DSMT4 
Avec C=mc la masse de mercure du thermomètre x la capacité calorifique du mercure (J.kg-1.°C-1)
Si l’on comptabilise l’énergie gagnée en un temps donné, on accède à la puissance.
 EMBED Equation.DSMT4  soit si l’on considère les variations très petites :  EMBED Equation.DSMT4 
2°) La puissance gagnée par conduction dans le verre est de la forme  EMBED Equation.DSMT4 ce qui dans notre cas donne EMBED Equation.DSMT4 
3°) La puissance gagnée par le mercure est celle qui est conduite par le verre du thermomètre
 EMBED Equation.DSMT4  égale  EMBED Equation.DSMT4 
donc  EMBED Equation.DSMT4 
Soit  EMBED Equation.DSMT4 
L’équation différentielle fait apparaître la constante de temps ( de ce système du premier ordre.
 EMBED Equation.DSMT4 
Donc
 EMBED Equation.DSMT4 

 REF _Ref246323497 \h\n Exercice 8 : REF _Ref246323498 \h Etude d’un MCC
1°)  EMBED Equation.DSMT4 
2°)
 EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 
Il faut mettre l’expression sous la forme :  EMBED Equation.DSMT4 
Donc il faut tout diviser par  EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 
La constante de temps vaut  EMBED Equation.DSMT4 
La vitesse maximale est atteinte lorsque atteinte  EMBED Equation.DSMT4  donc  EMBED Equation.DSMT4  donc 2320 tr/min
 REF _Ref246323499 \h \n Exercice 9 : REF _Ref246323500 \h Détermination du moment d'inertie d'un MCC (Solution 9)
1°)  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 
2°)  EMBED Equation.DSMT4 
En régime permanent  EMBED Equation.DSMT4  donc  EMBED Equation.DSMT4 
L’essai effectué est fait à vide donc  EMBED Equation.DSMT4  donc  EMBED Equation.DSMT4 
Donc le courant en régime stabilisé est nul.
3°)  EMBED Equation.DSMT4  donc
 EMBED Equation.DSMT4 
4°) EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 
Donc  EMBED Equation.DSMT4  et l’on trouve ( grâce au graphique :
On atteint 63% du max (5200 tr/min) soit 3276 tr/min au bout d’environ 14 ms
Donc  EMBED Equation.DSMT4 
5°) La vitesse atteinte de 5200 tr/min soit 544 rad/s correspond à  EMBED Equation.DSMT4 
Donc  EMBED Equation.DSMT4 
 REF _Ref246323503 \h\n Exercice 10 : REF _Ref246323504 \h Etude du remplissage d’une cuve
1°) La variation de volume de la cuve au cours du temps est  EMBED Equation.DSMT4 
2°)  EMBED Equation.DSMT4 est dû à la différence de débit entrant et sortant
3°) Donc  EMBED Equation.DSMT4 
4°) Donc  EMBED Equation.DSMT4 
5°)  EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 
Le gain statique est  EMBED Equation.DSMT4 
 REF _Ref246323505 \h \n Exercice 11 : REF _Ref246323506 \h Dispositif embrayage-frein (d'après BTS CPI) (Solution 11)
1.a.
 EMBED Word.Picture.8 
1.b. Loi des mailles  EMBED Equation.DSMT4 
En régime permanent le courant n’évolue plus donc  EMBED Equation.DSMT4  donc  EMBED Equation.DSMT4 ,
donc  EMBED Equation.DSMT4 
donc  EMBED Equation.DSMT4 
1.c. Loi des mailles  EMBED Equation.DSMT4 qui devient
en régime quelconque  EMBED Equation.DSMT4 
donc il faut de part et d’autre diviser par la résistance r :  EMBED Equation.DSMT4 
donc  EMBED Equation.DSMT4  donc  EMBED Equation.DSMT4 
1.d.  EMBED Word.Picture.8 
L’embrayage embraille au bout de 0,3 s
2.a)
 EMBED Word.Picture.8 
2.b)
 EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 
2.c) La constante de temps devient
 EMBED Equation.DSMT4 
Donc la nouvelle constante de temps  EMBED Equation.DSMT4 
2.c) La valeur initiale du courant est  EMBED Equation.DSMT4  puis il tend vers 0
2.d)  EMBED Word.Picture.8 
2.e) L’équation de cette courbe est la solution de cette équation différentielle :  EMBED Equation.DSMT4 
Lors de la décharge  EMBED Equation.DSMT4  avec I0=1,08 et (’=16,6 ms
Quand est-ce que i(t) atteint 15% I0.
 EMBED Equation.DSMT4 
2.g) si il n’existe pas la résistance R alors (1=100 ms et t1= 200 ms
R raccourcit le temps de débrayage

