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MATHEMATIQUES SUIVI DES ACQUIS ET PREPARATION DES ...

La dévolution d'une telle situation au sein d'une épreuve d'examen apparaît ...... de cet item par les candidats est fortement affecté par sa position dans le sujet. ..... des élèves à passer du dessin en perspective cavalière au dessin du patron.




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MATHEMATIQUES



SUIVI DES ACQUIS ET

PREPARATION DES ELEVES

AU DNB



Fascicule 0 : Intentions et méthodologie
Fascicule 1 : Aider des élèves à passer du groupe 0 au groupe 1
Fascicule 2 : Aider des élèves à passer du groupe 1 au groupe 2
Fascicule 3 : Aider des élèves à passer du groupe 2 au groupe 3
Fascicule 4 : Aider des élèves du groupe 3 à progresser notamment sur les items hors échelle

Fascicule 4 
« Aider des élèves du groupe 3 à progresser »
SOMMAIRE
Aider les élèves à passer du groupe 3 à progresser notamment sur les items hors échelle
1) Vérification des items réussis par le groupe 3 Page 4
- Item 9 – 2009 - Calculer une longueur avec la propriété de Thalès Page 5
Item 11 – 2013 - Calculer une longueur avec la propriété de Thalès Page 6
Item 2 – 2009 - Repérer une erreur dans une séquence de touches sur une calculatrice Page 7
Item 3 – 2012 - Effectuer un calcul complexe utilisant des puissances de 10 Page 8
Item 9 – 2013 - Résoudre un problème complexe de prix Page 9
Item 14 – 2013 - Résoudre un problème mobilisant les pourcentages Page 10
Item 16 – 2012 - Résoudre un problème utilisant un pourcentage Page 11
Item 5 – 2010 - Reconnaitre une situation de proportionnalité sur un graphique Page12
Item 10 – 2013 - Reconnaitre une situation de non proportionnalité sur un tableau Page 14
Item 13 – 2010 - Résoudre un problème simple de proportionnalité Page 15
Item 3- 2009 - Lire les coordonnées d’un point Page 16
Item 6 – 2013 - Raisonner sur l’étendue Page 17
Item 2 – 2011 - Evaluer une probabilité Page 18
Item 8 – 2010 - Calculer une aire (par additivité) Page 19
Item 11 – 2010 - Appliquer la formule de calcul du volume d’un tétraèdre Page 20
Item 10 – 2009 - Calculer l’aire d’un rectangle Page 22
Item 8 – 2011 - Calculer le volume d’un pavé droit Page 23
Item 17 – 2012 – Utiliser une vitesse dans un problème Page 24


2) Diagnostic sur les items réussis hors échelle Page 25

- Item 10 – 2010 – Compléter un dessin d’un patron de tétraèdre Page 26
- Item 13 - 2013 – Résoudre un problème mobilisant les fractions Page 27
- Item 9 – 2012 – Engager une démarche correcte sur un problème complexe d’aire Page 28
- Item 3 – 2011 – Tester une égalité Page 29
- Item 4 – 2012 – Traiter les unités de temps dans un problème reliant temps et distance Page 30






3) Travail sur les quatre champs Page 30
I – Géométrie
Constructions en géométrie plane Page 31
Théorèmes fondamentaux Page 33
Espace Page 35
II – Nombres et calculs
Tests, littéral Page 38
Calcul numérique Page 40
Problèmes Page 41
III – Organisation et gestion de données – fonctions
Proportionnalité Page 41
Statistiques et probabilités Page 42
Fonctions Page 44
Usage du tableur Page 45
IV- Grandeurs et mesures
h) Périmètres, aires et volumes Page 48
i) Durées et vitesses Page 49












Les élèves du groupe 3 représentent 15 à 20% des candidats au brevet. Il s’agit du groupe le plus performant ce qui n’empêche pas que certains items ne sont pas réussi par ce groupe. Ce sont les items classés hors échelle.
Même s’il n’existe pas de groupe supérieur au groupe 3, les élèves de ce groupe disposent de deux pistes de progrès possibles :
- Les items hors échelle qui restent dans le cadre du socle commun.
- Les éléments de programme qui ne figurent pas dans le socle commun et qui ne sont pas pris en compte dans le suivi des acquis que nous effectuons.

Les items réussis par les élèves du groupe 3 sont au nombre de dix-neuf et couvrent encore les quatre champs du programme :
« Géométrie » où le travail sur les constructions est achevé mais où il reste à approfondir les théorèmes fondamentaux et en particulier celui de Thalès. Le thème de l’espace reste également à travailler.
« Nombres et calculs » où la réussite devient complète sur le thème Calcule numérique mais pas sur celui intitulé Tests, littéral, problèmes.
« Organisation et gestion de données » où la réussite devient complète sur les trois thèmes.
« Grandeurs et mesures » où la réussite devient complète.








Les items hors échelle se limitent à cinq. L’un concerne l’espace dans le champ Géométrie, trois autres concernent le champ Nombres et calculs et enfin un concerne le champ Grandeurs et mesures.
Le travail à proposer aux élèves positionnés dans le groupe 3 à l’issue du brevet blanc peut donc se construire autour de la progression suivante :
Vérification de la maîtrise des items réussis par le groupe 3.
Diagnostic sur les items hors échelle.
Travail sur les 4 champs visant les exigences du programme qui ne relèvent pas du socle. En particulier :
- Travail algébrique dans le champ Nombres et calculs
- Travail sur les fonctions dans le champ Organisation et gestion de données.

















1 . Vérification de la maîtrise des items réussis par le groupe 3.


Thème théorèmes fondamentaux :
Calculer une longueur avec la propriété de Thalès (Item9 – DNB 2009 - Réussi à 87% par le groupe 3)
Calculer une longueur avec la propriété de Thalès (Item 11 – DNB 2013 - Réussi à 81 % par le groupe 3)

Thème calcul numérique :
Repérer une erreur dans une séquence de touches sur une calculatrice (Item 2 – DNB 2009 - Réussi à 83% par le groupe 3)
Effectuer un calcul complexe utilisant des puissances de dix (Item 3 – DNB 2012 - Réussi à 76 % par le groupe 3)

Thème Problème :
Résoudre un problème complexe de prix (Item9 – DNB 2013- Réussi à 74 % par le groupe 3)
Résoudre un problème mobilisant les pourcentages (Item 14 – DNB 2013- Réussi à 77 % par le groupe 3)
Résoudre un problème utilisant les pourcentages (Item 16 – DNB 2012- Réussi à 86 % par le groupe 3)

Thème proportionnalité :
Reconnaître une situation de proportionnalité sur un graphique (Item 5 – DNB 2010 - Réussi à 66% par le groupe 3)
Reconnaitre une situation de non proportionnalité sur un tableau (Item 10- DNB 2013- Réussi à 84 % par le groupe 3)
Résoudre un problème simple de proportionnalité (Item 13 – DNB 2010 - Réussi à 93% par le groupe 3)

Thème Lecture de graphiques et tableaux :
Lire les coordonnées d’un point (Item 3 – DNB 2009 - Réussi à 91% par le groupe 3)

Thème statistiques et probabilités :
Raisonner sur l’étendue (Item 6 – DNB 2013 - Réussi à 87 % par le groupe 3)
Evaluer une probabilité (Item 2 – DNB 2011- réussi à 77% par le groupe 3)


Périmètres, aire, volumes :
Calculer une aire par additivité (Item 8 – DNB 2010 - Réussi à 69% par le groupe 3)
Appliquer la formule de calcul du volume d’un tétraèdre (Item 11 – DNB 2010 - Réussi à 72% par le groupe 3)
Calculer l’aire d’un rectangle (Item 10 – DNB 2009 - Réussi à 87% par le groupe 3)
Calculer le volume d’un pavé droit (Item 8 – DNB 2011- Réussi à 100% par le groupe 3)

Thème Durées et vitesses :
Utiliser une vitesse dans un problème (Item 17 –DNB 2012 - Réussi à 81 % par le groupe 3)






Item 9 – DNB 2009 : Calculer une longueur avec la propriété de Thalès


Comme les deux items mobilisant le théorème de Pythagore, cet item s’avère très discriminant. La réussite est faible en moyenne et cette fois, seul le groupe 3 affiche une réelle maîtrise de la propriété de Thalès.



On considère un triangle ABC tel que : AB = 17,5 cm ; BC = 14 cm ; AC = 10,5 cm



3) Dans cette question, on suppose que le point P est situé à 5 cm du point B.
a) Calculer la longueur PR.

Critère : seul le calcul et le résultat sont attendus. Comme pour les deux items concernant le théorème de Pythagore, c’est la capacité C3 (raisonnement) qui est évaluée en faisant abstraction dans la mesure du possible de la capacité C4 (communiquer) )




EnsembleGroupe 0Groupe 1Groupe 2Groupe 3Nb de 150042520Nb de 930415101Nb de 0681133222Code 1 : démarche correcte ; code 9 : démarche incorrecte ; code 0 : non abordé% de 134%0%8%44%87%% de 920%27%29%18%4%% de 046%73%63%39%9%

Commentaire :
Après les deux items concernant le théorème de Pythagore, cet item concernant un autre point phare des programmes du collège vient confirmer que les grands théorèmes de géométrie du collège ne sont pas maîtrisés par tous les élèves, loin s’en faut. Cette fois c’est seulement un élève sur trois qui réussit et seuls les candidats du groupe 3 affichent une réelle réussite. Le fait que cet item soit situé à l’intérieur du problème peut expliquer pour une part la proportion élevée de non réponses (46%). Parmi les candidats ayant abordé la question, ils sont 63% à la traiter correctement ce qui est un peu rassurant.

Analyse didactique :
Les réponses correctes s’appuient sur le théorème de Thalès le plus souvent mais parfois aussi sur des considérations d’agrandissement-réduction. Les erreurs apparaissent dispersées entre des quotients mal choisis, des difficultés pour exploiter les égalités obtenues ou des calculs entâchés d’erreur. Elles ne permettent donc pas de faire ressortir des conclusions fortes.





Item 11- DNB 2013 : Calculer une longueur avec la propriété de Thalès

Bien que constituant un point fort des programmes de quatrième et de troisième cet item mal réussi vient confirmer que la propriété de Thalès reste non maîtrisée par la majorité des élèves en fin de collège.

Critère : Démarche correcte sans prise en compte de la rédaction ni d’erreurs éventuelles de calcul. On attend les quotients égaux ou l’expression de la proportionnalité avec une méthode correcte pour calculer SO.




EnsembleGroupe 0Groupe 1Groupe 2Groupe 3Nb de 1733103525Nb de 9621129166Nb de 037102340Code 1 :démarche correcte;code 9 :démarche incorrecte;code 0 :non abordé% de 142%13%14%56%81%% de 936%46%40%25%19%% de 022%42%32%6%0%
Commentaire :
Nous disposions d’une première occurrence, datant de 2009, d’un item mobilisant la propriété de Thalès pour calculer une longueur. La réussite est un peu meilleure cette année avec 42% contre 34% seulement en 2009. Mais les groupes 0 et 1 restent en échec massif et seul le groupe 3 est en réussite tout en n’évitant pas, lui non plus, un taux d’erreur assez important à 20%.
Analyse didactique :
L’erreur dominante est de loin celle liée à l’écriture des quotients. C’est donc une erreur de fond qui montre pour la seconde fois, après la première occurrence de 2009, que la maîtrise de la propriété de Thalès, qui constitue pourtant un point phare des programmes des classes de quatrième et troisième, n’est pas assurée pour la majorité des élèves. Ce constat qui n’est pas nouveau est également confirmé par les résultats nationaux du CEDRE de fin de collège.
Quelques rares erreurs autres que celle-ci existent. Ainsi quelques élèves se trompent dans le calcul de AO (confusion avec AL) et d’autres tentent, en général sans succès, une résolution à l’aide d’un calcul de trigonométrie (tangente) qui était a priori possible.
Item 2 - DNB 2009 : Repérer une erreur dans une séquence de touches sur une calculatrice

Un item, en lien avec le précédent, qui est à nouveau discriminant et qui met en échec spécifiquement les candidats du groupe 0 pour lesquels la capacité C1 de prise d’information semble prise en défaut.






