Td corrigé Exercice 1 - Td corrigé pdf

Exercice 1 - Td corrigé

TD 3. Protection contre les erreurs. Exercice 1 : 1.a. mot appartient au code => correct. mot n'appartient pas au code => erreur. Pas de correction directe :.




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TD 3 Protection contre les erreurs

Exercice 1 :
1.a

mot appartient au code => correct
mot n’appartient pas au code => erreur

Pas de correction directe :
3 protocoles ARQ pour assurer la transmission correcte des informations :
(ARQ = Automatic Repeat Request)

1 Stop and wait (sans timout):



1 bis Stop and wait (avec timout):


2 Continue Go Back To N :



2 Selective Repeat



1.b

Mixer Stop and wait et Selective Repeat

Exercice 2 :
2.a
Code à parité (pair ou impair) :
Code à parité paire => nb bits à 1 pairs
 EMBED Equation.3 
Code à parité impaire => nb bits à 1 impairs
 EMBED Equation.3 
VRC : parité paire/impaire sur les lignes (1 bits par ligne)
LRC : parité paire/impaire sur les lignes (1 bits par colonne)
2.b
Parité paire :
O10011111S10100110I1000011110111110

m mots de k bits :

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

Or du fait de l’associativité de l’opération :

 EMBED Equation.3 

Egalité quelque soit m et k

2.c
Parité impaire :
O10011110S10100111I1000011001000001
 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 


 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

Egalité si k et m de même parité

Exemple si parité différente :
101100100110/1
Exercice 3 :
3a
Définition du poids de hamming :

 EMBED Equation.3 

3b
Définition de la distance de hamming entre deux mots:

 EMBED Equation.3 

3c
Définition de la distance de hamming d’un code :

 EMBED Equation.3 

D nous renseigne sur la capacité de détection et de correction d’un code.

3d

d(M0,M1)=5
d(M0,M2)=5
d(M0,M3)=10

d(M1,M2)=5
d(M1,M3)=5

d(M2,M3)=5

Distance de Hamming du code C
D(C) = 5

On peut donc corriger 2 bits erronés, et détecter 4 bits erronés

3e
d(M0,M)=3
d(M1,M)=2
d(M2,M)=8
d(M3,M)=7
le mot corrigé est M1, avec l’hypothèse du maximum de vraisemblance.

3f
d(M0,M)=6
d(M1,M)=3
d(M2,M)=7
d(M3,M)=4
Pas de correction possible

3g














3h
Code linéaire :
 EMBED Equation.3 

Exercice 4 

a)

M0 -> 00 00 00 00 00
M1 -> 01 01 01 01 01
M0 -> 10 10 10 10 10
M1 -> 11 11 11 11 11

Même code car distance de Hamming identique.

Code C(k,n)
Rendement R = k/n
R = 2/10 = 20%

b)

G =


U*G = X
La matrice génératrice permet de transformer les bits d’informations en mots codés.




H =





La matrice de contrôle permet de controler que les mots codés reçus appartiennent au code.
H * Xt = 0

Exercice 5
C(4,2)
Taille des mots constitués par les bits d’information : 2 (k)
Taille des mots codés : 4 (n)


G =



00 -> 0000
01 -> 0111
10 -> 1001
11 -> 1110
a)
Tableau standard :


00000111100111100000000001111001111000010001011010001111001000100101101111000011001101001010110101000100001111011010



Le poids minimum doit être sur la première colonne.

b)
y = 1101 => dernière classe
ycorrigé = E+Y=1101+0100=1001
Le bloc qui permet de déduire Y est le bloc 10

c)
D = 2 => Détection d-2 détecter 0 erreur,
corriger 0 erreur
d)
 EMBED Equation.3 

(i nombre de vecteurs d’erreurs avec i 1 (tableau standard)
P étant la probabilité de faire une erreur sur un bit

P = 10-3
Pn est donc négligeable devant P
 EMBED Equation.3 

Pour ceux qui ne sont pas convaincus par un développement d’ordre 1 :
 EMBED Equation.3 
e)

Taux d’erreur résiduelle: probabilité qu’un symbole soit erronée après décodage

 EMBED Equation.3 

avec F(E) nombre de symboles erronées après décodage en utilisant le vecteur E.

2 bits utiles :
F(E) ( {0,1,2}
F(E) = 0 si E est représentant (colonne 1)
F(E) = 1 si E est dans les colonnes 2 et 3
F(E) = 2 si E est dans les colonnes 4



1234000001111001111000000000011110011110000100010110100011110010001001011011110001000100001111011010
Dans la colonne 2 et 3:
1 vecteurs modifient 1 bits
3 vecteurs modifient 2 bits
4 vecteurs modifient 3 bits
0 vecteurs modifient 4 bits

Dans la colonne 4:
0 vecteurs modifient 1 bits
2 vecteurs modifient 2 bits
1 vecteurs modifient 3 bits
1 vecteurs modifient 4 bits

 EMBED Equation.3 


 EMBED Equation.3 

Exercice 6
a)
 EMBED Equation.3 

b)
Code cyclique : toute permutation de j bits =>mot du code.
C’est un code polynomial dont le polynôme générateur est :
Un diviseur de xn+1
minimal
irréductible dans l’ensemble des polynômes associés au code.

