Td corrigé Estimation et test d'hypothèse - Cegep.Net pdf

Estimation et test d'hypothèse - Cegep.Net

2. Trouvez, dans votre manuel, un exercice qui peut être résolu grâce à ce tableau-outil. Évaluer l'intervalle de confiance de l'estimation d'une moyenne à ...




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«ð«ð«ð Estimer la marge d erreur d une proportion à l aide d un tableau-outil.
[Estimation.xls! Estimation P]
8.1 Estimation P Les plus honnêtes

Le tableau-outil ci-dessous permet d'obtenir instantanément la marge d'erreur d'une proportion estimée, compte tenu du niveau de confiance souhaité. Il suffit de remplir les cellules blanches (avec des valeurs plausibles) et les résultats s'affichent dans les cellules ocre de la ligne correspondante. Ainsi, dans la première ligne. la proportion estimée à partir d'un échantillon de 13 500 individus est de 3 %. Si on choisit un niveau de confiance de 95 %, on constate que la marge d'erreur d'une telle estimation est de ( 0,29 %. On peut donc affirmer que, 95 fois sur 100, la proportion estimée est située entre 2,61 % et 3,29 %.

Estimation d'une proportion     Proportion: p (en %)Taille de l'échantillon (n)Erreur type (en %)Niveau de confiance (en %)Cote ZMarge d'erreur (en %)Coefficient de variation (en %) 3,0 13 500 0,1595 1,96 0,29 4,89 50,0 1 030 1,5690 1,64 2,56 3,12 41,0 1 030 1,5395 1,96 3,00 3,74 10,0 50 4,2495 1,96 8,3242,43 40,0 50 6,9399 2,5817,8517,32



Questions

1. Selon une enquête (citée à la page 226 du manuel), 24 % des Canadiens considèrent que ce sont les médecins qui sont le plus honnêtes et le plus intègres. Les politiciens recueillent la faveur de 2 % de cet échantillon qui comptait 1500 individus.
Calculez la marge d'erreur de ces deux proportions en prenant d'abord un niveau de confiance de 0,95 et ensuite un niveau de confiance de 0,99 (inscrivez les réponses dans le tableau ci-dessous).
 Niveau de confiance 0,950,99Médecins  Politiciens  


2. Trouvez, dans votre manuel, un exercice qui peut être résolu grâce à ce tableau-outil.



«ð«ð«ð Évaluer l'intervalle de confiance de l'estimation d'une moyenne à l'aide d'un tableau-outil.
[Estimation.xls! Estimation M]
8.2 Estimation M La taille des Américains

Le tableau-outil ci-dessous est divisé en deux parties. Dans les colonnes 1 et 2, il faut entrer quatre données (dans les cellules blanches) pour obtenir l'intervalle de confiance d'une moyenne estimée. Dans la colonne 1, par exemple, les 988 individus sondés avaient une taille moyenne de 177 cm avec un écart type de 7,1 cm. Pour un niveau de confiance de 0,95, c'est dire que la taille de la population se situe entre 176,56 cm et 177,44 cm (voir les résultats au bas de la colonne 1).
Lorsque l'on possède chacune des valeurs de l'échantillon, on peut utiliser les colonnes 3 et 4. On entre alors ces valeurs dans la colonne Valeurs (maximum de 200 valeurs) et il ne reste plus qu'à choisir le niveau de confiance.

Estimation d'une moyenneMoyenne et écart type connusValeurs connues(1)(2)(3)(4)ValeursNiveau de confiance0,95 0,99 0,95 0,9045,00Échantillon       32,00Moyenne177,00 171,20 32,00 32,0018,00Écart type7,10 7,10 9,21 9,2126,00n (nombre d'éléments dans l'échantillon)988 1199 20 5034,00Erreur type0,23 0,21 2,06 1,3028,00 Normale Normale Student Normale31,00Valeur critique1,96 2,58 2,09 1,6441,00Marge d'erreur0,44 0,53 4,31 2,1427,00Intervalle de confiance: limite supérieure177,44 171,73 36,31 34,1425,00Intervalle de confiance: limite inférieure176,56 170,67 27,69 29,8635,00
Questions

Un échantillon de 70 Noirs américains de sexe masculin âgés de 35 à 44 ans indique que ceux-ci ont une taille moyenne de 176,5 cm avec un écart type de 6,4 cm. Les données correspondantes pour un échantillon de 745 Blancs sont de 176,3 cm et 7,4 cm (voir le manuel, p. 246).
1. Indiquez l'erreur type de l'échantillon et les limites de l'intervalle de confiance pour les Noirs et les Blancs, en prenant successivement un niveau de confiance de 0,90 et de 0,95 (inscrivez vos résultats dans le tableau ci-dessous).
Niveau de confiance: 0,90Niveau de confiance: 0,95NoirsBlancsNoirsBlancsErreur type      Limite inférieure de l'intervalle de confiance      Limite supérieure de l'intervalle de confiance      
2. Dans le même ordre d'idées, sachant qu'un bâillement moyen dure 6 secondes avec un écart type de 2 secondes, quelles sont les limites de l'intervalle de confiance si on prend un niveau de confiance de 0,95? (Ces données proviennent d'un échantillon de 100 bâillements).



