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EXERCICES : MOUVEMENT DE ROTATION

Déterminer son moment d'inertie et son énergie cinétique. 3. Déterminer le moment du couple de freinage M pour qu'elle s'arrête en 200 tours. II- Un volant est ...




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ÉNERGÉTIQUE : MOUVEMENT DE ROTATION

I- Une de 18 kg et de 40 cm de diamètre tourne à la fréquence de rotation de 1 500 tr/min.
1. Calculer la vitesse linéaire d’un point de sa circonférence.
2. Déterminer son moment d’inertie et son énergie cinétique.
3. Déterminer le moment du couple de freinage M pour qu’elle s’arrête en 200 tours.

II- Un volant est constitué d'un cylindre de fonte de 1 tonne répartie sur une circonférence de rayon R =1 m. La fréquence de rotation du volant est de 300 tours par minute.
1. Déterminer l'énergie cinétique du volant
2. On utilise ce volant pour effectuer un travail. Il ralentit et ne tourne plus qu'à 120 tr/min. Calculer la valeur du travail effectué.
3. Sachant qu'il met 2 secondes pour passer à cette fréquence, calculer la décélération du volant ainsi que le nombre de tours effectués.
4. Calculer le moment du couple s'opposant à la rotation.

III- Le rotor d'un appareil ménager tourne à la fréquence de 50 tr/s. On l'assimile à un cylindre plein homogène de masse m = 0,2 kg et de rayon R = 3 cm.
1. Calculer le moment d'inertie du rotor.
2. Calculer son énergie cinétique
3. Sachant qu'il a mis 50 tours pour atteindre ce régime, calculez le moment du couple moteur.

IV- Une poutre homogène, de 3 m de longueur et de masse 10 kg, tient verticalement en équilibre instable. On la pousse avec une vitesse négligeable et elle bascule autour de son extrémité inférieure.
On admettra que le moment d'inertie par rapport à l'axe est : J =  EQ \s\do1(\f(m L 2;3)).
Calculer son énergie cinétique et la vitesse de son centre de masse lorsqu'elle arrive au sol.

V- Volant d’inertie
Un volant d’inertie en acier (7800kg/m3) est constitué :  INCLUDEPICTURE "http://www.sciences-indus-cpge.apinc.org/puce.gif" \* MERGEFORMATINET   d’une couronne circulaire à base carrée (coté 10 cm) et de rayon extérieur Re = 50 cm ;  INCLUDEPICTURE "http://www.sciences-indus-cpge.apinc.org/puce.gif" \* MERGEFORMATINET   d’un moyeu central de rayon Rm = 5 cm, de hauteur h =10 cm.  INCLUDEPICTURE "http://www.sciences-indus-cpge.apinc.org/puce.gif" \* MERGEFORMATINET   de trois bras à 120° de section carrée (coté 5 cm).
Le moment d’inertie du volant par rapport à son axe de rotation  EMBED Equation.3  a pour valeur 46,5 kg.m 2. Sa masse est de 247 kg.
1.  Déterminer la masse et le rayon d’un volant d’inertie plein de même moment et d’épaisseur 10 cm. 2.  Comparer la masse et le rayon de giration des deux volants.
Définition du rayon de giration : Dans une direction déterminée, le rayon de giration d'un corps est la distance de l'axe d'inertie à un point fictif de masse égale à la masse totale et donnant même moment d'inertie que ce corps. Correction
II- Volant cylindrique en fonte m = 1 tonne = 10 3 kg R =1 m. N = 300 tr/min = 5 tr/s
1. Moment d'inertie : J =  EQ \s\do1(\f(1;2)) m R 2 J =  EQ \s\do1(\f(1;2)) SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 10 3 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 1 2 J = 500 kg.m 2
Vitesse angulaire : ( = 2 ( n ( = 2 ( SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 5 ( = 10 ( rad/s
Énergie cinétique : EC =  EQ \s\do1(\f(1;2)) J ( 2 EC =  EQ \s\do1(\f(1;2)) SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 500 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h (10 () 2 EC SYMBOL 187 \f "Symbol"\h 246,74 kJ
2. Le volant effectue un travail et ralentit jusqu'à 120 tr.min– 1. Nf = 2 tr.s – 1 Théorème de l'énergie cinétique : la somme des travaux est égale à la variation d'énergie cinétique.
Calcul de la variation d'énergie cinétique :
Énergie cinétique finale : ECf =  EQ \s\do1(\f(1;2)) J (f 2 A.N.: ECf =  EQ \s\do1(\f(1;2)) SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 500 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h (2 ( SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 2) 2 ECf SYMBOL 187 \f "Symbol"\h 39,478 kJ
Variation d'énergie cinétique : DðEC = ECf  EC
A.N.: DðEC SYMBOL 187 \f "Symbol"\h 39,478  246,74 DðEC SYMBOL 187 \f "Symbol"\h  207,262 kJ
Le travail de la force résistante (d'où le moins) est égal à cette variation : W (Fð) SYMBOL 187 \f "Symbol"\h  207,262 kJ
3. Décélération en 2 secondes
Décélération du volant : (' =  EQ \s\do1(\f((f – (;t)) (' =  EQ \s\do1(\f(2 ( Nf – 2 ( N;t)) =  EQ \s\do1(\f(2 ( (Nf – N); t))
A.N.: (' =  EQ \s\do1(\f(2 ( (2 – 5);2)) (' SYMBOL 187 \f "Symbol"\h – 9,425 rad/s
Nombre de tours effectués : ( =  EQ \s\do1(\f(1;2)) (' t 2 (formule donnée)
A.N.: ( =  EQ \s\do1(\f(1;2)) SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 9,425 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 2 2 ( SYMBOL 187 \f "Symbol"\h 18,850 rad
4. Moment du couple résistant : W(M(Fð)) = M ( d'où M =  EQ \s\do1(\f(W(M(F));())
A.N.: M SYMBOL 187 \f "Symbol"\h  EQ \s\do1(\f(207,262.10 3;18,850)) M SYMBOL 187 \f "Symbol"\h 10 995 Nm