Critère : le candidat doit fournir une explication convaincante. L’évocation de l’absence de parenthèses sans autre précision ou avec un positionnement erroné de ces parenthèses n’est pas accepté


















EnsembleGroupe 0Groupe 1Groupe 2Groupe 3Nb de 1833253519Nb de 9591123214Nb de 071510Code 1 : démarche correcte ; code 9 : démarche incorrecte ; code 0 : non abordé% de 156%20%47%61%83%% de 940%73%43%37%17%% de 05%7%9%2%0%


Commentaire :
Le fond scientifique de cet item est en relation directe avec l’item précédent, l’erreur à repérer étant précisemment celle que la plupart des candidats qui se sont trompés dans la question 1 ont commise. La réussite moyenne se tasse cependant en raison de quelques difficultés observées dans la mobilisation de la capacité C4 de communication.

Analyse didactique :
Curieusement, le groupe 0 est le seul à obtenir sur cet item une réussite supérieure à celle obtenue sur l’item précédent. Des candidats de ce groupe ont donc reconnu l’erreur dans la séquence de touches proposée mais ils n’ont pas été capables d’exploiter cette reconnaissance d’erreur pour critiquer leur réponse fournie dans la question précédente. La capacité C1 de prise d’information mais aussi la capacité à exercer un retour critique sur sa production sont prises en défaut dans ce groupe d’élèves.

Item 3- DNB 2012 : Effectuer un calcul complexe utilisant des puissances de 10

Un calcul classique, même s’il n’était pas exempt de difficulté, que le groupe 3 est le seul à réussir correctement.



Critère : le candidat doit trouver la bonne réponse : 1,00001.

EnsembleGroupe 0Groupe 1Groupe 2Groupe 3Nb de 1703163516Nb de 955821215Nb de 0259970Code 1 :démarche correcte ; code 9 :démarche incorrecte ; code 0 :non abordé% de 147%15%35%56%76%% de 937%40%46%33%24%% de 017%45%20%11%0%
















Commentaire :
L’item apparait classique même s’il recèle certaines difficultés connues, notamment celles liées à l’interprétation de la barre de fraction et aux priorités de calcul qu’elle induit, priorités que le recours à la calculatrice type collège ne solutionne pas.
Les non réponses peu nombreuses attestent que ce calcul n’effraie pas les candidats a priori. En revanche, c’est plus d’un tiers des candidats qui commettent une erreur et l’erreur est nettement plus fréquente que la réussite dans les groupes 0 et 1.

Analyse didactique :
Ces erreurs nombreuses sont dispersées même si la source principale est clairement le non respect des priorités de calcul c'est-à-dire de la structure de l’expression. L’erreur la plus fréquente est la simplification abusive des deux puissances qui conduit 17 candidats de notre échantillon à produire 1 comme réponse. Vient ensuite le résultat 10, fourni par 5 candidats qui ont transformé 105 + 1 en 106.
On remarquera également des réponses assez nombreuses, 9 parmi l’échantillon, issues d’un calcul exact mais ne respectant pas l’écriture demandée. Ces réponses écrites sous la forme fractionnaire 100 001/100 000 ont été codées 9 bien que ne comportant pas d’erreur de calcul.
On relève parmi les autres résultats rencontrés, plus rarement, les valeurs 100 000 ; 1,02, 0,98 ; 5 000 ; 10 ; 11.






Item 9 – DNB 2013 : Résoudre un problème complexe de prix

Cette tâche complexe met en difficulté la plupart des candidats ; plus de la moitié des candidats traite la question et produit une erreur. Un quart des élèves du groupe 3 sont touchés.

 Critère : réponse attendue 59,8¬ ou 61¬ (avec un indice prouvant que le 61 ne vient pas d une lecture directe et erronée du tableau).
EnsembleGroupe 0Groupe 1Groupe 2Groupe 3Nb de 149161923Nb de 9951740308Nb de 02861660Code 1 :démarche correcte ; code 9 :démarche incorrecte ; code 0 :non abordé% de 128%4%10%35%74%% de 955%71%65%55%26%% de 016%25%26%11%0%
Commentaire :
Seul le groupe 3 réussit correctement cet item. Les trois autres sont en échec massif. Globalement c’est à peine plus d’un candidat sur quatre qui réussit l’item.

Analyse didactique :
La tâche est complexe avec une prise d’information très importante. La dévolution d’une telle situation au sein d’une épreuve d’examen apparaît compliquée. On peut douter que les candidats soient prêts à consacrer le temps important que nécessite une telle prise d’information, le rapport bénéfice/temps investi paraissant peu propice à les motiver. Une telle tâche constituerait un support de formation intéressant mais en temps qu’exercice proposé au sein d’une épreuve d’examen elle apparaît comme peu adaptée, mettant les élèves en échec, ne permettant pas une appropriation véritable et n’offrant pas de possibilité d’autocontrôle.
Les difficultés se cumulent : 19% des candidats se trompent de forfait, 20% oublient le prix du carburant, 26% commettent une erreur dans le calcul du prix du carburant.
Item 14 – DNB 2013: Résoudre un problème mobilisant les pourcentages

L’item qui aborde la question classique mais difficile des pourcentages successifs amène un échec de plus des deux tiers des candidats. Cependant, plus des trois quarts des candidats du groupe 3 sont en réussite.

Critère : La démarche doit être correcte avec calculs cohérents
EnsembleGroupe 0Groupe 1Groupe 2Groupe 3Nb de 154142524Nb de 9991850247Nb de 0195860Code 1 :démarche correcte ; code 9 :démarche incorrecte ; code 0 :non abordé% de 131%4%6%45%77%% de 958%75%81%44%23%% de 011%21%13%11%0%
Commentaire :
La question constituant cet item appartient au même exercice que l’item précédent. A nouveau l’échec est largement majoritaire. Moins d’un tiers des candidats réussit cet item. Cependant, contrairement à l’item précédent, le groupe 3 est cette fois en réussite.
Analyse didactique :
La question posée s’apparente à celle de l’item précédent : il s’agit encore de calculer avec des proportions successives conduisant à un produit, toujours sans disposer de grandeurs fixées (on ne connaissait pas les effectifs dans l’item 13, on ne connait pas les prix dans l’item 14). Comme dans l’item 13, la solution la plus simple consiste à fixer arbitrairement la valeur du prix initial. Cela suppose cependant une initiative s’appuyant sur la conscience du fait que le résultat est indépendant du prix initial choisi. Seulement 30 candidats sur 172, soit 17%, prennent cette initiative.
La réussite est moins mauvaise que sur l’item 13. Cela peut être dû à la présence des pourcentages qui se substituent aux fractions de l’item 13. On peut supposer que la familiarité des élèves est meilleure avec cette écriture des proportions sous forme de pourcentage. Cela peut également être dû à la situation, moins complexe sur cet item que sur le précédent. Les pourcentages choisis sont également simples.
Il reste que sur les 99 erreurs recensées, 50 sont dues à une réponse « oui » qui indique que les candidats considèrent que deux baisses successives de 20% puis de 30% équivalent à une baisse unique de 50%. C’est une représentation bien partagée dans la population générale en appui évidemment sur une familiarité avec la linéarité mal circonscrite.
Quant aux candidats qui réussissent l’item, 30 raisonnent à partir d’un prix qu’ils ont choisi, 12 fournissent une explication basée sur l’idée que la deuxième baisse s’applique sur un prix réduit par rapport au prix initial et 12 utilisent la méthode experte consistant à composer deux fonctions linéaires. 12 sur 172 cela représente 7% de l’échantillon. On mesure le chemin qui reste à parcourir pour que cette procédure devienne disponible chez tous les élèves du cycle terminal au lycée, en particulier dans les séries ES et STMG.

Item 16 – DNB 2012: Résoudre un problème utilisant un pourcentage
Un item mal réussi pour lequel la réussite, l’échec et la non réponse sont pratiquement également répartis. Seul le groupe 3 est en réussite.


Critère : le candidat doit présenter des calculs et une conclusion cohérente.


EnsembleGroupe 0Groupe 1Groupe 2Groupe 3Nb de 154043218Nb de 948427152Nb de 0481615161Code 1 :démarche correcte ; code 9 :démarche incorrecte ; code 0 :non abordé% de 136%0%9%51%86%% de 932%20%59%24%10%% de 032%80%33%25%5%










Commentaire :
Seul le groupe 3 est en réussite sur cette résolution de problème. Une prise d’information complexe et une situation de la question en fin de première partie du problème constituent des facteurs explicatifs possibles du nombre élevé de non réponses.



Analyse didactique :
Le problème fait appel à deux capacités principales : la prise d’information et l’usage des pourcentages. Les capacités mathématiques mobilisées sont élémentaires mais la situation est assez complexe et donne lieu à une prise d’information consistante. La présence de proportions exprimées en pourcentages joue très certainement un rôle qui n’a pu être cerné ici. Le seul élément d’information provient de l’évaluation CEDRE d’où il ressort qu’environ 56% des élèves savent calculer un pourcentage en fin de collège.
Les candidats ont utilisé dans des proportions équivalentes deux procédures distinctes :
La première consiste à calculer le nombre de passagers que la compagnie s’est fixée comme objectif puis à le comparer à la moyenne 166 : 190 × 80% = 152. La moyenne est supérieure à l objectif qui est donc atteint. 28 candidats utilisent cette méthode.
La seconde consiste à calculer la proportion que représente la moyenne 166 par rapport à la capacité totale puis à la comparer à l objectif de 80% : 166/190 H" 87%. Cette proportion est supérieure à l’objectif qui est donc atteint. 26 candidats utilisent cette méthode





Item 5 – DNB 2010 : Reconnaître une situation de proportionnalité sur un graphique
(cet item figure parmi les 6 items nationaux)
Une question classique, située au cœur des programmes de quatrième et de troisième, mais qui met néanmoins largement en échec la majorité des candidats.


Critère : Le candidat doit répondre oui et fournir une justification correcte. Cette justification peut s’appuyer sur les données du texte (segment de droite) et sur la situation (volume de glace nul pour un volume d’eau nul) mais on acceptera aussi un appui exclusif sur le graphique (lu et implicitement interprété comme une droite passant par l’origine).

EnsembleGroupe 0Groupe 1Groupe 2Groupe 3Nb de 139031719Nb de 9889333610Nb de 02141160Code 1 : démarche correcte ; code 9 : démarche incorrecte ; code 0 : non abordé% de 126%0%6%29%66%% de 959%69%70%61%34%% de 014%31%23%10%0%
Commentaire :
Les candidats reconnaissent bien une question classique traitée au cours de l’année dont la formulation ne les déstabilise pas. Le faible nombre de non réponses en atteste. Cependant la réussite est très faible. Seul le groupe 3 réussit, de justesse, à atteindre le seuil de deux élèves sur trois en réussite.


Analyse didactique :
Les types d’erreurs sont très nombreux et très divers. On peut les classer en trois catégories :
- Les réponses incomplètes dans lesquelles ne figure qu’un des deux critères attendus.
- Les réponses s’appuyant sur une conception fausse de la proportionnalité : « Il n’y a pas proportionnalité parce que le volume de glace n’est pas égal au volume d’eau » ou encore « Il y a proportionnalité parce que plus le volume d’eau augmente plus le volume de glace augmente ».
- Les réponses qui tentent de sortir du registre graphique. La tentative est vouée à l’échec puisque le graphique est la seule donnée du problème. Mais, manifestement, beaucoup de candidats ont voulu construire une argumentation reposant sur un registre numérique et calculatoire. Pour cela ils ont lu quelques valeurs et examiné la question de la proportionnalité sur ces valeurs lues. Ils ont donc rencontré deux types de limitation : d’une part ces valeurs ont en général conduit à répondre qu’il n’y avait pas proportionnalité en raison d’imprécisions inhérentes à la lecture, d’autre part leur réponse se fondait sur quelques cas particulier et non sur le cas général. On peut soupçonner sur ce type d’erreur un effet maître important : les élèves ont intégré de manière forte qu’en mathématiques une justification ne peut être fondée sur un dessin et ils manquent ici d’autonomie pour sortir de ce schéma général.

