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Bac maths S 2000 - Centres étrangers

BACCALAUREAT GENERAL - Session 2000 ... Le formulaire officiel de mathématiques, prévu par l'arrêté du 27 mars 1991, et deux feuilles de papier millimétré ...




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Bac S 2000 - CENTRES ETRANGERS

Probabilité, transformation, géométrie dans l’espace, fonction logarithme

Annales bac S non corrigées :  HYPERLINK "http://debart.pagesperso-orange.fr/ts/terminale.html" http://debart.pagesperso-orange.fr/ts Document Word : http://www.debart.fr/doc/bac_2000/bac_s_centres_etrangers_2000.doc

BACCALAUREAT GENERAL - Session 2000
Épreuve : MATHEMATIQUES
Série : S Durée : 4 heures Coef. : 7 ou 9

OBLIGATOIRE et SPECIALITE

L'utilisation d’une calculatrice est autorisée.

Le candidat doit traiter les DEUX exercices et le problème. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Le formulaire officiel de mathématiques, prévu par l'arrêté du 27 mars 1991, et deux feuilles de papier millimétré sont joints au sujet.

Ce sujet comporte 5 pages numérotées de 1 à 5.


EXERCICE 1 (5 points) commun à tous les candidats

Les deux questions de cet exercice sont indépendantes et on donnera les réponses sous forme de fractions.
Une urne contient 6 boules bleues, 3 boules rouges et 2 boules vertes, indiscernables au toucher.

1. On tire simultanément au hasard 3 boules de l’urne.

a) Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
E1 : Les boules sont toutes de couleurs différentes ;
E2 : Les boules sont toutes de la même couleur. (1 point)

b) On appelle X la variable aléatoire qui, à tout tirage de trois boules, associe le nombre de boules bleues tirées.

Établir la loi de probabilité de X. (1,5 point)
Calculer l’espérance mathématique de X. (0,5 point)

2. Soit k un entier supérieur ou égal à 2.
On procède cette fois de la façon suivante : on tire au hasard une boule de l’urne, on note sa couleur, puis on la replace dans l’urne avant de procéder au tirage suivant.
On effectue ainsi k tirages successifs.

Quelle est la valeur minimale de k pour que la probabilité de ne tirer que des boules bleues soit au moins mille fois plus grande que la probabilité de ne tirer que des boules rouges ? (2 points)
EXERCICE 2 (5 points) pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Dans le plan orienté, on considère un losange ABCD tel que :
EMBED Unknown.
On désigne par I, J, K, L, et O les milieux respectifs des segments [AB], [BC], [CD], [DA] et [BD].
On note EMBED Unknownla médiatrice de [AB] et EMBED Unknown la médiatrice de [CD].

1. Soit f l’isométrie du plan définie par :
f(A) = B,
f (B) = D,
f (D) = C.

a) Prouver que f est un antidéplacement. (0,5 point)

b) Démontrer que, s’il existe un point M invariant par f, alors M est équidistant des points A, B, C, D. (1 point)

c) L’isométrie f admet-elle un point invariant ? (0,5 point)

2. Soit ( la symétrie orthogonale d’axe (() et r la rotation de centre B et d’angle  EMBED Equation.2 .
a) Démontrer que f =  EMBED Equation.2  (0,5 point)

b) A-t-on EMBED Unknown? (0,5 point)

3. Soit s1 la symétrie orthogonale d’axe (BC).

a) Déterminer l’axe de la symétrie orthogonale EMBED Unknown telle que EMBED Unknown. (0,5 point)

b) En déduire que f peut s’écrire sous la forme EMBED Unknown, où EMBED Unknown est une translation que l’on précisera. (0,5 point)

4. Soit EMBED Unknown la translation de vecteur EMBED Unknown; on note EMBED Unknownsa réciproque et on pose EMBED Unknown

a) Déterminer g(D), g(I), g(O).
En déduire la nature précise de la transformation g. (0,5 point)

b) Démontrer que EMBED Unknown A-t-on EMBED Unknown? (0,5 point)
EXERCICE 2 (5 points) candidats n'ayant que l'enseignement obligatoire

On se propose d’étudier une modélisation d’une tour de contrôle de trafic aérien, chargée de surveiller deux routes aériennes représentées par deux droites de l’espace.
L’espace est rapporté à un repère orthonormal EMBED Unknown d’unité 1 km. Le plan EMBED Unknownreprésente le sol.
Les deux « routes aériennes » à contrôler sont représentées par deux droites EMBED Unknownet EMBED Unknown, dont on connaît des représentations paramétriques :

EMBED Unknown EMBED Unknown.

