Agrégation Interne 2002
Corrigé. Exo n°1 : Concours FESIC 1994 (Amplificateur logarithmique &
antilogarithmique). A. Principe : 1. ... On a reconnu un redressement simple
alternance.
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ORPORER Equation.3 . Le montage de la figure 2 réalise lopération mathématique : « prendre lexponentielle ».
B. Applications :
1. Théorème de Millmann sur lentrée - : INCORPORER Equation.3 , ce qui donne :
INCORPORER Equation.3 . Si INCORPORER Equation.3 : il reste INCORPORER Equation.3 , & on a un montage sommateur inverseur.
2. On doit réaliser INCORPORER Equation.3 . Il faut donc réaliser les opérations suivantes :
INCORPORER Equation.3 , de même INCORPORER Equation.3 , ces deux tensions étant appliquées à lentrée dun sommateur inverseur qui donne : INCORPORER Equation.3 , tension appliquée à lampli exponentiel (ou anti - log) qui délivre la tension : INCORPORER Equation.3 , doù le schéma.
INCORPORER PBrush
Avec INCORPORER Equation.3 , on obtient : INCORPORER Equation.3 . Ce montage réalise lopération « produit ».
3. On a : INCORPORER Equation.3 , & (ampli inverseur) : INCORPORER Equation.3 , & ce montage réalise lopération mathématique : « prendre la racine carrée ». Lexpression obtenue na de sens que si INCORPORER Equation.3 . Si INCORPORER Equation.3 , il faut remplacer lampli inverseur par un ampli non inverseur de gain k > 0 ; alors INCORPORER Equation.3 .
C. Mesure dune tension efficace :
1. Pour une tension continue égale à INCORPORER Equation.3 , la puissance dissipée par effet Joule dans une résistance électrique R vaut : INCORPORER Equation.3 . La puissance active étant la moyenne temporelle de la puissance instantanée, on a, avec la loi dOhm : INCORPORER Equation.3 , doù on déduit :
INCORPORER Equation.3 .
2. On a reconnu un redressement simple alternance. On calcule :
INCORPORER Equation.3 , doù on déduit qualors INCORPORER Equation.3 contre INCORPORER Equation.3 pour un signal purement sinusoïdal.
3. En sortie ouverte, INCORPORER Equation.3 & on peut appliquer le diviseur de tension. On a donc :
INCORPORER Equation.3 . On reconnaît un filtre passe-bas du premier ordre. Avec INCORPORER Equation.3 , on aurait : INCORPORER Equation.3 . Cas particuliers :
Si INCORPORER Equation.3 alors INCORPORER Equation.3 , donc INCORPORER Equation.3 , sans intérêt ;
Si INCORPORER Equation.3 alors INCORPORER Equation.3 . Comme INCORPORER Equation.3 , le montage a un comportement intégrateur. Donc : INCORPORER Equation.3 .
4. Le premier élément est un multiplieur, & réalise lopération INCORPORER Equation.3 . Si la condition INCORPORER Equation.3 est réalisée, on a un montage intégrateur donc : INCORPORER Equation.3 . LAO est monté en suiveur, donc INCORPORER Equation.3 , soit : INCORPORER Equation.3 . Pour que la tension de sortie INCORPORER Equation.3 soit proportionnelle à la valeur efficace du signal dentrée, il faut donc extraire la racine, & donc lélément à compléter correspond au montage de la figure 5. On a ainsi réalisé un montage permettant dobtenir (à une constante multiplicative près, donc un étalonnage) la valeur efficace dune tension périodique, quelle que soit sa forme. On a donc réalisé un voltmètre TRMS.
Exo n°2 : Electronique non linéaire.
I. Comparateur :
Comparateur simple :
INCORPORER PBrush
Commutation si INCORPORER Equation.DSMT4 , donc pour INCORPORER Equation.DSMT4 dabord, puis pour INCORPORER Equation.DSMT4 .
B. Comparateur à hystérésis :
DDT sur lentrée + : INCORPORER Equation.DSMT4 , sur lentrée - :
INCORPORER Equation.DSMT4 . Au départ, INCORPORER Equation.DSMT4 , INCORPORER Equation.DSMT4 , INCORPORER Equation.DSMT4 donc INCORPORER Equation.DSMT4 . ( va sannuler pour INCORPORER Equation.DSMT4 , alors VS bascule à - Vsat, ( reste négatif quand Ve augmente jusqu'à + 15 V. Ensuite, Ve diminue, INCORPORER Equation.DSMT4 sannule pour INCORPORER Equation.DSMT4 . Alors VS bascule à + Vsat, ( reste positif & INCORPORER Equation.DSMT4 , doù la caractéristique de transfert. Ce montage distinguant laller & le retour a la fonction mémoire & sappelle comparateur à hystérésis.