Tableau récapitulatif donnant les proportions de candidats concernés par chacun des cas :

RéussiteNon réponseRéponse incomplète (un seul des deux critères attendus)Erreur sur la notion de proportionnalitéPassage par des lectures de coordonnées puis calculs sur ces coordonnéesConfusion avec l’égalitéConfusion avec fonction croissante26%14%22%16%5%18%
Encore une fois on notera la diversité des situations et des profils d’élèves que le professeur rencontrera dans ses classes de troisième. Comme toujours en pareil cas, une gestion ouverte de la séance portant sur ces questions permettra de faire émerger les diverses approches et erreurs puis de les soumettre à un débat de classe permettant de faire réfléchir et raisonner les élèves. Le professeur devra absolument conclure un tel travail en faisant ressortir, et consigner dans les cahiers des élèves, les points à retenir.































Item 10 – DNB 2013 : Reconnaitre une situation de non proportionnalité sur un tableau
Bien que les deux grandeurs en jeu soient fournies dans un tableau, cet item en apparence élémentaire portant sur la proportionnalité est mal réussi. Moins de la moitié des élèves le traite correctement.

Critère : Réponse « non » avec justification correcte sans prise en compte de la qualité de la rédaction.
EnsembleGroupe 0Groupe 1Groupe 2Groupe 3Nb de 1803173426Nb de 9501122125Nb de 042102390Code 1 : démarche correcte ; code 9 : démarche incorrecte ; code 0 : non abordé% de 147%13%24%62%84%% de 929%46%31%22%16%% de 024%42%32%16%0%Commentaire :
Un candidat sur quatre ne traite pas cette question et moins d’un sur deux réussit. L’item est discriminant mais on trouve encore 17% d’erreurs au sein du groupe 3. Le nombre élevé de non réponses est à rapprocher de la place de la question qui est la dernière de l’exercice. La question aurait sans doute été plus pertinente en début d’exercice et une nouvelle fois la prise d’information fait obstacle. Le contexte est complexe mais également peu familier aux élèves de cet âge, avec des ambiguités. Notamment, le tableau nécessite une interprétation et il doit également être amputé de sa dernière colonne pour étudier la proportionnalité qui est interrogée ici.
Analyse didactique :
Le code 9 correspond le plus souvent à la réponse « non » sans justification, parfois à la réponse « non parce que ce n’est pas égal ».
Les procédures utilisées par les candidats qui réussissent l’item sont au nombre de cinq :
Calcul et comparaison de quotients : 16% des candidats
Coefficient de proportionnalité ou retour à l’unité : 5%
« Règle du double » : 13%
Calcul et comparaison de produits en croix : 3%
Règle de 3 ou calcul d’une 4ème proportionnelle : 5%
On notera cette diversité des procédures et le fait que certaines sont anciennes, notamment la règle du double qui est une procédure de linéarité rencontrée dès l’école primaire et qui est ici encore fréquemment utilisée.
Item 13 – DNB 2010 : Résoudre un problème simple de proportionnalité
Un item peu discriminant, traité par tous les candidats, globalement bien réussi mais présentant un fort taux résiduel d’erreur y compris parmi les candidats en grande réussite.

Critère : 13,5 , 13 ou 14 sont acceptés (sans obligation d’unité).

EnsembleGroupe 0Groupe 1Groupe 2Groupe 3Nb de 1640102727Nb de 934213172Nb de 0501124150Code 1 : démarche correcte ; code 9 : démarche incorrecte ; code 0 : non abordé% de 143%0%21%46%93%% de 923%15%28%29%7%% de 034%85%51%25%0%


Commentaire :
La réussite sur cet item simple et contextualisé, bien dans l’esprit du socle est faible, seul le groupe 3 étant en réussite. La capacité C1 de résolution de problème, s’informer, apparait ici mise en défaut pour beaucoup de candidats sur une question qui touche à un thème essentiel des mathématiques du socle : la proportionnalité. La position de l’item situé en fin d’épreuve au sein du problème amène à relativiser ce constat.

Analyse didactique :
Les erreurs font apparaitre des confusions entre la contenance du pot (5 litres) et la surface peinte avec un litre de peinture (4 m²), des confusions entre volume en litre et nombre de pots... La prise d’information est donc ici perturbée par des éléments distracteurs dus à la relative complexité du contexte.




Item 3 – DNB 2009 : lire les coordonnées d’un point
(cet item figure parmi les 6 items nationaux)
Un item globalement mal réussi qui vient tempérer la réussite observée l’an dernier sur les compétences de lecture graphique.



1) Lire graphiquement les coordonnées du point B.

Critère : le candidat doit montrer qu’il a su lire les deux coordonnées du point sans les confondre.



EnsembleGroupe 0Groupe 1Groupe 2Groupe 3Nb de 1721173321Nb de 957727212Nb de 0207940Code 1 : démarche correcte ; code 9 : démarche incorrecte ; code 0 : non abordé% de 148%7%32%57%91%% de 938%47%51%36%9%% de 013%47%17%7%0%
Commentaire :
La lecture des coordonnées d’un point avait produit l’an dernier une réussite nationale de 82% contre 57% cette année, la réussite se limitant à 48% sur l’échantillon étudié. Cette année, l’item se révèle beaucoup plus sélectif et seul le groupe 3 atteint ce niveau de réussite. La différence tient sans aucun doute aux difficultés induites par le choix des unités. Le quadrillage intermédiaire présenté cette année partage l’unité en cinq introduisant un pas de 0,2 qui a posé problème. Ces difficultés montrent que la lecture graphique, point fort de nos élèves observé l’an dernier mais également dans les évaluations PISA, est cependant limitée par une maîtrise peu assurée du système de numération décimale.

Analyse didactique :
On relève quelques erreurs de signe sur l’abscisse et quelques confusions entre abscisse et ordonnée mais les deux erreurs significatives portent sur :
- le non respect de l’échelle qui renvoie à un déficit de compréhension de la numération décimale
- les notations qui suggèrent que certains concepts restent très confus dans l’esprit des candidats concernés. On trouve notamment des réponses du type :
fonction x ( - 4 x + 4,6 et quotient – 4 / 4,6.



Item 6 –DNB 2013 : Raisonner avec l’étendue

Une réussite globalement faible de 45% qui montre que cet indicateur de dispersion n’est pas bien maîtrisé par les candidats. A nouveau cet item sépare d’une part les groupes 0 et 1 qui échouent fortement et les groupes 2 et 3 qui réussissent bien.


Critère : réponse attendue 3 400 (sans exigence de calcul ni d’unité), raisonnement correct avec erreur de calcul acceptée.


EnsembleGroupe 0Groupe 1Groupe 2Groupe 3Nb de 1771153427Nb de 9711933163Nb de 02441451Code 1 : démarche correcte ; code 9 : démarche incorrecte ; code 0 : non abordé% de 145%4%24%62%87%% de 941%79%53%29%10%% de 014%17%23%9%3%
Commentaire :
Avec seulement 45% de réussite cet item s’avère très discriminant. Les élèves du groupe 0 l’abordent massivement mais pour échouer également massivement. Plus d’un élève sur deux du groupe 1 échoue également. La faible proportion de non réponses montre que la situation et la question posée ne déstabilisent pas les candidats mais la réponse passe nécessairement par l’usage de l’étendue dont l’appropriation n’est pas réalisée chez la majorité d’entre eux.


Analyse didactique :
L’erreur la plus fréquemment observée est 2400, c'est-à-dire la valeur de l étendue elle-même donnée en place de la somme 1000 + 2400 correspondant à l addition de cette étendue avec la valeur minimale 1000¬ du salaire des hommes. Est-ce une confusion entre étendue et valeur maximale, est-ce le repérage du nombre maximal figural dans le texte, est-ce un oubli dans le raisonnement de la valeur minimale ? Toujours est-il que cette erreur touche 50 candidats sur 172, soit 29% de l’échantillon. Plus marginalement, 9 candidats fournissent comme réponse 2100, soit le salaire le plus élevé chez les femmes.
Item 2 – DNB 2011 : Evaluer une probabilité

Un item, en lien avec le précédent, qui reste discriminant et qui met cette fois en difficulté un peu plus d’un élève sur deux.


 

Critère : La probabilité donnée doit être exacte (1/6 ou une chance sur six)


EnsembleGroupe 0Groupe 1Groupe 2Groupe 3Nb de 1732213020Nb de 960823236Nb de 0175750Code 1 : démarche correcte ; code 9 : démarche incorrecte ; code 0 : non abordé% de 149%13%41%52%77%% de 940%53%45%40%23%% de 011%33%14%9%0%
Commentaire :
Le passage des fréquences, demandées en question 1, aux probabilités, demandées en question 2, s’accompagne d’une baisse de la réussite qui passe de 65% à 49%.
Le terme « équilibré » est parfois mal compris. Pour certains candidats l’interprétation est que la probabilité est égale à 50% tandis que d’autres écrivent que « le dé n’est pas équilibré car toutes les faces ne sont pas de la même couleur ».
Les deux erreurs les plus fréquentes sont la confusion fréquence/probabilité et la modélisation inadéquate de la situation par la probabilité équirépartie sur les 5 couleurs ce qui conduit à une probabilité de 1/5 au lieu de 1/6.

Reprise de la réponse du 1) autre que 20% (confusion fréquence-probabilité)Reprise de la réponse du 1) égale à 20% (confusion fréquence-probabilité)Proba > 150% ou 3/6 ou 1/2251046
Analyse didactique :
Le programme propose une approche fréquentiste de la probabilité pour laquelle la situation rencontrée ici est parfaite. En revanche, s’il s’agit bien de construire une expérience des élèves sur ces questions en fréquentant, en formation, de telles situations ; en évaluation les élèves apparaissent encore très fragiles sur ces sujets nouveaux pour eux.
Les deux concepts, de fréquence et de probabilité, manquent certainement de consistance mathématique à ce stade. Mais ils sont certainement aussi fragilisés par une conception du nombre qui est encore très restrictive chez beaucoup de candidats. Les rationnels ne sont pas toujours conçus comme des nombres ce qui s’avère pénalisant pour traiter les questions de fréquence et de probabilité qui s’expriment en termes de rapports.
Sur ces questions de rapports vient également se greffer la difficulté supplémentaire des rapports particuliers que sont les pourcentages. Une autre confusion existe à ce niveau où un pourcentage est rarement compris comme un format d’écriture mais plutôt comme une sorte d’unité, donnant lieu à changement d’unité c'est-à-dire multiplication par 100 pour passer du nombre au pourcentage. On notera que ce type de difficulté, pour les élèves concernés, perdure longtemps au lycée.


Item 8 – DNB 2010 : Calculer une aire (par additivité)
(cet item figure parmi les 6 items nationaux)
En dépit de sa difficulté modeste et du fait qu’il se situe parfaitement dans l’esprit du socle, cet item conduit à un échec massif qui confirme une des principales conclusions de l’an dernier sur la mauvaise maîtrise qu’ont les candidats au DNB du champ « Grandeurs et mesure » des programmes.


Critère : Le candidat doit montrer qu’il a une représentation correcte de l’aire et de sa propriété d’additivité. Pour cela on acceptera le résultat 63 ou une démarche correcte mais éventuellement entachée d’une étourderie de calcul. L’oubli de l’unité, l’absence ou la mauvaise qualité de l’explication ne sont pas prises en compte.


