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EXERCICES

la série "Cigare" corrigée des variations saisonnières. - la tendance ... Représenter graphiquement cette tendance linéaire sur la tendance finale. g) Déterminer ...




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MBA Program


CORE PHASE 2008-2009

September Intake


Section Bilingue



METHODES STATISTIQUES EN GESTION


Cas et Exercices

Analyse et prévision d'une série chronologique



















Professeur : Michel Tenenhaus

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EXERCICES


Consommation de cigares

Les données de ce cas proviennent du livre de Alan Pankratz : Forecasting with univariate Box-Jenkins models, Wiley, 1983. Voici la description de ces données extraite de son livre :

The data to be analyzed are given in table 1 and plotted in figure 1. They represent monthly cigar consumption (withdrawals) from stocks) for the years 1969-1976. The mean of this series seems to fall over time. There is some evidence that the variance of the series falls along with the mean. In particular, the variability of the data during 1969 is greater than the variability during 1975 and 1976. This contrast aside, the variance over the rest of the series is fairly uniform. Though we could try a logarithmic transformation we conclude (quite subjectively) that the evidence is not strong enough to warrant this step. More data may provide a better picture of any changes in variance. The series shows an obvious seasonal pattern with peak values in October and low values in December. With monthly data the length of seasonality is 12

Décomposition de la série "Cigare"

Les modèles seront construits sur les années 1969 à 1975 et les prévisions comparées aux résultats de l'année 1976.
Ajouter au fichier cigare.sav la variable « numéro du mois » en utilisant TRANSFORM/COMPUTE. Vous mettez « numéro » dans TARGET, « $casenum » dans NUMERIC EXPRESSION et DECIMALS = 0 pour numéro dans VARIABLE VIEW.
Sélectionner les années 1969 à 1975.
Représenter graphiquement en utilisant ANALYZE/TIME SERIES/SEQUENCE CHARTS et mettre DATE dans Time Axis Label :
- la série d'origine,
la série d'origine avec une tendance "moyenne mobile centrée d'ordre 12.
Pour calculer la tendance "moyenne mobile centrée d'ordre 12 vous procédez comme suit : Utiliser TRANSFORM/CREATE TIME SERIES. Dans la fenêtre FUNCTION, sélectionner CENTERED MOVING AVERAGE et dans SPAN 12. Cliquer au final sur CHANGE.
Utiliser ANALYZE/TIME SERIES/SEASONAL DECOMPOSITION. Choisir ENDPOINTS WEIGHTED BY .5.
1) Représenter graphiquement :
- les coefficients saisonniers des 12 mois (En utilisant « Properties », limiter le graphique à l’année 1969).
- la série des résidus avec un ’axe de référence horizontal au niveau de valeur 1.
- la série "Cigare" corrigée des variations saisonnières
- la tendance finale en indiquant graphiquement le numéro du mois (Indiquer « numéro » dans Time Axis Label. Choisir ELEMENTS/ADD MARKER puis ELEMENTS/SHOW DATA LABELS)
2) Identifier la période exacte du changement de tendance.
Recommencer la décomposition saisonnière sur la période correspondant aux années avec tendance à la baisse de la consommation de cigares.
Ajuster une tendance linéaire sur la tendance finale calculée en e). Utiliser REGRESSION/CURVE ESTIMATION. Dans la fenêtre INDEPENDENT/VARIABLE mettre la variable « numéro » construite en a) et dans la fenêtre MODELS « linear ». Représenter graphiquement cette tendance linéaire sur la tendance finale.
Déterminer une prévision de la tendance finale pour les douze mois de 1976 en utilisant REGRESSION/CURVE ESTIMATION/SAVE/SAVE VARIABLES/
PREDICTED VALUES. Ajouter maintenant l’année 1976 à votre sélection de données. Visualiser la tendance finale et sa prévision pour 1976.
Déterminer une prévision de la consommation de cigares pour les douze mois de 1976 en multipliant la prévision de la tendance obtenue en g) par les coefficients saisonniers. Comparer graphiquement les prévisions des 12 mois de 1976 à la réalité. Calculer la somme des carrés des erreurs de prévision pour 1976.



Utilisation de la méthode de Winters

Nous allons utiliser l'année 1976 comme jeu-test. Le modèle sera construit sur les années 1969 à 1975, et les prévisions comparées aux résultats de l'année 1976.
a) Déterminer les constantes de lissages optimales en utilisant SPSS
b) Représenter graphiquement l'ajustement entre les données observées et les données lissées pour 1975 et 1976. Donner également les valeurs numériques.
c) Calculer la somme des carrés des erreurs de prévision pour 1976.
d) Conclusion.

