Td corrigé 1 TRANSFORMEE EN Z APPLICATION A L'ETUDE DES ... pdf

1 TRANSFORMEE EN Z APPLICATION A L'ETUDE DES ...

la transformée en Z du signal de sortie peut s'écrire sous la forme : ... Quand on applique le signal impulsion {d} à l'entrée d'un système discret, on obtient en sortie ..... la transmittance en z d'une chaîne de traitement numérique, réalisant une ...




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t bk = 0 (k ( H(z) = z-1

II°) Analyse des systèmes discrets :

2-1 généralités :
Notons en abrégé F(T( pour fonction de transfert. Nous utiliserons la même démarche que celle utilisée pour l'analyse de Fourier ou l'analyse de Laplace :
* e(t) ( E(z)
* S(z) = H(z)(E(z)
* S(z) ( s(t)

2-2 F(T( et réponse impulsionnelle :

2-2-1 fonction de transfert :
Quand on applique le signal impulsion {d} à l'entrée d'un système discret, on obtient en sortie le signal { h } appelé réponse impulsionnelle discrète du système en sortie. La transformée en z de la réponse impulsionnelle discrète { h } est la fonction de transfert H(z) du système discret ( H(z) = Z( { h } )

2-2-2 exemples de réponse impulsionnelle :
s(n) = ao(e(n) + a1(e(n-1) ( H(z) = ao + z-1(a1 qui est la transformée du signal discret {h} tel que h(n) = ao({ d(n) } + a1({ d(n - 1) }
s(n) = ao(e(n) - b1(s(n - 1) ( H(z) = ao - z-1(b1(H(z) ( H(z)([1 + z-1(b1] = ao et
H(z) =  EMBED Equation.2 
qui est la transformée du signal discret { h } tel que h(n) = ao( EMBED Equation.2 

2-3 F(T( et réponse indicielle :

2-3-1 fonction de transfert :
La transformée en z du signal discret échelon { u } est U(z) =  EMBED Equation.2 . La réponse indicielle d'un ( discret est la transformée inverse de la fonction U(z)(H(z) =  EMBED Equation.2 .

2-3-2 exemples de réponse indicielle :
s(n) = ao(e(n) + a1(e(n - 1) ( H(z) = ao + z-1(a1 ( D(z) = H(z)(U(z) =  EMBED Equation.2 
D(z) = ao(U(z) + a1(z-1(U(z) qui est la transformée du signal discret { d } tel que { d(n) } = ao({ u(n) } + a1({ u(n - 1) }

s(n) = ao(e(n) - b1(s(n - 1 ( H(z) =  EMBED Equation.2 
D(z) = H(z)(U(z) =  EMBED Equation.2 = EMBED Equation.2 + EMBED Equation.2  avec
A1 = EMBED Equation.2  et A2 = EMBED Equation.2 
d'où d(n) = A1((-b1)n + A2 =  EMBED Equation.2 ( EMBED Equation.2 
D(z) = ao(U(z) + a1(z-1.U(z) est la transformée du signal discret { h } tel que h(n) = ao(b1n

2-4 F(T( et réponse harmonique :

2-4-1 fonction de transfert :
La connaissance de la F(T( en z permet d'obtenir immédiatement le comportement fréquentiel du système. Il suffit d'effectuer le changement de variable :
z = exp(j(((Te)
H(z) —————————————( H*(j(()

2-4-2 exemples de réponses fréquentielles :
s(n) = ao(e(n) + a1(e(n - 1) ( H(z) = ao + z-1 ( H*(j(() = ao + a1(exp(-j(((Te)
s(n) = ao(e(n) - b1(s(n - 1) ( H(z) =  EMBED Equation.2 ( H*(j(() =  EMBED Equation.2 

III°) Synthèse d'une forme quadratique :

3-1 hypothèses :
On désire synthétiser la transmittance :
H(P) =  EMBED Equation.2  =  EMBED Equation.2  =  EMBED Equation.2  avec
FomTeFe50Hz0,12 ms500 HzY(P)( EMBED Equation.2 = (o2(X(P)
Connaissant le polynôme en P il faut déduire une équation de récurrence liant Yn à Xn.

3-2 équivalence de la dérivation :

3-2-1 transformation :
Nous avons vu qu'à la dérivation  EMBED Equation.2  correspond une différence  EMBED Equation.2 . Or l'opération qui consiste à passer de Xn à Xn-1 est un retard de Te. Pour passer de la transformée en z de x(t) à la transformée en z de  EMBED Equation.2 , il suffit d'effectuer une multiplication par  EMBED Equation.2 . D'où la transformation :
x(t)( EMBED Equation.2 X(P)(P(X(P) EMBED Equation.2 ( EMBED Equation.2 ( EMBED Equation.2 Pour passer de la transformée de Laplace à la transformée en z de x(t) il suffit de remplacer P par  EMBED Equation.2 : P ( EMBED Equation.2 

3-2-2 remarque :
La relation exacte liant z et p est z-1 = exp(-P(Te) = exp(-j(((Te) = cos(((Te) - j(sin((((Te). Si ((Te