EnsembleGroupe 0Groupe 1Groupe 2Groupe 3Nb de 130001020Nb de 950314258Nb de 0681033241Code 1 : démarche correcte ; code 9 : démarche incorrecte ; code 0 : non abordé% de 120%0%0%17%69%% de 934%23%30%42%28%% de 046%77%70%41%3%

Commentaire :
Aucun candidat des groupes 0 et 1 ne réussit cet item, le groupe 2 est également en très grande difficulté. Seuls les candidats du groupe 3 réussissent assez bien cet item, rappelons que le groupe 3 représente un peu moins de 20% des candidats.
Venant après les difficultés observées l’an dernier dans le calcul du périmètre d’un triangle connaissant les longueurs des trois côtés et dans l’aire d’un rectangle, ce résultat vient confirmer la conclusion générale apportée l’an dernier : le champs du programme « Mesures et grandeurs » apparait comme particulièrement mal maîtrisé par les candidats.
Le taux de non réponses à 46% est le plus important parmi les treize items étudiés. Il confirme que les candidats sont déstabilisés par cette question et ne disposent pas de piste de réponse.


Analyse didactique :
C’est bien le concept d’aire et sa propriété d’additivité qui sont testés ici. Si l’idée de soustraire à l’aire du carré de côté 9 cm l’aire des quatre triangles rectangles isocèles (qu’on peut réunir en deux carrés de côté 3 cm) est présente chez un candidat il termine en général le traitement de la question sans erreur. Le problème est bien que cette idée pourtant fondamentale, y compris au sens du socle commun, est rarement disponible chez les candidats. Seuls 35 sur 148 (soit 24%) mobilisent cette propriété d’additivité, 30 (soit 20%) parvenant ensuite au résultat attendu. Les autres se trouvent démunis et réagissent de deux manières : soit en ne répondant pas, ce qui est le cas de 68 candidats (soit 46%), soit en imaginant une formule plus ou moins en rapport avec l’image qu’ils se font de la situation, c’est le cas de 36 candidats (soit 24%).
Parmi les erreurs prévisibles on retrouve la confusion aire-périmètre avec six occurrences donc relativement rare.
On retrouve également, et cette fois très fréquemment, le réflexe d’une recherche de formule pour faire face à une situation sur laquelle le candidat se sent démuni. Il s’agit là également d’un défaut de maîtrise de la capacité C3 de raisonnement, d’initiative et de contrôle de la cohérence. Ce constat appelle, comme indiqué déjà l’an dernier, à repenser l’enseignement sur ces questions. Il faut indéniablement revenir à un travail de fond plus consistant sur les concepts et veiller à ne pas se laisser aspirer par un travail technique, d’application de formules, qui écrase l’esentiel.
Les formules imaginées ici par les candidats sont d une diversité et d une fantaisie sans bornes. Les plus fantaisistes, utilisant le nombre À ou encore du type (côté)8, sont présentes 16 fois. Les autres, parmi lesquelles on trouve des combinaisons diverses des côtés sont présentes 20 fois.

Tableau récapitulatif donnant les proportions de candidats concernés par chacun des cas :

Mobilisation de la propriété d’additivité de l’aireAbsence de réponseFormule fantaisisteConfusion aire-périmètreAvec réussiteIncomplète20%4%46%26%4%

Item 11 –DNB 2010 : Appliquer la formule de calcul du volume d’un téraèdre (cet item figure parmi les 6 items nationaux)
Cet item conduit à un échec important. Seul le groupe 3 est en réussite. Bien que la formule à appliquer soit fournie dans le texte, le manque de confiance des candidats ressort au travers du fort taux de non réponses.


Critère : Le candidat doit montrer qu’il sait utiliser la formule donnée dans le texte. Il doit notamment reconnaître la hauteur et la base ainsi que savoir calculer l’aire de cette base. On ne tiendra pas compte d’une éventuelle étourderie de calcul, de l’oubli de l’unité, d’une absence ou d’une mauvaise qualité de la démarche suivie.

EnsembleGroupe 0Groupe 1Groupe 2Groupe 3Nb de 138041321Nb de 966122376Nb de 044122192Code 1 : démarche correcte ; code 9 : démarche incorrecte ; code 0 : non abordé% de 126%0%9%22%72%% de 945%8%47%63%21%% de 030%92%45%15%7%

Commentaire :
Une réussite très faible, à 26%, un taux de non réponses très fort, à 30% ; il apparait donc clairement que les candidats ne sont ni confiants ni performants sur cette question. On peut relativiser l’importance du taux de non réponse en remarquant que cette question est la dernière de l’exercice mais l’analyse des erreurs montre qu’on retrouve ici une nouvelle confirmation de la maîtrise insuffisante qu’on les candidats du champ « grandeurs et mesures » du programme.

Analyse didactique :
Les erreurs peuvent classées en deux catégories :
- celles liées au calcul de l’aire du triangle de base. On retrouve ici les multiples erreurs déjà signalées dans ce type de situation : confusion avec le périmètre, oubli de la division par 2, erreur sur l’un des côtés utilisé (hypoténuse à la place du côté de l angle droit), formules fantaisistes (utilisant le nombre À ou du type côté × côté × côté).
- celles liées à la situation de l espace et à la reconnaissance de différents éléments du solide. On trouve ici des erreurs dans l’identification de
i) la base du solide confondue avec une longueur (« base » du triangle ou longueur 7,8 en référence au patron)
ii) la hauteur du solide confondue avec la longueur 5 d’une diagonale apparaissant sur le patron.
Il ressort donc ici des difficultés à mobiliser la capacité C1 de résolution de problèmes « S’informer, trier l’information ». S’agissant d’une dernière question d’exercice les candidats ont manifestement peiné pour retrouver les informations pertinentes.
Il reste néanmoins qu’une fois de plus le travail sur les grandeurs, aires et volumes ici, apparait bien difficile à maîtriser pour les candidats.

Tableau récapitulatif donnant les proportions de candidats concernés par chacun des cas :
RéussiteNon réponseErreur dans le calcul de l’aire du triangle de baseMauvaise identification du solidebase B mal identifiéehauteur h mal identifiée26%30%24%11%10%
Une nouvelle fois, la diversité des réponses est frappante. Un premier objectif de l’enseignement a déjà été fixé sur ce champ des grandeurs : il s’agit de renforcer la construction du sens, l’appropriation des concepts. Cela signifie notamment que l’application de formules ne doit pas être l’unique, ni même la première entrée dans le travail sur les grandeurs. Nous constatons ici que ce travail sur les formules doit lui même s’accompagner de précautions. La formule mise en jeu ici, et donnée par l’énoncé, pose manifestement problème à beaucoup d’élèves. Le professeur doit être averti que les différentes acceptations du mot « base », tantôt longueur tantôt segment tantôt aire tantôt surface, et parfois défini en référence à un choix particulier de côté, constitue un véritable obstacle à la compréhension des élèves. Le terme « hauteur » pose le même genre de problème. Ces problèmes conbsistants nécessitent une prise en charge spécifique au sein de l’enseignement.
Item 10 - DNB 2009 : Calculer l’aire d’un rectangle

Le traitement de cet item par les candidats est fortement affecté par sa position dans le sujet. Le fait qu’il figure dans le problème, même s’il s’agit de sa première partie, amène 56% des candidats de l’échantillon à ne pas l’aborder. Parmi ceux qui l’abordent, et malgré son caractère élémentaire concernant un concept construit dès le cycle 3 de l’école, il s’en trouve encore 29% dont la démarche est incorrecte


On sait que PRSC est un rectangle et que BC = 14 cm.
3 ) On suppose que le point P est situé à 5 cm du point B.
On a calculé PR en 3 ) a ) (on trouve PR = 3,75 cm)
b) Calculer l’aire du rectangle PRSC.

Critère : donner la réponse exacte ou montrer qu’on a calculé correctement en appliquant une procédure du type PC ( RP même si les longueurs utilisées sont incorrectes. C’est donc la démarche utilisée pour le calcul de l’aire d’un rectangle qui est évaluée ici.








EnsembleGroupe 0Groupe 1Groupe 2Groupe 3Nb de 147052120Nb de 9192692Nb de 0821341271Code 1 : démarche correcte ; code 9 : démarche incorrecte ; code 0 : non abordé% de 132%0%10%37%87%% de 913%13%12%16%9%% de 055%87%79%47%4%Commentaire :
La réussite est faible : 32% pour l’ensemble de l’échantillon. Cette faiblesse s’explique d’abord par le très fort taux de non réponses, 55%, dû très certainement en grande partie à la position de l’item, placé dans le problème, même si il s’agit de sa premère partie. Cependant, au dela de ces non réponses majoritaires, la réussite est également décevante, au regard de la nature de l’item, parmi les candidats qui traitent la question. On constate en effet que les démarches incorrectes sont majoritaires parmi les candidats des catégories 1 et 2, qu’elles restent à un niveau élevé en catégorie 3 et qu’elles ne disparaissent pas totalement au sein de la catégorie 4. La nature de l’échantillon, globalement plus faible que la population nationale, l’information qu’il fallait aller rechercher dans une question précédente et la situation de l’item en fin d’épreuve à un moment où certains candidats sont peut être moins performants fournissent trois explications possibles. Mais il reste que, s’agissant du concept d’aire, concept essentiel travaillé depuis le cycle 3 et traité ici de manière très élémentaire, ces résultats apparaissent inquiétants et plaident pour un travail de fond visant à consolider le concept d’aire chez les élèves.

Analyse didactique :
Les erreurs sont de nature diverse. Certaines tiennent au contexte assez complexe comme les confusions entre des longueurs (notamment BP utilisée en place de la longueur PC du rectangle). Mais d’autres montrent clairement des fragilités sur le concept d’aire : confusion avec le périmètre ou encore formule du type Longueur ( largeur ( 2.


Item 8 - DNB 2011 : Calculer le volume d’un pavé droit

45% des candidats ne trouvent pas ce volume d’un pavé droit dont les dimensions s’expriment par des nombres entiers de centimètres. Il s’agit d’une confirmation sur la mauvaise maîtrise qu’ont les candidats au DNB du champ « Grandeurs et mesure » des programmes.




Critère : Le code 1 est attribué pour une démarche correcte, c’est à dire 40 ( 20 ( 30 y compris en cas d’erreur de calcul, ou pour un résultat seul s’il est exact.


EnsembleGroupe 0Groupe 1Groupe 2Groupe 3Nb de 1821203526Nb de 935715130Nb de 033716100Code 1 : démarche correcte ; code 9 : démarche incorrecte ; code 0 : non abordé% de 155%7%39%60%100%% de 923%47%29%22%0%% de 022%47%31%17%0%








Commentaire :
Un peu plus de la moitié des candidats savent calculer le volume demandé, c’est une relative satisfaction. En revanche, pour ceux qui se trompent, les erreurs commises relèvent souvent de l’incohérence.
On peut partager ces erreurs en deux groupes :
Celles qui respectent l’équation aux dimensions : L(l(h/3 ; L(l(h/2 ; L3+l3+h3 ; h3(l/L ; L(l(h/100 ; 4/3(((h3 ; L/l(((l3 (20 occurrences)
Et celles qui ne la respectent pas : (L+l+h)/3 ; L-l+h ; l/h(((L ; l/h(L ; L(l (15 occurrences).