 REF _Ref246323507 \h\n Exercice 12 : REF _Ref246323508 \h Régimes transitoires de courant dans un moteur pas à pas
L’angle de pas est de  EMBED Equation.DSMT4 
110 tr.min-1 équivaut à 1,83 tr.s-1 (110/60) soit 88 pas.s-1 (1,83x48) soit 88 Hz
Loi des mailles dans le cas général  EMBED Equation.DSMT4  soit  EMBED Equation.DSMT4 
En régime établi (permanent : sans fluctuation du courant donc  EMBED Equation.DSMT4 ) donc  EMBED Equation.DSMT4  devient  EMBED Equation.DSMT4  donc suivant la valeur que prend u(t) : EMBED Equation.DSMT4 .
En regardant sur la courbe on voit que le courant se stabilise vers + ou – 160 mA donc  EMBED Equation.DSMT4 .
Donc  EMBED Equation.DSMT4 .
Pour trouver la constante de temps, on cherche la valeur au bout de laquelle 63% de l’amplitude de variation a été atteinte.
La variation totale est de  EMBED Equation.DSMT4 
On cherche quand est ce que la courbe varie de 63% de cette valeur soit  EMBED Equation.DSMT4 
Sachant que l’on part de -160 mA, on cherche quand est-ce que la courbe i(t) atteint  EMBED Equation.DSMT4 
On atteint cette valeur au bout d’1 ms .
La constante de temps  EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Word.Picture.8 
Le temps de réponse à 5% : tr5% = 3x( = 3 ms .(valeur à laquelle on atteint 160-5%x320=144 ms)
Si on permutte l’alimentation au bout de ce temps on aura un signal de fréquence 1/(3ms)=333 Hz
Ce qui est compatible avec la fréquence de rotation désirée qui amènerait à une fréquence de pas 88 Hz.
L’équation différentielle résulte de la loi des mailles établie précédemment :
 EMBED Equation.DSMT4 
Donc pour faire apparaître la constante de temps on divise tout par R
 EMBED Equation.DSMT4 
Ainsi i(t) étant en A,  EMBED Equation.DSMT4  est donc forcément en A (on additionne des grandeurs de même nature)
Donc comme di est en A, dt en s donc forcément il faut que  EMBED Equation.DSMT4  soit en s.
Donc la constante de temps  EMBED Equation.DSMT4 
Donc  EMBED Equation.DSMT4 
 REF _Ref246323509 \h \n Exercice 13 : REF _Ref246323510 \h Charge condensateur circuit transistor et Zener
VRe = VZ –VBE = 5V
Ie = VRe/ Re =1mA
Ie = Ic+Ib= kIb +Ib => Ib = Ie/(k+1)=1.10-3/31 = 32 µA
 REF _Ref246323511 \h\n Exercice 14 : REF _Ref246323512 \h Montage monostable RC
e1e2s001011101110Attention la bascule n’est pas faite pour VDD/2




