Circuits linéaires en régime sinusoïdal - Physique-appliquee.net
1 Importance du régime sinusoïdal. La plus grande partie de l'énergie électrique
est produite sous forme de courant alternatif sinusoïdal ;; Les fonctions ...
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rme :
EMBED Equation.2 t est le temps en secondes (s) ( est la pulsation en radians par seconde (rad.s-1) ; EMBED Equation.2 est la phase instantanée en radians (rad) ; EMBED Equation.2 est la phase à lorigine en radians (rad).
Valeur moyenne
EMBED Equation.2 car il sagit dune fonction alternative Remarque : la valeur moyenne peut encore sécrire sous la forme EMBED Equation.2
Valeur efficace
la valeur efficace dune grandeur sinusoïdale est : EMBED Equation.2 où UM est la valeur maximum du signal.
Période
Par définition T est telle que EMBED Equation.2 ou k = 1, 2, 3,
ce qui conduit à : EMBED Equation.2 ou avec la fréquence : EMBED Equation.2
Exemple
EMBED Equation.2
De cette équation ou de la courbe on peut en déduire :
EMBED Equation.2
EMBED Equation.2
EMBED Equation.2
EMBED Equation.2
EMBED Equation.2
EMBED Equation.2
Relevé graphique de (u :
Une période correspond à un tour du cercle trigonométrique.
T ( 2(
(t ( (u
EMBED Equation.2
Remarquer le sens de mesure (t.
Représentation de Fresnel
La représentation de Fresnel est une représentation vectorielle des grandeurs sinusoïdales.
Représentation dun vecteur
En coordonnées cartésiennes il faut la position (x; y) de son extrémité par rapport à son origine.
EMBED Equation.2
En coordonnées polaires, il faut sa longueur et langle quil fait avec un axe dorigine.
EMBED Equation.2
Représentation de Fresnel
Toute grandeur sinusoïdale (tension ou courant) sera représentée par un vecteur de longueur sa valeur efficace et dangle sa phase à lorigine.
Considérons un dipôle Z traversé par un courant i et ayant entre ses bornes une tension u.
Pour la tension : EMBED Equation.2
Pour le courant : EMBED Equation.2
Différence de phase : EMBED Equation.2
Si on prend le courant I comme origine des phases la représentation se simplifie.
EMBED Equation.2
EMBED Equation.2
jð (phi) représente le déphasage de i par rapport à u.
En représentation de Fresnel, jð est l angle allant de i vers u.
Remarque : il n est pas nécessaire de représenter la phase instantanée EMBED Equation.2 puisque dans un circuit électrique, toutes les grandeurs électriques auront la même pulsation wð. La seule partie qui change pour les différentes tensions et courants, ce sont la valeur efficace et la phase à l origine qð.
Remarque : le déphasage jð dépend du dipôle et de la pulsation (
Loi des mailles en représentation de Fresnel
Exemple :
Loi des mailles instantanée : EMBED Equation.2 avec EMBED Equation.2
et EMBED Equation.2
Remarque : u à la même période que u1 et u2.
Loi des mailles vectorielle : EMBED Equation.2 avec EMBED Equation.2
et EMBED Equation.2
En aucun cas il ne faut faire la somme algébrique des valeurs efficaces U1 et U2.
EMBED Equation.2 (voir la construction vectorielle ci-dessus).
Remarque : il en va de même pour la loi des noeuds.
Puissances en régime sinusoïdal
Puissance instantanée
La puissance électrique est le produit de la tension par le courant.
EMBED Equation.2 et EMBED Equation.2
EMBED Equation.2
Pour réarranger les termes, on utilise la relation trigonométrique ci-dessous : EMBED Equation.2
doù EMBED Equation.2
Finalement EMBED Equation.2
On constate que la puissance instantanée est la somme dun terme constant EMBED Equation.2 et dun terme variant périodiquement EMBED Equation.2 .
Puissance active
La puissance active est la moyenne de la puissance instantanée. La valeur moyenne du terme périodique est nulle (cest une fonction périodique alternative). Il reste donc le terme constant.
EMBED Equation.2
U : valeur efficace de la tension (V) ;
I : valeur efficace du courant (A) ;
jð : déphasage entre u et i (rad).
Unité : le watt (W).
Puissance réactive
La puissance réactive est une invention mathématique pour faciliter les calculs.
EMBED Equation.2
Unité : le voltampère réactif (VAR)
Puissance apparente
La puissance apparente ne tient pas compte du déphasage entre u(t) et i(t).
EMBED Equation.2
Unité : le voltampère (VA).
Triangle de puissance
En observant les relations ci-dessus on constate que :
EMBED Equation.2
Ce qui peut être schématisé par le diagramme de Fresnel des puissances :
Remarque : seule la puissance active à une réalité physique.
La puissance réactive ne correspond à aucune puissance réelle.