11011 -> x4+x3+x+1
c)d)


G =
























Ce code n’est pas cyclique car ne divise pas x6+1
e)
110 -> 110001
f)




100011 n’appartient pas au code car syndrome est différent de 0
g)
D = 3
détection = d-1 = 1
correction = (d-1)/2 = 1
On peut corriger 1 erreur sur => bit sur xi
0 -> 0
x -> x
x2 -> x2
x3 -> x+1
x4 -> x2+x
x5 -> x2+x+1
Syndrome de 100011 est x2 donc l’erreur est sur le 3eme bit = 100111

2n-k classes
000000001011010110011101100111101100110001111010000000000000001011010110011101100111101100110001111010000001000001001010010111011100100110101101110000111011000010000010001001010100011111100101101110110011111000000011000011001000010101011110100100101111110010111001000100000100001111010010011001100011101000110101111110000101000101001110010011011001100010101001110100111011000110000110001101010000011011100001101010110111111100000111000111001100010001011010100000101011110110111101
vecteur d’erreur + mot reçus = mot corrigé
000110=>010110
000101=>000000
110010=>111010
101011=>001011
100010=>100111









Exercice 7

mot reçu R(x) = g(x)p(x)+S(x) ou S est le syndrome (reste de la division)
S(x)=0 => mot du code
S(x)`"0 => n est pas un mot du code

M représente le polynôme constituant les bits d information
M(x) = x14+x11+x10+x8+x6+x5+x3+x2+x+1

Par la définition des codes cycliques,
u(x)= R(x)+xn-kM(x)
xn-kM(x)= g(x)q(x)+R(x)

Ayant g et M, il reste à trouver q et R, pour connaître la séquence envoyée.

Utilisant l’avis du CCITT, on suppose le code de type C(16,32).
Il faut donc d’abord multiplier M(x) par xn-k soit par x16 , puis diviser ce nombre par g(x) pour trouver R(x)

x16M(x)= x30+x27+x26+x24+x22+x21+x19+x18+x17+x16


















Séquence complète u(x)=R(x)+x(n-k)M(x) :
0100110101101111 1110011011011001
x16*M(x) R(x)
















Décodage :
u’(x)=q’(x)g(x)+ S(x)
Ici le syndrome S(x) est nul donc il n’a pas d’erreur, ou bien le code ne permet pas de détecter l’erreur.











Université Paris Sud
M1 informatique

 PAGE 1




































































































































































































































bloc

Syndrome

x19+ x16+x15+x12+ x8+ x5+ x3+1


x20+x19+ x15+x12+x9+x8+ x5+x4+x3+1


x21+ x20+x19+ x17+x15+x12+ x10+x9+x8+x4+x3+1


x22+x21+ x20+x19+x18+x17+ x15+x12+x11+x10+x9+x8+ x6+x4+x3+1


x23+x22+x21+x20+x18+x17+x15+x11+x10+x9+x8+x7+x6+x4+x3+1


x24+ x23+x22+x21+x18+x17+x15+x13+x11+x10+x9+x7+x6+x4+x3+1


x14+x11+x8+x7+x6+x5+x4+x3

x27+x24+x22+x21+x18+x17+x16+x15+ x13+x10+x9+x7+x6+x4+x3+1


x15 +x14 + x13 + x10+ x9 +x7+x6 +x4+x3+1 = R


x16 +x15+x14 + x13 + x12 + x10+ x9 +x7+x6 + x5+x4+ x3


x19+ x16+ x14 + x13 + x12 + x10+ x9+ x8+x7+x6+x5 +x4


x20+x19+ x14 + x13 + x12 + x10+ x8+x7+x6+x5


x21+x20+x19+ x17+x14 + x13 + x12 + x8+x7+x6


x16+x12+x5+1

x23+x22+x21+x20+x18+x17+x14 + x13 +x11+x8


x24+ x23+x22+x21+ x18+x17+x14+x11


x30+x27+x26+x24+x22+x21+x19+x18+x17+x16+x15+x14+x13+x10+x9+x7+x6+x4+x3+1


x16+ x12+ x5+1



0



x22+x21+x20+x19+x18+x17+x14 + x13 + x12 +x11+x8+x7


x27+ x24+ x22+x21+ x18+x17+x16+x14


x14+
x11+
x8+
x7+
x6+
x5+
x4+
x3+
1

x16+x12+x5+1

x30+x27+x26+x24+x22+x21+x19+x18+x17+x16


Vecteur d’erreur E

mots du code

x3+x+1
x2+1









x5+x+1
x3+x2













x3+x+1
x3+x+1









x6+1
+x6+x4+x3
= x4+x3+1
+ x4+x2+x
= x3+x2+x+1
+ x3+x+1
= x2












0
1+x+x3= g (générateur)
x+x2+x4 = (x)g
1+x2+x3+x4 = (1+x)g
1+x+x2+x5 = (1+x2)g
x2+ x3+x5 = (x2)g
1+x4+x5 = (1+x+x2)g
x+x3+x4+x5 = (x2+x)g











0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 1 1
0 1 0 1 1 0
0 1 1 1 0 1
1 0 0 1 1 1
1 0 1 1 0 0
1 1 0 0 0 1
1 1 1 0 1 0






1 0 1 1 1 1
0 1 0 1 1 0
0 0 1 0 1 1




000
001
010
011
100
101
110
111







1 0 1 1 1 1
0 1 0 1 1 0
0 0 1 0 1 1




1 0 0 1
0 1 1 1

I Car code systématique



1 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 1 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 1



1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

I Car code systématique



"#$127:Y\šž«¯æé

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