3. Trouvez, dans votre manuel, un exercice qui peut être résolu grâce à ce tableau-outil.

«ð«ð Estimer une moyenne à l aide d un schéma de variables.
[Estimation.xls!Schéma]
8.3 Schéma Estimation de moyenne

Le schéma ci-dessous reprend, sous une autre forme, le tableau de la page précédente. Les cellules blanches représentent les données (modifiables) du problème et les cellules ocre représentent les résultats, étape par étape, de l’estimation d’une moyenne. Dans le schéma, on constate qu’un échantillon de 23 individus représentatifs indique que ceux-ci ont une taille moyenne de 177 cm avec un écart type de 7,1 cm. Compte tenu du niveau de confiance que l’on s’est fixé (0,950), on obtient une marge d’erreur de 3,07 cm et un intervalle de confiance compris entre 173,93 et 180,07 cm.



Questions

1. Un échantillon de 100 textes de 500 caractères choisis parmi 10 écrits de la Bible (version en grec) indique que chaque texte contient en moyenne : 19,67 noms (avec un écart type de 5,5), 15,71 verbes (écart type de 5) et 6,44 adjectifs (écart type de 0,9). Faites une estimation du nombre moyen de noms, du nombre moyen de verbes et du nombre moyen d’adjectifs. (Source : H. Somers, Analyse statistique du style, Éditions Nauwelaerts, Louvain, 1967.)

NomsVerbesAdjectifs

2. Trouvez dans votre manuel un problème qui peut être résolu avec ce schéma.


«ð«ð Estimer une proportion. Calculer la marge d'erreur de cette estimation.
[Estimation.xls!Verlaine]
8.4 Verlaine Le ciel est par dessus les toits

Certains écrivains ont une prédilection pour les adjectifs, d'autres pour les verbes. L'épluchage de l'œuvre de Verlaine, Rimbaud et Claudel a donné des résultats qui figurent dans le tableau ci-dessous.

La distribution des catégories de mots chez trois écrivains célèbres(en %) VerlaineRimbaudClaudelNoms23,528,224,0Verbes13,89,512,5Adjectifs11,09,37,0Autres51,753,056,5Total100,0100,0100,0
Nous vous demandons d'en faire autant avec un petit échantillon. Vous utiliserez pour cela le poème de Verlaine intitulé Chanson d'automne et deux autres poèmes ou chansons d’auteurs de votre choix.

Questions

1. En utilisant chaque poème ou chanson comme échantillon, faites une estimation de la proportion de noms, de verbes et d'adjectifs pour chacun des trois auteurs choisis (remplissez le tableau ci-dessous).
La distribution des catégories de mots dans trois poèmes ou chansons

 Chanson d'automne (Verlaine)  Fréquences absolues (n) et relatives (%)n%n%n%Noms      Verbes      Adjectifs      Autres      Total0 0,00 0,00 0,0
2. Calculez la marge d'erreur de la proportion de noms pour chaque échantillon.
Échantillon 1Échantillon 2Échantillon 3
3. Commentez les résultats.



«ð«ð«ð Faire une hypothèse sur une moyenne à l'aide d'un tableau-outil. [Estimation!Hypothèse 1]
8.5 Hypothèse 1 Les écarts observés sont-ils significatifs?

Le tableau-outil ci-dessous permet d'obtenir instantanément l'écart réduit entre la moyenne d'un échantillon et celle d'une population, et de comparer cet écart réduit à la valeur critique correspondant au seuil de signification choisi. Dans la première colonne du tableau, le QI moyen des 42 membres de l'échantillon est de 106, et celui de la population est de 100 avec un écart type de 15. L'écart réduit correspondant à ces données est de 2,59. Si on choisit un seuil de signification de 0,05 et qu'on fait un test bilatéral, la valeur critique est de 1,96. L'écart réduit est donc suffisamment grand (2,59 > 1,96) pour qu'on puisse rejeter l'hypothèse nulle.
Sur le chiffrier, les valeurs contenues dans les cellules ocre sont automatiquement déduites des données entrées dans les cellules blanches.

Hypothèse sur une moyenneSeuil de signification0,050 0,050 0,050 0,010Moyenne de la population100,00 563,00 563,00 563,00Écart type15,00 10,00 10,00 10,00Moyenne de l'échantillon106,00 569,90 565,70 560,70n (nombre d'éléments dans l'échantillon)42 25 455 647Erreur type2,31 2,00 0,47 0,39Écart réduit2,59 3,45 5,76 -5,85 Normale Student Normale NormaleValeur critique: test bilatéral1,96 2,06 1,96 2,58Valeur critique: test unilatéral à droite1,64 1,71 1,64 2,33Valeur critique: test unilatéral à gauche-1,64 -1,71 -1,64 -2,33

Questions

1. Selon l'enquête de la National Longitudinal Survey of Youth, le QI moyen des Américains de confession juive s'établirait à 114,5 d'après un échantillon de 99 personnes. On sait que le QI moyen de la population est de 100 avec un écart type de 15. Formulez une hypothèse et testez-la avec le tableau-outil du chiffrier.