Analyse didactique :
On retrouve sur cet item une faiblesse, déjà pointée les années passées, sur le champ « Grandeurs et mesures » des programmes. Les candidats en réussite utilisent la formule et répondent correctement à la question. Mais ceux qui sont en échec semblent totalement démunis alors que la situation, un pavé droit dont les dimensions s’expriment par des nombres entiers en centimètres, touche à une connaissance fondamentale et au concept de volume. La réponse peut se concevoir, sans formule mémorisée, à partir d’un dénombrement d’unités (compter le nombre de cm3) si le concept de volume est installé. Pour le moins, les formules incohérentes, celles mobilisant le nombre ( et celles ne respectant pas l’équation aux dimensions, devraient rester rares.
C’est donc une nouvelle fois le travail sur le concept de volume qui apparaît à travailler en priorité, en revenant au sens par le dénombrement d’unités, et en n’hésitant pas à travailler sur les grandeurs plutôt que sur le numérique pur. La pratique des calculs conservant les unités reste peu répandue. C’est pourtant un moyen de renforcer la prise de sens lorsqu’on travaille sur les grandeurs. Il s’agit aussi de cultiver et systématiser le regard critique sur les résultats obtenus, l’équation aux dimensions constituant, avec l’ordre de grandeur, une entrée à privilégier pour cette recherche de cohérence. De tels gestes ne peuvent s’installer chez les élèves, que s’ils sont cultivés en permanence dans la classe, tout au long du collège.


Item 17- DNB 2012 : Utiliser une vitesse dans un problème
Le résultat marquant sur cet item est l’énorme proportion de non réponses qui s’établit à 69% et domine totalement dans les groupes 0, 1 et 2.

Critère : Le candidat doit utiliser la vitesse sans erreur dans sa démarche.

EnsembleGroupe 0Groupe 1Groupe 2Groupe 3Nb de 133041217Nb de 9131480Nb de 01041938434Code 1 : démarche correcte ; code 9 : démarche incorrecte ; code 0 : non abordé% de 122%0%9%19%81%% de 99%5%9%13%0%% de 069%95%83%68%19%



Commentaire :
Parmi tous ceux étudiés, cet item obtient largement la plus grande proportion de non réponses : 69%. Sa situation en première question de la partie II du problème ne constitue pas un élément d’explication. En effet, les candidats ont largement traité la partie III en délaissant cette partie II. Les candidats ont donc manifestement été largement déstabilisés par cette question.



Analyse didactique :
De nombreux éléments sont susceptibles d’avoir mis les candidats en difficulté : une prise d’information complexe, un grand nombre (300 000km/s), un petit (0,0003s), une grandeur quotient (la vitesse), une formulation lourde de la question (sachant que …) …
L’item national portant sur la même question nous apprend que seulement un candidat sur cinq identifie que le signal fait un aller – retour en 0,0003s.

Ce sont probablement les mêmes qui se montrent ici capables d’utiliser correctement la grandeur vitesse.












2. Diagnostic sur les items hors échelle.


Thème « Espace » :
Compléter le dessin d’un patron de tétraèdre (Item 10 -DNB 2010- Réussi à 38% par le groupe 3)

Thème « calcul numérique » :
Résoudre un problème mobilisant les fractions (Item 13- DNB 2013- Réussi à 42 % par le groupe 3)

Thème « Tests, littéral , problèmes » :
S’engager dans une démarche sur un problème complexe d’aire (Item 9 - DNB 2012 – Réussi à 38 % par le groupe 3)
Tester une égalité (Item 3 – DNB 2011- Réussi à 62% par le groupe 3)

Thème « Durée et vitesses »
Traiter les unités de temps dans un problème reliant temps et distance (Item 4 – DNB 2012 – Réussi à 54 % par le groupe 3)













































Item 10 - DNB 2010 : Compléter le dessin d’un patron de tétraèdre
(cet item figure parmi les 6 items nationaux)
Cet item conduit à un échec massif pour tous les groupes. Passer d’un dessin en perspective au dessin du patron semble donc une capacité mal maîtrisée. On peut cependant soupçonner un effet consigne ayant joué un rôle défavorable sur la réussite des candidats.


Critère : Le candidat doit montrer qu’il sait passer de la représentation en perspective au patron. Le dessin doit donc être correct aux imprécisions de tracé près.
EnsembleGroupe 0Groupe 1Groupe 2Groupe 3Nb de 123011111Nb de 91087394418Nb de 0176740Code 1 : démarche correcte ; code 9 : démarche incorrecte ; code 0 : non abordé% de 116%0%2%19%38%% de 973%54%83%75%62%% de 011%46%15%7%0%Commentaire :
Cet item, dont la réussite à 16% est la plus faible de toutes parmi les treize étudiés, jette un doute sur la capacité des élèves à passer du dessin en perspective cavalière au dessin du patron. Pourtant la faible proportion de non réponses indique que les candidats ne sont pas déstabilisés par question. Une influence négative de la forme de la consigne peut être envisagée.

Analyse didactique :
Cette consigne a très vraisemblablement joué un rôle négatif sur la réussite des élèves pour les deux raisons suivantes :
- elle cumule en un seul énoncé deux attentes : la reproduction du dessin à main levée donné dans le texte et le complément à apporter en rajoutant la face manquante du patron.
- la forme du patron incomplet donné dans le texte induit visuellement assez fortement un qualdrilatère convexe. C’est effectivement en achevant ce quadrilatère convexe que beaucoup de candidats ont complété leur dessin du patron.
Les productions des candidats montrent effectivement deux grands types d’erreurs :
- une réponse incomplète dans laquelle la reproduction en vraie grandeur est correcte mais où il manque la quatrième face. - une quatrième face tracée en fermant le quadrilatère convexe évoqué plus haut. Les candidats se sont laissés abuser par l’effet inducteur de la figure incomplète donnée.
Item 13 – DNB 2013 : Résoudre un problème mobilisant les fractions

Avec une réussite globale de 10% cet item portant sur des connaissances de début de collège constitue un échec massif pour tous les groupes.


Critère : La démarche doit être correcte avec des calculs cohérents, on accepte le travail sur un effectif particulier bien choisi (multiple de 12)
EnsembleGroupe 0Groupe 1Groupe 2Groupe 3Nb de 11710313Nb de 910016363216Nb de 055726202Code 1 : démarche correcte ; code 9 : démarche incorrecte ; code 0 : non abordé% de 110%4%0%5%42%% de 958%67%58%58%52%% de 032%29%42%36%6%





Commentaire :
Avec globalement à peine un élève sur dix en réussite cet exercice met en échec tous les groupes. Même dans le groupe 3 plus de la moitié des candidats est dans l’erreur. Le fait que cet item figure dans le dernier exercice de l’épreuve contribue sans doute également à tirer la réussite vers le bas.
Analyse didactique :
Le problème présente plusieurs obstacles. Il faut notamment avoir conscience que les majeurs et les mineurs réalisent une partition de l’effectif total, travailler sur des proportions sans que les effectifs soient donnés et prendre une fraction de fraction de l’effectif total, donc multiplier deux fractions. Il possède cependant certaines caractéristiques qui devraient s’avérer favorables à la réussite : l’énoncé est bref, les fractions sont simples puisqu’elles se limitent à des tiers et des quarts, les connaissances mathématiques mobilisées sont anciennes et les nombres en jeu sont des effectifs donc des entiers, même si ces nombres ne sont pas donnés dans l’énoncé. Il était possible de les fixer arbitrairement pour résoudre le problème, les proportions restant par définition indépendantes de l’effectif considéré.
Force est de constater que les connaissances mathématiques en jeu ont beau être anciennes, et en général entretenues sur cette question, elles ne sont pas pour autant maîtrisées. Prendre une fraction d’une grandeur ou d’un effectif est une question abordée à l’articulation école-collège. Elle n’est jamais réglée en terme de réussite des élèves et elle fait partie de ces problèmes qui restent dans l’ombre des programmes sans élucidation digne de ce nom. On trouve ici les conséquences de ce traitement inabouti.


Item 9 – DNB 2012 : Engager une démarche correcte sur un problème complexe d’aire
Item national N°3

La situation déstabilisante conduit sur cet item à un échec massif pour tous les groupes.

Critère : Le code 1 est attribué dès que l’élève engage une stratégie correcte : soit il fait des essais et ajuste les essais en fonction des résultats, soit il algébrise, même si la démarche n’aboutit pas.
EnsembleGroupe 0Groupe 1Groupe 2Groupe 3Nb de 1120138Nb de 9867264211Nb de 0521319182Code 1 : démarche correcte ; code 9 : démarche incorrecte ; code 0 : non abordé% de 18%0%2%5%38%% de 957%35%57%67%52%% de 035%65%41%29%10%
Commentaire :
Cet item conduit à un échec massif, 12 élèves seulement sur les 150 de l’échantillon parvenant à mettre en place une dmarche correcte, même inaboutie, ce qui constituait l’exigence posée dans cet item.
On notera que ce n’est pas la définition de la capacité « S’engager dans une démarche » qui figure dans la compétence 3 du socle commun ni la définition retenue dans PISA. Alors qu’on demande ici que la démarche engagée soit correcte, dans PISA l’engagement est pris en compte en dehors de toute valeur mathématique de la démarche engagée. La distinction est de taille puisqu’ici nous sommes à 8% de réussite alors que dans la seconde interprétation nous serions à 64%. L’importance de cette différence tient au fait que la figure d’apparence simple a conduit les candidats à s’engager mais que les éléments variables introduits produisent une situation dont l’appropriation est très difficile et génératrice d’échec.

Analyse didactique :
La figure est constituée de deux élements simples : un carré et un rectangle. Mais le problème est rendu difficile par le fait qu’aucune des trois dimensions de ces deux figures de base n’est fixe dans la situation proposée. La question précédente de l’exercice demandait de calculer les aires du carré et du rectangle dans un cas particulier. Cela ne suffisait pas pour assurer l’appropriation de la situation par les candidats pour qui il restait difficile d’identifier clairement les liens existant entre les différents éléments de la figure.
Il en résulte un échec massif, y compris dans le groupe 3 où la proportion de codes 9 dépasse celle des codes 1. Les candidats ne s’approprient pas la situation : un tiers d’entre eux ne s’engage pas, 26 reprennent l’aire du rectangle obtenue dans la question précédente (1625cm2), 19 d’entre eux répondent qu’il n’est pas possible que le carré et le rectangle aient la même aire parce que les deux aires se calculent à l’aide de formules différentes …
Item 3 – DNB 2011 : tester une égalité

Un item concernant une capacité de base, travaillée dès la classe de 5ème, qui se révèle fortement discriminant mais surtout faiblement réussi.





Critère : le candidat doit indiquer que l’affirmation est fausse et justifier à l’aide d’un contre exemple ou d’une identité remarquable ou d’un calcul algébrique.