 REF _Ref253319657 \h\n Exercice 15 :  REF _Ref253319657 \h Régime transitoire d’un MCC
1°) Le gain statique est donné par le rapport de la variation du signal de sortie sur la variation du signal d’entrée :  EMBED Equation.DSMT4  donc GS =2 rad.s-1.V-1
2°) La constante de temps est trouvée lorsque la sortie atteint 63% de la variation maximale (2rad/s) soit 0.63x2=1,26 rad/s que l’on atteint au bout de 200 ms donc (=200 ms
3°) a)  EMBED Equation.3 
3°) b)  EMBED Word.Picture.8 
3°) c)  EMBED Equation.3  donc  EMBED Equation.3 
3°) d)
 EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 4°)  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 
5°) On connait  EMBED Equation.DSMT4  ce qui va nous permettre de déterminer f
 EMBED Equation.DSMT4 
Donc f=0.03 Nm.rad-1.s-1
6°)
 EMBED Equation.DSMT4 
Donc le moment d’inertie de la machine est de J=0,01 kg.m²
 REF _Ref246323522 \h \n Exercice 16 : REF _Ref246323527 \h Blocage d’un thyristor
 REF _Ref246323533 \h\n Exercice 17 : REF _Ref246323534 \h BTS 1995 Nouméa (MCC)

 REF _Ref246323535 \h\n Exercice 18 : REF _Ref246323536 \h BTS 1998 Nouméa 
II) Résistance de Freinage
1°)  EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Word.Picture.8 
2°) a)  EMBED Equation.DSMT4 
2°) b)
 EMBED Equation.DSMT4 
Or  EMBED Equation.DSMT4 
Donc  EMBED Equation.DSMT4 
2°) c) On peut faire une analyse dimensionnelle pour faire apparaitre la constante de temps
 EMBED Equation.DSMT4 
Pour que chacun des termes soient homogènes il faut que  EMBED Equation.DSMT4  soit des s-1
Donc la constante de temps en secondes est  EMBED Equation.DSMT4 
Il apparait ainsi une forme plus classique de l’équation différentielle
Soit  EMBED Equation.DSMT4 
Avec  EMBED Equation.DSMT4 ¨
La solution de cette équation différentielle est
 EMBED Equation.DSMT4 .
Cette équation correspond à la décroissance exponentielle de l’énergie.
(Remarque : la solution de ce type d’équation différentielle est la somme d’une solution sans second membre du type  EMBED Equation.DSMT4  et d’une solution particulière correspondant au régime forcé , échelon dans notre cas. La solution particulière est donc une constante atteinte lorsque  EMBED Equation.DSMT4  s’annule donc la solution particulière est  EMBED Equation.DSMT4 )
Les condition s initiales permettent de trouver la constante :
A t=0, K0 se ferme , le condensateur est chargé uc = 700 V
 EMBED Equation.DSMT4 
Donc K = 240 (en J)
2°) d) K0 s’ouvre lorsque le condensateur atteint 600 V soit une énergie de  EMBED Equation.DSMT4  donc
 EMBED Equation.DSMT4 
Donc  EMBED Equation.DSMT4 
On atteint les 360 J au bout de 19,5 ms
3°) a) K0 est ouvert, seul le condensateur reçoit la puissance de 10 kW
La puissance reçue de 10 kW est emmagasinée dans le condensateur.
 EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 
3°) b) On ferme K0 lorsque  EMBED Equation.DSMT4 
Donc  EMBED Equation.DSMT4 
4°)
 EMBED Word.Picture.8 

5°) Lors de la phase de décharge le condensateur passe de 700 à 600 V donc délivre son énergie à la résistance et passe de 490 à 360 J en 19,5 ms et pendant ce temps le moteur lui fournit les 10 kW.
 EMBED Equation.DSMT4 
La résistance dissipe 16,6 kW pendant 19,5 ms
Donc  EMBED Equation.DSMT4 
Donc la puissance moyenne dissipée par la résistance est de 10 kW