1. a) Indiquer les coordonnées d’un vecteur EMBED Unknown directeur de la droite EMBED Unknown et d’un vecteur EMBED Unknown directeur de la droite EMBED Unknown. (1 point)

b) Prouver que les droites EMBED Unknownet EMBED Unknownne sont pas coplanaires. (1 point)

2. On veut installer au sommet S de la tour de contrôle, de coordonnées S (3 ; 4 ; 0,1), un appareil de surveillance qui émet un rayon représenté par une droite notée (R). Soit EMBED Unknownle plan contenant S et EMBED Unknown et soit EMBED Unknown le plan contenant S et EMBED Unknown.
a) Montrer que EMBED Unknown est sécante à EMBED Unknown. (1 point)

b) Montrer que EMBED Unknown est sécante à EMBED Unknown. (1 point)

c) Un technicien affirme qu’il est possible de choisir la direction de (R) pour que cette droite coupe chacune des droites (D1) et (D2).
Cette affirmation est-elle vraie ? Justifier la réponse. (1 point)
PROBLEME (10 points) commun à tous les candidats

Les buts du problème sont l’étude de la fonction f définie sur l’intervalle EMBED Unknown par EMBED Unknown, puis la recherche de primitives de cette fonction.

Première partie - Étude de fonctions auxiliaires

1. On définit la fonction g sur l’intervalle EMBED Unknown par :
EMBED Unknown.

a) On admet le résultat suivant : EMBED Unknown.
En déduire la limite de EMBED Unknownlorsque x tend vers 1. (0,5 point)

b) Calculer EMBED Unknownpour x appartenant à l’intervalle EMBED Unknown (0,5 point)

c) Résoudre l’inéquation EMBED Unknown, d’inconnue x appartenant à l’intervalle EMBED Unknown
(0,5 point)

d) Étudier le sens de variation de g sur l’intervalleEMBED Unknown (0,5 point)

e) Montrer que l’équation EMBED Unknown a une solution unique, notée EMBED Unknown dans l’intervalle EMBED Unknown, et étudier le signe de EMBED Unknown sur chacun des intervalles EMBED Unknownet EMBED Unknown
(1 point)

2. Soit EMBED Unknownla fonction définie sur l’intervalle EMBED Unknown par :
EMBED Unknown.
a) Déterminer EMBED Unknown et prouver que EMBED Unknown (1 point)
b) Calculer EMBED Unknownet montrer que EMBED Unknownest du signe de EMBED Unknownsur l’intervalle EMBED Unknown
(1 point)

c) Montrer que ( est croissante sur l’intervalleEMBED Unknownet décroissante sur l’intervalle EMBED Unknown (1 point)

Deuxième partie - Étude de la fonction f

1. Vérifier que, pour tout x appartenant à l’intervalle EMBED Unknown, on a EMBED Unknown.
(0,5 point)

2. En déduire :

a) la limite de EMBED Unknownlorsque x tend vers 0 ; (0,25 point)

b) la limite de EMBED Unknownlorsque x tend vers + ( ; (0,25 point)

c) le sens de variation de f sur l’intervalle EMBED Unknownet que f admet un maximum enEMBED Unknown. (0,5 point)

3. Montrer que, pour tout x de l’intervalle EMBED Unknown
EMBED Unknown. (0,5 point)

4. Reproduire le tableau suivant et le compléter en donnant des valeurs approchées à EMBED Unknownprès : (0,5 point)

x0,10,511,523f(x)
5. Représenter graphiquement f dans un repère orthogonal, d’unités 5 cm en abscisse et 10 cm en ordonnée. On prendra 10 comme valeur approchée de EMBED Unknown (0,5 point)


Troisième partie - Recherche de primitives de f

1. Vérifier que f est solution de l’équation différentielle
EMBED Unknown. (0,5 point)

2. On pose EMBED Unknown.
a) Trouver une primitive H de h sur l’intervalle EMBED Unknown. (0,5 point)

b) En déduire les primitives F de f sur l’intervalle EMBED Unknown. (0,5 point)








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