EnsembleGroupe 0Groupe 1Groupe 2Groupe 3Nb de 1651123616Nb de 9729332010Nb de 0135620Code 1 : démarche correcte ; code 9 : démarche incorrecte ; code 0 : non abordé% de 143%7%24%62%62%% de 948%60%65%34%38%% de 09%33%12%3%0%
Commentaire :
Sur les 150 élèves de l’échantillon, 30 seulement recourent au test d’égalité dont 5 qui effectuent le calcul en développant l’expression au lieu d’appliquer plus simplement les priorités opératoires. Parmi ces 30 candidats, 12 échouent finalement en raison d’un calcul mal mené.
Les nombres choisis pour ce test sont : 2 (9 fois), 5 (3 fois), 1 (9 fois), 0 (1 fois), 3 (6 fois), 100 (1 fois), 6 (1 fois), 4 (1 fois). Un candidat a effectué deux tests.
La procédure la plus fréquemment utilisée est donc le calcul littéral, qui ne fait pas partie des objectifs du socle commun s’agissant d’une expression du second degré.
(a+b)²=a²+b²Test avec développement fauxTest avec développement justeTest avec erreur de calcul dans les prioritésTest juste avec calcul suivant les prioritésDéveloppement de (2a+3)² faux (autre que a²+b²)Développement de (2a+3)² juste34327181653
Analyse didactique :
Cet item est assez emblématique des évolutions de l’enseignement du calcul algébrique que le socle devrait impulser. Le test d’égalité fait partie des exigibles du socle commun et est abordé dès la classe de cinquième. Le programme de la classe de troisième qui met l’accent sur le calcul littéral, et les identités remarquables, joue clairement un rôle inducteur vers la procédure consistant à développer l’expression littérale. Ce n’est pas gênant pour les élèves qui maîtrisent un minimum de technique de ce calcul littéral. Cela l’est beaucoup plus pour ceux qui n’ont pas les ressources suffisantes pour prendre en charge un tel calcul et qui s’y lancent cependant par défaut, le test d’égalité étant insuffisamment présent dans les pratiques de classe. Pour ces élèves, cet item révèle une certaine inadaptation de l’enseignement à leurs besoins.
Le socle commun devrait désormais inciter les pratiques de classe à donner une place beaucoup plus grande au test d’égalité dans l’enseignement de l’algèbre. Ce test permet en effet d’articuler le numérique et le littéral mais également de construire le sens des concepts d’identité et d’équation. Il permet donc de faire accéder des élèves en difficulté à des travaux adaptés à leurs besoins mais il devrait aussi permettre à des élèves davantage en réussite scolaire de construire des concepts qui font défaut durablement à beaucoup de lycéens.
Item 4  - DNB 2012: Traiter les unités de temps dans un problème reliant temps et distance

Cet item réussi par à peine plus d’un candidat sur quatre met en difficulté tous les groupes y compris le groupe 3.




Critère : Toutes les conversions d’unités de temps utilisées par le candidat doivent être traitées sans erreur. Et il doit en mobiliser au moins une.


EnsembleGroupe 0Groupe 1Groupe 2Groupe 3Nb de 142162114Nb de 960819276Nb de 0481121151Code 1 : démarche correcte ; code 9 : démarche incorrecte ; code 0 : non abordé% de 128%5%13%33%54%% de 940%40%41%43%23%% de 032%55%46%24%4%

Commentaire :
Le code d’erreur est sur cet item le plus fréquent, suivi par celui de non réponse, la réussite arrivant donc en dernière position. Cet item concernant la grandeur durée, confirme donc les difficultés rencontrées par de nombreux élèves dans la maîtrise des grandeurs. Il est vrai que cette grandeur durée, qui présente l’avantage d’être familière aux élèves, présente en revanche la difficulté spécifique de s’exprimer couramment dans des unités complexes. Les conversions entre les deux systèmes, sexagésimal et décimal, sont très souvent rendues nécessaires par les calculs demandés. Elles génèrent évidemment de très nombreuses erreurs qui révèlent notamment la fragilité de beaucoup d’élèves dans la maîtrise du système décimal.
S’agissant du socle commun dont un objectif fort affiché est de rendre les élèves capables de traiter des situations réelles, notamment ici où la situation est familière à défaut d’être simple à traiter, ce résultat met en évidence l’important travail qui reste à effectuer pour atteindre les objectifs assignés par le socle.

Analyse didactique :
Sans surprise, ce sont bien les conversions entre système décimal et système sexagésimal, dans un sens comme dans l’autre, qui génèrent l’écrasante majorité des erreurs commises. Ces erreurs se produisent dans tous les cas, y compris les plus simples comme ceux concernant les demi-unités. On dénombre ainsi 49 erreurs du type 4min30=4,30min ou 3h30=3,30h. Les élèves ont pourtant une bonne familiarité avec les unités heures-minutes-secondes. Tous savent qu’une heure est égale à 60 minutes et qu’une minute est égale à 60 secondes. Ces constats amènent à douter de la maîtrise qu’ont les élèves du système décimal : l’écriture 4h30 est probablement bien interprétée comme 4 heures et demie. Mais, pour la majorité des élèves, elle n’est pas transformée en 4,5h …
Nous retiendrons que le travail sur les grandeurs dans des situations familières est à développer pour répondre aux exigences du socle. Mais ce travail doit s’accompagner d’un enseignement de certains concepts dont ces situations révèlent qu’ils sont insuffisamment maîtrisés. Plus précisément ici, le système décimal apparait comme nécessitant un approfondissement pour lequel le travail sur les durées fournit une opportunité ainsi qu’une occasion d’évaluation.





3. Travail sur les 4 champs :

I – Géométrie

Constructions en géométrie plane 
Les élèves du groupe 3 savent en grande majorité faire des constructions géométriques classiques.
Dans cette partie, l’objectif visé est de faire réaliser un programme de construction avec un nombre important d’étapes.  


Exercice 1: (d'après évaluation à l'entrée en seconde 1993)
Dans la figure donnée en annexe, on a représenté un hangar rectangulaire de 16 m de long et de 7 m de large. La laisse du chien Floppy, est longue de 12 mètres. On fixe sa laisse au point M. Un carreau du quadrillage représente 1 mètre.
Floppy peut-il accéder au point E ? Expliquer brièvement pourquoi.
Même question pour les points F, G et H.
Représenter, sur la figure donnée en annexe, tous les points auxquels Floppy a accès.




















Commentaire:
Les deux premières questions permettent de se faire une idée des différentes contraintes qui permettent à Floppy d’atteindre un point ou pas avant d’aborder la question 3.
Attention aux choix de l’échelle de la figure et aux agrandissements/réductions de photocopies…
Normalement, sur la figure, 1m est représenté par 0,5cm

Analyse :
On peut aborder les deux premières questions à différents niveaux et sur des supports différents :
figure papier et mesures de longueur
figure Geogebra (donnée ou à construire) et géométrie d’observation (mesure de longueurs ou cercle)
utilisation du quadrillage et calcul de longueur
Les points F, G et H sont en bord de frontière et peuvent amener un questionnement et un débat sur leur accéssibilité. Ce qui permettra éventuellement, selon le choix du professeur, de passer d’une géométrie perceptive à une géométrie raisonnée.Selon que l’on donnera l’échelle ou pas, le besoin d’avoir recours à la géométrie raisonnée se fera plus ou moins sentir.




Exercice 2 :(d'après évaluation à l'entrée en seconde 1993)
Une construction d'un octogone régulier dont chaque côté est tangent à un cercle de diamètre [IJ] est donné décomposée en 12 étapes.
Cette construction a été faite uniquement à la règle et au compas. Certains points et certains traits de construction devenus inutiles ont été effacés.
Les 9 figures ci-dessous, repérées par un numéro, sont placées dans l'ordre chronologique de la construction:




1
2
3









4
5
6






7
8
9


Il reste à intercaler convenablement les figures ci-dessous.


1. La figure a doit être placée entre la figure ........ et la figure ........
2. La figure b doit être placée entre la figure ........ et la figure ........
3. La figure c doit être placée entre la figure ........ et la figure ........





a
b
c


Commentaire:
Réponses attendues: a est entre les figures 7 et 8, b entre les figures 4 et 5 et c entre les figures 1 et 2.
Analyse :
Cet exercice qui ne demande que peu de connaissances de base, permet à l'élève d'aborder rapidement la situation et de rester actif jusqu'à la production d'un résultat.
Les vignettes manquantes sont proposées dans un ordre croissant de difficulté.
On peut modifier l'activité en donnant toutes les vignettes dans le désordre et en demandant de les reclasser.

Théorèmes fondamentaux
Les élèves de ce groupe savent reconnaître une situation géométrique permettant d’utiliser les théorèmes fondamentaux.
Nous retiendrons deux objectifs :
Confirmer leur maîtrise en particulier celui de Thalès dans n’importe quel contexte situé dans le plan ou dans l’espace.
Comprendre la nécessité de « démontrer ».



Exercice 3 : (d’après cahier d’évaluation seconde 2001)
ABC est un triangle. Le point E est un point du segment [AC].
Le cercle de diamètre [AE] recoupe la droite (AB) au point F.
AB = 6 AC = 6,5 BC = 2,5 AE =  eq \s\do1(\f(4;5 ))AC

Démontrer que le triangle AFE est un triangle rectangle.
Démontrer que le triangle ABC est un triangle rectangle.
Démontrer que les droites (FE) et (BC) sont parallèles.
Calculer AF.

Commentaire :
Utilisation de la propriété du triangle inscrit dans un cercle ayant pour diamètre l’un de ses côtés.
Seule possibilité : utilisation de l’égalité de Pythagore.
L’occasion de réinvestir la propriété rencontrée dès la sixième sur le parallélisme obtenu par la perpendicularité avec une droite commune.
Calcul d’une longueur avec le théorème de Thalès.
Analyse :
La figure de départ faite à partir d’un cercle n’a pour seul objectif que d’obliger les élèves à utiliser un autre outil que l’ «  éternel » théorème de Pythagore pour démontrer qu’un triangle est rectangle. Au travers des autres questions, l’élève n’a pas non plus le choix des procédures.
L’intérêt est de savoir varier les méthodes à mettre en œuvre au sein d’un seul exercice. Les élèves ont parfois tendance à tout résoudre seulement avec « Thalès » et «  Pythagore » au profit d’autres propriétés toutes aussi incontournables.



Exercice 4: (d'après Brevet Afrique I 2002)
Un artisan fabrique des boîtes en forme de tronc de pyramide pour un confiseur. Pour cela il considère une pyramide régulière SABCD à base carrée où O est le centre du carré ABCD.
On a : OA = 12 cm et SA = 20 cm.

Préciser la nature du triangle AOS et montrer que SO = 16 cm.
L'artisan coupe cette pyramide SABCD par un plan parallèle à la base tel que SM = 2 cm où M est le centre de la section ainsi obtenue. a) Calculer le coefficient de réduction transformant la pyramide SABCD en la pyramide SIJKL. b) En déduire la longueur SI puis la longueur IA
Commentaire :
Un triangle rectangle obtenu sans le théorème de Pythagore mais grâce à la hauteur de la pyramide. Ensuite le calcul de la longueur d’un côté de l’angle droit d’un triangle situé à « l’intérieur » du solide.
Calcul du coefficient de réduction entre les deux pyramides puis réinvestissement pour le calcul des longueurs sur une arête latérale.
On pourra éventuellement faire réaliser à l’échelle ½ le triangle OAS en cas d’obstacle à la représentation dans l’espace.
Analyse :
C’est l’occasion d’améliorer ou d’affirmer la maitrise des théorèmes fondamentaux de Thalès et de Pythagore dans l’espace.

Exercice 5 : (d'après brevet Amérique du Nord 2002)
Les deux cônes de révolution de rayons KA et IB, sont opposés par le sommet.
Les droites (AB) et (KI) se coupent en S, et de plus (BI) et (KA) sont parallèles.
On donne : KA = 4,5 cm, KS = 6 cm, SI= 4cm.
Calculer BI.
Sachant que: Volume du cône =  EMBED Equation.DSMT4 
calculer le volume V1 du cône 1 (Donner la valeur exacte puis la valeur arrondie au cm 3).
Le cône 2 est une réduction du cône 1. Quel est le coefficient de réduction ? Par quel nombre exact faut-il multiplier V 1, volume du cône 1, pour obtenir directement le volume V 2 du cône 2 ?
Commentaire :
Calcul d’une longueur avec le théorème de Thalès dans une configuration papillon.
Application de la formule pour le calcul du volume d’un cône (maîtrisé par les élèves du groupe 1)
Calcul du coefficient de réduction et utilisation de la relation : V2 = k3 × V1 ou en cherchant le rapport V2/V1.
Analyse :
Cette situation simple basée sur deux cônes de révolution, permet de confirmer la maîtrise de la proportionnalité entre les longueurs dans l’espace mais aussi et c’est plus rare celle du coefficient de réduction appliquée au calcul de volume.

Exercice 6 :
ABCD est un rectangle tel que AB = 4 et AD = 7.
E est un point quelconque de la diagonale [BD].
Par E on trace la parallèle à (BC) qui coupe [AB] en F et [DC] en G et la parallèle à (AB) qui coupe [AD] en K et [BC] en H.
Qui du rectangle AKEF et EGCH a la plus grande aire ?