Tableau 1


Consommation
Date de cigare
________ ____________

JAN 1969 484
FEB 1969 498
MAR 1969 537
APR 1969 552
MAY 1969 597
JUN 1969 576
JUL 1969 544
AUG 1969 621
SEP 1969 604
OCT 1969 719
NOV 1969 599
DEC 1969 414
JAN 1970 502
FEB 1970 494
MAR 1970 527
APR 1970 544
MAY 1970 631
JUN 1970 557
JUL 1970 540
AUG 1970 588
SEP 1970 593
OCT 1970 653
NOV 1970 582
DEC 1970 495
JAN 1971 510
FEB 1971 506
MAR 1971 557
APR 1971 559
MAY 1971 571
JUN 1971 564
JUL 1971 497
AUG 1971 552
SEP 1971 559
OCT 1971 597
NOV 1971 616
DEC 1971 418
JAN 1972 452
FEB 1972 460
MAR 1972 541
APR 1972 460
MAY 1972 592
JUN 1972 475
JUL 1972 442
AUG 1972 563
SEP 1972 485
OCT 1972 562
NOV 1972 520
DEC 1972 346

Consommation
Date de cigare
________ ____________

JAN 1973 466
FEB 1973 403
MAR 1973 465
APR 1973 485
MAY 1973 507
JUN 1973 483
JUL 1973 403
AUG 1973 506
SEP 1973 442
OCT 1973 576
NOV 1973 480
DEC 1973 339
JAN 1974 418
FEB 1974 380
MAR 1974 405
APR 1974 452
MAY 1974 403
JUN 1974 379
JUL 1974 399
AUG 1974 464
SEP 1974 443
OCT 1974 533
NOV 1974 416
DEC 1974 314
JAN 1975 351
FEB 1975 354
MAR 1975 372
APR 1975 394
MAY 1975 397
JUN 1975 417
JUL 1975 347
AUG 1975 371
SEP 1975 389
OCT 1975 448
NOV 1975 349
DEC 1975 286
JAN 1976 317
FEB 1976 288
MAR 1976 364
APR 1976 337
MAY 1976 342
JUN 1976 377
JUL 1976 315
AUG 1976 356
SEP 1976 354
OCT 1976 388
NOV 1976 340
DEC 1976 264

Figure 1





Standard & Poor's 500

Standard & Poor's 500 Stock Composite Average (S&P 500) is a stock market index. Like the Dow Jones Industrial Average, it is an indicator of stock market activity. The table contains end-of-quarter values of the S&P 500 for the years 1971-1985.

YEARQUARTERS&P500YEARQUARTERS&P500YEARQUARTERS&P5001971



1972



1973



1974



1975I
II
III
IV
I
II
III
IV
I
II
III
IV
I
II
III
IV
I
II
III
IV100.31
99.20
98.34
102.09
107.20
107.14
110.55
118.06
111.52
104.26
109.43
97.55
93.98
86.00
63.54
68.56
83.36
95.19
83.87
98.191976



1977



1978



1979



1980I
II
III
IV
I
II
III
IV
I
II
III
IV
I
II
III
IV
I
II
III
IV102.77
104.28
105.24
107.46
98.42
100.48
96.53
95.10
89.21
95.53
102.54
96.11
101.59
102.91
109.32
107.94
105.36
113.72
127.14
131.441981



1982



1983



1984



1985I
II
III
IV
I
II
III
IV
I
II
III
IV
I
II
III
IV
I
II
III
IV134.94
129.06
118.77
119.13
117.09
109.82
121.79
138.91
152.96
168.11
166.07
164.93
159.18
153.18
166.10
167.24
180.66
191.85
182.08
211.28

Questions


On utilise le lissage exponentiel sur la série SP500 sur la période 1971-I à 1984-IV, avec ( = 0.7. En choisissant une valeur initiale S0 égale à Y1, calculez S56 et S57. Calculer les intervalles de prévision à 95% des valeurs de l'indice SP500 pour les périodes 1985-I à 1985-IV. Comparer aux valeurs observées.
Reprendre la question a) en utilisant la constante de lissage optimale déterminée par SPSS.
On utilise maintenant le lissage de Holt sur la période 1971-I à 1984-IV. En utilisant SPSS déterminer une prévision des quatre trimestres de 1985. Calculer à la main une prévision du premier trimestre de 1986. Retrouver votre résultat avec SPSS.
Reprendre la question c) en utilisant la méthode de Winters.
Quel est le modèle minimisant la quantité  EMBED Equation.3  , où ei est l'erreur de prévision de la période i réalisée à la période i-1 ?
Quel est le modèle minimisant la quantité  EMBED Equation.3  , où ei est l'erreur de prévision de la période i réalisée à la période 56 ?
Utiliser TIME SERIES/CREATE MODELS sur la période 1971-I à 1984-IV :
Dependent variables : SP500
Method : Expert Modeler
Onglet STATISTICS :