2. Trouvez, dans votre manuel, un exercice qui peut être résolu grâce à ce tableau-outil.







Note: on peut utiliser ce tableau-outil pour résoudre certains exercices du manuel: no 1, p. 257, no 2, p.258 et no 3.a, p.264.

«ð«ð Vérifier une hypothèse sur deux moyennes à l'aide d'un
tableau-outil. [Estimation!Hypothèse 2]
8.6 Hypothèse 2 Ces deux populations sont-elles différentes?

Le tableau-outil illustré ci-dessous permet de tester instantanément une hypothèse sur deux moyennes. On rentre dans les cellules blanches les données pertinentes sur les deux échantillons ainsi que le seuil de signification choisi. Les résultats sont affichés dans les cellules ocre.
Dans la première colonne de chiffres, l'écart réduit entre les moyennes (taille des individus de deux groupes différents) est trop faible pour qu'on puisse rejeter l'hypothèse nulle. Autrement dit, l'écart entre les deux échantillons pourrait bien n'être dû qu'au hasard.

Hypothèse sur deux moyennesSeuil de signification (loi normale)0,050 0,050 0,050 0,050Moyenne 1175,50 30,49 148,76 566,50Écart type 16,90 4,93 27,84 11,70n1 (nombre d'éléments dans l'échantillon 1)649 156 156 61Moyenne 2175,80 32,77 150,89 560,70Écart type 27,10 4,29 25,36 7,60n (nombre d'éléments dans l'échantillon 2)5158 153 153 647Écart réduit-1,04 -4,34 -0,70 3,80Valeur critique: test bilatéral1,96 1,96 1,96 1,96Valeur critique: test unilatéral à droite1,64 1,64 1,64 1,64Valeur critique: test unilatéral à gauche-1,64 -1,64 -1,64 -1,64

Questions

1. Un enquête de Ernest Hooton indique que les cadres d'un échantillon de 61 personnes ont un tour de tête moyen de 566,5 mmm tandis que les fonctionnaires d'un échantillon de 25 personnes ont un tour de tête de 564,1 mm. D'autre part, l'enquête montre que l'écart type du tour de tête est de 10 mm. Testez l'hypothèse selon laquelle le tour de tête moyen des cadres est le même que celui des fonctionnaires. Utilisez un seuil de signification de 0,01.






2. Trouvez, dans votre manuel, un exercice qui peut être résolu grâce à ce tableau-outil..






Note: on peut utiliser ce tableau-outil pour résoudre certains problèmes du manuel: les tableaux 8.5 et 8.6, l'exercice p. 263 et l'exercice 3.b, p.264.


«ð«ð«ð Obtenir la valeur recherchée dans la table de distribution normale. [Estimation!Normale]
8.7 Normale Une méthode moderne

La table de distribution normale indique l aire correspondant à chaque cote z. Dans la partie droite du tableau ci-dessous, on voit que l’aire comprise entre 0 (soit la valeur de la moyenne) et 2,326 est de 0,49 (ou 49 %). Cela signifie que, si la population est distribuée normalement, 49 % des valeurs seront comprises entre 0 et 2,326 écarts types.
Les deux parties du tableau du chiffrier permettent de passer de la cote z à l’aire et vice-versa. Dans la partie gauche du tableau, on entre la cote z (cellule blanche) pour obtenir l’aire correspondante (cellule ivoire). Dans la partie droite, c’est l’aire qui est connue et qui nous permet de déterminer la cote z.
Distribution normaleLes valeurs en rouge représentent l'aire comprise entre la moyenne et la cote z correspondante.Cote z [0 ou plus]1,20Aire [0 à 0,5]0,490Aire0,385Cote z2,326

Questions
1. Sachant que l’aire sous la courbe est de 0,4, quelle est la cote z correspondante?
2. Sachant que la cote z est de 1,5 (ou de -1,5), quelle est l’aire correspondante.
1. cote z2. airePour ces deux questions, utilisez d’abord le chiffrier («méthode moderne») et vérifiez ensuite dans la table de distribution normale à la fin du manuel («méthode à Papa»).

Illustration de la «méthode à Papa»Cote zAireCote zAireCote zAireCote zAire0,000,0001,000,3412,000,47723,000,49865...…...…...…...…0,190,0751,190,3832,190,48573,190,499290,200,0791,200,3852,200,48613,200,499310,210,0831,210,3872,210,48643,210,49934...…...…...…...…0,320,1261,320,4072,320,48983,320,499550,330,1291,330,4082,330,4901–œ°º¼ÔØÚÞàâü@
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Les sanglots longs Des violons de l'automne Blessent mon coeur D'une langueur Monotone Tout suffocant Et blême, quand Sonne l'heure Je me souviens Des jours anciens Et je pleure Et je m'en vais Au vent mauvais Qui m'emporte Deçà, delà Pareil à la feuille morte.