Commentaire :
Un problème ouvert assez difficile qui permet de lutter contre les aprioris visuels et que l’on peut retrouver dans le fascicule 2.

Analyse :
Un problème où les élèves de ce groupe pourront donner du sens à « LA DEMONSTRATION » et devront mettre en œuvre des outils simples de raisonnement.


c- Espace
En grande majorité, les élèves du groupe 3 savent réaliser un dessin en perspective et sont suffisamment à l’aise dans l’espace pour effectuer des calculs de volumes en utilisant les formules classiques et en substituant correctement les valeurs des variables.
En revanche, ils ne sont pas en réussite pour construire le patron d’un solide.
Dans les exercices suivants, trois objectifs sont visés :
Améliorer la perception des solides dans l’espace.
Utiliser les résultats de la géométrie plane dans des plans de l’espace.
Construire le patron d’un tétraèdre.

Exercice 7:(d’après cahier d’évaluation seconde 2001)
On découpe le cube ABCDEFGH de façon à obtenir deux solides : une pyramide BEGF à base triangulaire et un deuxième solide S.









Combien le solide S a-t-il de faces ?
Compléter le tableau en répondant par oui ou par non.

est-il rectangle?
est-il rectangle?
est-il rectangle?

Le triangle BFG




Le triangle EBG




Le triangle EBC





L’arête du cube mesure 5cm : a) Construire le triangle BFG en vraie grandeur. b) Construire le patron de la pyramide BEGF en vraie grandeur.



Commentaire :
L’objectif est d’amener l’élève à se familiariser et à améliorer sa vision des faces d’un solide dans l’espace.
Déterminer le nombre de faces d’un solide n’appartenant pas aux familles étudiées jusqu’à présent comme les prismes, les pyramides…
La particularité de cette question est de permettre aux élèves de se repérer dans l’espace à partir de plusieurs représentations en perspective et de retrouver des propriétés du plan.
Réalisation d’une face de la pyramide puis du patron complet de cette pyramide. Aucun calcul n’est nécessaire.

Analyse :
La plus importante difficulté réside dans la réalisation complète du patron de la pyramide à base triangulaire mais aussi dans l’utilisation des résultats de géométrie plane adapté aux plans de l’espace.
Le découpage du patron proposé aux élèves est toujours très révélateur des erreurs éventuelles et permet souvent de se corriger si nécessaire. La cohérence entre le patron et la description du solide final concernant le nombre de faces, la présence d’angles droits, d’arêtes isométriques sont autant d’indicateurs de contrôle et de réflexes que nous devons développer pour les élèves de ce groupe 3.










Exercice 8 :
ABCHFGDE est un cube de 6 cm de côté.
I et J les milieux respectifs de [EF] et de [AH].


Tracer un patron de la pyramide IAJB.

Commentaire :
L’objectif est de ne pas guider l’élève dans sa démarche mais de lui permettre de confronter son patron avec ceux de la classe.

Analyse :
« Y-a-t-il unicité du patron de la pyramide ? » pourra être une question à débattre. Mais encore une fois, différents choix didactiques peuvent être proposés : compléter le patron de la pyramide ayant déjà une face, calculer avant les longueurs des arêtes utiles…en fonction de l’objectif visé.
Exercice 9: (d’après cahier d’évaluation seconde 2000)
Le cube ci-contre a des arêtes de longueur 2 cm.
Les points A et B sont les milieux de deux arêtes du cube. Les points C et D sont des sommets du cube.

L’une des figures ci-dessous représente en vraie grandeur le quadrilatère ABCD.
Indiquer laquelle.








Montrer que BC =  EMBED Equation.DSMT4 

Commentaire :
Déterminer la nature et les dimensions de la face obtenue par section d’un plan et d’un cube.
Calculer l’hypoténuse d’un triangle rectangle contenu dans un plan de l’espace.
Analyse :
C’est à nouveau l’occasion de confirmer la maîtrise des théorèmes fondamentaux (Pythagore) mais surtout de s’assurer de l’utilisation des résultats de géométrie plane dans des plans de l’espace.
II – Nombres et calculs
Tests, littéral:
Les élèves du groupe 3 savent pour la plupart d’entre eux résoudre un problème du premier degré. Ils savent aussi substituer dans une expression littérale complexe. Ils sont moins à l’aise pour tester une égalité ou pour s’engager dans une démarche sur un problème complexe. Dans les exercices suivants, les objectifs suivants sont visés :
Vérifier et renforcer et la maîtrise des techniques algébriques supposées (degré 1, substitution)
S’engager dans une démarche sur un problème complexe
Exercice 10: (d’après PISA 2011)
Une des conséquences du réchauffement de notre planète est la fonte des glaces de certains glaciers. Douze ans après la disparition de la glace, de minuscules plantes – appelées lichens – font leur apparition sur les rochers. Au fil de leur croissance, les lichens se développent sous la forme d’un cercle. La relation entre le diamètre de ce cercle et l’âge du lichen peut être calculée de manière approximative par à la formule :
 EMBED Equation.DSMT4  pour  EMBED Equation.DSMT4  où d est le diamètre du lichen en millimètres et t le nombre d’années écoulées après la disparition de la glace.
En utilisant la formule, calculez le diamètre du lichen 16 ans après la disparition de la glace.
Proposer trois valeurs de t qui donne pour le diamètre un résultat qui est un entier naturel
Anne a mesuré le diamètre d’un lichen et a trouvé 42 millimètres. Depuis combien d’années la glace a-t-elle disparu à cet endroit précis ? Indiquez le calcul effectué.
Commentaire:
Substitution d’une valeur dans une expression littérale
Recherche de valeur pour que t – 12 = n² où n est un entier.
Résolution d’une équation complexe

Analyse :
On peut aussi donner à cet exercice un prolongement avec un nombre d’années qui ne donnera pas un résultat entier naturel. C’est une situation peu complexe malgré l’apparence initiale, où l’élève doit maitriser la résolution d’équation du premier degré et la substitution par une valeur numérique.

Exercice 11: (d’après PISA 2011)
L’image montre les traces de pas d’un homme en train de marcher. La longueur de pas P est la distance entre l’arrière de deux traces de pas consécutives. Pour les hommes, la formule 140 = n/P donne un rapport approximatif entre n et P, où :
n = nombre de pas par minute,
P = longueur de pas en mètres.
Si la formule s’applique à la façon de marcher d’Henri et qu’Henri fait 70 pas par minute, quelle est la longueur de pas d’Henri ? Montrez vos calculs.
Bernard sait que la longueur de son pas est de 0,80 mètre. La formule s’applique à sa façon de marcher. Calculez la vitesse à laquelle marche Bernard en mètres par minute et en kilomètres par heure. Montrez vos calculs.
Commentaire :
Substitution d’une valeur dans une expression littérale sous forme de quotient puis démarche plus complexe pour le calcul de la vitesse.
Analyse :
La deuxième partie du travail n’est pas aussi triviale que la première. La démarche de l’élève doit permettre de transformer le nombre de pas par minute en une distance en mètres par minute puis en vitesse en Km/h. Il y a donc plusieurs étapes déductives à rédiger mais pas de difficultés supplémentaires avec les valeurs numériques en dehors des arrondis pour la vitesse.
Exercice 12: (d'après PISA 2011)
Un fermier plante des pommiers en carré. Afin de protéger ces arbres contre le vent, il plante des conifères tout autour du verger. (La disposition des pommiers et des conifères est donnée ci-dessous pour un nombre (n) de rangées de pommiers)

Compléter le tableau:
 EMBED Equation.3 
1
2
3
4
5
6

Nombre de
conifères







Nombre de
pommiers







Lorsqu'il y a  EMBED Equation.3  rangées de pommiers, choisir parmi les expressions ci-dessous, celle qui peut convenir pour le nombre de pommiers et celle qui peut convenir pour le nombre de conifères. Expliquer ce choix.
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 

3. Est- ce que le nombre de conifères est égal au nombre de pommiers
lorsqu'il y a 6 rangées? Même question pour 8 rangées.
Même question pour 10 rangées.Commentaire:
Déterminer le nombre de pommiers et de conifères par dénombrement ou toute autre méthode opérationnelle.

Analyse :
L’objectif est de tester les expressions proposées dans la question 2 puis l’égalité EMBED Equation.3  avec des valeurs entières proposées. Il est évident que l’on peut aussi donner l'expression du nombre de pommiers en fonction de  EMBED Equation.3  ( EMBED Equation.3  étant le nombre de rangées de pommiers) et (ou) l'expression du nombre de conifères en fonction de  EMBED Equation.3  ; ce qui confèrent un autre intérêt à cet exercice qui permet alors de s’engager dans une démarche plus simple.
Calcul numérique
Pour cet item, on constate que les élèves ne sont en général pas suffisamment familiers avec les nombres en dehors des entiers.
Exercice 13: (d’après cahier d évaluation seconde 2001)
Compléter le tableau suivant 
Fraction
irréductible
Ecriture
décimale exacte
Valeur
arrondie au centième
Encadrement par deux entiers consécutifs
Forme  EMBED Equation.3 ;
a, b, c entiers;
c `" 0 et  EMBED Equation.3 
Représentation sur un segment gradué

 EMBED Equation.3 
2,25

 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 


 EMBED Equation.3 








0,8





 EMBED Equation.3 











 EMBED Equation.3 











Commentaire :
Recherche de différentes écritures d’un nombre ou de sa représentation sur un axe.
Analyse :
C’est l’occasion de comparer les différentes formes d’un nombre rationnel et de mettre en avant les caractéristiques des ensembles, de faire ressortir les nombres décimaux en attirant l’attention sur valeur exacte et valeur arrondie.
Problèmes
La plupart des élèves du groupe 3 sont encore en difficulté pour s’engager dans une démarche sur un problème complexe d’aire, c’est donc l’objectif de l’exercice proposé.
Exercice 14:
On considère la figure ci-contre où les dimensions sont données en cm et les aires en cm². ABCD est un rectangle. Le triangle DCF est rectangle en D.
Dans cette question, on a : AB = 4 ; AF = 6 et
DF = 2.
a) Calculer l’aire du rectangle ABCD.
b) Calculer l’aire du triangle DCF.
Dans la suite du problème, AB = 4 ; AF = 6 et
DF = x.
Peut-on trouver DF de sorte que l’aire du rectangle soit égale à l’aire du triangle rectangle ? Si oui, calculer DF. Sinon expliquer pourquoi.
Commentaire :
a) b) calcul d’aires simples de rectangle et de triangle rectangle.
Exprimer les deux aires avec une inconnue et résoudre l’équation ou mener une démarche par essais successifs.
Analyse :
L’occasion est donnée de se confronter à une telle démarche mais l’enseignant pourra aussi avoir recourt au tableur, à un logiciel de géométrie … Il est aussi envisageable de donner des leviers en ajoutant des questions intermédiaires en cas de non réponses.
III - Organisation et gestion de données –Fonctions

Proportionnalité
Les élèves du groupe 3 savent reconnaître une situation de proportionnalité sur un graphique mais également la résoudre dans un cadre habituel.
L’objectif est ici de savoir reconnaitre une situation de proportionnalité à partir d’un énoncé et de trouver une méthode adaptée pour la résoudre. La résolution de problème étant un thème essentiel et incontournable.

Exercice 15:
Pour Noël, un commerçant partage une prime de 1200 ¬ entre ses trois employés proportionnellement à leur ancienneté : 5 ans, 7 ans et 12 ans.
Quelle sera la part de chaque employé ?

Commentaire:
Calculer la part de chacun en laissant apparaître les différentes méthodes : le recours à l’inconnue puis la mise en équation, la mise en place d’un tableau de proportionnalité entre le nombre d’années d’ancienneté et la prime, recherche par essais successifs… Les nombres sont volontairement choisis entiers (calcul mental possible) mais une version avec des valeurs numériques différentes permettrait également de lutter contre le malaise lié à l’emploi des nombres décimaux.