III- Rotor d'un appareil ménager : cylindre plein homogène N = 50 tr.s 1 m = 0,2 kg ; R = 3 cm
1. Moment d'inertie J =  EQ \s\do1(\f(1;2)) m R 2 J =  EQ \s\do1(\f(1;2)) SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 0,2 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h (3.10 – 3) 2 J = 9.10 – 7 kg.m 2
2. Énergie cinétique EC =  EQ \s\do1(\f(1;2)) J ( 2 EC =  EQ \s\do1(\f(1;2)) SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 9.10 – 7 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h (2 ( SYMBOL 180 \f "Symbol"\h50 ) 2 EC SYMBOL 187 \f "Symbol"\h 44,4 mJ
3. 50 tours pour atteindre ce régime.
La variation d'énergie cinétique depuis le démarrage est donc égale à 44,4 mJ. Cette valeur correspond au travail du moment du couple moteur.
L'angle balayé pendant cette phase est : ( = 50 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 2( rad W(M) = M ( d'où M =  EQ \s\do1(\f(W(M);()) A.N.: M SYMBOL 187 \f "Symbol"\h  EQ \s\do1(\f(44,4.10 - 3;50 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 2 ()) M SYMBOL 187 \f "Symbol"\h 141.10 – 3 Nm
IV- Une poutre de 3 m de longueur et de masse 10 kg, homogène, tient verticalement en équilibre instable. On la pousse avec une vitesse négligeable et elle bascule autour de son extrémité inférieure.
On admettra que le moment d'inertie par rapport à l'axe est : J =  EQ \s\do1(\f(m L 2;3)).
Calculer son énergie cinétique et la vitesse de son centre de masse lorsqu'elle arrive au sol.

La poutre est homogène : son centre d'inertie est à mi-longueur. z1 = 1,5 m
État initial (poutre verticale)
EP1 = m g z1 EP1 = 10 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 9,8 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 1,5 EP1 SYMBOL 187 \f "Symbol"\h 147 J EC1 =  EQ \s\do1(\f(1;2)) J (12 EC1 = 0
É)*,-„…†‡ÅÆÇÈ   V W X Y Z 



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