Autres relations
EMBED Equation.2 et
Les dipôles passifs linéaires
La résistance (voir tableau)
La bobine parfaite (voir tableau)
Le condensateur parfait (voir tableau)
Résistance RInductance LCapacité CSchémaEquation fondamentale EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 Impédance Z (&!) EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 Admittance Y (S) EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 Relation entre les valeurs efficaces EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Déphasage jð ð(rad) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Représentation de FresnelPuissance active
P (W) EMBED Equation.2
R absorbe P00Puissance réactive
Q (VAR)0 EMBED Equation.2
L absorbe Q EMBED Equation.2
C fournit Q
La bobine réelle
La résistance du fil de cuivre dont est composée la bobine nest en réalité pas négligeable. Doù la modélisation dune bobine réelle par une résistance en série avec une inductance parfaite :
Z est limpédance de la bobine (en Ohms ; &!).
Il faut connaître l expression de Z en fonction de r et L.
EMBED Equation.2 ( est la pulsation en rad.s-1 (démonstration en exercice)
Le condensateur réel
Le condensateur réel ne s éloigne du condensateur parfait que pour les très hautes fréquences (( > 1 MHz) .
Nous considérons ici que le condensateur est parfait.
Théorème de Boucherot
Théorème
Les puissances active et réactive absorbées par un groupement de dipôles sont respectivement égales à la somme des puissances actives et réactives absorbées par chaque élément du groupement.
Exemple
Puissance instantanée
EMBED Equation.2
Puissance active
EMBED Equation.2
Puissance réactive
EMBED Equation.2
Le théorème de Boucherot nest pas valable pour la puissance apparente.
Facteur de puissance
Définition
Définition générale
EMBED Equation.2
Sans dimension.
Cas particulier du régime sinusoïdal
EMBED Equation.2 soit EMBED Equation.2
En régime sinusoïdale le facteur de puissance est EMBED Equation.2 .
Importance du cos jð
La tension U étant imposée par le réseau EDF (220V, & ) et la puissance P nécessaire pour l installation électrique, le courant s adapte suivant la relation EMBED Equation.2 .
Problème économique : plus I est faible plus les pertes sont faibles. Pour diminuer I sans modifier P ou U, il faut augmenter cos jð.
On dit qu il faut relever le facteur de puissance.
Problème électrique : comment modifier cos jð ðsans modifier la puissance active P ?
Réponse : le facteur de puissance peut s exprimer de la façon suivante ; EMBED Equation.2 .
Plus Q se rapproche de 0, plus cos jð se rapproche de 1. En rajoutant à l installation électrique des condensateurs ou des inductances, on modifie Q sans modifier P.
Remarque : pour un particulier, EDF facture la puissance apparent S alors que le consommateur utilise la puissance active P. Pour les entreprises EDF autorise un facteur de puissance limite sous lequel il ne faut pas passer sous peine de surcoût.
Relèvement du facteur de puissance
Si linstallation électrique est inductive (Q > 0), il faut diminuer Q en adjoignant des condensateurs (QC 0, i est en retard sur u ; la charge est de nature inductive.
si ( = 0, i et u sont en phase ; la charge est de nature résistive.
on peut alors écrire les grandeurs u et i dune des façons suivantes :
EMBED Equation.2
EMBED Equation.2
ou EMBED Equation.2
EMBED Equation.2
Déphasage en représentation de Fresnel
Sur le diagramme de Fresnel, ( est langle allant de EMBED Equation.2 vers EMBED Equation.2 .
Mesure du déphasage à loscilloscope
Montage expérimental
remarque : à loscilloscope ur est limage de iOn va mesurer le déphasage entre u et i provoqué par les composants R, L et C de ce circuit
Méthode
A loscilloscope on mesure lintervalle de temps (t allant de u vers i et la période T (identique pour u et i).
Sachant quune période complète correspond à 2( radians ou 360 degrés, on effectue une règle de trois pour trouver le déphasage (.
EMBED Equation.2 en radians ou EMBED Equation.2 en degrés
Exemple
Il faut choisir lintervalle (t entre deux fronts montants ou deux fronts descendants.
EMBED Equation.2
Remarque : il existe une autre méthode de mesure du déphasage à loscilloscope (courbes de Lissajous). Il existe également des instruments mesurant automatiquement le déphasage.
Importance de la mesure du déphasage
Le déphasage intervient dans :
- le calcul de puissance et le redressement du facteur de puissance ;
- la conception de filtres HiFi ;
- la conception de régulations de systèmes dasservissement.
En mesure physique le déphasage indique lintervalle de temps entre deux signaux (ex. : mesure de vitesses, de retards, de temps de réaction, & )
Résumé
Soit jð, le déphasage de i par rapport à u :
Grandeurs instantanéesReprésentation de FresnelMesure à l oscilloscope EMBED Equation.2 Angle allant de i vers uMesurer Dðt de u vers i
Mesure du déphasage en électrotechnique
Il faut mesure la puissance active P, la tension efficace U et le courant efficace I.
EMBED Equation.3
Diagramme de Fresnel d un circuit électrique
Diagramme des tensions
Exercice
Diagramme des courants
Exercice
Diagramme des impédances
Exercice
Terminale STI Régime sinusoïdal
14/10/98 © Claude Divoux, 1999 PAGE 3/ NUMPAGES 10