 REF _Ref246323531 \h \n Exercice 19 : REF _Ref246323532 \h Etude d’un oscillateur
 REF _Ref246323543 \h\n Exercice 20 : REF _Ref246323544 \h MCC
 REF _Ref246323546 \h \n Exercice 21 : REF _Ref246323547 \h Application du thyristor en continu : TP
 REF _Ref246323548 \h\n Exercice 22 : REF _Ref246323549 \h TP
 REF _Ref246323550 \h\n Exercice 23 : REF _Ref246323551 \h NAND
 REF _Ref246323552 \h\n Exercice 24 : REF _Ref246323553 \h Oscillateur
 REF _Ref288305391 \h\n Exercice 25 :  REF _Ref288305391 \h BTS ET 2008 metro Régulation de niveau (Solution 25)
B.3.1.1. dV est homogène à des m3 et dN à des m donc la grandeur les liant sera homogène à des m² soit la surface du bassin

 EMBED Equation.DSMT4 
B.3.1.2. variation volume= (débit entrant – débit sortant) ( temps
 EMBED Equation.DSMT4 
( EMBED Equation.DSMT4 
( EMBED Equation.DSMT4 
(  EMBED Equation.DSMT4 
B.3.1.3.  EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 
 REF _Ref256614196 \h\n Exercice 26 REF _Ref256614196 \h MCC Constante de temps d’un moteur de servomécanisme (Solution 26)

 REF _Ref309204566 \h\n Exercice 27 REF _Ref309204567 \h MCC transitoire démarrage (Solution 27)
1°) Comme  EMBED Equation.DSMT4  car  EMBED Equation.DSMT4  à vide
 EMBED Word.Picture.8 
Donc  EMBED Equation.DSMT4 
Soit  EMBED Equation.DSMT4 
Le couple de pertes est donc  EMBED Equation.DSMT4 
2°)  EMBED Equation.DSMT4 
3°) Par application de la RFD
 EMBED Equation.DSMT4 
L’induit étant ouvert Cem=0
 EMBED Equation.DSMT4 
Le moment d’inertie du moteur est  EMBED Equation.DSMT4 
4°)
 EMBED Equation.DSMT4 
Dans le moteur à courant continu en moteur
 EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 
5°) a) Dans le moteur à courant continu en moteur
 EMBED Equation.DSMT4 
Au démarrage, (=0 donc E=0
 EMBED Equation.DSMT4  donc compatible
5°) b) En combinant les équations  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 
Donc  EMBED Equation.DSMT4 
On arrange l’expression de manière à faire apparaître la forme  EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 
Après simplification et par identification avec l’expression classique  EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 
La constante de temps est  EMBED Equation.DSMT4 
La vitesse finale est  EMBED Equation.DSMT4 
5°) c) à t=0, (=0
La réponse classique d’un système du premier ordre à un échelon est
 EMBED Equation.DSMT4 

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he ÔUVjhe ÔUhe Ôhf%hÝ#Ç"5°) d) les 95% sont atteints pour t= 3(= 0,039 s
6°) a) Si I est imposé  EMBED Equation.DSMT4  est imposé
 EMBED Equation.DSMT4 
Donc  EMBED Equation.DSMT4 
comme  EMBED Equation.DSMT4  alors  EMBED Equation.DSMT4 
Donc  EMBED Equation.DSMT4 
Comme à t=0 ,  EMBED Equation.DSMT4 ,
Donc  EMBED Equation.DSMT4 
6°) b) On atteindra  EMBED Equation.DSMT4 au bout du temps
 EMBED Equation.DSMT4 
Donc on atteint (0 au bout d’un temps  EMBED Equation.DSMT4 

