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Exercices sur la représentation des données

Multiplier 10011011 et 11001101 en binaire. Corrigé : ... en effectuant les mêmes opérations après avoir converti les nombres dans le système décimal. Corrigé ...




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Initiation à l’Architecture des Ordinateurs
Travaux Dirigés N°2
Représentation des Données



Exercice N°1

Exprimez le nombre décimal 100 dans les bases de 2 à 9 et en hexadécimal
 
Corrigé :
Base 21100100Base 310201Base 41210Base 5400Base 6244Base 7202Base 8144Base 9121Base 1664 
Exercice N°2

Multiplier 10011011 et 11001101 en binaire.

Corrigé :
1 0011011110011011 00110111 0011011..1 0011011.1 0011011...1 0011011.111111111111110000011111







 retenues



Exercice N°3

Effectuez les additions suivantes des nombres binaires de 3  chiffres, sachant que l’on utilise la complémentation à 2 pour représenter les nombres négatifs :

000 000 101 111 101 010
001 111 101 110 110 011

Indiquez quelles sont les additions dont le résultat est invalide.
Vérifiez vos résultats en effectuant les mêmes opérations après avoir converti les nombres dans le système décimal.

Corrigé :

BinDécBinDécBinDécBinDécBinDécBinDéc00000000101-3111-1101-301020011111-1101-3110-2110-20113001+1111-1010-6101-3011-5101+5+1OK-1OK+2KO-3OK3KO-3KO
Le résultat est invalide lorsque les 2 opérandes sont de même signe et que le résultat est de signe opposé.

Exercice N°4

Convertir le nombre décimal 8,625 en virgule flottante suivant la norme IEEE 754 :

Corrigé :

Conversion de 8,625 en binaire :
Partie entière : 8 => 1000 8,625 => 1000,101
Partie décimale : 0,625 => 0,101
Normalisation : 1000,101 x 20 0,1000101 x 24
Pseudo-normalisation IEEE 754 : 1,0001010 x 23 (de la forme 1,xxxx où xxx = pseudo mantisse)
Décomposition du nombre en ses divers éléments :
Bit de signe : 0 (Nombre >0)
Exposant sur 8 bits biaisé à 127 => 3 + 127 = 130 => 10000010
Pseudo mantisse sur 23 bits : 0001010 00000000 00000000

SigneExposant biaiséPseudo mantisse01 0 0 0 0 0 1 00 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Exercice N°5

En utilisant le codage virgule flottante utilisé par IBM pour la famille d’ordinateurs 370(1) , exprimez sous forme normalisée le nombre fractionnaire 7/64.
(1) (Signe de la mantisse sur un bit, Exposant sur 7 bits décalé de 64, Mantisse à 24 bits avec la virgule binaire située à gauche de la mantisse, la base d’exponentiation étant 16)

Corrigé :

Conversion de 7/64 en Hexadécimal :

Première méthode : 7/64 = 0,109375 Le nombre ne comporte pas de partie entière et il suffit de convertir la partie décimale en hexadécimal : 0,109375 => 0,1C
Autre méthode :
7 / 64 = (7 x 4) / (16 x 4) = 28 / 256 = 28 x 16 –2
ce qui donne en hexadécimal : 1C x 16-2 et en normalisant : 0,1C x 160

Valeur normalisée : 0,1C x 160

Décomposition du nombre en ses divers éléments :
Bit de signe : 0 (Nombre >0)
Exposant sur 7 bits biaisé à 64 => 0 + 64 = 64 => 1000000
Mantisse sur 24 bits : 00011100 00000000 00000000

SigneExposant biaiséPseudo mantisse01 0 0 0 0 0 00 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0



Exercice N°6

Donnez la traduction à laquelle correspond le mot de 4 octets codé en hexadécimal suivant : 49 55 50 31
selon qu’on le lit comme :
un entier signé,
un entier représenté en complément à 2,
un nombre représenté en virgule flottante simple précision suivant la norme IEEE 754,
une suite de caractères ASCII (représentés chacun sur 8 bits, le bit de plus fort poids étant inutilisé et codé à 0)

Corrigé :

Hexadécimal49555031Binaire010010010 10101010101000000110001Entier signé+1 230 327 857Complément à 2+1 230 327 857IEEE 7740 100 1001 010101010101000000110001+Exp biaisé : 146
Exp : 146 – 127 = 19Pseudo mantisse : 101 0101 0101 000 0011 0001
Mantisse : 1, 101 0101 0101 0000 0011 0001
+ 1, 101 0101 0101 0000 0011 0001 x 219
+ 1101 0101 0101 0000 0011, 0001 x 20 => 873 731, 0625
ASCIIIUP1




Exercice N°7

Soient les 2 nombres codés suivant la norme IEEE 754 et représentés en hexadécimal : 3EE00000 et 3D800000
Calculez en la somme et donnez le résultat sous forme IEEE 754 et sous forme décimale.
Même question avec les nombres : C8 80 00 00 et C8 00 00 00.

Corrigé :

1 – Somme de 3EE00000 et 3D800000

Hexadécimal3EE00000Binaire001111101 11000000000000000000000IEEE 774+Exp biaisé : 125
Exp : 125–127 = -2Pseudo mantisse : 110 0000 0000 0000 0000 0000
Mantisse : 1, 110 0000 0000 0000 0000 0000 + 1, 110 x 2-2 ( => 0,4375 en décimal)
Hexadécimal3D800000Binaire001111011 00000000000000000000000IEEE 774+Exp biaisé : 123
Exp : 123–127 = -4Pseudo mantisse : 000 0000 0000 0000 0000 0000
Mantisse : 1, 000 0000 0000 0000 0000 0000 + 1 , 0 x 2-4 ( => 0,0625 en décimal)

(1,110 x 2-2 ) + (1,0 x 2-4 ) = (1,110 x 2-2 ) + (0,010 x 2-2 )
= (1,110 + 0,010) x 2-2 = 10,0 x 2-2 = 1,0 x 2-1

IEEE 774 + 1, 0 x 2-1 ( => 0, 5 en décimal)+Exp : = -1
Biaisé :-1+127 = 126Mantisse : 1, 0
Pseudo mantisse : 000 0000 0000 0000 0000 0000Binaire001111110 00000000000000000000000Hexadécimal3F000000

1 – Somme de C8 80 00 00 et C8 00 00 00

HexadécimalC8800000Binaire110010001 00000000000000000000000IEEE 774-Exp biaisé : 145
Exp : 145 – 127 =18Pseudo mantisse : 000 0000 0000 0000 0000 0000
Mantisse : 1, 000 0000 0000 0000 0000 0000 - 1 , 0 x 218 (- 262 144 en décimal)

HexadécimalC8000000Binaire110010000 00000000000000000000000IEEE 774-Exp biaisé : 1442
Exp : 144 – 127 = 17Pseudo mantisse : 000 0000 0000 0000 0000 0000
Mantisse : 1, 000 0000 0000 0000 0000 0000 - 1 , 0 x 217 (- 131 072en décimal)
(- 1,.0 x 218) + (- 1, 0 x 217) = (- 1,.0 x 218) + (- 0, 1 x 218) = - 1,1 x 218

IEEE 774 - 1,10 x 218 en décimal)-Exposant = 18
Biaisé: 18 + 127= 145Mantisse : 1, 10
Pseudo mantisse : 100 0000 0000 0000 0000 0000110010001 10000000000000000000000HexadécimalC8C00000