II. Generateur de signaux carres :
1. DDT sur lentrée + : INCORPORER Equation.DSMT4 , en posant INCORPORER Equation.DSMT4 . Supposons le condensateur chargé, son armature positive étant reliée à lentrée - de lAO. Alors INCORPORER Equation.DSMT4 & sil se décharge, INCORPORER Equation.DSMT4 dirigé vers la sortie de lAO, donc INCORPORER Equation.DSMT4 , donc : INCORPORER Equation.DSMT4 . On pose INCORPORER Equation.DSMT4 , donc INCORPORER Equation.DSMT4 .
2. Alors : INCORPORER Equation.DSMT4 . Par intégration, & compte tenu de la condition initiale, on peut écrire :
INCORPORER Equation.DSMT4 . La commutation a lieu quand INCORPORER Equation.DSMT4 , soit INCORPORER Equation.DSMT4 , valeur atteinte à linstant t1 tel que : INCORPORER Equation.DSMT4 .
Pour INCORPORER Equation.DSMT4 (t2 correspondant à la seconde commutation), INCORPORER Equation.DSMT4 & léquation différentielle devient : INCORPORER Equation.DSMT4 .Par intégration : INCORPORER Equation.DSMT4 . Pour INCORPORER Equation.DSMT4 (la tension aux bornes du condensateur étant continue) : INCORPORER Equation.DSMT4 , doù on déduit que :
INCORPORER Equation.DSMT4 . Pour INCORPORER Equation.DSMT4 , ce qui conduit à :
INCORPORER Equation.DSMT4 . Pour INCORPORER Equation.DSMT4 (t3 correspondant à la troisième commutation), INCORPORER Equation.DSMT4 & léquation différentielle devient : INCORPORER Equation.DSMT4 . Par intégration :
INCORPORER Equation.DSMT4 . Pour INCORPORER Equation.DSMT4 (la tension aux bornes du condensateur étant continue) : INCORPORER Equation.DSMT4 , doù : INCORPORER Equation.DSMT4 . Le basculement a lieu à linstant t3 tel que : INCORPORER Equation.DSMT4 .
3. Doù les courbes, en posant INCORPORER Equation.DSMT4 :
INCORPORER PBrush
4. Le premier arc (entre 0 & t1) traduit un vrai régime transitoire, & nappartient pas à la série périodique. Il en résulte que la période du phénomène (appelé oscillations de relaxation, basculement permanent entre deux états déquilibre stables) vaut INCORPORER Equation.DSMT4 , soit : INCORPORER Equation.DSMT4 .
III. Generateur de signaux TrIangulaires :
1. Le premier AO est un comparateur à hystérésis (donc INCORPORER Equation.DSMT4 ), le second un ampli inverseur de gain - 1 (donc INCORPORER Equation.DSMT4 ), le troisième un intégrateur (donc INCORPORER Equation.DSMT4 ).
2. Il en résulte que : INCORPORER Equation.DSMT4 .
3. Il faut donner une condition initiale, par exemple le condensateur est déchargé à linstant t = 0 (donc INCORPORER Equation.DSMT4 ), & INCORPORER Equation.DSMT4 . Alors, par intégration : INCORPORER Equation.DSMT4 . On a alors : INCORPORER Equation.DSMT4 , & donc la commutation a lieu pour INCORPORER Equation.DSMT4 . Sur la phase suivante : INCORPORER Equation.DSMT4 , donc INCORPORER Equation.DSMT4 . Cette tension (aux bornes dun condensateur) est continue, doù :
INCORPORER Equation.DSMT4 , donc INCORPORER Equation.DSMT4 . La seconde commutation a lieu pour
INCORPORER Equation.DSMT4 à linstant t2, avec INCORPORER Equation.DSMT4 . Doù lallure des courbes :
INCORPORER PBrush
4. Le premier arc (pour INCORPORER Equation.DSMT4 ) nappartient toujours pas à la série, mais comme on a des lois linéaires, les durées des phases sont nécessairement égales. Doù : INCORPORER Equation.DSMT4 .
IV. Generateur de rampe :
INCORPORER PBrush
1. Par rapport au montage précédent : on remplace la résistance R entre les deux derniers AO par la résistance équivalente à lensemble (Diode + R) en parallèle sur R, avec la condition R > 1. Soit enfin : INCORPORER Equation.3 .
Si INCORPORER Equation.3 .
Si INCORPORER Equation.3 . Il existe donc un extremum entre les deux.
Si g extremum, X2 extremum : X = 0 redonne les deux asymptotes, donc il reste X2 infini soit :
INCORPORER Equation.3 , alors INCORPORER Equation.3 .
7. On a : INCORPORER Equation.3 , ce qui sécrit aussi
INCORPORER Equation.3 , ce qui conduit à l'équation du second degré : INCORPORER Equation.3 , où l'on a posé INCORPORER Equation.3 . L'équation est formellement analogue à celle de la question 3, il suffit donc de remplacer Q par Q. On obtient :
INCORPORER Equation.3 , puis : INCORPORER Equation.3 .
AN : INCORPORER Equation.3 INCORPORER Equation.3 . Comme µo >> 1, Q >> Q & INCORPORER Equation.3 . Le
circuit obtenu est un filtre passe-bande très sélectif . D'où l'allure de la courbe (pas à l'échelle !).
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