 REF _Ref384328759 \h Abaissement de température par ventilation d’une enceinte ( REF _Ref384328759 \h\n Exercice 28)
1°)  EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 
2°) Lorsque l’enceinte baisse de température la puissance de perte est  EMBED Equation.DSMT4 
3°) l’air perd une énergie  EMBED Equation.DSMT4 
Si on se ramène à ce qui est extrait par unité de temps on obtient une puissance
 EMBED Equation.DSMT4 
or  EMBED Equation.DSMT4 
donc  EMBED Equation.DSMT4  ce qui fait apparaître le débit volumique d’air
 EMBED Equation.DSMT4 
4°)En égalisant la puissance perdue par l’enceinte à celle d’extraction, on trouve
 EMBED Equation.DSMT4 
5°) La constante de temps est  EMBED Equation.DSMT4 
6°) La température de l’enceinte tend vers Text
7°) On souhaite donc obtenir une constante de temps qui vaut 10 min
Donc  EMBED Equation.DSMT4 
Soit un débit d’au moins 6,4 L/s

Solutions 2mer ordre
 REF _Ref246323513 \h\n Exercice 1 : REF _Ref246323513 \h 2ème ordre : graphe
Gain statique 0.1
tr5% = 0,4 à 0,44 ms
T0 = 0,14 ms soit (0=44,88 .103rad/s
tr5%((0 =18,8 donc m=0,15
On peut remplacer m=0,15, (0=44,88 .103rad/s
 EMBED Equation.3 
Lorsqu’on est stabilisé  EMBED Equation.3 
Donc  EMBED Equation.3 
Donc  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.DSMT4 
 REF _Ref246323514 \h \n Exercice 2 : REF _Ref246323514 \h 2ème ordre : RLC série

Pour m= 0,23 graphe plus détaillé

 REF _Ref246323520 \h\n Exercice 3 : REF _Ref246323521 \h Identification d’un 2eme ordre

 REF _Ref246323529 \h\n Exercice 4 : REF _Ref246323530 \h Etude d’un amortisseur
 EMBED Word.Picture.8 
On établit la relation fondamentale de la dynamique
 EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 
On fait apparaître la forme classique d’un 2ème ordre 
 EMBED Equation.DSMT4  en divisant par M:
 EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 
Donc  EMBED Equation.DSMT4 
3°)  EMBED Equation.DSMT4 
Pour trouver le temps de réponse à 5% , on regarde sur l’abaque à m=0,09 ce qui correspond à (0xtr5%=30
Donc  EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Word.Picture.8 
Pour connaître la valeur des dépassements, on regarde dans l’abaque correspondant.

 EMBED Word.Picture.8 
Le premier dépassement est à 75 % de l’échelon d’entrée
 EMBED Word.Picture.8 



 REF _Ref246323537 \h \n Exercice 5 : REF _Ref246323538 \h Etude du circuit de blocage du thyristor principal Thp
 REF _Ref246323539 \h\n Exercice 6 : REF _Ref246323540 \h Réponse à un échelon pour un circuit R, L, C série
1°) Comme la bobine lisse le courant i(0+)=0
Comme le condensateur lisse la tension v(0+)=0 et pour la même raison  EMBED Equation.DSMT4 =0
v(+() correspond à la charge complète du condensateur soit E
i(+() correspond à la charge complète du condensateur v(+()=E donc comme il n’y a plus de tension entre R et L il n’y a plus de courant donc i(+()=0
2°) Loi des mailles
 EMBED Equation.DSMT4 
Or dans un condensateur :  EMBED Equation.DSMT4 , on va remplacer i dans la loi des mailles
 EMBED Equation.DSMT4 
On arrange l’ordre des éléments
 EMBED Equation.DSMT4 
On divise tout par LC
 EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 
Par identification à la formule donnée on détermine les éléments m et (0
 EMBED Equation.DSMT4 
Donc  EMBED Equation.DSMT4  donc  EMBED Equation.DSMT4 
 REF _Ref246323541 \h \n Exercice 7 : REF _Ref246323542 \h Rôle d'une diode dans un circuit L-C








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