Onglet PLOT :



Onglet SAVE :




Onglet OPTIONS :




Ecrire le modèle proposé par le Time Series Modeler de SPSS. Visualiser la qualité de l’ajustement, les prévisions et les intervalles de prévision pour l’année 1985, en ajoutant les show line markers. Calculer la quantité  EMBED Equation.3 . Conclusion.
SORTIES SPSS

QUESTION a






DATEsp500Fit for sp500DATEsp500Fit for sp5001Q1 1971100,31100,3129Q1 197889,2195,902Q2 197199,2100,3130Q2 197895,5391,223Q3 197198,3499,5331Q3 1978102,5494,244Q4 1971102,0998,7032Q4 197896,11100,055Q1 1972107,2101,0733Q1 1979101,5997,296Q2 1972107,14105,3634Q2 1979102,91100,307Q3 1972110,55106,6135Q3 1979109,32102,138Q4 1972118,06109,3736Q4 1979107,94107,169Q1 1973111,52115,4537Q1 1980105,36107,7110Q2 1973104,26112,7038Q2 1980113,72106,0611Q3 1973108,43106,7939Q3 1980127,14111,4212Q4 197397,55107,9440Q4 1980131,44122,4213Q1 197493,98100,6741Q1 1981134,94128,7414Q2 19748695,9942Q2 1981129,06133,0815Q3 197463,5489,0043Q3 1981118,77130,2716Q4 197468,5671,1844Q4 1981119,13122,2217Q1 197583,3669,3545Q1 1982117,09120,0618Q2 197595,1979,1646Q2 1982109,82117,9819Q3 197583,8790,3847Q3 1982121,79112,2720Q4 197598,1985,8248Q4 1982138,91118,9321Q1 1976102,7794,4849Q1 1983152,96132,9222Q2 1976104,28100,2850Q2 1983168,11146,9523Q3 1976105,24103,0851Q3 1983166,07161,7624Q4 1976107,46104,5952Q4 1983164,93164,7825Q1 197798,42106,6053Q1 1984159,18164,8826Q2 1977100,48100,8754Q2 1984153,18160,8927Q3 197796,53100,6055Q3 1984166,1155,4928Q4 197795,197,7556Q4 1984167,24162,92





QUESTION b






QUESTION c






QUESTION d







QUESTION e

Time Series Modeler













III. Ventes de champagne


Nous avons étudié sur la série champagne, donnée dans le tableau 1 et visualisée dans la figure 1, la méthode de Winters. Nous avons utilisé le logiciel SPSS pour optimiser la recherche des valeurs initiales et des constantes de lissage. Les 93 premières observations sont utilisées pour optimiser les paramètres du modèle et les 12 dernières pour comparer prévisions et réalités. A l'instant 0 les valeurs initiales suivantes ont été trouvées :


Calculer la prévision  EMBED Equation.3  de X1.
On a obtenu les constantes de lissage optimales suivantes : ± = 0.04 ² = ³ = 0.
Calculer S1, T1, et I1.
Calculer S2, T2, et I2.
Sachant que S93 = 6594, calculer  EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3 , et  EMBED Equation.3 .
Comparer ces prévisions aux valeurs réelles : donner les erreurs de prévision.


Tableau 1 : Ventes de champagne

AnnéeJanvierFévrierMarsAvrilMaiJuinJuilletAoûtSeptembreOctobreNovembreDécembre1962
1963
1964
1965
1966
1967
1968
1969
19702815
2541
3113
5375
3633
4016
2639
3934
43482672
2475
3006
3086
4292
3957
2899
3162
35642755
3031
4047
3718
4154
4510
3370
4286
45772721
3266
3523
4514
4121
4276
3740
4676
47882946
3776
3937
4520
4647
4968
2927
5010
46183036
3230
3986
4539
4753
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13076
12670

Figure 1 : Ventes de champagne










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