Analyse :
L’intérêt réside dans la confrontation et l’échange des différentes procédures et dans l’auto contrôle des résultats.


Exercice 16:
Si 9 artisans boivent 12 brocs de vin en 8 jours. Combien 24 artisans boiront-ils de vin en 30 jours ?

Commentaire :
Une situation de double proportionnalité sans difficulté technique particulière sur les données numériques.


Analyse :
A travers cette situation, la priorité est de donner du sens à l’écriture des procédures et d’améliorer la rédaction ainsi que la justification trop souvent négligée car jugée inutile par l’élève.

Statistiques et probabilités

Les élèves de ce groupe savent rechercher des informations dans un tableau ou à partir d’un graphique et exploiter ces informations.
Deux objectifs sont retenus :
Confronter les élèves à des situations statistiques pour réinvestir leurs informations en utilisant des calculs de pourcentages.
Permettre une réflexion sur un calcul de probabilités.
Exercice 17:
La ville A compte 60 000 voitures et la ville B compte 18 000 voitures. Les diagrammes circulaires ci-dessous représentent la répartition des voitures selon leurs couleurs, dans les villes A et B. On demande à un élève ce qu'il constate. Voici ce qu'il a répondu : «On peut dire qu'il y a plus de voitures blanches dans la ville B que dans la ville A». A-t-il raison ?



Commentaire :
Il s’agit d’une tâche non guidée à prise d’initiative pour calculer le nombre de voitures dans les deux villes à partir de leur pourcentage.

Analyse :
L’erreur à combattre et à débattre en classe porte sur la comparaison directe des pourcentages sans tenir compte du nombre total de voitures dans chacune des deux villes. L’objectif est de mettre en valeur la recherche du raisonnement.






Exercice 18: (d'après PISA 2011)
La mère de Kevin lui permet de prendre un bonbon dans un sachet opaque. Kevin ne voit donc pas les bonbons. Le nombre de bonbons de chaque couleur contenus dans le sachet est illustré par le graphique suivant :



Quelle est la probabilité que Kévin prenne un bonbon rouge ?
A) 6 % B) 20 % C) 12,5 % D) 50 %

Commentaire :
Ce thème est souvent apprécié des élèves mais la confusion persiste parfois entre la recherche du nombre total de bonbons (30) et celle du nombre total de couleurs différentes (8) : réponse C)
La prise en compte d’un seul élément, 6 bonbons rouges sans tenir compte du total : réponse A)
L’élève ne voit que deux issues possibles, soit le bonbon est rouge soit il ne l’est pas sans tenir compte des effectifs : réponse D).


Analyse :
On peut laisser la question ouverte sans proposition de réponses.
Le travail de lecture et de prise d’informations ne devraient poser aucune difficulté pour les élèves de ce groupe davantage attendu pour le calcul de la probabilité reliée à celle de la fréquence.
Exercice 19:
Dans une population donnée, la proportion d’individus atteints d’une certaine maladie est de EMBED Equation.3 .

On dispose d’un test de dépistage de cette maladie et des données suivantes :
Sur les personnes malades, la probabilité que le test soit positif est de 0,98.
Sur les personnes non malades, la probabilité que le test soit positif est de 0,01.
On fait le choix au hasard d’un individu dans la population et on le soumet au test.
Calculer la probabilité que cet individu soit malade et avec un test positif.
Calculer la probabilité que cet individu soit non malade et avec un test positif.
Calculer la probabilité que cet individu possède un test positif.

Commentaire :
Calculer des probabilités.
Analyse :
Cet exercice permet de travailler sur les arbres pondérés.
Exercice 20:
Un cabinet de recrutement fait passer à des candidats deux examens, l'un en mathématiques et l'autre en français. L'examen permet de déterminer si le candidat a un niveau satisfaisant ou non dans la matière sur lequel il porte. On dispose des informations suivantes :
 EMBED Equation.3  des candidats n'ont pas un niveau satisfaisant en mathématiques ;
 EMBED Equation.3 des candidats ont un niveau satisfaisant en français;
parmi les candidats dont le niveau en mathématiques est satisfaisant,  EMBED Equation.3  ont un niveau satisfaisant en français.
Représenter la situation en remplissant le tableau ci-dessous
TOTALTOTAL100
On choisit un candidat au hasard. Quelle est la probabilité qu'il n'ait un niveau satisfaisant ni en mathématiques ni en français?


Commentaire:
Savoir organiser un tableau et calculer des probabilités.
Analyse :
Cet exercice permet de travailler sur l'organisation d'un tableau pour justifier en probabilité.
Il permet également de retravailler sur un problème mobilisant des fractions.






Fonction
Exercice 21: (d'après chier d'évaluation 1992)
Un cycliste part d’Argelès-Gazost pour aller à Oloron Sainte Marie, distant de 80 km, en passant par le col de l’Aubisque. Il effectue la montée du col à la vitesse de 10km/h. Après une pause de 20 minutes en haut du col, il descend sur Oloron à la vitesse de 30 km/h.



Parmi les graphiques ci-dessous, quel est celui qui représente la distance d (en km) parcourue par le cycliste en fonction du temps t (en heures) ?
Graphique 1Graphique 2Graphique 3Arrivé à Oloron Sainte Marie, le cycliste poursuit sa route en direction de Pau.
Sur le graphique ci-dessous, on a porté la distance d (en kilomètres) parcourue par le cycliste en fonction de temps t (en heures) écoulé depuis son départ d’Oloron Sainte Marie.

a) Entre quelles valeurs de t la distance parcourue est-elle proportionnelle au temps ?

b) Décrire avec précision le trajet effectué par le cycliste.
Commentaire :
L’élève doit s’engager dans une démarche autonome et de logique.


Analyse :
La présentation de la démarche et des justifications du raisonnement seront très attendus.




Usage du tableur
Cet item assez récent classé hors échelle permet de proposer des situations ayant pour objectif de travailler sur les cellules comme sur des variables.
Les exercices proposés permettent de travailler sur le raisonnement pour la programmation des cellules et de le rapprocher de celui sur le calcul littéral.














Exercice 22 : (D’après brevet France métropolitaine septembre 2010) On calcule, en colonne B, les valeurs prises par l’expression  EMBED Equation.3  pour les valeurs de  EMBED Equation.3  inscrites en colonne A.
Quelle formule a-t-on écrite en B2 ?

A
B

1
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 

2
-5
18

3
-4,5
13,75

4
-4
10

5
-3,5
6,75

6
-3
4

7
-2,5
1,75

8
-2
0

9
-1,5
-1,25

10
-1
-2

11
-0,5
-2,25

12
0
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13
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14
1
0

15
1,5
1,75

16
2
4

17
2,5
6,75

18
3
10

19
3,5
13,75

20
4
18

21
4,5
22,75

22
5
28


On souhaite résoudre l’équation d’inconnue  EMBED Equation.3  :  EMBED Equation.3 .
a) Margot dit que le nombre 2 est solution. A-t-elle raison ? Justifier sans faire de calculs supplémentaires.
b) Léo pense que le nombre 18 est solution. A-t-il raison ? Justifier à nouveau sans calculs supplémentaires.
c) Peut-on grâce au tableau trouver une autre solution ? Justifier.




Commentaire :
Déterminer la formule appropriée par comparaison avec l’expression littérale.
a) et b) Justifier qu’une valeur numérique est solution ou non d’une équation en utilisant les informations obtenues par le tableur. c) Trouver une autre solution de l’équation en réinvestissant les questions précédentes.

Analyse :
Ce sera l’occasion de justifier en classe sans obligatoirement être devant un ordinateur de l’intérêt de la programmation et de travailler le caractère abstrait de la formule ou encore de revenir sur la confusion entre « multiplier par deux » et « mettre au carré ».
Dans un second temps, on reviendra aussi sur la confusion entre l’antécédent et l’image d’une fonction.




Exercice 23 : (D’après brevet Nouvelle Calédonie décembre 2011) On a relevé le nombre de médailles gagnées par les sportifs calédoniens lors des Jeux du Pacifique.
Voici les résultats regroupés à l'aide d'un tableur :
Pour obtenir le nombre 27 dans la cellule E2, Kahina a écrit la formule suivante :
« = SOMME (B2 : D2) », mais John préfère écrire « = 7 + 9 + 11 ». Qui de Kahina ou de John a la meilleure stratégie. Justifier.
Quelle formule a-t-on écrite en B16 pour obtenir 658 ?
Quelle formule a-t-on écrite en B18 pour calculer la moyenne des médailles d'or obtenues sur ces 13 années ?






Commentaire :
Savoir justifier l’usage de la formule au profit du calcul numérique en avançant les arguments de la programmation avec le nom des cellules, l’usage de la poignée de recopie pour éviter la répétition prévisible pour les autres calculs.
Par comparaison avec la réponse proposée pour trouver le total de médailles en 1963, l’élève doit appliquer la formule « somme » en colonne pour obtenir le nombre total de médailles d’or.
Ecriture d’une nouvelle formule pour le calcul de la moyenne avec diverses méthodes acceptées.

Analyse :
L’exercice doit permettre aux élèves de réfléchir sur la différence entre l’utilisation d’une calculatrice et d’un tableur, d’améliorer l’apprentissage du raisonnement avec l’ordinateur.
Ils travaillent alors sur les cellules de façon similaire à ce qu’ils feraient sur les variables.










IV – grandeurs et mesures
h) Périmètres, aires et volumes
Il s’agit encore une fois du même leitmotiv sur l’importance de donner du sens à ces trois notions et de permettre aux élèves d’avoir des repères solides.
Exercice 24 : (d’après cahier d’évaluation à l’entrée en seconde 2001)

ABCD est un rectangle. Le point E est un point du segment [BC].
1. Calculer les aires des triangles ABD et AED dans le cas où AB = 3 et
AD = 5 cm.
2. Placer un point F différent des points donnés et tel que l'aire du
triangle ADF soit égale à celle du triangle ADE.

Commentaire :
Calcul d’aire de triangles et lieu de point pour l’égalité de deux aires. On peut toujours envisager l’usage d’un logiciel de géométrie dynamique.
Analyse :
Si l’on veut renforcer les notions d’aires et notamment celle du triangle, il est judicieux de se placer dans un rectangle pour commencer l’aire du triangle rectangle, puis généraliser à l’aire du triangle quelconque.
Exercice 25: (d’après cahier d’évaluation à l’entrée en seconde 2001)
Tracer un rectangle BCDE dont l'aire est égale à celle du triangle ABC.

Commentaire :
La construction d’un rectangle n’est pas l’objectif de ce travail qui doit permettre à l’élève de réfléchir au lien entre l’aire du triangle et celle du rectangle.

Analyse :
Tout l’intérêt est de donner ou de retrouver du sens à l’aire du triangle en s’appuyant sur sa hauteur. Le quadrillage peut être utile pour une reconstitution par pavage –découpage.

Exercice 25: (d’après cahier d’évaluation à l’entrée en seconde 2001)
Les droites d et d' sont parallèles. Construire deux points M et N tels que le quadrilatère AMCN soit un parallélogramme de même aire que le triangle ABC. Justifier la construction.

Commentaire :
Il s’agit de travailler le lien oublié entre l’aire du triangle quelconque et celle du parallélogramme.

Analyse :
Cet exercice permet plusieurs constructions possibles et plusieurs démarches de résolution. L’élève doit aussi présenter sa démarche et communiquer dans un langage adapté.

Durées et vitesses

Exercice 26: (d'après les dossiers pédagogiques septembre 2012: pour réussir son entrée en seconde professionnelle)
Problématique:
Peut-on faire confiance au coût estimé d’un itinéraire sur internet ?
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 EMBED PBrush U
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